Побудова перерізів многогранників методом «сліду».

Площиною перетину многогранника називається така площина, по обидві сторони від якої є точки даного многогранника.

Перерізом многогранника називається фігура, яка складається з всіх точок, які являються спільними для многогранника і площини перетину.

Основні поняття

Рис.1 Рис.2

Площина перетину перетинають грані многогранника по відрізках, тому переріз многогранника є многокутник, якмй лежить в площині перетину . Очевидно, що кільеість сторін цього многокутника не може перевищувати кількості граней даного многогранника. Наприклад (див.рис.3), в пятикутній призмі (всього 7 граней) в перерізі можуть отриматись: трикутник, 4-кутник, 5--кутник, 6—кутник або 7-кутник .

Рис.3

• Дві площини перетинаються по прямій (ця аксіома і дала назву методу – під «слідом» розуміється пряма перетину якої-небудь грані многогранника і січної площини).• Отримання «сліду» зводиться до отримання двох точок,які належать одночасно якій-небудь грані многогранника і січній площині (подумайте, чому саме двох!?).• Точки отримуються як перетин двох прямих,які належать одной і т ій же площині.

Зауваження. Не забудьте, що пряма і площина являються безкінечними в просторі фігурами!

Розглянемо на прикладі побудову переріза куба площиною, заданою трьома даними точками M, N і K.

A

B

C

DB1

C1

D1

M

N

K

Выбираємо точки М і N,які належать одній грані і будуємо пряму MN – «слід» перетину правої грані і січної площини.

A1

Приклад 1.

A

B

C

DB1

C1

D1

M

N

K

A1

E

Тепер звертаємо увагу, що ребро куба В1С1 лежить в одній грані з третьою точкою перерізу К (верхня) і в одній грані з отриманою прямою MN (правою). Знаходимо точку перетину цих прямих – точку Е.

Приклад 1.

A

B

C

DB1

C1

D1

M

N

K

A1

E

Точки Е і К належать верхній грані і січній площині. Значить, пряма ЕК – «слід» їх перетину.

F

Приклад 1.

A

B

C

DB1

C1

D1

M

N

K

A1

EF

Далі бачимо, що ребро куба А1В1 лежить в одній грані з отриманим слідом ЕК . Знаходимо точку перетину цих прямих – точку G.

G

Приклад 1.

A

B

C

DB1

C1

D1

M

N

K

A1

EFG

Отримана точка G лежить в одній грані з точкою М (в передній) і обидві точки належать січнійі площині – значиьт, пряма GM – черговий «слід»!.

H

Приклад 1.

A

B

C

D

C1

D1

M

N

K

A1

EFG

H

Залишається зєднати відрізками всі пари точок, які лежать в січній площині і в одній грані куба.

Отриманий пятикутник MNFKH – шуканий переріз куба.

B1

Приклад 1.

Приклад 2.

M

N

K

Побудуємо переріз чотирикутної піраміди,який заданий точками M,N і K. Прослідкуємо за ходом побудови перерізу і запишемо його.

Приклад 3.

Побудуємо переріз пятикутної призми,який заданий точками M,N и K. Прослідкуємо за ходом побудови перерізу і запишемо його..

M

N

K

M

N

K

Розглянемо тепер більш складні приклади

Приклад 4.

M

NK

Памятаємо про те, що вершина піраміди – спільна точка для всіх бічних граней!

Приклад 5.

K

M

N

Приклад 6.

Площина перерізу може задаватися: 1) трьома точками, які не лежать на одній прямій; 2) прямою і точкою,що не лежить на ній; 3) двома прямими, які перетинаються; 4) двома паралельними прямими.

Всі ці випадки можна звести до першого, вибираючи на прямих зручні для нас точки.

ВисновокВисновок

Даний метод побудови перерізів многогранників можна використовувати, якщо знайдеться хоча б одна пара точок,які лежать в січній площині і одній грані многогранника. Після чого задача циклично алгоритмизується в одержанні чергової точки і чергового «сліду».

ЗАУВАЖЕННЯ. Якщо такої пари точок не знайдеться, то переріз будується методом

паралельних проекцій.