Podzemne_vode_potencijalnoStrujanje

Sveuilite u Splitu, Graevinsko-arhitektonski fakultet hidromehanika

8. POTENCIJALNO STRUJANJE 8.1. Uvod 1. Strujanje je potencijalno ukoliko je bezvrtlono.

rot v= 0

zyx

zyx

vvv

kji=vrot

rrr

2. Potencijal je funkcija koordinata: = (x, y, z). 3. Ako je brzinski potencijal rv = grad

zv;

yv;

x v4.

dzvdyvdxvd

dzz

dyy

dxx

d

zyx

zyx

=

==

++=+

+=

5. Jednadba kontinuiteta: div v 0r = + + =

vx

vy

vz

x y z 0

8.2. Rubni uvjeti za ekvipotencijale i strujnice 8.2.1. Ekvipotencijale

Slika 8.1. Prostorne i ravninske ekvipotencijale u koordinatnom sustavu - JEDNADBA STRUJANJA (EKVIPOTENCIJALA):

2

2

2

2

2

2 0x y z+ + = Laplace- ova jednadba: 2 = 0

U strujnoj mrei ekvipotencijale i strujnice su meusobno okomite.

102


8.2.2. Rubni uvjeti Kao primjer promatra se procjeivanje ispod brane:

MZ

h

H1

1

1 H Z

H

h

2 2

2

Slika 8.2. Shema brane

a) za ekvipotencijale b) za strujnice

1 2

a 1.5M a 1.5M

n

n

nmax

=H min=H

(0 oo)(100 oo)

a 1.5M a 1.5M

n =0

n =0

n n n =0

=Q=100%max

=0min n =0

Slika 8.3. Prikaz rubnih uvjeta

Rjeava se =2 0 Rjeava se =2 0

U sluaju brane sa zavjesom:

ZAVJESA

max min =0

=1 Slika 8.4. Shema brane sa zavjesom i prikaz rubnih uvjeta

Po potencijalnoj teoriji moe se rijeiti i prelijevanje preko brane kao i, npr., ulaz vode iz vodospreme u cijev.

Slika 8.5. Strujna mrea na primjeru brane i istjecanja iz vodospreme

103


8.2.3. NUMERIKO RJEAVANJE-PRIMJENA ZAKONA ODRANJA NA METODU KONANIH ELEMENATA

Slika 8.6. Podjela na konane elemente

0=vdivr 0=++=zv

yv

xvvdiv zyx

r

0 0 00 === = vdivvdivvdivdAnv

A

rrrrr

( ) 0 == graddivgradvr 02

2

2

2

2

2=++

zyx

- Laplaceova diferencijalna jednadba

zv

yv

xv zyx

=== ;;

Za svaki vor vrijedi:

=A

Adv 0rr odnosno: 0= dAnA

104


i+1

i

i-1

m

0 A0i

l 0i Slika 8.7. Shema vora ( ) 00

1 0

0 =

=i

m

i i

i

AA

ldA

n

Oznaimo li: ( ) 001

00

00 =

= =

i

m

ii

i

ii yl

Ay Takve jednadbe moemo postaviti za n vorova, koliko ima i nepoznatih vrijednosti potencijala . Nakon uvrtavanja rubnih uvjeta, moe se rijeiti sistem jednadbi.

Problem e se rijeiti postavljanjem uvjeta kontinuiteta na svakom elementu.

1

3

2

l 12

l23

13l

12A

23A

13A

Slika 8.8. Shema elementa

Najprije postavljamo lokalnu matricu: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 323321331

223231221

113131212

QyyQyyQyy

=+=+=+

1, 2 i 3 su lokalne oznake. ( ) (

( )( ) 3

2 1

323133232131

223323122121

113312213121

QyyyyQyyyyQyyyy

=++=++= )

( )( )

++

Ili u matrinom obliku: ( )

( )( )

=

++

+

3

2

1

3

2

1

23132313

23231212

13121312

QQQ

yyyyyyyyyyyy

ili ijij Qa = , ij bQaaa ==++ ji,1313212111 a , , Za rjeavanje problema pomou raunala treba postaviti elemente, te veze vorova i elemenata. Tablica 8.1. Veza elemenata i vorova:

105


VOROVI ELEMENT LOKALNI 1 LOKALNI 2 LOKALNI 3

1 1 2 4 2 2 5 4 3 2 6 5 4 2 3 6 5 3 7 6 6 4 5 8 7 5 6 10 8 6 7 10 9 5 9 8

10 5 10 9 11 7 11 10 12 8 9 14 13 9 10 12 14 10 11 12 15 8 14 13 16 13 14 15 17 14 9 15 18 9 16 15 19 9 12 16 20 13 15 18 21 13 18 17 22 15 19 18 23 16 19 15

12

1212 l

A=y

Za svaki element slae se lokalna matrica i postavlja na odgovarajue mjesto u globalnoj; npr. el. 12 ima globalne vorove 8, 9, 14. Lokalna jednadba (1) postavlja se u 8. redak globalne matrice, lokalna jednadba (2) u 9. redak globalne matrice i lokalna jednadba (3) u 14. redak globalne. EL. - 1 1 2 3 LOKALNO 1 2 4 GLOBALNO ( )

( )( )

=

++

+

000

4

2

1

24142414

24241212

14121412

yyyyyyyyyyyy

EL. - 2 1 2 3 LOKALNO 2 5 4 GLOBALNO ( )

( )( )

=

++

+

000

4

5

2

54245424

54542525

24252425

yyyyyyyyyyyy

EL. - 3 1 2 3 LOKALNO

106


2 6 5 GLOBALNO ( )( )

( )

=

++

+

000

5

6

2

65256525

65652626

25262526

yyyyyyyyyyyy

EL. - 4 1 2 3 LOKALNO 2 3 6 GLOBALNO ( )

( )( )

=

++

+

000

6

3

2

36263626

36362323

26232623

yyyyyyyyyyyy

Desne strane su sada 0 to jest njih i ne diramo. Nakon prolaska po svim elementima, desne strane u globalnoj matrici biti e zaista 0 za sve unutranje vorove, dok za rubne vorove (sa zadanim potencijalom) treba definirati potencijale (vidi naprijed), ili pripadne protoke, ako su oni zadani. Nakon prolaska po svim elementima dobije se: 1) vor 1 odnosno prvi redak globalne matrice: ( ) 041421211412 =+++ yyyy ili ako piemo samo koeficijente: ( ) 14121412 0 yyyy + 2) vor 2 odnosno drugi redak globalne matrice (ovaj redak se popunjava prolaskom po elementima 1, 2, 3 i 4.

4 EL.3 EL.2 EL.1 EL.

( )( )( )( ) 00

000000

232623

2526

242425

24241212

yyyyy

yyyyyyy

++++

26

2625

25

0 yyy

y

Drugi redak globalne matrice predstavlja sumu ovih stupaca. Dakle, ukupna jednadba uz vor 2 glasi: ( )( ) ( ) ( ) 06426326532522542241243423 2

426

423

325

326

224

225

124

1121

112

=+++++++++++++++

yyyyyyy

yyyyyyyyy

Tako se vidi kako je formiran drugi redak globalne matrice, odnosno kako su formirani lanovi za vor 2, na elementima 1, 2, 3 i 4. Na isti nain, prolaskom programa po svim elementima formirati e se cijela globalna matrica. Sada treba uvrstiti rubne uvjete na sljedei nain: recimo neka je L=C (neka konstanta), dakle vrijednost potencijala u L-tom voru=C. Da bi se to postiglo treba na dijagonali u L-tom retku, to jest na mjestu L, L, postaviti vrijednost tog lana matrice=1 (aLL=1). Svi ostali lanovi matrice u tom retku stave se=0, dok je L-ti lan desne strane =C, tako da imamo:

C= 0 + 1 + 0 L Kada se dobije rjeenje cijelog sustava dobit e se L=C. Sada treba definirati raunanje elemenata lokalne matrice. Svaki vor zadan je koordinatama (x,y). Lokalno polje toaka definirano je sa poljem T(2,3).

107


5

4

6

1

3

2

Slika 8.9.

( )

2y ;

2

2y ;

2

xB

x=B ; x=A

314

314

215

215

5712

1257

55447

13

13

12

12

yyxxx

yyxxx

xxyyxxyy

ABxAyyx

yyx

yyx

+=+=

+=+=

=

+=

23

6723

13

4713

12

5712

0i

0i0 D

Dy ;DDy ;

DDy

lA ===

=iy

( ) ( )21221212D yyxx += 8.3. Hidraulika podzemnih voda 8.3.1. Poroznost

a) GEOMEHANIKA: nVV

p= b) AKTIVNA (EFEKTIVNA): = VV

v

Tablica 8.2. Geomehanika poroznost ovisno o vrsti tla

VRSTA TLA n ljunci - promjera zrna 2- 20 0.30- 0.40 Pijesci promjera zrna 0.05- 2 0.30- 0.45 Supijesci 0.35- 0.45 Zaglinjeni pijesci 0.35- 0.50 Glinovito tlo 0.40- 0.55 Tresetno tlo 0.60- 0.80

Vp - volumen pora Vv - volumen vode 8.3.2. Zakon filtracije (procjeivanja) (Darcy - ev zakon):

a) LINEARNI: LHI(m/s);

LHkIkv ===

gdje je: k - koeficijent filtracije dobiven eksperimentalno v - brzina filtracije I - razlika potencijala izmeu dva presjeka b) NELINEARNI: I av bv= + 2 - openito: I c , gdje je: 1 n 2 vn= c= const. ako je: n= 1 laminarni tok -linearno procjeivanje n= 2 turbulentni tok - nelinearno procjeivanje 1< n< 2 prelazni reim - nelinearno procjeivanje Najpoznatije je odreivanje vrijednosti koeficijenta filtracije k (cm/s) pokusima na terenu.

108


Tablica 8.3. Koeficijent filtracije ovisno o vrsti tla VRSTA TLA k (cm/s) isti ljunak 1.0 i vee isti pijesak 1.0 - 0.01 Pijesak granulirani 0.01 - 0.008 Sitni pijesak 0.05 - 0.001 Prainasti (zemljani) pijesak 0.002 - 0.0001 Praina i mulj 0.0005 - 0.00001 Glina 0.00001 i manje

OPI OBLIK DARCY-EVOG ZAKONA:

v= grad; v=grad(-kh); = - kh; h z pg

= +

k hx

k hy

k hz

2

2

2

2

2

2 0+ + = Laplaceova jednadba strujanja u prostoru.

k hx

k hy

2

2

2

2 0+ = strujanje u ravnini Pretpostave se ekvipotencijale. Okomito na na njih postavljaju se strujnice. Meutim, ako se donja strujnica ne poklopa s rubnom potrebno je ponoviti konstrukciju s novom pretpostavljenom ekvipotencijalom. Zadatak 8.1: Odredi procjedni protok ispod brane, prema slici 8.10., za razliku vodostaja ispred i iza brane od 4 (m).

Slika 8.10. Procjeivanje ispod brane

Zadano je: k= 10-2 (cm/s) = 10-4 (m/s) H= 4.0 (m) m= 3 broj strujnih cijevi n=10 broj razmaka izmeu ekvipotencijala a = 1 (m) Q=? Rjeenje:

bL= 1

(l/s) 0.12Q

/s)(m 101.211104103

aLb

nHmkQ

344

===

=

109


8.3.3. Tlakovi na branu:

Slika 8.11. Prikaz tlakova na branu

Kada se nacrta strujna mrea (rijee ekvipotencijale, tj. linije jednakih potencijala) mogue je odrediti tlakove na branu. - tlak u toci A:

( )A1AAA1

A

zH1.5Hgp

hzH1.5Hgp

===

gp

h;nHH

HHH

11

21

===

n= 8 broj ekvidistanci - tlak u toci B:

( )B1BBB2

BB1B

z4HgphzH4H

hzH4Hgp

=====

- tlak u toci C: ( )C2C z1.2Hgp = - tlak u toci D: 1D1 ghpp == - tlak u toci E: 2E2 ghpp ==

110


8.4. RJEAVANJE POTENCIJALNOG STRUJANJA 8.4.1. Numerike metode A) METODA KONANIH RAZLIKA B) METODA KONANIH ELEMENATA METODA NUMERIKE INTEGRACIJE ZAKONA ODRANJA C) RAUNSKE METODE NA BAZI ANALITIKIH RJEENJA 8.4.2. Postavljanje elemenata:

a) kvadrilateralni: (pravokutni)

b) trokutni: c) esterokutni:

Slika 8.12. Postavljanje pravokutnih, trokutnih i esterokutnih elemenata

A

J=1,N

I=1,M

123

4

N

(1,1) 2 3 4 M

(2,3)

(I,J)

(M,N) Slika 8.13. Postavljanje vorova (I,J) - to su indeksi svakog vora u mrei U zoni "A" gdje je kocentriran tok (optjecanje oko zavjese), postavljaju se gui elementi. 8.4.3. Metoda numerike integracije zakona odranja Ako se kontinuum razdijeli na dovoljno malene komade, tako da su funkcionalni odnosi na tim komadima svedeni na linearne, za svaki komad moe se postaviti zakon odranja mase u jednostavnom obliku.

1m

qq1 2 r rq q1 2 0 = RAVNOTEA Slika 8.14. Dio kontinuuma

111


. .

.

..

.

0

K=1

ciiL

i

qi

Slika 8.15. Postavljanje elemenata i vorova Slika 8.16. Suma tokova ka voru 0 Za element koji pripada voru "0", zakon odranja glasi:

qim

10 =

Koliina vode koja dolazi iz vora i: q v ci i i= 1 v

L Lii

i

i

i

= = 0

Suma svih tokova na elementu jednaka je nuli (ravnotea)

( ) 01

0 =

i

imi L

c

gdje je: i - vrijednost potencijala u voru "i" 0 - vrijednost potencijala u voru "0" Li - udaljenost vorova Za pravilnu kvadratnu mreu slijedi:

c)

c)

d)

b)

c)a)

d)

d)

b)

l1

l1

l1

l1

l2 l2 l2

Slika 8.17. Postavljanje kvadratne mree elemenata a)

112


o

2

31

4

l1

l1 l1

l2

l2

l2

q2q3

q4

q1

Slika 8.18. Suma tokova prema voru 0 na elementu a)

Zakon odranja: q q q q1 2 3 4 0+ + + =

Protok iz jednog vora:

( ){

( ) lllq iii =====

210

112

0 ll

i= 1, 3

( ) ( ) lllq iii ==== 21021

0 ll

i= 2, 4

- nakon uvrtavanja: ( ) ( ) ( ) ( ) 04432104030201 04 =+++=+++ - potencijal u "o":

4

43210

+++= l1 l2:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 012

021

04221

3112

21

0412

0321

0212

01

22 +++

=+++

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

( ) ( )21

21

12

4221

3112

0

+

+++=ll

ll

ll

ll

b)

o

2

31

4

l/2

l

l/2l

q2q3

q4

q1

Slika 8.19. Suma tokova prema voru 0 na elementu b)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )04044

03033

02022

01011

llll

21

l2l

21

l2l

==

==

==

==

q

q

q

q

( ) ( ) ( ) ( )004321

040302014321

01121

21

21

21

021

21

=

++++++

=+++=+++ qqqq

622 4321

0+++=

c)

113


o

2

31

2

l

l/2q2

q3q1

Slika 8.20. Suma tokova prema voru 0 na elementu c)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )0

21

l2l

ll

21

l2l

4

03033

02022

01011

===

==

==

q

q

q

q

( ) ( ) ( )00321

0302014321

0211

21

21

21

0021

21

=

++++

=+++=+++ qqqq

42 321

0++=

d)

o

2

11

2

l/2

l/2l

q2

q1

Slika 8.21. Suma tokova prema voru 0 na elementu d)

( ) ( )( ) ( )

021

l2l

21

l2l

43

02022

01011

====

==

qq

q

q

00214321 021

21

21

21 =

++=+++ qqqq

221

0+=

b)

o

2

41

5l/2 l/2

l

q2

q4

q5

q1

3

q3

Slika 8.22. Suma tokova prema voru 0 na elementu b)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )05055

04044

03033

02022

01011

llll

21

l2l

21

l2l

ll

==

==

==

==

==

q

q

q

q

q

0054321

54321

01121

211

21

21

0

=

++++++++=++++ qqqqq

( )

82 32541

0++++=

Interpolacijom izraunatih vrijednosti i preklapanjem ekvipotencijala i strujnica dobije se strujna mrea iz koje je mogue odrediti gradijente brzina i koliinu procjedne vode.

114


Slika 8.23. Strujna mrea

- protok:

1tgkQ

(m) 1a

)/s/m'(m baLkQ

5

1

3

==

=

b tg= L

.

.

Q

=123 =122.5L

b

0.4=

0.2=

Slika 8.24. Element iz srujne mree Zadatak 8.2: Treba odrediti raspored tlakova na zid i koliinu vode koja se procjeuje po m zida! Zadano je: a = 2.0 (m) k = 10-3 (m/s) q = ?

k

1

2

3

6

8

4

5 7

6.0

10.0

2.0

2.0

2.0

Rjeenje:

gpz +=

Potencijal jednak je zbroju geodetske kotetoke i tlane visine na istom mjestu.

AL

kAvQ 12 ==

Slika 8.24. Procjeivanje ispod zida Jednadbe za vorove: 1) SUMA TOKOVA PREMA VORU 1=0

12.0

2.01.0

( ) ( ) ( )

12

1211

1211

430010220

k20

211

k2

1110k

21210

k

=+=++

=++

430 2

1+= ... (1)

Slika 8.25. Suma tokova prema voru 1

115


2)

2

( )02220

20112

122

122

1011

2243221

2423221

=+++=+++

6220 431

2+++= ... (2)

Slika 8.26. Suma tokova prema voru 2 3)

3

( )042210

202

112

122

1011

35323

35323

=++=++

4210 52

3++= ... (3)


4) 4

2 6524

++=

5) 4

2 7435

++=

6) 6

212 8476

+++=

7) 4

62 657

++= 8)

8


26

02

611

211

68

886

+=

=+

Da bi se dobilo rjeenje potencijala u svim tokama, potrebno je rijeiti 8 jednadbi s 8 nepoznanica. Jedan od naina rjeavanja je iteracijom. U svakom voru pretpostave se vrijednosti potencijala. Nove vrijednosti potencijala dobivaju se sukcesivnim rjeavanjem 8 jednadbi s po jednom nepoznanicom, prema gore izvedenim izrazima. Nekoliko koraka u iterativnom postupku prikazano je u sljedeoj tablici. Tablica 8.4. Iteracija vrijednosti potencijala u vorovima

1 2 3 4 5 6 7 8 9.7 9.2 9.0 8.0 8.0 6.9 7.0 6.3 9.8 9.3 9.15 8.05 8.06 6.73 6.88 6.36

9.83 9.36 9.20 8.05 8.05 6.70 6.86 6.35 9.84 9.38 9.20 8.04 8.04 6.68 6.85 6.34 9.85 9.38 9.20 8.03 8.03 6.68 6.85 6.34 9.85 9.38 9.20 8.03 8.03 6.68 6.85 6.34

. . . . . . . .

. . . . . . . . 9.844 9.375 9.192 8.020 8.020 6.674 6.842 6.337

116


gpz += zg

p =

6.0

10.0

7.375

5.844

4.0

7.3756.020

4.674

2

4.674

2.337

Slika 8.29. Tlakovi na zid - protok:

)/s/m'(m 101.2644

kq

222k11

222k11q

337362

75536442

=

+=

+++

++=

117

Documents

Podzemne_vode_potencijalnoStrujanje