Prof. dr Esad Jakupović

Teorija igara je matematička teorija konfliktnih situacija. Veoma je teško precizirati šta se u realnom životu podrazumeva pod konfliktnom situacijom. Najopštije, može se reći da je konflikt, situacija u kojoj dolazi do sukoba interesa pojedinih učesnika. Preciznije, pod konfliktnom situacijom podrazumjevamo svaka situacija u odnosu na koju ima smisla da se postave sljedeća pitanja: ko i kako učestvuje u njoj, koji su njeni mogućni ishodi, ko je za pojedine od tih ishoda zainteresovan i u čemu se sastoji ta zairiteresovanost.Osnovni pojam teorije igaraje igra.

Igra je matematički model realne konfliktne situacije.

Igra se od realne konfliktne situacije razlikuje prvenstveno po tome što se odvija po tačno utvrđenim pravilima igre.

U realnom konfliktu pravila ponašanja učesnika nisu u potpunosti precizirana.

Osim toga, učesnici vođeni svojim interesima mogu i da prekrše eventualno postojeća pravila.

Osnovni zadatak teorije igara je određivanje optimalnog načina ponašanja u uslovima konflikta (koji mogu uz to biti komplikovani i prisustvom slučajnih pojava).

Temelje teorije igara je postavio J. von Neumann 1928. god.

Preteča teorije igaraje E. Zermelo, koji je 1912. god. na primjeru zahavske igre izveo jednu važnu teoremu teorije igara.

Teorija igara se primenjuje prvenstveno u ekonomskim i vojnim naukama ali takođe i u tehničkim

Definicija pojma igre u najbpštijem slučaju izlazi iz okvira ove knjige. Umjesto toga opisaćemo jednu specijalnu klasu igara, tzv. matrične igre ili igre dva igrača sa zbirom nula. Na primjeru ovakvih igara izložićemo osnovne pojmove i probleme teorije Igara. Matrična igra je određena matricom

čiji su elementi realni brojevi.

U igri učestvuju dva igrača X i Y. Igrač X bira jednu od vrsta matrice A a igrač Y jednu od njenih kolona. Izbor vrste i kolone vrši se nezavisno, tj. prilikom izbora nijedan od igrača ne zna šta će onaj dragi izabrati. Ako je igrač X izabrao i-tu vrstu a igrač Y j-tu. kolonu, broj aij izražava dobitak igrača X, odnosno gubitak igrača Y.

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

n

n

m m mn

a a aa a a

A

a a a

Veličina — aij predstavlja dobitak igrača Y. Naziv »igre dva igrača i zbirom nula« potiče otuda što je zbir dobitaka igrača X i Y jednak nuli. Izborom vrste (igrač X) i kolone (igrač Y) i utvrđivanjem dobitka odnosno gubitka pojedittih igrača igra je završena.Kako treba igrati ovu igru ? Odgovor na ovo pitanje daćemo postupno. Definisaćemo najprije pojam strategije.U proizvoljnoj igri pod strategijom nekog igrača podrazumjeva se skup pravila, fiksiranih prije početka igre, na osnovu kojih igrač određuje svoje postupke u toku igre. (Podrazumeva se da se igra u opštem slučaju sastoji od više postupaka — poteza — koje izvode igrači te svaki igrač treba više puta u toku igre da donosi odluku o tome kako da nastavi igru).Kod matričnih igara svaki igrač izvodi tačno jedan potez — izbor vrste ili kolone. Strategija igrača X koja, kada se primjeni u igri, dovodi do toga da igrač X izabere i-tu vrstu označava se sa xi. Analogno tome, yj je strategija igrača Y čijom primjenom u igri igrač Y bira j-tu kolonu.

Ovakve strategije igrača se nazivaju čiste strategije.

Osim čistih, postoje i druge strategije, o kojima će kasnije biti riječi.

Određivanje najboljih strategija zavisi od principa optimalnosti koji se uzima u obzir.

Najčešće se usvaja kao princip da igru treba igrati tako da se postigne što je mogućno veći dobitak, odnosno da se gubitak svede na minimum.

Uređen par strategija igrača X i Y pomoću kojih igrači X i Y postižu ovaj cilj naziva, se rješenja igre a takve strategije se nazivaju optimalne strategije.

Rješenje igre U opširnom slučaju ne mora biti jedinstveno.

Posmatrajmo najprije matričnu igru u kojoj igrači primjenjuju samo čistestrategije.Pri izboru strategije svaki od igrača mora da računa sa najboljim mogućim odgovorom protivnika. Ako igrač X izabere xi on mora da očekuje da će Y odabrati takvu strategiju yj pri kojoj ja aij, minimalni element i-te vrste matrice A. Takvim izborom Y minimizira svoj gubitak. Zbog toga će X izabrati onu vrstu za koju je minimalan broj iz vrste najveći. Za nalaženje optimalne strategije potrebno je, dakle, odrediti broj dat pomoćuNeka je =ai1j1, Ako igrač X odabere vrstu i1 njegov dobitak ne može biti manji od bez obzira na način igigre protivnika. Strategija xi1 , naziva se maksiminska strategija.Na sličan način se ustanovljava da igrač Y treba da odabere kolonu u kojoj se nalazi elemenat jednak veličini definisanoj saOvakva strategija naziva se minimaksna.

maxmin .ijjiv av

v

v minmax .ijj iv a

Na ovaj način Y obezbeđuje da njegov gubitak ne bude veći od .Veličina naziva se donja cijena igre ili maksimin a veličina gornja cijena igre ili minimaks.

Teorema 1. Za svaku matričnu igru važi ≤

Dokaz. Neka je = ai1j1 i = ai2j2.

Tada je ≤ ≤ čime je teorema dokazana.

Teorema 2. Ako matrica igre ima sedlastu tačku na mjestu (i1 ,j0), jedna od optimalnih strategija igrača X je xi0 a jedna od optimalnih strategija igrača Y je yj0. Dobitak igrača X, odnosno gubitak igrača Y, jednak je cijeni igre v= ai0j0.

vv

v v

v v

1 1 maxmini j ijjia a 1 2i ja 2 2minmax ,ij i jj i

a a

Dokaz. Dokazaćemo samo da igrač X nema bolju strategiju od xi0. Ostalo je na osnovu ovog očigledno.Igrač X mora da računa sa tim da će Y igrati najbolje. Zbog toga on mora pretpostaviti da će Y izabrati strategiju yj0 jer mu ta strategija garantuje najmanji gubi tak. Ako X izabere strategiju xi njegov dobitak će bili aij0. Pošto je na mestu (i1 ,j0) sedlasta tačka matrice igre. dobijamo aij0

≤ ai0j0. Stoga xi nije boija strategija od xj0.

Primjer 5. Neka je igra određena sljedećom matricom:

Desno od matrice su navedeni minimalni elementi u pojedinim vrstama a ispod matrice maksimalni elementi iz pojedinih kolona. Očigledno jeSedlasta tačka je označena u matrici igre. Optimalna strategija igraća X je x2 a optimalna strategija igrača Y je y3. Cijena igre je v=5.

10 1 2 1 16 8 5 6 52 4 4 8 2

10 8 5 8

maxmin minmax 5.ij ijj ji ia a

Posmatrajmo igru određenu matricomOva matrica ne poseduje sedlastu tačku jer je ,dok je .Ako igrač X primenjuje maksiminsku strategiju x1 on ima zagarantovan dobitak ne manji od 1. Slično tome, ako Y primjenjuje minimaksnu strategiju y2, njegov gubitak ne može bili veći od 2. Međutim, ako se igra ponavlja i ako Y uoči da X stalno primje njuje strategiju x1, Y može da pređe na strategiju y1 i na taj način smanji svoj gubitak sa 2 na 1. Ali lada X može da primjeti daje Y promjenio strategiju pa da i sam pređe na novu strategiju, tj. x1 i poveća dobitak na 3. No, tada bi Y ubrzo prešao na y2 i smanjio gubitak sa 3 na 0 itd. Vidi se da prilikom većeg broja odigravanja igre koja nema sedlastu tačku igrači ne smiju da se stalno pridržavaju određenih čistih strategija.Međutim, mjenjanje strategija ne smije da se vrši po nekom unapred utvrđenom sistemu jer bi protivnik eventualno mogao na neki način da se upozna sa tim sistemom i na odgovarajući način podesi primjenu svojih strategija u svoju korist.

1 2.

3 0

minmax 2.ijj ia maxmin 1ijji

a

Stoga se izbor čiste strategije mora prepustili slučaju. Igrač treba samo da odredi sa kojim vjerovatnoćama će podesno odabran slučajni mehanizam (na primjer, izvlačenje raznobojnih kuglica iz urne) da određuje pojedine čiste strategije.Neka u gornjem primjeru igrač X odabire (pomoću slučajnog mehanizma) strategiju x1 sa vjerovatnoćom p1 a strategiju x2 sa vjerovatnoćom p2. Slično tome, neka Y odabire strategije y1 i y2 sa vjerovatnoćama q1 i q2 respektivno. Pri ovom važi p1+p2 = 1 q1 +q2= 1.Odredićemo optimalne vrijednosti ovih vjerovatnoća za igrače X i Y.Sa vjerovatnoćom p1q1 desiće se da igrač X izabere strategiju x i da Y izabere strategiju y1. Dobitak igrača X iznosi tada 1. Slično tome, sa vjerovatnoćom p1q1 igrač X ostvaruje dobitak 2, sa vjerovatnoćom p2 q1 dobitak 3 i sa vjerovatnoćom p2q2 dobitak 0. Srednja vrijednost dobitka igrača X iznosi

1 1 1 2 2 1 2 21 2 3 0 .D p q p q p q p q

Iz ovih relacija dobija se izraz

Vidi se da je za igrača X optimalno da izabere , dok je za igrača Y optimalna vrijednost . Na taj način srednja vrijednost dobitka igrača X odnosno srednja vrijednost gubitka igrača Y iznosi D= Ako bi, na primjer, igrač X izabrao , igrač Y bi mogao, pogodnim izborom veličine q1, svoj gubitak da smanji ispod . (Za p1> treba uzeti q1 =1 a u suprotnom slu čaju q1 =0).Na opisanom primjeru se vidi da kod igara bez sedlaste tačke ne postoje opti malne čiste strategije. Najbolji rezultati se postižu ako se pojedine čiste strategije primjenjuju sa određenim vjerovathoćama. Tako dolazimo do poimanja kombinovane strategije.

Teorema 1. Svaka matrična igra ima rešenje u skup u kombinovanih strategija. Ovo je rezultat J. von Neumanna iz 1928. god.

1 13 3 14 .2 4 2

D p q

134

p 1

12

q

32

134

p 323

4

Opisaćemo ukratko tzv. igre na gra fovima pri čijoj analizi pojam jezgra igra važnu ulogu.Igru igraju dva igrača tako što naizmenično biraju čvorove zadatog grafa.Najpre se žrebom ili na drugi način određuje jedan čvor grafa. Prvi igrač može da izabere čvor do koga se može stići granom iz početnog čvora; drugi igrač bira između čvorova u koje vode grane iz čvora koji je izabrao prvi igrač itd. Igru gubi onaj koji ne može više da izabere nijedan čvor.Sljedeći stav može da pomogne prilikom igranja ovakvih igara. Teorema 1. Igrač koji izabere čvor iz jezgra grafa ne može (pri pravilnoj igri) da izgubi.Dokaz. Neka je igrač A izabrao čvor iz jezgra. Pošto je jezgro unutrašnje stabilni skup, igrač B mora da izabere čvor van jezgra. Igrač A pri ovom ne može da izgubi, jer je jezgro i spoljasnje stabilni skup, pa iz svakog čvora van jezgra vodi bar jedna grana u neki čvor iz jezgra. Pošto A ponovo izabere čvor u jezgru situacija se ponavlja, te A ne može da izgubi igru.Ovim je teorema dokazana.

Primjer 1. Na stolu je poredano 15 šibica, igrači A i B uzimaju naizmenično po jednu, dve ili tri šibice. Gubi onaj ko ne može da uzme više nijednu šibicu kada dođe na red. Kako treba igrati ovu igru?Igra se može interpretirati kao igra na grafu sa sl. 1.Čvor x1 (i=0,1, ... , 15) označava stanje igre: »na stolu se nalazi i šibica«. Čvorovi jezgra su označni na crtežu kvadratićima. U ovom slučaju igrač koji izabere čvor iz jezgra dobiju igru.

Napomenimo da ne mora svaki graf da poseduje jezgro i da jezgro ne mora biti jedinstveno.