POSPLOŠENI LATINSKI KVADRATI - CORE · 2020. 1. 30. · Latinski kvadrat reda n je n × n tabela napolnjena z n različnimi znaki, tako da se vsak znak pojavi le enkrat v vsaki vrstici

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO

DIPLOMSKO DELO

POSPLOŠENI LATINSKI

KVADRATI

Mentorica: Izdelal:

izr. prof. dr. Petra Žigert Boštjan POGAČ

Muta, april 2009

Boštjan Pogač 2

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorici izr. prof. dr. Petri Žigert za pomoč, vodenje in koristne nasvete pri opravljanju diplomskega dela. Posebna zahvala gre moji družini, saj mi brez njihove podpore in pomoči vsega tega nebi uspelo doseči. Hvala vsem, da ste mi stali ob strani in mi omogočili dokončanje študija.

Boštjan

Boštjan Pogač 3

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO ODDELEK ZA MATEMATIKO IN RAČUNALNIŠTVO

IZJAVA

Podpisani BOŠTJAN POGAČ , roj. 25.11.1984, študent Fakultete

za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, študijskega programa MATEMATIKA in… , izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom

POSPLOŠENI LATINSKI KVADRATI

pri mentorici izr. prof. dr. Petri Žigert , avtorsko delo.

V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti

niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.

____________________________

Maribor, april 2009

Boštjan Pogač 4

PROGRAM DIPLOMSKEGA DELA

Diplomska naloga naj obravnava posplošene latinske kvadrate in njihove

lastnosti.

Literatura:

Mészáros, K. (2008): Generalized Latin squares and their defining sets, Discrete

Mathematics, Volume 308, Issue 12, Pages 2366-2378.

izr. prof. dr. Petra Žigert

Boštjan Pogač 5

POGAČ, BOŠTJAN: Posplošeni latinski kvadrati.

Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in

matematiko, Oddelek za matematiko in računalništvo, 2009.

POVZETEK

Posplošeni latinski kvadrat reda n je n × n tabela števil 1, 2, 3, … , k, taka, da se

vsako število pojavi le enkrat v vsaki vrstici in le enkrat v vsakem stolpcu. Naj

L(n,k) označuje množico vseh posplošenih latinskih kvadratov tipa (n,k).

Posplošeni latinski kvadrat tipa (n,k) je n x n kvadrat, ki je pobarvan s k barvami

označenimi z 1, 2, … , k, tako, da se nobena barva ne pojavi dvakrat v vrstici ali

stolpcu. Takšno barvanje imenujemo k-barvanje. Določitvena množica k-barvanja

kvadrata reda n je množica pobarvanih celic tega n x n kvadrata takih, da lahko

k-barvanje enolično razširimo do kvadrata iz L(n,k). Določitveno število,

označeno z d(n,k), je moč najmanjše določitvene množice.

Barvanje kvadrata je poimenovano delno barvanje, če niso vse celice kvadrata

nujno pobarvane. Celice, ki jim delno barvanje ni pripisano, so nepobarvane.

Delno barvanje je enolično razširljivo do L(n,k), če je obstaja natanko ena pot do

razširitve kvadrata iz L(n,k).

V diplomskem delu bomo obravnavali lastnosti d(n,k) za k = 2n – 1 in k = 2n – 2.

Dokazali bomo enakost nnnnd 2)12,( , ki velja za vsak sodi n, in neenakost

58)22,( 2 nnnnd .

KLJUČNE BESEDE: - posplošeni latinski kvadrati reda n, določitveno število d(n,k), delno barvanje.

Math. Subj. Class. (2000): 05A05, 05A19

Boštjan Pogač 6

POGAČ, BOŠTJAN: Generalized Latin squares.

Graduation thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and

Mathematics, Department of Mathematics, 2009.

ABSTRACTS

A generalized Latin square of type (n,k) is an n x n array of symbols 1, 2, …, k

such that each of these symbols occurs at most once in each row and each column.

Let L(n,k) denote the set of all generalized Latin squares of type (n,k). Let d(n,k)

denote the cardinality of the minimal set S of given entries of an n x n array such

that there exist a unique extension of S to a generalized Latin square of type (n,k).

A coloring of a square is called partial coloring if not all of the cells of the square

are necessarily colored. The cells to which the partial coloring does not assign a

color are said to be uncolored. A partial coloring is said to extend to L(n,k) if there

is a way to color the uncolored cells of given n x n square such that the resulting

entirely colored square is in L(n,k). A partial coloring uniquely extends to

L(n,k) (can be uniquely extended) if there is exactly one way to extend it to a

square in L(n,k).

In this diploma work we will discuss about the properties of d(n,k) for 12 nk

and 22 nk . The alternate proof of the identity nnnnd 2)12,( , which

holds for even n, and

58)22,( 2 nnnnd will be given.

KEY WORDS: - generalized Latin squares, minimum defining set d(n,k), partial coloring.

Boštjan Pogač 7

KAZALO VSEBINE 1 UVOD............................................................................................ 8

2 OSNOVNI POJMI O LATINSKIH KVADRATIH........................ 9

2.1 DEFINICIJA LATINSKIH KVADRATOV ................................ 9 2.2 DEFINICIJA POSPLOŠENIH LATINSKIH KVADRATOV ...13

3 LASTNOSTI POSPLOŠENIH LATINSKIH KVADRATOV.......15

3.1 KONSTRUKCIJA ZA d(n, 2n – 1) = n2 – n ..............................15 3.2 LASTNOSTI POSPLOŠENIH LATINSKIH KVADRATOV

TIPA L(n, 2n - 2)......................................................................20 3.3 SPODNJA MEJA DOLOČITVENEGA ŠTEVILA

d(n, 2n – 2)................................................................................37 3.4 POSTOPEK KONSTRUKCIJE ZA n = 5..................................49 3.5 POSTOPEK KONSTRUKCIJE ZA n = 10k. ............................ 55

4 POVZETKI IN ZAKLJUČNE MISLI ...........................................63

5 KAZALO SLIK.............................................................................64

6 LITERATURA..............................................................................66

Boštjan Pogač 8

1 UVOD

V diplomskem delu želimo predstaviti lastnosti posplošenih latinskih kvadratov

tipa )22,( nnL , kar pomeni n x n kvadrat pobarvan z 22 n barvami. Samo

diplomsko nalogo bomo razdelili na tri dele.

V uvodnem delu bomo na kratko predstavili osnovne pojme in definicije o

latinskih kvadratih ter o posplošenih latinskih kvadratih. Definirali bomo vse

potrebne pojme, ki nam bodo kasneje pomagali pri samem dokazovanju

rezultatov.

V osrednji del diplomskega dela bomo zajeli lastnosti posplošenih latinskih

kvadratov tipa )22,( nnL . To poglavje bomo razdelili na pet podpoglavij. V

prvem bomo podali konstrukcijo za določitveno število d(n,k) za 12 nk . Poleg

dokazov bomo podali tudi nekaj konkretnih primerov. V drugem podpoglavju

bomo obravnavali lastnosti posplošenih latinskih kvadratov tipa )22,( nnL . V

tretjem podpoglavju pa bomo definirali spodnjo mejo za določitveno število d(n,k)

za 22 nk . Tukaj si bomo pomagali s pomožnim izrekom, s pomočjo katerega

bomo dokazali spodnjo mejo določitvenega števila. V četrtem in petem

podpoglavju pa bomo prikazali konstrukcijo za enolično razširjanje delno

pobarvanih kvadratov do )22,( nnL za 5n in kn 10 . Pri konstrukciji za

kn 10 si bomo pomagali z delnimi latinskimi kvadrati reda 5n .

Glavni namen diplomskega dela je dokazati, da lahko pobarvamo n x n kvadrat,

za 5n in kn 10 z 22,...,3,2,1 n različnimi barvami in z natančno 5

8n

nepobarvanimi celicami tako, da bo enolično razširljiv do nekega posplošenega

latinskega kvadrata iz množice )22,( nnL . Dokazati torej želimo, da je

določitveno število 5

8)22,( 2 nnnnd .

Boštjan Pogač 9

2 OSNOVNI POJMI O LATINSKIH

KVADRATIH

2.1 DEFINICIJA LATINSKIH KVADRATOV

Latinski kvadrat reda n je n × n tabela napolnjena z n različnimi znaki, tako da

se vsak znak pojavi le enkrat v vsaki vrstici oziroma enkrat v vsakem stolpcu.

Slika 1: Zgleda latinskega kvadrata reda 4 in 5.

Zapis: Če vsak element latinskega kvadrata zapišemo kot trojico (r, c, s), kjer je r

vrstica, c stolpec in s simbol, dobimo množico n2 trojk, ki se imenuje zapis

latinskega kvadrata v obliki vrste.

Tak zapis zgornjega prvega latinskega kvadrata je:

(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), (1, 4, 4), (2, 1, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 1), (2, 4, 4), (3, 1,

3), (3, 2, 4), (3, 3, 2), (3, 4, 1), (4, 1, 4), (4, 2, 1), (4, 3, 3), (4, 4, 2) , kjer, na

primer, trojka (3,4,1) pomeni, da se v 3. vrstici in 4. stolpcu nahaja element 1.

1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

a b c d e b a e c d c d b e a d e a b c e c d a b

Boštjan Pogač 10

Lahko pa latinski kvadrat zapišemo tudi kot (3 x n2) vrstično polje.

R 1 1 1 2 2 2 3 3 3 C 1 2 3 1 2 3 1 2 3 S 1 3 2 2 1 3 3 2 1

Slika 2: 3 × 32 vrstično polje latinskega kvadrata reda 3.

Latinski kvadrat je skrčen, če sta tako prva vrstica kot prvi stolpec naravno

urejena (npr.: števila po vrstnem redu, črke po abecedi,…). Oba latinska kvadrata

na sliki 1 sta skrčena, saj sta v vsakem od njiju prva vrstica ter stolpec urejena (pri

prvem 1, 2, 3, 4, pri drugem pa a, b, c, d, e). Medtem ko latinski kvadrat na sliki 2

ni skrčen. Vsak latinski kvadrat lahko s permutacijami prevedemo na skrčeno

obliko.

Delni latinski kvadrat reda n dobimo tako, da zapolnimo nekatere celice n × n

kvadrata s števili n,...,2,1 tako, da se vsako pojavi kvečjemu enkrat v vsaki vrstici

in vsakem stolpcu.

Slika 3: Delni latinski kvadrat reda 4.

Delni latinski kvadrat najlažje dopolnimo do latinskega kvadrata tako, da vrstico

ciklično premikamo v levo. Takšen latinski kvadrat imenujemo ciklični latinski

kvadrat.

→ Slika 4: Ciklični latinski kvadrat.

1 3 2 2 1 3 3 2 1

1 2 3 3 1 1 1 2

4 1 3 2

4 1 3 2 1 3 2 4 3 2 4 1 2 4 1 3

Boštjan Pogač 11

Število latinskih kvadratov:

Vsaj trenutno še ne poznamo nobene lahko izračunljive formule za izračun števila

latinskih kvadratov velikosti n × n. Vemo pa, da je to enako:

nInn )!1(! ,

kjer je In število skrčenih latinskih kvadratov.

n skrčeni latinski kvadrati reda n vsi latinski kvadrati reda n 1 1 1 2 1 2 3 1 12 4 4 576 5 56 161280 6 9408 812851200 7 16942080 61479419904000 8 535281401856 108776032459082956800 9 377597570964258816 5524751496156892842531225600 10 7580721483160132811489280 9982437658213039871725064756920320000

11 5363937773277371298119673540771840

776966836171770144107444346734230682311065600000

Slika 5: Tabelarični prikaz števila skrčenih in vseh latinskih kvadratov.

Primer skrčenih latinskih kvadratov za n = 4.

Slika 6: Vsi možni skrčeni latinski kvadrati reda n =4.

1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 2 1 4 3 1 2

1 2 3 4 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1

1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1

Boštjan Pogač 12

Ostale verzije latinskih kvadratov

Ena od različic latinskega kvadrata, ki je dandanes zelo popularna, se imenuje

sudoku. Pri tej verziji imamo latinski kvadrat reda 9 × 9, za katerega poleg ostalih

pravil za latinske kvadrate velja še, da se morajo vsa števila od 1 do 9 pojaviti v

vsakem od 9 kvadratov velikosti 3 × 3, ki sestavljajo sudoku. Sudoku se je prvič

pojavil leta 1979, ko ga je sestavil Howard Garns. Vsak sudoku je enolično

rešljiv.

Slika 7: Primer sudokuja.

Druga verzija neke vrste latinskega kvadrata pa je futoshiki. Futoshiki je igra, pri

kateri rešujemo delno izpolnjen latinski kvadrat reda 5. Že rešenim poljem so

dodane tudi oznake < in >. Za razliko od sudokuja futoshikiji niso enolično

rešljivi in nikdar niso dosegli priljubljenosti sudokuja.

Slika 8: Primer futoshikija (levo) ter ena od njegovih rešitev (desno).

Boštjan Pogač 13

2.2 DEFINICIJA POSPLOŠENIH LATINSKIH

KVADRATOV

Posplošeni latinski kvadrat je n × n tabela števil 1, 2, 3, …, k, taka, da se vsako

število pojavi le enkrat v vsaki vrstici in le enkrat v vsakem stolpcu.

Naj L(n,k) označuje množico vseh posplošenih latinskih kvadratov tipa (n,k).

Posplošeni latinski kvadrat tipa (n,k) je n x n kvadrat, ki je pobarvan s k barvami

označenimi z 1, 2, … , k, tako da se nobena barva ne pojavi dvakrat v vrstici ali

stolpcu. Takšno barvanje imenujemo k-barvanje.

Termin celica se nanaša na vsako pozicijo v kvadratu. Termin vstop uporabimo,

da označimo barvo, ki se pojavi v celici.

Označimo stolpce n x n kvadrata od leve proti desni in vrste od vrha proti dnu s

številkami 1, 2, 3 ,…, n tako, da bomo imeli primeren način označevanja celic v

kvadratu. Celico, ki leži v preseku i-te vrstice in j-tega stolpca, bomo označili z

(i,j).

Barvanje kvadrata je poimenovano delno barvanje, če niso vse celice kvadrata

nujno pobarvane. Celice, ki jim delno barvanje ne določi barve, so nepobarvane.

Delno barvanje je razširljivo do L(n,k), če obstaja tako barvanje nepobarvanih

celic n x n kvadrata, da je dobljeni kvadrat iz množice L(n,k). Delno barvanje je

enolično razširljivo do L(n,k), če obstaja natanko eno razširjanje delno

pobarvanega kvadrata.

Označimo unijo i-te vrstice in j-tega stolpca z u(i,j). Razpoložljiva barva za

nepobarvano celico (i,j), ( nji ,1 ) delno pobarvanega kvadrata A je ena od

k-barv, ki se ne pojavi kot barva, ki vstopa v u(i,j). Torej, če želimo govoriti o

razpoložljivih barvah, moramo podrobneje preučiti posplošene latinske kvadrate

tipa (n,k). Množico barv, ki so na voljo za barvanje nepobarvanih celic (i,j)

označimo z a(i,j). Barvo že pobarvane celice (i,j) pa označimo s c(i,j).

Boštjan Pogač 14

Določitvena množica k-barvanja kvadrata reda n je množica pobarvanih celic tega

n x n kvadrata takih, da lahko k-barvanje enolično razširimo do kvadrata iz L(n,k).

Določitveno število, označeno z d(n,k), je moč najmanjše določitvene množice.

Določitvena množica 5-barvanja kvadrata reda 4 je predstavljena na sliki 9.

Določitveno število za ta primer je:

13)5,4( d

→

Slika 9: Primer 5-barvanja kvadrata reda 4 in njegovo razširjanje.

Za primer 12 nk je določitveno število 2),( nknd . Če bi imeli samo eno

celico nepobarvano, bi imeli zanjo na voljo vsaj dve različni barvi, kar pa

nasprotuje enoličnemu razširjanju do L(n,k). Zato je določitveno število za primer

12 nk res 2),( nknd . Kakorkoli, primer 12 nkn ni trivialen. Še več,

za 12 nkn vrednosti določitvenega števila d(n,k) niso znane. Številni

matematiki so že raziskovali vrednosti določitvenega števila )12,( nnd in

dokazali, da je nnnnd 2)12,( za vsak sodi n, medtem ko je

1)12,( 2 nnnnd za vse lihe n.

3 2 1 4 1 2 2 4 5 1 5 2 4

3 2 1 5 4 1 3 2 2 4 5 1 1 5 2 4

Boštjan Pogač 15

3 LASTNOSTI POSPLOŠENIH

LATINSKIH KVADRATOV

3.1 KONSTRUKCIJA ZA d(n, 2n – 1) = n2 – n

M. Mahdian in E. S. Mahmoodian sta leta 2000 v knjigi The roots of an IMO97

problem pokazala, da za sode n velja naslednji izrek.

IZREK 3.1.1 nnnnd 2)12,(

Delno barvanje n x n kvadrata A ne more biti enolično razširjeno do L(n,k),

posebej če vsebuje več kot n nepobarvanih celic. To kaže, da je

nnnnd 2)12,( . Torej, če poiščemo delno barvanje n x n kvadrata z natančno

n2 – n pobarvanimi celicami, kjer je n sodo število, ki so lahko enolično razširjene

do )12,( nnL , nato dokažemo identiteto nnnnd 2)12,( za vsak sodi n. To

smo izvršili v naslednjem postopku.

DOKAZ:

Dan imamo n x n kvadrat A. Označimo unijo i-te vrstice in j-tega stolpca z

))1(,(|),{(),( nwihwhjiu ali ))}1(;( nhjw . Pobarvamo naš

kvadrat A z 2n – 1 različnimi barvami (1, 2, 3, … , 2n – 1).

Pobarvamo celice (i,j) kvadrata A, kjer je ni in ji z barvo )1(mod nji .

To delno barvanje zagotavlja, da so vstopi v u(i,i) različni. Za 2n uporabljenih

barv so barve )1}(mod)1(,...,)2(,)1(),1(,...,2,1{ niniiiiiiii .

Če je )1(mod21 njiji ; )1,1( 21 njj , potem je tudi )1(mod21 njj ,

in sledi 21 jj . Nato pobarvamo celice (n,i), kjer je 11 ni , z barvo

i2 )1(mod n , zaradi česar imajo vstopi 1,...,2,1 n v ),( iiu barve

Boštjan Pogač 16

)1}(mod)1(,...,)2(,)1(,),1(,...,2,1{ niniiiiiiiiii}1,...,3,2,1{ n .

Tukaj upoštevamo, da so barve 1,...,2,1 n , ki vstopajo v n-to vrstico

)11),,(( niin različne, ker je )1(mod22 21 nii , ko je n sodi in

1,1, 2121 niiii .

Po dosedanjem postopku pobarvane celice v u(i,i) vsebujejo različne barve. Nato

pobarvamo celice (j,i) z barvo k + n, če ima celica (i,j) barvo k. To povzroči delno

barvanje A tako, da ni nobenih barv na glavni diagonali, ampak so za vsak

ni ,...,3,2,1 , 22 n vstopi iz u(i,i), barvani z množico barv 12,...,3,2,1 n \{n}.

Zato je edina možna barva za celice na glavni diagonali barva n.

Zato zgornji postopek predvideva delno barvanje n x n kvadrata, za vsak sodi n, ki

je enolično razširljivo do L (n, 2n – 1). S tem smo dokazali nnnnd 2)12,(

za vsak sodi n.

PRIMER 3.1.2 Pokažimo konstrukcijo iz izreka 3.1.1 za 3066)11,6( 2 d .

Imamo 6 x 6 kvadrat. Pobarvamo torej celice (i, j) kvadrata A, kjer je ni in

ji z barvo )1(mod nji . Dobimo naslednje:

(2,1) = 2 + 1 (mod 5) = 3

(3,1) = 4 (mod 5) = 4

(3,2) = 5 (mod 5) = 5

(4,1) = 5 (mod 5) = 5

(4,2) = 6 (mod 5) = 1

(4,3) = 7 (mod 5) = 2

(5,1) = 6 (mod 5) = 1

(5,2) = 7 (mod 5) = 2 Slika 10: Barvanje celic (i,j), jiji ,

(5,3) = 8 (mod 5) = 3 z barvo i + j (mod 5) 6 x 6 kvadrata.

(5,4) = 9 (mod 5) = 4

3 4 5 5 1 2 1 2 3 4

Boštjan Pogač 17

Nato sledimo postopku in pobarvamo celice (n, i), kjer je 11 ni , z barvo

i2 )1(mod n . Torej dobimo:

(6,1) = 12 (mod 5) = 2

(6,2) = 22 (mod 5) = 4

(6,3) = 32 (mod 5) = 1

(6,4) = 42 (mod 5) = 3

(6,5) = 52 (mod 5) = 5 Slika 11: Barvanje celic (n,i) z barvo 2i (mod 5).

Zopet sledimo postopku in pobarvamo celice (j,i) z barvo k + 6, če ima celica (i,j)

barvo k. Torej dobimo:

(i,j) = k → (j,i) = k + 6

(2,1) = 3 → (1,2) = 3 + 6 = 9

(3,1) = 4 → (1,3) = 4 + 6 = 10

(3,2) = 5 → (2,3) = 5 + 6 = 11

(4,1) = 5 → (1,4) = 5 + 6 = 11

(4,2) = 1 → (2,4) = 1 + 6 = 7

(4,3) = 2 → (3,4) = 2 + 6 = 8

(5,1) = 1 → (1,5) = 1 + 6 = 7

(5,2) = 2 → (2,5) = 2 + 6 = 8

(5,3) = 3 → (3,5) = 3 + 6 = 9

(5,4) = 4 → (4,5) = 4 + 6 = 10 Slika 12: Barvanje celic (j,i) z barvo k + 6,

(6,1) = 2 → (1,6) = 2 + 6 = 8 če je k barva celice (i,j).

(6,2) = 4 → (2,6) = 4 + 6 = 10

(6,3) = 1 → (3,6) = 1 + 6 = 7

(6,4) = 3 → (4,6) = 3 + 6 = 9

(6,5) = 5 → (5,6) = 5 + 6 = 11

3 4 5 5 1 2 1 2 3 4 2 4 1 3 5

9 10 11 7 8 3 11 7 8 10 4 5 8 9 7 5 1 2 10 9 1 2 3 4 11 2 4 1 3 5

Boštjan Pogač 18

Z delnim barvanjem po zgornjem postopku smo dobili, da ni nobenih barv na

glavni diagonali. Zato je edina možna barva za celice na glavni diagonali barva

6n .

Po zgornjem postopku smo do sedaj pobarvali 30 celic našega kvadrata. Od te

točke naprej je naš kvadrat enolično razširljiv do L(6,11), kar pomeni, da je

3066)11,6( 2 d .

Kot že omenjeno, edina možna barva za celice na glavni diagonali je barva 6n .

Torej pobarvamo kvadrat z barvo 6 na glavni diagonali in tako dobimo posplošeni

latinski kvadrat.

Slika 13: Posplošeni latinski kvadrat reda n = 6.

Zgoraj omenjeni dokaz velja za vse sode n, torej bi si lahko izbrali poljuben sodi

n, in podobno kot po zgoraj izvedenem postopku za primer n = 6, pokazali, da je

določitveno število poljubnega n x n kvadrata z 12 n barvami res

nnnnd 2)12,( .

Poglejmo še en primer, le da si bomo tokrat izbrali primer za n = 8.

6 9 10 11 7 8

3 6 11 7 8 10

4 5 6 8 9 7

5 1 2 6 10 9

1 2 3 4 6 11

2 4 1 3 5 6

Boštjan Pogač 19

PRIMER 3.1.3 Pokažimo konstrukcijo iz izreka 3.1.1 za 5686488)15,8( 2 d .

Sledimo torej postopku barvanja in dobimo 56 pobarvanih celic, od tod pa je

potem 8 x 8 kvadrat enolično razširljiv do L(8,15). Dobimo 56 pobarvanih celic in

osem nepobarvanih celic na glavni diagonali. In edina možna barva na glavni

diagonali je barva n = 8.

Postopek:

Pobarvamo celice (i, j) kvadrata A, kjer je ni in ji z barvo

)7(modji .

Nato sledimo postopku in pobarvamo celice (n, i), kjer je 11 ni , z

barvo i2 )7(mod .

Zopet sledimo postopku in pobarvamo celice (j,i) z k + 8, če ima celica

(i,j) barvo k.

Slika 14: Posplošeni latinski kvadrat reda n = 8.

8 11 12 13 14 15 9 10

3 8 13 14 15 9 10 12

4 5 8 15 9 10 11 14

5 6 7 8 10 11 12 9

6 7 1 2 8 12 13 11

7 1 2 3 4 8 14 13

1 2 3 4 5 6 8 15

2 4 6 1 3 5 7 8

Boštjan Pogač 20

3.2 LASTNOSTI POSPLOŠENIH LATINSKIH

KVADRATOV TIPA L(n, 2n - 2)

V tem poglavju bomo dokazali, da lahko določena delna barvanja n x n kvadrata

A preprečijo enolično razširitev delnega barvanja do )22,( nnL . Določene

lastnosti tega delnega barvanja nam bodo omogočile dokazati, da je

58)22,( 2 nnnnd .

V n x n kvadratu A pomeni zamenjati i-to in j-to vrstico naslednje. Izberemo

celici (i,k) in (j,k), kjer nk 1 . Če sta celici (i,k) in (j,k) obe pobarvani,

zamenjamo njuni barvi. Če sta celici (i,k) in (j,k) obe nepobarvani, ne naredimo

ničesar. Če je celica (i,k) pobarvana, celica (j,k) pa ne, potem pobarvamo celico

(j,k) z barvo celice (i,k), celico (i,k) pa naredimo nepobarvano. Če pa je celica (j,k)

pobarvana in celica (i,k) ne, potem pobarvamo (i,k) z barvo celice (j,k) in

naredimo celico (j,k) nepobarvano. Zamenjavo i-tega in j-tega stolpca definiramo

na enak način. Preurediti kvadrat A pomeni zamenjati nekatere vrstice in stolpce.

Delno pobarvan kvadrat B, ki ga dobimo s preurejanjem delno pobarvanega n x n

kvadrata A, imenujemo preureditev od A. Dani delno pobarvan n x n kvadrata A

in njegov preurejen kvadrat B vodita do enoličnega razširjanja do L(n,k) natanko

tedaj, če delno barvanje kvadrata B vodi do enoličnega razširjanja do L(n,k).

Razpoložljiva barva za nepobarvano celico (i,j), ),1( nji delno pobarvanega

kvadrata A je ena od k-barv, ki se ne pojavi kot barva, ki vstopa v u(i,j). Torej, če

želimo govoriti o razpoložljivih barvah, moramo podrobneje preučiti posplošene

latinske kvadrate tipa (n,k).

Boštjan Pogač 21

LEMA 3.2.1 Če je možno delno pobarvan n x n kvadrat A enolično razširiti do

)22,( nnL , potem kvadrat A nima treh nepobarvanih celic v isti vrstici ali

stolpcu.

DOKAZ:

Predpostavimo nasprotno, torej da imamo v barvanju iz Leme 3.2.1 tri

nepobarvane celice v isti vrstici ali stolpcu, kar nas bo pripeljalo do protislovja.

Recimo, da imamo delno barvanje n x n kvadrata A, ki ga je možno enolično

razširiti do )22,( nnL in ima tri nepobarvane celice v isti vrstici ali istem

stolpcu. Brez izgube za splošnost lahko predpostavimo, da so celice (1,1), (1,2) in

(1,3) nepobarvane.

Pobarvamo vse do sedaj nepobarvane celice kvadrata A razen celice (1,1), (1,2) in

(1,3), glede na enolično razširitev do )22,( nnL . Delno barvanje pravkar

opisanega kvadrata A vodi do enoličnega razširjanja do )22,( nnL . Kakorkoli,

dokazati moramo, da če je možno delno barvanje omenjenega kvadrata A (z

edinimi nepobarvanimi celicami (1,1), (1,2) in (1,3)) razširiti do katerega koli

posplošenega latinskega kvadrata v )22,( nnL , je potem ta kvadrat možno

razširiti k več kot enemu posplošenemu latinskemu kvadratu v )22,( nnL . To pa

privede do protislovja z enoličnostjo razširitve barvanja.

Upoštevamo, da ima vsaka od teh treh celic (1,1), (1,2) in (1,3) na voljo najmanj

dve barvi, saj je maksimalno število različnih vnosov v uniji vrstic in stolpcev

n – 3 + n – 1 = 2n – 4, pri čemer pa uporabljamo 2n – 2 barvi.

Predpostavimo, da je eno število od )1,1(a , )2,1(a in )3,1(a vsaj 3. Brez izgube

za splošnost lahko predpostavimo, da je 3)1,1( a . Naj bo )3,1(, afe , fe .

Če določimo barvo celice c(1,3) = e, potem ostane na razpolago vsaj še ena barva

za barvanje celice (1,2), in od vseh treh razpoložljivih barv na začetku ostane vsaj

še ena barva za barvanje celice (1,1). Tako lahko dokončamo barvanje delno

pobarvanega kvadrata do posplošenega latinskega kvadrata )22,(1 nnLL .

Podobno lahko, če pobarvamo celico (1,3) z barvo f, dokončamo delno barvanje

Boštjan Pogač 22

kvadrata A do nekega drugega posplošenega latinskega kvadrata

)22,(2 nnLL . To pa je protislovje, saj po definiciji lahko iz delno

pobarvanega kvadrata A dobimo samo en posplošeni latinski kvadrat v

)22,( nnL .

Predpostavimo sedaj, da je 2)3,1()2,1()1,1( aaa . Naj bo baa ,)1,1( ,

},{)2,1( dca in },{)3,1( fea , fedcba ,, . Če sta kateri izmed teh

množic enaki, potem lahko pobarvamo te tri celice tako, da bodo vsebovane v

posplošenem latinskem kvadratu )22,(1 nnLL . Zatem pa lahko enostavno

permutiramo barvi teh dveh celic, ki imata enako množico razpoložljivih barv in

tako dobimo novo barvanje kvadrata, katero pa da nek novi posplošeni latinski

kvadrat )22,(2 nnLL . To pa je zopet v protislovju z enoličnim razširjanjem

do )22,( nnL . Še več, če imata kateri dve izmed množice barv a(1,1), a(1,2) in

a(1,3) prazen presek, potem lahko pobarvamo dve celici z množico razpoložljivih

barv na štiri možne načine in predvsem ena možnost uporabi obe barvi, ki sta bili

na začetku na voljo za barvanje tretje celice. Zaradi tega pa tukaj dobimo vsaj tri

različne posplošene latinske kvadrate v )22,( nnL . Iz tega sledi, da je edina

množica barv, ki so na voljo, da lahko enolično razširimo do )22,( nnL , so

baa ,)1,1( , caa ,)2,1( , daa ,)3,1( in baa ,)1,1( , caa ,)2,1( ,

cba ,)3,1( , kjer upoštevamo, da so a, b, c, d različne barve. V prvem primeru

imamo dve različni barvanji treh nepobarvanih celic, namreč barve c(1,1) = a,

c(1,2) = c, c(1,3) = d oziroma c(1,1) = b, c(1,2) = a, c(1,3) = d. V drugem primeru

barvamo celice (1,1), (1,2) in (1,3) z barvami a, c, b ali b, a, c.

Torej sledi, če imamo v delno pobarvanem n x n kvadratu A tri nepobarvane

celice v vrstici ali stolpcu, ga ne moremo enolično razširiti do )22,( nnL ,

oziroma, obstaja več kot en posplošen latinski kvadrat razširjen iz delno

pobarvanega kvadrata A.

Boštjan Pogač 23

PRIMER 3.2.2 Pokažimo konstrukcijo iz Leme 3.2.1 za )8,5(d .

Postavimo tri nepobarvane celice na pozicije (1,1), (1,2) in (1,3). Če prazne celice

ne bi bile na teh treh mestih, bi lahko z zamenjavo stolpcev in vrstic prišli do

istega položaja. Dobimo torej takšen primer delnega barvanja:

Slika 15: Posplošeni latinski kvadrat reda n = 5 s 3 nepobarvanimi celicami.

Možne barve za prazne celice so:

a(1,1) = {1, 7}, a(1,2) = {1, 3}, a(1,3) = {1, 3, 7}

Torej če si za celico (1,1) izberemo barvo a(1,1) = {1}, dobimo takšen kvadrat:

Slika 16: Posplošeni latinski kvadrat L1.

Lahko pa si za celico (1,1) izberemo barvo a(1,1) = {7} in dobimo drug kvadrat:


Dobimo torej dva različna latinska kvadrata L1 in L2, kar pa je v nasprotju z

enoličnim razširjanjem do L(5,8). Torej res ne moremo imeti treh nepobarvanih

celic v isti vrstici ali stolpcu.

8 4 3 2 4 1 8 2 6 5 7 1 5 7 6 3 2 6 5 2 4 3

1 3 7 8 4 3 2 4 1 8 2 6 5 7 1 5 7 6 3 2 6 5 2 4 3

7 3 1 8 4 3 2 4 1 8 2 6 5 7 1 5 7 6 3 2 6 5 2 4 3

Boštjan Pogač 24

LEMA 3.2.3 Če je delno barvanje n x n kvadrata A enolično razširljivo do )22,( nnL ,

potem v kvadratu A nikjer ne dobimo kombinacijo štirih nepobarvanih celic

oblikovanih v obliko pravokotnika (glej shema 1). Zvezdice predstavljajo

nepobarvane celice n x n kvadrata A.

Slika 18: Kombinacija štirih nepobarvanih celic – shema 1.

DOKAZ:

Predpostavimo nasprotno, torej da takšna kombinacija nepobarvanih celic obstaja

za delno pobarvan n x n kvadrat A, ki je enolično razširljiv do )22,( nnL .

Zamislimo si delno barvanje n x n kvadrata A, ki ga je možno enolično razširiti do

)22,( nnL in njegove štiri nepobarvane celice tvorijo obliko pravokotnika. Brez

izgube za splošnost lahko predpostavimo, da so to celice (1,1), (1,2), (2,1) in

(2,2). Množico štirih nepobarvanih celic (1,1), (1,2), (2,1) in (2,2) imenujemo

shema 1.

Pobarvamo vse nepobarvane celice kvadrata A, razen teh štirih celic sheme 1, ob

upoštevanju pogoja, da mora biti delno barvanje enolično razširljivo do

)22,( nnL . Novo delno barvanje kvadrata A ostaja enolično razširljivo do

)22,( nnL . Ob tem ne pozabimo, da imajo vse štiri celice (1,1), (1,2), (2,1) in

(2,2) na voljo vsaka celica vsaj dve različni barvi za barvanje:

)1,1(, aba , )2,1(, adc , )1,2(, afe in )2,2(, ahg , pri tem pa upoštevamo

hgfedcba ,,, .

Brez izgube za splošnost lahko predpostavimo, da če pobarvamo celico (1,1) z

barvo b, lahko naš delno pobarvan kvadrat A enolično razširimo do )22,( nnL .

Delno barvanje je enolično razširljivo do )22,( nnL , če obstaja natanko en način

za razširitev kvadrata do )22,( nnL .

* * * *

Boštjan Pogač 25

Iz tega torej sledi, da celice (1,1) potem ne moremo pobarvati z barvo a, saj potem

delno pobarvanega kvadrata A ne moremo enolično razširiti do )22,( nnL . To

bomo sedaj tudi dokazali.

Pokazali bomo, da je },{ dca in },{ fea . Sedaj pa predpostavimo, da

},{ fea ali },{ dca . Brez izgube za splošnost lahko rečemo, da },{ fea . Če

je res },{ fea , potem je množica barv c(1,1) = a, c(1,2) = c, c(2,2) = g, ch in

c(2,1) = e, )2,2(cf lahko možno barvanje (privzamemo, da ca ). To pa

nasprotuje prejšnji trditvi, da ne moremo razširiti delnega barvanja, če je barva

celice c(1,1) = a. Od tod sledi, da },{ dca ter },{ fea in brez izgube za

splošnost, sledi fa in da .

Pokazati želimo, da je }.,{},{ hgce Naj bo }.,{},{ hgce Potem barvanje

ac )1,1( , cc )2,1( , ec )1,2( in gc )2,2( , },{ ceh dokonča barvanje

kvadrata A, kar je v protislovju s tem, da barva celice c(1,1) ne more biti barva a.

Ker je dfa in },{},{ hgce , sklepamo, da lahko razširimo kvadrat A do

)22,( nnL z barvanjem sheme 1 na vsaj dva različna načina, kot kaže slika 19, s

čimer sem dokazal Lemo 3.2.3.

Slika 19: Shema 1 pobarvana na dva različna načina.


Postavimo štiri nepobarvane celice oblikovane v pravokotnik na pozicije (1,1),

(1,2), (2,1) in (2,2). Če prazne celice nebi bile na teh treh mestih, bi lahko z

zamenjavo stolpcev in vrstic prišli do istega položaja.

b a a e

b a a c

Boštjan Pogač 26

Dobimo torej takšen primer delnega barvanja:



a(1,1) = {1, 3}, a(1,2) = {1, 2, 3}, a(2,1) = {3, 7}, a(2,2) = {2, 3}

Torej če si za celico (1,1) izberemo barvo a(1,1) = {1}, lahko dobimo takšen

kvadrat:


Z določitvijo barve za celico a(1,1) = {1} pa lahko dobimo tudi drug kvadrat:


Dobimo torej dva različna latinska kvadrata L1 in L2, kar pa je v nasprotju z

enoličnim razširjanjem do L(5,8). Torej res ne moremo imeti štirih nepobarvanih

celic postavljenih v obliko pravokotnika.

7 8 4 4 1 8

2 6 5 7 1 5 7 6 3 2 6 5 2 4 3

1 2 7 8 4 7 3 4 1 8 2 6 5 7 1 5 7 6 3 2 6 5 2 4 3

1 3 7 8 4 3 2 4 1 8 2 6 5 7 1 5 7 6 3 2 6 5 2 4 3

Boštjan Pogač 27

LEMA 3.2.5 Če lahko delno pobarvan n x n kvadrat A enolično razširimo

do )22,( nnL , potem ne obstajata takšna k in l, da je:

(i) Množica barv, ki so na voljo za celico (k,l) je {a}, za celico

(k,l + 1) je {a,b}, za celico (k + 1,l + 1) je {b,c} in celica

(k + 1,l + 2) je nepobarvana (glej slika 23).

(ii) Množica barv, ki so na voljo za celico (k + 2,l + 1) je {a},

za celico (k + 1,l + 1) je {a,b}, za celico (k +1,l) je {b,c} in

celica (k,l) je nepobarvana (glej slika 24).

Slika 23: Barvanje celic – shema 2. Slika 24: Barvanje celic – shema 3.

DOKAZ:

(i) Predpostavimo, da takšna kombinacija celic obstaja za delno pobarvan n x n

kvadrat A, ki je enolično razširljiv do )22,( nnL , in želimo priti do protislovja.

Zamislimo si delno barvanje n x n kvadrata A, ki ga je možno enolično razširiti do

)22,( nnL in ki vsebuje nepobarvane celice, kot je opisano v Lemi 3.2.5. Za

celico (k,l) je edina barva, ki je na voljo, barva a, vse ostale 32 n barve pa se

morajo pojaviti v u(k,l). Ker je tudi celica (k,l + 1) nepobarvana, so na voljo

največ 32 n vstopi v u(k,l). Torej se vsaka barva pojavi natančno v eni celici

u(k,l).

Določimo d za barvo celice (k + 1,l). Barve a, b, c so barve, ki so na voljo v

sosednjih celicah, },,{ cbad . Ker se d pojavi natanko enkrat v u(k,l), se ne more

pojaviti v vrstici k. Ker )1,( lkad , se mora pojaviti v stolpcu l + 1. Iz tega

sledi, da se d pojavi dvakrat v )1,1( lku . Ampak ker so v )1,1( lku lahko

največ 2n – 4 celice pobarvane in sta na voljo natančno dve barvi za celico

* b,c a,b

a

a a,b b,c *

Boštjan Pogač 28

(k + 1,l + 1), se mora vsaka od 2n – 4 barv, ki niso na voljo za celico (k + 1,l + 1),

pojaviti natanko enkrat v )1,1( lku , kar je protislovje.

(ii) Postopamo podobno kot v primeru (i).

Torej si zamislimo delno barvanje n x n kvadrata A, ki ga je možno enolično

razširiti do )22,( nnL in ki vsebuje nepobarvane celice, kot je opisano v

Lemi 3.2.5. Za celico )1,2( lk je edina barva, ki je na voljo, barva a, vse

ostale 32 n barve pa se morajo pojaviti v )1,2( lku . Ker je tudi celica

)1,1( lk nepobarvana, so na voljo največ 32 n vstopi v )1,2( lku . Torej

se vsaka barva pojavi natančno v eni celici )1,2( lku .

Določimo d za barvo celice ),2( lk . Barve a, b, c so barve, ki so na voljo v

sosednjih celicah, },,{ cbad . Ker se d pojavi natanko enkrat v )1,2( lku , se

ne more pojaviti v stolpcu 1l . Ker )1,1( lkad , se mora pojaviti v vrstici

1l . Iz tega sledi, da se d pojavi dvakrat v )1,( lku . Ampak ker so v )1,( lku

lahko največ 2n – 4 celice pobarvane in sta na voljo natančno dve barvi za celico

)1,( lk , se mora vsaka od 2n – 4 barv, ki niso na voljo za celico )1,( lk ,

pojaviti natanko enkrat v )1,( lku , kar pa je protislovje.


Postavimo štiri nepobarvane celice oblikovane v shemo 2. Dobimo torej takšen

primer delnega barvanja:

Slika 25: Posplošeni latinski kvadrat reda n = 5, s 4 nepobarvanimi celicami.

1 3 7 8 4 4 1 8

2 7 1 5 7 6 3 2 6 5 2 4 3

Boštjan Pogač 29


a(2,1) = {3, 7}, a(2,2) = {2, 6}, a(3,2) = {4, 6, 8}, a(3,3) = {3, 5, 8}

Torej če si za celico (2,1) izberemo barvo a(2,1) = {3}, lahko dobimo takšen

kvadrat:




Vidimo, da dobimo dva različna latinska kvadrata L1 in L2, kar pa je v nasprotju z

enoličnim razširjanjem do L(5,8). Torej res ne moremo imeti štirih nepobarvanih

celic postavljenih v obliko sheme 2.

1 3 7 8 4 3 2 4 1 8 2 4 5 7 1 5 7 6 3 2 6 5 2 4 3

1 3 7 8 4 3 6 4 1 8 2 8 5 7 1 5 7 6 3 2 6 5 2 4 3

Boštjan Pogač 30

LEMA 3.2.7 Če je delno barvanje n x n kvadrata A enolično razširljivo do )22,( nnL ,

potem v kvadratu A nikjer ne dobimo konfiguracijo petih nepobarvanih

celic (predstavljene z *) postavljenih, kot kažeta shemi 4 in 5 na slikah 28

in 29.

Slika 28: Nepobarvane celice – shema 4. Slika 29: Nepobarvane celice – shema 5.

DOKAZ:

Dokazovali bomo samo dokaz za nepobarvane celice, ki so postavljene v shemo 4.

Dokaz za shemo 5 je podoben, zato ga posebej ne bomo podajali.

Naj delno barvanje n x n kvadrata A vsebuje celice sheme 4 in je enolično

razširljivo do )22,( nnL . Brez izgube za splošnost lahko predpostavimo, da je

skrajni levi rob celic iz sheme 4 v celotnem kvadratu A na poziciji (1,1).

Pobarvamo vse nepobarvane celice kvadrata A, razen celice iz sheme 4, ob

upoštevanju, da je delno barvanje enolično razširljivo do )22,( nnL . Na takšen

način dobljeno delno barvanje kvadrata A z edinimi nepobarvanimi celicami iz

sheme 4 je enolično razširljivo do )22,( nnL . Preučimo sedaj to novo delno

barvanje. Opazimo, da imamo na voljo najmanj eno barvo za celici (1,1) in (3,3),

poleg tega pa imamo na voljo najmanj dve barvi za barvanje celic (1,2), (2,2) in

(2,3). V nadaljevanju bomo preučili moči množic izmed množice možnih barv za

nepobarvane celice a(1,1), a(1,2), a(2,2), a(2,3) in a(3,3).

Brez izgube za splošnost lahko sedaj dokažemo, da je moč množice možnih barv

za celico (1,1) je 1)1,1( a , poleg tega pa so vsi vstopi v prvo vrstico in prvi

stolpec (to je barva celic v u(1,1) razen celic (1,1) in (1,2)) različni.

* * * * *

* * * * *

Boštjan Pogač 31

Če bi imeli na voljo vsaj dve različni barvi za barvanje teh petih celic iz sheme 4,

potem bi imeli vsaj dve možni kombinaciji za barvanje teh petih celic in s tem

dobili nek posplošen latinski kvadrat )22,( nnLL . Ko vzamemo katero koli

od (vsaj dveh) barv, ki so na voljo za celico (1,1), lahko pobarvamo vse ostale

celice sheme 4 da dobimo posplošeni latinski kvadrat )22,( nnLL . To pa vodi

do protislovja, saj se delno barvanje lahko enolično razširi do L(n, 2n – 2) na en

sam način. Iz tega sledi, da imata celici (1,1) ali (3,3) lahko na voljo eno samo

barvo. In brez izgube za splošnost lahko rečemo, da ima celica (1,1) na voljo

samo eno barvo za barvanje. Iz tega pa prav tako sledi, da so vsi vstopi v prvo

vrstico in prvi stolpec različni.

Naslednje moramo pokazati, da je moč množic možnih barv )2,1(a , )2,2(a in

)3,2(a lahko 2 ali 3, med tem ko mora biti )3,3(a točno 1.

Če ima katera od celic (1,2), (2,2), (2,3) ali (3,3) na voljo štiri različne barve,

potem to delno barvanje ne more biti enolično razširjeno do )22,( nnL , saj

imamo na voljo več možnih barvanj in ne samo eno. Od tod sledi, da sta edini

možnosti za moč množice )2,1(a , )2,2(a in )3,2(a 2 ali 3, medtem ko je za

)3,3(a možno 1,2 ali 3. V nadaljevanju bomo izločili možnost 2 ali 3 možne

barve za celico (3,3).

Če je 3)3,3( a , potem barvanje ne more biti enolično razširljivo do L(n, 2n – 2),

saj bi v tem primeru lahko dobili najmanj tri različna barvanja kvadrata, kar pa je

v nasprotju z enoličnostjo razširjanja. Podobno bomo dokazali tudi, da

2)3,3( a . Predpostavimo sedaj, da je hghga },,{)3,3( . Ker je delno

barvanje enolično razširljivo do )22,( nnL , mora biti eden izmed g ali h na voljo

kot barva za barvanje celice (2,3). Brez izgube za splošnost lahko določimo barvo

celice c(2,3) = g in tako po barvanju vseh petih nepobarvanih celic dobimo

posplošeni latinski kvadrat )22,( nnLL . Od tod sledi },{)3,2( fga in

)2,2(af , in tako je barva fc )2,2( . Od tod sledi },{)2,2( efa in

},{)2,1( cea , medtem ko je }{)1,1( ea . Torej, če dobimo celice (1,1), (1,2),

Boštjan Pogač 32

(2,2) in (2,3) kot zgoraj opisano, vidimo, da te celice tvorijo primer (i) v

Lemi 3.2.5, kar pa smo dokazali prej. Iz tega sledi, da ne moreta biti na voljo dve

barvi za celico (3,3).

Sklepamo, da je 1)3,3()1,1( aa in )2,1(a , )2,2(a in )3,2(a je lahko 2 ali 3.

Možnosti množice možnih barv )3,2(),2,2(),2,1( aaa bomo pregledali malce

podrobneje.

Naj bo 2)3,2()2,2()2,1( aaa . Po barvanju celice (1,2) ali celice (2,3)

število možnih barv za celico (2,2) pade na 1. Torej imamo za barvanje celice

(2,2) na voljo samo še eno možno barvo. Če število možnih barv za celico (2,2) po

barvanju celice (1,2) pade, potem tudi število možnih barv za celico (1,2) pade po

barvanju celice (1,1). Ampak potem imamo celice (1,1), (1,2), (2,2) in (2,3)

urejene kot primer (i) v Lemi 3.2.5, kar pa nasprotuje enoličnemu razširjanju do

)22,( nnL . Po drugi strani, če število možnih barv za celico (2,2) pade po

barvanju celice (2,3), potem pade tudi število možnih barv za celico (2,3) po

barvanju celice (3,3). Ampak potem imamo celice (3,3), (2,3), (2,2) in (1,2)

urejene kot primer (ii) v Lemi 3.2.5, kar pa zopet nasprotuje razširjanju izključno

do )22,( nnL . Torej iz tega lahko sklepamo, da je nemogoče, da bi imeli za

barvanje celic (1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3) na voljo natančno 1, 2, 2, 2, 1 barvo

za vsako celico (po vrstnem redu) posebej.

Predpostavimo, da 3)2,1( a . Iz predpostavke o enolični razširljivosti do

)22,( nnL sledi, da morajo biti možne barve za celice kot je narisano na shemi 6

na sliki 30. Pri tem upoštevamo, da 871 ccc , kot tudi 86 cc in 46 cc .

Slika 30: Shema 6.

1c 871 ,, ccc 68 ,cc 46 ,cc 4c

Boštjan Pogač 33

Kakorkoli, v zgoraj narisanem primeru sheme 6 imamo celice (1,2), (2,2), (2,3) in

(3,3) urejene kot primer (ii) v Lemi 3.2.5, kar pa zopet nasprotuje enoličnemu

razširjanju do )22,( nnL . Torej iz tega sledi, da 3)2,1( a .

Če bi imeli na voljo tri možne barve za celico (2,3), bi zopet dobili protislovje, saj

bi bile celice urejene kot primer (i) v Lemi 3.2.5.

Torej še edina možnost, ki ostane, je da predpostavimo, da je 3)2,2( a in

2)3,2()2,1( aa . Potem so možne barve razporejene tako, kot prikazuje

shema 7 na sliki 31. Na voljo imamo barve 54321 ,,,, ccccc in pogoje

5332434221 ,,,, ccccccccccc .

Slika 31: Shema 7.

Naj bo barva 6)1,2( cc . Ker so 54321 ,,,, ccccc možne barve za nekatere celice v

)1,2(u , lahko sklepamo, da },,,,{ 543216 cccccc . Od tod sledi, da )2,1(6 ac .

Potemtakem je 6c barva nekaterih celic v )2,1(u . Kakorkoli, to ne more biti

barva, ki vstopa v prvo vrsto, ker je moč množice 1)1,1( a in vsi vstopi v )1,1(u

morajo biti različni. Od tod sledi, da je 6c lahko barva nekaterih celic v drugem

stolpcu. Če analiziramo barve )2,3(c ugotovimo, da je barva )2,3(c tudi barva

nekaterih celic v drugi vrstici. Ker so tukaj na voljo natanko tri možne barve za

celico (2,2), lahko pridemo do zaključka, da sta barvi 6)2,3()1,2( ccc . Do tega

pridemo zato, ker drugače ne bi mogli imeti na voljo 52 n različnih barv, ki

vstopajo v )2,2(u . Določimo barvo lc )3,1( . Potem },,,{ 531 ccccl c in 6cl ,

ker imamo na voljo samo eno možno barvo za celico (1,1). Če 4cl , potem je l

eden izmed vstopov v )2,2(u . Kakorkoli, l ni barva, ki vstopa v drugo vrstico, ker

ima celica (2,3) natanko dve možni barvi, in niti ni barva, ki vstopa v drugi

stolpec, saj ima celica (1,2) natanko dve možni barvi. Potemtakem je 4cl . Od

1c 21 ,cc 432 ,, ccc 53 ,cc 5c

Boštjan Pogač 34

tod sledi, da 5414 , cccc . Velja tudi, da },{ 324 ccc . Torej: 4cl in l

različen od 5c , },,{ 6435 cccc ( 5c pa je lahko enak 2c ali 1c ).

Slika 32: Shema 8.

Upoštevati moramo, da mora biti 2c vsebovan v )1,1(u , ker ima celica (1,1) na

voljo natančno eno možno barvo. Ker je )2,1(2 ac , se ne more več pojaviti kje

drugje v prvi vrsti, lahko pa se pojavi v prvem stolpcu.

Z oznako Ci označimo sedaj množico barv, ki smo jih uporabili v i-tem stolpcu.

Z oznako Ri pa označimo množico barv, ki smo jih uporabili v i-ti vrstici. Naj bo

A = C1 \ },{ 62 cc . Upoštevamo, da },{ 62 cc C1 in 62 cc , ker 6)1,2( cc in

)2,2(2 ac . Upoštevamo, da je moč množice |A| = n – 3. Označimo z B = R1

\ }{ 4c . Upoštevamo, da je moč množice |B | = n – 3. Presek poljubnih dveh od

množic A, B in },,,{ 6421 cccc je vedno prazna množica, saj je na voljo natančno

ena možna barva za celico (1,1).

V nadaljevanju bomo preučili ali je res 31 cc .

Predpostavimo, da je 31 cc . Imamo C1 = A },{ 62 cc in R1 = B }{ 4c . Če

analiziramo možne barve za celico (1,2), dobimo, da je C2 = A }{ 6c . Podobno,

če upoštevamo možne barve za celico (2,2), dobimo, da je R2 = }{ 6c B ( 6c B).

Ker je },{)3,2( 51 cca in }{)3,3( 5ca , dobimo, da je R3 = },{ 61 cc B. In ker

1c C1 (ker je )1,1(1 ac ), to torej pomeni, da je )1,3(c B. Kakorkoli, to

nasprotuje predpostavki, da so vsi vstopi v u(1,1) različnih barv (kar je nujno

potrebno, da lahko ima celica (1,1) na voljo natančno eno barvo). Iz tega torej

sledi, da 31 cc .

1c 21 ,cc 4c

6c 432 ,, ccc 53 ,cc 6c 5c

Boštjan Pogač 35

Upoštevamo, da se mora 3c pojaviti v u(1,2), ker ima celica (1,2) na voljo

natančno dve možni barvi ( },{ 213 ccc ). Ampak ker )2,2(3 ac , od tod sledi, da

3c C2 , ampak je 3c R1.

Naj bo A kot smo ga določili zgoraj, B1 = R1 \ },{ 43 cc . Upoštevamo, da je

},{ 43 cc R1 in 43 cc , ker je 4)3,1( cc in )3,2(3 ac . Moč množice

|B1| = n – 4. Presek poljubnih dveh izmed množic A, B1 in },,,{ 6432 cccc je vedno

prazna množica, saj imamo na voljo natančno eno možno barvo za celico (1,1).

Upoštevamo, da C1 = A },{ 62 cc in R1 = B1 },{ 43 cc . Če analiziramo barve,

ki so na voljo za celico (1,2), dobimo, da C2 = A }{ 6c . Podobno, če

upoštevamo barve, ki so na voljo za celico (2,2) (in če se spomnimo, da

},,{ 4321 cccc ), lahko sklepamo, da R2 = }{ 6c B1 }{ 1c , pri tem pa

upoštevamo, da 61,cc B1. Ker ima celica (2,3) na voljo natančno dve možni

barvi, in če pobarvamo celico (3,3) za barvo 5c , potem so vnosi barv v tretji

stolpec vsebovani v množici barv A }{},{ 542 ccc . Kakorkoli, barva celice

)1,3(c A }{ 2c , in očitno )1,3(5 cc , ker je )3,3(5 ac . Ampak potem je barva

c(3,1) tudi barva v tretjem stolpcu. Od tod sledi, da je iz tega nemogoče dobiti

natanko eno možno barvo za celico (3,3). To je dokončno protislovje, ki potrjuje

Lemo 3.2.7.


Postavimo konfiguracijo petih nepobarvanih celice oblikovanih v shemo 4.

Dobimo torej takšen primer delnega barvanja:


1 3 7 8 4 4 1 8

2 7 1 5 7 3 2 6 5 2 4 3

Boštjan Pogač 36


a(2,1) = {3, 7}, a(2,2) = {2, 6}, a(3,2) = {4, 6, 8}, a(3,3) = {3, 5, 6, 8},

a(4,3) = {1, 6, 8}

Torej če si za celico (2,1) izberemo barvo a(2,1) = {7}, dobimo takšen kvadrat:




Vidimo, da dobimo dva različna latinska kvadrata L1 in L2, kar pa je v nasprotju z

razširjanjem izključno v L(5,8). Torej res ne moremo imeti petih nepobarvanih

celic postavljenih v obliko sheme 4.

1 3 7 8 4 7 6 4 1 8 2 8 6 7 1 5 7 1 3 2 6 5 2 4 3

1 3 7 8 4 7 2 4 1 8 2 6 3 7 1 5 7 8 3 2 6 5 2 4 3

Boštjan Pogač 37

3.3 SPODNJA MEJA DOLOČITVENEGA ŠTEVILA

d(n, 2n – 2)

V tem poglavju bomo poiskali spodnjo mejo določitvenega števila nepobarvanih

celic delno barvanega kvadrata, da je ta še vedno enolično razširljiv do

)22,( nnL . Z drugimi besedami, iščemo minimalno število vnosov barv delnega

barvanja )22,( nnd .

Slika 36: Nepobarvane celice – shema 9.

Slika 37: Nepobarvane celice – shema 10.

IZREK 3.3.1 Če je delno barvanje n x n kvadrata A enolično razširljiv do )22,( nnL ,

potem v tem kvadratu A nimamo več kot

58n nepobarvanih celic.

* * * *

* * * *

Boštjan Pogač 38

DOKAZ:

Naj bosta shemi 9 in 10 del delno pobarvanega kvadrata A, ki je enolično

razširljiv do )22,( nnL . Iz prejšnjega poglavja vemo, da vrstice in stolpci, ki

vsebujejo nepobarvane celice sheme 9 ali sheme 10, ne morejo vsebovati nobenih

drugih nepobarvanih celic. V primeru da bi jih, bi dobili ali tri nepobarvane celice

v vrstici ali stolpcu, kar bi nasprotovalo Lemi 3.2.1, ali pa bi s preurejanjem

kvadrata A dobili ali shemo 4 ali shemo 5 iz Leme 3.2.7, kar pa bi zopet

nasprotovalo enoličnemu razširjanju do )22,( nnL .

Določimo sedaj neko konfiguracijo sheme C , katere okvir je najmanjši

pravokotnik, v katerega lahko to konfiguracijo umestimo. Premakniti

konfiguracijo C v zgornji levi kot kvadrata A pomeni, da če je okvir

konfiguracije C v velikosti r1 x r2 in če ni katere druge konfiguracije že

postavljene v zgornji levi kot, z preurejanjem vrstic in stolpcev postaviti

nepobarvane celice konfiguracije C v zgornji levi kot kvadrata A z robnimi

celicami (1,1), (1,r2), (r1,1) in (r1,r2) (s tem ohranimo isto konfiguracijo okvirja

sheme C ). Če pa je katera kombinacija že postavljena v zgornji levi kot kvadrata

A, katere spodnja desna celica je na poziciji (a,b), potem je potrebno našo

kombinacijo C postaviti v pravokotnik z robnimi celicami )1,1( ba ,

),1( 2rba , )1,( 1 bra in ),( 21 rbra , brez preurejanja vrstic ali stolpcev

že prej vsebovane konfiguracije.

V danem delnem barvanju kvadrata A lahko izvedemo naslednje korake:

(i) Če imamo v kvadratu A vsebovane kakšne nepobarvane celice kot smo jih

označili v shemi 9 ali shemi 10, ki še niso postavljene v zgornji levi kot kvadrata

A, jih postavimo v zgornji levi kot.

(ii) Ko v kvadratu A nimamo več sheme 9 ali sheme 10, ki ni postavljena v levi

zgornji kot, preučimo preostale nepobarvane celice, ki niso vsebovane v shemi 9

ali shemi 10. Če lahko te nepobarvane celice s preurejanjem vrstic in stolpcev

preuredimo v neko novo shemo 9 ali 10, potem naredimo naslednje (tukaj se

Boštjan Pogač 39

spomnimo, da je možno narediti takšne preureditve in pri tem shemi 9 in 10,

kateri smo že postavili v zgornji levi kot, ostaneta nedotaknjeni, saj v teh vrsticah

in stolpcih ni več drugih nepobarvanih celic, ki bi potrebovale preurejanje).

Postavimo to novo shemo 9 ali shemo 10 v zgornji levi kot vrstic in stolpcev, ki

smo jih preurejali (in ne v isti zgornji levi kot, kot sem prej postavil prejšnjo

shemo 9 ali shemo 10). Ta postopek ponavljamo, dokler imamo nepobarvane

celice, ki jih lahko znova preuredimo v neko novo shemo 9 ali shemo 10.

(iii) Ko zaključimo zgornji proces, označimo najbolj spodnjo desno

nepobarvano celico, ki je vsebovana v shemi 9 ali shemi 10, z ),( 21 nnnn .

Seveda, če nimamo nobene sheme 9 ali sheme 10, sta vrednosti 021 nn .

Naslednje spremembe nepobarvanih celic se dogajajo v n1 x n2 pravokotniku, ki je

postavljen v spodnji desni kot n x n kvadrata A. Označimo ta n1 x n2 pravokotnik

z B. Upoštevamo, da so edine nepobarvane celice izven pravokotnika B lahko

samo tiste, ki so vsebovane v shemi 9 ali shemi 10, saj v teh vrsticah ali stolpcih,

ki vsebujejo shemo 9 ali shemo 10, ne more biti drugih nepobarvanih celic.

V pravokotniku B je možno, da obstajajo nekatere vrstice, ki vsebujejo natančno

dve nepobarvani celici, v stolpcih teh nepobarvanih celic pa po Lemi 3.2.1 ni več

nepobarvanih celic. Prav tako je možno, da obstajajo nekateri stolpci, ki vsebujejo

natančno dve nepobarvani celici, v vrsticah teh nepobarvanih celic pa prav tako po

Lemi 3.2.1 ni več drugih nepobarvanih celic. Če je v pravokotniku B več takih

vrstic ali stolpcev z dvema nepobarvanima celicama, potem lahko s preurejanjem

vrstic in stolpcev dobimo neko novo konfiguracijo nepobarvanih celic, kot sta to

shema 11 in shema 12 na slikah 38 in 39. S preurejanjem vrstic in stolpcev lahko

ustvarimo čim več takšnih konfiguracij, kot kažeta shemi 11 in 12 in jih

postavimo v zgornji levi kot pravokotnika B. Pri tem pa upoštevamo, da ne

preurejamo vrstic in stolpcev, ki vsebujejo že postavljene konfiguracije shem

nepobarvanih celic. S tem procesom končamo, ko imamo v pravokotniku samo še

štiri ali manj nepobarvanih celic, ki še niso vključene v katero od shem. Ko ta

proces zaključimo, določimo najbolj spodnjo desno nepobarvano celico, ki je

vsebovana v shemi 9, 10, 11 ali 12 z ),( lnkn . Nadaljnje preurejanje

Boštjan Pogač 40

nepobarvanih celic se dogaja v k x l pravokotniku v spodnjem desnem kotu

pravokotnika B (ki pa je tudi v spodnjem desnem kotu originalnega n x n

kvadrata). Označimo sedaj ta k x l pravokotnik z C. Brez izgube za splošnost

lahko rečemo, da je kl . Tukaj opomnimo, da se morajo vse nepobarvane celice,

ki niso v pravokotniku C, nahajati v eni od konfiguracij shem 9, 10 ,11 ali 12.




Pravokotnik C lahko vsebuje največ eno vrstico z dvema nepobarvanima

celicama, v stolpcih teh nepobarvanih celic pa ne sme biti nobene nepobarvane

celice več. Prav tako pa lahko pravokotnik C vsebuje največ en stolpec z dvema

nepobarvanima celicama, v vrsticah teh nepobarvanih celic pa ne sme biti drugih

nepobarvanih celic. Če to nebi bilo res, bi lahko drugače dobili novo konfiguracijo

nepobarvanih celic kot kažeta shemi 11 ali 12.

Torej če imamo v kateri izmed vrstic dve nepobarvani celici in v stolpcih teh

nepobarvanih celic ni drugih nepobarvanih celic, lahko s preurejanjem stolpcev

spravimo ti dve nepobarvani celici eno zraven druge. Takšno kombinacijo dveh

nepobarvanih celic bomo poimenovali shema 13 (glej slika 40). Podobno temu,

* * * *

* * * *

* *

* *

* * *

* * *

Boštjan Pogač 41

torej če imamo v katerem izmed stolpcev dve nepobarvani celici in v vrsticah teh

nepobarvanih celic ni več drugih nepobarvanih celic, lahko s preurejanjem vrstic

spravimo ti dve nepobarvani celici eno zraven druge oziroma eno pod drugo.

Takšno kombinacijo dveh nepobarvanih celic bomo imenovali shema 14 (glej

slika 41).

Določimo sedaj množico treh nepobarvanih celic, kot so prikazane na sliki 42 in

sliki 43, s konfiguracijo nepobarvanih točk, imenovanih shema 15 in shema 16. S

preurejanjem vrstic in stolpcev lahko dobimo čim več teh konfiguracij

nepobarvanih točk v obliki sheme 15 in sheme 16. Seveda tukaj upoštevamo, da

ne preurejamo vrstic in stolpcev, katere smo pred tem že postavili v kakšno od

zgoraj omenjenih shem. Pri tem ne moremo imeti ene nepobarvane celice

vsebovane tako v shemi 15 kot v shemi 16, saj ne moremo imeti treh

nepobarvanih celic v eni vrstici ali stolpcu, prav tako pa ne moremo več imeti na

voljo nepobarvanih točk, ki bi jih lahko vključili v shemo 9 ali shemo 10. Iz vsega

zgoraj napisanega in iz Leme 3.2.3 tako sledi, da v vrsticah in stolpcih, ki

vsebujejo shemo 15 ali shemo 16, ne more biti več nobena nepobarvana celica.

Tukaj opazimo še več. Shema 15 in shema 16 sta v bistvu enaki, saj lahko z

zamenjavo stolpcev sheme 15 dobimo prav shemo 16, ali obratno.

Sedaj ko smo predstavili vse možne konfiguracije shem 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

in 16, lahko povzamemo, da morajo biti vse nepobarvane celice iz kvadrata A

(oziroma bolje iz preurejenega kvadrata A) vsebovane v konfiguraciji shem 9, 10,

11, 12 ali v C. Če je nepobarvana celica v C, to pomeni, da je vsebovana v eni

izmed konfiguracij shem 13, 14, 15 ali 16 oziroma pa je nepobarvana celica, ki je

edina nepobarvana celica v svoji vrstici ali stolpcu. To sledi iz tega, kako smo

zgoraj definirali te konfiguracije shem.

Naj bo 5,3n število konfiguracij shem 9 in 11, 6,4n naj bo število konfiguracij

shem 10 in 12, ter 10,9n naj bo število konfiguracij shem 15 in 16. Z 11n pa

označimo število stolpcev z natančno eno nepobarvano celico, katera je tudi edina

nepobarvana celica v njeni vrstici.

Boštjan Pogač 42

Ker morajo biti konfiguracije shem 9, 10, 11 in 12, ter k x l pravokotnik C

postavljeni in fiksirani znotraj kvadrata A brez prekrivanja, ob upoštevanju

velikosti kvadrata A, iz tega dobimo sledečo neenakost:

nlnn 6,45,3 23 (1)

nknn 6,45,3 32 (2)

Rešimo (1) in (2) in dobimo naslednjo neenakost:

)2(54)(4 6,45,3 lknnn (3)

Tukaj ločimo štiri možnosti, odvisno od števila konfiguracij sheme 13 in sheme

14, ki sta predstavljeni v C. Glede na to, kako smo definirali shemo 13 in shemo

14, sta mogoči števili lahko samo 0 ali 1, za vsako od teh dveh shem.

Ločimo štiri primere:

(a) Imamo natančno eno shemo 13 in nobene sheme 14 v pravokotniku C

( kl 2,1 ). Naj U označuje število nepobarvanih celic v kvadratu A. Potem je

U 1110,96,45,3 32)(4 nnnn . Ob upoštevanju velikosti pravokotnika C

dobimo, da je lnn 1110,921 , iz te neenakosti pa dobimo, da je

2

110,9

ln .

Iz tega skupaj sledi, da je

2

1132 1110,9llnn .

Boštjan Pogač 43

Iz zgornje neenakosti in neenakosti (3) pa lahko sklepamo naslednje:

U

2

11)2(5432)(4 1110,96,45,3

lllknnnnn (4)

Če si zgornjo neenakost malce preuredimo, dobimo:

U 12

155

45

8

llkn (5)

Če je l sodo število, potem je:

010255

4255

412

155

4

llllllkllk .

Skupaj z neenakostjo (5) iz tega sledi, da je: U 5

8105

8 nln , za vsak sodi l.

Če pa je l liho število, potem pa je:

21

21

1021

554

21

5541

21

554

llllllkllk .

Skupaj z neenakostjo (5) iz tega sledi, da je U 21

1058

ln , za vsak lihi l.

Iz zgornje neenakosti jasno vidimo, da če je 5l , in l je lih, potem je U 5

8n .

Torej lahko rečemo, da je U 5

8n za vse lihe l razen za }3,1{l . Sklepamo,da je

U

58n za vse n-je deljive s 5, razen za primer 15 mn in 1l , ali za

35 mn in }3,1{l . Zato ločimo dva podprimera.

Boštjan Pogač 44

a.1)

35 mn , 1l , 2k , ali 15 mn , 1l , 2k

če je lk , dobimo:

0103

1021

55)1(4

21

5541

21

554

llll

llkllk

(6)

Torej skupaj iz neenakosti (5) in (6) sledi: U 5

8n .

a.2)

35 mn , 3l , lk .

Če je k strogo večji od l ( lk ), potem iz neenakosti (5) in (6) dobimo U 5

8n .

V primeru, ko pa je 3 lk , pa iz neenakosti (3) dobimo naslednjo neenakost:

mnn 26,45,3 . Trdimo, da v 3 x 3 kvadratu, ki ga postavimo v zgornji levi kot

kvadrata A, nimamo več kot treh nepobarvanih celic. To res drži, saj vrstice

sheme 14 ne morejo vsebovati drugih nepobarvanih celic. Preostali vrstici ostane

na voljo samo še ena nepobarvana celica, saj v tem 3 x 3 kvadratu nismo

predvidevali nobene sheme 13. Iz tega sledi, da je:

U

5

85

)35(848383)(4 6,45,3nmmmnn .

(b) Imamo natančno eno shemo 14 in nobene sheme 13 v pravokotniku C. Ob

upoštevanju velikosti pravokotnika C dobimo, da je lnn 1110,922 , iz te

neenakosti pa dobimo, da je

2

210,9

ln . Iz tega skupaj sledi, da je

2

22232 10,91110,91110,9llnnnnn .

Boštjan Pogač 45


U

2

21)2(5432)(4 1110,96,45,3

lllknnnnn

2

255

45

8 llkn (7)


1110

1255

41255

42

255

4

llllllkllk . Skupaj z

neenakostjo (7) iz tega sledi, da je: U 5

8n , za vsak sodi l.


123

1023

554

23

554

22

554

llllllkllk . Skupaj

z neenačbo (7) iz tega sledi, da je U 5

8n , za vsak lihi l.

(c) Imamo natančno eno shemo 13 in eno shemo 14 v pravokotniku C

)3,3( kl . Postavimo ti dve shemi v zgornji levi kot pravokotnika C (z

preurejanjem vrstic in stolpcev) kot kaže slika 44.

Slika 44: Nepobarvane celice pravokotnika C.

* * * *

Boštjan Pogač 46

Ob upoštevanju velikosti pravokotnika C dobimo, da je lnn 1110,923 , iz te

neenakosti pa dobimo, da je

2

310,9

ln . Iz tega skupaj sledi, da je

12

312334 10,91110,91110,9

llnnnnn .


U

12

3)2(5434)(4 1110,96,45,3

lllknnnnn

12

355

45

8

llkn

(8)


1110

1255

41255

412

355

4

llllllkllk . Skupaj

z neenakostjo (8) iz tega sledi, da je: U 5



021

1021

554

21

5541

23

554


neenakostjo (7) iz tega sledi, da je U 5


Boštjan Pogač 47

(d) Sedaj pa nimamo nobene sheme 13 in nobene sheme 14 v pravokotniku C.

Ob upoštevanju velikosti pravokotnika C dobimo, da je lnn 1110,92 , iz te

neenačbe pa dobimo, da je

210,9ln . Iz tega sledi, da je

2

23 10,91110,91110,9llnnnnn .


U

2

)2(543)(4 1110,96,45,3

lllknnnnn

255

45

8 llkn (9)


010255

4255

4255

4

llllllkllk , kjer pa zadnja

neenakost velja natanko takrat in samo takrat, če je 0l . Skupaj z neenakostjo

(9) pa iz tega sledi, da je: U 5



021

1021

554

21

554

2554


neenakostjo (9) iz tega sledi, da je U 5


Boštjan Pogač 48

Torej je U 5

8n za vsak n. To dokazuje Izrek 3.3.1, ki pravi, da je število

nepobarvanih celic v n x n kvadratu A lahko največ

58n , če želimo, da je delno

barvanje enolično razširljivo do )22,( nnL .

POSLEDICA 3.3.2

Določitveno število je

58)22,( 2 nnnnd .

Boštjan Pogač 49

3.4 POSTOPEK KONSTRUKCIJE ZA n = 5

V tem poglavju bomo predstavili primer delnega barvanja in postopek

konstrukcije razširjanja delno pobarvanega kvadrata enolično razširljivega do

)22,( nnL za 5n in za kn 10 .

Predvidevamo delno barvanje n x n kvadrata A z natančno 5

82 nn pobarvanimi

celicami, tako da je prikazano delno barvanje enolično razširljivo do )22,( nnL .

To združeno skupaj z Izrekom 3.3.1, ki nam da spodnjo mejo, dokazuje, da je

določitveno število 5

8)22,( 2 nnnnd .

PRIMER 3.4.1 Pokažimo konstrukcijo za n = 5.

Delno barvanje 5 x 5 kvadrata je enolično razširljivo do L (5,8), če imamo

natančno 8 nepobarvanih celic v kvadratu A in za barvanje uporabimo 8 različnih

barv: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 in 8 (z * so označene nepobarvane celice). Torej je

določitveno število v tem primeru 178255585)8,5( 2

d . Takšno

delno barvanje je prikazano na sliki 45.

Slika 45: Delno barvanje 5 x 5 kvadrata z 8 barvami.

* * 7 8 4

3 * * 1 8

2 6 5 7 *

5 7 6 * *

6 5 2 * 3

Boštjan Pogač 50

Možne barve za nepobarvane celice so:

Slika 46: Možne barve za delno barvan 5 x 5 kvadrat.

Dopolnimo in določimo barvo celicam, ki imajo na voljo samo eno barvo. Ta

barva je sedaj fiksna za to celico, ostalim pa zopet napišemo nove možne barve:


Postopek zopet ponovimo. Torej celicam, ki imajo na voljo samo eno barvo, le to

določimo in ponovno napišemo možne barve za preostale celice:


1 1,2,3 7 8 4

3 2,4 4 1 8

2 6 5 7 1

5 7 6 2,3,4 1,2

6 5 2 4 3

1 2,3 7 8 4

3 2 4 1 8

2 6 5 7 1

5 7 6 2,3 2

6 5 2 4 3

1 3 7 8 4

3 2 4 1 8

2 6 5 7 1

5 7 6 3 2

6 5 2 4 3

Boštjan Pogač 51

Vidimo, da ostaneta samo še dve nepobarvani celici, in obe imata na voljo samo

še eno barvo za barvanje. Tako dobimo torej enolično razširjanje kvadrata A.

Dobimo posplošeni latinski kvadrat iz množice )22,( nnL .

Slika 49: Posplošeni latinski kvadrat tipa (5,8).

PRIMER 3.4.2 Pokažimo konstrukcijo za n = 5.

Poiščimo delno barvanje 5 x 5 kvadrata, ki je enolično razširljivo do L(5,8).

Postopek je isti kot pri primeru 3.4.1. Tudi tukaj je določitveno število

178255585)8,5( 2

d . Torej je delno pobarvan kvadrat res enolično

razširljiv do L(5,8), če v njem pobarvamo 17 celic.


1 3 7 8 4

3 2 4 1 8

2 6 5 7 1

5 7 6 3 2

6 5 2 4 3

1 * 7 2 5

* * 5 4 2

* 4 2 5 7

6 3 * * 1

8 6 4 * *

Boštjan Pogač 52

Postopek je isti kot v primeru 3.4.1. Poiščemo torej možne barve za nepobarvane

celice.


Na koncu dobimo enolično določen kvadrat iz množice L(5,8).


Delno barvanje n x n kvadrata A za n = 5 z natančno 5

82 nn pobarvanimi

celicami, kot je prikazano v zgornjem postopku, je res enolično razširljivo do

)22,( nnL . Torej smo pokazali, da je določitveno število res

58)22,( 2 nnnnd .

1 8 7 2 5

3,7 1,7,8 5 4 2

3 4 2 5 7

6 3 8 7,8 1

8 6 4 1,3,7 3

1 8 7 2 5

7 1 5 4 2

3 4 2 5 7

6 3 8 7 1

8 6 4 1 3

Boštjan Pogač 53

PRIMER 3.4.3 Podali bomo še en primer delnega barvanja 5 x 5 in njegovega enoličnega

razširjanja.


Ko izvedemo postopek, dobimo posplošeni latinski kvadrat iz množice 8,5L .


Sedaj pa bomo podali enak primer kot v primeru 3.4.3, le da bomo sedaj imeli eno

nepobarvano celico več kot prej, torej bo 9 nepobarvanih celic. S tem želimo

pokazati, da takšen delno pobarvan kvadrat ni enolično razširljiv do )22,( nnL .

Seveda moramo pri izboru še ene nepobarvane celice paziti na vse pogoje, ki smo

jih opisali Lemah v poglavju 3.2.

* 2 1 7 3

* * 7 2 1

4 * 3 1 7

8 5 2 * *

5 6 * * 4

6 2 1 7 3

3 4 7 2 1

4 8 3 1 7

8 5 2 4 6

5 6 8 3 4

Boštjan Pogač 54

PRIMER 3.4.4 Pokažimo konstrukcijo za n = 5 z 9 nepobarvanimi celicami.

Slika 55: Delno barvanje 5 x 5 kvadrata z 8 barvami in 9 nepobarvanimi celicami.

Poiščemo torej možne barve za nepobarvane celice.


Vidimo, da od tukaj ne moremo kvadrata enolično razširiti, ampak dobimo več

možni razširjanj delno pobarvanega kvadrata. Tako smo pokazali, da če imamo v

5 x 5 kvadratu več kot 8 nepobarvanih celic, le tega ne moremo enolično razširiti

do )22,( nnL .

* 2 * 7 3

* * 7 2 1

4 * 3 1 7

8 5 2 * *

5 6 * * 4

1,6 2 1,4,5,6,8 7 3

3,6 3,4,8 7 2 1

4 8 3 1 7

8 5 2 3,4,6 6

5 6 1,8 3,8 4

Boštjan Pogač 55

3.5 POSTOPEK KONSTRUKCIJE ZA n = 10k.

Postopek za konstrukcijo kvadrata z kn 10 sloni na 5 x 5 kvadratu. Pomagali si

bomo s primerom 5 x 5 kvadrata, podanim v primeru 3.4.1. Pokazali bomo tudi,

da je določitveno število 5

8)22,( 2 nnnnd .

Pobarvamo celice 5n x

5n kvadrata z 1

52

n barvami. Celice na glavni diagonali

5n x

5n kvadrata pobarvamo z barvo

5n . Definirajmo relacijo f iz podmnožice

}15

2,...,3,2,1{ n v potenčno množico množice }22,...,3,2,1{ n na sledeč način:

},8,7,6,5,4,3,2,1{)5

( nf

,1)1(58{)( iif ,2)1(58 i ,3)1(58 i ,4)1(58 i }5)1(58 i

za 5

1 ni in

,1)2(58{)( iif ,2)2(58 i ,3)2(58 i ,4)2(58 i

}5)2(58 i za 15

25

nin .

Opazimo, da je }22,...,3,2,1{)(1

52

1

nif

n

i in )()( jfif { }, za ji in

}15

2,...,3,2,1{, nji .

Po zgoraj opisani relaciji lahko pobarvamo n x n kvadrat, za kn 10 z

22,...,3,2,1 n različnimi barvami in z natančno 5

8n nepobarvanimi celicami tako,

da bo enolično razširljiv do nekega posplošenega latinskega kvadrata iz množice

)22,( nnL .

Boštjan Pogač 56

Dan imamo n x n kvadrat, kn 10 , ki ga razdelimo na 5 x 5 kvadrate tako, da

dobimo natančno 5n x

5n teh manjših kvadratov. Primer za n = 10 je podan na

sliki 57.

Slika 57: Primer 10 x 10 kvadrata razdeljenega na 5 x 5 kvadrate.

S pomočjo relacije f želimo iz barvanja 5 x 5 kvadrata preiti na barvanje 10 x 10

kvadrata. Torej, če je celica (i,j) v kvadratu 5n x

5n pobarvana z barvo

5nk in

je },,,,{)( 54321 kkkkkkf , potem je 5 x 5 kvadrat s celicami:

,1)1(5( i ),1)1(5 j ,1)1(5( i ),5)1(5 j ,5)1(5( i ),1)1(5 j

,5)1(5( i )5)1(5 j v n x n kvadratu pobarvan ciklično kot je podano na sliki

58.

Slika 58: Ciklično barvanje 5 x 5 kvadrata.

1k 2k 3k 4k 5k

2k 3k 4k 5k 1k

3k 4k 5k 1k 2k

4k 5k 1k 2k 3k

5k 1k 2k 3k 4k

Boštjan Pogač 57

Na glavni diagonali imamo 5 x 5 kvadrate pobarvane z osmimi barvami

}8,7,6,5,4,3,2,1{ kot prej v delnem barvanju 5 x 5 kvadrata v konstrukciji za n = 5.

Nepobarvane celice tega kvadrata pustimo nepobarvane tudi tukaj v 10 x 10

kvadratu.

Tudi v tem delnem barvanju n x n kvadrata je natančno 5

8n nepobarvanih celic.

Prav tako je to delno barvanje enolično razširljivo do )22,( nnL . Zgoraj opisana

konstrukcija n x n kvadrata skupaj z Izrekom 3.3.1 dokazuje, da je določitveno

število 5

8)22,( 2 nnnnd za vse kn 10 .

Tukaj bomo podali primer za 10n , pomagali pa si bomo s 5 x 5 kvadratom iz

primera 3.4.1. Določitveno število bo 84510810)18,10( 2

d .

PRIMER 3.5.1 Pokažimo konstrukcijo za 10n , ki je enolično razširljiv do L(10,18).

Najprej moramo pobarvati 5n x

5n z 1

52

n barvami. To v tem primeru pomeni

pobarvati 2 x 2 kvadrat s 3 barvami. Dobimo torej sledeči 2 x 2 kvadrat.

Slika 59: Barvanje 2 x 2 kvadrata s 3 barvami.

Iz zgornjega 2 x 2 kvadrata vidimo, da je i = 2.

Po zgornji definiciji je potem f:

},8,7,6,5,4,3,2,1{)2( f

},13,12,11,10,9{)1( f

}18,17,16,15,14{)3( f .

2 1

3 2

Boštjan Pogač 58

Na glavno diagonalo postavimo delno pobarvan kvadrat iz primera 3.4.1, druga

dva 5 x 5 kvadrata pa pobarvamo kot smo pobarvali 2 x 2 kvadrat. Torej zgornji

desni 5 x 5 kvadrat po relaciji f(1), spodnjega levega pa po relaciji f(2). Seveda ju

moramo pobarvati ciklično, kot smo to definirali v zgornji konstrukciji. Opazimo

tudi, da imamo natančno 16 nepobarvanih celic.

Dobimo torej delno pobarvan 10 x 10 kvadrat.

* * 7 8 4 9 10 11 12 13

3 * * 1 8 10 11 12 13 9

2 6 5 7 * 11 12 13 9 10

5 7 6 * * 12 13 9 10 11

6 5 2 * 3 13 9 10 11 12

9 10 11 12 13 * * 7 8 4

10 11 12 13 9 3 * * 1 8

11 12 13 9 10 2 6 5 7 *

12 13 9 10 11 5 7 6 * *

13 9 10 11 12 6 5 2 * 3


Postopek je isti kot v primeru 3.4.1. Poiščemo torej možne barve za nepobarvane celice.

1 1,2,3 7 8 4 9 10 11 12 13

3 2,4 4 1 8 10 11 12 13 9

2 6 5 7 1 11 12 13 9 10

5 7 6 2,3,4 1,2 12 13 9 10 11

6 5 2 4 3 13 9 10 11 12

9 10 11 12 13 1 1,2,3 7 8 4

10 11 12 13 9 3 2,4 4 1 8

11 12 13 9 10 2 6 5 7 1

12 13 9 10 11 5 7 6 2,3,4 1,2

13 9 10 11 12 6 5 2 4 3


Boštjan Pogač 59


1 3 7 8 4 9 10 11 12 13

3 2 4 1 8 10 11 12 13 9

2 6 5 7 1 11 12 13 9 10

5 7 6 3 2 12 13 9 10 11

6 5 2 4 3 13 9 10 11 12

9 10 11 12 13 1 13 7 8 4

10 11 12 13 9 3 2 4 1 8

11 12 13 9 10 2 6 5 7 1

12 13 9 10 11 5 7 6 3 2

13 9 10 11 12 6 5 2 4 3


PRIMER 3.5.2 Pokažimo konstrukcijo za 20n , ki je enolično razširljiv do L(20,38).

Najprej moramo pobarvati 5n x

5n z 1

52

n barvami. To v tem primeru pomeni

pobarvati 4 x 4 kvadrat s 7 barvami. Dobimo torej sledeči 4 x 4 kvadrat.

Določitveno število v tem primeru bo 368520820)38,20( 2

d , kar pomeni,

da bomo imeli natančno 32 nepobarvanih celic.

Slika 63: Barvanje 4 x 4 kvadrata s 7 barvami.

Iz zgornjega 4 x 4 kvadrata vidimo, da je i = 4.

4 1 2 3

5 4 7 6

6 3 4 5

7 2 1 4

Boštjan Pogač 60

Po zgornji definiciji je potem f:

},8,7,6,5,4,3,2,1{)4( f

},13,12,11,10,9{)1( f

},18,17,16,15,14{)3( f

},23,22,21,20,19{)4( f

},28,27,26,25,24{)5( f

},33,32,31,30,29{)6( f

}.38,37,36,35,34{)7( f

Na glavno diagonalo postavimo delno pobarvan kvadrat iz primera 3.4.1, ostale

5 x 5 kvadrate pa pobarvamo kot smo pobarvali 4 x 4 kvadrat, seveda ob

upoštevanju relacije f.

* * 7 8 4 3 * * 1 8 2 6 5 7 * 5 7 6 * * 6 5 2 * 3 * * 7 8 4 3 * * 1 8 2 6 5 7 * 5 7 6 * * 6 5 2 * 3 * * 7 8 4 3 * * 1 8 2 6 5 7 * 5 7 6 * * 6 5 2 * 3 * * 7 8 4 3 * * 1 8 2 6 5 7 * 5 7 6 * * 6 8 2 * 3

Slika 64: Delno pobarvane 5 x 5 kvadrate postavimo na glavno diagonalo 20 x 20 kvadrata.

Nato po relaciji f ciklično pobarvamo še ostale 5 x 5 kvadrate.

Boštjan Pogač 61

* * 7 8 4 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3 * * 1 8 10 11 12 13 9 15 16 17 18 14 20 21 22 23 19 2 6 5 7 * 11 12 13 9 10 16 17 18 14 15 21 22 23 19 20 5 7 6 * * 12 13 9 10 11 17 18 14 15 16 22 23 19 20 21 6 5 2 * 3 13 9 10 11 12 18 14 15 16 17 23 19 20 21 22 24 25 26 27 28 * * 7 8 4 34 35 36 37 38 29 30 31 32 33 25 26 27 28 24 3 * * 1 8 35 36 37 38 34 30 31 32 33 29 26 27 28 24 25 2 6 5 7 * 36 37 38 34 35 31 32 33 29 30 27 28 24 25 26 5 7 6 * * 37 38 34 35 36 32 33 29 30 31 28 24 25 26 27 6 5 2 * 3 38 34 35 36 37 33 29 30 31 32 29 30 31 32 33 19 20 21 22 23 * * 7 8 4 24 25 26 27 28 30 31 32 33 29 20 21 22 23 19 3 * * 1 8 25 26 27 28 24 31 32 33 29 30 21 22 23 19 20 2 6 5 7 * 26 27 28 24 25 32 33 29 30 31 22 23 19 20 21 5 7 6 * * 27 28 24 25 26 33 29 30 31 32 23 19 20 21 22 6 5 2 * 3 28 24 25 26 27 34 35 36 37 38 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 * * 7 8 4 35 36 37 38 34 15 16 17 18 14 10 11 12 13 9 3 * * 1 8 36 37 38 34 35 16 17 18 14 15 11 12 13 9 10 2 6 5 7 * 37 38 34 35 36 17 18 14 15 16 12 13 9 10 11 5 7 6 * * 38 34 35 36 37 18 14 15 16 17 13 9 10 11 12 6 8 2 * 3


Možne barve za nepobarvane celice so:

Slika 66: Možne barve za nepobarvane celice 20 x 20 kvadrata pobarvanega z 38 barvami.

1 1,2,3 7 8 4 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3 2,4 4 1 8 10 11 12 13 9 15 16 17 18 14 20 21 22 23 19 2 6 5 7 1 11 12 13 9 10 16 17 18 14 15 21 22 23 19 20 5 7 6 2,3,4 1,2 12 13 9 10 11 17 18 14 15 16 22 23 19 20 21 6 5 2 4 3 13 9 10 11 12 18 14 15 16 17 23 19 20 21 22 24 25 26 27 28 1 1,2,3 7 8 4 34 35 36 37 38 29 30 31 32 33 25 26 27 28 24 3 2,4 4 1 8 35 36 37 38 34 30 31 32 33 29 26 27 28 24 25 2 6 5 7 1 36 37 38 34 35 31 32 33 29 30 27 28 24 25 26 5 7 6 2,3,4 1,2 37 38 34 35 36 32 33 29 30 31 28 24 25 26 27 6 5 2 4 3 38 34 35 36 37 33 29 30 31 32 29 30 31 32 33 19 20 21 22 23 1 1,2,3 7 8 4 24 25 26 27 28 30 31 32 33 29 20 21 22 23 19 3 2,4 4 1 8 25 26 27 28 24 31 32 33 29 30 21 22 23 19 20 2 6 5 7 1 26 27 28 24 25 32 33 29 30 31 22 23 19 20 21 5 7 6 2,3,4 1,2 27 28 24 25 26 33 29 30 31 32 23 19 20 21 22 6 5 2 4 3 28 24 25 26 27 34 35 36 37 38 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 1 1,2,3 7 8 4 35 36 37 38 34 15 16 17 18 14 10 11 12 13 9 3 2,4 4 1 8 36 37 38 34 35 16 17 18 14 15 11 12 13 9 10 2 6 5 7 1

37 38 34 35 36 17 18 14 15 16 12 13 9 10 11 5 7 6 2,3,4 1,2

38 34 35 36 37 18 14 15 16 17 13 9 10 11 12 6 5 2 4 3

Boštjan Pogač 62


1 3 7 8 4 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 3 2 4 1 8 10 11 12 13 9 15 16 17 18 14 20 21 22 23 19 2 6 5 7 1 11 12 13 9 10 16 17 18 14 15 21 22 23 19 20 5 7 6 3 2 12 13 9 10 11 17 18 14 15 16 22 23 19 20 21 6 5 2 4 3 13 9 10 11 12 18 14 15 16 17 23 19 20 21 22 24 25 26 27 28 1 3 7 8 4 34 35 36 37 38 29 30 31 32 33 25 26 27 28 24 3 2 4 1 8 35 36 37 38 34 30 31 32 33 29 26 27 28 24 25 2 6 5 7 1 36 37 38 34 35 31 32 33 29 30 27 28 24 25 26 5 7 6 3 2 37 38 34 35 36 32 33 29 30 31 28 24 25 26 27 6 5 2 4 3 38 34 35 36 37 33 29 30 31 32 29 30 31 32 33 19 20 21 22 23 1 3 7 8 4 24 25 26 27 28 30 31 32 33 29 20 21 22 23 19 3 2 4 1 8 25 26 27 28 24 31 32 33 29 30 21 22 23 19 20 2 6 5 7 1 26 27 28 24 25 32 33 29 30 31 22 23 19 20 21 5 7 6 3 2 27 28 24 25 26 33 29 30 31 32 23 19 20 21 22 6 5 2 4 3 28 24 25 26 27 34 35 36 37 38 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 1 3 7 8 4 35 36 37 38 34 15 16 17 18 14 10 11 12 13 9 3 2 4 1 8 36 37 38 34 35 16 17 18 14 15 11 12 13 9 10 2 6 5 7 1 37 38 34 35 36 17 18 14 15 16 12 13 9 10 11 5 7 6 3 2 38 34 35 36 37 18 14 15 16 17 13 9 10 11 12 6 5 2 4 3

Slika 67: Posplošeni latinski kvadrat tipa (20,38)

Delno barvanje n x n kvadrata A za kn 10 z natančno 5

82 nn pobarvanimi

celicami in s pomočjo relacije f, kot je prikazano v zgornjem postopku, je res

enolično razširljivo do )22,( nnL . Torej smo pokazali, da je določitveno število

tudi za vse kn 10 res 5

8)22,( 2 nnnnd .

Boštjan Pogač 63

4 POVZETKI IN ZAKLJUČNE MISLI

V diplomskem delu smo najprej na kratko predstavili osnovne pojme o latinskih

kvadratih ter nekaj osnovnih pojmov o posplošenih latinskih kvadratih. Podali

smo nekaj definicij o lastnostih posplošenih latinskih kvadratov, postopkih

delnega barvanja in možnostih enoličnega razširjanja do L(n,k), ki označuje

množico vseh posplošenih latinskih kvadratov tipa (n,k). Definirali smo

določitveno število, označeno z d(n,k), kot moč najmanjše določitvene množice.

Obravnavali smo lastnosti določitvenega števila d(n,k) za 12 nk in

22 nk . Dokazali smo enakost nnnnd 2)12,( , ki velja za vsak sodi n, in

neenakost

58)22,( 2 nnnnd , kar je bil tudi glavni rezultat diplomskega

dela. Pri dokazovanju smo si pomagali z lastnostmi posplošenih latinskih

kvadratov tipa )22,( nnL , definirali pa smo tudi spodnjo mejo za določitveno

število )22,( nnd .

Na koncu smo prišli do rezultata, da lahko pobarvamo n x n kvadrat, za 5n in

kn 10 z 22,...,3,2,1 n različnimi barvami in z natančno 5

8n nepobarvanimi

celicami tako, da bo enolično razširljiv do nekega posplošenega latinskega

kvadrata iz množice )22,( nnL . Torej nam je uspelo dokazati, da je v vseh

primerih določitveno število res 5

8)22,( 2 nnnnd .

Boštjan Pogač 64

5 KAZALO SLIK

Slika 1: Zgleda latinskega kvadrata reda 4 in 5..................................................... 9 Slika 2: 3 × 32 vrstično polje latinskega kvadrata reda 3.................................... 10 Slika 3: Delni latinski kvadrat reda 4.................................................................. 10 Slika 4: Ciklični latinski kvadrat. ....................................................................... 10 Slika 5: Tabelarični prikaz števila skrčenih in vseh latinskih kvadratov. ............. 11 Slika 6: Vsi možni skrčeni latinski kvadrati reda n =4. ....................................... 11 Slika 7: Primer sudokuja. ................................................................................... 12 Slika 8: Primer futoshikija (levo) ter ena od njegovih rešitev (desno). ................ 12 Slika 9: Primer 5-barvanja kvadrata reda 4 in njegovo razširjanje....................... 14 Slika 10: Barvanje celic (i,j), jiji , ........................................................... 16 Slika 11: Barvanje celic (n,i) z barvo 2i (mod 5). ............................................... 17 Slika 12: Barvanje celic (j,i) z barvo k + 6,......................................................... 17 Slika 13: Posplošeni latinski kvadrat reda n = 6.................................................. 18 Slika 14: Posplošeni latinski kvadrat reda n = 8.................................................. 19 Slika 15: Posplošeni latinski kvadrat reda n = 5 s 3 nepobarvanimi celicami. ..... 23 Slika 16: Posplošeni latinski kvadrat L1.............................................................. 23 Slika 17: Posplošeni latinski kvadrat L2.............................................................. 23 Slika 18: Kombinacija štirih nepobarvanih celic – shema 1. ............................... 24 Slika 19: Shema 1 pobarvana na dva različna načina. ........................................ 25 Slika 20: Posplošeni latinski kvadrat reda n = 5 s 4 nepobarvanimi celicami. ..... 26 Slika 21: Posplošeni latinski kvadrat L1.............................................................. 26 Slika 22: Posplošeni latinski kvadrat L2.............................................................. 26 Slika 23: Barvanje celic – shema 2. Slika 24: Barvanje celic – shema 3. .................................................................... 27 Slika 25: Posplošeni latinski kvadrat reda n = 5, s 4 nepobarvanimi celicami. .... 28 Slika 26: Posplošeni latinski kvadrat L1.............................................................. 29 Slika 27: Posplošeni latinski kvadrat L2.............................................................. 29 Slika 28: Nepobarvane celice – shema 4. Slika 29: Nepobarvane celice – shema 5............................................................. 30 Slika 30: Shema 6. ............................................................................................. 32 Slika 31: Shema 7. ............................................................................................. 33 Slika 32: Shema 8. ............................................................................................. 34 Slika 33: Posplošeni latinski kvadrat reda n = 5 s 5 nepobarvanimi celicami. ..... 35 Slika 34: Posplošeni latinski kvadrat L1.............................................................. 36 Slika 35: Posplošeni latinski kvadrat L2.............................................................. 36 Slika 36: Nepobarvane celice – shema 9............................................................. 37 Slika 37: Nepobarvane celice – shema 10........................................................... 37 Slika 38: Nepobarvane celice – shema 11. Slika 39: Nepobarvane celice – shema 12........................................................... 40 Slika 40: Nepobarvane celice – shema 13. Slika 41: Nepobarvane celice – shema 14........................................................... 40 Slika 42: Nepobarvane celice – shema 15. Slika 43: Nepobarvane celice – shema 16........................................................... 40 Slika 44: Nepobarvane celice pravokotnika C. ................................................... 45

Boštjan Pogač 65

Slika 45: Delno barvanje 5 x 5 kvadrata z 8 barvami. ......................................... 49 Slika 46: Možne barve za delno barvan 5 x 5 kvadrat. ........................................ 50 Slika 47: Možne barve za delno barvan 5 x 5 kvadrat. ........................................ 50 Slika 48: Možne barve za delno barvan 5 x 5 kvadrat......................................... 50 Slika 49: Posplošeni latinski kvadrat tipa (5,8). .................................................. 51 Slika 50: Delno barvanje 5 x 5 kvadrata z 8 barvami. ......................................... 51 Slika 51: Možne barve za delno barvan 5 x 5 kvadrat. ........................................ 52 Slika 52: Posplošeni latinski kvadrat tipa (5,8). .................................................. 52 Slika 53: Delno barvanje 5 x 5 kvadrata z 8 barvami. ......................................... 53 Slika 54: Posplošeni latinski kvadrat tipa (5,8). .................................................. 53 Slika 55: Delno barvanje 5 x 5 kvadrata z 8 barvami in 9 nepobarvanimi

celicami. .............................................................................................. 54 Slika 56: Možne barve za delno barvan 5 x 5 kvadrat. ........................................ 54 Slika 57: Primer 10 x 10 kvadrata razdeljenega na 5 x 5 kvadrate....................... 56 Slika 58: Ciklično barvanje 5 x 5 kvadrata. ........................................................ 56 Slika 59: Barvanje 2 x 2 kvadrata s 3 barvami. ................................................... 57 Slika 60: Delno barvanje 10 x 10 kvadrata z 18 barvami. ................................... 58 Slika 61: Možne barve za delno barvan 10 x 10 kvadrat. .................................... 58 Slika 62: Posplošeni latinski kvadrat tipa (10,18). .............................................. 59 Slika 63: Barvanje 4 x 4 kvadrata s 7 barvami. ................................................... 59 Slika 64: Delno pobarvane 5 x 5 kvadrate postavimo na glavno diagonalo

20 x 20 kvadrata. ................................................................................. 60 Slika 65: Delno barvanje 20 x 20 kvadrata z 38 barvami. ................................... 61 Slika 66: Možne barve za nepobarvane celice 20 x 20 kvadrata pobarvanega z

38 barvami. ......................................................................................... 61 Slika 67: Posplošeni latinski kvadrat tipa (20,38) ............................................... 62

Boštjan Pogač 66

6 LITERATURA

[1] Čagran, B., Pšunder, M., Fošnarič, S. (2004): Priročnik za izdelavo

diplomskega dela. Maribor: Pedagoška fakulteta.

[2] Konvalinka, M. (2004): Posplošeni latinski kvadrati. Ljubljana: Društvo

matematikov, fizikov in astronomov Slovenije.

[3] Mészáros, K. (2008): Generalized Latin squares and their defining sets,

Discrete Mathematics, Volume 308, Issue 12, Pages 2366-2378.

[4] Van Lint, J. H., Wilson, R. M. (1993): A Course in Combinatorics,

Cambridge: Cambridge University Press.

Documents

POSPLOŠENI LATINSKI KVADRATI - CORE · 2020. 1. 30. · Latinski kvadrat reda n je n × n tabela napolnjena z n različnimi znaki, tako da se vsak znak pojavi le enkrat v vsaki vrstici