prato_ruotedentate.pdf

Ruote dentate

Autori: Monica Malvezzi/Luca PugiAggiornata al 10 marzo 2010

(Bozza si ringraziano tutti coloro che dovessero segnalare eventuali sviste, errori, etc)

1

Trasmissione del moto tra assi paralleli

Si considerino due assi tra loro paralleli (r e rin figura) e due corpi rigidi che ruotano attorno a tali assi con velocit angolari e , facciamo inoltre lipotesi che le due velocit angolari siano fra loro discordi.

Volendo ricavare le primitive del moto (polare fissa e polare mobile ) imponiamo che il rapporto tra le due velocit angolari sia costante, ovvero:

Per ottenere il moto relativo dellasse r rispetto allasse r, si imprime a tutto il sistema una rotazione -. Si otterr cos ancora una rotazione di intensit + attorno ad un asse parallelo a r e r ma passante per un punto C, tale da garantire la condizione:

2

.cos'

t

COOC ''

Trasmissione del moto tra assi paralleli

3

moltiplicando entrambi i membri per (OC/) si ottiene:

avendo sfruttato lipotesi fatta in precedenza. Dal momento che la distanza OO si mantiene costante durante il moto ed costante il rapporto tra i segmenti OC e OC allora si pu scrivere che:

Allora le due polari sono date da due cilindri circolari di assi r e r e di raggi OC e OC.

tCO

OCcos

'

'

tCO

tOC

cos

cos

'

Ruote di frizione

Se ci riportiamo su di un piano ortogonale alla direzione di , le due polari del moto possono essere rappresentate per mezzo di due circonferenze tangenti nel punto C (centro distantanearotazione). Materializzando tali circonferenze possiamo ricavare un primo esempio di trasmissione tra assi paralleli in cui i due membri hanno un moto relativo dato da un rotolamento puro. Questo tipo di trasmissione prende il nome di ruote di frizione. Sotto questipotesi, riferendoci alla figura, sia la polare fissa coincidente con la ruota motrice, R sia il raggio di , la ruota motrice abbia una velocit di rotazione pari a ed il momento motore sia diretto in senso antiorario, sia la polare mobile coincidente con la ruota cedente, R sia il raggio di , la ruota motrice abbia una velocit di rotazione pari a ed il momento resistente sia anchesso diretto in senso antiorario.

4

Ruote di frizione

5

Essendo il moto relativo un rotolamento puro non vi potr essere strisciamento tra i due membri, questo implica che le velocit periferiche nel punto di contatto (C) dovranno avere uguale intensit, ovvero:

RR

Definiamo poi il rapporto di trasmissione tra le due ruote come, il rapporto tra la velocit angolare della ruota cedente e la velocit angolare della ruota motrice, ovvero:

'

Sfruttando la condizione di non strisciamento tra le ruote si pu anche scrivere:

'R

R

ovvero il rapporto di trasmissione pu essere espresso utilizzando solo parametri geometrici delle ruote di frizione.

Ruote di frizione

Analizziamo adesso la coppia nel caso ideale.

6

NhRM

NhRM

r

mo

'

dove h deve essere:

fh 0

Eliminando hN si giunge allespressione:

rrmo MMR

RM

'

ovvero, nel caso ideale, il momento motore esprimibile attraverso il prodotto del rapporto di trasmissione per il momento resistente.

Ruote di frizione (opt)

Lassunzione che il moto relativo sia dato da un rotolamento puro per una semplificazione, in realt si vengono a creare delle deformazioni locali nellintorno del punto di contatto, deformazioni dovute alla pressione tra le due ruote; quindi il contatto non avviene pi in un punto ma su di una linea. Come conseguenza si ha che la forza N non passa pi per il centro delle ruote di frizione ma traslatata, parallelamente a se stessa, di una quantit , la direzione della traslazione dipende dal senso di rotazione delle ruote di frizione.

Anche per il caso reale calcoliamo le espressioni del momento motore e del momento resistente:

Dalla seconda espressione si pu ricavare N:

7

NhRNM

NhRNM

r

m

'

'Rh

MN r

Ruote di frizione (opt.) Sostituendo poi N nella prima espressione si ricava il momento motore:

Ricordando lespressione del rendimento:

si pu scrivere per la coppia di ruote di frizione:

Le ruote di frizione vengono impiegate nella trasmissione di piccole coppie (strumenti di misura, motorini di ciclomotori), nella trasmissione di moto sotto lazione di forze modeste ad organi di grandi dimensioni ( ad esempio betoniere).

Il difetto di una trasmissione del moto mediante ruote di frizione che essa dipende dal valore del coefficiente dattrito; volendo utilizzare un tipo di trasmissione indipendente da tale coefficiente si deve rinunciare ad avere un moto relativo di puro rotolamento.

8

Rh

Rh

R

RMM

Rh

RhM rrm

'

''

m

mo

M

M

Rh

Rh

Rh

Rh

R

RM

R

RM

r

r

''

'

'

Profili coniugati

Dato un generico moto piano definito per mezzo della polare fissa e della polare mobile si definiscono profili coniugati due curve che durante il moto piano si mantengono costantemente in contatto. Le polari stesse del moto sono due particolari profili coniugati.

Per i profili coniugati vale la seguente propriet:

La normale comune ai profili coniugati nel punto di contatto passa per il centro di istantanea rotazione C del moto piano.

Se cos non fosse si avrebbe il distacco o la compenetrazione dei profili durante il moto.

9

Profili coniugati

Vogliamo adesso ,date le due polari del moto ed il profilo p ,tracciare il profilo p (coniugato di p). Per fare questo useremo due diversi metodi.

10

Metodo dellinviluppoQuesto metodo consiste nel disegnare le posizioniassunte dal profilo p durante il moto dirotolamento della polare mobile sulla polare fissa.La curva ottenuta come inviluppo di tutte le curvep tracciate sar il profilo p cercato.

Profili coniugati

Metodo dellepiciclo

Consideriamo una curva ed un punto P ad essa solidale e facciamo rotolare la curva una volta sulla polare fissa e una volta sulla polare mobile . Durante tali moti il punto P descriver due curve p e p tra loro coniugate.

Con riferimento alla figura possiamo scrivere le seguenti relazioni geometriche:

da cui si ricava luguaglianza:

tale relazione indica che i punti P1 e P1 sono coniugati durante il moto.

Si possono ottenere due profili coniugati anche utilizzando, al posto del punto P, una curva solidale alla curva .

11

11

''

1

'

1

'

1

''

1

PCPC

PCPC

11

'

1

'

1 PCPC

Il metodo dellepiciclo ha la particolarit di poter creare delle famiglie di curve tali che presi due profili qualunque questi risultano essere fra loro coniugati. Lasserto deriva dal considerare che il profilo p ricavato unicamente da e dalla polare fissa, mentre il profilo p ricavato unicamente da e dalla polare mobile. Variando (o ) si ottiene una nuova curva p (o p) ancora coniugata con p (o p).

Ruote dentate cilindriche ad evolvente

Come abbiamo gi detto parlando delle ruote di frizione se si desidera avere una trasmissione del moto indipendente dal valore del coefficiente dattrito si deve abbandonare lassunzione di utilizzare come profili coniugati le polari del moto e quindi rinunciare ad avere un moto di puro rotolamento.

Si deve quindi utilizzare uno dei metodi visti nel precedente paragrafo per generare due profili coniugati; scegliamo il metodo dellepiciclo. La curva (epiciclo) sia una retta solidale ad entrambe le polari e la curva sia una retta solidale a . I profili che verr a generare sono evolventi di cerchio, infatti se chiamiamo langolo che forma con allora langolo che la normale a (passante per il centro istantaneo di moto C ed indicata con ) forma con lepiciclo sar:

Quindi in ogni generica posizione la retta si manterr ad una distanza costante dal centro O della polare fissa, tale distanza definita come:

12

tcos2

cos R


13


Levoluta del moto sar allora una circonferenza di centro O e raggio e prende il nome di circonferenza di base.

Con considerazioni del tutto analoghe si pu asserire che il profilo p levolvente della circonferenza di centro O e raggio

Gli stessi profili coniugati potevano essere generati come traiettoria di un punto P solidale alla retta , durante il moto di rotolamento di tale retta sulle due circonferenze di base.

I profili ad evolvente godono poi delle seguenti propriet:

La forza trasmessa dai denti, se si trascurano gli attriti, ha direzione costante

I profili rimangono coniugati anche variando linterasse, in questo caso cambia solo langolo (detto angolo di pressione). Per langolo di pressione esistono valori normalizzati pari rispettivamente a 20 e 14.30

La ruota con un numero infinito di denti (denominata dentiera) ha un superfici dei denti piane.

14

cos'' R

Caratteristiche geometriche di una ruota dentata

Ruota a dentatura esterna

29/03/2010 Componenti Meccanici per l'Automazione 15

Ruota a dentatura interna

Prendiamo, come riferimento, una generica ruota dentata cilindrica a denti dritti. La cresta del dente compresa entro una circonferenza, la quale prende il nome di circonferenza di testa. Oltre a questa sono presenti la circonferenza primitiva, traccia sul piano della ruota dentata della polare del moto relativo; la circonferenza di base e la circonferenza di piede. Questultima delimita la parte inferiore del dente ed a questo raccordata. Tutte le circonferenze sopraccitate sono concentriche.

Caratteristiche geometriche di una ruota dentata

La distanza radiale tra la primitiva e la circonferenza di testa prende il nome di addendum(generalmente indicato con a), mentre la distanza radiale tra la primitiva e la circonferenza di piede prende il nome di dedendum (generalmente indicato con d). Si chiama invece altezza del dente (indicata con h) la somma delladdendum e del dedendum.

Le superfici laterali del dente prendono il nome di fianco. La circonferenza primitiva divide il fianco del dente in due porzioni, unesterna alla circonferenza primitiva che prende il nome di fianco addendum e uninterna alla circonferenza primitiva che prende il nome di fianco dedendum.


Modulo di una ruota dentata

Si definisce modulo di una ruota dentata il rapporto tra il diametro primitivo 2R e il numero di denti z, ovvero:

Il valore del modulo non pu essere scelto arbitrariamente ma deve rientrare in uno dei valori normalizzati (UNI 4504).

La norma UNI prevede che siano adottati di preferenza i valori del modulo riportati in grassetto


z

Rm

2

VALORI NORMALIZZATI DELMODULO

1 1.25 1.5 1.75

2 2.25 2.5 2.75

3 3.25 3.5 3.75

4 4.5

5 5.5

6 6.5

7 8 9 10 11 12 14 16

Proporzionamento di una ruota dentata

Una volta definito il modulo si pu distinguere tra due diversi tipi di proporzionamento:

Proporzionamento normale: in cui

a = m

d = 1.25m

h = 2.25 m

Proporzionamento ribassato: in cui

a = 0.8m

d = m

h = 1.8m

Sulla circonferenza primitiva si possono misurare altri due parametri geometrici caratterizzanti un dente di un ruota dentata, questi sono lo spessore ed il vano. Lo spessore ed il vano sono pari a met del passo; questultimo definito come la distanza tra due profili consecutivi misurata sulla circonferenza primitiva.


Rapporto di trasmissione-numero di denti

Lespressione analitica del passo data da:

dove R il raggio della primitiva e z il numero di denti della ruota. Condizione necessaria affinch due ruote dentate ingranino fra di loro che abbiano lo stesso passo. E interessante notare che esiste un legame tra modulo e passo di una ruota dentata:

Ma questo equivale a dire che due ruote dentate ingranano fra loro se hanno lo stesso modulo. Volendo dimostrare lasserto si considerino due ruote dentate (ruota 1 e ruota 2) aventi la prima passo p1 e la seconda passo p2. Affinch vi sia ingranamento deve risultare:

ma scrivendo il passo in funzione del modulo si ha:

semplificando si ottiene infine:


z

Rp

2

mz

R

z

Rp

22

21 pp

21 mm

21 mm

Rapporto di trasmissione-numero di denti

Consideriamo la definizione del rapporto di trasmissione tra due ruote dentate:

dove R1 e R2 sono i raggi delle primitive delle ruote. Dalla definizione di passo si pu ricavare la seguente espressione:

Quindi il rapporto di trasmissione pu essere scritto come:

Ovvero il rapporto di trasmissione direttamente legato al numero di denti delle due ruote dentate.


2

1

R

R

2

zpR

2

1

2

1 2

2 z

z

zp

zp

Condizione di continuit del moto

Durante lingranamento delle due ruote dentate ilpunto di contatto tra due generici denti si sposta sudi un segmento appartenente ad una retta, indicatacon , chiamata retta dei contatti, il segmentoprende invece il nome di arco di ingranamento, ed delimitato dai punti N1 e N2, intersezioni dellaretta con le circonferenze di testa delle due ruote.

Durante il moto del punto di contatto dal punto N1al punto N2, le due primitive 1 e 2 rotolano su diun arco s, denominato arco di azione. Esiste unarelazione tra il passo di una ruota e la lunghezzadellarco di azione, tale relazione prende il nome dicondizione di continuit del moto e si esprimeanaliticamente attraverso la relazione:

Dove con p si indicato il passo della ruotadentata. Se non si verificasse tale condizione (adesempio risultasse che p > s) vorrebbe dire che inun arco di lunghezza p-s non si avrebbero denti inpresa e quindi il moto della ruota dentatarisulterebbe discontinuo, cosa che non accettabile.


ps

Continuit del moto

Calcoliamo adesso, per via analitica le lunghezze dellarco di azione e dellarco di ingranamento. Riferendosi alla figura, dalle propriet geometriche dellevolvente di cerchio si ha che vale luguaglianza:

Consideriamo adesso le circonferenze di testa e primitiva; esiste una relazione tra gli archi B2C e HL e i raggi delle circonferenze:

sfruttando luguaglianza scritta in precedenza:


CNHL 2

cos1

cos1

1

1

12

R

RR

HL

CB

coscos2

2

CNHLCB

Continuit del moto

Lespressione di tutto larco di azione s data da:

Calcoliamo adesso il valore del segmento N2C. Indichiamo ilsegmento N2C con la variabile x. Applicando il teorema diCarnot al triangolo N2CO1 si pu scrivere:

semplificando si ottiene unequazione di secondo grado nellavariabile x:

la quale risolta porta ad unespressione della variabile infunzione unicamente del raggio della circonferenza primitiva,delladdendum e dellangolo di pressione.

Per calcolare anche lespressione della parte di segmento CN1,si deve considerare laltra ruota ripetendo, in modo del tuttoanalogo, i ragionamenti fatti in precedenza.


cos12

12

NNBBs

sin22

2cos2

1

22

1

2

1

2

1

1

22

1

2

1

xRxRaaRR

xRxRaR

02sin2 112 RaaxRx

2 22 1 1 1sin sin 2x N C R a R R a

Condizione di non interferenza tra i profili

Sia P il punto di contatto tra due denti in presa, con profilo ad evolvente di cerchio, di due ruote dentate. Il punto P, durante il moto relativo, si sposter lungo la retta dei contatti descrivendo un segmento. Il segmento dovr risultare o tutto interno, oppure esterno, al segmento T1T2, anchesso appartenente alla retta dei contatti.

I punti T1 e T2 sono i centri di curvatura dei profili e quando il punto P si muove allinterno del segmento T1T2 i denti risultano entrambi avere fianchi convessi, se il punto P invece esterno al segmento T1T2 allora entrambi i denti avranno fianchi concavi. Queste due tipologie di fianco sono accettabili, non invece accettabile un fianco che cambi concavit (da concavo a convesso o da convesso a concavo) cosa che accadrebbe se il punto P percorresse un segmento solo in parte contenuto in T1T2. Ricapitolando si pu enunciare la condizione di non interferenza dei profili come:

Affinch non si abbia interferenza tra i denti di due ruote dentate durante il moto di ingranamento il punto di contatto P tra i denti deve percorre un segmento o tutto interno o tutto esterno a T1T2, distanza tra i centri di curvatura dei profili misurata sulla retta dei contatti.

24


La condizione di non interferenza dei profili introduce anche una condizione minima sul numero di denti di una generica ruota dentata.

Sia N1N2 il segmento sulla retta dei contatti percorso dal punto P, e sia C il centro istantaneo di moto delle due primitive. Per la non interferenza dovr risultare:

Facciamo lipotesi che la ruota 1 abbia diametro maggiore e che sia realizzata con proporzionamento normale. Sotto queste condizioni vale la disuguaglianza:

La condizione pi gravosa per le ruote dentate :

La quale impone un valore massimo sulladdendum e quindi una condizione minima sul numero di denti della ruota, infatti

Quindi, per una data primitiva, se laddendum assume un valore di massimo il numero di denti deve necessariamente assumere un valore di minimo, dal momento che sono in una relazione di proporzionalit inversa.


11

22

CTCN

CTCN

1212 CTCTCNCN

22 CTCN

z

Rkmka2



Cerchiamo adesso di ricavare, per via analitica il numero di denti minimo. Riferendoci alla figura, poniamoci in una condizione limite, ovvero vale la relazione:

Consideriamo il triangolo N2CO1 , in questo i cateti sono esprimibili attraverso le relazioni:

Applichiamo il teorema di Carnot si ha:

Svolgendo ulteriormente i calcoli si ha:

Semplificando, si ottiene unequazione di secondo grado nella variabile a:

Risolvendo tale equazione si ricava lespressione:

22 CTCN

sin2211

121

RCN

RCO

RaNO

2cossin2sin 21

22

2

2

1

2

1 RRRRaR

22122

2

2

1

2

1

2

1 sin2sin2 RRRRaaRR

122

21

2 2sin2 RRRaRa

2122

2

2

1 sin2 RRRRa


Dovendo essere:

e ricordando lespressione del modulo, si pu scrivere:

Il numero minimo di denti cos dato da:

Avendo sostituito al rapporto tra i raggi primitivi il rapporto di trasmissione. Nel caso di ruote a dentatura interna si procede in modo analogo, sostituendo con - e prendendo il radicando col segno negativo, si ha cos:


maxmax mka

21222

11

min

2 sin22

RRRRRz

kR

22

2

122

2

11

2min

sin21

2

sin2

2

k

RRRRR

kRz

22min

sin21

2

kz


Come ultimo caso prendiamo in esamelingranamento tra una dentiera e una ruota dentata(in questo caso il rapporto di trasmissione tendeallinfinito).

Dal momento che il rapporto di trasmissione tendeallinfinito non possibile ricavare, attraverso le formule precedenti, unespressione del numero minimo di denti. Se per osserviamo la figura si pu notare che possibile scrivere la relazione:

a sua volta CT2 esprimibile attraverso la relazione:

e quindi:

Procedendo come nel caso di due ruote, si arriva infine alla relazione cercata:


sin2CTa

sin22 RCT

22 sinRa

2sin2k

z

Taglio ruote Dentate esempi

29

Correzione Ruote Dentate

30

min 2

2

sin

a km

kz z

Condizione di non interferenza tra i profili:

Conseguenza: il minimo numero di denti assegnato: circa20 (15-30 dipende da a e k)

Pu sorgere esigenza di usare numero di denti minore:1) Maggiore resistenza/coppia trasmissibile rispetto ad

ingombri2) Montaggio ruote con interassi strettamente fissati

Si adottano le cosidette dentature corrette

31

Traslazione della primitiva di taglio/1Il moto di taglio

Dentiera di riferimento

Primitive di ruota e dentiera

Circonferenza di testa della ruota/retta di piede della dentiera

Circonferenza di piede della ruota/retta di testa della dentiera

32

Traslazione della primitiva di taglio/2:se ruota presenta problemi di interferenza si allontana la dentiera dalla ruota

xDentiera di riferimento

a

x0

0

0

0

dente corretto

2 22

2 22

a

d

a a x k m x

d d x k m x

ms s xtg xtg

mv v xtg xtg

Il dente corretto

pi spesso e quindi resistente

Attenzione: forma dei profili qualitativa

33

Traslazione della primitiva di taglio/3:

x

1 0

1 0

1 0

1 0

dente corretto

2 22

2 22

a

d

a a x k m x

d d x k m x

ms s xtg xtg

mv v xtg xtg

min 01 2

min min1 0 2

min 00 2

minmin 20 1

1 1

dente corretto:

2sin

2sin

2sin

sin2

a xz

xmz z

a mz

m

z zxz z

m

Spostamento positivo

implica possibilit di

avere un numero di denti

pi basso

Segno negativo deriva dal fatto che

limitazione dipende da addendum circ./retta

di testa della tagliante/dentiera di riferimento

34


10

10

10

10

dente corretto

2 22

2 22

a

d

a a x k m x

d d x k m x

ms s xtg xtg

mv v xtg xtg

Per mantenere stesso interasse e poter ingranare con ruota corretta la ruota 2 deve

avere lo stesso modulo, ma anche spessori ed altezze di vano e denti compatibili

con la 1, questo implica correzione simmetrica con traslazione pari a -x

2 0

2 0

2 0

2 0

dentatura che ingrana con dente corretto (stesso interasse)

2 22

2 22

12

a

d

a a x k m x

d d x k m x

ms s xtg xtg

mv v xtg xtg

ATTENZIONE z z

35


2 0 2 0

2 0 2 0

ruota 2

;

2 2 ; 2 22 2

a da a x k m x d d x k m x

m ms s xtg xtg v v xtg xtg

xeccessivox

Attenzione: forma dei profili qualitativa

Il dente risulta pi sottile se correzione negativa eccessiva si rischia la condizione di sotto-taglio/ interferenza dei profili su ruota 2

La traslazione x applicata alla ruota 2 provoca un aumento del numero minimo di denti che risulta maggiore

di quello nominale. Correzioni eccessive portano a

violazione della condizione di non interferenza sulla ruota 2

min 02 2

min min2 0 2

min 00 2

minmin 22 0

2 2

dente corretto:

2sin

2sin

2sin

sin2

a xz

xmz z

a mz

m

z zxz z

m

36


min min2 0 2

ruota 2:

2sin

xz z

m

min min0 1 2

1

2sin

ruota

xz z

m

min min2 0 2

min min min min min min2 1 0 2 1 0

min min0 1 2

min min min2 1 2 1 0

2sin 2 0 2

2sin

2 min12 0

2

xz z

m z z z z z zx

z zm

z z z z z z z z

La correzione simmetrica delle due ruote pu essere effettuata se e solo se

risulta verificata la condizione che la somma dei denti delle due ruote

maggiore del doppio del numero di denti minimo calcolato per la dentatura

senza correzione

37


min min22 0

ruota 2:

sin2

z zx

m

min min20 1

1

sin2

ruota

z zx

m

min min min2 1 2 1 02

min12 0

2z z z z z z z z

Si poteva pervenire alla medesima espressione anche in altro modo.

38


min12 0

2z z z

Non si pu applicare correzione simmetrica ad entrambe le ruote necessario dunque cambiare linterasse tra le ruote e quindi langolo di pressione per permettere lingranamento ed una correzione non simmetrica delle due ruote.

min2 1 0 1 22z z z x x

min2 1 0 1 22z z z x x x

39


min12 0

2z z z

Si calcolano x1 ed x2 minimi per soddisfare la condizione di non

interferenza su entrambe le ruote

min 01 2

min min1 0 2

min 00 2

minmin 20 11

1 1

minmin 20 22

2 2

ruota 1

2sin

2sin

2sin

sin2

ruota 2

sin2

a xz

xmz z

a mz

m

z zxz z

m

z zxz z

m

40


min12 0

2z z z

Noti x1 ed x2 che consentono di tagliare ruota senza problemi di interferenza

su entrambe le ruote si applica la seguente relazione che consente di

mantenere la congruenza di spessori di denti e vani

1 2

1 2

tan

tan

tan2

funzioneevolvente

c c c

c

inv

inv

x xinv inv

m z z

Si calcola anche iterativamente il nuovo angolo di pressione

41


min12 0

2z z z

Per le propriet delle dentature ad evolvente deve valere:

1 1 1

2 2 2

cos cos

cos cos

c c

c c

r r

r r

Noti i raggi primitivi corretti si calcola linterasse come somma dei raggi primitivi corretti

1 2c c

ci r r Attenzione!!!!:correzioni corrispondenti ad angoli di pressione corretti elevati/ forti

incrementi di interassi possono portare a riduzioni non accettabili di arco di azione ed

ingranamento

Ruote cilindriche a denti elicoidali

Una ruota dentata cilindrica a denti dritti pu essere pensata generata da un segmento AB, solidale al piano (piano dei contatti) e parallelo agli assi dei cilindri di base.

Se il segmento non parallelo agli assi ma inclinato (figura 60), rispetto ad essi, di un dato angolo d (questo equivale a considerare il segmento MP in luogo del segmento AB),la superficie del dente non pi cilindrica ma elicoidale si ottengono quindi ruote dentate cilindriche a denti elicoidali



Vantaggi:

Il contatto tra due generici denti graduale: inizia in un punto, continua su dei segmenti e termina ancora in un punto. Ci implica minori urti e quindi un incremento del rendimento.

Larco di ingranamento risulta incrementato della quantit

questo porta ad un aumento dellarco di azione di

questo porta un vantaggio nella condizione di continuit del moto.


btgl

cos

btgl


Trascurando le forze dattrito lazione S che si trasmettono due denti ortogonale a segmento MP e pu essere scomposta in due componenti: una N normale agli assi dei cilindri primitivi e una T parallela agli assi dei cilindri primitivi. Solo la forza N trasmette coppia, la forza T deve essere equilibrata dai cuscinetti montati sullalbero, per questo motivo lalbero di una ruota dentata a denti elicoidali deve essere supportato da almeno un cuscinetto capace di equilibrare forze assiali (es. cuscinetti orientabili a sfere o a rulli conici).




L'ingranaggio a doppia elica supera il problema della sollecitazione dellalbero in direzione assiale grazie all'uso di denti con cresta a forma di V. Si pu immaginare questo ingranaggio come costituito da due ruote elicoidali distinte affiancate specularmente, in modo che le forze assiali si annullino a vicenda.


Se uno dei due cilindri degenera in un piano si ottiene la dentiera elicoidale, la quale pu essere vista come una dentiera a denti dritti di cui si considera una parte, delimitata da due piani paralleli inclinati di un angolo rispetto alla generatrice dei denti. Langolo linclinazione dellelica misurata sul cilindro primitivo. Il fatto che una dentiera elicoidale sia ricavabile da una dentiera a denti dritti porta al vantaggio che le ruote a denti elicoidali possono essere realizzate utilizzando le stesse dentiere utensili delle ruote a denti dritti inclinate di un angolo .

Esiste una relazione tra e b.

Sia h il passo dellelica, h risulta lo stesso sia se misurato sul cilindro primitivo sia se misurato sul cilindro di base; allora con riferimento alla figura possibile scrivere:

eliminando h si ha:


tg

rh

tgh

b

2

2

tg

r

tg b

22


semplificando si ha:

ricordando che:

si pu scrivere, infine, la relazione cercata:

Esiste anche una relazione tra modulo normale (mn) e modulo periferico (m):


btgr

tg

cos r

cos

btgtg

cos mmn

Trasmissione del moto tra assi incidenti

Riferendoci alla figura consideriamo due assi: a1 e a2, tra loro incidenti nel punto O, consideriamo anche due generici corpi rigidi ruotanti, il primo con velocit 1 attorno allasse a1e il secondo ruotante con velocit angolare 2 attorno allasse a2. Vogliamo determinare le primitive del moto relativo dellasse 2 rispetto allasse1. Per far ci introduciamo lipotesi che il rapporto tra le velocit angolari dei due corpi sia costante, ovvero:

Se imprimiamo a tutto il sistema una rotazione -1, il moto risultante sar ancora una rotazione, con velocit angolare , il cui valore analitico sar dato da:


tcos1

2

2211 coscos

Trasmissione del moto tra assi incidenti

Varranno inoltre anche le seguenti relazioni:

Dal momento che si fatta lipotesi si ha:

ed essendo costante anche la somma dei due angoli si arriva infine a:

quindi le primitive del moto relativo sono due coni rotondi di vertice comune O e aventi aperture 1 e 2. Si pu quindi pensare di prendere, come superfici coniugate, dei tronchi di cono ottenendo cos ruote di frizione coniche. Tali ruote di frizione presenteranno per gli stessi inconvenienti visti nel caso di trasmissione per assi paralleli.


tcos

sinsin

21

2211

tcos1

2

tt coscossin

sin

2

1

2

1

t

t

cos

cos

2

1

Ruote dentate coniche

Un sistema di ruote dentate coniche pu essere definito intersecando i coni primitivi con una sfera di centro O; le superfici dei denti si ottengono proiettando da O due profili coniugati sferici.

Un sistema di dentature che utilizzi il metodo dellepiciclo avr come profili coniugati delle evolventi sferiche ottenute come traiettorie di un generico punto P della circonferenza massima che rotola sulle circonferenze di base.

Un caso particolare si ha quando uno dei due coni degenera in un piano, in questo caso la ruota prende il nome di dentiera piano-conica e contrariamente al caso della dentiera a denti diritti non avr la superficie dei denti piana ma questa avr curvatura opposta nella costa e nel fianco.

Se si applica il metodo dellepiciclo utilizzando le curve e (che in questo caso coincidono con due circonferenze massime della sfera) si otterr un profilo coniugato non coincidente con levoluta sferica. In questo caso per le superfici della dentiera piano-conica saranno piane .

50

51

Il profilo del dente risulta definito su una superficie sferica: problema superficie

sferica non sviluppabile:Non esiste cio trasformazione geometrica che consenta di ottenere lo sviluppo

esatto di una superficie sferica e quindi di una curva generica su essa definita

(esempio classico le proiezioni utilizzate per realizzare mappe geografiche)

Metodo di Tretgold/1

52


Si approssima la superficie sferica su cui definito il profilo del dente con la

corrispondente superficie conica tangente sulla circonferenza primitiva, il

cosidetto cono complementare. Il profilo del dente costruito sulla sfera di

raggio R viene quindi approssimato con la corrispondente proiezione sul

cono complementare

Circonf. primitiva

Cono Complementare

a

53


Rcb

2 ;

sin

r circonferenza primitiva

r R

tan

c

c

R sviluppo cono complementare

R R

tan 2 sin

2 cos

R R

Una volta calcolato langolo b si procede costruendo la dentatura sullo sviluppo del cono complementare di raggio Rc che diventa il raggio

primitivo della ruota a denti diriitti equivalente

54


**

**

; ; 2 cos2 2

2

2 2 cos

conicac

conica conicaconica

c c

Zm Z Z

R

Z ZZpoich Z m Z

R R

Si costruisce il profilo come quello di una ruota a denti diritti con raggio

primitivo pari a Rc il modulo viene scelto in modo da assicurare un

numero di denti intero alla ruota conica, (periodicit del passo del dente rispetto a b)

Rcb

ad

Circ.

Piede

29/03/2010 Ing. Meccanica Prato 55

Trasmissione del moto tra assi sghembi (coppia

ruota-vite e ruote ipoidali)

56

Trasmissione del moto tra assi sghembi (ruote

iperboloidiche)/1

1O

2O

2

1

Problema trasmissione del moto tra due assi sghembi

57


iperboloidiche)/2

1O

2O

2

1

Si definisce M intersezione del piano p con la normale m.sul piano p possibile proiettare semplicemente traslandole le due velocit angolari W1 e W2

Piano p perpendicolare a m

M

2

1

58


iperboloidiche)3

Si definisce M intersezione del piano p con la normale m.sul piano p possibile proiettare semplicemente traslandole le due velocit angolari W1 e W2 si valuta quindi W21 velocit relativa angolare di 2 rispetto a 1

M

2

1 121 2 1

velocit relativa rispetto a

59

Trasmissione del moto tra assi sghembi (coppia

ruota-vite e ruote ipoidali)/4

Dalla equazione generale dei moti rigidi sappiamo che un qualsiasi atto di moto rigido

sempre riconducibile ad un atto di moto elicoidale rispetto ad un asse detto asse di Mozzi che minimizza la velocit vs di traslazione assiale. Considerando che W21 necessariamente lasse del moto relativo trovare tra gli infiniti piani perpendicolari a m quello che minimizza vs significa trovare il piano su cui far avvenire il contatto in

modo che asse di mozzi passi per il punto di contatto tra le sup. dei denti/le primitive

del moto e quindi si abbia il minimo strisciamento.

M

2

1

21

g1g2

g

sv

60

Trasmissione del moto tra assi (ruote

iperboloidiche)/5

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

;

;

M

M

V r r MO

V r r MO

M

2

12r

2MV

1r

1MV

Le velocit VM1 e VM2 del punto M rispetto ai due assi 1 e due sono calcolate in

base alle relative distanze r1 ed r2

61


iperboloidiche)/6

La velocit relativa VM21 deve essere allineata alla vs per verificare la condizione di

appartenenza allasse del Mozzi quindi deve essere verificata la seguente condizione:

M

sv2MV

1MVg

g2

g1

1 2 22 2 1 1 2 2 2 1 1 1

2 1 1

coscos cos cos cos ;

cosM Mr

V V r rr

62


iperboloidiche)7

Dalla condizione di appartenenza allasse di Mozzi (lucido precedente) si ha:

1 2 2

2 1 1

cos;

cos

r

r

M

2

1

21

g1

g2

g

Applicando il teorema dei seni al triangolo delle velocit angolari si ha:

2 1 2 1

1 2 1 2

sin;

sin sin sin

Ponendo a sistema le due condizioni Applicando il teorema dei seni al triangolo

delle velocit angolari si ha:

1 1

2 2

tan;

tan

r

r


iperboloidiche)/8

M

sv2MV

1MVg

g2

g1

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

11 1 1 1 2 2

2

interasse

1 1 2 1

sin sin

sin sin

sinsin sin

sin

sin

s M Mv V V

r r

r r

r r

Si pu dimostrare che la superfici rigate corrispondenti alle successive

posizioni assunte dallasse del mozzi sono degli iperboloidi e che le superfici dei denti che minimizzano gli strisciamenti relativi hanno tale forma

64

Trasmissione tra assi sghembi (ruote elicoidali/1)

Cilindro di Base 1

Retta P1

Cilindro di Base 2

Retta P2

P

Il contatto avviene in un punto

solo P intersezione delle due rette

P1 e P2 appartenenti ai rispettivi

piani dei contatti

b1b b2b

65


Per evitare la compenetrazione

dei profili le due velocit normali

devono essere uguali:

Retta P2

P

b1b b2b

1 1 1 2 2 2

1 12

1 2 2

cos cos

cos

cos

b b

b

b

66


12

t2 2

1 1

velocit allineata secondo

1 1 1 2 2 2

2 1 1 1 1

1 2 2 2 2

cos cos

cos sin

cos sin

t

r r

r Z

r Z

1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 2 2

11 1 1 1 2 2

2

interasse

1 1 2 1

sin sin

sin sin

sinsin sin

sin

sin

sv r r

r r

r r

r r


Riduttore ruota elicoidale vite senza fine(g=90)

Si raggiungono rapporti di

trasmissioni enormi:

principidella vite (1,2)

1

2 2

Z p

Z Z

2 2

angolo elica inclinazionecorrisponde a parete filettocomplentare

1' tan '; tan ; cos

1 tan tan

cos'

cos

f f

f f

Rendimento:

tan

;tan '


Riduttore ruota elicoidale vite senza fine

tan

;tan '

Per aumentare rendimento

(generalmente non elevato):

Lubrificare coppia e/o usare materiali

diversi per vite e ruota.

Sezione del filetto quadra ( vite di

manovra, compatibilmente con problemi

di taglio e contatto)

Ing. Meccanica Prato 69

Riduttore ruota elicoidale vite senza fine

tan 'tan

; ' ;tantan '

Si ricorda che basso rendimento pu servire per rendere

moto irreversibile rendendo impossibile il moto retrogrado

(utile in alcune applicazioni):

''

'

; ' ; 1 ; 1 ' ;

1 1 ' 1 1 '

1 2 1' 1

r rp m p r

m r

p p m r

L LL L L L

L L

L L L L

Pi in generale (macchina generica):


Riduttore vite senza fine

Ruota elicoidale, vite

Madrevite, vite

Madrevite, vite globoidale

71

Vite quadra accoppiata con ruota elicoidale


Ruote ipoidali

Dimensionamento delle ruote dentate

Esempio numerico relativo alla scelta e al dimensionamento di due ruote dentate. I dati del problema sono:

P = 4000 W potenza del motore

N = 1500 RPM velocit di rotazione

= 1/3 rapporto di trasmissione

La prima cosa da fare cercare un valore dellinterasse ottimale per il funzionamento delle due ruote. Solitamente tale valore viene determinato per tentativi, noi faremo lipotesi che il valore ottimale dellinterasse sia:

i = 100 mm

Una volta noto il valore di i si pu scrivere il seguente sistema nelle incognite R1e R2, raggi delle due ruote:

Da cui si ricava


2

1

21

R

R

iRR

mmR

mmR

75

25

2

1


Passiamo adesso a determinare il numero dei denti di ciascuna ruota dentata. Per fare questo dovremo tener conto delle condizioni di non interferenza tra i profili e la condizione di non interferenza al taglio tra ruota dentata e dentiera utensile. Supponiamo di utilizzare ruote aventi denti con proporzionamento normale e con angolo di pressione pari a 20.

La condizione di non interferenza tra i profili esprimibile con la relazione:

e si applica alla ruota di raggio minore, con i dati a noi assegnati si ottiene:

La condizione di non interferenza a taglio esprimibile con la relazione:

e porta a:

Fissiamo quindi z1=18 e calcoliamo il modulo:


1sin21

2

21

z

151 z

21 sin2

z

181 z

mmz

Rm 8.2

18

2522

1

1


questo valore del modulo non rientra fra quelli normalizzati, scegliamo quindi il valore normalizzato che pi si avvicina:

Scelto m si ricava il numero dei denti delle due ruote dentate:

Una volta determinate le caratteristiche geometriche delle due ruote passiamo alle verifiche a flessione ed a usura.

La coppia C1 agente sulla ruota motrice data da:

la forza scambiata da due denti scomponibile in una azione radiale F ed in una azione tangenziale T:


mmm 5.2

60

205.2

2522

12

11

zz

m

Rz

mNn

PC 252

601

NtgTF

NR

CT

364

10001

1


Per il calcolo della resistenza a flessione (convenzionalmente si trascurano azioni di taglio e sforzo normale) si suppone il dente assimilabile ad una trave incastrata con carico a sbalzo, si fa inoltre lipotesi cautelativa che vi sia una sola coppia di denti in presa.

La formula utilizzata per la verifica la formula di Lewis espressa da:

in cui:

y detto coefficiente di Lewis e si trova tabellato in funzione del numero di denti e dellangolo di pressione. Nel nostro caso si ha: y = 0.341

amm la tensione ammissibile del materiale impiegato per realizzare le ruote. Nel nostro caso scegliamo un acciaio legato da bonifica con un valore della tensione ammissibile pari a 200 N/mm2. Per tener conto del sovraccarico dinamico si introduce un coefficiente di riduzione della tensione ammissibile, dato da:

V il valore della velocit periferica della prima ruota; mentre A un coefficiente che pu essere paria 6 o 3 rispettivamente per ingranaggi precisi o poco precisi. Nel nostro caso assumiamo A = 6, si ha cos:


bmyT amm

vA

A

s

mRn

v 9.360

21

6.0


b lo spessore della ruota dentata.

Introducendo questi valori nella formula di Lewis si ricava:

Una volta determinato lo spessore minimo che garantisce la resistenza a flessione passiamo alla verifica ad usura. La formula da utilizzare :

dove:

pamm il valore ammissibile della pressione nel contatto tra i denti; per lacciaio scelto in precedenza si pu porre:

f un coefficiente pari a:

nellipotesi che entrambe le ruote siano realizzate con lo stesso materiale. E il modulo di Young dellacciaio. Nel nostro caso si ha che:


mmb 10

bmfpT amm 2

2500

mm

Npamm

21

21

7.0

2sin

zz

zz

Ef

N

mmf

25106.8


Introducendo questi valori nella formula della verifica ad usura si ricava:

Dovendo la ruota essere in grado di resistere ad entrambi i tipi di sollecitazioni si prende come valore minimo dello spessore:

78

mmb 19

mmb 19

Appendice: Calcolo Asse del Mozzi/centro istantanearotazione

79

P appartiene all'asse di mozzi se risulta verificato: 0

0

0 ;

0

p

p

V

ox y p o z p o x

oy z p o x p o y

oz x p o y p o z

z oy z p o x p o y oz x

V

V z y

V x z

V y x

V x z V y

2 2

2 2

2 2

0

0 ;

0

p o y p o

x oz x p o y p o z ox y p o z p o

y ox y p o z p o x oy z p o x p o

A

z y x y x z

x y x z z y

x z z y y x

x

V y x V z y

V z y V x z

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22det 0z y x z y x x y z z y y z y x x y x z x z

p o y oz z oy

p o z ox x oz

x oy y oxp o

applicando kramer

x V V

y V V

V Vz

A

1;

2 la soluzione un vettore di modulo arbitrario(un asse)

, , (purch non tutti nulli)z y x

r A soluzioni

indipendentemente dal valore di

Appendice: centro istantanea rotazione(moto piano)

80

P il centro di istantanea rotazione caso particolare del precedente:

2

2

0

0 0

0 0 ;

00

0

0 ;

00

0 0

0 0

0 0 0 0

p

p

V

ox z p o

oy z p o

z

z oy z p o

z ox z p o

A

z p o z oy

z p o z o

V

V y

V x

V x

V y

x V

y V

*

2

2

4

p-o p-o

0

00

det 0; det( *)

esiste una coppia di x y che verificano sistema

(centro/asse di istanea rotazione)

A

p o z oyzx

p o z oxz

z

x V

y V

A A

Documents

prato_ruotedentate.pdf