23.11.2015

1

Průběh funkce jedné proměnné

• Funkce Funkce na množině D je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y=f(x) z množiny H.

• D – definiční obor

• H – obor hodnot

• Funkce prostá

• Funkce rostoucí/klesající

𝑥1 < 𝑥2 𝑦1 < 𝑦2

• Extrém funkce

Př: volný pád • Pohyb tělesa v homogenním tíhovém poli, odpor prostředí zanedbáváme.

• Volný pád je rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb se zrychlením rovným tíhovému zrychlení g.

23.11.2015

2

Inverzní funkce Funkce složená se svou inverzní funkcí dává identickou funkci y = x. Funkce navzájem inverzní mají grafy osově souměrné podle grafu funkce y = x.

Limita funkce

Limita popisuje chování funkce v okolí určitého bodu, díky čemu můžeme například definovat spojitost funkce. Limita funkce nám pomůže pochopit chování funkce i v místech, ve kterých není vůbec definovaná.

23.11.2015

3

Limita funkce

Asymptoty

Asymptota křivky je taková přímka, jejíž vzdálenost od křivky se s rostoucí souřadnicí limitně zmenšuje. Je-li přímka y = kx+q asymptotou křivky, pak

𝑘 = lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑥 , q = lim

𝑥→∞(𝑓 𝑥 − 𝑘(𝑥))

23.11.2015

4

Asymptoty

Asymptoty.ggb

D(f) = R-{1}, v bodě x = 1 není funkce spojitá. lim𝑥→1−

𝑓 𝑥 = 0 a lim𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = ∞.

Posunem bodu T doprava (doleva) se přibližuje tečna šikmé (vertikální) asymptotě. Šikmá asymptota: y = x + 2 Vertikální asymptota: x = 1

Infinitesimální počet

Dušan Váňa, Nekonečně malá vzdálenost

𝑑𝑦

𝑑𝑥= limΔ𝑥→∞

Δ𝑦

Δ𝑥

Nekonečně malá veličina dy je menší než libovolná konečná veličina. Dvě veličiny, které se liší o nekonečně malou veličinu budeme považovat za sobě rovné. Nekonečně malá veličina není nula (můžeme jí dělit), v některých případech se za ni ale považuje. Jinak jsou ji připisovány vlastnosti jaké mají všechna reálná konečná čísla. Vztah mezi podílem nekonečně a konečně malých velič (až v roce 1754).

23.11.2015

5

Isaac Newton 1643-1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716

„Fluxe jsou jen špatně maskovaným opisem mého vlastního díla“

Leibniz, 1704.

„A tak Leibniz metodu, které si žádal, o kterou prosil, kterou přijal a kterou s obtížemi pochopil, nakonec i objevil…,“

Newton, 1704.

Derivace – směrnice tečny

Leibniz použil nekonečně malé veličiny dy, dx.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= limΔ𝑥→∞

Δ𝑦

Δ𝑥= limΔ𝑥→∞

f x + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥)

Δ𝑥

23.11.2015

6

Leibniz: Calculus differentialis

V práci „Calculus differentialis“ jsou uvedena základní pravidla derivování.

Například pro parabolu f(x) = y = x2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=x + d𝑥 2 − 𝑥2

d𝑥=𝑥2 + 2𝑥𝑑𝑥 + 𝑑𝑥2 − 𝑥2

𝑑𝑥= 2𝑥 + 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 2𝑥𝑑𝑥 + 𝑑𝑥2; ale 𝑑𝑥2 zanedbáme

𝑑𝑦

𝑑𝑥= limΔ𝑥→0

f x + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥)

Δ𝑥= limΔ𝑥→0

2xΔ𝑥 + Δ𝑥2

Δ𝑥= limΔ𝑥→0

2x + Δ𝑥 = 2𝑥

dy = 2𝑥𝑑𝑥

Přepis pomocí limit

Taylorova řada

V případě existence všech konečných derivací funkce f v bodě a

lze Taylorovu řadu zapsat jako

23.11.2015

7

Integrál

Výpočet derivace funkce a "hledání obsahu plochy pod grafem" jsou "obrácené" operace.

Newton-Leibnizova formule

• První základní věta integrálního počtu

• Nechť je ƒ spojitá funkce nad reálnými čísly definované na uzavřeném intervalu <a; b>. Nechť je F funkce definovaná pro všechna x v <a; b>

rovnicí 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥

𝑎

• F je pak spojitá na <a, b>, v otevřeném intervalu (a; b) má derivaci a pro

všechna x v (a; b) platí, že 𝑑𝐹

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥).

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

23.11.2015

8

Tabulka neurčitých integrálů

Délka oblouku křivky

Mějme část rovinné křivky dané rovnicí y = f(x) pro 𝑥 𝜖 [𝑎, 𝑏].

Křivku nahradíme lomenou čarou, která se bude skládat z n úseček.

Délka i-té úsečky ∆𝑠 = ∆𝑥2 + ∆𝑦2.

Délka křivky je součtem nekonečně mnoha úseček nekonečně malé délky

ds = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2, tj.

𝑠 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2𝑏

𝑎 = 1 +

𝑑𝑦

𝑑𝑥

2𝑑𝑥

𝑏

𝑎

23.11.2015

9

Vyšetřování grafu funkce

• Definiční obor

• Obor hodnot

• Extrémy

• Inflexní body

• Chování v nevlastních bodech

• Asymptoty

Extremy.ggb

Vyšetřování grafu funkce • Definiční obor , Obor hodnot, Extrémy, Inflexní body

• Chování v nevlastních bodech, Asymptoty

Extremy3.ggb

23.11.2015

10

Vyšetřování grafu funkce • Definiční obor , Obor hodnot, Extrémy, Inflexní body

• Chování v nevlastních bodech, Asymptoty

graf4.ggb