3. Diferenciální počet funkcí reálné proměnnéreálné proměnné

Matematika pro ekonomy

Jaro 2012Jaro 2012

Ivana VaculováIvana Vaculová

Osnova:Osnova:

A) Funkce – opakování (vlastnosti funkcí, lineární, kvadratické, A) Funkce – opakování (vlastnosti funkcí, lineární, kvadratické, mocninné, exponenciální a logaritmické funkce)

B) Derivace funkceB) Derivace funkce

1 Pojem derivace

2 Geometrický význam derivace funkce2 Geometrický význam derivace funkce

3 Derivace základních funkcí

4 Vzorce pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí4 Vzorce pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí

5 Derivace složené funkce

6 Aplikace – vyšetřování průběhu funkce

6. 1 Monotónnost funkce 6. 1 Monotónnost funkce

6. 2 Extrémy funkce

6. 3 Konkávní a konvexní funkce, inflexní body6. 3 Konkávní a konvexní funkce, inflexní body2

A) Funkce - opakováníA) Funkce - opakování

Pojem funkce

V odborných a přírodovědných předmětech se často setkáváme s úlohami, ve kterých se hodnoty jedné veličiny mění v závislosti na hodnotách jiné veličiny.

Pojem funkce

kterých se hodnoty jedné veličiny mění v závislosti na hodnotách jiné veličiny. Tuto závislost popisujeme pomocí pojmu funkce jako zobrazení v R.

Nechť A a B jsou dvě neprázdné množiny reálných čísel. Přiřadíme-li

každému číslu x z množiny A podle nějakého předpisu právě jedno číslo y z

množiny B, které označíme y=f(x), pak množina f uspořádaných dvojic [x;f(x)]

( ) ( )∈=

množiny B, které označíme y=f(x), pak množina f uspořádaných dvojic [x;f(x)]

se nazývá reálná funkce reálné proměnné x (stručně funkce f).

( ) ( )fDxxfyf ∈= ,:

Množinu A označujeme D(f) a nazýváme definičním oborem funkce f. Množinu A označujeme D(f) a nazýváme definičním oborem funkce f. Množinu B označujeme H(f) a nazýváme oborem hodnot funkce f. Číslo x je nezávisle proměnná, argument funkce f.Číslo y je závisle proměnná, funkční hodnota funkce f v bodě x.

3

Číslo y je závisle proměnná, funkční hodnota funkce f v bodě x.

Vlastnosti funkcí

a) Sudé funkce, liché funkce

Sudá funkce Lichá funkce

)(:)( fDxfDx ∈−∈∀ )(:)( fDxfDx ∈−∈∀)()(:)( xfxffDx =−∈∀ )()(:)( xfxffDx −=−∈∀

Graf je souměrný podle osy y. Graf je středově souměrný podle počátku.

Např.: )(,: 2

1 == RfDxyf Např.:

{ })(,: 3

1 == RfDxyf

4

Např.:

{ }0)(,:

)(,:

2

2

1

−==

==− RfDxyf

RfDxyf Např.:

{ }0)(,: 3

2

1

−== − RfDxyf

Vlastnosti funkcí

b) Periodické funkce

Funkce se nazývá periodická, právě když existuje takové číslo p > 0, že pro každé k ϵ Z platí:

1) Je-li x ϵ D(f), pak x + kp ϵ D(f)1) Je-li x ϵ D(f), pak x + kp ϵ D(f)

2) f (x + kp) = f (x)

perioda funkceperioda funkce

==5

Např.: xcotg:, :

sin:,cos:

43

21

====

yfxtgyf

xyfxyf

Vlastnosti funkcí

c) Funkce omezená (zdola, shora), maximum a minimum funkce

Zdola omezená Shora omezená Omezená

dxffDxd ≥∈∀∃ )( je )(: hxffDxh ≤∈∀∃ )( je )(: Je omezená shora i zdola.

Funkce f má v bodě a maximum, právě když: )()( je )( afxffDx ≤∈∀

Funkce f má v bodě b minimum, právě když: )()( je )( bfxffDx ≥∈∀

6

Funkce f má v bodě b minimum, právě když: )()( je )( bfxffDx ≥∈∀

Vlastnosti funkcí

d) Rostoucí a klesající funkce

Klesající funkceRostoucí funkce Klesající funkce

)()x( x:)(, 212121 xffxfDxx <⇒<∈∀ )()x( x:)(, 212121 xffxfDxx >⇒<∈∀

Je-li funkce rostoucí, pak je prostá. Je-li funkce klesající, pak je prostá.

)()x( x:)(, je 212121 xffxfDxxprostáFunkce ≠⇒≠∈∀⇔

7

Funkce rostoucí a klesající se souhrnně nazývají RYZE MONOTÓNNÍ.

Vlastnosti funkcí

d) Neklesající a nerostoucí funkce

Nerostoucí funkceNeklesající funkce

)()x( x:)(, 212121 xffxfDxx ≤⇒<∈∀ )()x( x:)(, 212121 xffxfDxx ≥⇒<∈∀)()x( x:)(, 212121 xffxfDxx ≤⇒<∈∀ )()x( x:)(, 212121 xffxfDxx ≥⇒<∈∀

Funkce nerostoucí a neklesající se souhrnně nazývají MONOTÓNNÍ.

8

Funkce nerostoucí a neklesající se souhrnně nazývají MONOTÓNNÍ.

Vlastnosti funkcí

e) Inverzní funkce

Inverzní funkce k prosté funkci f je funkce f -1, pro kterou platí:Inverzní funkce k prosté funkci f je funkce f -1, pro kterou platí:

1. D(f -1)= H(f) a H(f -1)= D(f)

2. Každému y ϵ D(f -1) je přiřazeno právě to x ϵ D(f), pro které je f(x) = y. 2. Každému y ϵ D(f -1) je přiřazeno právě to x ϵ D(f), pro které je f(x) = y.

Grafy funkcí f a f -1 sestrojené v téže soustavě souřadnic 0xy se stejnou délkovou jednotkou na obou osách jsou souměrně sdruženy podle přímky y = x.jednotkou na obou osách jsou souměrně sdruženy podle přímky y = x.

Např.:

9

1 LINEÁRNÍ FUNKCE

R D(f)baxyf =+= ,: Graf: Přímka

y y y

a < 0 a > 0a = 0

y y y

bb b

a

b− x x

x

a

D(f) = R, H(f) = RNení omezená ani

D(f) = R, H(f) = {b}Je omezená.

D(f) = R, H(f) = RNení omezená ani shora, Není omezená ani

shora, ani zdola.Je klesající, tedy prostá.Nemá maximum, ani

Je omezená.Je nerostoucí a neklesající.Není prostá.

Není omezená ani shora, ani zdola.Je rostoucí, tedy prostá.Nemá maximum, ani Nemá maximum, ani

minimum.Je spojitá v R.

Není prostá.Má maximum a minimum pro každé xϵR.Je spojitá v R.

Nemá maximum, ani minimum.Je spojitá v R.

10

Je spojitá v R.

2 KVADRATICKÁ FUNKCE

RfDcbxaxyf =≠++= )(,0a ,: 2= každá funkce typu: Graf: Parabola

a < 0a > 0

+∞−== ;

4)( ,)(

2

a

bcfHRfD

−∞−==a

bcfHRfD4

;)( ,)(2

Je zdola omezená, není shora omezená.Pro b=0 je sudá, jinak ani sudá, ani lichá.Je rostoucí pro x ϵ <-b/2a, +∞) .

4a

Je shora omezená, není zdola omezená.Pro b=0 je sudá, jinak ani sudá, ani lichá.Je rostoucí pro x ϵ (+∞, -b/2a> .

a4

Je rostoucí pro x ϵ <-b/2a, +∞) .Je klesající pro x ϵ (+∞, -b/2a>.Není prostá.

Je rostoucí pro x ϵ (+∞, -b/2a> .Je klesající pro x ϵ <-b/2a, +∞).Není prostá.

11

Není prostá.Má ostré minimum [-b/2a;c-b2/4a]Je spojitá v R.

Není prostá.Má ostré maximum [-b/2a;c-b2/4a]Je spojitá v R.

3 MOCNINNÁ FUNKCE S PŘIROZENÝM MOCNITELEM

RfDNxyf n =∈= )(,n ,: Graf: n = 1: přímka n > 1: parabola n-tého stupně

Pro: n = 1: lineární funkce f: y = xPro: n = 1: lineární funkce f: y = x

n = 2: kvadratická funkce f: y = x2

n = 3: kubická funkce f: y = x3

n sudén liché n sudé

D(f) = R, H(f) = <0, +∞) Je sudá.Je zdola omezená, není shora omezená.

D(f) = R, H(f) = RJe lichá.

Je sudá.Je zdola omezená, není shora omezená.Je rostoucí pro x ϵ <0, +∞) .Je klesající pro x ϵ (-∞, 0>.Není prostá.

Je lichá.Není ani shora, ani zdola omezená.Je rostoucí, tedy prostá. Nemá maximum, ani minimum.

12

Není prostá.Nemá maximum, má minimum [0,0].Je spojitá v R.

Nemá maximum, ani minimum.Je spojitá v R.

4 MOCNINNÁ FUNKCE SE ZÁPORNÝM CELÝM MOCNITELEM

RfDNxyf n =∈= − )(,n ,:= funkce Graf: hyperbola stupně n+1hyperbola stupně n+1

n sudén liché n sudé

D(f) = R – {0}, H(f) = (0, +∞). Je sudá.Je omezená zdola, není shora omezená.

D(f) = R – {0}, H(f) = R – {0}Je lichá.Není ani shora, ani zdola omezená.

Je omezená zdola, není shora omezená.Je rostoucí pro x ϵ (-∞, 0) .Je klesající pro x ϵ (0, +∞).Není prostá.

Je lichá.Není ani shora, ani zdola omezená.Klesá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞). Nemá maximum, ani minimum.Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞).

13

Není prostá.Nemá maximum, ani minimum. Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞).

Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞).Je prostá.

0)( ,)(

)(: ≠= xQ

xQ

xPyf5 LOMENÁ RACIONÁLNÍ FUNKCE

{ }0)(,0k ,: −=≠= RfDx

kyf Graf: rovnoosá hyperbola

Nepřímá úměrnost:

)(xQ5 LOMENÁ RACIONÁLNÍ FUNKCE

x

k < 0 k > 0asymptoty hyperboly

úměrnost:

k < 0 k > 0hyperboly

střed hyperboly

D(f) = R – {0}, H(f) = R – {0}.Je lichá.

D(f) = R – {0}, H(f) = R – {0}Je lichá. Je lichá.

Není ani shora, ani zdola omezená.Je klesající pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞). Je prostá.

Je lichá.Není ani shora, ani zdola omezená.Je rostoucí pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞). Je prostá.

14

Je prostá.Nemá maximum, ani minimum. Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞).

Je prostá. Nemá maximum, ani minimum.Je spojitá pro x ϵ (-∞, 0) a x ϵ (0, +∞).

6 EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE

RfDaayf x =≠>= )(,1,0a ,: Graf: exponenciální křivka(exponenciála)

0 < a < 1 a > 1

D(f) = R, H(f) = (0;∞).Není ani sudá, ani lichá.Je omezená zdola (ax > 0), není omezená

D(f) = R, H(f) = (0;∞).Není ani sudá, ani lichá.Je omezená zdola (ax > 0), není omezená Je omezená zdola (ax > 0), není omezená

shora.Je klesající, tedy prostá.Nemá maximum, ani minimum.

Je omezená zdola (ax > 0), není omezená shora.Je klesající, tedy prostá.Nemá maximum, ani minimum.

15

Nemá maximum, ani minimum.Je inverzní k funkci logaritmické.Je spojitá v R.

Nemá maximum, ani minimum.Je inverzní k funkci logaritmické.Je spojitá v R.

7 LOGARITMICKÁ FUNKCE

( )∞=≠>= ;0)(,1,0 ,log: fDaaxyf a Graf: logaritmická křivka

0 < a < 1a > 1

D(f) = (0;∞), H(f) = R.Není ani sudá, ani lichá.

D(f) = (0;∞), H(f) = R.Není ani sudá, ani lichá.Není ani sudá, ani lichá.

Není omezená zdola, ani shora.Je klesající, tedy prostá.Nemá maximum, ani minimum.

Není ani sudá, ani lichá.Není omezená zdola, ani shora.Je rostoucí, tedy prostá.Nemá maximum, ani minimum.

16

Nemá maximum, ani minimum.Je inverzní k funkci exponenciální.Je spojitá v (0;∞).

Nemá maximum, ani minimum.Je inverzní k funkci exponenciální.Je spojitá v (0;∞).

Interpolace a extrapolace, aproximace

• Interpolační funkcí rozumíme funkci f, která splňuje interpolační podmínky f(xi) = yi, i=0,…,n, tedy graf interpolační funkce prochází opěrnými body.f(xi) = yi, i=0,…,n, tedy graf interpolační funkce prochází opěrnými body.• Graf aproximační funkce neprochází nutně danými opěrnými body, ale vystihuje jejich rozložení (minimalizuje odchylku od zadaných opěrných bodů).• Extrapolací rozumíme využití interpolační funkce mimo• Extrapolací rozumíme využití interpolační funkce mimointerval <x0,xn >.

17

Interpolace polynomemInterpolace polynomem

Příklad:

18

B) Derivace funkce

1 Pojem derivace

B) Derivace funkce

1 Pojem derivace

Je-li funkce f definována v okolí bodu xo a existuje-li limita Je-li funkce f definována v okolí bodu xo a existuje-li limita

0 )()(lim

0 xx

xfxf

xx −−

→

Potom tuto limitu označujeme f`(xo) a nazýváme ji derivací funkce f v bodě x .

00 xxxx −→

funkce f v bodě xo.

Derivace funkce f v bodě xo je tedy číslo: Derivace funkce f v bodě xo je tedy číslo:

00

)()(lim)´(

0 xx

xfxfxf

xx −−=

→

Pozn.: Při označení x = xo + h a x – xo = h:

00 xxxx −→

h

xfhxfxf

)()(lim)´( 00

0

−+=→

19

hxf

hlim)´(

00 =

→

2 Geometrický význam derivace funkce

Pro směrnici tečny kT ke grafu funkce f v bodě T [xo,yo] platí:

2 Geometrický význam derivace funkce

)´( 0xfkT =Pro směrnici tečny kT ke grafu funkce f v bodě T [xo,yo] platí: )´( 0xfkT =

ytgxk

∆==

Platí totiž: směrnice sečny ST je

x

ytgxkS ∆

∆==

Pokud se bude bod S přibližovat k

bodu T, bude se poloha sečny „blížit“ bodu T, bude se poloha sečny „blížit“

poloze tečny v bodě T [xo, yo].

Pro směrnici tečny tedy dostaneme:

)´()()(

limlim 0

0

0

0 0

xfxx

xfxf

x

yk

xxxT =

−−=

∆∆=

→→∆

Pro směrnici tečny tedy dostaneme:

0

20)()´( 000 xxxfyy −⋅=−Rovnici tečny pak můžeme psát ve tvaru:

3 Derivace základních funkcí

21

4 Vzorce pro derivaci součtu, rozdílu,

součinu a podílu funkcí

Jestliže funkce f: u = f(x), g: v = g(x) mají derivaci v každém bodě x є M, pak pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto є M, pak pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto funkcí platí pro všechna x є M (u podílu g (x) ≠ 0) následující vzorce:vzorce:

22

5 Derivace složených funkcí5 Derivace složených funkcí

Jestliže funkce z = g(x) má derivaci v bodě x0 a jestliže funkce y = f(z) má derivaci v bodě z0 = g(x0) , má složená funkce y = f(z) má derivaci v bodě z0 = g(x0) , má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě x0 a platí:

[f(g(x0))]´= f´(g(x0)) . g´(x0)

23

6 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce6 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce

6. 1 Monotónnost funkce6. 1 Monotónnost funkce

Nechť funkce f je spojitá na intervalu <a,b> a má v každém bodě x є (a; b) derivaci f`(xo). Pak platí: x є (a; b) derivaci f`(xo). Pak platí:

• Je-li f`(x ) > 0 pro každé x є (a;b) f je rostoucí na <a,b> .• Je-li f`(xo) > 0 pro každé x є (a;b) f je rostoucí na <a,b> .

• Je-li f`(xo) < 0 pro každé x є (a;b) f je klesající na <a,b> .

24

6 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce6 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce

6. 2 Extrémy funkce6. 2 Extrémy funkce

Má-li funkce f v bodě xo derivaci a je-li f`(xo) = 0, pak xo nazýváme stacionárním bodem. V tomto bodě xo může, ale nemusí mít funkce stacionárním bodem. V tomto bodě xo může, ale nemusí mít funkce lokální extrém – jedná se o bod „podezřelý “ z extrému.

Nechť f`(xo) = 0 a nechť existuje v bodě xo druhá derivace. Pak:

• Je-li f``(xo) < 0 má funkce f v bodě xo ostré lokální maximum.

• Je-li f``(xo) > 0 má funkce f v bodě xo ostré lokální minimum.

25

6 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce6 Aplikace: vyšetřování průběhu funkce

6. 3 Konkávní a konvexní funkce, inflexní body6. 3 Konkávní a konvexní funkce, inflexní body

Pro funkci, která je konvexní na intervalu I platí:

f´´(x) > 0, pro každé x є If´´(x) > 0, pro každé x є I

Pro funkci, která je konkávní na intervalu I platí:

f´´(x) < 0, pro každé x є If´´(x) < 0, pro každé x є I

Inflexní bod, je bod, ve kterém graf funkce přechází z konvexního tvaru do konkávního nebo naopak.tvaru do konkávního nebo naopak.

Inflexní body získáme tak, že druhou derivaci funkce položíme rovnu nule a vypočítáme kořeny vzniklé rovnice: f´´(x) = 0.rovnu nule a vypočítáme kořeny vzniklé rovnice: f´´(x) = 0.

26

LiteraturaLiteratura

• Kaňka M. a kol. Učebnice matematiky pro ekonomické fakulty. Praha: Victoria Pubishing, 1996. Praha: Victoria Pubishing, 1996.

• Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s., 2003.matematiky. Praha: Euromedia Group k. s., 2003.

• Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992.pro gymnázia, Praha: Prometheus, 1992.

• Hrubý, D., Kubát, J. Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 1997.integrální počet. Praha: Prometheus, 1997.

• Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998. Prometheus, 1998.

• http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/08_MI_KAP%202_1.pdf08_MI_KAP%202_1.pdf

27