2Equaes e inequaesAntes de ler o captuloO texto a seguir supe que o lei-tor domine o contedo do Cap-tulo 1. Tambm se exige habi-lidade para trabalhar com v-rias unidades de comprimento,massa e volume.

O propsito desse captulo discutir como descrever um problema prtico em lingua-gem matemtica, e como resolv-lo usando equaes, inequaes e a regra de trs.Trataremos aqui dos tipos bsicos de equaes e inequaes lineares, quadrticas,racionais, irracionais e modulares , deixando os casos mais complexos para os prxi-mos captulos.

Apesar de, em muitas sees, detalharmos os mtodos de resoluo de equaese inequaes, o leitor deve ter claro que o processo de converso de um texto escritoem um modelo matemtico, tambm conhecido como modelagem, o ponto maisimportante de todo o livro. Aprendendo a us-lo, o leitor ver os problemas cotidianoscom outros olhos, e conseguir enfrent-los com maior facilidade.

2.1 Equaes

Uma equao uma declarao de que duas expresses so iguais. Essa igualdade representada pelo sbolo =. Assim, se sabemos que a expresso A igual expressoB, escrevemos

A = B.

So exemplos de equaes:

a) 12y18

= 2y3;

b) x =x2;

c) 3x 2 = 10;

d) x2 + 2x 15 = 0.

A primeira dessas equaes afirma que as fraes 12y18 e2y3 so equivalentes. J a

equao (b) fornece a definio de mdulo a partir da raiz quadrada. Em ambos oscasos, temos equaes que so sempre vlidas, no dependendo do valor das variveisque nelas aparecem. Quando isso acontece, a equao recebe o nome de identidade.

Nessa seo, abordaremos as equaes que no so identidades, ou seja, nos de-dicaremos s equaes que s so vlidas para alguns valores reais (ou mesmo paranenhum valor), como os exemplos (c) e (d). Em equaes desse tipo, o termo cujovalor desconhecido chamado incgnita, ou simplesmente varivel. Nos exemplos(c) e (d), a incgnita representada pela letra x.

Quando escrevemos equaes com incgnitas, nosso objetivo resolver a equao,o que significa que queremos encontrar os valores da varivel que fazem com que aequao seja vlida. Tais valores so chamados razes ou solues da equao.

Uma soluo da equao do item (c) x = 4. De fato, essa a nica soluo doproblema, j que 4 nico valor de x para o qual a equao vlida.

Por sua vez, a equao do item (d) possui duas solues, x = 5 e x = 3. Paracomprovar, por exemplo, que 5 uma raiz de x2 + 2x 15 = 0, devemos substituiresse valor na equao:

88 Captulo 2. Equaes e inequaes

x2 + 2x 15 = 0 Equao original.

(5)2 + 2 (5) 15 = 0 Substituio de x por 5 na equao.

25 10 15 = 0 Clculo da expresso.

0 = 0 Ok! A equao foi satisfeita.

Soluo de equaesDuas equaes que possuem exatamente as mesmas solues so chamadas equiva-lentes. Assim, as equaes

3x + 2 = 14 e 3x = 12

so equivalentes, pois x = 4 a nica soluo de ambas. A forma mais comumenteusada para resolver uma equao consiste em escrever uma sequncia de equaesequivalentes at que a varivel fique isolada, ou seja, aparea sozinha em um doslados da igualdade. No caso do exemplo (c) apresentado acima, podemos escrever asseguintes equaes equivalentes:

3x 2 = 10 3x = 12 x = 123

x = 4.

A obteno de equaes equivalentes, como nesse exemplo, feita com base emcertas propriedades, as quais apresentamos a seguir.

O item 3 decorre diretamente da defi-nio de igualdade, no constituindo,de fato, uma propriedade das equa-es. Esse item foi includo na tabelapor ser usado na resoluo de proble-mas.

Propriedades das equaesSejam dadas as expresses A, B e C.

Propriedade Exemplo

1. Se A = B, ento A +C = B +C Se x 2 = 5, ento x 2 + 2 = 5 + 2

2. Se A = B e C 0, ento CA = CB Se 3x = 12, ento 13 3x =13 12.

3. Se A = B, ento B = A Se 21 = 7x, ento 7x = 21.

Vimos no Captulo 1 que a subtrao AC equivalente soma A+(C). Sendoassim, a Propriedade 1 implica que

Se A = B, ento A C = B C.

De forma anloga, dividir uma expresso por C corresponde a multiplic-la por1C. Logo, a Propriedade 2 tambm implica queObserve que, no exemplo da Proprie-

dade 2 da tabela, poderamos ter es-crito simplesmente 3x3 =

123 . Se A = B e C 0, ento AC =

BC.

Exemplo 1. Resoluo de uma equao

Vamos resolver a equao12x 26 = 34.

aplicando as propriedades apresentadas acima at conseguirmos isolar a varivel x.Naturalmente, no h uma forma nica de se obter uma equao equivalente a

outra. Assim, devemos usar uma certa dose de bom senso para que a aplicao daspropriedades gere, a cada passo, uma equao mais simples que a anterior.

Seo 2.1. Equaes 89

a) Vamos comear eliminando o termo (26) que aparece do lado esquerdo da equa-o. Para tanto, aplicaremos a Propriedade 1, somando 26 aos dois lados daigualdade:

12x 26 + 26 = 34 + 2612x = 60

b) Agora que obtivemos uma equao mais simples, vamos aplicar a Propriedade 2,multiplicando os dois lados da igualdade por 112 para isolar x.

112

12x = 112

60

1212x = 60

12

x = 5

A est. Aplicando as propriedades com uma escolha conveniente de valores, che-gamos soluo x = 5.

Apresentamos a seguir alguns exemplos de resoluo de equaes com o auxliodas propriedades enunciadas acima. Acompanhando com ateno esses exemplos possvel ter uma boa ideia de como resolver equaes lineares, assunto ao qualvoltaremos na Seo 2.4.

Problema 1. Equaes

Resolva as equaes

a) 3 7x = 21b) 42 = 9x + 36c) 8x 25 = 5 + 2xd) 3(x + 2) = 5x 12

e) x4+ 11 = 3x

2+ 15

f) 4x 23

+ 2x 34

= 5 x6

2

Soluo.

a)3 7x = 21 Equao original.

3 3 7x = 21 3 Propriedade 1.

7x = 18 Equao simplificada.

7x7 =

187 Propriedade 2.

x = 187

Soluo da equao.

90 Captulo 2. Equaes e inequaes

b)42 = 9x + 36 Equao original.

42 36 = 9x + 36 36 Propriedade 1.

6 = 9x Equao simplificada.

69= 9x

9Propriedade 2.

23= x Equao simplificada.

x = 23

Propriedade 3.

c)8x 25 = 5 + 2x Equao original.

8x 2x 25 = 5 + 2x 2x Propriedade 1.

6x 25 = 5 Equao simplificada.

6x 25 + 25 = 5 + 25 Propriedade 1.

6x = 30 Equao simplificada.

6x6

= 306

Propriedade 2.

x = 5 Soluo da equao.

d)3(x + 2) = 5x 12 Equao original.

3x + 6 = 5x 12 Propriedade distributiva.

3x 3x + 6 = 5x 3x 12 Propriedade 1.

6 = 2x 12 Equao simplificada.

6 + 12 = 2x 12 + 12 Propriedade 1.

18 = 2x Equao simplificada.

182

= 2x2

Propriedade 2.

9 = x Equao simplificada.

x = 9 Propriedade 3.

Seo 2.1. Equaes 91

e)x

4+ 11 = 3x

2+ 15 Equao original.

x

4 3x

2+ 11 = 3x

2 3x

2+ 15 Propriedade 1.

x 6x4

+ 11 = 15 Subtrao de fraes.

5x4+ 11 = 15 Equao simplificada.

5x4+ 11 11 = 15 11 Propriedade 1.

5x4

= 4 Equao simplificada.

(45) (5x

4) = (4

5) 4 Propriedade 2.

x = 165

Soluo da equao.

f)As estratgias usadas para resolveressas equaes no so as nicas pos-sveis. Assim o leitor no deve sepreocupar se seguir outros caminhos,desde que aplique corretamente aspropriedades apresentadas.

4x 23

+ 2x 34

= 5 x6

2 Equao original.

12 4x 23

+ 12 2x 34

= 12 5 x6

12 2Propriedade 2, usando ommc dos denominadores.

4(4x 2) + 3(2x 3) = 2(5 x) 24 Equao simplificada.

16x 8 + 6x 9 = 10 2x 24 Propriedade distributiva.

22x 17 = 14 2x Equao simplificada.

22x + 2x 17 = 14 2x + 2x Propriedade 1.

24x 17 = 14 Equao simplificada.

24x 17 + 17 = 14 + 17 Propriedade 1.

24x = 3 Equao simplificada.

24x24

= 324

Propriedade 2.

x = 18

Soluo da equao.

Agora, tente o exerccio 2.

Ao terminar de resolver uma equao, conveniente conferir se o valor encontrado realmente uma soluo, ou seja, se no ocorreu um erro de conta. Para o problema(d) acima, por exemplo, calculamos

3(x + 2) = 5x 12 3(9 + 2) = 5 9 12 33 = 33 (Verdadeiro!)

Apesar de no adotarmos essa prtica no livro, por economia de espao, recomen-damos enfaticamente que o leitor confira sempre os resultados que obtm.

92 Captulo 2. Equaes e inequaes

Formas abreviadas de aplicao das propriedades das equaesFrequentemente, os professores do ensino fundamental e mdio apresentam de formasimplificada as propriedades acima, com o objetivo de facilitar o trabalho do aluno.Apesar de tais simplificaes serem bem-vindas, preciso aplic-las com cuidado,tendo sempre em mente a que propriedade se referem, para evitar erros na resoluode equaes. Revisemos, ento, essas formas abreviadas de obteno de equaesequivalentes.

1. Passagem de um termo que est sendo somado.Quando preciso eliminar um termo que aparece somado ou subtrado de umdos lados de uma equao, comum passar o termo para o outro lado, com osinal trocado, como no exemplo abaixo.

3x + 20 = 65

3x = 65 20

3x = 45

Essa regra corresponde primeira propriedade, segundo a qual podemos somarou subtrair o mesmo valor dos dois lados da equao:

3x + 20 = 65

3x + 20 20 = 65 20

3x = 45

Nesse caso, os cuidados a serem tomados incluem, por exemplo, no passar umtermo envolvido em um produto, como nos exemplos abaixo.

Errado

5x = 15

x = 15 5

x = 10

Certo

5x = 15

5x5

= 155

x = 3

Errado

2(x 4) = 6

2x = 6 + 4

2x = 10

Certo

2(x 4) = 6

2x 8 = 6

2x = 6 + 8

2. Passagem de um termo que est sendo multiplicado.Quando preciso eliminar um termo que aparece em um produto, costuma-sepassar o termo para o outro lado, no denominador. Da mesma forma, quandose quer eliminar um termo do denominador, costume pass-lo para o outrolado, no numerador. Veja os exemplos.

Seo 2.1. Equaes 93

8x = 32

x = 32/8

x = 4

x/10 = 9

x = 9 10

x = 90

Essas regras correspondem segunda propriedade, segundo a qual podemosmultiplicar ou dividir os dois lados da equao pelo mesmo valor:

8x = 32

8x8

= 328

x = 4

x

10= 9

10 x10

= 10 9

x = 90

Um dos erros mais comuns na aplicao dessa regra a passagem de um termoque est multiplicando apenas uma parte da expresso:

Errado

2x + 14 = 36

x + 14 = 36/2

x + 14 = 18

x = 18 14

x = 4

Certo

2x + 14 = 36

2x + 14 14 = 36 14

2x = 22

2x2

= 222

x = 11

Outro erro frequente a passagem de um termo com o sinal trocado:

Errado

7x = 42

x = 42/(7)

x = 6

Certo

7x = 42

7x7

= 427

x = 6

Exerccios 2.11. Resolva as equaes.

a) x 35 = 155b) y + 22 = 42c) y + 42 = 22d) 2x 3 = 25e) 3x + 2 = 7

f) 3x5 = 49

g) x 23 =16

h) a2 5 = 2i) a52 = 2j) 3(x 4) + 8 = 5

2. Resolva as equaes.

a) x + 12 = 2x 5b) 3y + 4 = 9y + 14c) 2(x 3) = 4(2x + 1)d) x x/6 = 3e) 3,5x + 2 = 2,9x 1f) 3 3(x 2) = 2x (x 4)g) 5(z + 1) 2(3z + 1) = 4(5 z)h) 4a23 =

5(a+3)2

i) 3x2 + 2 = 3x 2

94 Captulo 2. Equaes e inequaes

j) 2x34 +x1

2 =5x

2k) x+23

45x2 =

3x54 +

13

l) 4x53 73x

2 =5x

6 + 33. Transforme os problemas em equaes e os resolva.

a) Qual o nmero que, somado a 34 , resulta em12?

b) Por quanto devemos multiplicar 23 para obter54?

c) Dividindo um nmero por 2 e somando o resultadoa 5, obtemos 8. Que nmero esse?

d) Somando o dobro de um nmero ao seu triplo, ob-temos 125. Que nmero esse?

e) Qual o nmero que, somado sua quarta parte,fornece 15?

f) Somando a metade de um nmero tera partedesse mesmo nmero, obtemos 30. Qual esse n-mero?

Respostas dos Exerccios 2.1

1. a) x = 190b) y = 20c) y = 20d) x = 14e) x = 3

f) x = 2027g) x = 56h) a = 14i) a = 9j) x = 3

2. a) x = 17b) y = 56c) x = 53d) x = 185e) x = 5f) x = 54

g) z = 173h) a = 7i) x = 83j) x = 52k) x = 15l) x = 3

3. a) x + 34 =12 x =

14

b) 23x =54 x =

158

c) x2 + 5 = 8 x = 6

d) 2x + 3x = 125 x = 25

e) x + x4 = 15 x = 12

f) x2 +x3 = 30 x = 36

g) x + (x + 1) + (x + 2) = 66Os nmeros so 21, 22 e 23.

2.2 Propores e a regra de trs

Pretendendo comprar 2 kg de contrafil, Ldice entrou no aougue Boi Bom e descobriuque o um quilo da pea custava R$ 13,50. Nesse caso, quanto Ldice pagou pelos 2kg?

Tabela 2.1: Preo do contrafil.

Peso Preo(kg) (R$)1 13,502 27,003 40,504 54,005 67,50

A resposta para essa pergunta simples: se um quilo custava R$ 13,50, ento os2 kg custaram o dobro, isto , 2 13,50 = R$ 27,00. Efetuamos clculos desse tipoto corriqueiramente que nem nos damos conta de que eles envolvem um conceitomatemtico muito importante e til: a proporcionalidade.

Observando a Tabela 2.1, possvel perceber que a razo entre o preo e o pesodo contrafil constante, ou seja,

R$ 13,501 kg

= R$ 27,002 kg

= R$ 40,503 kg

= R$ 54,004 kg

= R$ 67,505 kg

.

Quando duas razes, escritas de forma diferente, so iguais, ou seja, correspondemao mesmo nmero real, dizemos que so proporcionais. Assim, as razes 272 e

67,55

so proporcionais.

ProporoDefinimos proporo como a igualdade entre duas razes. Em notao ma-temtica, essa igualdade representada pela equao

a

b= a

b.

Nesse caso, dizemos que a est para b, assim como a est para b. A razoconstante k = a

b chamada constante de proporcionalidade.

Note que, seguindo estritamente anomenclatura sugerida na Seo 1.7,deveramos dizer que, nesse exemplo,a constante de proporcionalidade uma taxa, e no uma razo.

No exemplo do aougue, podemos dizer, por exemplo, que R$ 27,00 esto para 2kg, assim como R$ 67,50 esto para 5 kg de contrafil. A constante de proporciona-lidade, nesse caso, corresponde ao custo por quilo de file, ou seja, k = R$ 13,5/kg.

Seo 2.2. Propores e a regra de trs 95

Grandezas diretamente proporcionaisAnalisando o o valor que o aougue Boi Bom cobra pelo contrafil, constatamos que

a) ao aumentamos o peso, o preo tambm aumenta;

b) a razo preopeso constante e igual a 13,5.

Nesse caso, dizemos que o preo cobrado pelo contrafil diretamente proporcionalao peso vendido. O quadro abaixo generaliza essa ideia.

Grandezas diretamente proporcionaisDizemos que duas grandezas so diretamente proporcionais quando

a) ao aumentarmos uma, a outra tambm aumenta;

b) a razo entre as duas constante, ou seja, dadas as medidas a, a, a, a, . . .da primeira grandeza e as medidas b,b,b,b, . . . da segunda grandeza,temos

a

b= a

b= a

b= a

b=

Vejamos outros exemplos de grandezas diretamente proporcionais.

Exemplo 1. Viagem a uma velocidade constanteTabela 2.2: Tempo e distncia emuma viagem a 90 km/h.

Tempo Distncia(kg) (km)1,0 901,5 1352,0 1802,5 2253,0 270

Se um carro viaja velocidade constante de 90 km/h, ento a distncia que elepercorre diretamente proporcional ao tempo gasto, como mostrado na Tabela 2.2.

Observe que

a) a distncia aumenta medida que o tempo de viagem aumenta;

b) a razo distnciatempo constante, isto ,

90 km1 h

= 135 km1,5 h

= 180 km2 h

= 225 km2,5 h

= 270 km3 h

.

Nesse caso, a constante de proporcionalidade a prpria velocidade do carro, ouseja, k = 90 km/h.

Exemplo 2. Densidade do leo de soja

A Tabela 2.3 fornece a massa aproximada (em quilogramas) de diversos volumesde leo de soja (em litros), temperatura de 25C.O termo massa corresponde ao

que, no dia a dia, chamamos (erro-neamente) de peso. Tabela 2.3: Volume e massa do leo de soja.

Volume (`) 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0Massa (kg) 0,184 0,328 0,552 0,736 0,920

Calculando a razo massavolume para cada um dos volumes apresentados na tabela,obtemos

0,184 kg0,2 `

= 0,328 kg0,4 `

= 0,552 kg0,6 `

= 0,736 kg0,8 `

= 0,920 kg1,0 `

= 0,920 kg/`.

96 Captulo 2. Equaes e inequaes

Como essa razo constante e o peso aumenta com o volume, podemos dizer queas duas grandezas so diretamente proporcionais. De fato, a razo entre massa evolume to usada em diversas reas da cincia, que damos a ela o nome especial dedensidade. Assim, a densidade do leo de soja igual a 0,920 kg/`.

Grandezas inversamente proporcionaisEm vrios problemas prticos, apesar de haver relao entre duas grandezas, o au-mento de uma provoca a reduo da outra. Nesse caso, dizemos que as grandezas soinversamente proporcionais, como ocorre no exemplo abaixo.

Exemplo 3. Construo de uma cerca

O tempo gasto para cercar o pasto da fazenda de Geraldo depende do nmero depessoas envolvidas na construo da cerca. A Tabela 2.4 fornece a relao entre onmero de trabalhadores e o tempo gasto, segundo o levantamento feito por Geraldo.

Tabela 2.4: Tempo de construo em relao ao nmero de trabalhadores.

Trabalhadores 1 2 3 4 6Tempo (dias) 36 18 12 9 6

Nesse caso, constatamos que

a) o tempo necessrio construo da cerca diminui medida em que o nmero detrabalhadores aumenta;

b) dividindo o tempo gasto pelo inverso do nmero de trabalhadores, obtemos umvalor constante:

3611= 181

2= 121

3= 91

4= 61

6= 36.

O quadro abaixo resume a ideia.

Grandezas inversamente proporcionaisDizemos que duas grandezas so inversamente proporcionais quando

a) ao aumentarmos uma, a outra diminui;

b) a razo entre uma e o inverso da outra constante, ou seja, dadas asmedidas a, a, a, a, . . . da primeira grandeza e as medidas b,b,b,b, . . .da segunda grandeza, temos

a1b

= a

1b

= a

1b

= a

1b

= .

A condio (b) pode ser reescrita de forma bem mais simples como

a b = a b = a b = a b.

Aplicando o ltimo comentrio do quadro acima ao exemplo da cerca de Geraldo,podemos dizer que o produto entre o tempo e o nmero de trabalhadores constante,ou seja,

Lembre-se de que, conforme vimos naSeo 1.3,

a1b

= a b

1= a b.

Seo 2.2. Propores e a regra de trs 97

36 1 = 18 2 = 12 3 = 9 4 = 6 6 = 36.Para grandezas inversamente proporcionais, a constante de proporcionalidade

dada por k = a1b

= a b. Logo, no caso de Geraldo, temos k = 36 dias pessoa.

Exemplo 4. Lei de Boyle

Vrios bales de volumes diferentes foram preenchidos com a mesma massa de umcerto gs, mantido temperatura constante. A Tabela 2.5 fornece a relao entre apresso e o volume do gs.

Tabela 2.5: Volume e presso de um gs, a uma temperatura constante.

Volume (`) 2 3 4 5Presso (atm) 3,0 2,0 1,5 1,2

Nesse exemplo, est claro que

a) a presso diminui medida em que o volume aumenta;

b) o produto do volume pela presso constante:

2 3 = 3 2 = 4 1,5 = 5 1,2 = 6.

Logo, a uma temperatura constante, a presso do gs inversamente proporcionalao volume que ele ocupa. Essa propriedade dos gases conhecida como Lei de Boyle,em homenagem ao cientista ingls Robert Boyle, que a observou no sculo 17.

Para a massa de gs desse exemplo, a constante de proporcionalidade k = 6 atm`.

Regra de trs para grandezas diretamente proporcionaisEm muitas situaes prticas, sabemos que h proporcionalidade entre as grandezasenvolvidas, mas uma dessas grandezas desconhecida. Nesse caso, para resolver oproblema, recorremos a um mtodo denominado regra de trs.

Para ilustrar o emprego da regra de trs, vamos retomar a ideia do Exemplo 1 econsiderar um problema no qual um trem viaja a uma velocidade constante.

Problema 1. Tempo de viagem

Suponha que um trem, viajando a uma velocidade constante, percorra 300 km em4 horas. Quanto tempo ele gastar em uma viagem de 720 km?

Soluo.

O valor a ser determinado o tempo a ser gasto em uma viagem de 720 km. Aesse valor desconhecido, associamos a varivel x. Alm disso, analisando o enunciado,descobrimos que

a) a velocidade do trem constante, ou seja, o tempo gasto diretamente proporcional distncia percorrida.

b) Gasta-se 4 horas para percorrer 300 km.

Com base nesses dados, podemos montar a Tabela 2.6, que relaciona as informa-es fornecidas incgnita do problema.

Tabela 2.6: Distncia tempo

Distncia Tempo(km) (h)

300 4720 x As setas ao lado da tabela indicam a direo na qual os valores crescem. As

duas setas apontam na mesma direo (para baixo), corroborando a tese de que

98 Captulo 2. Equaes e inequaes

as grandezas (distncia e tempo) so diretamente proporcionais. Assim, podemosescrever

300 km4 h

= 720 kmx h

.Nesse exemplo, a constante de pro-porcionalidade 300/4, ou 720/x, su-pondo que x 0. Para simplificar essa equao, vamos comear eliminando o termo x do denomi-

nador. Para tanto, multiplicamos os dois lados por x, obtendo

x 3004

= 720x

x 300x4

= 720.

Em seguida, eliminamos o denominador do lado esquerdo multiplicando os doislados da equao por 4:

4 300x4

= 720 4 300x = 2280.

Finalmente, para isolar x, dividimos toda a equao por 300:300x300

= 2280300

x = 2280300

.

Logo, x = 9,6 h, de modo que a viagem de 720 km durar 9 h + 0,6 60min, ou9 h 36min.

Note que os dois primeiros passos da resoluo do problema acima correspondem multiplicao dos dois lados da equao pelos denominadores x e 4. Como esse proce-dimento usado em todo problema que envolve regra de trs, vale a pena investig-lode forma pormenorizada.

Vamos supor, ento, que queiramos eliminar os denominadores de uma equaona forma

a

b= cd,

em que a, b, c e d so nmeros reais, um dos quais a ncgnita do problema. Nessecaso, se multiplicarmos os dois lados da equao por bd, obtemos

bd ab= cd bd b

b da = d

d cb,

o que nos leva equao equivalente

ad = cb.

Essa equao pode ser obtida diretamente multiplicando-se o numerador de cadafrao pelo denominador da outra, e igualando-se os resultados. Essa tcnica, conhe-cida como produto cruzado, ilustrada abaixo.

a

b= cd

ad = cb.

O produto cruzado um processo prtico de simplificao de equaes nas quaiscada lado da igualdade escrito como uma nica frao. Doravante, usaremos essaestratgia para resolver problemas que envolvem a regra de trs.

Problema 2. Alimentao de peixes

Joo possui vrios tanques de criao de peixes. O tanque de tilpias adultas, porexemplo, tinha, no ms passado, 250 peixes, que consumiam 70 kg de rao por dia.Sabendo que, nesse ms, o mesmo tanque tem 350 peixes, determine o consumo dirioatual de rao para tilpias.

Soluo.

A incgnita desse problema, x, corresponde quantidade de rao (em kg) gastapor dia para alimentar as tilpias adultas.

Seo 2.2. Propores e a regra de trs 99

Supondo que as tilpias tenham peso parecido e, portanto, consumam quantidadessemelhantes de rao, podemos considerar que a quantidade de rao gasta dire-tamente proporcional ao nmero de peixes no tanque. Os dados do problema estoresumidos na Tabela 2.7. Com base nos dados da tabela, montamos a equao

Tabela 2.7: Peixes rao

Nmero de Raopeixes (kg)

250 70350 x

250 peixes70 kg

= 350 peixesx kg

.

Aplicando, agora, o produto cruzado, obtemos

250x = 350 70 250x = 24500,

dondex = 24500

250= 98.

Logo, o consumo de rao de tilpias subiu para 98 kg por dia.

Problema 3. Compra de fio por metro

Uma loja de material eltrico vende fios por metro. Em uma visita recente loja, Manoel pagou R$ 62,00 por 40 m de fio com 4 mm de dimetro. Agora, eleprecisa de mais 18 m do mesmo fio para efetuar outra instalao. Quanto Manoel irdesembolsar dessa vez?

Soluo.

Nesse problema, x representa o preo de 18 m de fio. A Tabela 2.8 rene asinformaes disponveis. Da tabela, conclumos que

Tabela 2.8: Comprim. preo

Comprimento Preo(m) (R$)

40 6218 x

62 reais40 m

= x reais18 m

.

O produto cruzado fornece62 18 = 40x.

Desse modo, 18 m de fio saem por

x = 62 1840

= R$ 27,90.

Se analisarmos o problema acima tomando especial cuidado com as unidades,veremos que

x = R$ 62 18 m40 m

.

Essa equao tambm pode ser escrita na forma

x = R$ 6240 mcusto

por metro

18 m.

comprimentodo fio

Logo, o custo de 18 metros de fio pode ser obtido em duas etapas:

a) Calculamos o custo por metro de fio:

R$ 6240 m

= R$ 1,55/m.

100 Captulo 2. Equaes e inequaes

b) Calculamos o custo de 18 metros de fio:Note que, nesse caso, tambm opera-mos com as unidades, ou seja, faze-mos

R$m

m = R$.R$ 1,55/m 18m = R$ 27,90.

Esse procedimento pode ser aplicado a qualquer problema envolvendo a regra detrs, como mostrado no exemplo abaixo.

Problema 4. Pagamento parcial de uma conta

Passei a receber o sinal de TV a cabo em minha casa no dia 19 do ms passado. Sea empresa que fornece o sinal cobra R$ 80,00 de mensalidade, comeando a contagemno dia 1 de cada ms, qual deve ser o valor do meu primeiro pagamento?

Soluo.

Vamos supor, como comum em situaes que envolvem pagamento mensal, queum ms tenha 30 dias. Nesse caso, x o valor a ser pago por 12 dias servio.Note que o perodo que vai do dia

19 ao dia 30 de um ms compreende30 18 = 12 dias.

Para resolver esse problema, usaremos o mtodo apresentado acima, que consistenos seguintes passos:

1. Clculo dos custo por dia: Se o sinal da TV custa R$ 80,00 por ms, ento ocusto dirio igual a

R$ 8030 dias

R$ 2,667/dia.

2. Clculo do custo por 12 dias:Mais uma vez, operamos com as uni-dades, fazendo

R$dia

dia = R$.x = R$ 2,667/dia 12 dias R$ 32,00.

Agora, tente resolver esse problema usando a regra de trs tradicional, para com-provar que o resultado o mesmo.

Problema 5. Embalagens de bombons

Em um supermercado, os bombons Leukas so vendidos em duas embalagens: umpacote com 5 e uma caixa com 12 unidades. A embalagem de 5 unidades custa R$12,50, enquanto a de 12 unidades vendida por R$ 28,80. Em qual das embalagenso custo por bombom menor?

Soluo.

Pode-se descobrir qual embalagem a mais econmica comparando o custo porCada unidade do pacote com 5 bom-bons custa 12,505 = R$ 2,50. Por ou-tro lado, um bombom da caixa com12 unidades sai por 28,8012 = R$ 2,40.Logo, a caixa mais econmica.

unidade, como foi feito em um problema semelhante, apresentado na Seo 1.7, quetrata de razes e taxas.

Entretanto, vamos adotar uma estratgia alternativa para analisar o problema,recorrendo regra de trs. Assim, partindo do preo do pacote com 5 bombons,vamos calcular quanto a caixa com 12 unidades custaria se o preo fosse diretamenteproporcional ao nmero de bombons.

Usando a regra de trs tradicionalTabela 2.9: Bombons custo

Bombons Custo(unidades) (R$)

5 12,5012 x

A Tabela 2.9 contm os dados relevantes nossa anlise, supondo que x seja ocusto de 12 unidades.

Aplicando a regra de trs, obtemos

512,5

= 12x

5x = 12,5 12.

Seo 2.2. Propores e a regra de trs 101

Logo, se o custo por bombom fosse o mesmo do pacote com 5 unidades, a caixa com12 bombons deveria custar

x = 12,5 125

= R$ 30,00.

Como custa apenas R$ 28,80, a caixa mais econmica do que o pacote com 5unidades.

Usando a regra de trs com o clculo do custo unitrio

DicaPara dividir mentalmente umnmero por 5, voc podemultiplic-lo por 2 e dividir oresultado por 10. Assim,

12,55

= 12,5 210

=2510

= 2,5.

Agora, vamos seguir o roteiro adotado no Problema 4 e recalcular a soluo apartir do custo de cada bombom. De fato, atravs dessa estratgia fcil resolver atmesmo mentalmente o problema, bastando calcular

a) o custo de cada bombom da embalagem de 5 unidades:

R$ 12,505

= R$ 2,50;

b) o custo de 12 bombons:R$ 2,50 12 = R$ 30,00.

Como 30 > 28,8, a embalagem com 12 bombons proporcionalmente mais baratado que a com 5 unidades.

Regra de trs para grandezas inversamente proporcionaisA regra de trs tambm pode ser aplicada a problemas nos quais as grandezas soinversamente proporcionais. Nesse caso, contudo, preciso levar em conta que aconstante de proporcionalidade definida por um produto, e no por uma razo,como veremos nos exemplos a seguir.

Problema 6. Administrao da produo

Para atender as encomendas de natal que recebeu, uma indstria com 48 operriosgastaria 42 dias. Entretanto, o prazo de entrega das encomendas se encerra em 28 dias.Se a empresa puder contratar trabalhadores avulsos, quantos devem ser chamadospara que seja possvel terminar essa empreitada dentro do prazo?

Soluo.

Tabela 2.10: Trab. tempo

Empregados Tempo (d)

48 42x 28

O tempo gasto para atender as encomendas da indstria inversamente propor-cional ao nmero de operrios, o que significa que, quanto maior for o nmero detrabalhadores, menor ser o tempo gasto na produo.

Na Tabela 2.10, essa relao inversa indicada pelas setas que apontam em dire-es opostas. A varivel x representa o nmero total de operrios que participaroda produo, incluindo os trabalhadores avulsos.

Observe que, para determinar o nmero de trabalhadores avulsos que a empresadeve contratar, vamos supor que a produtividade dos novos trabalhadores seja igual dos funcionrios atuais da empresa.

Como as grandezas so inversamente proporcionais, o nmero de trabalhadores proporcional ao inverso do tempo gasto na produo, de modo que a equao associadaao problema

481

42= x1

28.

Como vimos anteriormente, essa equao tambm pode ser escrita na forma de pro-duto como

102 Captulo 2. Equaes e inequaes

48 42 = 28x,

donde

Lembre-se de que, quando as grande-zas so inversamente proporcionais,a constante de proporcionalidade k dada pelo produto. Assim, nesseexemplo, temos

k = 42 dias 48 empregados.

x = 201628

= 72.

Assim, a empresa deve contratar 72 48 = 24 trabalhadores temporrios.

Problema 7. Assentamento de azulejos

Uma equipe de dois pedreiros assenta todos os azulejos de uma cozinha em 7horas e meia. Se a equipe contasse com cinco pessoas, quanto tempo seria gasto paraassentar o mesmo nmero de azulejos?

Soluo.

Para resolver esse problema, vamos supor que todos os pedreiros sejam igualmenteeficientes no assentamento de azulejos. Nesse caso, chamando de x o tempo gasto pelaequipe de cinco pessoas, podemos montar a Tabela 2.11.

Tabela 2.11: Pedreiros tempo

Pedreiros Tempo (h)

2 7,55 x

Observando que o nmero de pedreiros inversamente proporcional ao tempogasto, vamos escrever a regra de trs usando o produto:

2 7,5 = 5x.

Logo,x = 15

5= 3 horas.

Ser que, mesmo quando lidamos com grandezas inversamente proporcionais, possvel reescrever a regra de trs usando o custo unitrio? claro que sim. Para vercomo isso feito, vamos revisitar o Problema 7 acima, prestando muita ateno nasunidades envolvidas.

Incluindo as unidades na equao da regra de trs, obtemos

2 pedreiros 7,5 horas = 5 pedreiros x horas.

Isolando x nessa equao, descobrimos que o nmero de horas de trabalho quandotemos 5 pedreiros igual a

x =

tempo gasto por um pedreiro2 pedreiros 7,5 horas

5 pedreiros

Nmero de pedreiros

.

Ou seja, para descobrirmos quanto tempo cada pedreiro ir trabalhar, devemosefetuar duas etapas:

a) Calcular o tempo gasto por um pedreiro, caso estivesse trabalhando sozinho: SeO passo (a) corresponde ao clculodo custo unitrio, ou seja, da cons-tante de proporcionalidade do pro-blema. Nesse exemplo, essa cons-tante corresponde ao tempo gastopor um nico pedreiro.

dois pedreiros gastam 7,5 h cada um, ento um pedreiro, sozinho, teria que fazero trabalho de dois, gastando

2 7,5 = 15 h.

b) Dividir o valor encontrado pelo nmero de pedreiros disponveis: Se um pedreirogastaria 15 h para efetuar o servio, cinco pedreiros gastaro

155

= 3 h.

Seo 2.2. Propores e a regra de trs 103

Tentemos resolver mais um problema prtico usando essa ideia.

Problema 8. gua na piscina

Quando trs registros iguais so abertos, uma piscina enchida em 21 horas. Seapenas dois registros forem abertos, quanto tempo ser gasto para encher a piscina?

Soluo.

Como os registros so iguais, podemos supor que a vazo atravs deles a mesma,ou seja, que a quantidade de gua que passa a cada segundo pelos registros amesma. Nesse caso, o tempo necessrio para o enchimento da piscina inversamenteproporcional ao nmero de registros abertos, como indica a Tabela 2.12.

Tabela 2.12: Registros tempo

Registros Tempo (horas)

3 212 x

Usando a regra de trs tradicional

A partir da tabela, podemos escrever

3 21 = 2x.

Desse modo,x = 63

2= 31,5 horas.

Usando a regra de trs com o clculo do custo unitrio

Tentemos, agora, obter a mesma soluo usando a estratgia em duas etapasapresentada acima.

a) Tempo gasto se h um nico registro aberto:Quando trs registros so abertos, a piscina enchida em 21 h. Por outro lado, seapenas um registro estiver aberto, ele ter que fazer o trabalho dos trs, gastando

3 21 = 63 h.

b) Tempo gasto quando dois registros so abertos:Se, quando um nico registro aberto, gasta-se 63 h, ento, com dois registros, apiscina pode ser enchida em

632

= 31,5 h.

Problemas complexosEm alguns problemas prticos, preciso fazer algumas manipulaes at que a regrade trs possa ser aplicada. Vejamos um exemplo cuja resoluo no imediata.

Problema 9. Empresa em sociedade

Fernando, Pedro e Celso abriram uma empresa de investimento imobilirio. Ocapital inicial da empresa contou com R$ 300.000,00 de Fernando, R$ 700.000,00 deCelso e R$ 900.000,00 de Pedro. Aps um ano, a empresa rendeu R$ 180.500,00.Como distribuir esse lucro pelos trs scios, de forma que cada um receba um valorproporcional ao que investiu?

Soluo.

Juntos, os trs scios investiram 300.000 + 700.000 + 900.000 = R$ 1.900.000,00 naempresa. Assim, com base nos dados do problema, podemos montar a Tabela 2.13.

104 Captulo 2. Equaes e inequaes

Tabela 2.13: Investimento e lucro por scio

Scio Investimento Lucro(R$ mil) (R$ mil)

Fernando 300 xCelso 700 yPedro 900 zTotal 1.900 180,5

Como o lucro de cada scio dire-tamente proporcional ao valor inves-tido, tambm poderamos determi-nar x, y e z aplicando trs vezes aregra de trs, usando os valores to-tais do investimento e do lucro comoreferncia.

Vamos resolver o problema calculando o lucro unitrio, ou seja, o lucro (emreais) obtido para cada real investido, que vale

R$ 180,5 milR$ 1900 mil

= 0,095.

Logo, h um lucro de 9,5 centavos para cada real aplicado na empresa, o que corres-ponde a um rendimento de 9,5%. Agora, podemos calcular a parcela do lucro quecabe a cada scio, multiplicando o lucro unitrio pelo valor investido:

Fernando: 0,095 300 = R$ 28,5 mil.

Celso: 0,095 700 = R$ 66,5 mil.

Pedro: 0,095 900 = R$ 85,5 mil.

S para aumentar a nossa confiana no resultado obtido, vamos conferir se oslucros dos scios somam R$ 180.500:

28,5 mil + 66,6 mil + 85,5 mil = 180,5 mil. Ok! A resposta parece correta.

Exerccios 2.21. Em uma loja de materiais de construo, o preo da

pia de granito (com 0,55 m de largura) diretamenteproporcional ao comprimento da pea. Se uma pia com1,5 m de comprimento custa R$ 330,00, quanto custaruma pia com 1,8 m?

2. Com 500 litros de leite se produz 23 kg de manteiga.Quantos quilos de manteiga ser capaz de produzir umacooperativa que possui 2700 litros de leite?

3. As 36 mulheres de uma empresa correspondem a 45%dos funcionrios. Quantos empregados possui a em-presa?

4. Um copo de leite integral contm 248mg de clcio, o querepresenta 31% do valor dirio de clcio recomendado.Qual esse valor recomendado?

5. Se um litro de gua do mar contm 35 g de sal, quantoslitros de gua do mar so necessrios para a obtenode 1 kg de sal?

6. Se uma torneira libera 78 litros de gua em 5 minutos,quanto tempo ser necessrio para encher uma piscinaplstica de 2300 litros?

7. Uma senhora consome duas caixas de reumatix a cada45 dias. Quantas caixas ela consome por ano? Emquanto tempo ela consome 12 caixas?

8. No aougue do Z, uma pea de 1,6 kg de lagarto custaR$ 19,20. Quanto Z cobra por uma pea de 2,1 kg damesma carne?

9. Joo gastou 8m30s para imprimir um texto de 180 p-ginas em sua possante impressora. Quanto tempo elegastaria para imprimir um texto de 342 pginas?

10. Um carro percorre os 500 km que separam Campinas eo Rio de Janeiro em 6 h 15 m. Mantendo a mesma velo-cidade, quanto tempo ele gastaria para ir de Campinasa Vitria, distantes 950 km?

11. Coloquei 50 litros de combustvel no tanque de meucarro, gastando R$ 120,00. Quanto gastaria se colo-casse apenas 35 litros do mesmo combustvel?

12. Quinze operrios constroem uma casa em 6 meses. Emquanto tempo vinte operrios seriam capazes de cons-truir a mesma casa?

Seo 2.2. Propores e a regra de trs 105

13. Rodando a 60 km/h, um nibus faz um percurso em45 minutos. Em quanto tempo o nibus faria o mesmopercurso trafegando a 80 km/h?

14. Uma embalagem de 900 g de um sabo em ps custaR$ 5,40. Quanto deve custar uma embalagem de 1,2 kgdo mesmo sabo para que seja vantajoso compr-la?

15. Uma equipe de 12 marceneiros fabrica um lote de ca-deiras em 10 dias. Se for preciso produzir o mesmolote em 8 dias, quantos marceneiros devero ser contra-tados (supondo que todos tenham o mesmo ritmo detrabalho)?

16. Um operrio assentou 12 m2 de piso em 8 h. Mantendoesse ritmo, em quanto tempo ele ainda gastar paraterminar de assentar os 96 m2 de piso da residncia?

17. Usando um cano com vazo de 0,2 `/s (litros por se-gundo), enchemos uma caixa dgua em 6 h. Se a vazofosse aumentada para 0,5 `/s, quanto tempo seria gastopara encher a caixa dgua?

18. Em um restaurante por quilo, um prato de 420 g custaR$ 5,25. Quanto custa um prato de 640 g nesse mesmorestaurante?

19. Navegando a 10 ns, uma barca atravessa uma baa em20 minutos. Determine quanto tempo uma barca quenavega a 16 ns gasta para fazer a mesma travessia.

20. Um professor corrige 50 provas em 70 minutos. Quantotempo ele gasta para corrigir todas as 125 provas deseus alunos?

21. Em uma fazenda, 40 pessoas fazem a colheita de frutasem 8 dias. Se o nmero de pessoas aumentasse para 64,quanto tempo seria gasto na colheita das frutas?

22. Um fazendeiro pode transportar sua safra de grosusando dois tipos de caminhes: um com 16 e outrocom 24 toneladas de carga. Usando os caminhes de16 toneladas, preciso fazer 33 viagens. Quantas via-gens so necessrias quando se usa caminhes com 24toneladas de capacidade?

23. Para produzir 120 blocos de cimento, uma fbrica con-some 420 kg de material. Quantos quilogramas seriamconsumidos para produzir 1000 blocos?

24. Quando faz um churrasco em famlia, Abel compra1,6 kg de carne. Hoje, Abel receber trs convidados,de modo que ter que fazer churrasco para 8 pessoas.Quantos quilogramas de carne ele dever comprar?

25. Lendo 20 pginas por dia, Carla terminar um livro em15 dias. Em quantos dias ela terminaria o mesmo livrose lesse 25 pginas por dia?

26. Para encher uma piscina infantil, Las precisa transpor-tar 104 baldes com 2,5 litros de capacidade. Se usasseum balde de 4 litros, quantas vezes ela teria que trans-portar gua da torneira piscina?

27. Um caixa de banco gasta, em mdia, 5 minutos paraatender 3 pessoas. Quanto tempo ele gastar para aten-der os 27 clientes que esto na fila?

28. Ezequiel gastou 2 horas para pintar 16 m2 de um murocom 50 m2. Mantendo esse ritmo, quanto tempo elegastar para terminar de pintar o muro?

29. Dirigindo a 60 km/h, certo professor vai de casa UNI-CAMP em 12 minutos. Em quanto tempo esse professorfaz o mesmo percurso na hora do rush, trafegando a 42km/h?

30. Em um treino para uma corrida, o piloto que ficouem primeiro lugar gastou 1m29,6 s para percorrer umavolta em uma pista, rodando a 236,7 km/h. Determineem quanto tempo o ltimo colocado deu uma volta napista, sabendo que ele dirigiu a uma velocidade mdiade 233,8 km/h.

31. Um motorista viajou de Grumixama a Porangaba em21 minutos, a uma velocidade mdia de 80 km/h. Navolta, o trnsito pesado fez com que a velocidade m-dia baixasse para 64 km/h. Quanto tempo durou essaviagem de volta?

32. A luz viaja no vcuo a 300 mil km/s. Sabendo que adistncia entre o Sol e a Terra de, aproximadamente,150 milhes de quilmetros, quantos minutos um raiode luz gasta para fazer essa travessia?

33. Segundo o censo do IBGE, em 2010, o Brasil tinha 147,4milhes de pessoas com 10 anos ou mais que eram al-fabetizadas, o que correspondia a 91% da populaonessa faixa etria. Determine o nmero de brasileiroscom 10 anos ou mais em 2010.

34. Um relgio atrasa 5 segundos por semana.a) Quantos minutos ele atrasa por ano?b) Em quantos dias o atraso atinge um minuto?

35. Uma cmera tira fotos com 4896 pixels de largura por3672 pixels de altura. Se quero imprimir uma fotografiacom 15 cm de largura, que altura essa foto ter?

36. Um carro ir participar de uma corrida em que terque percorrer 70 voltas em uma pista com 4,4 km deextenso. Como o carro tem um rendimento mdio de1,6 km/l e seu tanque s comporta 60 litros, o pilototer que parar para reabastecer durante a corrida.a) Supondo que o carro iniciar a corrida com o tan-

que cheio, quantas voltas completas ele poder per-correr antes de parar para o primeiro reabasteci-mento?

b) Qual o volume total de combustvel que ser gastopor esse carro na corrida?

37. Um carro bicombustvel capaz de percorrer 9 km comcada litro de lcool e 12,75 km com cada litro de ga-solina pura. Suponha que a distncia percorrida comcada litro de combustvel seja igual soma das distn-cias relativas s quantidades de lcool e gasolina.a) Quantos quilmetros esse carro consegue percorrer

com cada litro de gasolina C (aquela que vendidanos postos), que contm 80% de gasolina pura e20% de lcool?

106 Captulo 2. Equaes e inequaes

b) Em um determinado posto, o litro da gasolinaC custa R$ 2,40 e o do lcool custa R$1,35.Abastecendo-se nesse posto, qual combustvel pro-porcionar o menor custo por quilmetro rodado?Justifique.

c) Suponha que, ao chegar a um posto, o tanque docarro j contivesse 1/3 de seu volume preenchidocom gasolina C e que seu proprietrio tenha pre-enchido os 2/3 restantes com lcool. Se a capaci-dade do tanque de 54 litros, quantos quilmetroso carro poder percorrer com essa quantidade decombustvel?

38. Fernanda est poupando para comprar um carro. Ame de Fernanda decidiu ajudar, pagando 20% do valordo veculo. Entretanto, Fernanda ainda precisa juntarR$ 1.600,00, que correspondem a 8% da parcela que elair pagar, descontada a contribuio materna. Quantocusta o veculo?

39. Uma padaria de Campinas vendia pes por unidade, aum preo de R$ 0,20 por pozinho de 50 g. Atualmente,a mesma padaria vende o po por peso, cobrando R$4,50 por quilograma do produto.a) Qual foi a variao percentual do preo do pozi-

nho provocada pela mudana de critrio de clculodo preo?

b) Um consumidor comprou 14 pezinhos de 50 g, pa-gando pelo peso, ao preo atual. Sabendo que ospezinhos realmente tinham o peso previsto, cal-cule quantos reais o cliente gastou nessa compra.

40. A figura abaixo mostra um fragmento de mapa, em quese v o trecho reto de estrada que liga as cidades de Pa-raguau e Piripiri. Os nmeros apresentados no maparepresentam as distncias, em quilmetros, entre cadacidade e o ponto de incio da estrada (que no aparecena figura). Os traos perpendiculares estrada estoigualmente espaados de 1 cm.

a) Para representar a escala de um mapa, usamos anotao 1: X, onde X a distncia real correspon-dente distncia de 1 unidade do mapa. Usandoessa notao, indique a escala do mapa dado acima.

b) Repare que h um posto exatamente sobre umtrao perpendicular estrada. Em que quilme-tro (medido a partir do ponto de incio da estrada)encontra-se tal posto?

c) Imagine que voc tenha que reproduzir o mapadado usando a escala 1:500000. Se voc fizer a fi-gura em uma folha de papel, a que distncia, emcentmetros, desenhar as cidades de Paraguau ePiripiri?

41. Dois atletas largaram lado a lado em uma corrida dispu-tada em uma pista de atletismo com 400 m de compri-mento. Os dois atletas correram a velocidades constan-tes, porm diferentes. O atleta mais rpido completoucada volta em exatos 66 segundos. Depois de correr 17voltas e meia, o atleta mais rpido ultrapassou o atletamais lento pela primeira vez. Com base nesses dados,pergunta-se:a) Quanto tempo gastou o atleta mais lento para per-

correr cada volta?b) Em quanto tempo o atleta mais rpido completou

a prova, que era de 10.000 metros?c) No momento em que o atleta mais rpido cruzou a

linha de chegada, que distncia o atleta mais lentohavia percorrido?

42. Planos de sade tm suas mensalidades estabelecidaspor faixa etria. A tabela abaixo fornece os valores dasmensalidades do plano "Gerao Sade".

Faixa etria Mensalidade (R$)

at 15 anos 120,00de 16 a 30 anos 180,00de 31 a 45 anos 260,00de 46 a 60 anos 372,0061 anos ou mais 558,00

O grfico em formato de pizza abaixo mostra o compro-metimento do rendimento mensal de uma determinadapessoa que recebe 8 salrios mnimos por ms e aderiuao plano de sade "Gerao Sade". Determine a quefaixa etria pertence essa pessoa, supondo que o salriomnimo nacional valha R$ 465,00 (salrio vigente em2009).

43. Caminhando sempre com a mesma velocidade, a par-tir do marco zero, em uma pista circular, um pedestrechega marca dos 2.500 metros s 8 h e aos 4.000 me-tros s 8 h 15.a) Quantos metros o pedestre caminha por minuto?b) Quantos metros tem a pista se o pedestre deu duas

voltas completas em 1h 40?44. Uma pessoa possui R$ 7560,00 para comprar um ter-

reno que custa R$ 15,00 por metro quadrado. Consi-derando que os custos para obter a documentao doimvel oneram o comprador em 5% do preo do terreno,pergunta-se:a) Qual o custo final de cada metro quadrado do

terreno?

Seo 2.2. Propores e a regra de trs 107

b) Qual a rea mxima que a pessoa pode adquirircom o dinheiro que ela possui?

45. Supondo que a rea mdia ocupada por uma pessoa emum comcio seja de 2.500 cm2, pergunta-se:a) Quantas pessoas podem se reunir em uma praa

retangular que mea 150 m de comprimento por 50m de largura?

b) Se 3/56 da populao de uma cidade so suficientespara lotar a praa, qual a populao da cidade?

46. A tabela abaixo fornece os valores dirios de referncia(VDR) de alguns nutrientes, de acordo com a ResoluoRDC 360 da Agncia Nacional de Vigilncia Sanitria(ANVISA). Um explorador preso na Antrtida possuiapenas barras de cereais para se alimentar. Lendo aembalagem do produto, ele descobriu que cada barracontm 90 kcal, 24 g de carboidratos, 2,5% do valorde referncia de protenas e 4% do valor de refernciade fibra alimentar. Para ingerir no mnimo os valoresde referncia dos nutrientes acima, quantas barras eledever comer por dia?

Nutriente VDR

Valor energtico 2000 kcalCarboidratos 300 gProtenas 75 gFibra alimentar 25 g

47. Dois tanques, A e B, esto conectados, mas a vlvulaentre eles est fechada. No momento, o tanque A con-

tm 20 litros de gs, uma presso de 3 atm, enquantoo tanque B est vazio. Se abrirmos a vlvula, o gs seespalhar pelos dois tanques, e a presso baixar para2 atm. Nesse caso, qual o volume do tanque B?

48. Uma determinada cidade registrou 2.500 casos de den-gue em 2008, para uma populao estimada de 350.000habitantes.

a) Calcule o coeficiente de incidncia de dengue nacidade nesse perodo, definido como o nmero decasos por 10.000 habitantes.

b) Em 2008, o coeficiente de incidncia de dengue he-morrgica na cidade foi de 0,17 casos por 10.000habitantes. Determine o nmero de casos de den-gue hemorrgica detectados naquele ano.

c) Suponha que o coeficiente de incidncia de dengue(em casos por 10.000 hab) tenha crescido 5% entre2008 e 2010, e que, alm disso, a populao tenhacrescido 4% no perodo. Determine o nmero decasos de dengue registrados em 2010.

49. Trs agricultores formaram uma cooperativa para com-prar um trator. Robson gastou R$ 40.000,00, Rodneyinvestiu R$ 66.000,00, e Lcio pagou os R$ 34.000,00restantes. Pelo acordo feito entre os trs, o nmero dedias de uso do trator deve ser proporcional ao valorgasto. Determine quantos dias por ano cada agricultorpoder usar o trator.

Respostas dos Exerccios 2.21. R$ 396,002. 124,2 kg3. 80 funcionrios4. 800 mg5. 28,571 litros6. Pouco mais de 147 minutos7. Ela consome 16,2 caixas por ano, e gasta

270 dias para consumir 12 caixas.8. R$ 25,209. 16m9 s

10. 11,875 horas, ou 11h52m30s11. R$ 84,0012. 4,5 meses13. 33,75 minutos, ou 33m45s14. R$ 7,2015. 15 marceneiros16. 56 h17. 2,4 h = 2h 24m18. R$ 8,0019. 12,5min20. 175min

21. 5 dias22. 22 viagens23. 3500 kg24. 2,560 kg25. 12 dias26. 65 baldes27. 45 minutos28. 4,25h, ou 4h15m29. Em 17,14 minutos30. 1m30,7 s31. Em 26m15 s32. 500 s, ou 8m20 s33. Cerca de 162 milhes de habitantes34. a) Cerca de 4m21 s

b) 84 dias35. 11,25 cm

36. a) 21 voltas b) 192,5 litros

37. a) 12 km/lb) O lcool

c) 540 km

38. R$ 25.000,00

39. a) A variao de preo foi de 12,5%b) R$ 3,15

40. a) A escala 1:425.000b) No quilmetro 34c) A uma distncia de 6,8 cm

41. a) 70 s b) 9428 m

42. 61 anos ou mais

43. a) 100 m por minutob) 5000 m

44. a) R$ 15,75 b) 480 m2

45. a) 30.000 pessoasb) 560.000 habitantes

46. 40 barras

47. 10 litros.

48. a) 71,43 casos por 10.000 habitantesb) 6 casosc) 2730 casos

49. Robson: 104 dias; Rodney: 172 dias; L-cio: 89 dias.

108 Captulo 2. Equaes e inequaes

2.3 Regra de trs composta

A regra de trs que vimos at agora chamada regra de trs simples um mtodoeficiente para solucionar problemas nos quais duas grandezas mantm uma relaode proporcionalidade. Entretanto, h muitos problemas prticos que envolvem trsou mais grandezas, impedindo que sua soluo seja obtida diretamente atravs dasoluo de apenas uma regra de trs simples. Nesses casos, a soluo costuma serobtida atravs do que chamamos de regra de trs composta.

Embora muitos textos matemticos apresentem mtodos diretos para a soluode problemas atravs da regra de trs composta, raro encontrar um estudante que,um ano aps t-lo aprendido, seja capaz de recordar tal mtodo. Por esse motivo,veremos como resolver problemas nos quais h vrias grandezas relacionadas aplicandosucessivas vezes a regra de trs simples. Essa estratgia, apesar de mais demorada, bastante confivel e no exige a memorizao de um novo mtodo.

Via de regra, a aplicao da regra de trs composta a um problema com n gran-dezas equivalente a n 1 aplicaes da regra de trs simples. Em cada um dessespassos, relacionamos a grandeza associada incgnita do problema a uma grandezadiferente, mantendo fixas as demais grandezas. Para compreender como isso feito,acompanhe os exemplos abaixo.

Problema 1. Mais peixes

Uma piscicultora chamada Aline possui dois tanques de criao de carpas. Oprimeiro tanque contm 20 carpas, cada qual com cerca de 160 g. Por sua vez, as 24carpas do segundo tanque tm apenas 125 g de peso mdio.

Se, somadas, as carpas do primeiro tanque consomem 80 g de rao por dia,quantos gramas de rao Aline gasta diariamente para alimentar todas as carpas dosegundo tanque? Suponha que o consumo de rao de cada peixe seja diretamenteproporcional a seu peso.

Soluo.

A incgnita do problema, x, corresponde quantidade de rao (em g) gasta pordia para alimentar as carpas do segundo tanque. Entretanto, no h uma maneiradireta de calcular o valor dessa varivel, pois o problema envolve trs grandezas dife-rentes: o nmero de carpas, o peso das carpas e a quantidade de rao, como mostraa Figura 2.1.

Figura 2.1: Dados do problema das carpas.

Resolveremos o problema em duas etapas. Na primeira, vamos manter constanteo nmero de carpas, e analisar como a quantidade de rao se relaciona ao peso dospeixes. J na segunda etapa, manteremos constante o peso dos peixes, e relaciona-remos a quantidade de rao ao nmero de carpas. O esquema que adotaremos estilustrado na Figura 2.2.

Seo 2.3. Regra de trs composta 109

Figura 2.2: Etapas de soluo do problema das carpas.

Etapa 1

Tabela 2.14: Peso rao

Peso dos Raopeixes (g) (g)

160 80125 y

Fixemos o nmero de carpas em 20 (o nmero de peixes do tanque cujos dadosso conhecidos), e vejamos quanto consumido de rao se as carpas tm um pesomdio de 125 g.

Nesse caso, segundo o enunciado, o consumo de rao diretamente proporcionalao peso mdio dos peixes, de modo que podemos montar a Tabela 2.14. Com basenos dados dessa tabela, obtemos a equao

160g (peixe)80g (rao)

= 125g (peixe)y g (rao)

.

Aplicando, ento, o produto cruzado, conclumos que

160y = 125 80 160y = 10000 y = 10000160

= 62,5g.

Logo, 20 carpas de 125 g consomem 62,5 kg de rao por dia.

Etapa 2

Tabela 2.15: Peixes rao

Peixes Rao(g)

20 62,524 x

Vejamos, agora, quanto consomem 24 carpas com o mesmo peso. Como natural,vamos supor que o consumo de rao seja diretamente proporcional ao nmero depeixes no tanque.

Observando a Tabela 2.15, notamos que

20 peixes62,5g rao

= 24 peixesxg rao

.

Dessa forma, podemos escrever

20x = 24 62,5 20x = 1500 x = 150020

= 75g.

Ou seja, as 24 carpas do segundo tanque consomem 75 g de rao por dia.

Problema 2. Correo de provas

No ano passado, uma banca de 16 professores de matemtica corrigiu, em 9 diasteis, as 48.000 provas do vestibular de uma universidade. Nesse ano, necessriocorrigir 50.000 provas, mas a banca s ter 8 dias teis para efetuar o trabalho.Quantos professores devem ser contratados para essa tarefa?

Soluo.

Esse problema tambm envolve trs grandezas diferentes: o nmero de professores,o nmero de provas e o nmero de dias de correo. O objetivo descobrir o valorda varivel x, que corresponde ao nmero necessrio de professores para corrigir as50.000 provas em 8 dias. A Figura 2.3 fornece todas as informaes relevantes doenunciado.

110 Captulo 2. Equaes e inequaes

Figura 2.3: Dados do problema das provas do vestibular.

Mais uma vez, a resoluo do problema envolver dois passos, como mostradona Figura 2.4. No primeiro passo, manteremos constante o nmero de dias, e vere-mos quantos corretores sero necessrios para corrigir as 50.000 provas. Em seguida,fixaremos o nmero de provas, e variaremos o nmero de dias de correo.

Figura 2.4: Etapas de soluo do problema das provas do vestibular.

Etapa 1

Tabela 2.16: Provas pessoas

Provas Corretores

48 mil 1650 mil y

Repare que, se fixarmos em 9 o nmero de dias de correo, o nmero de corretoresser diretamente proporcional ao nmero de provas corrigidas, como mostra a Tabela2.16. Assim, teremos

16 corretores48 mil provas

= y corretores50 mil provas

.

Aplicando o produto cruzado a essa equao, obtemos

48y = 16 50 48y = 800 y = 80048

16,67 corretores.

Logo, para corrigir 50.000 provas em 9 dias so necessrios cerca de 16,67 corretores.No se preocupe com o fato de termos obtido um nmero fracionrio de corretores,pois esse valor apenas intermedirio, no correspondendo soluo do problema.

Etapa 2

Tabela 2.17: Dias pessoas

Dias de Nmero decorreo corretores

9 16,678 x

Suponhamos, agora, que o nmero de provas permanea fixo em 50.000, mas onmero de dias de correo seja reduzido de 9 para 8. Nesse caso, o nmero depessoas dever aumentar, pois ser preciso corrigir mais provas por dia. Observamos,ento, que o nmero de dias e o nmero de corretores so grandezas inversamenteproporcionais, como indica a Tabela 2.17. Assim, temos

9 dias 16,67 corretores = 8 dias x corretores,

o que nos leva ax = 9 16,67

8 150

8= 18,75 corretores.

Finalmente, como o nmero de corretores deve ser inteiro, conclumos que a bancade matemtica deve ser composta por 19 pessoas.

Seo 2.3. Regra de trs composta 111

Problema 3. Transporte de terra

Usando 9 caminhes basculantes por 10 horas, uma empresa costuma transportar216 toneladas de terra por dia para a construo de uma enorme barragem.

Como a empreiteira que administra a obra est interessada em acelerar o trabalho,a empresa ter que passar a transportar 248 toneladas dirias. Por outro lado, emvirtude de um acordo com o sindicato dos motoristas, a empresa no poder operaros caminhes por mais que 8 horas dirias.

Nesse caso, quantos caminhes devem ser usados para transportar terra barra-gem?

Soluo.

Figura 2.5: Dados do problema dos caminhes.

A Figura 2.5 resume tanto o regime de trabalho atual como aquele que ter queser adotado. Em resumo, queremos determinar o nmero de caminhes, x, que aempresa usar para transportar 248 toneladas de terra, trabalhando 8 horas dirias.

Como h trs grandezas envolvidas (horas de trabalho, nmero de caminhese quantidade de terra transportada), resolveremos o problema em duas etapas. Agrandeza fixada em cada etapa mostrada na Figura 2.6.

Figura 2.6: Etapas de soluo do problema dos caminhes.

Etapa 1

Tabela 2.18: Caminhes jornada

Caminhes Jornada (h)

9 10y 8

Na primeira etapa, fixamos em 216 toneladas a quantidade de terra a ser trans-portada por dia. Nesse caso, queremos saber quantos caminhes sero necessriospara o transporte se a jornada de trabalho for reduzida de 10 para 8 horas dirias.Os dados relevantes dessa etapa so mostrados na Tabela 2.18.

Como indica a tabela, o nmero de caminhes usados para o transporte inversa-mente proporcional ao tempo dirio de trabalho. Usando essa informao, escrevemos

9 caminhes 10 horas = y caminhes 8 horas,

de modo que

y = 908

= 11,25 caminhes.

Assim, teramos que usar 11,25 caminhes para transportar 216 toneladas em 8horas dirias. Para no incorrer em erros de aproximao, vamos manter o valor

112 Captulo 2. Equaes e inequaes

fracionrio do nmero de caminhes at o final da segunda etapa, quando teremos ovalor definitivo.

Etapa 2Tabela 2.19: Caminhes terra

Caminhes Terra (ton)

11,25 216x 248

Para terminar de resolver o problema, vamos fixar em 8 horas a jornada de trabalhodiria, e relacionar o nmero de caminhes ao peso total de terra a ser transportada.

Sabemos que a quantidade de terra diretamente proporcional ao nmero decaminhes. como indicam as setas da Tabela 2.19. Assim,

11,25 caminhes216 toneladas

= x caminhes248 toneladas

,

donde obtemos

11,25 248 = 216x 216x = 2790 y = 2790216

12,92 caminhes.

Como o nmero de caminhes no pode ser fracionrio, conclumos que a metadiria de transporte de terra estabelecida pela empreiteira s ser atingida se foremusados 13 caminhes.

Exerccios 2.3

1. Trabalhando 8 horas dirias, um operrio produz 600peas em cinco dias. Se trabalhasse 10 horas por dia,quantos dias ele gastaria para produzir 1200 peas?

2. Em uma casa com 3 moradores, o consumo de energiacom o chuveiro atinge 67,5 kWh em 30 dias. Qual sero consumo energtico da casa em uma semana na quala casa recebeu dois parentes? Suponha que os visitan-tes tomem banho com durao equivalente mdia dafamlia.

3. Maristela uma trabalhadora autnoma. Da ltimavez que prestou um servio, ela trabalhou 10 horas pordia, durante 12 dias, e recebeu R$ 1.800,00. Agora, elarecebeu uma proposta para trabalhar 9 horas por dia,durante 21 dias. Quanto Maristela deve cobrar pelo ser-vio, se pretender receber, proporcionalmente, o mesmoque em seu ltimo contrato?

4. Em uma fazenda de cana-de-acar, 140 trabalhadoresso capazes de colher 2,52 km2 em 18 dias. Quantostrabalhadores so necessrios para efetuar a colheita de2,75 km2 em 22 dias, supondo que o rendimento mdiodo trabalho seja constante?

5. Em um escritrio no qual havia 8 lmpadas de 100 W,o consumo mensal de energia era de 176 kWh. Recente-mente, as lmpadas antigas foram substitudas por 14

lmpadas econmicas, cada qual com 15 W. Qual oconsumo mensal atual do escritrio?

6. Usando todas as suas seis mquinas (que so iguais),uma indstria produz cerca de 4 milhes de garrafasPET por semana. Se uma das mquinas est paradapara manuteno, quantos dias sero necessrios paraque a empresa produza um lote de 3,5 milhes de gar-rafas?

7. Uma torneira que pinga 20 gotas por minuto desperdia1,44 litros por dia. Se minha me, inadvertidamente,deixou uma torneira pingando por 5 horas, a uma taxade 32 gotas por minuto, qual foi o desperdcio de gua?

8. Para digitar as notas dos 72.000 candidatos de um con-curso, uma equipe de 4 pessoas gasta 3 dias. Mantendoesse ritmo de trabalho, quantos dias sero gastos poruma equipe de 5 digitadores para processar as notas de180.000 candidatos?

9. O dono de um avirio gastava cerca de 2,1 toneladas derao por ms. Entretanto, uma doena rara o obrigoua sacrificar 2/7 de seus animais. Supondo que a mdiade peso das aves sobreviventes seja 20% superior me-dia de peso antes da doena, qual deve ser o consumomensal atual de rao do avirio?

Respostas dos Exerccios 2.3

1. 8 dias2. 26,25 kWh3. R$ 2.835,00

4. 125 trabalhadores5. 46,2 kWh6. 7,35 dias.

7. 0,48 litros8. 6 dias9. 1,8 toneladas

Seo 2.4. Equaes lineares 113

2.4 Equaes lineares

Todas as equaes que vimos at o momento foram, em algum passo de sua resoluo,convertidas forma ax = b. Equaes assim so chamadas lineares.

Equao linearUma equao dita linear ou de primeiro grau se equivalente a

ax = b,

em que a e b so constantes reais, com a 0.

s vezes, a equao linear aparece de outras formas, exigindo algum trabalho parasua converso forma ax = b, como ocorre nos exemplos abaixo.

1 3x = 0 3x = 1

6 = x + 42

x2= 4

3(x 5) = 2(4 6x) 15x = 23

As equaes lineares sempre tm uma, e apenas uma, soluo. Quando a equaoest na forma ax = b, essa soluo x = b/a.

Algumas equaes lineares contm termos constantes, porm desconhecidos, comoem

x(a + 2) = c 1.

Em casos assim, a equao dita literal, pois sua soluo envolve letras. Para oexemplo acima, a soluo

x = c 1a + 2 ,

desde que a 2.

Resoluo de problemasAlm de ser til para a fixao de conceitos matemticos, e de permitir a aplicaodesses conceitos a situaes de nosso cotidiano, a resoluo de problemas desperta opensamento crtico e a engenhosidade, e nos proporciona alguma dose de organizaoe uma boa capacidade de abstrao.

Infelizmente, no h uma receita nica e simples para a soluo de problemas, demodo que preciso analisar cada caso em particular. Entretanto, possvel definiralgumas linhas mestras s quais se pode seguir. Fazer desenhos, construir tabelas,testar vrias alternativas, detectar as ferramentas matemticas necessrias, no igno-rar dados do enunciado, atentar para as unidades e conferir se os resultados fazemsentido so exemplos de passos necessrios obteno das respostas.

Em 1945, o matemtico George Plya publicou um livro que ainda uma refernciaPLYA, George How to solveit. Princeton, Princeton University,1945.

na resoluo de problemas matemticos. Em seu livro, Plya props um roteiro que,embora no seja o mais adequado em todos os casos, serve de guia para a organizaodo processo de soluo de problemas. Uma verso adaptada desse roteiro dada noquadro abaixo.

114 Captulo 2. Equaes e inequaes

Passos da resoluo de problemas1. Compreenda o problema.

Leia o texto cuidadosamente, verificando se voc entendeu todas asinformaes nele contidas.

Identifique as incgnitas. Anote os dados relevantes e as condies nas quais eles se aplicam. Confira se os dados so suficientes para a resoluo do problema, e se

no so contraditrios. Escolha uma notao apropriada. Faa um desenho ou monte uma tabela que ilustre o problema. Eventualmente, escreva o problema de outra forma para torn-lo mais

claro.

2. Defina uma estratgia para a soluo do problema.

Encontre as relaes entre os dados e as incgnitas, usando como baseproblemas parecidos que voc j tenha resolvido.

Identifique as ferramentas matemticas necessrias para a soluo. Se o problema parece muito complicado, resolva um problema similar,

porm mais simples. Eventualmente, faa um diagrama das etapas que voc vai seguir.

3. Execute a sua estratgia, revisando-a se necessrio.

Mantenha o trabalho organizado, descrevendo com certo detalha-mento todos os passos que voc seguiu.

Confira seus clculos, de forma a no permitir a propagao de erros. Revise sua estratgia, voltando ao passo 2 se alguma etapa no estiver

correta.

4. Confira e interprete os resultados.

Verifique se seus resultados fazem sentido, conferindo os valores e asunidades.

Se voc encontrou mais de uma soluo, despreze aquelas que nosatisfazem as condies impostas pelo problema.

Confira os valores de outra maneira que no aquela segundo a qualeles foram obtidos.

Verifique a consistncia dos resultados analisando casos particulares esituaes limite.

Esses passos so genricos e no explicam exatamente o que fazer em cada caso.Alm disso, eles so mais ou menos intuitivos, de modo que geralmente os seguimosmesmo sem notar. Ainda assim, conveniente ter em mente um plano geral quandovamos tratar de um problema novo.

Outra dica importante encontrada no livro de Plya diz respeito conferncia dasunidades. De fato, o emprego correto das unidades de fundamental importnciadurante todo o processo de resoluo de um problema, de forma que no prudenteignor-las durante a resoluo e apenas adiciona-las resposta.

Se voc for efetuar uma soma, por exemplo, verifique se todos os termos tm amesma unidade. Lembre-se de que possvel somar centmetros com centmetros,

Seo 2.4. Equaes lineares 115

mas no centmetros com quilmetros, ou litros com quilogramas. Alm disso, asoperaes que efetuamos com medidas tambm se aplicam s suas unidades, de modoque, se a varivel x dada em metros, ento a unidade de x2 m2. Por outro lado,se y dada em km e t dada em horas, ento y/t tem como unidade km/h.

Tambm importante levar em conta que, frequentemente, preciso despendermuito esforo (e superar muitos fracassos) para se chegar soluo de um problema.Embora no parea, para apresentar uma estratgia simples de resoluo de um exer-ccio em sala de aula, um professor gasta horas em seu escritrio tentando encontrara forma mais eficiente de resolver aquele problema.

Problema 1. Relgio que atrasa no adianta

No ptio do instituto de matemtica h dois relgios. Um deles adianta 5 segundospor dia, enquanto o outro atrasa 3 segundos por dia. Se os dois relgios foramacertados no mesmo instante, quanto tempo dever transcorrer, desde este instante,at que a diferena entre eles seja de um minuto?

Soluo.

Compreenso do enunciado

O enunciado nos diz que

o primeiro relgio adianta 5 segundos por dia (ou 5 segundos/dia);

o segundo relgio atrasa 3 segundos por dia (ou 3 segundos/dia);

os dois relgios foram acertados em um mesmo instante.

A incgnita do problema o nmero de dias necessrios para que a diferena entreos horrios dos relgios seja igual a 1 minuto, partindo do momento em que os relgiosforam acertados. Usaremos a letra t para representar essa incgnita.

Alm disso, o erro do relgio um fenmeno contnuo, ou seja, se um relgio erra5 segundos em um dia, ento ele erra 2,5 segundos em meio dia. Assim, a varivel tpode assumir qualquer valor real (positivo).

Estratgia de soluo

Para resolver o problema,

calcularemos a diferena (em segundos) dos horrios indicados nos relgios, acada dia;

escreveremos uma frmula que relaciona a diferena dos relgios varivel t,que dada em dias;

obteremos o resultado desejado igualando o atraso obtido pela frmula acimaao valor estipulado no enunciado (1 minuto);

converteremos o resultado para a unidade mais adequada (dias, horas, minutos).

Resoluo do problema

O primeiro relgio adianta 5 segundos/dia e o segundo atrasa 3 segundos/dia (ouseja, apresenta uma variao de 3 segundos/dia). Logo, a diferena entre eles de

5 (3) = 5 + 3 = 8 segundos/dia.

Aps t dias, essa diferena igual aObserve que, apesar de t ser dada emdias, a expresso 8t medida em se-gundos.

8 segundosdia

t dias = 8t segundos.

116 Captulo 2. Equaes e inequaes

Queremos descobrir um valor de t tal que essa diferena seja igual a 1 minuto, oque equivale a 60 segundos. Para tanto, escrevemos a equao

8t = 60.

Resolvendo essa equao, obtemos

t = 608

= 7,5 dias.

Assim, os relgios tero umminuto de diferena passados 7 dias e 12 horas do momentoem que foram acertados.

Conferncia dos resultados

Intuitivamente, o resultado parece correto, j que no chegamos a valores absurdoscomo t = 5 minutos ou t = 22 anos.

Para conferir a exatido da resposta, podemos calcular o erro apresentado pelosrelgios aps 7,5 dias, para ter certeza de que h mesmo uma diferena de 1 minuto.Vejamos:

Se o primeiro relgio adianta 5 segundos por dia, aps 7,5 dias ele estar 57,5 =37,5 segundos adiantado.

Por outro lado, como o segundo relgio atrasa 3 segundos por dia, aps 7,5 diasele estar 3 7,5 = 22,5 segundos atrasado.

Logo, a diferena entre os relgios ser de

37,5 (22,5) = 37,5 + 22,5 = 60 segundos. (ok!)

Resoluo de problemas com o uso de equaes linearesUma grande quantidade de problemas cotidianos pode ser resolvida com o auxlio deequaes lineares. Nesses casos, o maior trabalho recai na formulao de um modelomatemtico que represente o problema, j que a soluo fcil de obter. Nessa seo,vamos explorar esse tipo de modelagem. Comearemos apresentando uma verso doroteiro de Plya especfica para o tipo de problema que vamos tratar.

Roteiro para a soluo de problemas que envolvem equaes

1. Compreenda o enunciado.Extraia os dados fornecidos pelo enunciado.Defina uma varivel e atribua a ela um nome (uma letra, por exemplo).Se necessrio, monte uma tabela ou faa um desenho.

2. Relacione os dados do enunciado varivel.Traduza as palavras em expresses matemticas que envolvam a varivel.Defina uma equao que relacione as expresses que voc encontrou.

3. Encontre o valor da varivel.Resolva a equao. Escreva a resposta na unidade apropriada.

4. Confira o resultado.Verifique se o valor obtido para a varivel resolve a equao, e se a respostafaz sentido. Caso contrrio, pode haver um erro em alguma conta, oumesmo na formulao.

Seo 2.4. Equaes lineares 117

Tomando por base esses passos, tentemos, agora, resolver alguns problemas pr-ticos.

Problema 2. Aluguel de um carro

Para alugar um carro pequeno, a locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$40,00 por dia, alm de R$ 0,75 por quilmetro rodado. Lucas alugou um carro edevolveu-o aps dois dias, pagando R$185,00. Quantos quilmetros Lucas percorreucom o carro alugado?

Soluo.A primeira etapa da resoluo de um problema a definio da incgnita, ou seja, dainformao que se pretende conhecer. Nesse caso, desejamos saber quantos quilme-tros foram percorridos por Lucas, de modo que definimos

x = distncia percorrida por Lucas (em km).

De posse da varivel, devemos extrair dados do problema e associ-los varivelque criamos. O enunciado desse problema nos informa que

O custo do aluguel do carro dividido em duas partes, uma fixa por dia, e outraque depende da distncia percorrida.

A parcela fixa do custo definida pelo produto (custo por dia)(nmero dedias). Como Lucas usou o carro por dois dias, essa parcela correspondeu a

40 (R$/dia) 2 (dias) = R$ 80.

A parcela varivel do aluguel dada por (custo por km)(distncia em km), ouseja,

0,75 (R$/km) x (km).

Lucas gastou, no total, R$ 185,00.

Reunindo essas informaes, montamos a seguinte equao que relaciona o custodo aluguel ao valor pago por Lucas:

80custo fixo

+ 0,75x

custo varivel

= 185

valor pago

De posse da equao, resta-nos resolv-la:

80 + 0,75x = 1850,75x = 105

x = 105/0,75x = 140.

Logo, Lucas percorreu 140 km com o carro alugado. Por segurana, conferimos oresultado obtido:

80 + 0,75 140 = 185 80 + 105 = 185 185 = 185 (Verdadeiro!)

Agora, tente o exerccio 15.

118 Captulo 2. Equaes e inequaes

Problema 3. Diviso de um barbante

Um barbante com 50 m de comprimento foi dividido em duas partes. Se a primeiraparte 15 m menor que a outra, quanto mede cada parte?

Soluo.

Como o objetivo do problema a determinao dos comprimentos dos pedaos debarbante, vamos escolher um deles para ser a incgnita:

x = comprimento do maior pedao de barbante (em metros).

O enunciado nos informa que

somados, os dois pedaos tm 50 m de comprimento;

um pedao 15 m menor que o outro.

Usando a segunda informao e o fato do maior pedao medir x, conclumos queo pedao menor tem comprimento igual a x 15.

Agora, levando em conta o comprimento total do barbante, escrevemos

xpedao maior

+ (x 15)

pedao menor

= 50comprimento total

Depois de reescrever essa equao como 2x 15 = 50, resolvemo-la seguindo ospassos abaixo.

2x 15 = 502x = 65x = 65/2x = 32,5.

Assim, o barbante maior tem 32,5 m. Como consequncia, o barbante menor mede

50 x = 50 32,5 = 17,5 m.

Para garantir que a resposta est correta, verificamos que a diferena de compri-mento entre os pedaos de barbante igual a 32,5 17,5 = 15 m, e que a soma delesequivale a 32,5 + 17,5 = 50 m, como espervamos.Agora, tente o exerccio 2.

Problema 4. Diviso de uma conta

Trs amigos levaram suas respectivas famlias para almoar em um restaurante.Na hora de pagar a conta de R$ 192,00, Marta decidiu contribuir com R$ 10,00 amais que Vtor, j que havia pedido uma sobremesa. Alm disso, por ter uma famliamenor, Tas pagou apenas um tero do valor devido por Vtor. Quanto cada amigodesembolsou no almoo?

Soluo.Como muitas informaes do problema tomam como base o valor pago por Vtor,definimos a varivel

x = valor gasto por Vtor (em reais).

Os outros dados fornecidos no enunciado so:

Seo 2.4. Equaes lineares 119

Valor gasto por Marta (em reais): x + 10.

Valor gasto por Tas (em reais): x/3.

Total da conta: R$ 192.

Com base nesses dados e no fato de que a conta foi repartida entre os trs amigos,obtemos a equao

xVtor

+ x + 10Marta

+ x/3Tas

= 192total

A resoluo dessa equao dada abaixo.

2x + x3+ 10 = 192

6x + x3

+ 10 = 192

7x3

= 182

x = 182 37

x = 78.

Portanto, Vtor gastou R$ 78,00. Por sua vez, Marta desembolsou 78 + 10 = R$88,00. J Tas gastou apenas 78/3 = R$ 26,00. Observe que 78 + 88 + 26 = 192, quecorresponde ao total pago.Agora, tente o exerccio 16.

Problema 5. Nmeros consecutivos

Somando trs nmeros consecutivos, obtm-se 66. Quais so esses nmeros?

Soluo.

Embora no saibamos o valor dos nmeros, sabemos que eles so consecutivos.Assim, se definimos a varivel

x =menor nmero.

os outros dois nmeros valero (x + 1) e (x + 2).Obteramos um problema ainda maissimples se escolhssemos x como onmero intermedirio.

Uma vez que os trs nmeros somam 66, temos a equao

x + (x + 1) + (x + 2) = 66.

A resoluo dessa equao dada abaixo.

x + (x + 1) + (x + 2) = 663x + 3 = 66

3x = 63x = 63/3x = 21.

Assim, o menor dos trs nmeros 21, e os demais so 22 e 23.Agora, tente o exerccio 21.

120 Captulo 2. Equaes e inequaes

Exerccios 2.41. Para se obter a nota final da disciplina Clculo 1,

multiplica-se por 3 as notas da primeira e da segundaprova, e por 4 a nota da terceira prova. Em seguida,esses produtos so somados e o resultado dividido por10. O aluno aprovado se obtm nota final maior ouigual a 5.a) Escreva uma frmula para a nota final de Clculo

1, usando as variveis p1, p2 e p3 para indicar asnotas das provas.

b) Se Marilisa tirou 6 na primeira e 5 na segundaprova, que nota ela precisa tirar na ltima provapara ser aprovada na disciplina?

2. Um eletricista precisa cortar um fio de 6 m de com-primento em dois pedaos, de modo que um tenha 40cm a menos que o triplo do outro. Qual deve ser ocomprimento de cada pedao de fio?

3. Somando os salrios, um casal recebe R$ 1760 por ms.Se a mulher ganha 20% a mais que o marido, quantocada um recebe mensalmente?

4. A largura (l) de um terreno retangular igual a umtero da profundidade (p). Se o permetro do terreno igual a 120 m, determine suas dimenses. (Lembre-seque o permetro do terreno igual a 2l + 2p).

5. Raul e Marcelo passaram alguns meses guardando di-nheiro para comprar uma bicicleta de R$ 380,00. Ao fi-nal de 6 meses, os dois irmos haviam juntado o mesmovalor, mas ainda faltavam R$ 20,00 para pagar a bici-cleta. Determine quanto dinheiro cada um conseguiupoupar.

6. Quando nasci, minha me tinha 12 cm a mais que o tri-plo de minha altura. Se minha me tem 1,68 m, comoquela poca, com que altura eu nasci?

7. Fernanda e Maria tm, respectivamente, 18 e 14 anos.Daqui a quantos anos a soma das idades das duas atin-gir 60 anos?

8. Francisco, de 49 anos, pai de Lusa, que tem apenas13. Daqui a quantos anos Francisco ter o dobro daidade da filha?

9. Em um torneio de tnis, so distribudos prmios emdinheiro para os trs primeiros colocados, de modo queo prmio do segundo colocado a metade do prmio doprimeiro, e o terceiro colocado ganha a metade do querecebe o segundo. Se so distribudos R$ 350.000,00,quanto ganha cada um dos trs premiados?

10. s vsperas da pscoa, um supermercado cobrava, peloovo de chocolate com 500g, exatamente o dobro dopreo do ovo de 200g. Se Joo pagou R$ 105,00 paralevar 2 ovos de 500g e 3 ovos de 200g, quanto custavacada ovo?

11. Em uma partida de basquete, todos os 86 pontos de umtime foram marcados por apenas trs jogadores: Ado,Aldo e Amauri. Se Ado marcou 10 pontos a mais queAmauri e 9 pontos a menos que Aldo, quantos pontoscada jogador marcou?

12. Em uma sala h uma lmpada, uma televiso [TV] e umaparelho de ar condicionado [AC]. O consumo da lm-pada equivale a 2/3 do consumo da TV e o consumodo AC equivale a 10 vezes o consumo da TV. Se a lm-pada, a TV e o AC forem ligados simultaneamente, oconsumo total de energia ser de 1,05 kWh. Qual oconsumo, em kWh, da TV?

13. Em virtude da interdio de uma ponte, os motoris-tas que transitavam por um trecho de estrada tiveramque percorrer um desvio com 52 km. Se esse desvioera 8 km maior que o dobro do comprimento do trechointerditado, qual o comprimento do trecho original daestrada?

14. Uma pesquisa com 720 crianas visava determinar, den-tre duas marcas de refrigerante sabor cola, qual era afavorita da garotada. Se a marca A teve apenas 3/5 dosvotos da marca B. Quantos votos recebeu cada marcade refrigerante?

15. Uma companhia de telefonia mvel cobra R$ 4,50 porms por um pacote de 100 torpedos. Para cada torpedoadicional enviado no mesmo ms, a companhia cobraR$ 0,07. Se a conta telefnica mensal de Alex inclui R$6,95 em torpedos, quantas mensagens ele enviou?

16. Mariana, Luciana e Fabiana gastaram, juntas, R$ 53,00em uma lanchonete. Mariana, a mais faminta, comeuuma sobremesa, gastando R$ 5,00 a mais que Luciana.Por sua vez, Fabiana, de regime, pagou apenas 2/3 dovalor gasto por Luciana. Quanto cada uma das amigasdesembolsou na lanchonete?

17. Marisa gastou R$ 600 para comprar 14 cartuchos detinta preta e 8 cartuchos coloridos. Sabendo que cadacartucho colorido custa 25% a mais que um cartuchopreto, determine o preo de cada cartucho.

18. Joo pagava R$ 80,00 por ms por um pacote deacesso internet. A partir de determinado dia do l-timo ms, a assinatura do pacote teve um aumento de5%. Supondo que o custo mensal do pacote tenha sidode R$ 82,40, e que o ms tenha 30 dias, determine apartir de que dia a conta ficou mais cara.

19. Lucas, Rafael e Pedro gastaram, juntos, R$ 386,00 com-prando peas para seus skates. Quem mais gastou foiLucas, que desembolsou R$ 50,00 a mais que Pedro.Por sua vez, Rafael, o mais econmico, s gastou 40%do valor pago por Pedro. Quanto gastou cada skatistanessa compra?

Seo 2.4. Equaes lineares 121

20. Ana, Lcia e Teresa postaram 170 mensagens nas re-des sociais no ltimo ms. Teresa postou 20 mensagensa mais que Ana. J Lcia postou o triplo do nmerode mensagens de Ana. Quantas mensagens cada umapostou no ms?

21. Somando trs nmeros pares consecutivos, obtemos828. Quais so tais nmeros?

22. Trabalhando em uma loja de roupas, Glucia recebeR$ 1200,00 de salrio fixo, alm de uma comisso deR$ 0,08 para cada real vendido. Se, no ms passado,Glucia recebeu R$ 2146,00 de salrio, quantos reaisem roupas ela conseguiu vender?

23. Joana ganha R$5,00 por hora para trabalhar 44 horaspor semana. Para cada hora extra trabalhada, Joanarecebe 50% a mais que em seu horrio regular. Emuma determinada semana, Joana recebeu R$ 280,00.Determine quantas horas extras Joana trabalhou nessasemana.

24. Ao adquirir um produto importado, Joel pagou 10%de seu valor para cobrir despesas de transporte. So-bre o custo (incluindo o transporte), o governo aindacobrou 60% de imposto de importao. Se Joel pagouR$ 484,00 e o dlar estava cotado a R$ 2,20, qual era opreo em dlares do produto?

25. Mariana gastou 1/4 do dinheiro que possua comprandoum telefone celular. Do dinheiro que restou, Marianagastou 16% adquirindo livros escolares. Sabendo que,depois das compras, ela ainda possua R$ 1134,00, de-termine o montante que Mariana tinha antes das com-pras, bem como o montante gasto com os livros.

26. Uma eclusa um elevador de navios, como mostra afigura abaixo.

Ao lado de uma barragem do rio Tiet, existe umaeclusa que permite que navios que esto na parte baixado rio, cuja profundidade mdia naquele ponto de 3metros, subam ao nvel dgua do reservatrio, e vice-versa. Sabendo que a eclusa tem o formato de um pa-raleleppedo com 145 metros de comprimento e umalargura de 12 metros, e que so adicionados 41760 m3de gua para que um navio suba da parte baixa do rioao nvel do reservatrio da barragem, calculea) A altura do nvel dgua no reservatrio da represa,

com relao ao fundo do rio em sua parte baixa (ouseja, a altura x indicada na figura). Dica: o volumedo paraleleppedo o produto da altura pela lar-gura pela profundidade.

b) O tempo gasto, em minutos, para levantar umnavio, sabendo que a eclusa enchida a uma taxade 46,4 m3 por segundo.

27. Ao fabricar 80 litros de polpalact, um engenheiro de ali-mentos utilizou 90% de purapolpa, completando o vo-lume com o derivado de leite lactosex.

a) Quantos litros de purapolpa e de lactosex foramusados pelo engenheiro?

b) Aps testar a concentrao, o engenheiro resolveuacrescentar apenas lactosex ao produto, a fim deque a quantidade de purapolpa ficasse reduzida a60% da mistura final. Quantos litros de lactosexforam acrescentados e qual a quantidade de litrosfinalmente produzida com esse acrscimo?

28. Segundo dados do Ministrio do Trabalho e Emprego,no perodo de julho de 2000 a junho de 2001, houve10.195.671 admisses ao mercado formal de traba-lho no Brasil, e os desligamentos somaram 9.554.199.Sabendo-se que o nmero de empregos formais criadosnesse perodo resultou em um acrscimo de 3% no n-mero de pessoas formalmente empregadas em julho de2000, qual era o nmero de pessoas formalmente em-pregadas em junho de 2001.

29. O transporte de carga ao porto de Santos feito pormeio de rodovias, ferrovias e dutovias. A tabela abaixofornece alguns dados relativos ao transporte ao portono primeiro semestre de 2007 e no primeiro semestrede 2008, indicando claramente o aumento da participa-o percentual do transporte ferrovirio nesse perodo.Com base nos dados da tabela, responda s questesabaixo.

Participao no Carga transportadaMeio de total transportado (em milhes

transporte ao porto de toneladas)

2007 2008 2007 2008

Ferrovirio 18% 24% 6,8 8,8

Rodovirio 77% 29,1

Dutovirio

a) Determine a carga total (em milhes de tonela-das) transportada ao porto no primeiro semestrede 2007. Calcule tambm quantas toneladas foramtransportadas por dutos no primeiro semestre de2007.

b) Sabendo que, no primeiro semestre de 2008, foramtransportadas por rodovias 2,7 milhes de tonela-das a menos do que o valor registrado pelo mesmomeio de transporte no primeiro semestre de 2007,calcule a participao percentual do transporte ro-dovirio no primeiro semestre de 2008.

122 Captulo 2. Equaes e inequaes

Respostas dos Exerccios 2.4

1. 3p1+3p2+4p310 . Marilisa precisa tirar 4,25.2. 1,6 m e 4,4 m3. A mulher recebe R$ 960,00, e o marido

R$ 800,00.4. O terreno tem 15 m 45 m.5. Cada um poupou R$ 180,00.6. Nasci com 52 cm.7. Daqui a 14 anos.8. Daqui a 23 anos.9. O terceiro colocado ganha R$ 50.000,00, o

segunda ganha R$ 100.000,00 e o campeoleva R$ 200.000,00.

10. O ovo de 200g custava R$ 15,00 e o de 500gcustava R$ 30,00.

11. Ado marcou 29, Amauri 19 e Aldo 38 pon-tos.

12. 0,09 kWh13. 22 km14. A marca A obteve 270 votos e a marca B

alcanou 450 votos.15. 35 mensagens16. Fabiana gastou R$ 12,00, Luciana gastou

R$ 18,00 e Mariana gastou R$ 23,00.17. Cartucho preto: R$25,00. Cartucho colo-

rido: R$ 31,25.18. A partir do dia 13.19. Pedro gastou R$ 140,00, Lucas gastou R$

190,00 e Rafael gastou R$ 56,00.20. Ana enviou 30 mensagens, Lcia outras 90

e Teresa mais 50 mensagens.21. 274, 276 e 27822. R$ 11.825,00

23. Joana trabalhou 8 horas extras.

24. US$ 125

25. Mariana possua R1800,00egastouR 216,00comprando livros.

26. a) 27 m b) 15 min

27. a) 72 l de purapolpa e 8 l de lactosex.b) 48 l de lactosex, perfazendo um vo-

lume de 120 l de polpalact.

28. 22.023.872 pessoas

29. a) A carga transportada foi de 37,8 mi-lhes de toneladas, das quais 1,9 mi-lho foram transportadas por dutos.

b) 72% da carga foi transportada por ro-dovias.

2.5 Sistemas de equaes lineares

Quando afirmamos que

os alunos e alunas da turma de matemtica bsica somam 120 pessoas,

estamos relacionando duas quantidades: o nmero de homens e o nmero de mulheresda turma. Vejamos como possvel expressar matematicamente a relao que existeentre esses nmeros.

Como nenhuma das quantidades conhecida, associamos a elas as incgnitas

x = nmero de alunas;y = nmero de alunos.

De posse dessas variveis, podemos converter a frase acima na equao

x + y = 120.

Observe que, diferentemente do que vimos at agora, a equao acima tem duasvariveis, embora ainda seja linear. Faamos uma definio mais formal desse tipo deequao.

Equao linear em duas variveisUma equao nas variveis x e y dita linear se equivalente a

ax + by = c,

em que a, b e c so constantes reais, com a 0 ou b 0.

Voc sabia?Como veremos na Seo 3.2,tambm comum apresentarequaes lineares na forma y =mx + d.

Outros exemplos de equaes lineares em duas variveis so dados abaixo.

Converta as equaes ao lado formaax + by = c, para comprovar que so,de fato, equaes lineares.

2x = 12 + 3y 1,6x + 4,5y = 3,2

35 7y = 10x 12 8y + 5x = 0

x

2 5y

3= 4 y = 6x 9

4

Seo 2.5. Sistemas de equaes lineares 123

Voltando aos alunos e alunas da turma de matemtica, observamos que, sozinha,a equao x + y = 120 no nos permite determinar os valores de x e y, uma vez quea turma poderia ter 100 alunas e 20 alunos, ou 60 alunas e 60 alunos, ou qualqueroutra combinao de nmeros inteiros no negativos cuja soma fosse 120.

Para que x e y tenham valores nicos, necessrio definir outra relao entre essasquantidades. Por exemplo, se soubermos que a diferena entre o nmero de alunas ealunos da turma igual a 8, ento tambm podemos escrever

x y = 8,

de modo que, agora, temos o sistema de duas equaes lineares

{ x + y = 120x y = 8

A soluo de um sistema como esse o par de valores reais, x e y, que satisfaz asduas equaes. Para o sistema acima, a soluo dada por x = 64 e y = 56, o que podeser comprovado substituindo-se esses valores nas equaes, conforme descrito