Predavanje 6

Sveučilište u RijeciFakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvu

Sveučilišni preddiplomski studij“Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu”

Temeljni predmet S T A T I S T I K A

PREDAVANJE 6:

MJERE ASIMETRIJE I MJERE ZAOBLJENOSTI

Ciljevi predavanja

• Definirati mjere asimetrije,• Navesti i opisati vrste mjera asimetrije,• Objasniti postupak izračunavanja pojedine mjere asimetrije,• Definirati mjere zaobljenosti s naglaskom na koeficijent

zaobljenosti,• Objasniti postupak izračunavanja koeficijenta zaobljenosti.

MJERE ASIMETRIJE: definicija

Mjera asimetrije je brojčana karakteristika načina rasporeda podataka.

Najvažnije mjere asimetrije su: (1) koeficijent asimetrije α3, (2) Pearsonova mjera asimetrije,(3) Bowleyjeva mjera asimetrije.

Koeficijent asimetrije, α3

• Koeficijent asimetrije α3 omjer je trećeg momenta oko sredine i standardne devijacije podignute na treću potenciju, tj.

α3 = µ3 / δ 3. Temelj mjere je treći moment oko sredine (µ3). U simetričnom rasporedu µ3 jednak je nuli, u pozitivno asimetričnom je pozitivan, a u negativno asimetričnomnegativan.

• Koeficijent asimetrije α3 uobičajeno poprima vrijednosti iz intervala ± 2, a ponekad i veće vrijednosti.

Treći moment oko sredine µ3

Negrupirani podaci Grupirani podaci

N)xx(µ3

i3

∑ −=

∑∑ −

=i

3ii

3 f)xx(fµ

PEARSONOVA MJERA ASIMETRIJE

• Ta je mjera standardizirano odstupanje vrijednosti medijana ili moda od aritmetičke sredine.

• U simetričnim distribucijama kontinuirane varijable sve su tri vrijednosti jednake, pa je razlika moda ili medijana i aritmetičke sredine jednaka nuli.

• U pozitivno asimetričnim distribucijama ta je razlika pozitivna, a u negativno asimetričnim razlika je negativna.

• Pearsonova mjera uobičajeno poprima vrijednosti iz intervala ±3, ali može biti i izvan tog intervala.

Pearsonova mjera asimetrije: FORMULE

δ)Mx(S o

1k

−=

δ)Mx(3S e

2k

−=

BOWLEYJEVA MJERA ASIMETRIJE

• Bowleyeva mjera asimetrije se temelji na odnosima kvartila i medijana.

• U simetričnom rasporedu vrijednosti razlika gornjeg kvartila i medijana, jednaka je razlici medijana i donjeg kvartila, tj. Q1 + Q2 – 2 Me = 0.

• U pozitivno asimetričnom rasporedu razlika gornjeg kvartila i medijana veća je od razlike medijana i donjeg kvartila, a u negativno asimetričnom razlika gornjeg kvartila i medijana manja je od razlike medijana i donjeg kvartila.

• Mjera poprima vrijednosti iz intervala ± 1.

Bowleyjeva mjera asimetrije: FORMULA

13

e31kQ QQ

M2QQS−−+

=

PRIMJER: Izračunavanje mjera asimetrijeTABELA: Sudionici prometnih nezgoda prema godinama starosti

Godine starosti

Broj sudionika

Precizne granice

Sredina razreda

Veličina razreda

fi xsi i fi xi fi (xi – x)3

1 2 3 4 5 6 7

0 – 4 12 0 – 5 2.5 5 30.0 -11294.394

5 – 9 20 5 – 10 7.5 5 150.0 -2211.84

10 – 14 28 10 – 15 12.5 5 350.0 0.224

15 – 19 19 15 – 20 17.5 5 332.5 2671.552

20 – 24 11 20 – 25 22.5 5 247.5 11673.288

Ukupno 90 - - - 1110.0 838.919

Koeficijent asimetrije α3

Aritmetička sredina = 12.3 godine

Standardna devijacija = 6.03

043.026.21932.9

03.632.9

δµα

32.99092.838

f)xx(fµ

333

3

i

3ii

3

====

==∑

∑ −=

Pearsonove mjere asimetrije

Aritmetička sredina = 12.3 godineMod = 12.35 godinaMedijan = 12.3 godine

003.60

03.6)3.123.12(3

δ)Mx(3S

017.003.6

35.123.12δMxS

e2k

o1k

==−

=−

=

−=−

=−

=

Bowleyjeva mjera asimetrije

Medijan = 12.3Donji kvartil = 7.63Gornji kvartil = 16.97

063.797.16

3.12297.1663.7QQM2QQS

13

e31kQ =

−⋅−+

=−−+

=

MJERA ZAOBLJENOSTI

• Zaobljenost modalnog vrha distribucije mjeri se koeficijentom zaobljenosti α4.

• KOEFICIJENT ZAOBLJENOSTI α4 je omjer četvrtog momenta oko sredine i standardne devijacije na četvrtu potenciju, tj.

α4 = µ4 / δ 4.

• Četvrti moment oko sredine µ4:

Negrupirani podaci Grupirani podaci

∑∑ −

=i

4ii

4 f)xx(fµ

N)xx(µ4

i4

∑ −=

Ako je u empirijskoj distribucija frekvencija:α4 = 3, distribucija ima zaobljenost normalne krivulje,α4 > 3, distribucija je oblikom šiljastija od normalne,α4 < 3, distribucija je oblikom plosnatija od normalne,α4 = 1.8, distribucija je pravokutnog oblika,α4 < 1.8, riječ je o U-distribuciji.

PRIMJER: koeficijent zaobljenostiTABELA: Sudionici prometnih nezgoda prema godinama starosti

Precizne granice (godine)

Broj sudionikafi

Sredina razredaxsi

fi (xi - x)4

0 – 5 12 2.5 110684.17

5 – 10 20 7.5 10616.832

10 – 15 28 12.5 0.0448

15 – 20 19 17.5 13872.07

20 – 25 11 22.5 119067.53

Ukupno 90 - 254260.64

Četvrti moment oko sredine:

12.282590

64.254260f

)xx(fµi

4ii

4 ==∑

∑ −=

Koeficijent zaobljenosti:

1368.212.132212.2825

δµα44

4 ===

Koeficijent zaobljenosti je manji od 3, pa se može zaključiti dase radi o distribuciji koja je plosnatija od normalne.

PRIMJER 1. – negrupirani podaci

• Zadan je sljedeći numerički niz:

Izračunajte:a) Koeficijent asimetrijeb) Pearsonove mjere asimetrijec) Bowleyjevu mjeru asimetrijed) Koeficijent zaobljenosti.

202 206 190 196 198 208

Primjer 1. – Rješenje

xi (xi- )3 (xi- )4

202 8 16206 216 1 296190 -1 000 10 000196 -64 256 198 -8 16208 512 4 096

Σ 1 200 -336 15 680

x x


• Koeficijent asimetrije

Treći moment oko sredine:

33

3 σµ

α =

566336)( 3

3 −=−

=−

=∑N

xxiµ

25,009,228

56)11,6(

5633

33 −=

−=

−==

σµ

α


• Pearsonove mjere asimetrije

ne može se izračunati, jer nema modaσ

MoxSk−

=1

011,6

)200200(3)(32 =

−⋅=

−⋅=

σMexSk


• Bowleyjeva mjera asimetrije

20,0102

1962062002206196

2

13

31

==−

⋅−+=

=−

⋅−+=

QQMeQQ

S kQ


• Koeficijent zaobljenosti


44

4 σµ

α =

33,26136

15680)( 4

4 ==−

= ∑N

xxiµ

88,168,139333,2613

)11,6(33,2613

444

4 ====σµ

α

PRIMJER 2. – grupirani podaci bez razreda

• Na kolokviju iz kolegija Statistika 30 studenata ostvarilo je sljedeće rezultate:

Izračunajte:a) Koeficijent asimetrijeb) Pearsonove mjere asimetrijec) Bowleyjevu mjeru asimetrijed) Koeficijent zaobljenosti.

Ocjena 1 2 3 4 5Broj studenata 3 4 9 10 4

Primjer 2. - Rješenje

xi fi fi(xi- )3 fi(xi- )4

1 3 -35,09 79,662 4 -8,19 10,413 9 -0,18 0,054 10 3,89 2,845 4 20,71 35,83Σ 30 -18,86 128,79

x x




33

3 σµ

α =

63,030

86,18)( 3

3 −=−

=−⋅

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

41,052,163,0

)15,1(63,0

333

3 −=−

=−

==σµ

α



63,015,1

427,31 −=

−=

−=

σMoxSk

70,015,1

)327,3(3)(32 =

−⋅=

−⋅=

σMexSk



111

3432432

13

31 ==−

⋅−+=

−−+

=QQ

MeQQSkQ




44

4 σµ

α =

29,430

79,128)( 4

4 ==−⋅

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

45,275,129,4

)15,1(29,4

444

4 ====σµ

α

PRIMJER 3. – grupirani podaci s razredima

• Zadan je sljedeći numerički niz:

Izračunajte:a) Koeficijent asimetrije, Pearsonove mjere asimetrije, Bowleyjevu

mjeru asimetrijeb) Koeficijent zaobljenosti.

Starost u godinama Broj zaposlenih21 – 30 3231 – 40 16241 – 50 404

51 – (65) 142Ukupno 740


Starost Broj zaposlenih

fi

Precizne granice xi i fi(xi- )3 fi(xi- )4

21 – 30 32 21 – 31 26 10 -228266,50 4394130,1331 – 40 162 31 – 41 36 10 -128215,41 1185992,5141 – 50 404 41 – 51 46 10 170,44 127,8351-(65) 142 51 - 65 58 14 294319,41 3752572,43

Σ 740 - - - -61952,06 9332822,90

x x




33

3 σµ

α =

72,83740

06,61952)( 3

3 −=−

=−⋅

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

16,035,53972,83

)14,8(72,83

333

3 −=−

=−

==σµ

α



02,014,8

44,4525,451 −=

−=

−=

σMoxSk

04,014,8

)36,4525,45(3)(32 −=

−⋅=

−⋅=

σMexSk



04,050,934,0

44,4094,4936,45294,4944,40

2

13

31

−=

=−

=−

⋅−+=

=−−+

=QQ

MeQQSkQ




44

4 σµ

α =

92,12611740

90,9332822)( 4

4 ==−⋅

=∑

∑i

ii

fxxf

µ

87,233,439092,12611

)14,8(92,1261144

44 ====

σµ

α

LITERATURA

Šošić, I, Serdar, V.: “Uvod u statistiku”, Školska knjiga, Zagreb, 2000.Šošić, I.: “Primijenjena statistika”, Školska knjiga, Zagreb, 2004. Šošić, I.: “Statistika”, udžbenik za srednje škole, Školska knjiga, Zagreb, 1999.Čaval, J.: “Statističke metode u privrednim i društvenim istraživanjima”, Sveučilište u Rijeci, Rijeka, 1992. Rozga, A., Grčić, B.: “Poslovna statistika”, Veleučilište u Splitu, Split, 1999.

Documents

Predavanje 6