Predavanje 6 Cetveropoli Irfan 2015

8/17/2019 Predavanje 6 Cetveropoli Irfan 2015

1/57

Električne krugove, odnosno mreže možemo podijeliti po više osnova.

Prema broju krajeva, odnosno pristupa mreže možemo podijeliti na:

• mreže sa jednim pristupom (svaki element R, Lili C može se posmatrati kao element sa jednim

pristupom)

• mreže sa dva pristupa (npr. transformator)

preko kojih se mreža povezujesa drugim mrežama.

•mreže sa n pristupa (n proizvoljancijeli broj) Svakom pristupu dodjeljuje

se par veličina (napon i struja) sa referentno dodjeljenim smjerovima.

Pristup je svaki par priključaka (polova) elementata mreže sa svojstvomda je za svaki trenutak vremena t struja koja ulazi u jedan priključak

jednaka struji koja izlazi iz drugog priključka datog pristupa.

Četveropoli (mreže sa dva pristupa) Nastavnik:doc. dr Irfan Turković


2/57

Ove mreže se mogu podijeliti na• aktivne (sadrže izvore energije u sebi)

• pasivne (u njima nema izvora energije,generator je priključen na jedan pristup)

U elektrotehnici četveropol je svaka električna naprava ili skup napravaili električna mrežesa dva para priključaka kojem je namjena prenos

električne energije (signala) od izvora signala do potrošača (prijemnikasignala).

Karakteristični primjeri četveropola su filtri, transformatori, parelektričnih vodova itd.

U analizi četveropola ograničiti ćemo se na analizu linearnih vremenskinepromjenjivih četveropola u kojima nema nezavisnih izvora. Ovakvi

pasivni četveropoli obično na jednom kraju mreže imaju priključen izvorelektrične energije (tj. pobude ili signala), a za drugi, neki prijemnik pa

mreža služi da prenese energiju (signal) od izvora do prijemnika.


3/57

Mnogi elementi u savremenoj

elektronici su mreže sa dva pristupa. Jedan pristup, obično

označen sa 1 naziva se ulaz, a drugi pristup, obično označen sa 2 naziva se izlaz

Spoj između vanjskih mreža koje se priključuju na ulaz, odnosno izlaz je samo preko četveropola. Vidi se da su struje istog prilaza na priključcima

jednake ali suprotnog predznaka.Ovo također znači da se svaki četveropol u topološkomsmislu može prikazati pomoću dvije odvojene grane isvaka je od njih spojena sa granama koje pripadaju ili

dijelu vanjske mreže priključenom na ulaz četverpola ilidijelu vanjske mreže priključenom na izlaz četveropola.

Četveropol je recipročan ako se sastoji od recipročnih elemenata mreže.

Červeropol je simetričan ako se izmjenom ulaznih priključaka sa

izlaznim priključcima ne promjene naponi i struje vanjskih krugova.

Graf četveropola


4/57

Jednačine i parametri četveropola Kako se topološki gledano četveropol sastojiod dvije grane i da nas interesiraju samo

linearni četveropoli, to će za potpuni opisčetveropola trebati samo dvije l inearne jednačine.Postoje 4 varijable: U1, I1, U2, I2. Koje će se od ovih varijabli smatratinezavisnim (poticajima) a koje zavisnim (odzivima), ovisit će okonkretnom problemu. Pod jednačinama mreža sa dva pristupa

podrazumijevaju se jednačine koje povezuju napone i struje na njenim pristupima to jest povezuju (U1 i I1 ) i (U2 i I2 ).

Od 4 veličine treba izraziti dvije pa je broj kombinacija

U zavisnosti od toga na koji način ćemo izraziti napone i struje na pristupima, imamo dakle 6 vrsta jednačina, pa prema tome i 6 vrsta parametara, mreža sa dva pristupa. Za slučaj mreža koje posmatramo (ustacionarnom režimu) te jednačine biće linearne i kompleksne. Svih ovih 6 vrsta parametara se nazivaju primarni parametri mreža sa

dva pristupa.


5/57

Naponske jednačine četveropola“Z” parametri četveropola

Za date smjerove struja sistem se može napisati kao:

ili u matričnom obliku

gdje je matrica z

Parametri z imaju priroduotpornosti (impedanse).

Kako je matrica konturnih

impedansi sistema jednačina

četveropola simetrična tovrijedi da je

( , ) ( , )

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⋅

Recipročan četveropol


6/57

“Z” parametri mreže se mogu odrediti analitički ili eksperimentalno. Ako jezadata mreža i date vrijednostielemenata (R, L, C, m) mreže tada se

iz jednačina sistema mogu odredititraženi parametri. Ako nije poznata topologija kola tada se parametriodređuju eksperimentalno.

Na primjer parametar z11 se određuje tako da se otvore stezaljke nadrugom pristupu (I2 = 0) pa se traženi parametar dobije mjerenjemnapona i struje na prvom pristupu.

Parametar z11 predstavlja ulaznu impedansu četveropola kada je izlaz

četveropola otvoren. Parametar z12 predstavlja prenosnu impedansu

Kod recipročnog

četveropola samo 3 parametra su međusobnoneovisna jer postoji

zavisnost

+ +

=

=

=

=


7/57

Primjer 1: Odredite z- parametere za dati četveropol

=

(20+40) 60 Ω

= 40 40 Ω

= (30+40) 70 Ω

=

40

40 Ω

Vježba:

14 6


8/57

Primjer 2: Svaki recipročan četveropol može se prikazati nadomjesnomT - šemom spoja. Odrediti elemente nadomjesne šeme.

Na osnovi ogleda praznog hoda

proizlazi da je:

pa su elementi nadomjesne T - šeme sada:

Radi se samo o matematičkoj ekvivalenciji. Iako su parametri R, L iC koji tvore recipročnu mrežu pozitivni, impedanse z a, z b, i z c ne moraju

biti pozitivne. Dakle, može se dogoditi da ne postoji fizička realizacija

ovih parametara pomoću pasivnih komponenata.

= = =

=

+ +


9/57

Primjer 3: Izračunati struje I1 i I2 za dati četveropol.

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

4 0 ⋅ + 2 0 ⋅ 3 0 ⋅ + 5 0 ⋅

1 0 0 ⋅ 1 0 ⋅

Nije recipročan četveropol

1 0 0 4 0 ⋅ + 2 0 ⋅ 1 0 ⋅ 3 0 ⋅ + 5 0 ⋅ 2

1 0 0 8 0 ⋅ + 2 0 ⋅ 1 0 0 ⋅

2

Vježba:

Rješenje:


10/57

Primjer 4: Odredite z- parametre četveropola na slici. Transformator jeidealan prenosnog odnosa ′ ⋅ + ⋅ ( ′ )

⋅ ( ′ ) ′ 1

⋅ + ⋅ + ⋅ 1 ∙ 1 ⋅ +1

∙

∙ ( +) ⋅ ++ ⋅ 1 ∙ 1

⋅ + 1

∙

∙ ( +) ⋅ 1

∙ 1


11/57

Strujne jednačine četveropola

“Y” parametri četveropola



gdje je matrica y

Parametri y imaju prirodu

provodnosti (admitanse)

( , ) ( , )

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⋅

Prenosne admitanse jednake

- recipročan četveropol

Ulazna i izlazna admitansa jednake

- simetričan četveropol Zamjena ulaza i izlaza ne mjenjaju

se U i I vanjskih krugova


12/57

“Y” parametri mreže se mogu odrediti analitički ili eksperimentalno.

Na primjer parametar y11 se određuje tako da se stezaljke na drugom

pristupu kratko spoje (U2 = 0) pa setraženi parametar dobije mjerenjem napona i struje na prvom pristupu. Parametar y11 predstavlja ulaznu admitansu četveropola kada je izlazčetveropola kratko spojen.

Veza između matrice y i matrice z je data kao

Vidi se da su matrice određene uz uslov

Može se desiti da postoje z ali ne postoje y parametri i obratno kada uvjet

inverzije nije ispunjen i nema inverzije

+ +

= =

= =

−

−

det ≠ 0

det ≠ 0


13/57

Primjer 5: Svaki recipročan četveropol može se prikazati nadomjesnomP - šemom spoja. Odrediti elemente nadomjesne šeme.

Na osnovi ogleda kratkog spoja

proizlazi da je:

pa su elementi nadomjesne P - šeme sada:

Radi se samo o matematičkoj ekvivalenciji. Iako su parametri R, L iC koji tvore recipročnu mrežu pozitivni, admitanse ya, yb, i yc ne moraju

biti pozitivne. Dakle, može se dogoditi da ne postoji fizička realizacija

ovih parametara pomoću pasivnih komponenata.

= =

= =

+ +

+ +


14/57

Dokaz jednakosti parametara y12 i y21 (kako su “y” i “z” parametrimeđusobno povezani navedeni dokaz vrjedi i za “z” parametre. Priključimo Ug na pristup (1-1’) ikratko spojimo pristup (2- 2’).

Polazeći od “y” sistema jednačina uz (U2 = 0) dobije se:

Primjenjujući princip uzajamnostiuz (U1 = 0) dobije se:

Po principu uzajamnosti za struje vrijede relacije:

⋅ ⋅

′ ⋅

′ ⋅

′ ⟹ ⋅ ⋅ ⟹


15/57



gdje je matrica a

Prenosne jednačine četveropola (ulazne jednačine) “A” parametri četveropola

Parametri a imaju različitu prirodu: a11 , a22 – bezdimenzioni brojevi

(kompleksni)

a12 – priroda otpornostia21 – priroda provodnost

Samo 3 parametra su međusobnoneovisna jer postoji zavisnostdet 1

⋅ ⋅ 1

( , ) ( , )

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅


16/57

A parametri mreže se mogu odrediti analitički ili eksperimentalno.

Na primjer parametar a11 se

određuje tako da se stezaljke nadrugom pristupu otvore (I2 = 0) pa setraženi parametar dobije mjerenjem napona na oba pristupa. Parametar a11 predstavlja odnos ulaznog i izlaznog napona četveropolakada je izlaz četveropola otvoren.

U elektroenergetici ovi parametri se najčešće označavaju sa velikim

slovima A, B, C i D

A – prenosni odnos napona B – prenosna impedansaC – prenosna admitansa D – prenosni odnos struja

= =

= =


17/57



gdje je matrica b

Prenosne jednačine četveropola (izlazne jednačine) “B” parametri četveropola

Parametri b imaju različitu prirodu: b11 , b22 – bezdimenzioni brojevi

(kompleksni)

b12 – priroda otpornostib21 – priroda provodnost

Samo 3 parametra su međusobnoneovisna jer postoji zavisnost

det 1 ⋅ ⋅ 1

( , ) ( , )

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⋅

B t i ž d diti


18/57

B parametri mreže se mogu odrediti analitički ili eksperimentalno.

Na primjer parametar b11 se određuje tako da se stezaljke na prvom

pristupu otvore (I1 = 0) pa setraženi parametar dobije mjerenjem napona na oba pristupa. Parametar b11 predstavlja odnos izlaznog i ulaznog napona četveropolakada je izlaz četveropola otvoren.

Veza između matrice a i matrice b je data kao

Ova inverzija je moguća uz uvjet da su obje matrice nesingularne to jest

= =

= =

−

−

det ≠ 0

det ≠ 0

+ +

P i j 6 Od di i ij d i j i k i i


19/57

Primjer 6: Odrediti vrijednosti struja i ako su prenosni parametriza četveropol sa slike dati kao:

5 10 Ω

0.4 1

Rješenje: 1 ; 0.2 Primjer 7: Odrediti prenosne parametre za kolo sa slike.

Rješenje: 1.5 11 Ω ;

0 25 2 5

č č


20/57



gdje je matrica g

Hibridne jednačine četveropola

“G” parametri četveropola

Parametri g imaju različitu prirodu: g12 , g21 – bezdimenzioni brojevi(kompleksni)

g22 – priroda otpornostig11 – priroda provodnosti

Samo 3 parametra su međusobnoneovisna jer postoji zavisnost

( , ) ( , )

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⋅

Hib id j d či č l


21/57



gdje je matrica h

Hibridne jednačine četveropola

“H” parametri četveropola

Parametri h imaju različitu prirodu:h12 , h21 – bezdimenzioni brojevi

(kompleksni)

h11 – priroda otpornostih22 – priroda provodnosti

Samo 3 parametra su međusobnoneovisna jer postoji zavisnost ℎ ℎ

( , ) ( , )

ℎ ⋅ + ℎ ⋅ ℎ ⋅ + ℎ ⋅

ℎ ℎ ℎ ℎ ⋅

ℎ ℎ

ℎ

ℎ ℎ

V i đ t i i t i h j d t k


22/57

Podjela primarnih parametara četveropola

U pogledu fizičke dimenzionalnost parametri četveropola se dijele na:

• homogene (u pogledu fizičke dimenzionalnosti svi jednaki homogeni) u ovu grupu spadaju z – parametri i y – parametri

• nehomogene (u pogledu fizičke dimenzionalnosti parametri različite

prirode)u ovu grupu spadaju a – parametri i b – parametri g – parametri ih – parametri

Napomena: svi primarni parametri mreže zavise samo od konfiguracijeodnosno topologije mreže (elemenata R,L,C,m) a ne zavise ni od jednog

parametra spoljašnje mreže (nema veze šta je na krajevima priključeno).

Veza između matrice g i matrice h je data kao

Ova inverzija je moguća uz uvjet da su obje matrice nesingularne to jest

ℎ −

ℎ −

det ≠ 0 det ℎ ≠ 0

P i j 8 Od dit i h t i č č t l


23/57

Primjer 8: Odreditei h- parametre recipročnog četveropola.

ℎ ⋅ + ℎ ⋅ ℎ ⋅ + ℎ ⋅

ℎ = ∙ + +

∙ +

ℎ

=

+ + +

1 + +

1 +

ℎ =

+ ∙

+ ∙

ℎ ℎ

+

+

N k ž i ti t t k ž j


24/57

Neke mreže mogu imati sve vrste parametara, a neke mreže ne moraju,odnosno mogu imati samo neke parametre.

Između pojedinih vrsta parametara postoji veza. Na primjer ako imamo “a” parametre i treba da odredimo “z” parametre.

iz predhodne jednačine dobije se “z” jednačina kao

Ako ovu jednačinu uvrstimo u prvu jednačinu “a” parametara dobije se:

Uslov za ovaj prelazak je da je

≠ 0

+ + ⟹ +

1

+ ⟹

1

1 + +

+ +

+ ⟹

det()

Si t ič ž d i t


25/57

Simetrične mreže sa dva pristupa Definicija: Mreža je simetrična ako se izmjenom ulaznih priključaka saizlaznim priključcima ne promjene naponi i struje vanjskih krugova.

Ako postoji osa OO’ koja ne prolaziizmeđu istoimenih krajeva (tj. ne

prolazi između 1-1’ i 2-2’) u odnosuna koju je raspored impendansi

simetričan, mreža se naziva

geometrijski simetričnom. tj. ako je jedna polovina mreže slika u ogledaludruge polovine kao što to pokazuje slika. Geometrijski simetrična mreža

je istovremeno i simetrična, dok obrnuto ne vrijedi.Uslov simetrije za sve

parametre je:

Simetrična mreža u pogledu napona i struje

na svojim pristupima potpuno je određena sasvoja dva nezavisna primarna parametra.

Dakle, proizvoljna mreža sa tri, a simetričnasa dva nezavisna parametra, je potpuno

određena.

det 1

det ℎ 1 S k d i t i č t l


26/57

Posmatrajmo mrežu kao na slici - Na pristupu 1- 1’ priključen

generator U g impedanse Z 1- Pristup 2- 2’ zatvoren sa Z 2

Definiraju se sljedeći sekundarni parametri četveropola:

1. Ulazna impendansa sa pristupa 1- 1’

Kako je mreža zatvorena sa Z 2 vrijedi da je ⋅ pa je sada:

Sekundarni parametri četveropola

Zato što Z 2 pripada vanjskoj mreži i što postoji zavisnost Z ’ 1 = f (Z 2 )ovaj parametar se naziva sekundarni.

+ +

′

′ ⋅ + ⋅ +


27/57

Kako je mreža zatvorena sa Z 1vrijedi da je ⋅ pa je sada:

ili preko ”a” parametara

2. Ulazna impendansa sa pristupa 2- 2’

3. Transmitansa (transmitansa napona i transmitansa struje)Odnos napona na pristupima – Transmitansa napona

′

+

+

′

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅ +

′ ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅

+

+

Odnos struja na pristupima Transmitansa struja


28/57

4. Prenosna funkcija četveropolaPrenosna funkcija napona

Odnos struja na pristupima – Transmitansa struja

Transmitansa mreže se definiše kao

Au – funkcija slabljenja napona Bu – funkcija faznog kašnjenja napona

⋅ + ⋅

+ +

⋅ + ⋅ +

Γ ln ln +

⋅ ⋅ ⟹ Γ l n l n ln − ln +

Γ + ln

P f k ij t j


29/57

Prenosna funkcija mreže

Ai – funkcija slabljenja struje Bi – funkcija faznog kašnjenja struje

Prenosna funkcija struje

Prenosna funkcija mreže je algebarska sredina prenosnih funkcija naponai struje.

Γ l n l n +

⋅

⋅ ⟹ Γ l n l n ln − ln + Γ + ln

Γ ln ln +

⋅ +

Γ ln ln ⋅ 12 ln + ln 12 Γ + Γ

Γ + 12 + 12 + Posebni slučajevi mreža sa dva pristupa


30/57

Posebni slučajevi mreža sa dva pristupa Kada je raspored impedansi mreže sa dva pristupa u obliku slova "T"onda se ona naziva T - mreža.Ovo je jedan od osnovnih i najvažnijih oblika mreža sa dva pristupa (npr.

ćelije električnih filtera obično su predstavljene T - šemom).Pošto su 1’i 2’ kratko spojeni može seova mreža nazvati i mrežomsa tri kraja. Z1’ i Z1’’ su serijske

impedanse T-mreže, Z2 je paralelna impedansa T-mreže.

U mnogim elektronskim sklopovima upotrebljava se simetrična T mrežaza koju vrijedi:

Uzima se Z1/2 da bi ukupan

serijski otpor bio Z1.

2

Za spoj na slici vrijede relacije


31/57

Za spoj na slici vrijede relacije

Ako su poznati “z” parametri složenog četveropola, impedanse grana T-mreže ekvivalentnog četveropola su sada:

= +

=

=

+

Kada je raspored impedansi mreže sa dva pristupa u obliku slova “P"


32/57

Kada je raspored impedansi mreže sa dva pristupa u obliku slova Ponda se ona nazivaP - mreža.

Z2’ i Z2’’ su paralelne impedanse,

Z1 je serijska impedansa. Najviše je u upotrebi simetrična“P“ mreža kod koje su:

Z2’ = Z2’’=2 Z2

Uzima se 2Z2 da bi ukupan paralelni otpor bio Z2. “Y” parametri “P

"četveropola su :

= +

=

= +

EKVIVALENCIJA MREŽA


33/57

EKVIVALENCIJA MREŽA Ako neku mrežu može zamijeniti neka druga mreža, a da se pri tome ne

promijene niti naponi niti struje na njenim priključcima, tada se te dvijemreže promatrane izvana ne razlikuju i kažemo da su te dvije mreže

ekvivalentne.Za mreže prikazane četveropolima ovo znači da su ekvivalentne ako im je

jedan od skupova parametara (npr. z -parametri) jednak . Za linearne

vremenski nepromjenljive četveropole jednakost jednog skupa parametara

ujedno znači i jednakost svih ostalih skupova parametara.Ako je poznata šema spoja mreže A, shvaćene kao četveropol, može se izgraditi njoj ekvivalentna mreža B , uzimajuci u obzir uvjeteekvivalencije, izraženo recimo pomoću z -parametara:

Svaki problem koji se može riješiti pomoću ekvivalentne mreže može seriješiti i bez nje. S toga rješavanje ekvivalentnih mreža ima smisla ako setime pojednostavljuje početno zadani problem.

Napomena: Č esto se u praksi pogrešno upotrebljava termin ekvivalentna mrežaumjesto termina model stvarne mreže.

Primjer 9: Poznati su elementi P šeme spoja recipročnog četveropola


34/57

Primjer 9: Poznati su elementi P šeme spoja recipročnog četveropolayA, yB, yC. Potrebno je odrediti vrijednosti

elemenata zA, zB, zC ekvivalentne T šeme. Za P šemu vrijede relacije:

Riješavanjem oo U 1 i U 2 dobija se

Usporedbom sa jednačinama za z parametre može se zaključiti da je

Za T šemu smo izveli da je

Konačno se dobije

+ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅

1

Δ [ + ⋅ + ⋅ ] 1Δ [ ⋅ + + ⋅ ]

Δ + +

1Δ ( + ) 1Δ 1Δ ( + ) + +

1Δ 1Δ 1Δ Vezivanje mreža sa dva para krajeva


35/57

Vezivanje mreža sa dva para krajeva

• Dvije mreže sa jednim pristupom mogu se vezivati na dva načina :

serijski paralelno

Rezultat vezivanja u oba slučaja je složenija mreža sa jednim pristupom.

Za razliku od mreža sa jednim pristupom, mreže sa dva pristupa mogu

se vezivati na više načina

a) serijska veza mreža sa dva pristupa


36/57

a) serijska veza mreža sa dva pristupa

Za ovo vezanje važe relacije

Izraziti parametre rezultantne mreže preko parametara pojedinih mreža jenajlakše uraditi ako se koriste “z” parametri

Vrijede jednačine

iz datih jednačina slijedi

Za serijsku vezu važirelacija

Serijski spoj nije uvijek moguć Pokažimo to na


37/57

Serijski spoj nije uvijek moguć. Pokažimo to na primjeru sa slike Vidimo da je nakon serijskog

spoja došlo do promjene šeme spoja četveropola B( z 1

B i z 2 B kratko su spojeni). Uvjet spajanja ipak bi

se mogao zadovoljiti dodavanjem idealnogtransformatora kao na slici.

S obzirom na to da se šeme spoja četveropola unačelu ne znaju, to je nužno prije serijskog spoja

provjeriti je li on dopušten, provedbom tzv. testavaljanosti

Ako je Up = 0 i Uq= 0 četveropoli A i B

mogu se serijski spojiti, inače ne!

Primjer 10: Odredite Z matricu za spoj na slici


38/57

Primjer 10: Odredite Z matricu za spoj na slici

1 ∙1+ 2 + +

+

′ + "

1 ∙ 1+ 2 + + +

1

∙

1

2+ +

+

Serijska veza

b) paralelna veza mreža sa dva para krajeva


39/57

b) paralelna veza mreža sa dva para krajeva

Za ovo vezanje važe relacije

Izraziti parametre rezultantne mreže preko parametara pojedinih mreža jenajlakše uraditi ako se koriste “y” parametri

Vrijede jednačine

iz datih jednačina slijedi

Za paralelnu vezu

važi relacija

Analogno serijskom spoju niti paralelno spajanje nije uvijek moguće


40/57

Analogno serijskom spoju, niti paralelno spajanje nije uvijek moguće.Zbog toga treba prethodno provesti testove valjanosti kako je to

prikazano na slici

Testovi valjanosti paralelnog spoja. Ako je Up= 0 i Uq= 0 četveropoli A i B mogu se paralelno spojiti a da se ne promijene parametri pojedinih

dvoprilaza, inače ne!Uvodenjem idealnog transformatora na

jednom od prilaza četveropola A i Bneovisno o unutrašnjoj strukturi mogu se

četveropoli uvijek spojiti paralelno.

c) kaskadna (lančana) veza četveropola


41/57

c) kaskadna (lančana) veza četveropola

Kada se na jednu mrežu nadoveže druga dobije se kaskadna veza. Za kaskadnu vezu vrijede relacije:

Parametri rezultantne mreže najlakše se dobiju ako se koriste “a” parametri.

Vrijede relacije:

Dobije se:


42/57

ob je se:

Za kaskadnu vezu vrijedi relacija

Kaskadna veza je uvijek moguća

Mnogi inženjerski sklopovi koriste kaskadnu vezu (električni filteri), aova veza služi i za analizu krugova sa raspoređenim parametrima preko krugova sa koncentrisanim parametrima.

Sastavne mreže ne moraju ispunjavati nikakve posebne uvjete, jer sekaskadnom vezom ne može izmjeniti topologija i parametri sastavnih

mreža.

Pored navedenih veza postoje i druge kao što su: • serijsko paralelna veza (na pristupu 1-1’ serijska, a na 2-2’ paralelna) • paralelno serijska veza (na pristupu 1-1’ paralelna, a na 2-2’ serijska)

• povratna sprega (poseban slučaj serijsko paralelne veze)


43/57

Serijsko-paralelni spoj dvaju dvoprilazaParalelno-serijski spoj dvaju dvoprilaza

Kao i u prethodnim slučajevima (osima kaskadne veze) izravno spajanječetveropola nije uvijek moguće nego ga tek treba dokazati ili opovrcitestovima valjanosti.

+

ℎ

+ ℎ

Povratna sprega predstavlja


44/57

Povratna sprega predstavlja

poseban slučaj serijsko paralelneveze. Mreže se opisujufunkcijama (ne parametrima). A(s) i

B(s) gdje je s - kompleksna

učestanost. Mi ćemo uzeti da su A(s) iB(s) transmitanse napona

Uslovi koje nameće ova mreža je

Dakle, sa B(s) možemo daregulišemo rezultujuću funkciju

Primjer 11: Odrediti „a“ parametre četveropola prikazanog na slici.


45/57

j „ p p p g

RJEŠENJE : Mreža sa slike se sastojiod dvije paralelno vezane T mreže, čijise parametri mogu sabrati.

′ 1+44(1+2) 14(1+2)14(1+2)

1+44(1+2)

′′ (1 + ) 1 + 2 1 + 2

1 + 2

(1 + )

1 + 2

Ekvivalentni y parametri iznose [ ] pa je :


46/57

y p + [] p j

1+844(1+2)

44(1+2)

44(1+2) 1+844(1+2)

a parametri se dobijaju iz y parametara :

1 i iznose :

4

814 1 4(1+2)1 4 4(1 + 2)1 4

4 814 1

Primjer 12: Za četveropol prema slici odrediti y parametre. Da li je


47/57

p pmreža simetrična? RJEŠENJE : ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅

a) 0 ; Nadomjesna mreža ima oblik :

pri čemu je grana sa otpornikom R u paralelnoj grani četveropola kratkospojena, pa nije teško zaključiti da je :

⟹ 1 + 1

1

1

1

1 1 b) Da bi mreža bila simetrična mora ispuniti uslov


48/57

) p Nadomjesna shema ima oblik :

pri čemu je grana sa paralelnom L-C kombinacijom kratko spojena, pa

nije teško zaključiti da je :

⟹

1

1 + 1 2 ⟹ 2 U analiziranom slučaju ne vrijedi uslov pa zaključujemo dadata mreža nije simetrična.

Primjer 13: Za kolo na slici :


49/57

j

a) Odrediti „a“ parametre četveropola b) Odrediti ulaznu impedansu kola ako se između

krajeva 22‘ priključi kalem induktivnosti L.

Poznato je :

+ 1 + ( )

2 + 1 + +1

1 + ⟹ 2 +

1 +

1

1 1 2 (1 )1

1

Za kolo sa slike lijevo vrijede relacije :

odakle vrijedi da je :

+ +

2 + 1 + + 1 1 + 1

3 2

a)

b)

+ +

Primjer 14: Odrediti z parametre četveropola i provjeriti simetričnost


50/57

p p p jmreže. RJEŠENJE : ⋅ + ⋅

⋅ + ⋅

1

1

1

1

1

+ 1

1 2 1

( 1)

2 1

a) 0

Kombinacijom predhodnih jednačina imamo: 2 1 pa slijedi da je:

2 1

(

1)2 1

(2 ) 1b) 0


51/57

+ (2) 1

2 + 1

0

22 1

22 1

Fazor struje u grani sa kondenzatorom

određen je kao : 2 2

dok je fazor struje u grani sa zavojnicama određen kao:

2 2 na osnovu čega se može odrediti fazor struje na ulazu četveropola:

+ 2 1

2

1

Fazor napona na izlazu četveropola predstavljen pomoću ulazne struje je:

2 1 ⟹

2 1

U analiziranom slučaju ne vrijedi uslov

pa zaključujemo da

data mreža nije simetrična.

Primjer 15: Za reaktivni četveropol sa slike odrediti a parametre, te


52/57

p provjeriti simetričnost mreže. Na osnovu dobijenih vrijednosti, odrediti z parametre četveropola. Poznato je : 5 Ω , 10 Ω RJEŠENJE :

Jednačine prema KZN za dati četveropol su: 2 ( + )

Da bi odredili a parametre, predhodne relacije zapisati ćemo u obliku : 2 1 + odnosno :

2 1 + 1 + pa konačno imamo :

2

1 2 1

+

Sada je moguće odrediti a parametre datog četveropola :


53/57

j g g

2 1 3 2 20 Ω 1

0,2 1 Budući da uslov simetričnosti

nije ispunjen, možemo zaključiti da

analizirani četveropol nije simetričan. Na osnovu dobijenih vrijednosti za a parametre, moguće je jednostavnoodrediti z parametre korištenjem relacija koje daju vezu između ovih

parametara :

15 Ω 1 5 Ω 5 Ω


54/57


55/57


56/57


57/57

Documents

Predavanje 6 Cetveropoli Irfan 2015