Upload
others
View
12
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Predavanje prvo: Brojevi.
Franka Miriam Bruckler
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Brojevi i jedinice
Iznosi mjerljivih, skalarnih, fizikalnih velicina su parovi — umnosci— broja i mjerne jedinice.Ponekad se pojavljuju i
”cisti” brojevi, poput logaritama
kvocijenata nekih velicina (primjerice ln c1mol/L ), no ako se
dogovorimo da je njima jedinica jednaka 1 (sto god to znacilo),onda i njih mozemo shvatiti kao umnozak broja i jedinice.
N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Brojevi i jedinice
Iznosi mjerljivih, skalarnih, fizikalnih velicina su parovi — umnosci— broja i mjerne jedinice.Ponekad se pojavljuju i
”cisti” brojevi, poput logaritama
kvocijenata nekih velicina (primjerice ln c1mol/L ), no ako se
dogovorimo da je njima jedinica jednaka 1 (sto god to znacilo),onda i njih mozemo shvatiti kao umnozak broja i jedinice.
N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Odaberite tocan odgovor:
1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.
2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.
3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .
4 −22 = (a) 4; (b) −4.
5 xy + y
x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)
(x2 + y 2)/(xy).
6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2
4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.
7 3√
27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.
8 −4−3−2−1
= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1
4096 ; (d) − 1
41/√
3.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Odaberite tocan odgovor:
1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.
2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.
3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .
4 −22 = (a) 4; (b) −4.
5 xy + y
x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)
(x2 + y 2)/(xy).
6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2
4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.
7 3√
27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.
8 −4−3−2−1
= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1
4096 ; (d) − 1
41/√
3.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Odaberite tocan odgovor:
1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.
2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.
3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .
4 −22 = (a) 4; (b) −4.
5 xy + y
x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)
(x2 + y 2)/(xy).
6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2
4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.
7 3√
27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.
8 −4−3−2−1
= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1
4096 ; (d) − 1
41/√
3.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Odaberite tocan odgovor:
1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.
2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.
3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .
4 −22 = (a) 4; (b) −4.
5 xy + y
x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)
(x2 + y 2)/(xy).
6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2
4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.
7 3√
27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.
8 −4−3−2−1
= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1
4096 ; (d) − 1
41/√
3.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Odaberite tocan odgovor:
1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.
2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.
3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .
4 −22 = (a) 4; (b) −4.
5 xy + y
x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)
(x2 + y 2)/(xy).
6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2
4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.
7 3√
27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.
8 −4−3−2−1
= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1
4096 ; (d) − 1
41/√
3.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Odaberite tocan odgovor:
1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.
2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.
3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .
4 −22 = (a) 4; (b) −4.
5 xy + y
x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)
(x2 + y 2)/(xy).
6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2
4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.
7 3√
27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.
8 −4−3−2−1
= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1
4096 ; (d) − 1
41/√
3.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Odaberite tocan odgovor:
1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.
2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.
3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .
4 −22 = (a) 4; (b) −4.
5 xy + y
x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)
(x2 + y 2)/(xy).
6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2
4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.
7 3√
27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.
8 −4−3−2−1
= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1
4096 ; (d) − 1
41/√
3.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Odaberite tocan odgovor:
1 8− 2 · 3 = (a) 18; (b) 2.
2 36 + 18/9− 7 = (a) −1; (b) 27; (c) 31; (d) 45.
3 2−x = (a) −2x ; (b) 2−1 · 2x ; (c) 0,5x ; (d) 1/2x .
4 −22 = (a) 4; (b) −4.
5 xy + y
x = (a) 1; (b) x2 + y 2/xy ; (c) (x2 + y 2)/xy ; (d)
(x2 + y 2)/(xy).
6 1 + Bx + 14 B2x2 = (a) (1 + B + B2)(1 + x2
4 ); (b)(Bx/2 + 1)2; (c) (Bx + 1)2/2.
7 3√
27 + 64 + 125 = (a) 6; (b) 12.
8 −4−3−2−1
= (a) nema smisla; (b) − 14096 ; (c) 1
4096 ; (d) − 1
41/√
3.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Decimalni zapis
Brojevi se zapisuju brojkama, a u nas je uobicajeno koristiti brojkedecimalnog pozicijskog sustava. Kad govorimo o
”broju” 725
mislimo na 7 · 100 + 2 · 10 + 5 odnosno
725 = 7 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100.
Kad pisemo 2,14 mislimo na
2,14 = 2 + 1 · 1
10+ 4 · 1
100= 2 · 100 + 1 · 10−1 + 4 · 10−2.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Neki realni brojevi, poput 116 , imaju konacan decimalni zapis
(0,0625) te je on potpuno egzaktan.
Drugi brojevi, poput 13 ili√
2,nemaju konacan decimalan zapis te svaki njihov zapis s konacnomnogo znamenki nuzno sadrzi i gresku: 1
3 6= 0,3333,√
2 6= 1,41.Greska u takvom zapisu je reda velicine 10−m−1 (odgovarajucemjerne jedinice) gdje je m broj znamenki iza decimalnog zareza uodabranoj aproksimaciji. Tako je greska zapisa 1
3 mm kao 0,3333
mm reda velicine 10−5 mm, a greska zapisa√
2 m s−1 kao 1,41 ms−1 je reda velicine 10−3 m s−1.Ovdje svakako treba istaknuti da bi pod decimalnim zapisom brojatrebalo podrazumijevati zapis sa svim znamenkama; tako shvacendecimalni zapis uvijek je egzaktno jednak zapisanom broju. Cim nakraju skinemo jednu ili vise znamenaka, dobili smo aproksimacijupromatranog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Neki realni brojevi, poput 116 , imaju konacan decimalni zapis
(0,0625) te je on potpuno egzaktan. Drugi brojevi, poput 13 ili√
2,nemaju konacan decimalan zapis te svaki njihov zapis s konacnomnogo znamenki nuzno sadrzi i gresku: 1
3 6= 0,3333,√
2 6= 1,41.Greska u takvom zapisu je reda velicine 10−m−1 (odgovarajucemjerne jedinice) gdje je m broj znamenki iza decimalnog zareza uodabranoj aproksimaciji. Tako je greska zapisa 1
3 mm kao 0,3333
mm reda velicine 10−5 mm, a greska zapisa√
2 m s−1 kao 1,41 ms−1 je reda velicine 10−3 m s−1.
Ovdje svakako treba istaknuti da bi pod decimalnim zapisom brojatrebalo podrazumijevati zapis sa svim znamenkama; tako shvacendecimalni zapis uvijek je egzaktno jednak zapisanom broju. Cim nakraju skinemo jednu ili vise znamenaka, dobili smo aproksimacijupromatranog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Neki realni brojevi, poput 116 , imaju konacan decimalni zapis
(0,0625) te je on potpuno egzaktan. Drugi brojevi, poput 13 ili√
2,nemaju konacan decimalan zapis te svaki njihov zapis s konacnomnogo znamenki nuzno sadrzi i gresku: 1
3 6= 0,3333,√
2 6= 1,41.Greska u takvom zapisu je reda velicine 10−m−1 (odgovarajucemjerne jedinice) gdje je m broj znamenki iza decimalnog zareza uodabranoj aproksimaciji. Tako je greska zapisa 1
3 mm kao 0,3333
mm reda velicine 10−5 mm, a greska zapisa√
2 m s−1 kao 1,41 ms−1 je reda velicine 10−3 m s−1.Ovdje svakako treba istaknuti da bi pod decimalnim zapisom brojatrebalo podrazumijevati zapis sa svim znamenkama; tako shvacendecimalni zapis uvijek je egzaktno jednak zapisanom broju. Cim nakraju skinemo jednu ili vise znamenaka, dobili smo aproksimacijupromatranog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zadatak: Je li broj 2,52525252 . . . racionalan ili nije? Ako jest,kojem je razlomku jednak?
x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250
99
Zadatak: Nadite razlomak sto manjeg nazivnika koji je izmedu√56 i√
58.√56 i√
58 su izmedu 7 i 8;
√56 <
m
n<√
58
56 <m2
n2< 58
56n2 < m2 < 58n2
n = 1 — ne ide; n = 2: 224 < m2 < 232 — m = 15: 15/2.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zadatak: Je li broj 2,52525252 . . . racionalan ili nije? Ako jest,kojem je razlomku jednak?
x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250
99
Zadatak: Nadite razlomak sto manjeg nazivnika koji je izmedu√56 i√
58.√56 i√
58 su izmedu 7 i 8;
√56 <
m
n<√
58
56 <m2
n2< 58
56n2 < m2 < 58n2
n = 1 — ne ide; n = 2: 224 < m2 < 232 — m = 15: 15/2.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zadatak: Je li broj 2,52525252 . . . racionalan ili nije? Ako jest,kojem je razlomku jednak?
x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250
99
Zadatak: Nadite razlomak sto manjeg nazivnika koji je izmedu√56 i√
58.
√56 i√
58 su izmedu 7 i 8;
√56 <
m
n<√
58
56 <m2
n2< 58
56n2 < m2 < 58n2
n = 1 — ne ide; n = 2: 224 < m2 < 232 — m = 15: 15/2.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zadatak: Je li broj 2,52525252 . . . racionalan ili nije? Ako jest,kojem je razlomku jednak?
x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250
99
Zadatak: Nadite razlomak sto manjeg nazivnika koji je izmedu√56 i√
58.√56 i√
58 su izmedu 7 i 8;
√56 <
m
n<√
58
56 <m2
n2< 58
56n2 < m2 < 58n2
n = 1 — ne ide; n = 2: 224 < m2 < 232 — m = 15: 15/2.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zadatak: Je li broj 2,52525252 . . . racionalan ili nije? Ako jest,kojem je razlomku jednak?
x = 2,52525252 . . .⇒ 100x = 252,52525252 . . . = 250+x ⇒ x =250
99
Zadatak: Nadite razlomak sto manjeg nazivnika koji je izmedu√56 i√
58.√56 i√
58 su izmedu 7 i 8;
√56 <
m
n<√
58
56 <m2
n2< 58
56n2 < m2 < 58n2
n = 1 — ne ide; n = 2: 224 < m2 < 232 — m = 15: 15/2.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zaokruzivanje
Zaokruzivanje brojeva se moze provoditi na vise nacina. Standardninacin je sljedeci: ako zelimo odbaciti nekoliko zadnjih znamenki ione pocinju s 5,6,7,8 ili 9, zaokruzujemo na gore (zadnja znamenkaispred njih se pri odbacivanju poveca za 1: 3,7898 na tri decimalezaokruzeno je 3,790), a ako pocinju s drugim znamenkama nadolje.Ako pak odbacujemo niz znamenaka 500 . . . 0, ponekad se koristisljedece pravilo: parna znamenka ispred se ne mijenja, neparna idenagore (7,85 na 7,8, a 7,15 na 7,2).
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Znanstvena notacija
Kako bi se izbjegle nedoumice, uobicajeno je koristiti znanstvenunotaciju: to je zapis realnog broja x u obliku
x = m · 10n
gdje je broj m ∈ [1, 10〉 tzv. mantisa (zapisana sa svim znacajnimznamenkama), a n ∈ Z je eksponent. Broj znacajnih znamenkibroja x jednak je broju znacajnih znamenki mantise. Zahtjev damantisa bude broj izmedu 1 i 10 cini takav zapis jedinstvenim.Naboj elektrona zaokruzen na sest znacajnih znamenki iznosi0,000000000000000000160217 C, sto je
e = 1,60217 · 10−19 C.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Nadite cijeli broj koji zadovoljava kubnu jednadzbu
x3 + 3x2 = 12x + 18
x = 3.
Supstitucijom t = x − A/3, gdje je A koeficijent uz kvadratni clanu kubnoj jednadzbi1 moze se iz svake kubne jednadzbe maknutikvadratni clan. Koju jednadzbu takvom supstitucijom dobijemo izgornje?
t3 = 15t + 4
Takvu”reduciranu” kubnu jednadzbu t3 = pt + q po
Cardano-Tartaglia-inom postupku rjesavamo tako dapretpostavimo da je njeno rjesenje oblika t = u + v . Uvrstite to uprethodnu jednadzbu — sto dobijete?
3u2v + 3uv 2 + u3 + v 3 = 15u + 15v + 4
Pretpostavite sada da je u3v 3 = (p/3)3 i u3 + v 3 = q:
u3v 3 = 125, u3 + v 3 = 4
1Normiranoj, tj. svedenoj na oblik x3 + Ax2 + Bx + C = 0.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Nadite cijeli broj koji zadovoljava kubnu jednadzbu
x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.
Supstitucijom t = x − A/3, gdje je A koeficijent uz kvadratni clanu kubnoj jednadzbi1 moze se iz svake kubne jednadzbe maknutikvadratni clan. Koju jednadzbu takvom supstitucijom dobijemo izgornje?
t3 = 15t + 4
Takvu”reduciranu” kubnu jednadzbu t3 = pt + q po
Cardano-Tartaglia-inom postupku rjesavamo tako dapretpostavimo da je njeno rjesenje oblika t = u + v . Uvrstite to uprethodnu jednadzbu — sto dobijete?
3u2v + 3uv 2 + u3 + v 3 = 15u + 15v + 4
Pretpostavite sada da je u3v 3 = (p/3)3 i u3 + v 3 = q:
u3v 3 = 125, u3 + v 3 = 4
1Normiranoj, tj. svedenoj na oblik x3 + Ax2 + Bx + C = 0.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Nadite cijeli broj koji zadovoljava kubnu jednadzbu
x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.
Supstitucijom t = x − A/3, gdje je A koeficijent uz kvadratni clanu kubnoj jednadzbi1 moze se iz svake kubne jednadzbe maknutikvadratni clan. Koju jednadzbu takvom supstitucijom dobijemo izgornje?
t3 = 15t + 4
Takvu”reduciranu” kubnu jednadzbu t3 = pt + q po
Cardano-Tartaglia-inom postupku rjesavamo tako dapretpostavimo da je njeno rjesenje oblika t = u + v . Uvrstite to uprethodnu jednadzbu — sto dobijete?
3u2v + 3uv 2 + u3 + v 3 = 15u + 15v + 4
Pretpostavite sada da je u3v 3 = (p/3)3 i u3 + v 3 = q:
u3v 3 = 125, u3 + v 3 = 4
1Normiranoj, tj. svedenoj na oblik x3 + Ax2 + Bx + C = 0.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Nadite cijeli broj koji zadovoljava kubnu jednadzbu
x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.
Supstitucijom t = x − A/3, gdje je A koeficijent uz kvadratni clanu kubnoj jednadzbi1 moze se iz svake kubne jednadzbe maknutikvadratni clan. Koju jednadzbu takvom supstitucijom dobijemo izgornje?
t3 = 15t + 4
Takvu”reduciranu” kubnu jednadzbu t3 = pt + q po
Cardano-Tartaglia-inom postupku rjesavamo tako dapretpostavimo da je njeno rjesenje oblika t = u + v . Uvrstite to uprethodnu jednadzbu — sto dobijete?
3u2v + 3uv 2 + u3 + v 3 = 15u + 15v + 4
Pretpostavite sada da je u3v 3 = (p/3)3 i u3 + v 3 = q:
u3v 3 = 125, u3 + v 3 = 4
1Normiranoj, tj. svedenoj na oblik x3 + Ax2 + Bx + C = 0.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Nadite cijeli broj koji zadovoljava kubnu jednadzbu
x3 + 3x2 = 12x + 18 x = 3.
Supstitucijom t = x − A/3, gdje je A koeficijent uz kvadratni clanu kubnoj jednadzbi1 moze se iz svake kubne jednadzbe maknutikvadratni clan. Koju jednadzbu takvom supstitucijom dobijemo izgornje?
t3 = 15t + 4
Takvu”reduciranu” kubnu jednadzbu t3 = pt + q po
Cardano-Tartaglia-inom postupku rjesavamo tako dapretpostavimo da je njeno rjesenje oblika t = u + v . Uvrstite to uprethodnu jednadzbu — sto dobijete?
3u2v + 3uv 2 + u3 + v 3 = 15u + 15v + 4
Pretpostavite sada da je u3v 3 = (p/3)3 i u3 + v 3 = q:
u3v 3 = 125, u3 + v 3 = 4
1Normiranoj, tj. svedenoj na oblik x3 + Ax2 + Bx + C = 0.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Bez koristenja formule za kvadratnu jednadzbu i imaginarnihbrojeva nadite x :
u3+125
u3= 4, (u3)2−4u3+125 = 0, (u3−2)2 = −121, u3 = 2±
√−121
t =3
√2 +√−121 +
3
√2−√−121
x =3
√2 +√−121 +
3
√2−√−121− 1?!
Pokazite da je x = 3!
2±√−121 = 2± 11
√−1 = 8− 6± (12
√−1−
√−1) =
= ±(√−1)3 + 3 · 2 · (
√−1
2)± 3 · 22 ·
√−1 + 23 = (2±
√−1)3
t = 2 +√−1 + 2−
√−1 = 4, x = t − 1 = 3.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Bez koristenja formule za kvadratnu jednadzbu i imaginarnihbrojeva nadite x :
u3+125
u3= 4, (u3)2−4u3+125 = 0, (u3−2)2 = −121, u3 = 2±
√−121
t =3
√2 +√−121 +
3
√2−√−121
x =3
√2 +√−121 +
3
√2−√−121− 1?!
Pokazite da je x = 3!
2±√−121 = 2± 11
√−1 = 8− 6± (12
√−1−
√−1) =
= ±(√−1)3 + 3 · 2 · (
√−1
2)± 3 · 22 ·
√−1 + 23 = (2±
√−1)3
t = 2 +√−1 + 2−
√−1 = 4, x = t − 1 = 3.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Bez koristenja formule za kvadratnu jednadzbu i imaginarnihbrojeva nadite x :
u3+125
u3= 4, (u3)2−4u3+125 = 0, (u3−2)2 = −121, u3 = 2±
√−121
t =3
√2 +√−121 +
3
√2−√−121
x =3
√2 +√−121 +
3
√2−√−121− 1?!
Pokazite da je x = 3!
2±√−121 = 2± 11
√−1 = 8− 6± (12
√−1−
√−1) =
= ±(√−1)3 + 3 · 2 · (
√−1
2)± 3 · 22 ·
√−1 + 23 = (2±
√−1)3
t = 2 +√−1 + 2−
√−1 = 4, x = t − 1 = 3.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Bez koristenja formule za kvadratnu jednadzbu i imaginarnihbrojeva nadite x :
u3+125
u3= 4, (u3)2−4u3+125 = 0, (u3−2)2 = −121, u3 = 2±
√−121
t =3
√2 +√−121 +
3
√2−√−121
x =3
√2 +√−121 +
3
√2−√−121− 1?!
Pokazite da je x = 3!
2±√−121 = 2± 11
√−1 = 8− 6± (12
√−1−
√−1) =
= ±(√−1)3 + 3 · 2 · (
√−1
2)± 3 · 22 ·
√−1 + 23 = (2±
√−1)3
t = 2 +√−1 + 2−
√−1 = 4, x = t − 1 = 3.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Imaginarna jedinica2 i se definira kao jedno od dva rjesenjakvadratne jednadzbe
x2 + 1 = 0.
Koje je drugo rjesenje?
i2 = (−i)2 = −1
Kompleksni brojevi se definiraju kao brojevi koji se mogu zapisati uobliku
z = x + yi
s x , y ∈ R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni diokompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnogbroja su realni brojevi). Kako vidimo da je R podskup od C?Brojeve kojima je realni dio nula zovemo cisto imaginarnima.
2Oznaku i za imaginarnu uveo je L. Euler.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Imaginarna jedinica2 i se definira kao jedno od dva rjesenjakvadratne jednadzbe
x2 + 1 = 0.
Koje je drugo rjesenje?
i2 = (−i)2 = −1
Kompleksni brojevi se definiraju kao brojevi koji se mogu zapisati uobliku
z = x + yi
s x , y ∈ R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni diokompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnogbroja su realni brojevi). Kako vidimo da je R podskup od C?
Brojeve kojima je realni dio nula zovemo cisto imaginarnima.
2Oznaku i za imaginarnu uveo je L. Euler.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Imaginarna jedinica2 i se definira kao jedno od dva rjesenjakvadratne jednadzbe
x2 + 1 = 0.
Koje je drugo rjesenje?
i2 = (−i)2 = −1
Kompleksni brojevi se definiraju kao brojevi koji se mogu zapisati uobliku
z = x + yi
s x , y ∈ R. Broj x se zove realni dio, a broj y imaginarni diokompleksnog broja z (dakle: i realni i imaginarni dio kompleksnogbroja su realni brojevi). Kako vidimo da je R podskup od C?Brojeve kojima je realni dio nula zovemo cisto imaginarnima.
2Oznaku i za imaginarnu uveo je L. Euler.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zadatak
Odredite sva rjesenja kvadratne jednadzbe x2 − 4x + 5 = 0.
z = x + iy ↔ z = (x , y) ∈ R2
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zadatak
Odredite sva rjesenja kvadratne jednadzbe x2 − 4x + 5 = 0.
z = x + iy ↔ z = (x , y) ∈ R2
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Skicirajte 3 + i i 2i − 1 te njihov zbroj u kompleksnoj ravnini tezakljucite kako se racunski i geometrijski zbrajaju kompleksnibrojevi!
(3 + i) + (2i − 1) = 2 + 3i .
(x + yi)± (x ′ + y ′i) = (x ± x ′) + (y ± y ′)i .
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Skicirajte 3 + i i 2i − 1 te njihov zbroj u kompleksnoj ravnini tezakljucite kako se racunski i geometrijski zbrajaju kompleksnibrojevi!
(3 + i) + (2i − 1) =
2 + 3i .
(x + yi)± (x ′ + y ′i) = (x ± x ′) + (y ± y ′)i .
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Skicirajte 3 + i i 2i − 1 te njihov zbroj u kompleksnoj ravnini tezakljucite kako se racunski i geometrijski zbrajaju kompleksnibrojevi!
(3 + i) + (2i − 1) = 2 + 3i .
(x + yi)± (x ′ + y ′i) = (x ± x ′) + (y ± y ′)i .
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Skicirajte 3 + i i 2i − 1 te njihov zbroj u kompleksnoj ravnini tezakljucite kako se racunski i geometrijski zbrajaju kompleksnibrojevi!
(3 + i) + (2i − 1) = 2 + 3i .
(x + yi)± (x ′ + y ′i) = (x ± x ′) + (y ± y ′)i .
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Suprotni broj od x + yi je −x − yi . Nacrtajte nekoliko kompleksnihbrojeva u kompleksnoj ravnini i njihove suprotne brojeve tezakljucite koji je efekt kompleksne funkcije zadane s
f (z) = −z?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Suprotni broj od x + yi je −x − yi . Nacrtajte nekoliko kompleksnihbrojeva u kompleksnoj ravnini i njihove suprotne brojeve tezakljucite koji je efekt kompleksne funkcije zadane s
f (z) = −z?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Nacrtajte tocke koje u kompleksnoj ravnini predstavljaju cetiriproizvoljno odabrana kompleksna broja. Zatim nacrtajte rezultatpribrajanja broja 1 tim brojevima.
Sad nacrtajte rezultatpribrajanja broja −i tim brojevima. Na kraju nacrtajte rezultatpribrajanja broja 3 + 2i tim brojevima. Mozete li zakljuciti koji jeefekt kompleksne funkcije zadane s
f (z) = z + z0,
za fiksan z0?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Nacrtajte tocke koje u kompleksnoj ravnini predstavljaju cetiriproizvoljno odabrana kompleksna broja. Zatim nacrtajte rezultatpribrajanja broja 1 tim brojevima. Sad nacrtajte rezultatpribrajanja broja −i tim brojevima.
Na kraju nacrtajte rezultatpribrajanja broja 3 + 2i tim brojevima. Mozete li zakljuciti koji jeefekt kompleksne funkcije zadane s
f (z) = z + z0,
za fiksan z0?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Nacrtajte tocke koje u kompleksnoj ravnini predstavljaju cetiriproizvoljno odabrana kompleksna broja. Zatim nacrtajte rezultatpribrajanja broja 1 tim brojevima. Sad nacrtajte rezultatpribrajanja broja −i tim brojevima. Na kraju nacrtajte rezultatpribrajanja broja 3 + 2i tim brojevima. Mozete li zakljuciti koji jeefekt kompleksne funkcije zadane s
f (z) = z + z0,
za fiksan z0?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Nacrtajte tocke koje u kompleksnoj ravnini predstavljaju cetiriproizvoljno odabrana kompleksna broja. Zatim nacrtajte rezultatpribrajanja broja 1 tim brojevima. Sad nacrtajte rezultatpribrajanja broja −i tim brojevima. Na kraju nacrtajte rezultatpribrajanja broja 3 + 2i tim brojevima. Mozete li zakljuciti koji jeefekt kompleksne funkcije zadane s
f (z) = z + z0,
za fiksan z0?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + iy definira se kao|z | =
√x2 + y 2 (biramo pozitivni kvadratni korijen).
Sto ta vrijednost geometrijski predstavlja?
Gdje se nalaze kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1? Stopredstavlja jednadzba |z − 1− i | = 5? Dokazite da za zbrajanjekompleksnih brojeva vrijedi nejednakost trokuta|z + w | ≤ |z |+ |w |!
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + iy definira se kao|z | =
√x2 + y 2 (biramo pozitivni kvadratni korijen).
Sto ta vrijednost geometrijski predstavlja?
Gdje se nalaze kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1?
Stopredstavlja jednadzba |z − 1− i | = 5? Dokazite da za zbrajanjekompleksnih brojeva vrijedi nejednakost trokuta|z + w | ≤ |z |+ |w |!
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + iy definira se kao|z | =
√x2 + y 2 (biramo pozitivni kvadratni korijen).
Sto ta vrijednost geometrijski predstavlja?
Gdje se nalaze kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1? Stopredstavlja jednadzba |z − 1− i | = 5?
Dokazite da za zbrajanjekompleksnih brojeva vrijedi nejednakost trokuta|z + w | ≤ |z |+ |w |!
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Apsolutna vrijednost kompleksnog broja z = x + iy definira se kao|z | =
√x2 + y 2 (biramo pozitivni kvadratni korijen).
Sto ta vrijednost geometrijski predstavlja?
Gdje se nalaze kompleksni brojevi apsolutne vrijednosti 1? Stopredstavlja jednadzba |z − 1− i | = 5? Dokazite da za zbrajanjekompleksnih brojeva vrijedi nejednakost trokuta|z + w | ≤ |z |+ |w |!
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzen je njegovkompleksno konjugirani broj z = x − iy . Nacrtajte nekolikokompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini i njihove kompleksnokonjugirane brojeve te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s f (z) = z?
Kakva je veza para rjesenja kvadratne jednadzbe? Koliko iznosi z?Ako je dana funkcija ψ : D→C, onda se s ψ∗ oznacava kompleksnafunkcija definirana s ψ∗(z) = ψ(z). Odredite ψ∗ zaψ(z) = z + 2− 5i !
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzen je njegovkompleksno konjugirani broj z = x − iy . Nacrtajte nekolikokompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini i njihove kompleksnokonjugirane brojeve te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s f (z) = z?Kakva je veza para rjesenja kvadratne jednadzbe?
Koliko iznosi z?Ako je dana funkcija ψ : D→C, onda se s ψ∗ oznacava kompleksnafunkcija definirana s ψ∗(z) = ψ(z). Odredite ψ∗ zaψ(z) = z + 2− 5i !
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzen je njegovkompleksno konjugirani broj z = x − iy . Nacrtajte nekolikokompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini i njihove kompleksnokonjugirane brojeve te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s f (z) = z?Kakva je veza para rjesenja kvadratne jednadzbe? Koliko iznosi z?
Ako je dana funkcija ψ : D→C, onda se s ψ∗ oznacava kompleksnafunkcija definirana s ψ∗(z) = ψ(z). Odredite ψ∗ zaψ(z) = z + 2− 5i !
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Svakom kompleksnom broju z = x + iy pridruzen je njegovkompleksno konjugirani broj z = x − iy . Nacrtajte nekolikokompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini i njihove kompleksnokonjugirane brojeve te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s f (z) = z?Kakva je veza para rjesenja kvadratne jednadzbe? Koliko iznosi z?Ako je dana funkcija ψ : D→C, onda se s ψ∗ oznacava kompleksnafunkcija definirana s ψ∗(z) = ψ(z). Odredite ψ∗ zaψ(z) = z + 2− 5i !
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + yx ′)i .
Koliko iznosi z · z?
Bez formule za dijeljenje kompleksnih brojeva
odredite1
i.
1
z=
z
|z |2,
z
z ′= z · 1
z ′=
z · z ′|z ′|2
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + yx ′)i .
Koliko iznosi z · z? Bez formule za dijeljenje kompleksnih brojeva
odredite1
i.
1
z=
z
|z |2,
z
z ′= z · 1
z ′=
z · z ′|z ′|2
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
(x + yi) · (x ′ + y ′i) = (xx ′ − yy ′) + (xy ′ + yx ′)i .
Koliko iznosi z · z? Bez formule za dijeljenje kompleksnih brojeva
odredite1
i.
1
z=
z
|z |2,
z
z ′= z · 1
z ′=
z · z ′|z ′|2
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Nacrtajte nekoliko kompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini injihove umnoske s i te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s
f (z) = iz?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Nacrtajte nekoliko kompleksnih brojeva u kompleksnoj ravnini injihove umnoske s i te zakljucite koji je efekt kompleksne funkcijezadane s
f (z) = iz?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z?
Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz
z = |z |(cos θ + i sin θ).
Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5?
Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz
z = |z |(cos θ + i sin θ).
Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i?
Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz
z = |z |(cos θ + i sin θ).
Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e?
Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz
z = |z |(cos θ + i sin θ).
Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi?
Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz
z = |z |(cos θ + i sin θ).
Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?
Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz
z = |z |(cos θ + i sin θ).
Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko?
Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz
z = |z |(cos θ + i sin θ).
Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z?
A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz
z = |z |(cos θ + i sin θ).
Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z?
A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz
z = |z |(cos θ + i sin θ).
Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?
Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz
z = |z |(cos θ + i sin θ).
Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Argument kompleksnog broja z je kut θ kojeg radij-vektor od zzatvara s realnom osi. Koja je njegova veza s realnim i imaginarnimdijelom broja z? Koliko iznosi argument od 5? Od i? Od −e? Od−πi? Sto je skup svih kompleksnih brojeva kojima je argument 0?Argument cisto imaginarnog broja iznosi koliko? Kakav jeargument od 1/z u odnosu na argument od z? A od z? A od |z |?Vidimo: (|z |, θ) su polarne koordinate tocke koja u Kks-u imakoordinate (x , y), tj. prikazu z = x + yi ekvivalentan je prikaz
z = |z |(cos θ + i sin θ).
Taj se prikaz zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Izracunajte (cos θ + i sin θ) · (cosφ+ i sinφ).
Zakljucite kako semnoze dva kompleksna broja dana u trigonometrijskom obliku!Koja je veza argumenta umnoska s argumentima faktora? Aapsolutne vrijednosti umnoska s apsolutnim vrijednostima faktora?Za z = |z |(cos θ + i sin θ) i w = |w |(cosφ+ i sinφ) vrijedi
zw = |z ||w |(cos(θ+φ)+i sin(θ+φ)),z
w=|z ||w |
(cos(θ−φ)+i sin(θ−φ)).
Sto radi funkcija f : C→ C, f (z) = z · z0 gdje je z0 fiksankompleksan broj apsolutne vrijednosti 1 i argumenta φ?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Izracunajte (cos θ + i sin θ) · (cosφ+ i sinφ). Zakljucite kako semnoze dva kompleksna broja dana u trigonometrijskom obliku!Koja je veza argumenta umnoska s argumentima faktora? Aapsolutne vrijednosti umnoska s apsolutnim vrijednostima faktora?
Za z = |z |(cos θ + i sin θ) i w = |w |(cosφ+ i sinφ) vrijedi
zw = |z ||w |(cos(θ+φ)+i sin(θ+φ)),z
w=|z ||w |
(cos(θ−φ)+i sin(θ−φ)).
Sto radi funkcija f : C→ C, f (z) = z · z0 gdje je z0 fiksankompleksan broj apsolutne vrijednosti 1 i argumenta φ?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Izracunajte (cos θ + i sin θ) · (cosφ+ i sinφ). Zakljucite kako semnoze dva kompleksna broja dana u trigonometrijskom obliku!Koja je veza argumenta umnoska s argumentima faktora? Aapsolutne vrijednosti umnoska s apsolutnim vrijednostima faktora?Za z = |z |(cos θ + i sin θ) i w = |w |(cosφ+ i sinφ) vrijedi
zw = |z ||w |(cos(θ+φ)+i sin(θ+φ)),z
w=|z ||w |
(cos(θ−φ)+i sin(θ−φ)).
Sto radi funkcija f : C→ C, f (z) = z · z0 gdje je z0 fiksankompleksan broj apsolutne vrijednosti 1 i argumenta φ?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Koliko iznosi in za prirodan broj n?
Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i? Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski! Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula
zn = |z |n(cos(nθ) + i sin(nθ)).
Vrijedi li ta formula i za negativne cijele brojeve n?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Koliko iznosi in za prirodan broj n? Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i?
Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski! Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula
zn = |z |n(cos(nθ) + i sin(nθ)).
Vrijedi li ta formula i za negativne cijele brojeve n?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Koliko iznosi in za prirodan broj n? Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i? Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski!
Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula
zn = |z |n(cos(nθ) + i sin(nθ)).
Vrijedi li ta formula i za negativne cijele brojeve n?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Koliko iznosi in za prirodan broj n? Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i? Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski! Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula
zn = |z |n(cos(nθ) + i sin(nθ)).
Vrijedi li ta formula i za negativne cijele brojeve n?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Koliko iznosi in za prirodan broj n? Gdje se nalaze (prirodne)potencije broja i? Izvedite formule za kvadriranje i kubiranjekompleksnog broja zapisanog trigonometrijski! Opcenito, za nprirodan broj vrijedi de Moivre-ova formula
zn = |z |n(cos(nθ) + i sin(nθ)).
Vrijedi li ta formula i za negativne cijele brojeve n?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja?
Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8
(cos π4 + i sin π
4
), koja je njihova
veza?
|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(
cosπ
4+ i sin
π
4
).
Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna? Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π
4 . Je li to jedini takav kut?Zasto? Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i?
Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8
(cos π4 + i sin π
4
), koja je njihova
veza?
|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(
cosπ
4+ i sin
π
4
).
Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna? Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π
4 . Je li to jedini takav kut?Zasto? Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?
Ako je w kubni korijen od z = 8(cos π4 + i sin π
4
), koja je njihova
veza?
|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(
cosπ
4+ i sin
π
4
).
Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna? Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π
4 . Je li to jedini takav kut?Zasto? Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8
(cos π4 + i sin π
4
), koja je njihova
veza?
|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(
cosπ
4+ i sin
π
4
).
Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna? Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π
4 . Je li to jedini takav kut?Zasto? Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8
(cos π4 + i sin π
4
), koja je njihova
veza?
|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(
cosπ
4+ i sin
π
4
).
Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?
Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna? Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π
4 . Je li to jedini takav kut?Zasto? Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8
(cos π4 + i sin π
4
), koja je njihova
veza?
|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(
cosπ
4+ i sin
π
4
).
Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna?
Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π
4 . Je li to jedini takav kut?Zasto? Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8
(cos π4 + i sin π
4
), koja je njihova
veza?
|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(
cosπ
4+ i sin
π
4
).
Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna? Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π
4 .
Je li to jedini takav kut?Zasto? Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8
(cos π4 + i sin π
4
), koja je njihova
veza?
|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(
cosπ
4+ i sin
π
4
).
Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna? Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π
4 . Je li to jedini takav kut?Zasto?
Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Kako biste definirali sto je to n-ti korijen (kompleksnog) broja? Jeli 1 cetvrti korijen od 1? A −1? i? −i? Koliko kubnih korijena urealnim brojevima ima 8? A u kompleksnim?Ako je w kubni korijen od z = 8
(cos π4 + i sin π
4
), koja je njihova
veza?
|w |3(cos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = 8 ·(
cosπ
4+ i sin
π
4
).
Kolike su apsolutne vrijednosti kompleksnih brojeva u zagradama?Mozete li zakljuciti koliko iznosi |w |? Je li ta vrijednostjednoznacna? Nadite jedan kut ϕ koji zadovoljavacos(3ϕ) + i sin(3ϕ)) = cos π4 + i sin π
4 . Je li to jedini takav kut?Zasto? Koji su svi kutovi ϕ koji to zadovoljavaju?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
ϕk = π12 + 2
3 kπ, k ∈ Z. Jesu li svi kompleksni brojevi apsolutnevrijednosti 2 i argumenta ϕk razliciti?
Koliko ih ima razlicitih? zima tri kompleksna treca korijena:
w0 = 2(
cos( π
12
)+ i sin
( π12
)),
w1 = 2
(cos
(9π
12π
)+ i sin
(9π
12
)),
w2 = 2
(cos
(17π
12π
)+ i sin
(17π
12
)).
Kolika je razlika argumenata w1 i w0? w2 i w1? w0 i w2? Kako sudakle u kompleksnoj ravnini rasporedeni w0, w1 i w2?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
ϕk = π12 + 2
3 kπ, k ∈ Z. Jesu li svi kompleksni brojevi apsolutnevrijednosti 2 i argumenta ϕk razliciti? Koliko ih ima razlicitih?
zima tri kompleksna treca korijena:
w0 = 2(
cos( π
12
)+ i sin
( π12
)),
w1 = 2
(cos
(9π
12π
)+ i sin
(9π
12
)),
w2 = 2
(cos
(17π
12π
)+ i sin
(17π
12
)).
Kolika je razlika argumenata w1 i w0? w2 i w1? w0 i w2? Kako sudakle u kompleksnoj ravnini rasporedeni w0, w1 i w2?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
ϕk = π12 + 2
3 kπ, k ∈ Z. Jesu li svi kompleksni brojevi apsolutnevrijednosti 2 i argumenta ϕk razliciti? Koliko ih ima razlicitih? zima tri kompleksna treca korijena:
w0 = 2(
cos( π
12
)+ i sin
( π12
)),
w1 = 2
(cos
(9π
12π
)+ i sin
(9π
12
)),
w2 = 2
(cos
(17π
12π
)+ i sin
(17π
12
)).
Kolika je razlika argumenata w1 i w0? w2 i w1? w0 i w2?
Kako sudakle u kompleksnoj ravnini rasporedeni w0, w1 i w2?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
ϕk = π12 + 2
3 kπ, k ∈ Z. Jesu li svi kompleksni brojevi apsolutnevrijednosti 2 i argumenta ϕk razliciti? Koliko ih ima razlicitih? zima tri kompleksna treca korijena:
w0 = 2(
cos( π
12
)+ i sin
( π12
)),
w1 = 2
(cos
(9π
12π
)+ i sin
(9π
12
)),
w2 = 2
(cos
(17π
12π
)+ i sin
(17π
12
)).
Kolika je razlika argumenata w1 i w0? w2 i w1? w0 i w2? Kako sudakle u kompleksnoj ravnini rasporedeni w0, w1 i w2?
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Svaki kompleksan broj z ima n kompleksnih n-tih korijenaodredenih formulom
n√|z |(
cosθ + 2kπ
n+ i sin
θ + 2kπ
n
),
za k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Geometrijski, ti se korijeni nalaze uvrhovima pravilnog n-terokuta na kruznici radijusa n
√|z | (tu
gledamo korijen u smislu njegovog znacenja u realnim brojevima)kojoj je srediste u ishodistu, s tim da prvi od njih ima argument θ
n ,a svaki sljedeci za 2π/n veci (sve dok se ne prijede jedan punikrug).Odredite sve kubne korijene od i !
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Eulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikazakompleksnih brojeva:
e iθ = cos θ + i sin θ.
Stoga jez = |z |e iθ
tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ?
e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?
zw = |z ||w |e i(θ+φ),
z
w=|z ||w |
e i(θ−φ),
zn = |z |ne inθ.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Eulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikazakompleksnih brojeva:
e iθ = cos θ + i sin θ.
Stoga jez = |z |e iθ
tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2?
Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?
zw = |z ||w |e i(θ+φ),
z
w=|z ||w |
e i(θ−φ),
zn = |z |ne inθ.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Eulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikazakompleksnih brojeva:
e iθ = cos θ + i sin θ.
Stoga jez = |z |e iθ
tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i?
Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?
zw = |z ||w |e i(θ+φ),
z
w=|z ||w |
e i(θ−φ),
zn = |z |ne inθ.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Eulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikazakompleksnih brojeva:
e iθ = cos θ + i sin θ.
Stoga jez = |z |e iθ
tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z?
Od1/z?
zw = |z ||w |e i(θ+φ),
z
w=|z ||w |
e i(θ−φ),
zn = |z |ne inθ.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Eulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikazakompleksnih brojeva:
e iθ = cos θ + i sin θ.
Stoga jez = |z |e iθ
tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?
zw = |z ||w |e i(θ+φ),
z
w=|z ||w |
e i(θ−φ),
zn = |z |ne inθ.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Eulerova formula daje jednostavniji oblik trigonometrijskog prikazakompleksnih brojeva:
e iθ = cos θ + i sin θ.
Stoga jez = |z |e iθ
tzv. eskponencijalni oblik kompleksnog broja z .Koliko iznosi e iπ? e iπ/2? Koji je eksponencijalni oblik broja 10?−e? −2i? Ako je |z |e iθ, koji je eksponencijalni oblik od z? Od1/z?
zw = |z ||w |e i(θ+φ),
z
w=|z ||w |
e i(θ−φ),
zn = |z |ne inθ.
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zbrojimo li i oduzmemo e iϕ i e−iϕ dobijemo
Re(e iϕ) = cosϕ =e iϕ + e−iϕ
2,
Im(e iϕ) = sinϕ =e iϕ − e−iϕ
2i.
Na sto vas podsjecaju te formule?
Koliko iznosi i i? Kako biste definirali ln i? Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija? Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zbrojimo li i oduzmemo e iϕ i e−iϕ dobijemo
Re(e iϕ) = cosϕ =e iϕ + e−iϕ
2,
Im(e iϕ) = sinϕ =e iϕ − e−iϕ
2i.
Na sto vas podsjecaju te formule?Koliko iznosi i i?
Kako biste definirali ln i? Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija? Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zbrojimo li i oduzmemo e iϕ i e−iϕ dobijemo
Re(e iϕ) = cosϕ =e iϕ + e−iϕ
2,
Im(e iϕ) = sinϕ =e iϕ − e−iϕ
2i.
Na sto vas podsjecaju te formule?Koliko iznosi i i? Kako biste definirali ln i?
Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija? Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zbrojimo li i oduzmemo e iϕ i e−iϕ dobijemo
Re(e iϕ) = cosϕ =e iϕ + e−iϕ
2,
Im(e iϕ) = sinϕ =e iϕ − e−iϕ
2i.
Na sto vas podsjecaju te formule?Koliko iznosi i i? Kako biste definirali ln i? Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija?
Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π
Kompleksni brojevi Zbrajanje i oduzimanje kompleksnih brojeva Apsolutna vrijednost kompleksnog broja i kompleksno konjugiranje Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva Eulerova formula
Zbrojimo li i oduzmemo e iϕ i e−iϕ dobijemo
Re(e iϕ) = cosϕ =e iϕ + e−iϕ
2,
Im(e iϕ) = sinϕ =e iϕ − e−iϕ
2i.
Na sto vas podsjecaju te formule?Koliko iznosi i i? Kako biste definirali ln i? Je li funkcijaf : C→ C, f (z) = ez bijekcija? Lnz = ln |z |+ iθ, −π < θ ≤ π