Primer Parcial matematicas especiales

8/18/2019 Primer Parcial matematicas especiales

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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CAL-DAS

MATEMATICAS ESPECIALESPRIMER PARCIALYeison Moreno Parra 20122073014Henry Erick Perez 20122073068

1). Pruebe por induccion matematica que para cualquiera numerosde z yw complejos y cualquie enteropositivo n:

(z + w)n =nP

k=0

n

k

znkwk.

Haciendo n=0 se obtiene:

(z + w)0 =P0

k=0 (0k)z0k

wk

(z + w)0 =P0

k=0 (1)z0k

wk= (1)(z0

w0) = 1

cuando n=1(z + w)1 =

10

z10w0+

11

z11w1

10

= 1!

(10)!0!= 111

= 1!

(11)!1!= 1

(z + w)1 = 1 z 1 + 1 1 w = z + w

Haciendo n=n+1

(z + w)n+1

=Pn+1

k=0 (n+1k )z

n+1

k

wk

(z + w)n+1 = (z + w)(z + w)n= (z + w)(zn+:::+

n

k1

znk+1w)

(z + w)n+1 = zn+1+(

n

1

+

n

0

)z

nw + ::: + (

nk

+

nk1

)z

n+1kwk+:::+

Obteniendo como resultado por el metodo de induccion:(z + w)n+1 =

Pn+1k=0 (n+1

k )zn+1k

wk

cuando n=2(z + w)2 =

20

z20w0+

21

z21w1+

22

z22w2

20

= 2!

(20)!0!= 121

= 2!

(21)!1!= 222

= 2!

(22)!2!= 1

(z + w)2 = 1 z21 + 2 zw + 1 1 w2= z2+2zw + ww

cuando n=s(z + w)s =

s

0

zs0w0+

s

1

zs1w1+

s

2

zs2w2+:::::+

sk

zskwk

s0

= s!

(s0)!0!= 1s1

= s!

(s1)!1!= s(s1)!

1



s2

= s!

(s2)!2!= s

2(s1)!

s

k= s!

(sk)!k!= 1

(z + w)s

= zs+ s(s1)!zs1w1+ s

2(s1)!zs2w2+::::: + zskwk

cuando n=s+1(z + w)s+1 = (z + w)(z + w)s

(z + w)(z + w)s= (z + w) (sP

k=0

sk

zskwk) = z(

sPk=0

sk

zskwk) + w(

sPk=0

sk

zskwk)

al multiplicar se obtienesP

k=0

sk

zs+1kwk+

sPk=0

sk

zskwk+1

s

0

zs+1w0 +

sPk=1

sk

zs+1kwk

+

sP

k=0

sk

zskwk+1 +

ss

z0ws+1

s+10

zs+1w0 + s

Pk=1

sk

zs+1kwk

+h

s+1s+1

i

s+10

zs+1w0 +

sPk=1

sk

zs+1kwk

+h

(s+1)!((s+1)(s+1))!(s+1)!

i

s+10

zs+1w0 +

sPk=1

sk

zs+1kwk

+1

entoncessP

k=1

s

k1

zsk+1wk+11+

ss

ws+1

sPk=1

s

k1

zs+1kwk+

s+1s+1

ws+1

y sumando los dos terminos

s+10

zs+1w0+ s

Pk=1

sk

zs+1kwk+ s

Pk=1

s

k1

zs+1kwk+

s+1s+1

ws+1

s+10

zs+1+

sPk=1

hsk

+

sk1

izs+1kwk+

s+1s+1

ws+1

s+10

zs+1+

sPk=1

s+1

k

zs+1kwk+

s+1s+1

ws+1

s+1Pk=1

s+1

k

zs+1kwk

se comprueba el teorema de newton

2)a) veri…car si los siguientes conjuntos:1.El grupo de las funciones derivables f que verigri…can que: f 00(t)

2f 0(t) + tf (t) = 0

2.El de las reales continuas (en un punto en un intervalo) talesque: f (x0) = 1:

2



Tienen estructura de espacio vectorial, con las operaciones usualesde

suma de funciones y escalar por función.Respuesta 1:

f; g 2 V ! (f + g) 2 V

(f + g)ll

(t) 2(f + g)l+t(f + g)(t)

f ll(t) + gll(t) 2

f l(t) + gl(t)

+t [f (t) + g(t)]

f ll(t) 2f l(t) + tf (t) + gll(t) 2gl(t) + tg(t)

como f (t); g(t) 2 V; entonces

f ll(t) 2f l(t) + tf (t) = 0

gll

(t) 2g

l

(t) + tg(t) = 0entonces;f ll(t) 2f

l(t) + tf (t) + gll(t) 2g

l(t) + tg(t) = 0 + 0 = 0

2R; f 2 V; (f )(t) 2 V

(f ll(t) 2f l(t) + tf (t))

f ll(t) 2f l(t) + tf (t)

como f 2 V entoncesf ll(t) 2f

l(t) + tf (t) = 0

(f ll(t) 2f l(t) + tf (t)) = 0 = 0 para todo 2R

entonces

f ll(t) 2f l(t) + tf (t) = 0 para todo 2R

Así entonces: este es un espacio vectorial.respuesta 2:

W = ff 2 G[a;b]/f (x0) = 1; x0 2 [a; b]gf; g 2 W dado x0 entonces f (x0) = 1 g(x0) = 1(f + g)(x0) = f (x0) + g(x0) = 1 + 1 = 2 6= 1

Luego f + g =2 W por tanto no es espacio vectorial.

b)1)f ; g 2 w=f (0) 6= 0; g(0) 6= 0

f + g 2 w

(f + g)ll(t) 2(f + g)l+t(f + g)(t)

3



f ll(t) + gll

(t) 2

f l(t) + gl(t)

+t [f (t) + g(t)]

f ll(t)

2f l(t) + tf (t) + g

ll(t)

2g

l(t) + tg(t)

f ll(t) 2f l(t) + tf (0) + g

ll(t) 2gl(t) + tg(0)

como tf (0) 6= 0; g(0) 6= 0

f ll(t) 2f l(t) 6= 0 = tf (0)

gll(t) 2gl(t) 6= 0 = tg(0)

tf (0) + tf (0) = 0

tg(0) + tg(0) = 0

entonces 0+0=0

ahora 2R; f 2 W; (f )(t) 2 W

como f

2 W entonces

f ll(0) 2f l

(0) + tf (0) = 0f (0) 6= 0

tf (0) = f ”(0) + 2f 0(0)(f ll(0) 2f l(0) f ”(0) + 2f 0(0))f ll(0) 2f l(0) f ”(0) + 2f 0(0) = 00 = 0 para todo 2R

Asi entonces W es un sub espacio vectorial de V

2)f; g 2 W ! (f + g) 2 W; f (t0) = 1

(f + g)ll(t) 2(f + g)l+t(f + g)(t)f ll(t) + g

ll(t) 2

f l(t) + gl(t)

+t [f (t) + g(t)]f ll(t) 2f l(t) + tf (t) + gll(t) 2gl(t) + tg(t)

como f (t0); g(t0) 2 W; entonces

f ll(t0) 2f l(t0) + tf (t0) + g

ll(t0) 2gl(t0) + tg(t0)

0 0 + t + 0 0 + t = 0

t = 0

Si tenemos f ll(t) 2f l(t) + 0 = 0Entonces f ll(t) 2f l(t) 6= f ll(t) 2f l(t) + tf (t)por tanto W no es un subespacio vextorial de V.3).

demostrar que si v y w son vectores de un espacio real V conproducto interior, entonces:a) j < v;w > j jjvjjjjwjjExtienda el resultado cuando el espacio vectorial es el de las fun-

ciones reales continuas en [a,b], dar un ejemplo.

4



b) demostrar que si v y w son vectores de un espacio vectorialcomplejo V con producto interior, entonces:

< v; w >=14 jjv + wjj21

4 jjv wjj2+ i4 jjv + iwjj2 i

4 jjv iwjj2solución:a). si u y v son vectores en Rn; entoncesju vj jjujjjjvjj (1)si u=0, entonces jjujj=0 y u v =0, de modo que se cumple (1).

Ahora supongamos que u es distinto de cero. Sea r un escalar yconsideremos el vector ru+v. de acuerdo con el teorema que estableceque jjwjj2 = w w:

0 (ru + v) (ru + v) = r2

u u + 2ru v + v v

= ar2 + 2br + cdonde a = u u; b = u v y c = v vAhora p(r) = ar2 + 2br + c es un polinomio cuadrático en r (cuya

gra…ca es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0) que es nonegativo para todos los valores de r. Esto signi…ca que el polinomiono tiene raíces reales, o si las tiene, son iguales. [si p(r) tuviera dosraíces distintas r1 y r2: seria negativo para algún valor de r entre r1 yr2 ]

recordando que las raíces de p(r) están dadas por la fórmula cuadráticacomo

0.0.1 2b+p 4b24ac2a

y 2bp 4b24ac2a

(a6= 0 pues u6= 0). Ambas raíces son iguales o no existen raíces realessi

4b24ac 0

lo cual signi…ca queb2 ac

al sacar las raices cuadradas de ambos lados y observar que p

a =p u u = jjujj; p

c = p

v v = jjvjj;y tomando la raíz positiva de

p b2 =

p (u v)2 = j < u; v > j; debido a

que b esta elevado al cuadrado siempre sera positivo el resultado espor esto que se pone en valor absoluto.

ejemplo: considere los vectores u=(1,0,0,1), v=(0,1,1,0) y w=(3,0,0,3).Entonces

uv = 0 y v w = 0lo cual implica que tanto u y v como v y w son ortogonales. Ten-

emosuw = 6; jjujj = p 2; jjwjj = p 18; u w = jjujjjjwjjel coseno del ángulo entre u y w es 1. En consecuencia, concluimos

que u y v tienen la misma dirección.ejemplo: si u y v son , uv = 13 por lo tanto, juvj = 13 jjujjjjvjj =p

18p

30

5



utilizaremos la desigualdad de Cauchy-Schwarz para de…nir el an-gulo entre dos vectores distintos de cero en R n:

Si u y v son vectores distintos de cero la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que uv

jjujjjjvjj

1 o 1 uvjjujjjjvjj 1

al examinar la parte de la gra…ca de y=cos para 0 vemosque para cualquier numero r en el intervalo [-1,1], existe un uniconúmero real tal que cos = r: Esto implica que hay un único númeroreal tal que

cos = uvjjujjjjvjj ; 0

el ángulo es el angulo entre u y v.en el caso de R3;podemos aplicar la ley de los cosenos para estable-

cer que el coseno del angulo entre u y v esta dado por la anteriorformula. Sin embargo, para Rn; n > 3; tenemos que de…nirlo como la

formula anterior.b).si V es un espacio vectorial C, entonces jjv + wjj2 = jjvjj2 + 2 < v;w >

+jjwjj2 y jjv wjj2 = jjvjj2 2 < v;w > +jjwjj2se tiene que14 jjv + wjj21

4 jjv wjj2=12< v; w > 1

2

< v; w > = < v; w >

14jjv + wjj21

4jjv wjj2= Re < v; w >

Por otro lado,jjv + iwjj2 = jjvjj2 + 2Re < v;iw > +jjiwjj2 = jjvjj2 + 2Im <v;w > +jjwjj2

y de manera similar jjv iwjj2 = jjvjj2 2 Im < v; w > +jjwjj2; lo queimplica que

i4 jjv + iwjj2 i

4 jjv iwjj2= i2< v; w > i

2

< v; w > = < v; w >

i

4 jjv + iw

jj2

i

4 jjv

iwjj2= i Im < v; w >

obteniendo que < v;w >= Re < v; w > +iIm < v; w > lo que tambienpuede escribirse como < v;w >= 1

4 jjv + wjj2 14 jjv wjj2 + i

4 jjv + iwjj2 i4 jjv iwjj2

4.a)demostrar el proceso de ortogonalizacion de gram-schmidtsea V un espacio vetorial con producto interno.Todo subespacio W

con una base tiene al menos una base ortogonal y una base ortonor-mal.

Si B = fv1;v2;v3;:::;vkg es cualquier base de V entonces 0 = fu1;u2; u3;:::;ukges una base ortogonal donde:

u1= v1

u2= v2 hv2u1ihu1u1i

u3= v3 hv3u1ihu1u1iu1 hv3u2i

hu2u2iu2

6



::

uk= vk hvku1ihu1u1iu1 hvku2ihu2u2iu2:::: hvkuk1ihuk1uk1iuk1

Gen fv1;v2;v3;:::vkg = Gen fu1; u2;u3; :::ukg ; i = 1;:::; k

el vector es ortogonal al normalizarlo se obtiene 00

00=n

u1

ku1k ; u2

ku2k ; u3

ku3k ;::: ukkukko

donde kukk = 2p hvk;vki

b) Dado el espacio vectorial elospolinomios reales de grado menor

o igual a n:Pn:Sea el producto interior < f ; g > = R b

a W (x)f (x)g(x)dx

con W (x) > 0W

x 2 [a; b]Aplique elproceso de Gram-Schmidt a la base:f1; x ; x2; x3; x4g par

construir una base ortogonal de P4 subespacio de P n; cuando a=1, b=1W (x) = 2

p 1 x2

U 1 = 1 U 2 = x U 3 = x2 U 4 = x3 U 5 = x4

V 1 = U 1 = 1

V 2 = U 2 proy(U 2)v1 = x < x; 1>

<1;1> = x

R 11

x 2p

1x2dxR 11

2p 1x2dx

= xR 11

x 2p

1 x2dx = 0R 11

2p

1 x2dx = 12

V 3 = U 3 proy(U 3)v1 proy(U 3)v2 = x2 <x2 ; 1><1;1>

<x2; x><x;x>

x

= x2 R 11 x

2 2p 1x

2

dxR 11

2p 1x2dx R

11 x

3 2p 1x

2

dtR 11

x2 2p 1x2dx x = x2

1

8 12 = x214R 1

1x2 2

p 1 x2dx = 1

8R 11 x3 2

p 1 x2dx = 0

V4= U4proy(U4)v1proy(U4)v2proy(U4)v3= x3 <x3 ; 1><1;1>

<x3; x><x;x>

t <x3; x2 14 >

<x2 14 ;x2 1

4 >(x

214

= x3R 11

x3 2p 1x2dx

R 11

2p 1x2dx

R 11

x3 2p 1x2dx

R 11

x2 2p 1x2dx

xR 11

x3 (x2 14 )

2p 1x2dx

R 11

(x2 14 )(x2 1

4 ) 2p

1x2dx(x

214) = x

3 116

18

x = x31

2xR 11 x3 2

p 1 x2dx = 1

16R 11 x3(x

214) 2

p 1 x2dx = 0

V5= U5proy(U5)v1proy(U5)v2proy(U5)v3proy(U5)v4= x4

<x4 ; 1>

<1;1> <x4; x>

<x;x> t h <x4

<x2

= x4R 11

x4 2p 1x2dx

R 11

2p 1x2dx

R 11

x4 2p 1x2dx

R 11

x2 2p 1x2dx

xR 11

x4 (x2 14 )

2p 1x2dx

R 11

(x2 14 )(x2 1

4 ) 2p

1x2dx(x

214

)R 11

x4 (x3 12 x) 2

p 1x2dx

R 11

(x3 12 x)(x3 1

2 x) 2p 1xR 1

1 x4 2p

1 x2dx = R 11 x4(x

312x) 2

p 1 t2dt = 0

7



Base Ortogonal(1) = f1; x ; x2 1

4 ; x3 12x; x4 1xg

Se demuestra que hay ortogonalidad:R 11

x 2p

1 x2dx = 0R 11 x(x

214) 2

p 1 x2dx = 0R 1

1 (x

312x)(x

214) 2

p 1 x2dx = 0R 1

1 (x

41x)(x31

2x)(x21

4) 2p

1 x2dx = 0

Ahora volveremos aun mas …na la base para que sea ortonormallpara eso hallamos la magnitud de cada vi.

jV 1j = 2

q R 11

2p

1 x2dx=q

12

jV 2j =q R 1

1(x)(x) 2

p 1 x2dx=

q 18

jV 3j =q R 1

1(x2 1

4)(x2 14) 2

p 1 x2dx=

q 132

jV 4j =q R 1

1(x3 1

2x)(x3 1

2x) 2

p 1 x2dx=

q 1128

jV 5j =q R 1

1(x4 1x)(x4 1x) 2

p 1 x2dx=

q 1512

Base Ortonormal:(2) = f V 1

jV 1j ; V 2jV 2j ; V 3

jV 3j ; V 4jV 4j ; V 5

jV 5jg(2) =

f

p 2p

;p 8p

x;p 32p

(x2

14 );

p 128p

(x3

12 t);

p 512p

(x4

1x)

g5) Sea V elespacio vectorial de las funciones continuas C [; ]:Dado

el producto interior < f;g >=R

f (t)g(t)dt

w = Genn

1p 2

; 1p

cos t; 1p

sin t; :::; 1p

cos nt; 1p

sin nto

= Tn [; ]

Subespacio de C [; ] formado por todos los poligonios trigono-metricos de grado n

a) encuentrelamejor aproximacion para f (t) = t2 en [; ]poligoniostrigonometricos de grado 5 y 6.

Muestre gra…camente el error en la aproximacion.

f (t) = t2 g(t) = W

Proy(f (t))W = <f (t);W >

<W;W > W =

R

f (t)W

R

W W

W

8



R

t2 1p

2dt

R

1p 2 1p 2 dt 1p 2

=13

p 2

52

1

1p 2

= 132

*

R

t2

sin(t)p

dt

R

sin(t)p

sin(t)p

dt

sin(t)p

= 01sin(t)p

= 0

*

R

t2

cos(t)p

dt

R

cos(t)p

cos(t)p

dt

cos(t)p

= 4p

1cos(t)p

= 4cos t

*

R

t2

sin(2t)p

dt

R

sin(2t)p

sin(2t)p dt

sin(2t)p

= 01sin(2t)p

= 0

*

R

t2

cos(2t)p

dt

R

cos(2t)p

cos(2t)p

dt

cos(2t)p

=p

1cos(2t)p

= cos 2t

*

R

t2

sin(3t)p

dt

R

sin(3t)p

sin(3t)p

dt

sin(3t)p

= 01sin(3t)p

= 0

R

t2

cos(3t)p

dt

R

cos(3t)p

cos(3t)p

dt

cos(3t)p

= 4

9p

1cos(3t)p

= 4

9 cos 3t

*

R

t2

sin(4t)p

dt

R

sin(4t)p

sin(4t)p

dt

sin(4t)

p = 0

1

sin(4t)

p = 0

*

R

t2

cos(4t)p

dt

R

cos(4t)p

cos(4t)p

dt

cos(4t)p

=14

p

1cos(4t)p

= 1

4 cos 4t

*

R

t2

sin(5t)p

dt

R

sin(5t)p

sin(5t)p

dt

sin(5t)p

= 01 = 0

*

R

t2

cos(5t)p

dt

R

cos(5t)p

cos(5t)p

dt

cos(5t)p

= 4

25p

1cos(5t)p

= 4

25 cos5t

*

R t

2 sin(6t)p dt

R

sin(6t)p

sin(6t)p

dt

sin(6t)p

= 0

sin(6t)p

= 0

*

R

t2

cos(6t)p

dt

R

cos(6t)p

cos(6t)p

dt

cos(6t)p

=p

9

1cos(6t)p

= cos(6t)

9

9



luego se suma los resultadso diferentes de 0

132 4 cos t + cos 2t 4

9 cos3t+ 14 cos 4t 4

25 cos5t + cos(6t)9

y por ende esto se igual a F (t) y se haya su sucecion para aproximarla ecuacion a f (t) entre [; ]

t2 = 132 4 cos t + cos 2t 4

9 cos3t+ 1

4 cos 4t 425

cos 5t + cos(6t)9

t2 = 132 4 cos t + cos 2t 4

P50k=2

cos((2k1)t)

(2k1)2

+P50

k=2

cos((2k)t)

k2

=

t2=

0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

164 cos 16t + 1

81 cos 18t + 1100 cos20t + 1

121 cos 22t + 1144 cos 24t + 1

169 cos 26t + 1196 cos 28t +

21

289 cos 34t + 1324 cos 36t + 1

361 cos38t + 1400 cos 40t + cos 2t 4 cos t + 1

4 cos 4t + 19 cos 6t +

+ 136 cos 12t + 1

49 cos 14t + 1441 cos 42t + 1

484 cos44t + 1529 cos 46t + 1

576 cos 48t + 1625 cos 50t +

+ 1784 cos 56t + 1

841 cos 58t + 1900 cos 60t + 1

961 cos62t + 11024 cos 64t + 1

1089 cos 66t + 11156 c

11296

cos 72t + 11369

cos 74t + 11444

cos 76t + 11521

cos 78t + 11600

cos 80t + 11681

cos 82t + 11764

+ 11936 cos 88t + 1

2025 cos 90t + 12116 cos 92t + 1

2209 cos 94t + 12304 cos 96t + 1

2401 cos98t

4

0BBBBBBBB@

19 cos 3t + 1

25 cos 5t + 149 cos 7t + 1

81 cos 9t + 1121 cos 11t + 1

169 cos 13t + 1225 cos15t +

1361

cos 19t + 1441

cos 21t + 1529

cos 23t + 1625

cos25t + 1729

cos 27t + 1841

cos 29t + 196

11089

cos 33t + 11225

cos 35t + 11369

cos 37t + 11521

cos 39t + 11681

cos 41t + 11849

cos 43t +1

2209 cos 47t + 12401 cos 49t + 1

2601 cos 51t + 12809 cos 53t + 1

3025 cos 55t + 13249 cos 57t +

13721 cos 61t + 1

3969 cos 63t + 14225 cos 65t + 1

4489 cos 67t + 14761 cos 69t + 1

5041 cos 71t +1

5625 cos 75t + 1

5929 cos 77t + 1

6241 cos 79t + 1

6561 cos 81t + 1

6889 cos 83t + 1

7225 cos 85t +

17921

cos 89t + 18281

cos 91t + 18649

cos 93t + 19025

cos 95t + 19409

cos 97t + 19801

co

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

x

y

6)Sea V el espacio vectorial P 3; y el producto interior hf; gi =R 10

f (t)g(t)dt:Sea W el subespacio de P 3 generado por f1; 1 + x; 1 + x + x2ga)Determine una base para W ?

10



u1 = 1; u2 = 1 + x; u3 = 1 + x + x2:

v1 = u1 = 1;

v2= v1 <v1;v2><v1;v1>

v1

< v1; v2 >=R 10 (1 + x)dx = 3

2

< v1; v1>=R 10

(1)dx = 1

v2= v1 <v1;v2><v1;v1>

v1= 1 + x 32

1 1 = x12

v3= v3 <v1;v3><v1;v1>

v1<v2;v3><v2;v2>

v2

< v1; v3>=R 10

(1 + +x + x2)dx = 11

6

< v2; v3 >=R 10

(x 12

)(1 + +x + x2)dx = 16

< v2; v2>=R 10 (x1

2 )(x12)dx = 1

12

v3= v3 <v1;v3><v1;v1>

v1<v2;v3><v2;v2>

v2= 1 + +x + x2 116

1 16112

(x12) = x

2x+16

(1; x12 ; x2x+1

6):b)Pruébese que, en general, dado un subespacio W : (W ?)? = W c)Pruébese que, en general, dado un subespacio W : (W \W ?) = f0gSea x 2 W \ W ?.Como x 2 W ? , para cada w 2 W ,se tieene que

< x; w >= 0:En particula, tomando w = x 2 W se tiene que k x k2=< x; w >= 0, de donde x = 0.

7). Sea W el subespacio de R5generado por:

w1=

2

66664

135

05

3

77775 ; w2=

2

66664

112

23

3

77775 ; w3=

2

66664

014

15

3

77775a).Encuentre una base para W ?:b). Encuentre la dimensión para W ?:

solución

a).

24 1 3 5 0 5 0

1 1 2 2 3 00 1 4 1 5 0

35, Gaussian elimination:

24 1 3 5 0 5 0

0 2 7 2 8 00 0 1

2 0 1 0

35

ahora reduciendo por Gauss-Jordan se tiene que24

1 3 5 0 5 00

2 7

2 8 0

0 0 12 0 1 0

35

se multiplica -1/2 a la segunda …la24 1 3 5 0 5 0

0 1 72 1 4 0

0 0 12 0 1 0

35

11



se multiplica la tercera …la por 2, luego se multiplica la tercera …lapor 7

2 y se le suma a la segunda …la24 1 3 5 0 5 0

0 1 0 1 3 00 0 1 0 2 0

35

se multiplica la segunda …la por 3 y se le suma a la primera …la24 1 0 5 3 14 0

0 1 0 1 3 00 0 1 0 2 0

35

se multiplica la tercera …la por -5 y se le suma a la primera …la24 1 0 0 3 4 0

0 1 0 1 3 00 0 1 0 2 0

35

de manera que se obtienea + 3d + 4e = 0

b + d + 3e = 0

c + 2e = 0

entonces se puede decir quec = s

d = t

e = s2

a = 3t 4( s2

)b = t 3( s

2)con lo que resultaa = 3t + 2s

b = t+32

s

c = s

d = t

e = s2

la base será f(3; 1; 0; 1; 0); (2; 32 ; 1; 0; 12 )g

12

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