Prof. dr. sc. Sanja VarošanecPrirodoslovno-matematički fakultet-Matematički odjelSveučilište u ZagrebuBijenička 30Zagrebe-mail: varosans@math.hr

Primjena računala u nastavi matematike

Prirodna je situacija da suvremena nastava matematike prati razvoj tehnologije, te nastoji u obrazovni proces uvesti nova nastavna sredstva kako bi se učenicima približila matematika, motiviralo ih se na rad, poboljšalo razumijevanje, otkrivanje i usvajanje matematičkih pojmova, pojava i zakonitosti. Kao što su tijekom prošlih godina u nastavni proces kao pomagala ušli grafoskopi, dijaskopi, episkopi, magnetofoni i dr., tako smo danas svjedoci sve češćeg poučavanja i učenja uz pomoć računala, pripadnih vanjskih jedinica i programske podrške. Škole u Hrvatskoj se ubrzano opremaju osobnim računalima, laptopima, raznim vanjskim jedinicama kao što su printeri, projektori, skeneri. Učenici posjeduju džepne kalkulatore, a sve je češća uporaba grafičkih kalkulatora. Sve je to podržano različitim vrstama programa, od koji mnogi imaju edukacijsku komponentu. Pri odabiru pojedine programske podrške, nastavnik mora razmotriti nekoliko pitanja:

može li konkretni software pomoći podučavanju matematike, povećanju razine znanja, razvoju određenih vještina i poboljšanju razumijevanja matematičkih ideja,

može li nam konkretni software pomoći pri radu s matematičkim sadržajima, tj. može li nama ili učenicima pomoći pri računanju, crtanju grafova, kreiranju tablica, rješavanju problema, transformiranju izraza i sličnim radnjama,

pomaže li uporaba konkretnog software-a u izradi nastavnih materijala, čuvanju podataka, pronalaženju već postojećih nastavnih materijala itd.

Opći programski alati s kojima se susrećemo u nastavi su: programi za obradu teksta,programi za rad s tablicama, prezentacijski programi, programski jezici itd. Neki od specijaliziranih programskih alata namijenjenih upravo matematičkoj edukaciji su:

alati dinamičke geometrije poput The Geometer's Sketchpad, Geogebra, Cinderella, Cabri Geometry,

grafički alati (napr. Winplot, Dplot, Visio), profesionalni matematički programski sustavi (napr. Mathematica, Maple,

Derive).Računala, ili bolje rečeno informacijsko-komunikacijska tehnologija (ICT) u nastavnom se procesu koriste u nekoliko situacija: nastavnik ih koristi pri planiranju i pripremanju za nastavu i rad u školi; učenik kao pojedinac ih koristi van vremena provedenog u školi; nastavnik ih koristi pri radu sa cijelim razredom; grupa učenika ih koristi tijekom rada na školskom satu.

Pri planiranju i pripremanju za nastavni sat nastavnik treba iskoristiti mogućnost pristupa raznim vrstama nastavnog i popratnog materijala. Naime, na internetu i lokalnim elektronskim medijima postoji niz informacija i materijala koje će obogatiti dio sata namijenjen motiviranju učenika, obradi novog gradiva i uvježbavanju

1

obrađenog gradiva. Nastavnik će preuzeti one elektronske sadržaje koji će mu omogućiti efikasnije podučavanje i uvježbavanje nastavnog gradiva. Ne treba zanemariti ni mogućnost bržeg i racionalnijeg stvaranja i čuvanja dokumentacije vezane uz nastavni proces (planovi i programi – opći i za učenike s posebnim potrebama, pisane pripreme, kontrolne zadaće i ispiti znanja, statistike vezane uz vođenje razrednog odjela i drugih školskih i vanškolskih aktivnosti i sl). Također, pomoću ICT nastavnik lako dolazi u kontakt sa sustručnjacima matematičarima, s kolegama nastavnicima, s članovima pedagoško – psihološkog tima i ostalim osobama koje nastavniku mogu prenijeti korisna iskustva i pružiti savjet vezan uz izvođenje nastave matematike ili rad s učenicima. Da bi se ovakav pristup ostvario nastavnik mora ili imati vlastito računalo ili mora imati pristup računalu van školskog vremena. U Hrvatskoj već neko vrijeme traje akcija informatičkog opismenjavanja nastavnika u sklopu koje svaki nastavnik dobiva mogućnost pristupa internetu.S druge strane poželjno je da i učenik ima pristup računalu van školskog vremena i to bilo kod kuće bilo u školi van nastave ili na nekom drugom pogodnom mjestu (klubovi, knjižnice itd). Pri tome, učenik koristi računala za izradu domaćih zadataka, seminarskih i projektnih radova, za zabavu itd.Osvrnimo se i na situaciju kad nastavnik koristi računalo pri radu s cijelim razredom. Svjedoci smo opremanja škola sve većim brojem računala, tako da je realno očekivati da će nastavnik biti u mogućnosti organizirati nastavni sat iz matematike u specijaliziranoj učionici opremljenoj računalima, tj. u informatičkoj učionici. U takvoj će učionici nastavnik organizirati obradu i uvježbavanje gradiva tako da svaki učenik ili par učenika radi samostalno za računalom. No, nije ovakav oblik rada rezerviran samo za rad u informatičkoj učionici. Danas je uporaba džepnih kalkulatora postala uobičajena stvar u srednjoškolskoj matematici, a prema, prošle godine uvedenim promjenama, tako će biti i u osnovnoj školi. U bliskoj budućnosti očekuje nas situacija kad ćemo, koristeći džepnu tehnologiju, rad na računalima moći implementirati u svaki nastavni sat koji to dopušta po svom karakteru neovisno o tome imamo li mogućnost rada u specijaliziranoj učionici ili ne. Osim ovakvog individualnog rada na računalima, treba istaknuti i mogućnosti računala kao demonstracijskog nastavnog sredstva. Koristeći PC s projektorom, interaktivnu ploču i slični alat, nastavnik je u mogućnosti cijelom razredu prezentirati neki matematički sadržaj, demonstrirati izvjesnu pojavu i/ili zakonitost. Ponekad je na nastavnom satu moguće organizirati upotrebu nekoliko računala, ali u nedovoljnom broju za sve učenike. Česta je situacija da u razredu gdje se odvija nastava postoji par računala. Tada nastavnik može pripremiti materijal koji će omogućiti grupi učenika da odradi dio sata na računalu. To mogu biti učenici s posebnim potrebama, daroviti učenici ili, općenito, grupa učenika za koje smo pripremili poseban nastavni materijal .

Kao i svako drugo nastavno sredstvo tako i uporaba računala ima svoje prednosti, ali i nedostatke. Pri donošenju odluke kada, gdje, kako i zašto koristiti novu tehnologiju, nastavnik se rukovodi ovim osnovnim načelima:

odluka o tome kada i kako uporabiti ili ne uporabiti računalo ovisi o tome unapređuje li ta uporaba postojeću nastavnu praksu,

odluka mora biti direktno uvjetovana procjenom omogućava li uporaba računala efikasnije ostvarivanje ciljeva pojedine nastavne jedinice,

uporaba računala mora omogućiti i učitelju i učenicima da postignu nešto što ne bi mogli postići bez uporabe računala, odnosno učiteljima mora omogućiti poučavanje, a učenicima učenje efikasnije nego bez ove tehnologije.

2

Tako nećemo upotrebljavati kalkulator dok se ne svlada tablica zbrajanja i množenja, nećemo upotrebljavati software dinamičke geometrije ako učenici još nisu svladali upotrebu uobičajenog geometrijskog pribora. Opišimo jednu situaciju gdje je uporaba računala opravdana. U 7. razredu osnovne škole obrađuje se proporcionalnost i ciljevi te nastavne teme su usvajanje koncepta proporcionalnosti i primjena matematičkog postupka u zadacima iz svakidašnjice. I dok se prvi cilj može ostvariti proučavanjem različitih primjera proporcionalnih veličina gdje se obično ograničavamo na rad s prirodnim odnosno cijelim brojevima, drugi cilj će se efikasnije ostvariti dozvolimo li na tim satima uporabu kalkulatora. Naime, nakon što usvojimo ideju proporcionalnosti, primjenjujemo je na zadacima koje crpimo iz realnog svijeta. A u njima su i podaci realistični, dakle, vrlo često ne radi se o prirodnim i cijelim brojevima. No, dijelu učenika račun s razlomcima i decimalnim brojevima još uvijek nije postao automatizirana procedura te ako pri rješavanju zadataka zabranimo upotrebu kalkulatora ti učenici se suočavaju s nemogućnošću izvedbe točnog računa (prvo pri izračunu faktora proporcionalnosti, a zatim i pri izračunu nepoznate veličine). Drugim riječima, takav učenik ne može uspješno izraditi zadatak u kojem mi, u biti, ispitujemo dvije stvari: je li usvojio ideju proporcionalnosti i zna li izvesti račun.Dakle, u temama gdje je fokus na analizi problema, a ne na računu potrebnom pri rješavanju tog problema koristit ćemo računala. U takvim situacijama primjena računala omogućava slabijim učenicima preskakanje nekih (za tu temu) manje važnih postupaka i koncentriranje na usvajanje određenog matematičkog koncepta. Slična se situacija pojavljuje pri ispitivanju nekog geometrijskog svojstva. Umjesto da vrijeme trošimo na crtanje par posebnih slučajeva na temelju kojih ćemo pokušati učenike dovesti do zaključka, uporabom programa dinamičke geometrije fokus sata se prebacuje na analizu i izvođenje željenih zaključaka.

Upotreba računala značajno doprinosi učenju matematike pomažući učenicima pri uvježbavanju računanja, eksperimentiranju, stvaranju hipoteza koje se odnose na svojstva

geometrijskih likova, funkcija i brojeva, radu s realističnim podacima i s većim skupovima podataka, razvijanju logičkog mišljenja, stvaranju i modificiranju strategija rješavanja

omogućenim brzom povratnom informacijom, učenju pomoću slika (princip zornosti), razvijanju vještina i sposobnosti matematičkog modeliranja na temelju danih

podataka.Kratko rečeno, uporaba računala omogućava učenicima da se koncentriraju na

promišljanje o matematičkim idejama, na rješavanje problema na način koji je lakši i efikasniji nego bez tih alata. Tehnologija obogaćuje učenje matematike dozvoljavajući učeniku istraživanje i otkrivanje, a proširuje i vrste problema koji se mogu proučavati.

U nastavi matematike u osnovnoj školi u velikoj se mjeri obrađuju geometrijski sadržaji. Zato ću se osvrnuti na uporabu programa dinamičke geometrije. To su računalni programi koji su prvenstveno namijenjeni proučavanju i rješavanju planimetrijskih i stereometrijskih problema. Radi se o alatu koji nastavniku i učenicima otvara novi pogled na tradicionalne geometrijske sadržaje, te pomoću kojeg metoda istraživanja i eksperimenta dobiva novo, značajnije mjesto u nastavi matematike. U ovom trenutku postoje dva programa dinamičke geometrije koji su lokalizirani, tj. prevedeni na hrvatski jezik i koji okupljaju širu matematičku zajednicu oko izrade nastavnih materijala. To su Geogebra i Sketchpad. Oba programa

3

karakterizira mogućnost lakog mijenjanja položaja ucrtanih objekata dok odnosi među njima ostaju nepromijenjeni. Programi animiraju statičnu geometrijsku konstrukciju u pomičnu, dinamičnu sliku koja otkriva nove odnose među geometrijskim objektima koje je možda teško otkriti na klasičnim, statičnim crtežima. Pokazalo se da učenicima viših razreda pružaju izvrsnu motivaciju za učenje matematike i razvijanje interesa za predmet. Sljedećim je primjerom opisana primjena Sketchpada na jednom nastavnom satu matematike u 6. razredu osnovne škole provedenom u informatičkoj učionici.

Primjer. Zbroj kutova u trokutu

Radi se o nastavnoj jedinici 6. razreda osnovne škole. Cilj nastavne jedinice je dokazati i usvojiti tvrdnju da je zbroj veličina kutova u trokutu 180o. Učenici znaju pojam kuta, trokuta, vršnih kutova, kutova uz presječnicu, znaju svojstva vršnih kutova i kutova uz presječnicu. Kroz uvodno ponavljanje provedeno na početku sata učenici se podsjete tih pojmova i svojstava.

Središnji dio sata (20 min) posvećen je eksperimentiranju pomoću Sketchpada. Učenici provode na računalu konstrukciju opisanu na nastavnom listiću na koji zapisuju i svoje zaključke.

NASTAVNI LISTIĆ

1. Nacrtaj trokut ABC.

2. Izmjeri kutove ABC, BCA i CAB.

3. Što primjećuješ vezano uz kutove?________________________________

______________________________________________________________

4. Zbroji sve veličine kutove tog trokuta. Upiši rezultat na crtu. ____________

5. Pomakni točku A.

6. Što se dešava s veličinom kutova trokuta ABC?______________________

7. Što se dešava sa zbrojem veličina kutova?

______________________________________________________________

8. Pomakni točke B i C.

9. Što se dešava s veličinom kutova trokuta ABC?______________________

10. Što se dešava sa zbrojem veličina kutova?

_______________________________

11. Pokušaj zapisati tvrdnju._______________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

12. Točkom C povuci paralelu sa stranicom BC.

13. Povuci pravce AC i BC.

4

14. Na svakom od polupravaca s vrhom u C koji ne sadrže druge točke

trokuta označi po jednu točku – nazovi ih E, F, G, H.

15. Izmjeri kutove ECF, FCG i GCH.

16. Što primjećuješ? Pojavljuju li se na slici sukladni kutovi?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

17. Objasni zašto se to dešava?

______________________________________________________________

______________________________________________________________

18. Promijeni položaj točke C. Što primjećuješ?

_____________________________________________________________

______________________________________________________________

19. Bez izvođenja operacije zbrajanja izračunaj koliki je zbroj veličina kutova

ECF, FCG i GCH? Objasni zašto.

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Nakon izvođenja eksperimenta slijedi prezentacija i analiza rješenja. Na kraju se izvodi i zapisuje zaključak o zbroju kutova u trokutu i dokaz tog poučka. Novootkriveno znanje se primjenjuje na primjeru pravokutnog i jednakokračnog trokuta.

Slika 1. Izgled ekrana računala po završetku eksperimenta.

mFCE = 35mGCF = 92mHCG = 53

mABC+mBCA+mCAB = 180

mCAB = 35mBCA = 92mABC = 53

B A

CE

F G

H

5