Probabilidades conceptos básicos

7/26/2019 Probabilidades conceptos bsicos

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PROBABILIDADES:PROBABILIDADES:

NOCIONES BSICASNOCIONES BSICAS


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2. Experimento Aleatorio:2. Experimento Aleatorio:

Es aquel que no podemos predecir su ocurrencia.

Ejemplo: Ganar un juego de azar.

Conceptos bsicos:


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Es el conjunto formado por todos los resultados

posibles de un experimento.

3. Espacio muestral (E)Espacio muestral (E)

Ejemplo:

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es

E = {, !, 3, ", #, $%

Ejemplo:

&'u(ntos elementos tiene el Espacio )uestral si se lanza una

moneda * un dado de seis caras+

samos el principio multiplicati-o:

! $ = ! elementos


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3monedas

nmonedas

!!! = /posibilidades

!!!!!= !nposibilidades

Cuando un objeto puede caer de a maneras y se lanzan

nde esos objetos, el Espacio Muestral tiene #E a n

elementos.

E = {0c,c,c1, 0c,c,s1, 0c,s,c1, 0c,s,s1, 0s,c,c1, 0s,c,s1, 0s,s,c1, 0s,s,s1%

Ejemplo:Al lanzar tres dados de seis caras, el Espacio )uestral tiene

$3= !$ elementos

En el lanzamiento de monedas, la cantidad de resultados

posibles tambi2n se determina por el principio multiplicati!o:

moneda !posibilidades

E = {c, s%

!monedas !! = "posibilidades

E = {0c,c1, 0c,s1, 0s,c1, 0s,s1%.


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'orresponde a un subconjunto de un Espacio )uestral,

asociado a un experimento aleatorio.

En el lanzamiento de ! monedas, el Espacio )uestral es

E = {0c,c1, 0c,s1, 0s,c1, 0s,s1% * tiene " elementos.

nsucesoes que salgan dos caras, es decir {0c,c1%, quetiene elemento.

". E!ento o uceso:". E!ento o uceso:

En el lanzamiento de un dado &cu(ntos elementos tiene el

Espacio )uestral * cu(ntos el suceso que salga un n4mero

par5+

Ejemplo:

Ejemplo:

6uceso = {!, ", $%, 3 elementos

Espacio )uestral = {, !, 3, ", #, $%, $ elementos.


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$robabilidad:$robabilidad:

Una probabilidad es el clculo matemtico de las posibilidades que

existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar.

7or ejemplo:

!1 8os alumnos del curso de estad9stica aplicada tienen un#; de probabilidades de aprobar el ramo.

%e&inici'n%e&inici'n

En los ejemplos, se da la medida5 de la ocurrencia de une-ento que es incierto, * 2sta se expresa mediante un

n4mero entre * , o en porcentaje.

1 8a probabilidad de que


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ntuiti-amente podemos obser-ar que cuanto m(s probable

es que ocurra el e-ento, su medida de ocurrencia estar( m(s

pr>ximo a 5 o al ;, * cuando menos probable, m(s se

aproximar( a 5.

?e aqu9 se deduce que un


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!. $robabilidad cl*sica$robabilidad cl*sica

'asos posibles 'asos fa-orables70A1 =

Ejemplo:

&'u(l es la probabilidad de que al lanzar un dado com4n salga

un n4mero primo+

6oluci>n:

El Espacio )uestral E, est( dado por:

E={, !, 3, ", #, $%, por lo tanto posee $ elementos, es decir,

$ casos posibles.6ea A, el e-ento o suceso:A: que salga un n4mero primo, entonces se tiene que:

A={!, 3, #%, por lo tanto posee 3 elementos, es decir, 3 casosfa-orables.

Regla de Laplace


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70A1 =3

$

Entonces:

'asos fa-orables 0n4meros primos1: 30!, 3, * #1

'asos posibles: $0, !, 3, ", # * $1

7or lo tanto:

!

Ejemplo!:

Al lanzar ! monedas, &cu(l es la probabilidad de que las dos

sean caras+

'asos posibles: "

'asos fa-orables 0! caras1:

Entonces:

70! caras1 =

"

=


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8a probabilidad de que un sucesoocurra, o probabilidadde un suceso contrario5, se obtiene a tra-2s de:

70A1 = @ 70A1

A

E

A

3. +ipos de sucesos+ipos de sucesos

3. Probabilidad de un suceso contrario:Probabilidad de un suceso contrario:


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Ejemplo:

6i 8a probabilidad de que llue-a es , &cu(l es la probabilidad

de que llue-a+

!

#

6oluci>n:

70no llue-a1 = @ 70llue-a1

70no llue-a1= @ !

#3

#

70no llue-a1=


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6i se tiene certeza absoluta de que un e-ento Aocurrir(:70A1 =

Ejemplo:

8a probabilidad de obtener un n4mero natural al lanzar

un dado com4n es 0$ de $1.

$$

70natural1= =

'asos posibles: $0,!,3,",#,$1

'asos fa-orables: $0,!,3,",#,$1

3.2 $robabilidad de un suceso seuro:$robabilidad de un suceso seuro:


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Ejemplo:

8a probabilidad de obtener un n4mero ma*or que $ al lanzar

un dado com4n es 0 de $1.

70A1 =

'asos posibles: $0,!,3,",#,$1

'asos fa-orables:

$70ma*or que $1= =

3.3$robabilidad de un suceso imposible$robabilidad de un suceso imposible:

6i se tiene certeza absoluta de que un e-ento Aocurrir(:


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+-/01 %E $ACA+-/01 %E $ACA

El tri*nulo de $ascal en matem(tica es un conjunto infinito den4meros enteros ordenados en forma de tri*nulo que expresancoeficientes binomiales. El inter2s del ri(ngulo de 7ascal radica en suaplicaci'n en *lebra * permite calcular de forma sencilla n3meroscombinatorios lo que sir-e para aplicar el binomio de e4ton.

Cada nmero es la suma de los dos nmeros que estn sobre !l.

"

" "

" 2 "

" 3 3 "

" # $ # "


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6i se lanza una moneda una -ez, los casos posibles son: cara 0c1 > sello 0s1, que est( representado en la primera fila

del ri(ngulo de 7ascal: 5 5El total de casos posibles es 2.

6i se lanza una moneda dos -eces, los casos posibles son:'', '6, 6', 66, lo que implica que se tiene caso en queaparecen dos caras, ! casos distintos en que se obtiene una cara

* un sello, * caso en que se obtienen dos sellos, que est(representado en la segunda fila del ri(ngulo de 7ascal: 5 2 5El total de casos posibles es ".

Ejemplo:

En probabilidades el +ri*nulo de $ascal se utiliza como una t2cnicade conteo en la resoluci>n de problemas de iteraci>n de experimentossencillos, cuando el objeto considerado tiene dos posibilidades, porejemplo una moneda, sexo de un


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%&emplo:

Cul es la probabilidad de sacarexactamente tres caras con 4 monedas?


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%&ercicios:

1. Cul es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 2

monedas?

2. Cul es la probabilidad de sacar exactamente una cara con 4monedas?

3. Cul es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 6

monedas?


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". $-$E%A%E 6/CA$-$E%A%E 6/CA %E C/C1 %E%E C/C1 %E$-6A6%A%E$-6A6%A%E

#."8a probabilidad de que ocurra el suceso A > el suceso B.

Caso ":'uando A* Bson e-entos mutuamente excluyentes

est dada por:

70A

B1 = 70A1 C 70B1

70D!1 > 70#1 = 70D!1 70#1

Ejemplo:

Al lanzar un dado, &cu(l es la probabilidad de que salga un

n4mero menor que ! > ma*or que #+

6oluci>n: 70D!1 = $

= 70D!1 70#1C

70#1 = $*

$

= C $

= !$

= 3


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Caso 2:?e no ser mutuamente excluyentes:

Ejemplo:

Al lanzar un dado, &cu(l es la probabilidad de que salga unn4mero menor que # > un n4mero par+

6oluci>n:

"

$7 0menor que #1 =

'asos posibles ${,!,3,",#,$%

'asos fa-orables 0menor que #1: " {,!,3,"%

3

$

7 0n4mero par1 =

'asos fa-orables 0n4mero par1: 3 {!,",$%


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'omo 2* "son menores que #, * al mismo tiempo sonpares, se estar9an considerando como casos fa-orables

dos -eces.

7or lo tanto:

8a probabilidad de que salga un n4mero menor que # > un

n4mero par, al lanzar un dado se expresa como:

7 0D #1 > 70par1 = 70D#1 70par1 F 70D# par1 ,

= 70D #1 C 70par1 F70D# * par1

= C F"$

3$

!$

#$

=


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,A B70 1 = 70A1 70B1

En este caso, ambos sucesos ocurren simult(neamente, A * 6.

#.2 La probabilidad de que ocurra el suceso A* el suceso B,

siendo 2stos independientes.

Caso ":'uando A* Bson e-entos independientes, se cumple que:

Ejemplo:

&'u(l es la probabilidad de que al lanzar dos -eces un dado se

obtengan dos n4meros pares+

6oluci>n:

'asos posibles: $0,!,3,",#,$1 'asos fa-orables: 30!,",$1

Entonces:

70dos pares1 = 70par1 * 70par1 = P'par( ) P'par(

= 3

$

3

$=

"


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'orresponde a la probabilidad de B tomando como espacio

muestral a A, es decir, la probabilidad de que ocurra B

dado que n:

6: 6acar "

A: H4mero par = { !,",$ %

Ejemplo:

Al lanzar un dado, &cu(l es la probabilidad de obtener un "

sabiendo que


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%&ercicios:

*ol.: +,2

".


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Ejemplo:

6e tiene una bolsa con 3 pelotitas entre blancas * rojas, de

las cuales ! son blancas, todas de igual peso * tamaIo. 6i seextraen ! pelotitas al azar, con reposici>n, &cu(l es la

probabilidad de que ambas sean blancas+

6oluci>n:

'asos posibles: 3

'asos fa-orables: !

Entonces:

70dos blancas1 = 70blanca1 * 70blanca1

= 70blanca1 70blanca1

'asos posibles: 3

'asos fa-orables: !

7rimera extracci>n 6egunda extracci>n 0'on reposici>n1

#.3 Probabilidad conreposici-n.

3 3= !

!

J

""=

!#

"=


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Ejemplo:

6e tiene una bolsa con 3 pelotitas entre blancas * rojas, de

las cuales ! son blancas, todas de igual peso * tamaIo. 6i seextraen ! pelotitas al azar, sin reposici>n, &cu(l es la

probabilidad de que ambas sean blancas+

6oluci>n:

'asos posibles: 3

'asos fa-orables: !

Entonces:

70dos blancas1 = 70blanca1 * 70blanca1

= 70blanca1 70blanca1

'asos posibles: !J

'asos fa-orables:

7rimera extracci>n 6egunda extracci>n 06in reposici>n1

#.# Probabilidad sinreposici-n.

3 !J= !

/K

3!=

"#

!!=


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". Calcular la probabilidad de sacar un s de un mazo de /2 cartas en el primer

0ntento 1 luego sacar otro s, sin reposici-n.

2. *e sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otraro&a, otra erde 1 otra negra. Calcular la probabilidad de:

a(*acar una bola blanca 1 una bola ro&a, con reposici-n.

b(*acar una bola blanca 1 una bola ro&a, sin reposici-n.

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