Patricio Alcano Martnez Estadstica Aplicada a las Ciencias Sociales I: Estadstica Descriptiva I: Conceptos Bsicos Patricio Alcano Martnez Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales Casos y problemas resueltos Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos ReservadosPalabras inicialesEstimados usuari@s: Este material que pongo a su disposicin est creado a partir de situaciones en distintos mbitos de las Ciencias Sociales. Los datos han sido cambiados para ajustarlos a un criterio didctico. Por ello, la informacin y conclusiones que se puedan inferir, no son necesariamente vlidas. Este volumen est dirigido a tratar el tema del clculo de probabilidades y a los conceptos que lo sustentan. El lector deber manejar los conceptos y teoremas fundamentales de Probabilidades y exhibir competencia en el clculo de razones, proporcionalidad y tanto por ciento. Para trabajar con este material el usuario deber hacer uso de calculadora.Atentamente;Patricio Alcano Martnez2Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados3Ca s o1 :e s t u di oc on fa milia sEn una investigacin con familias, se definen los siguientes sucesos:H = la familia tiene hijos.R = la familia vive en sectores rurales.M = el jefe de familia es mujer.Escriba en forma algebraica los siguientes sucesos:1.1. La familia no vive en sectores rurales.1.2. La familia tiene hijos y vive en sectores rurales.1.3. El jefe de familia es mujer, pero no tiene hijos.1.4. La familia vive en sectores rurales o no tiene hijos.1.5. La familia no tiene hijos y vive en sectores rurales.1.6. El jefe de familia es mujer, dado que vive en sectores rurales.1.7. La familia no tiene hijos, dado que el jefe de familia es mujer.Solu c in :1.1. Corresponde a la negacin del suceso R.La familia no vive en sectores rurales = R1.2. Corresponde a una conjuncin de los sucesos H y R.La familia tiene hijos y vive en sectores rurales = H y R1.3. El jefe de familia es mujer, pero no tiene hijos = M y HTambin puede expresarse como M H 1.4. Es una disyuncin de dos sucesosLa familia vive en sectores rurales o no tiene hijos = R o H1.5. La familia no tiene hijos y vive en sectores rurales = H y R.Aplicando las propiedades se puede expresar H y R = R y H = R H.1.6. Es un suceso condicionalEl jefe de familia es mujer, dado que vive en sectores rurales = M/R1.7. Corresponde a un suceso condicionalLa familia no tiene hijos, dado que el jefe de familia es mujer = H/MProbabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados4Ca s o2 :de s e r c in e s c ol a rSe realiza un estudio sociolgico con estudiantes de educacin bsica, y se definen los siguientes sucesos:D = deserta del sistema escolar.A = ayuda econmicamente en su hogar.H = tiene hermanos en su familia.Escriba en lenguaje corriente a qu corresponden los siguientes sucesos:2.1. H =2.2. D y A =2.3. D/A =2.4. D o H =2.5. H D =2.6. H/D =Solu c in :2.1. H = No tiene hermanos en su familia.2.2. D y A = Deserta de sistema escolar y no ayuda econmicamente en su hogar.2.3. D/A = Deserta de sistema escolar dado que ayuda econmicamente en su hogar.2.4. D o H = Deserta de sistema escolar o no tiene hermanos en su familia.2.5. H D = Tiene hermanos en su familia, pero no deserta del sistema escolar.2.6. H/D = No tiene hermanos en su familia, dado que deserta del sistema escolar.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados5Ca s o3 :Su c e s osEl siguiente diagrama muestra los sucesos A y B definidos en el espacio muestralO , con sus correspondientes probabilidades de ocurrencia:A partir de esta informacin, calcule las siguientes probabilidades:3.1. P(B) = 3.2. P(B A) = 3.3. P(A y B)=3.4. P(A o B) = 3.5. P[(A o B)] = 3.6. P(B/A) =3.7. Son los sucesos A y B, independientes?Solu c in :En el diagrama falta el dato de la probabilidad de un segmento, en forma de media luna, del suceso B. Este se calcula por diferencia, ya que la suma de las probabilidades de todos los segmentos debe ser 1.De este modo, P(A) = 0,47; P(B) = 0,72 y P(A y B) = 0,34.3.1. P(B) = 0,13 + 0,15 = 0,28; o bien: P(B) = 1 0,72 = 0,283.2. P(B A) = 0,72 0,34 = 0,383.3. P(A y B)= 0,47 0,34 = 0,133.4. P(A o B) =0,13 + 0,34 + 0,38 = 0,853.5. P[(A o B)] = 1 0,85 = 0,15ABO0,340,130,15ABO0,340,130,150,38Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados63.6. P(B/A) = ) A ( P) B y A ( P= 0,34/0,47 = 0,7233.7. Son los sucesos A y B, independientes?Para que A y B sean independientes, debe darse que P(A y B) = P(A) P(B).Segn el diagrama: P(A) = 0,47; P(B) = 0,72 y P(A y B) = 0,34.Reemplazando:P(A y B) = P(A) P(B)0,34 = 0,47 0,72 Haciendo el producto en el segundo miembro:0,34 = 0,3384Como 0,34= 0,3384, se deduce que A y B no son sucesos independientes.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados7Ca s o4 :Is la Ne gr aEn la localidad de Isla Negra, son dos las atracciones principales para los turistas: (N) visitar la Casa de Neruda; (A) ir a la playa, ambas actividades independientes.Se sabe que, de los turistas que acuden al lugar, el 78% visita la casa de Neruda, el 42% va a la playa y el 27% realiza ambas actividades.Si un turista visita Isla Negra, calcular la probabilidad de que:4.1. No vaya a la playa4.2. Vaya a la playa, pero no visite la casa de Neruda4.3. No realice ninguna de estas dos actividades4.4. Visite la casa de Neruda, dado que va a la playa.4.5. Vaya a la playa, puesto que no visita la casa de Neruda4.6. Son estos dos sucesos, independientes?Solu c in :Para los efectos, se definirn los siguientes sucesos:N = el turista visita la casa de NerudaA = el turista va la playaEstn dadas las siguientes probabilidades:P(N) = 0,78; P(A) = 0,42 y P(A y N) = 0,274.1. Se pide P(A)Aplicando la propiedad correspondiente a sucesos contrarios:P(A) = 1 P(A) P(A) = 1 0,42 = 0,58La probabilidad de que un turista no vaya a la playa es 0,584.2. Se pide P(A N)Aplicando los teoremas correspondientes:P(A N) = P(A) P(A y N)P(A N) = 0,42 0,27 = 0,15La probabilidad de que un turista vaya a la playa, pero no visite la casa de Neruda es 0,15.Otra solucin:El enunciado puede interpretarse como P(A y N).Desarrollando la expresin, resulta P(A y N) = P(A) P(A y N), con idntico resultado que el anterior.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados84.3. Se pide P[(A o N)]Aplicando los teoremas correspondientes:P[(A o N)] = 1 P(A o N) . Este es el desarrollo de la aplicacin de sucesos contrarios.Ahora, la expresin P(A o N) se desarrolla como unin de sucesos.P[(A o N)] = 1 P(A o N) = 1 [ P(A) + P(N) P(A y N)]Reemplazando:P[(A o N)] = 1 (0,42 + 0,78 0,27) = 1 0,93 = 0,07La probabilidad de que un turista no realice ninguna de estas dos actividades es 0,07.4.4. Se pide P(N/A), que es la probabilidad de que ocurra N, dado que ocurre A.Aplicando la definicin de sucesos condicionales:P(N/A) ==) A ( P) N y A ( P42 , 027 , 0= 0,643La probabilidad de que un turista visite la casa de Neruda, dado que va a la playa es 0,643.4.5. Se pide P(A/N)Aplicando la propiedad correspondiente:P(A/N) ==) ' N ( P) ' N y A ( P= ) N ( P 1) N A ( P=) N ( P 1) N y A ( P ) A ( P78 , 0 127 , 0 42 , 0 =22 , 015 , 0= 0,682La probabilidad de que un turista vaya a la playa dado que no visita la casa de Neruda es 0,682.4.6. Para que los sucesos A y N sean independientes, debe darse que P(A y N) = P(A) P(N).Segn los datos: P(A) = 0,42; P(N) = 0, 78 y P(A y N) = 0,27Reemplazando:P(A y N) = P(A) P(N)0,27 = 0,44 0,78 Haciendo el producto en el segundo miembro:0,27 = 0,3276Como 0,27= 0,3276, se concluye que A y N no son sucesos independientes.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados9Ca s o5 :le n gu a a yma r aEn cierto poblado del norte de Chile, el 73% de los habitantes habla aymara, el 19% habla espaol, pero no aymara y el 42% habla ambas lenguas.A partir de estos datos, calcule la probabilidad de que una persona de este poblado seleccionada al azar:5.1. No hable espaol5.2. Hable aymara, pero no espaol5.3. No hable ninguna de las dos lenguas5.4. Hable aymara o espaol5.5. Hable espaol, ya que habla aymara5.6. Hable aymara, ya que no habla espaolSolu c in :Trazando un diagrama de Venn, se pueden calcular las probabilidades siguientes:Tambin es posible construir una tabla de contingencia con los datos dados:Habla AymaraHabla EspaolTotalS NoS 0,42 0,73No 0,19Total 1De este modo, se calcula la probabilidad de las otras celdas:Habla AymaraHabla EspaolTotalS NoS 0,42 0,31 0,73No 0,19 0,08 0,27Total 0,61 0,39 1Las probabilidades se pueden extraer directamente del diagrama de Venn o de la tabla:5.1. No hable espaol = 0,395.2. Hable aymara, pero no espaol = 0,315.3. No hable ninguna de las dos lenguas = 0,085.4. Hable aymara o espaol = 0,19 + 0,42 + 0,31 = 0,925.5. Hable espaol, ya que habla aymara = 0,42/0,73 = 0,5755.6. Hable aymara, ya que no habla espaol = 0,31/0,39 = 0,795AEO0,420,310,080,19Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados10Ca s o6 :Comu n i da dma pu c h eEn cierta comunidad, el 82% de las personas son descendientes de mapuche. Si se seleccionan al azar dos personas de esta comunidad, calcule la probabilidad de que:6.1. Ninguno de los dos sea descendiente de mapuche.6.2. Solo uno de ellos sea descendiente de mapuche.6.3. Los dos sean descendientes de mapuche.6.4. A lo menos uno sea descendiente de mapuche.6.5. A lo ms uno sea descendiente de mapuche.Solu c in :Sea el suceso M = la persona es descendiente de mapuche. Entonces:P(M) = 0,83 y P(M) = 1- 0,83 = 0,176.1. Se pide P(M y M).Aplicando la propiedad del producto de sucesos:P(M y M) = 0,17 0,17 = 0,0289La probabilidad de que ninguno de los dos sea descendiente de mapuche es 0,0289.6.2. Se pide P[(M y M) o (M y M)]Esto porque se puede dar dos posibilidades:1) El primero de M y el segundo M; o bien:2) El primero de M y el segundo MEntonces, aplicando la propiedad del producto y de la adicin de sucesos:P[(M y M) o (M y M)] = P(M) P(M) + P(M) P(M) = 0,83 0,17 + 0,17 0,83 = 0,2822.La probabilidad de que solo uno de ellos sea descendiente de mapuche es 0,2822.6.3. Se pide P(M y M).Aplicando la propiedad del producto:P(M y M) = 0,83 0,83 = 0,6889.La probabilidad de que ambos sean descendiente de mapuche es 0,6889.6.4. A lo menos uno significa: solo uno o los dos sean descendiente de mapuche.P(Solo uno sea M) = 0,2822, ya calculado en 6.2.P(Los dos sean M) = 0,6889, ya calculado en 6.3.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados11Entonces: P(Al menos uno sea M) = 0,2822 + 0,6889 = 0,9711, por la propiedad aditiva.La probabilidad de que a lo menos uno sea descendiente de mapuche es 0,9711.6.5. A lo ms uno significa: Ninguno o solo uno sea descendiente de mapuche.P(Ninguno sea M) = 0,0289, ya calculado en 6.1.P(Solo uno sea M) = 0,2822, ya calculado en 6.2.Entonces: P(A lo ms uno sea M) = 0,0289 + 0, 2822= 0,3111, por la propiedad aditiva.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados12Ca s o7 :Tr a s t or n ode la pr e n diza jeUna investigacin determin que en las escuelas municipales de cierta comuna, en el primer ciclo de educacin bsica, el 14% de los estudiantes presentan algn trastorno del aprendizaje.Si se seleccionan, uno a uno, estudiantes de esta poblacin hasta encontrar un estudiante con trastorno del aprendizaje, calcular la probabilidad de que este resulte:7.1. En la primera extraccin7.2. Solo a la segunda extraccin7.3. Solo a la tercera extraccin7.4. Solo a la cuarta extraccinSolu c in :Sea el suceso T = el estudiante presenta trastorno del aprendizaje.Entonces P(T) = 0,14 y P(T) = 1 0,14 = 0,867.1. En la primera extraccin P(T) = 0,1400.7.2. Para que resulte T en la segunda extraccin, en la primera debe resultar T.Llevando al lgebra de sucesos:P(T en la segunda extraccin) = P(T y T).Aplicando la propiedad del producto:P(T y T) = 0,86 0,14 = 0,12047.3. Para que resulte T en la tercera extraccin, en la primera y la segunda deben resultar T.Llevando al lgebra de sucesos:P(T en la tercera extraccin) = P(T y T y T).Aplicando la propiedad del producto:P(Ty T y T) = 0,86 0,86 0,14 = 0,10357.4. Para que resulte T en la cuarta extraccin, en la primera, la segunda y la tercera deben resultar T.Llevando al lgebra de sucesos:P(T en la tercera extraccin) = P(T y T y T y T).Aplicando la propiedad del producto:P(T y Ty T y T) = 0,86 0,86 0,86 0,14 = 0,0890Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados13Ca s o8 :Fa mi lia s s e g n in t e gr a n t e sLa tabla de frecuencias siguiente muestra el N de integrantes de un grupo de familias segn su nmero de integrantes:Integrantes Familias234568273923118.1. Cul es la probabilidad de que en esta comunidad una familia tenga ms de 4 integrantes?8.2. Cul es la probabilidad de que en esta comunidad una familia tenga 2 o 3 integrantes?8.3. Si se seleccionan 2 familias al azar, cul es la probabilidad de que ambas tengan 4 integrantes?8.4. Si se seleccionan al azar 3 familias con menos de 5 integrantes, cul es la probabilidad de que las tres tengan 2 integrantes?Solu c in :Sumando todas las familias da un total de 108.X fi23456827392311E 1088.1. Casos favorables: 23 + 11 = 34Casos totales = 108Aplicando la definicin de Laplace:= > ) 4 x ( P =108340,31488.2.Casos favorables: 8 + 27 = 35Casos totales = 108Aplicando la definicin de Laplace:= = v = ) 3 x 2 x ( P =108350,3241Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados148.3.Primero se calcula la probabilidad de que x = 4.Casos favorables = 39Casos totales = 108Aplicando la definicin de Laplace:= = ) 4 x ( P =108390,3611Para que se produzca dos veces el mismo suceso, se aplica la regla del producto:P(2 familias con x = 4) = 0,3611 0,3611 = 0,1304.8.4.Primero se calcula la probabilidad de que x < 5.Casos favorables = 8 + 27 + 39 = 74Casos totales = 108Aplicando la definicin de Laplace:= < ) 5 x ( P =108740,6852Para que se produzca tres veces el mismo suceso, se aplica la regla del producto:P(3 familias con x 4):P(x > 4) = P(x=5) + P(x=6) = 0,11 + 0,09 = 0,20.15.3. El valor esperado de una distribucin discreta como est dado por:E(x) = 1 0,07 + 2 0,21 + 3 0,33 + 4 0,19 + 5 0,11 + 6 0,09 = 3,33E(x) = 3,33 integrantes por familia.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados271 6 . Con c u r s ode t e le vis i nEn concurso de la televisin, el conductor del programa lanza un par de dados y registra la suma de sus caras en una pantalla. Una vez hecho esto, el concursante lanza los dos dados y, si obtiene una suma mayor, gana el premio, de lo contrario, pierde.16.1. Cul es el espacio muestral del experimento del lanzamiento de los dados por parte del concursante?18.2. Si el conductor obtuvo suma 5, Cul es la probabilidad de que el concursante pierda?Solu c in :16.1. El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles de este. En el caso relatado el espacio muestral es:= O {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}16.2. Si el conductor obtuvo suma 5, para que el concursante gane debe obtener suma 6 o ms, hasta 12.Los casos favorables son los siguientes:Suma 6: (5, 1), (1, 5), (4, 2), (2, 4) y (3, 3). Casos favorables = 5Suma 7: (6, 1), (1, 6), (5, 2), (2, 5), (4, 3), (3, 4). Casos favorables = 6Suma 8: (6, 2), (2, 6), (5, 3), (3, 5) y (4, 4). Casos favorables = 5Suma 9: (6, 3), (3, 6), (5, 4) y (4, 5). Casos favorables = 4Suma 10: (6, 4), (4, 6), y (5, 5). Casos favorables = 3Suma 11: (6, 5)y (5, 6). Casos favorables = 2Suma 12: (6, 6). Casos favorables = 1Total casos favorables: 26Total casos posibles: 36, que es la combinacin de las 6 caras de un dado con las 6 del otro.Aplicando la definicin de probabilidad de Laplace:P(Suma > 5) ==36260,7222En estas condiciones, el concursante tiene una probabilidad 0,7222 de ganar.Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados281 7 . Elh ombr e de l t ie mpoSegn el hombre del tiempo de un canal de televisin, la probabilidad de que llueva hoy es de 0,42.Si llueve hoy, la probabilidad de que llueva maana es de 0,56, mientras que si hoy no llueve, la probabilidad de que llueva maana es de 0,77.Con estos datos calcule la probabilidad de que:17.1. Hoy no llueva17.2. Llueva hoy y maana17.3. Llueva maana, ya que hoy no llovi.17.4. Llueva maana17.5. Si maana no llueve, haya llovido hoy.Solu c in :Sean los sucesos:H = llueve hoyM = llueve maanaLas probabilidades dadas son las siguientes:P(H) = 0,42P(M/H) = 0,56P(M/H) = 0,77Para mejorar la comprensin y el clculo, se traza el siguiente diagrama de rbol.17.1. Se trata solo de la negacin del suceso H = llueve hoy.Entonces, P(H) = 1 0,42 = 0,58.17.2. Se trata de la conjuncin de los sucesos H y M:Entonces, P(H y M) = 0,42 0,56 = 0,2352.M/HM/HM/HM/HHH0,420,580,560,770,440,23Probabilidades Aplicadas a las Ciencias Sociales-Problemas resueltosClculo de probabilidades: Conceptos bsicosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados2917.3. Es una probabilidad condicional, que pide la probabilidad de que maana llueva, condicionado al hecho de que hoy no llovi. Es decir, se pide P(M/H).Siguiendo la rama correspondiente del diagrama y aplicando la regla del producto, se llega a que dicha probabilidad es igual a:P(M/H) = 0,58 0,77 = 0,4466.17.4. Se pide P(M)Este suceso se puede dar de dos formas, tal como se muestra en el diagrama de rbol:Aplicando la regla del producto y de la suma:P(M) = 0,2352 + 0,4466 = 0,681817.5. Se pide P(H/M):Desarrollando la expresin:) ' M ( P) ' M y H ( P) ' M / H ( P = =) M ( P 1) M y H ( P ) H ( PLas probabilidades del numerador son, de acuerdo al diagrama, a las reglas operatorias y clculos ya hechos:P(H) = 0,42; P(M) = 0,6818; P(H y M) = 0,2352) ' M / H ( P == 6818 , 0 12352 , 0 42 , 0 =3182 , 01848 , 0= 0,5808.Entonces, si no llueve maana, la probabilidad de que haya llovido el da anterior (hoy) es 0,5808.M/HM/HM/HM/HHH0,420,580,560,77P(H y M/H) = 0,42 0,56 = 0,2352P(H y M/H) = 0,58 0,77 = 0,4466= 0,6818 +