Probabilidades fundamentos (1)

PROBABILIDADES

Lic. MARIZA CARDENAS PINEDA

PROBABILIDAD

Es la medida

numérica de la

posibilidad de que un

evento pueda ocurrir.

Su valor está entre 0

y 1

Cierto

Imposible

.5

1

0

ASIGNACION DE PROBABILIDADES

En la asignación de probabilidades deben satisfacerse dos requisitos básicos de probabilidades

i . Para cada resultado experimental Ei . 0 ≤ P(Ei) ≤ 1 , y

ii. P(E1) + P(E2) + … + P(En) = 1

► Métodos para asignar valores probabilísticos

♦ METODO CLASICO : Método de asignar probabilidades basado en la hipótesis de que los resultados experimentales son igualmente posibles

- Probabilidad a priori o probabilidad objetiva o lógica

- No será apropiada para tratar problemas económicos o administrativos

Enfoques de la probabilidad

Probabilidad clásica: se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son igualmente posibles.

Utilizando el punto de vista clásico,

posibles resultados de totalnúmero

favorables resultados de número= eventoun de adProbabilid

5-4

Ejemplos: Al lanzar un dado .¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par? En una baraja de cartas. ¿La probabilidad de que al extraer una carta resulte una espada ?

♦ METODO DE FRECUENCIA RELATIVA: es un método

de asignar probabilidades con base en la experimentación o en datos históricos

- Probabilidad experimental, empírica o a posteriori

- Dado A :

P(A) = Nº. de veces que ocurrió A

Nº. total veces que se repitió experimento

♦ Se lanza un dado seis veces en cada ensayo, se observa

la frecuencia del número uno. Se han obtenido los siguientes resultados:

ENSAYOS Número de 1

observados

Frecuencia

relativa

1 1 1/6

2 2 2/6

3 0 0/6

4 1 1/6

5 0 0/6

6 1

7 2

8 2

9 0

10 0

Frecuencia Relativa

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

0 25 50 75 100 125

Número de Lanzamientos

Total de Caras

Número de Lanzamientos

Probabilidad Subjetiva: La probabilidad de que suceda un evento específico que asigna una persona con base en cualquier información disponible.

- Probabilidad asignada bajo un criterio personal, basado en cualquier tipo de evidencia disponible

- Implica un grado de creencia personal

Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que un equipo de fútbol gane el campeonato este año.

5-10

Enfoques de la probabilidad

Experimentos y Eventos

¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 sello si arrojamos una moneda una vez?

Posibles Resultados de Número

Favorables Resultados de Número Prob

5.02

1

,

sc

s


¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 cara si arrojamos una moneda tres veces?



375.08

3

)(),(),(),(),((csc),),(),(

)(),(),(

ssssscscsscccssccsccc

sscscscss

C

S

C

C

C

C

C

S

S

S

S

S

S

C

ÁRBOL DE

PROBABILIDADES


¿Si lanzamos 2 dados, cuál es la probabilidad de obtener un puntaje de 7?



1667.0

36

6

6

)1,6(),2,5(),3,4(),4,3(),5,2(),6,1(2


¿Cuál es la probabilidad de sacar un as al sacar un naipe de una baraja?



0769.0

13

1

52

4

Naipes 52

Espadas de As Diamantes, de As Tréboles, de As Corazones, de As

Diapositiva 13

Definiciones

Experimento Aleatorio ◦ Actividad que origina un evento.

◦ Proceso de hacer una observación y obtener un resultado.

Evento ◦ Uno o más de los posibles resultados de un

experimento.

Espacio Muestral ◦ Todos los posibles resultados de un experimento.

Lanzar una moneda Cara, Sello.

Lanzar dos monedas CC, CS, SC, SS

Sacar una carta (valor) 2, 2, ..., A (52)

Sacar una carta (color) Roja, Negra

Lanzar un dado. 1, 2, 3, 4, 5, 6

Jugar un partido Ganar, Empatar, Perder

Inspeccionar una producto Defectuoso, Bueno

Experimento aleatorio Espacio Muestral

1 Cara y 1 Sello CS, SC

Cara en la 1ra. Moneda CC, CS

Al menos una Cara CC, CS, SC

Cara en cada lanzamiento CC

Experimento: Lanzar dos monedas

Espacio Muestral: CC, CS, SC, SS

Evento Resultados

Diapositiva 16

Clases de Eventos Eventos Mutuamente Excluyentes

◦ Dos o más eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo.

◦ A: Reina de Corazones; B: Reina de Espadas

Los eventos A y B son mutuamente excluyentes.

Eventos No Mutuamente Excluyentes ◦ Dos o más eventos que si pueden ocurrir al

mismo tiempo.

◦ A: Naipes de Corazones; B: As

Los eventos A y B no son mutuamente excluyentes.

El As de Corazones

Mutuamente Excluyentes

Evento A Evento B

Espacio Muestral

No Mutuamente Excluyentes

Evento B Evento A

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

1. P(A) ≥ 0

2. P(Ω) = 1

Consecuencias

- 0 ≤ P(A) ≤ 1

- P(Φ) = 0 Probabilidad de un evento imposible

- P(AUA’) = P(A) + P(A’) = 1

Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos:

a) Que salga el número 6, y

b) Que salga un número par.

a). UN SUCESO PUEDE ESTAR CONTENIDO EN

OTRO: entonces, la probabilidad del primer

suceso será menor que la del suceso que lo

contiene.

P(A) = 1/6 = 0,166 P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad

del suceso contenido.

suceso a), es menor que la probabilidad del

suceso que lo contiene, suceso b).

PROBABILIDAD DE SUCESOS O EVENTOS

Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b).

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos

sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo

de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.

b). DOS SUCESOS PUEDEN SER IGUALES: en

este caso, las probabilidades de ambos sucesos

son las mismas.

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 3.

P(A L B) = 2 / 6 = 0,33

La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.

Su probabilidad será por tanto:

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3.

El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50

P (A L B) = 2 / 6 = 0,33 Por lo tanto, P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6.

Por lo tanto: P(A U B) = 0,33 + 0,166 = 0,50

P(A) = 2 / 6 = 0,333 P(B) = 1 / 6 = 0,166

La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.

La probabilidad del suceso (A) es igual a :

P(A) = 3 / 6 = 0,50

Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:

P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50

P(B) = 1 - P(A)

Por lo tanto: P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1

Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar.

La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a: P(A) = 3 / 6 = 0,50 P(B) = 3 / 6 = 0,50

GRACIAS

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