PROBABILITAS/PELUANG

Hikmah Agustin,SP.,MM

Pengertian • Probabilitas atau peluang:

• Merupakan ukuran numerik tentang seberapa sering peristiwa terjadi. Semakin besar nilai probabilitas menyatakan bahwa peristiwa itu akan sering terjadi & digunakan untuk mengukur derajat kepastian atau keyakinan

• Probabilitas atau Peluang dilambangkan dengan P.

Rumus Peluang (P)

Dimana :

P(E)= Peluang Kejadian E

m= banyaknya kejadian E

n = jumlah keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

n

m EP

RUMUS

• Bila kejadian E terjadi dalam “m” cara dari seluruh “n”cara yang mungkin terjadi dimana masing-masing n cara tersebut mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian E adalah :

Contoh:

Hitung probabilitas memperoleh kartu hati/waru bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge yang lengkap!

Jawab:

Jumlah seluruh kartu = 52

Jumlah kartu hati = 13

Misal E adl kejadian munculnya kartu hati, maka :

52

13

n

m EP

Statistika – Hikmah Agustin,SP.MM

Ruang Sampel, Titik Sampel dan Kejadian

Ruang sampel (sample space) atau semesta mrpkn himpu-nandari semua hasil (outcome) yang mungkin dari suatu percobaan(experiment).

Ruang sampel dilambangkan dengan S dan anggota-anggotanya disebut titik sampel.

Titik sampel (sample point) anggota atau elemen dari ruangsampel

Kejadian (event) merupakan himpunan bagian dari ruang sam-pel atau dari hasil yang muncul pada suatu percobaan statistik

Contoh Ruang SampelPada pelemparan 2 uang logam :

a. Tentukan ruang sampel!

b. Bila A menyatakan kejadian munculnya sisi-sisi yang sama dari 2 uang logam tersebut, tentukan probabilitas kejadian A!

Jawab :

a. Ruang sampelnya :

b. A = {(,g,g),(a,a)} , maka n(A) = 2 dan n(S) = 4, sehingga probabilitas kejadian A adalah :

Uang logam 2

g a

Uang

Logam 1

g (g,g) (g,a)

a (a,g) (a,a)

2

1

4

2

Sn

An AP

PROBABILITAS MAJEMUK(2 kejadian)

Maka banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah :

Kejadian majemuk adalah gabungan atau irisan kejadian Adan B, maka probabilitas kejadian gabungan A dan B adalh:

BAn-n(B) n(A) BAn

BAP-P(B) P(A) BAP

BA

S S

AB

PROBABILITAS MAJEMUK(3 Kejadian)

Untuk 3 kejadian maka :

Maka Probabilitas majemuknya adalah :

CBAPCBP-CAP-BAP-CPBPAP CBAP

BA

S

C

Contoh 1. Kejadian Majemuk!

Diambil satu kartu acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila A adalah kejadian terpilihnya kartu As dan B adalah kejadian terpilihnya kartu wajik, makahitunglah !

Jawab :

13

4

52

16

52

1

52

13

52

4

BAPBPAP BAP Maka

wajik)As(kartu 52

1 BAP ,

52

13 BP ,

52

4 AP

Contoh 2

Peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adalah 2/3 dan peluang ia lulus Statistika adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut?

Jawab :

Misal A = kejadian lulus Kalkulus

B = kejadian lulus Statistika

45

14

5

4

9

4

3

2

BAPBPAPBAP

BAPBPAPBAP

5

4BAP ,

9

4BP ,

3

2AP

DUA KEJADIAN SALING LEPAS

Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S dan berlaku maka A dan B dikatakan dua kejadi-an yang saling lepas.

Dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan.

Dengan demikian probabilitas adalah :

0BA

BA

BA

S

BPAPBAP

Contoh (Dua Kejadian Saling Lepas)

Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan probabilitas munculnya muka dua dadu dengan jumlah 7 atau 11!

Jawab :

Misal A = kejadian munculnya jumlah 7

B = kejadian munculnya jumlah 11

Tentukan ruang sampelnya dulu! Dari ruang sampel akan diperoleh :

A = {(6,1),(5,2),(4,3),(2,5),(1,6),(3,4)}

B = {(6,5),(5,6)}

Maka yang berarti A dan B saling lepas.

P(A) = 6/36 , P(B)=2/36 sehingga

9

2

36

8

36

2

36

6BPAPBAP

0BAP

Statistika&Probablilitas

Latihan !!

1. Dalam pelemparan dua buah dadu satu kali, A menyatakan kejadian munculnya jumlah angka dari kedua mata dadu adalah 10, sedangkan B menyatakan kejadian angka yang muncul dari kedua mata dadu adalah angka yang sama, maka hitunglah nilai :

a.P (A) b. P(B)

2. Salah satu cara mengetahui probabilitas suatu kejadi-an adalah dengan diagram pohon. Gambarkan ruang sampel dengan diagram pohon dan tentukan nilai prob untuk 5 kali pelemparan: • Hitung probabilitas muncul 2 gambar

• Hitung probabilitas muncul 3 gambar

PERMUTASI & KOMBINASI

Hikmah Agustin,SP.,MM

PERMUTASI

Pengertian

Permutasi adalah suatu pengacakan dari objek-objek dengan

memperhatikan urutannya. Permutasi merupakan bentuk khu-

sus aplikasi prinsip perkalian

Ciri Permutasi

• Urutan diperhatikan

• Perulangan tidak diperbolehkan

• Dinotasikan:

)!(

!),(

rn

nrnP

Contoh permutasi

Tentukan permutasi dari huruf ABCDEAmbil 3 huruf dari 5 huruf tersebut.

r = 3 dan n = 5 maka permutasi 3 dari 5 huruf ABCDE adala

h

Jadi banyaknya permutasi 3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.

Permutasi berjenis …

• Permutasi dari sebagian anggota yang sama. Banyaknya permutasi yang berlainan dari n sampel bila n1 berjenis I, n2 berjenis II, …, nk berjenis k

!!!

!

2121 kk nnn

n

nnn

n

Soal & solusi

• Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ?

• S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}Huruf M = 1 buahHuruf I = 4 buahHuruf S = 4 buahHuruf P = 2 buah

Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah jmlh elemen “S”Maka Permutasi :

Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah

Contoh

Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3diantaranya berwarna merah,2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat.

Berapa jumlah cara pewarnaan ?

• Diketahui :

n1 = 3

n2 = 2

n3 = 2

n4 = 5

• Jumlah cara pewarnaan :

Permutasi>>

n = 12

cara

PPnnnnnP 166320

!5!2!2!3

!12

!5!2!2!3

12,12)5,2,2,3;12(),,,;( 4321

2. KOMBINASI

• Kombinasi adalah bentuk khusus dari permutasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungakn maka dalam kombinasi hal ini diabaikan.

• Perbedaan permutasi dengan kombinasi :Permutasi : urutan kemunculan diperhitungkanKombinasi : urutan kemunculan diabaikan

• Rumus :

C=

Atau dapat ditulis

!!

!

rrn

n

)!(!

!),(

rnr

nrnC

Contoh Kombinasi

Berapa tim Basket yang dapat dibentuk dari 12 org?

JAWAB:

Urutan pemain tidak diperhatikan (abc = bac)

Jadi, banyak tim:792

!7!5

!12)5,12( C

Kombinasi Pengulangan

• Terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak

Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

C(n,r) Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1 buah bola, maka jumlah cara

memasukkan bola ke dalam kotak adalah :C(n+r-1, r)

Maka rumusnya : C(n+r-1, r)

• adalah membolehkan adanya pengulangan elemen n buah objek akan diambil r objek dengan pengulangan diperbolehkan

Contoh

• Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ?

Jawab :

n = 5 orang anakr1 = 20 buah apelr1 = 15 buah jeruk

• 20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20)

• 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)

• Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah carapembagian kedua buah tersebut adalah :

C(24,20) . C(19,15) =……………?

Contoh

• Toko roti “Lezat” menjual 8 macam roti. Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ?

Jawab :

n = 8 macam rotir = 1 lusin = 12 buah roti

• Misalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti.

• Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti)yaitu :

C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)