Problema “della funzione iniettiva”

Dare un esempio, se possibile, di una funzione

f:[-1,1] R, iniettiva, tale che f(0)= -1 e tale che .

2)()( limlim

11

==−→→

xfxfxx

Una possibile soluzione f:[-1,1]R tale che

f(x)=13 −− x

se ]0,1[−∈x

53 +− x

se )1,0(∈x

2− se x = 1

2

-1 1

-1

Problema “della funzione iniettiva”

Soluzione grafica 6

Soluzione analitica 2

Soluzione sia grafica che analitica 3

Nessuna soluzione 2

L’uso del registro grafico, a volte, permette la costruzione di un esempio tramite tentativi successivi. Un esempio significativo di questo modo di procedere è costituito dall’intervista di Vanessa relativa al problema della funzione iniettiva (E)

Problema della funzione iniettiva,Vanessa, Matematica

I2: “Questa verifica tutte le ipotesi?”

V3: “Ah non è iniettiva!”

V4: “Tu non mi chiedi che sia continua, allora la potrei spezzare”

• I3: “Questa volta è iniettiva?”• V5: “Ah no, non lo è! I valori da 0 a 2 della y sono

assunti due volte!” (…)• V10: “Potrei considerarla fatta così la funzione, anche

se non credo che il limite in -1 vada bene”

• I5: “Ma questa è iniettiva?”• V11: “No, hai ragione non lo 蔕 (…)• V15: “Potrei farne un pezzo che arriva a 2 da

sotto e uno da sopra…”

• L’esempio di Vanessa avvalora la teoria, sostenuta da Arcavi (2003), per cui la visualizzazione può ricoprire un ruolo centrale nella procedura di problem solving

• Rodd (2000) mette l’accento su un altro aspetto: la visualizzazione permette il controllo

contemporaneo di numerose ipotesi, racchiudendo tante informazioni differenti in un’unica rappresentazione globale

• Sfard (1991)Sfard (1991)

Concept definition, concept image e concept usage

• Tall e Vinner (1981) hanno fatto una distinzione fra la definizione (concept definition) di un oggetto matematico e la struttura cognitiva che la nostra mente associa a quel concetto (concept image)

• Moore (1994) ha rilevato anche un terzo aspetto della comprensione di un concetto: il concept usage. Questo si riferisce al modo in cui ciascuno opera con un determinato concetto al fine di generare esempi o dimostrazioni

• Gli studenti hanno spesso difficoltà in relazione alle definizioni formali: alcuni non le ricordano, altri hanno difficoltà nel gestirle

• Queste difficoltà riguardano spesso i concetti di base (funzione, funzione iniettiva, funzione inversa, limite e discontinuità) e si riscontrano anche negli studenti “esperti”

• Un caso significativo è quello di Linda, alle prese con il problema della funzione iniettiva (E)

Problema della funzione iniettiva, Linda, Matematica

“La funzione avrà un asintoto orizzontale in y =2 . Quindi in 1 e in –1 la funzione deve tendere a 2”

Limite come avvicinarsi senza mai raggiungere

e superare

“Se la prendo in modo che in 1 e in –1 la funzione è un po’ sotto a 2 e un po’ sopra a 2, la funzione è iniettiva e verifica i limiti richiesti”

“Dunque, per non essere continua il limite da destra e da sinistra dovrebbero essere diversi, ma qui c’è un limite solo da sinistra, quindi c’è poco da verificare…Quindi, non ho il limite globale, per cui la continuità non è che mi interessi più di tanto in quei punti. A questo punto entrambi i limiti devono essere uguali ai valori della funzione in quel punto, perché sono punti del dominio e non mi pongo problemi sulla continuità. Allora salta l’iniettività”

Concetto di continuità e discontinuità

• Linda fa riferimento ad una caratterizzazione del concetto di discontinuità che sembra oscurare la reale concept definition e questo comporta un suo concept usage non appropriato

• Alla base di queste difficoltà di Linda può esserci l’usuale approccio ai concetti di limite e di discontinuità

• In effetti, promuovere un determinato concept usage, incentrato su una tipologia di esempi particolari, può portare ad una parziale concept definition.

• A volte, invece, il riferimento ad esempi può essere fondamentale per capire una definizione formale e per arricchire la concept image di un concetto

• Un caso in cui il lavoro su di un esempio chiarisce una definizione formale è stato osservato nell’intervista a Letizia, sul problema della funzione iniettiva

Problema della funzione iniettiva, Letizia, Matematica

“Forse il fatto è che nei tratti dove sto definendo la funzione io la voglio continua, ma potrebbe non esserlo. Se io la definisco in 1 come -2, in modo che sia iniettiva, allora il mio problema adesso è vedere quanto vale il limite per x che tende a 1 di questa funzione. Non lo so quanto vale, voglio dire guardando il grafico direi che il limite vale –2 e non 2”

• “Ah ma c’è l’intorno bucato! Voglio dire, ti scrivo la definizione di limite

Devo escludere il punto verso cui tende la x, quindi va bene, la funzione che ho disegnato va bene, tende a 2 e per x che tende a 1”

• “Che bello questo esercizio! Finalmente ho capito perché nella definizione di limite bisogna escludere il valore del punto, ho capito il significato di intorno bucato del punto!”

Conclusioni

L’attività di produzione di esempi:

• può essere utile per la formazione e il consolidamento di concetti base (dell’Analisi Matematica)

• può far emergere alcune difficoltà degli studenti ed aiutarli a superarle

Differenze riscontrate fra le risoluzioni proposte da studenti del Corso di Laurea in

Matematica e studenti di altri Corsi di Laurea

• I primi si sono mostrati più propensi a proporre dimostrazioni di tipo analitico, deducendo da teoremi noti i risultati ipotizzati nella loro fase esplorativa del problema. I non Matematici, invece, si sono mostrati più inclini a fornire argomentazioni basate su osservazioni di tipo grafico

• Nell’attività di costruzione di esempi, i Matematici hanno mostrato maggiori difficoltà, causate da una loro tendenza alla generalizzazione. Tale generalizzazione, talvolta, ha fatto perdere di vista percorsi intuitivi che potevano portare alle conclusioni richieste