Processamento de Sinais

Processamento de Sinais2015-1

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Processamento de Sinais

Engenharia Eltrica - 7o perodo

Hlio Marques [email protected]

http://linuxtech.com.br/downloads


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Horrios das aulas Quarta

19:00 s 20:40

Sexta 19:00 s 20:40


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Bibliografia Referncias

Sinais e Sistemas Simon Haykin e Barry Van Veen

Sinais e Sistemas Lineares Bhagawandas P. Lathi

Sinais e Sistemas Alan V. Oppenheim & Adam S. Willsky

Introduo ao Processamento Digital de Sinais Jos Alexandre Nalon

A Internet !

E muito mais !

Vejam: http://bookboon.com


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Programa Introduo Sinais e sistemas de tempo discreto Representao em em frequncia Transformada de Fourier

Resposta em frequncia e Aplicaes de DFT Sistemas FIR e IIR

Analise espectral de sinais Transformada Z Filtros digitais

Projetos de filtros digitais FIR e IIR


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Introduo e reviso Definies

Sistema Entidade que manipula um ou

mais sinais consequentemente gerando novos sinais.

Sinal Uma funo de uma ou mais

variveis veiculando informaes sobre a natureza de um fenmeno fsico.

Sinal de entradaSistema

Sinal de sada


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Exemplos Sistemas ?

Sinais ?


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Aplicaes de processamento de sinais


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Aplicaes de processamento de sinais Controle

Controle e automao industrial Comunicaes

Transmisso de informaes Analgica e Digital

Processameno de sinais Extrao e alterao de sinais

Modulao, Filtros, Melhoramento Transmisso, Armazenamento, Exibio

Eficiencia e Confiabilidade !


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Anlise de sinais biolgicos Sinais cerebrais : EEG : Eletroencefalografia Sinais cardiacos : ECG : Eletrocargiografia Imagens mdicas: Raio X, PET, MRI)

PET : Positron EmitionTomography MRI : Magnetic Ressonance Imaging

Deteco de atividades anormais Auxlio aos diagnsticos


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PET SCAN


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Ondas cerebraiscom ruidos difcieis de interpretar


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Exemplo: Imagem jpeg

43K 13K 3.5K

Jpeg usa transfomada de cosseno discreta (Similar Transformada de Fourier)

JPEG: Joint Photografic Experts


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Biometria Identificao de uma pessoa usando

caracteristicas fisiolgicas

Exemplos Identificao digital Reconhecimento facial Reconhecimento de voz


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Processamento de sinal de udio Cancelamento de ruidos

Filtro adaptativo de rudos Fones utilizados em cockpits Efeitos em udio digital Adiao de efeitos musicais

Atraso, eco e reverberao Separao de sinal de udio

Separar falas de interferncia Separar som do vento da msica em carros


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Sistema de Comunicao

Transmissor Canal Receptor

Sinal da mensagen

Sinal transmitido

Sinal recebido

Estimativa do sinal da mensagem recebido

Atenuao de sinal


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Sinal e Rudo

SNR = Signal Noise Ratio SNR=P signalP noise


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Algumas distores de sinais


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Reviso matemtica - 1Nmeros e Quantidades

Representao Numrica : Bases numricas

Conjuntos

Discretos ( ) : 0 .. + : - .. +

Contnuos( ) : - .. + : x + j y

x e y

=+/-1

0


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Trigonometria Seno, Cosseno, Tangente, ...


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Crculo e Senoide


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Grficos trigonomtricos


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Relaes Trigonomtricas - 1

sin2 x + cos2 x=1

cotg (x)= 1tan (x)

sin (x)=sin (x)

cos(x) = cos(x)

cosec(x)= 1sen(x)

tan (x) = sin( x)cos( x)

tan (x) =tan ( x)

tan (x+ y) = tan (x)+ tan ( y)1tan ( x) tan ( y)

tan (x y) = tan (x)tan ( y)1+ tan ( x) tan ( y)

sec(x)= 1cos(x)


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Relaes Trigonomtricas - 2

sin (x y)=sin (x)cos( y)cos(x)sin ( y)

cos(x y)=cos(x)cos( y)sin (x)sin ( y)

sin (x)cos(x) = 12

sin (2x)

tan ( x2) =

1cos(x)sin (x)

=sin (x)1+cos( x)

E muito mais !


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Viagem de uma onda senoidal


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Comprimento de onda


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Dependncia de x e ty = sin (kx t)


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Reviso matemtica - 2Vetores Fasores


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Tangente


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Reviso : Nmeros ComplexosZ=x2+ y2 Z


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Reviso - FasoresSenoide :

Z=Z


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MatrizesSoma de matrizes


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Matrizes

Multiplicao de matrizesPor constante

Por matrizMultiplicao de matrizes


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Limites Seja S uma sequncia de nmeros reais

x1, x2, x3, x4,

lim(xi) = L quanto maior for o valor de I

Para uma funo f(x) real


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Clculo Integral Seja

y = f (x) a integral

representa a rea delimitada pela curva do ponto a at b e a reta real.

F(x) = = F(b) - F(a)

F(x) =


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Integral indefinida

Integral imprpria

f (x)dx

f (x)dx


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Derivativo ou derivada

Notao de Leibinitz :

Notao de Lagrange : f'(x)

f ' ( x) ou dfdx

( x)


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Derivativa geomtrica


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Algumas regras de derivadas


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Regras de derivadas (1/4)(cf )'=cf '

( f +g)'= f '+g '

( fg )'= f ' g+ fg '

( fg)'= f ' g fg '

g2

( f g) '=( f ' g)g '

d (c)dx

=0

d (x)dx

=1

d (cx)dx

=c

d (xc)dxc

=cxc1onde ( f g)= f (g (x))


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Regras de derivada (2/4)d ( 1

x)

dx=d ( x

1)dx

=x2= 1x2

d ( 1xc)

dx=d ( x

c)dx

= cxc+1

d ( x)dx

= d x12

dx=1

2x1

2= 12x1

2= 12 x


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Regras de derivada (3/4)d (sen(x))

dx=cos(x)

d (cos(x))dx

=sen( x)

d ( tan (x))dx

=sec2(x)= 1cos2 x

d (sec(x))dx

=tg (x) sec(x)

d (cotg (x))dx

=cosec2(x)= 1sen2 x

d (cosec(x))dx

=cosec( x)cotg (x)

d (arcsen (x))dx

= 11x2

d (arccos( x))dx

= 11x2


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Regras de derivada (4/4)d (arctg (x))

dx= 1

1+ x2

d (arcsec (x))dx

= 1x(x21)

d (arccotg ( x))dx

= 11+x2

d (arccosec (x))dx

= 1x(x21)

d (senh( x))dx

=cosh (x)=(ex+ex)

2

d (cosh (x))dx

=senh(x)=(ex+ex)

2

d ( tanh( x))dx

=sech2(x)

d (sech(x))dx

=tanh (x)sech( x)


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Sinais Frequncias Amplitudes Fases


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Frequncias e Harmnicas


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Harmnicas acumuladas


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Modulao de sinais


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Modulaes bsicas


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Modulao PSK Phase Shift Keying


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Modulao FSK Frequency Shift Keying


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Fator de qualidade de sinal


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Superposio positiva


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Reflexo fixa e livre


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Incidncia, Superposio e Reflexo

= massa/comprimento da linha = densidade da linha


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crescente


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decrescente


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Potncia

P (t)=dWdt

= F.dsdt

=F.v

P (t)=v2 A2 cos2(kx t)

Paverage=12v2 A2


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Intensidade

I= P4 r2


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Radiao de somVdeo: radiation.mpeg


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Radiao de luz


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Disperso da luz


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Ressonncia


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Soma, subtrao de sinais

y1 = sin (k1x1 1t)

y2 = sin (k2x2 2t)

y = y1 +/- y2


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Exemplo


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Multiplicao de de sinais

y1 = sin (k1x1 1t)

y2 = sin (k2x2 2t)

y = y1 * y2


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Algumas ferramentas Matlab

$3000 a $4000 http://www.mathworks.com/

Scilab opensource

http://scilab.org Sage

opensource http://www.sagemath.org/


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Senoidal pura

Y = sin(x) -->x=[0:0.1:6*%pi]; -->plot(sin(x));


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Senoidal e harmnicas paresY = sin(x)+sin(2*x) Y = sin(x)+sin(2*x)+sin(4*x)


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Senoidal e harmnicas paresY = sin(x)+sin(2*x)+sin(4*x)+sin(6*x)+sin(8*x)+sin(10*x)+sin(12*x)+sin(14*x)


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Senoidais e harmnicas pares subtrativasY = sin(x)-sin(2*x)-sin(4*x)-sin(6*x)-sin(8*x)-sin(10*x)-sin(12*x)-sin(14*x)


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Senoidal pura

Y = sin(x) -->x=[0:0.1:6*%pi]'; -->plot(sin(x));


72 / 256

Senoidal e harmnicas mparesY = sin(x)+sin(3*x) Y = sin(x)+sin(3*x)+sin(5*x)


73 / 256

Y = sin(x)+sin(3*x)+sin(5*x) + + sin(13*x)

Senoidal e harmnicas mpares


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Onda quadrada

Real :


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Aproximaes da onda quadrada

1

2

3

4

1Senoide pura

Quarta aproximao


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Srie de Fourier Seja a onda quadrada f(x) de comprimento 2L

f (x)= 4 n=1,3,5,. ..

1n

sin( n xL

)


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Sries de Fourier bsicas


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Srie simplesOnda dente de serra


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Onda dente de serra


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Onda triangular


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Domnio no tempo x frequncia


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Exemplo com 3 frequncias


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Transformada de Fourier Definio:

Seja a Funo integrvel f :

Relaciona as funesno domnio do tempocom as funes no

domnio da frequncia


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Domnios em frequncia e tempo


85 / 256

Anlise de FFT no Scilab 1/2-->// FFT Transform-->N = 100; // nmero de elementos do sinal-->n = 0:N - 1; -->w1 = %pi/5; // 1a frequncia-->w2 = %pi/10; // 2a frequncia-->s1 = cos(w1*n); // 1o componente do sinal-->s2 = cos(w2*n); // 2o componente do sinal-->f = s1 + s2; // signal-->plot(n, f);


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// A Transformada de Fourier do sinalF = fft(f); // Calcula a Transformada de FourierF_abs = abs(F); // F_abs o valor absoluto de cada elemento de F-->plot(n, F_abs(F);

Anlise de FFT no Scilab 2/2


87 / 256

FFT com rudos


88 / 256

DFT: Transformada de Fourier DiscretaLista finita de amostragens igualmente espaadas

Lista de coeficientes de uma combinao finita de senoides


89 / 256

DFT do sinal f-->// FFT Transform-->N = 100; // nmero de elementos do sinal-->n = 0:N - 1; -->w1 = %pi/5; // 1a frequncia-->w2 = %pi/10; // 2a frequncia-->s1 = cos(w1*n); // 1o componente do sinal-->s2 = cos(w2*n); // 2o componente do sinal-->f = s1 + s2; // signal-->plot(n, f); -->plot(dft(f, 1));


90 / 256

Ondas estacionrias


91 / 256

Sinais, corrente e campo magntico


92 / 256

Energia e Potncia de um sinal

P (t)=v (t)i (t)= 1Rv2(t)

No intervalo de tempo t1 a t2 :

p(t)dt=t1

t2 1Rv2(t)dt

Potncia mdia no intervalo de t1 a t2 :

1(t2t1)t1

t2

p(t)dt= 1(t2t1)t1

t2 1Rv2(t)dt


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Energia total Tempo contnuo

Tempo discreto

Elim T

x(t )2dt=

+

x (t)2dt

Elim N n=N

+N

x [n]2= N=

+

x [n]2


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Potncia mdia Tempo contnuo

Tempo discreto

Plim T1

2T

x(t)2dt

Plim N1

2N+1 n=N+N

x [n]2


95 / 256

Transformaes Varivel independente

Ajuste de controles Melhoria dos sinais Eliminao de rudos Equalizao ...


96 / 256

Exemplos de transformaes


97 / 256

Deslocamento no tempo Sinais

x(n) e x(n t0) Idnticos na forma Deslocados um em relao ao outro x(n t0)

Atrasado se t0 positivo Adiantado se t0 negativo

Exemplos Radar, sonar, sinais ssmicos, ...


98 / 256

Reflexo no tempo Sinais

x(n) e x(-n) Espelhado em relao a n=0


99 / 256

Escala do tempo

x (t)

x (n t )

x (t /n)


100 / 256

Escala do tempo e deslocamento

x (t) x ( t+)


101 / 256

Sinais no peridicos


102 / 256

Simetria Simetria par

Contnuo Discreto x(-t) = x(t) x[-n] = x[n]

Simetria mparContnuo Discreto

x(-t) = -x(t) x[-n] = -x[n]

Deve ser 0 em t = 0 ou n = 0 !


103 / 256

Sinais senoidais e exponenciais Sinal exponencial complexo

x(t) = Ceat

C e a so complexos

Sinal exponencial Real

Se C e a so reaisx(t) exponencial real

A > 0 A < 0


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Sinais senoidais e exponenciaiscomplexas peridicas

Peridica com perodo T x(t) = x(t + T)

Senoidal x(t) = A cos(0-t + )

e jw 0 t=e jw0 ( t + T)


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A cos(0-t + ) =

1 > 2 > 3

T1 < T2 < T3

Frequncia fundamental e Perodo


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Potncia Mdia

E perodo=0

t0

e j0 t2dt=0

t0

1.dt=T 0

P perodo=1T 0

E perodo=1


107 / 256

Soma de 2 sinais

x (t)=e j2t+e j3tSoma de 2 sinais exponenciais complexos, por exemplo:

Colocando a exponecial em evidncia:

x (t)=e j2.5t (e j0.5+e j0.5t)

Reescrevendo, utilizando a equao de Euler:

x (t)=2e j2.5t cos(0.5t)

x (t )=2cos(0.5t)

Obtendo o mdulo de x(t) :

eix=cos(x)+i sin (x)


108 / 256

Soma de 2 sinaisx (t )=2cos(0.5t)Forma de onda do sinal


109 / 256

Soma de 2 sinaisx (t )=2cos(0.5t)Forma de onda do sinal


110 / 256

Senoide pura e sua FFT


111 / 256

-->x=[0:0.2:8*%pi]

-->f1=sin(x)

-->f2=sin(x + %pi/3)

-->plot(f1, blue)

-->plot(f2, green)

-->plot(f1+f2, red)

Anlise senoides deslocadas /3


112 / 256

-->plot(fft(f1+f2), magenta )

Transformada de Fourier


113 / 256

Transformada de Laplace Seja uma funo f(t)

F(s) a transformada de Laplace de f(t)

S um nmero complexo :

Outra notao:

s=+i


114 / 256

-->x=[0:0.2:8*%pi]

-->f1=sin(x)

-->f2=sin(x + %pi/5)

-->plot(f1, blue)

-->plot(f2, green)

-->plot(f1+f2, red)


Anlise senoides deslocadas /5


115 / 256

-->x=[0:0.2:8*%pi]

-->f1=sin(x)

-->f2=cos(x)

-->plot(f1, blue)

-->plot(f2, green)

-->plot(f1+f2, red)


Anlise de seno e cosseno


116 / 256

Sinais exponeciais complexos gerais Considerando exponencial complexa Ceat

C expresso na forma polar

a expresso na forma retangular

Expandindo usando Euler:

C=Ce j

a=r+ jw0Ceat=Ce j e(r+ j0)t=Cert e j (0t+)

Ceat=Cert cos(0 t+)+ jCert sin (0t+)


117 / 256

Formas de onda

Para r > 0

Para r < 0


118 / 256

Sinais discretos


119 / 256

Sinais senoidais discretos


120 / 256

Sinais crescentes ou decrescentes


121 / 256

Funo impulso unitrio- discreto

0,n0

1,n=0={u [n]=

k=

0

[nk ] u [n]=k=0

[nk ]ou

Intervalo do somatrio Intervalo do somatrio


122 / 256

Degrau unitrio tempo discreto

0, n


123 / 256

Degrau unitrio tempo contnuo

1, t>0

0, t


124 / 256

Aproximao do degrau unitrio

Aproximao contnua do degrau unitrio, u(t )

1

0

u(t)

Pulso curto de durao com rea unitria independente de


125 / 256

Impulso unitrio tempo contnuoQuando0, (t) tornase mais estreito emais altomantento sua rea unitria .

(t)

1

0 t

(t)=lim0

(t) Em geral, um Impulso k (t) :

t

k ()d =ku(t)

k (t)

k

0 t


126 / 256

Sistemas de tempo contnuo e de tempo discreto

Sistema de tempo contnuo

x(t) y(t)

Sistema de tempo discreto

x[t]y[t]


127 / 256

Exemplo de sistema contnuo

+- Vc

Vs

R

iC

i(t)=(V s(t )V c(t))

Ri(t)=C

dvc(t )dt


128 / 256

Exemplo de sistema contnuo

f

pv

dv (t)dt

= 1m

f (t) pv (t)

dv (t)dt

+ pmv (t)= 1

mf (t )


129 / 256

Interconexes de sistemas

Sistema 1 Sistema 2

Entrada Sada

Entrada

Sistema 1

Sistema 2

+ Sada


130 / 256

Interconexes de sistemas

Entrada

Sistema 1

Sistema 3

+

'

Sada

Sistema 2

Sistema 4


131 / 256

Propriedades de sistemas Sem memria

Com memria

y (t)=x (t )

y (n)=k=

n

x (k )

y (n)=x (n1)

y (n)= 1C x (t )dt


132 / 256

Sistema inverso

x(n) SistemaSistema inverso

y(n)w(n) = x(n)

Sistema inversvel => Existe sistema inverso


133 / 256

Exemplos

x(t) SistemaSistema inverso

y(t)w(t) = x(t)

2)

1) y (t)=2x (t ) w (t)=12y (t)

y [n]= x (k ) w [n]= y [n]y [n1]


134 / 256

Sistemas no inversveis

1)

2)

y [n]=0

y (t)=x2(t )


135 / 256

Aplicaes Comunicaes

Codificadores Transmisso de dados codificados Privacidade

Transmisso de cdigos de verificao Integridade Confiabilidade


136 / 256

Causalidade A sada em qualquer tempo depende dos

valores de entrada somente nos instantes presentes e passado. Sistema no antissipativo

Exemplo

+- Vc

Vs

R

iC


137 / 256

Sistemas causais

1)

2)

3)

y (n)= x (k )

y (n)= x (n1)

y (t)= 1C i (t)dt


138 / 256

EstabilidadeSistemas estveis:

Pequenas entradas produzem respostas que no so divergentes.

x(t)y(t)y(t)

y(t)

x(t)

Pndulo estvel Pndulo invertido instvel


139 / 256

Estabilidade

Se a entrada para um sistema estvel limitada a sada tambm deve ser limitada.

f

vLimite da velocidade: aumento da fora de atrito !

vm= Fm V=

F


140 / 256

LinearidadeSistema com a importante propriedade de superposio

Entrada soma ponderada de sinaisSada tambm uma soma ponderada de sinais

-2 2

x1(t) y

1(t)

-1 1

0 4

x2(t) = x1(t-2)

y2(t)

0 2

1 1Linear

No linear


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Invarincia no tempo

O comportamento e as caractersticas do sistema so fixos ao longo do tempo.

Exemplo: Circuito RC com R e C constantes

Um sistema invariante no tempo se um deslocamento no tempo do sinal de entrada resulta um deslocamento idntico no sinal de sada.

x[n] y[n]

ento

x[n - t] y[n - t]

Exemplo: sin(x(t))


142 / 256

Verificao de linearidadeSeja y(t) = x2(t)

E x1(t), x

2(t) e x

3(t)

Ento x

1(t)-> y

1(t) = x2

1(t)

x2(t)-> y

2(t) = x2

2(t)

x3(t)-> y

3(t) = x2

3(t)

= (ax1(t) + bx

2(t))2

= a2x1

2(t)+b2x2

2(t) + 2abx1(t)x

2(t)

= a2y1(t)+b2y

2(t) + 2abx

1(t)x

2(t)

Especificando x1(t), x

2(t), a e b de tal forma que

y3(t) ay

1(t)+by

2(t)

Exemplo: x1(t) = 1 , x

2(t) = 0, a = 2 e b = 0

y3(t) = [2x

1(t)]2 = 4

Mas 2y1(t) = 2[x

1(t)]2 = 2 logo o sistema no linear


143 / 256

Exerccio

Seja o sinal x(t) de tempo contnuo abaixo:

Esboce os sinais:

a) x(t 1)

b) X(2 t)

c) x(2t + 1)

d) x(4 - t/2)

Problema 1.21 do livro Sistemas e Sinais - Oppenheim


144 / 256

Sistemas lineares discretosinvariante no tempo

Seja o sinal x[n] representado em (a)

E uma sequncia de 5 impulsos unitrios de (b) a (f).O fator de escala do impulso igual o valor de x[n] no instante da amostra.


145 / 256

Impulsos


146 / 256

Impulsos

A soma das 5 sequncias igual a x[n] para -2


147 / 256

Degrau unitrio

x[n] = u[n]u[k] = 0 para k < 0 u[k] = 1 para k >= 0

Propriedade seletiva do impulso unitrio de tempo discreto.

u [n]=0

[nk ]


148 / 256

Representao por soma de convoluesEntrada arbitrria:

Resposta:

Sada:

Sistema Linear Invariante no Tempo (LIT) Deslocado no tempo h

k[n] = h

0[n-k]

Soma de convoluo ouSoma de superposio

y [n]=k=

+

x [k ]hk [n]

x [n ]

hk [n]

y [n]=k=

+

x [k ]h [nk ]

y [n]=k=

+

x [k ]hk [n]


149 / 256

Calcule a convoluo y[n] = x[n]*h[n] para os seguintes pares de sinais

Problema 2.21 do livro Sistemas e Sinais - Oppenheim

Exerccio

x [n ]=nu [n]h [n ]=nu [n ]

x [n ]=nu [n]h [n ]=n u [n]

a)

b)

c) x [n ]=12

n

u [n4]h [n ]=4nu [2n]


150 / 256

Integral de convoluoSistema de tempo discreto => Sistema que responde a uma sequncia de inpulsos

Aproximao em degraus Para um sinal de tempo contnuo

Se se aproxima de 0 :

e o somatrio se aproxima da integral

x (t)= x (k )(tk )

x (t)=lim x (k )(tk )0

x (t)= x () (t)dt


151 / 256

Representao grfica


152 / 256

Propriedades de sistemas LIT Comutativa

Ou seja, em tempo discreto:

x [n ]h [n]=h [n]x [n ]=k=

+

h [k ] x [nk ]

E em tempo contnuo:

x (t)h(t )=h (t)x (t)=

+

h () x (t)d


153 / 256

Propriedades de sistemas LIT Distributiva

x [n ](h1[n]+h2[n])= x [n ]h1[n]+ x [n ]h2[n]


154 / 256

Propriedades de sistemas LIT Inversveis


155 / 256

Propriedades de sistemas LIT Causalidade

y[n] no deve depender de x[k] para k > n

h[n] = 0 para n < 0


156 / 256

Propriedades de sistemas LIT Estabilidade

h [k ]


157 / 256

Sistemas LIT descrita em equaes diferenciais

Com entrada x(t) = Ke3tu(t)

Soluo particular, equao diferencial homognea

Determinando Y

dy (t)dt

+2y (t )=x (t)

y (t)= y p(t )+ yh(t )

dy (t)dt

+2y(t)=0 y p(t )=Ye3t

3Y+2Y=K Y= K5 y p(t )=

Ke3t

5


158 / 256

Diagrama de blocosA equao

y[n] = -ay[n-1] + bx[n]

Pode ser representada pelo diagrama:

-a

+x[n]b

y[n]

D

y[n-1]

Sistema discretocom memria!


159 / 256

Diagrama de blocosSistema contnuo

dy (t)dt

+ay (t)=bx (t)

y (t)=1ady (t)dt

+ ba+x (t)Reescrita :


160 / 256

Diagrama de blocosRepresentao dos elementos bsicos

+

x2(t)

x1(t)

a)

b)

c)

x(t)

x(t) Ddx (t )dt

x1(t)+ x2(t)

a ax (t)


161 / 256

Resoluody (t)dt

+ay (t)=bx (t)dy (t)dt

=bx (t)ay (t)

Integrando

y (t)=

t

[bx ()ay ()]d

-1/a

+x(t) y(t)

D

b/a

dy (t)dt


162 / 256

Representao como integrador

t

x ()d

+

-a

bx(t) y(t)

y (t)= y (t0)+t0

t

[bx ()ay ()]d

y(t0) o valor inicial: memria do integrador.


163 / 256

ExerccioRepresente o diagrama de blocos para os seguintes sistemas

a)


164 / 256

Exerccio

b)

Represente o diagrama de blocos para os seguintes sistemas


165 / 256

ExerccioRepresente o diagrama de blocos para os seguintes sistemas

c)


166 / 256

Funes de singularidade Impulso unitario de tempo contnuo

(t) e a resposta ao impulso identidade

x (t)=x (t)(t)

(t)=(t)(t)

Para qualquer sinal (t)Ento:

Pulso retangular:

r(t)=(t)(t)

Quando0 impulso unitario.


167 / 256

Interpretaes


168 / 256

Interpretaes


169 / 256

Interpretaes


170 / 256

Impulso unitrio e convoluoPara suficientemente pequeno, os sinais

(t) , r (t) , r (t) (t) , e r (t )r (t)Agem todos como impulsos quando aplicados a um sistema LIT.

(t) pode ser definido como o sinal para o qual :x (t)=x (t )(t) (como0)


171 / 256

ExemploSe x(t) = 1, para todo t

1=x (t)=x (t)(t )(t)x (t)

+

() x (t)d =

=

+

()d rea unitria


172 / 256

Outra definioSinal arbitrrio

g (t)Espelhado

g (t)

g (t)=g (t )(t)=

+

g (t)()d

Convoluo com (t)

Para t = 0

g (0)=

+

g ()()d


173 / 256

Outro exemploConsidere um sistema LIT onde a sada a derivada da entrada

y (t)= dx (t )dt

A resposta a derivada do impulso unitrio

dx (t )dt

=x (t )u1(t ) para qualquer sinal x (t)

Segunda derivada de (t)d 2x (t )dt2

=x (t)u2(t)u2(t)=u1(t)u1(t)

A k-sima derivadauk=u1(t)...u1(t )


174 / 256

ExemploSinal constante

x (t)=1

0=dx (t)dt=x (t)u1(t)

Temos

+

u1() x (t)d =

+

u1()d =

Convoluo de g (t)comu1(t)

+

g (t )u1()d =g (t)u1(t )=

dg (t)dt

=g ' (t)= Cont.


175 / 256

Exemplo (continuao)Para t = 0

g ' (0)=

+

g ()u1()d =


176 / 256

Exerccio

Sendo:x(t) a fora aplicada a massay(t) o deslocamento da massa

Determine a equao diferencial que relaciona x(t) com y(t)


177 / 256

Exerccio

K = Coeficiente de elasticidade = 2 N/mM = Massa = 1 kgB = Constante de amortecimento = 2 N s/m

Sendo:x(t) a fora aplicada a massay(t) o deslocamento da massa

Determine a equao diferencial que relaciona x(t) com y(t)


178 / 256

Soluo


179 / 256

Circuitos e diagrama de blocosCircuito


180 / 256

Diagrama de blocos


181 / 256

Outro sistema

Ri (t)+v0=vi (t) 1C i(t)dt=v0(t)

RCdv0(t)dt

+v0(t )=vi (t)

Condiao inicial: Vc = 0


182 / 256

Resolvendo a equao diferencialvo(t)=A(1e

t /RC)

Valor de regime considerando tv0()=lim t v0(t)=A

Aplicando a transformada de Laplace

R.I (s)+v0(s)=vi (s)I (s)sC

=v0(s)

v0(s)v i (s)

= 1RCs+1

=

1(RC )

s+( 1RC

)


183 / 256

Diagrama de blocos


184 / 256

Serie de Fourier Soma de um conjunto de senos e cosenos

Exponenciais complexos

Ver fourier.mpeg


185 / 256

Resposta dos sistemas LIT as exponenciais complexas

estTempo contnuo

Tempo discreto

zn

H (s)est

H ( z) zn

Apenas mudana de amplitude.


186 / 256

Exemplo Sistema LIT de tempo contnuo com resposta

ao impulso h(t)

y (t)=

+

h() x (t)d

+

h()es (t)d =

Fazendo e s(t) e st es como

y (t)=est

+

h()es d Temos

y (t)=H (s)est

Convergindo, resulta

H (s)=

+

h()es d onde


187 / 256

Filtros de tempo contnuo em equaes diferenciais

RCdv c(t )dt

+vc(t)=v s(t )

Resposta em frequncia:

H ( j)

Entrada

Sada

v s(t )=ej t

vc(t)=H ( jw)ej t

Filtro passa baixas


188 / 256

Substituindo vs e v

t ...

RCdv c(t )dt

+vc(t)=v s(t )

RC ddt[H ( j)e j t ]+H ( j)e j t=e j t

RC jH ( j)e j t+H ( j)e j t=e j t

H ( j)e j t= 11+RCj

e j t

ou H ( j)= 11+RCj


189 / 256

Filtro passa alta simples

RCdv r(t)dt

=V r(t)=RCdvs(t)dt

Sendo a entrada: v s(t )=ej t

E a sada: v r(t)=G ( j)ej t

Ento: G( j)= j RC1+ j RC


190 / 256


191 / 256

Grfico de magnitude


192 / 256

Fase da resposta em frequncia


193 / 256

Outros filtros - 1He j He j


194 / 256

Outros filtros - 2

He j He j


195 / 256

Outros filtros


196 / 256

Caractersticas de filtros Frequncia de corte

Potncia de sada metade da potncia de entrada

Constante de carga em regime transitrio

Frequncia angular de ressonncia

Fator de qualdade de um par de polos ou zeros


197 / 256

Funo de transferncia

Circuito do FiltroT(s)v i(s) vo(s)

T (S )=V 0V 1

(S )=A(Sz1) .(Sz2)...(Szm)(S p1) .(S p2)...(S pn)


198 / 256

Polos e Zeros

T (S )=V 0V 1

(S )=A(Sz1) .(Sz2)...(Szm)(S p1) .(S p2)...(S pn)

Os zeros de um filtro correspondem aos valores de S que anulam o numerador da funo de transferncia

Os plos do filtro correspondem aos os valores de S que anulam o denominador de T(S)


199 / 256

Filtro T(s) frequncia angular


200 / 256

Filtro passa alta


201 / 256

Filtro passa banda


202 / 256

Filtro rejeita banda


203 / 256

Circuitos bsicos


204 / 256

Equaes


205 / 256

Equao resumidaTS= 1

S +1onde =RC= L

RUm nico polo para S=t1

Plano de Argand


206 / 256

Anlise do circuito

ic(t)=C vc(t ) t

=v i(t )vc(t )

Rv0(t )+RC

v0(t ) t

=v i(t)

Soluo : v0(t)=A.l tRC

Soluo particular para degrau unitrio : v0(t)=u(t )


207 / 256

Representao

A. l tRC+1

v0(t)={ para t00 para t


208 / 256

Filtro passa altas


209 / 256

RepresentaoResposta ao degrau unitrio de um filtro passa altas


210 / 256

Filtro passivo de 2a ordem

V 0V 1

(s)=

1SC

R+SL+ 1C

= 1S 2 LC+SRC+1

=

1LC

S 2+S RL+ 1LC


211 / 256

Forma geral

T (S )=A.0

2

S 2+S0Q+0

2

onde 0=1

(LC ) e Q=1R LC

Resolvendo o denominador

S 2+S0Q+0

2=0 S=0Q0

2

Q240

2

2dependente de Q


212 / 256

Calculando o fator de qualidade

S=0Q0

2

Q240

2

20

2

Q240

2=0 02

Q2=40

2 Q2= 14 Q=

12=0.5


213 / 256

No plano de Argand


214 / 256

Singularidades do filtro


215 / 256

Resposta do filtro


216 / 256

Filtros e Transformada de Fourier - 1

Filtro passa-baixas


217 / 256

Filtro passa-altas

Filtros e Transformada de Fourier - 2


218 / 256

Filtros ativos Filtragem e Amplificao

Ganhos > 1 ( maiores que 0 dB) Componentes usados:

Amplificadores operacionais Transistores FETs, Vlvulas


219 / 256

Filtro ativo passa baixas de primeira ordem

V iV R1

= V V o

R 2 //1SC

V iR1

= V o(R 2+ 1SC )

R21SC

V oV i

= R2R1 1SR 2C+1

Plando de Argand


220 / 256

Anlise do filtro ativo de 1a ordemvi( t )R1

= C vo( t ) t

v o( t )R2

= vo( t ) + R2C vo( t ) t

= R2R1

vi( t )

v o( t )=v c( t )Dado que

Soluo vo( t )=A

tR2C vo( t )=

R2R1u ( t )

e

Resposta ao degrau vo( t )={At

R2CR2R1

t0

0 t


221 / 256

Representao


222 / 256

Filtro ativo passa altas de primeira ordem - 1

V iV

R1+1SC

= VV o

R2

V i

R1+1SC

= V oR2

V oV i

=R2R1

ASR1C

SR1C+1

Funo de transferncia T (S ) = A S S +1

onde =R1C A=R2R1

e

No plano de Argand


223 / 256

Ganho esttico quando S T (S=0) =

R2R1 S S +1

= 0 T (S) = R2R1

A S S +1

= R2R1

Diagrama de Bode

Filtro ativo passa altas de primeira ordem - 2


224 / 256

Resposta ao degrau unitriovi( t )v c( t )

R1= C

vc( t ) t

v c( t ) + R1C vc ( t ) t

= vi( t )

vo( t )= R2Cv c( t ) t v c( t )=A

t

R1C v c( t )=u ( t )e

v c( t )={A tR1C+1 t00 t


225 / 256

Resposta ao degrau unitrio


226 / 256

Filtro passa faixa ativo de 2a ordem Exemplo : configurao Sallen-Key

Frequncia de ressonncia

fr= 12 R f +R1C1C 2 R1 R2 R fGanho na frequncia de ressonncia

G (dB)=20 log (1+R2R1)

C1=C 2 e R2=2R1

Parmetros aconselhados


227 / 256

Filtro Chebyshev Filtro com atenuao mais ngreme e maior ripple

Gn()=H n( j)=1

1+2T 2( 0 )


228 / 256

Filtro Butterworth Filtro com resposta mais plana possivel


229 / 256

Uma implementaopassa baixa de 2a ordem

Para a ordem n :

Gn ()=H n( j)=1

(1+ c)2n

Gn()=H n( j)=1

(1+2n)

Frequencia de corte: -3dB de ganho

Normalizando (fazendo c= 1) :


230 / 256


231 / 256

Filtro elptico

Gn()=H n( j)=1

1+2Rn

2()


232 / 256

Comparao com outros filtros


233 / 256

Usando o Matlab

http://www.mathworks.com/help/dsp/examples/designing-low-pass-fir-filters.html


234 / 256

Projeto de filtro em MatlabFiltro chebychev simples passa baixas

Fc = 0.4;N = 100; % FIR filter orderHf = fdesign.lowpass('N,Fc',N,Fc);

Hd1 = design(Hf,'window','window',@hamming, 'SystemObject',true);Hd2 = design(Hf,'window','window', {@chebwin,50},'SystemObject',true);hfvt = fvtool(Hd1,Hd2,'Color','White');legend(hfvt,'Hamming window design', 'Dolph-Chebyshev window design')


235 / 256


236 / 256

Aumentando a ordem do filtroHf.FilterOrder = 200;Hd3 = design(Hf,'window','window', {@chebwin,50},'SystemObject',true);hfvt = fvtool(Hd2,Hd3,'Color','White');legend(hfvt,'Dolph-Chebyshev window design.Order = 100', ...'Dolph-Chebyshev window design. Order = 200')


237 / 256


238 / 256

Controlando a ordem do filtroripple e atenuao

N = 100; % Order = 100 -> 101 coefficientssetspecs(Hf,'N,Fc,Ap,Ast',N,Fc,Ap,Ast);Hd6 = design(Hf,'equiripple','SystemObject',true);measure(Hd6)hfvt = fvtool(Hd5,Hd6,'Color','White');legend(hfvt,... 'Equiripple design, 146 coefficients',... 'Equiripple design, 101 coefficients')


239 / 256


240 / 256

Controlando a regio de transiosetspecs(Hf,'N,Fp,Fst',N,Fp,Fst);Hd7 = design(Hf,'equiripple','SystemObject',true);measure(Hd7)hfvt = fvtool(Hd5,Hd7,'Color','White');legend(hfvt,... 'Equiripple design, 146 coefficients',... 'Equiripple design, 101 coefficients')


241 / 256


242 / 256

Filtro passa baixas de fase mnimasetspecs(Hf,'Fp,Fst,Ap,Ast',Fp,Fst,Ap,Ast);Hd13 = design(Hf,'equiripple','minphase',true,'SystemObject',true);hfvt = fvtool(Hd5,Hd13,'Color','White');legend(hfvt,... 'Linear-phase equiripple design',... 'Minimum-phase equiripple design')


243 / 256


244 / 256

Filtro de KalmanRudolf E. Klmn

Filtro LQE (Linear Quadratic Estimation) Algoritimo usando estimativas baseada em amostras. Operao recursiva em um fluxo ruidoso de dados .


245 / 256

Algoritmo


246 / 256

Diagrama de blocos


247 / 256

Exemplos de Aplicao


248 / 256

Processamento de imagensFiltro de Kalman


249 / 256

Processamento de imagensFiltro de Kalman


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251 / 256

Usando MATLABkalmanKalman filter design, Kalman estimator

Syntax

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn)

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn,sensors,known)

[kest,L,P,M,Z] = kalman(sys,Qn,Rn,...,type)

Descriptionkalman designs a Kalman filter or Kalman state estimator given a state-space model of the plant and the process and measurement noise covariance data. The Kalman estimator provides the optimal solution to the following continuous or discrete estimation problems.


252 / 256

Implementao em C/* * KFilter.c * * Created: 16-03-2012 19:18:41 * Author: Anyone :) :P */

#include

typedef struct { float x[2]; // initial state (location and velocity) float P[2][2]; // initial uncertainty float u[2]; // external motion // For Prediction float F[2][2]; // next state function // For Prediction float H[2]; // measurement function float R[1]; // measurement uncertainty float I[2][2]; // identity matrix} kalman_state;


253 / 256

kalman_state kalman_init(){ kalman_state result; // First is position and another is velocity // Consider [0.0f // 0.0f]; result.x[0] = 0.0f; result.x[1] = 0.0f; // Consider [[1000.0f 0.0f] // [ 0.0f 1000.0f]]; result.P[0][0] = 1000.0f; result.P[0][1] = 0.0f; result.P[1][0] = 0.0f; result.P[1][1] = 1000.0f; // Consider [0.0f // 0.0f]; result.u[0] = 0.0f; result.u[1] = 0.0f; // Consider [[1.0f, 1.0f] // [0.0f, 1.0f]]; result.F[0][0] = 1.0f; result.F[0][1] = 1.0f; result.F[1][0] = 0.0f; result.F[1][1] = 1.0f; // Consider [1.0f, 0.0f]; result.H[0] = 1.0f; result.H[1] = 0.0f; result.R[0] = 1.0f; //The RAW value is always flickering by? // Consider [1.0f]; // Consider [[1.0f, 0.0f] // [0.0f, 1.0f]]; result.I[0][0] = 1.0f; result.I[0][1] = 0.0f; result.I[1][0] = 0.0f; result.I[1][1] = 1.0f; return result;}


254 / 256

void kalman_update(kalman_state* state, float measurement){ // y = Z - ( H * x ); // Z - (H0*x0 + H1*x1) float y = (float)measurement - ( state->H[0]*state->x[0] + state->H[1]*state->x[1] ) ; //S = H * P * ( H' ) + R; // ( [H0 H1] * [P00 P01 * [H0 ) + R // P10 P11] H1] float S = state->H[0]*state->H[0]*state->P[0][0] + state->H[0]*state->H[1]*(state->P[0][1]+state->P[1][0]) + state->P[1][1] * state->H[1]*state->H[1] + state->R[0]; //K = P * ( H' ) / S; // or P* H'*inv(S) float K[2]; //Consider [K0 K1] // ([P00 P01 * [H0 ) / S // P10 P11] H1] K[0] = state->P[0][0]*state->H[0]/S+state->P[0][1]*state->H[1]/S; K[1] = state->P[1][0]*state->H[1]/S+state->P[1][1]*state->H[1]/S; //x = x + ( K * y ); // ([x0 + [K0 ) * y x1] K1] state->x[0] = state->x[0] + K[0] * y; state->x[1] = state->x[1] + K[1] * y; //P = ( I - ( K * H ) ) * P; // [I00 I01 - [K0 * [H0 H1] * [P00 P01 // I10 I11] K1] P10 P11] state->P[0][0]=((state->I[0][0]-K[0]*state->H[0])*state->P[0][0])+((state->I[0][1]-K[0] * state->H[1]) * state->P[1][0]); state->P[0][1]=((state->I[0][0]-K[0]*state->H[0])*state->P[0][1])+((state->I[0][1]-K[0] * state->H[1]) * state->P[1][1]); state->P[1][0]=((state->I[1][0]-K[1]*state->H[0])*state->P[0][0])+((state->I[1][1]-K[1] * state->H[1]) * state->P[1][0]); state->P[1][1]=((state->I[1][1]-K[1]*state->H[1])*state->P[0][1])+((state->I[1][1]-K[1] * state->H[1]) * state->P[1][1] );}


255 / 256

void kalman_predict(kalman_state* state){ //state->x = state->F*state->x + state->u ; // [F00 F01 * [x0 + [u0 // F10 F11] x1] u1] state->x[0] = state->F[0][0]*state->x[0] + state->F[0][1]*state->x[1] + state->u[0]; state->x[1] = state->F[1][0]*state->x[0] + state->F[1][1]*state->x[1] + state->u[1]; //state->P = state->F*state->P*state->F' // [F00 F01 * [P00 P01 * [F00 F10 F10 F11] P10 P11] F01 F11] state->P[0][0]=state->F[0][0]*(state->F[0][0]*state->P[0][0]+ state->F[0][1]*state->P[1][0])+state->F[0][1] * (state->F[0][0]*state->P[0][1]+state->F[0][1]*state->P[1][1]);

state->P[0][1]=state->F[1][0]*(state->F[0][0]*state->P[0][0]+ state->F[0][1]*state->P[1][0])+state->F[1][1]*(state->F[0][0]* state->P[0][1]+state->F[0][1]*state->P[1][1]);

state->P[1][0]=state->F[0][0]*(state->F[1][0]*state->P[0][0]+state->F[1][1]* state->P[1][0])+state->F[0][1]*(state->F[1][0]* state->P[0][1]+state->F[1][1]*state->P[1][1]);

state->P[1][1]=state->F[1][0]*(state->F[1][0]*state->P[0][0]+ state->F[1][1]*state->P[1][0])+state->F[1][1]* (state->F[1][0]*state->P[0][1]+state->F[1][1]*state->P[1][1]);}


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int main(void){ unsigned int SensorRAWValue = 0; kalman_state Kalman = kalman_init(); while(1) { // sensor value retrieval kalman_update(&Kalman,SensorRAWValue); kalman_predict(&Kalman); //TODO:: Please write your application code to use Kalman.x[0] and/or Kalman.x[1] }}

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