Processamento Digital de Sinais - UNICAMPrlopes/EA614/Slides_Aula_DFT.pdf · Processamento Digital de Sinais RenatodaRochaLopeseAmauriLopes [email protected] DECOM - Departamento

Processamento Digital de Sinais

Renato da Rocha Lopes e Amauri Lopes

[email protected]

DECOM - Departamento de Comunicacoes - DECOMFaculdade de Engenharia Eletrica e de Computacao - FEEC

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

Renato R. Lopes e Amauri Lopes (DECOM) Processamento Digital de Sinais 1 / 55

Conteudo da Aula

1 IntroducaoDFTExemploExtensao PeriodicaRecuperando a DTFT

2 Propriedades

3 Vazamento em FrequenciaIntroducaoExplicacaoJanelamentoZero Padding

4 Convolucao e DFT


Introducao

Transformada de Fourier

X (ω) =∞∑

n=−∞

x [n]e−jωn

x [n] = 12π

2π∫

0

X (ω)ejωn dω

Formula fechada so para funcoes especıficas, como seno.I Como calcular para um sinal de audio?I Numericamente impossıvel, teria que calcular para todo ω

Alternativa: Transformada Discreta de Fourier


Introducao DFT

DFT: Definicao

Computadores e processadores trabalham com sequencias finitas dedados

I x [n], n = 0, 1, . . . ,N − 1I Exemplo: arquivo MP3

DTFT: X (ω) =N−1∑

n=0x [n]e−jωn

I Exagero: representa N valores de x [n] com infinitos valores de X (ω)I Como representar com N valores?

DFT: X [k] =∑N−1

n=0 x [n]e−j2πkn/N , para k = 0, 1, . . . ,N − 1I X [k ] = X (2πk/N), para k = 0, 1, . . . ,N − 1I Amostragem em frequencia


Introducao DFT

Interpretacao: Mudanca de Base

Exemplo: N = 4

X [0] = x [0] + x [1] + x [2] + x [3]

X [1] = x [0] − jx [1]− x [2] + jx [3]

X [2] = x [0] − x [1] + x [2]− x [3]

X [0] = x [0] + jx [1]− x [2] − jx [3]

X [0]X [1]X [2]X [3]

︸︷︷︸

X

=

1 1 1 11 −j −1 j

1 −1 1 −11 j −1 −j

︸︷︷︸

F

x [0]x [1]x [2]x [3]

︸︷︷︸

x


Introducao DFT

DFT Inversa

x = F−1X

Fato:N−1∑

k=0

e j2πk(n−r)/N =

N, n − r = lN (l ∈ N)0, c.c.

X [k] =N−1∑

n=0x [n]e−j2πkn/N

x [n] = 1N

N−1∑

k=0

X [k]ej2πkn/N


Introducao DFT

Interpretacao: Amostragem em Frequencia

0 π/2 π 3π/2 2π0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

|X(ω

)|

ω

k = 0

k = 1

k = 2 k = 3 k = 4k = 5

k = 6

X [k] = X

(2πk

N

)


Introducao Exemplo

Exemplo: N = 7

x [n] =

1, 0 ≤ n ≤ 90, c.c.

X (ω) = e−jω9/2 sin(10ω/2)

sin(ω/2)

0 π/2 π 3π/2 2π0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

|X(ω

)|

ω

k = 0

k = 1

k = 2 k = 3 k = 4k = 5

k = 6


Introducao Exemplo

Exemplo: N = 7

k = 0:6;

X = exp(-j*2*pi*k*9/14).*sin(10*pi*k/7)./sin(pi*k/7)

X(1) = 10;x = ifft(X);

(a)

(b)


Introducao Exemplo

Exemplo: N = 10

0 π/2 π 3π/2 2π0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

|X(ω

)|

ω

k = 0

k = 1 k = 2

k = 3

k = 9


Introducao Exemplo

Exemplo: N = 13

0 p/2 p 3p/2 2p0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

|X(ω

)|

ω

k = 0

k = 1

k = 2

k = 3

k = 12

x [n]

x[n-13]1

13 22-13 - 4

13


Introducao Extensao Periodica

Extensao Periodica

DTFT: X (ω) ↔ x [n]

DFT: X [k] = X (k2π/N) ↔ xs [n]

x [n] nao necessariamente de duracao finita

A qual sinal corresponde a DFT?



Extensao Periodica: Prova

xs [n] =1

N

N−1∑

k=0

X [k]e−j2πkn/N

=1

N

N−1∑

k=0

X (2πk/N)e−j2πkn/N

=1

N

N−1∑

k=0

(∞∑

l=−∞

x [l ]e−j2πkl/N

)

ej2πkn/N

MasN−1∑

n=0

e−j2πk(l−n)/N =

N, n − l e multiplo de N

0, c.c.

xs [n] =

∞∑

l=−∞

x [n − lN]



Extensao Periodica: Exemplo

x [n] = 0,9nu[n]

−20 −10 0 10 20 30 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x[n+20]

x[n+40]

x[n−20]x[n]

ExtensãoPeriódica


Introducao Recuperando a DTFT

A formula

Dado X [k], como calcular X (ejω) para um ω qualquer?

X (ejω) =

N−1∑

n=0

x [n]ejωn

=

N−1∑

n=0

(

1

N

N−1∑

k=0

X [k]ej2πkn/N

)

ejωn

=1

N

N−1∑

k=0

X [k]

N−1∑

n=0

ej2πkn/Nejωn

X (ejω) =1

N

N−1∑

k=0

X [k]1− e−jN(ω−2πk/N)

1− e−j(ω−2πk/N)


Introducao Recuperando a DTFT

A Figura

−2pi −pi 0 pi 2pi 3pi

−2

0

2

4

6

8

X[1]

X[3]

X[0]

X[2]


Propriedades

Periodicidade no Tempo

X [k] =

N−1∑

n=0

x [n]e−j2πkn/N

x [n] =1

N

N−1∑

k=0

X [k]ej2πkn/N

x [n + N] =1

N

N−1∑

k=0

X [k]ej2πk(n+N)/N

=1

N

N−1∑

k=0

X [k]ej2πkn/N ej2πk

= x [n]


Propriedades

Simetrias

x [n] real ⇒ X (ω) = X ∗(−ω)I Magnitude e par:

|X (ω)| = |X (−ω)|I Fase e ımpar:

∠X (ω) = ∠X (−ω)

x [n] real ⇒ X [k] = X ∗[−k]I Magnitude e par:

|X [k ]| = |X [−k ]|I Fase e ımpar:

∠X [k ] = ∠X [−k ]

Como X [N − k] = X [−k], |X [k]| = |X [N − k]|


Propriedades

Periodicidade em Frequencia

X [k] =

N−1∑

n=0

x [n]e−j2πkn/N

x [n] =1

N

N−1∑

k=0

X [k]ej2πkn/N

X [k + N] =1

N

N−1∑

k=0

X [k]ej2π(k+N)n/N

=1

N

N−1∑

k=0

X [k]ej2πkn/Nej2πn

= X [k]


Propriedades

Relacao entre Frequencias

xc(t)DFT

x [n] X [k]A/D

X (ω) = Xc

(ωfs2π

)

X [k] = X

(2πk

N

)

X [k] = Xc

(kfs

N

)

......

k

ΩΩm

N−N

X [k]

Xc(Ω)X [−1] = X [n − 1]


Vazamento em Frequencia Introducao

Entrada Senoidal

DFT calcula espectro em 2kπ/NI Sinais de duracao N so contem essas frequenciasI Frequencia “desejada” pode ter outra forma.

x [n] = ejωn, n = 0, 1, . . . ,N − 1 ↔ |X [k]| =

∣∣∣∣

sin((ω − 2kπ/N)N/2)

sin((ω − 2kπ)/2)

∣∣∣∣

Se ω − 2kπ/N = l2π/N, entaoI X [k ] = N se l e multiplo de N ,I X [k ] = 0 caso contrario.

Caso contrario, X [k] 6= 0.



Exemplo sem Vazamento

N = 20

ω = π = 2 ∗ π ∗ 10/N

−15 −10 −5 0 5 10 150

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

k

|X[k

]|



Exemplo com Vazamento

N = 20

ω = π − 2π ∗ 9,75/N

−15 −10 −5 0 5 10 150

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

k

|X[k

]|


Vazamento em Frequencia Explicacao

Vazamento Explicado

−10 0 10 20 30−1

−0.5

0

0.5

1

n

Seqüência de Interesse

−10 0 10 20 30−1

−0.5

0

0.5

1Entrada da DFT

n

−10 0 10 20 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

Janelamento

−10 0 10 20 30−1

−0.5

0

0.5

1

n

Extensão Periódica

Sinal deinteresse: x∞[n]

Janela: w [n]

DFT: espectro dex [n] = x∞[n]w [n]



Vazamento Explicado

Resumo:

DFT calcula amostras do espectro de sinal janelado:

X [k] = X (ej2πk/N )

X (ejω) = Fx [n] = x∞w [n]

Consequencia

Convolucao em frequencia:

X (ejω) =1

2π

∫ π

−πX∞(ejθ)W (ej(ω−θ))dθ



Prova da Convolucao em Frequencia

Seja z [n] = x [n]y [n]. Entao

Z (ejω) =∞∑

n=−∞

z [n]e−jωn

=

∞∑

n=−∞

x [n]y [n]e−jωn

=

∞∑

n=−∞

x [n]

(1

2π

∫ π

−πY (ejθ)dθ

)

e−jωn

=1

2π

∫ π

−πY (ejθ)

∞∑

n=−∞

x [n]e−j(ω−θ)n dθ

=1

2π

∫ π

−πY (ejθ)X (e−j(ω−θ))dθ



Vazamento em Frequencia

ωπ−π 0

X (ejω)Janela

Frequencia de Interesse

DFT calcula componente em frequencia como area sob a curva

Comportamento desejado da janela em frequencia:I Valores nulos em frequencias diferentes da de interesseI Extrai apenas frequencia de interesse ⇒ resposta em frequencia

concentrada em torno da origem.


Vazamento em Frequencia Janelamento

Melhorando Janela

Aumenta tamanho da janela, diminui vazamento

−pi −pi/2 0 pi/2 pi0

1

2

3

4

5N = 5


5

10

15

20N = 20


2

4

6

8

10

ω

N = 10


10

20

30

40

50

ω

N = 50



Melhorando Janela

Usa outras formas de onda, com frequencia mais concentrada na origem

Retangular:w [n] = 1, 0 ≤ n ≤ N − 1

Triangular:

w [n] =|n|

N/2, |n| ≤ N/2

Hanning:

w [n] = 0,5− 0,5 cos

(2πn

N − 1

)



Janelas em Frequencia

0 pi/2 pi0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20Resposta em Frequencia de Algumas Janelas

RetangularTriangularHanning



Janelas em Frequencia

0 pi/2 pi−100

−80

−60

−40

−20

0

20

ω

Resposta em Frequencia (dB) de Algumas Janelas

RetangularTriangularHanning

Melhora vazamento de frequencias distantes.Piora influencia de frequencias vizinhas (perda de resolucao).



Exemplo do Efeito das Janelas

N = 64 pontos, x [n] = sin(2π3,4n/64) + 0,1 sin(2π7n/64)

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

RetangularHanning

Freq. k = 7


Vazamento em Frequencia Zero Padding

Melhorando Aproximacao da DFT

DFT calcula espectro nas frequencias 2πk/N

Aumentando N, calculamos espectro em mais pontos.I melhor aproximacao do espectro contınuo do sinal.

Exemplo: senoide amostrada 16 vezes em 3 perıodos



Sinal Contınuo

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−1

−0.5

0

0.5

1

t

Sinal no Tempo

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

50

100

150

200

250

300

f

Sinal em Frequencia



Sem preencher com zeros

0 5 10 15−1

−0.5

0

0.5

1

n

Sinais no Tempo

0 2 4 6 8 10 12 14 160

2

4

6

8

10

k

Sinais em Frequencia



16 zeros

0 5 10 15 20 25 30−1

−0.5

0

0.5

1

n

Sinais no Tempo

0 5 10 15 20 25 30 350

2

4

6

8

10

k




112 zeros

0 20 40 60 80 100 120−1

−0.5

0

0.5

1

n

Sinais no Tempo

0 20 40 60 80 100 1200

2

4

6

8

10

k




Notas

Resolucao nao melhora com zero-padding

I Largura do lobulo central nao se alteraI Resolucao depende do numero de amostras original

Eixo x da DFT: 2πk/N ↔ frequencia analogica kfs/NI Pico sempre ocorre em f = 3fs/16I Como fs = 16, senoide de frequencia 3.

Contradicao:I Amostragem exige x(t) limitado em frequenciaI DFT exige x(t) limitado no tempoI Teoria proıbe que ambos sejam verdade.I Pratica: sinais sao quase limitados no tempo e na frequencia


Convolucao e DFT

Motivacao

x [n] y [n]h[n]

Duracao de x [n]: Nx amostras

Duracao de h[n]: Nh amostras

⇒ Calculo da saıda envolve ≈ NxNh somas e ≈ NxNh produtos

FFT

Calcula DFT em N log(N) operacoes!

E possıvel calcular saıda com DFT?


Convolucao e DFT

Convolucao Circular

x [n] y [n]h[n]

y [n] = x [n] ∗ h[n] Y (ejω) = X (ejω)H(ejω)

O que da X [k]H[k] = Z [k]? Exemplo com N = 4:

z [0] = x [0]h[0] + x [1]h[3] + x [2]h[2] + x [3]h[1]

z [1] = x [0]h[1] + x [1]h[0] + x [2]h[3] + x [3]h[2]

z [2] = x [0]h[2] + x [1]h[1] + x [2]h[0] + x [3]h[3]

z [3] = x [0]h[3] + x [1]h[2] + x [2]h[1] + x [3]h[0]


Convolucao e DFT

Convolucao Circular Versus Linear

0 1 2 3 4 5 6 7 n−4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 5 6 7 n−4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 n

n−4 −3 −2 −1

Intervalo de Soma

0 1 2 3 4 5 6 7 n−4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 5 6 7 n−4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 5 6 7 n−4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 5 6 7 n

Intervalo de Soma

0 1 2 3 4 5 6 7 n−4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 5 6 7 n−4 −3 −2 −1

x [n] x [n]

Convolucao Circular Convolucao Linear


Convolucao e DFT

Convolucao Circular e Zero-Padding

Duracao de x [n]: Nx amostras

Duracao de h[n]: Nh amostras

⇒ Duracao de y [n]: Ny = Nx + Nh − 1 amostras

DFTs envolvidas devem ter comprimento Ny ⇒ Zero-Padding

Nesse caso, convolucao circular = convolucao linear.


Convolucao e DFT

Convolucao Circular com Zero-Padding

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7

x [n]

n

n−4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 5 6 7 n−4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 5 6 7 n−4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6

x [n]

n−4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 5 6 7 n−4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 5 6 7 n−4 −3 −2 −1

0 1 2 3 4 5 6 7 n−4 −3 −2 −1

n

Intervalo de Soma

Intervalo de Soma Efetivo


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