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Produto Interno
Motivação:introduzir noção de comprimento;introduzir noção de ângulo(em particular, ortogonalidade);complemento ortogonal;projeções;mínimos quadrados.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 1
Produto Interno
Motivação:introduzir noção de comprimento;introduzir noção de ângulo(em particular, ortogonalidade);complemento ortogonal;projeções;mínimos quadrados.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 1
Produto Interno
Motivação:introduzir noção de comprimento;introduzir noção de ângulo(em particular, ortogonalidade);complemento ortogonal;projeções;mínimos quadrados.
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Produto Interno
Motivação:introduzir noção de comprimento;introduzir noção de ângulo(em particular, ortogonalidade);complemento ortogonal;projeções;mínimos quadrados.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 1
Produto Interno
Motivação:introduzir noção de comprimento;introduzir noção de ângulo(em particular, ortogonalidade);complemento ortogonal;projeções;mínimos quadrados.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 1
Produto Interno
Motivação:introduzir noção de comprimento;introduzir noção de ângulo(em particular, ortogonalidade);complemento ortogonal;projeções;mínimos quadrados.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 1
Produto Interno
Motivação:introduzir noção de comprimento;introduzir noção de ângulo(em particular, ortogonalidade);complemento ortogonal;projeções;mínimos quadrados.
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Norma em R2 ou R3
Norma (comprimento) de v = (x , y) ∈ R2:
‖v‖ =√
x2 + y2.
Norma (comprimento) de v = (x , y , z) ∈ R3:
‖v‖ =√
x2 + y2 + z2.
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Norma em R2 ou R3
Norma (comprimento) de v = (x , y) ∈ R2:
‖v‖ =√
x2 + y2.
Norma (comprimento) de v = (x , y , z) ∈ R3:
‖v‖ =√
x2 + y2 + z2.
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(Cosseno de) Ângulo em R2 ou R3
Lei dos Cossenos:
‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ + ‖v‖2.
‖u− v‖2 =∑n
i=1(ui − vi)2
=∑n
i=1 u2i − 2
∑ni=1 uivi +
∑ni=1 v2
i
= ‖u‖2 − 2∑n
i=1 uivi + ‖v‖2
cos θ =
∑ni=1 uivi
‖u‖‖v‖
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(Cosseno de) Ângulo em R2 ou R3
Lei dos Cossenos:
‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ + ‖v‖2.
‖u− v‖2 =∑n
i=1(ui − vi)2
=∑n
i=1 u2i − 2
∑ni=1 uivi +
∑ni=1 v2
i
= ‖u‖2 − 2∑n
i=1 uivi + ‖v‖2
cos θ =
∑ni=1 uivi
‖u‖‖v‖
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(Cosseno de) Ângulo em R2 ou R3
Lei dos Cossenos:
‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ + ‖v‖2.
‖u− v‖2 =∑n
i=1(ui − vi)2
=∑n
i=1 u2i − 2
∑ni=1 uivi +
∑ni=1 v2
i
= ‖u‖2 − 2∑n
i=1 uivi + ‖v‖2
cos θ =
∑ni=1 uivi
‖u‖‖v‖
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(Cosseno de) Ângulo em R2 ou R3
Lei dos Cossenos:
‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ + ‖v‖2.
‖u− v‖2 =∑n
i=1(ui − vi)2
=∑n
i=1 u2i − 2
∑ni=1 uivi +
∑ni=1 v2
i
= ‖u‖2 − 2∑n
i=1 uivi + ‖v‖2
cos θ =
∑ni=1 uivi
‖u‖‖v‖
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 1
(Cosseno de) Ângulo em R2 ou R3
Lei dos Cossenos:
‖u− v‖2 = ‖u‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ + ‖v‖2.
‖u− v‖2 =∑n
i=1(ui − vi)2
=∑n
i=1 u2i − 2
∑ni=1 uivi +
∑ni=1 v2
i
= ‖u‖2 − 2∑n
i=1 uivi + ‖v‖2
cos θ =
∑ni=1 uivi
‖u‖‖v‖
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Produto Interno (Canônico) em R2 ou R3
Definição (produto interno em R2 ou R3)
Prod. interno (ou escalar) em R2 ou R3: 〈u, v〉 =n∑
i=1
uivi .
〈u, v〉 = u · v = uT v
‖u‖ =√〈u, u〉
cos θ =〈u, v〉‖u‖‖v‖
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 1
Produto Interno (Canônico) em R2 ou R3
Definição (produto interno em R2 ou R3)
Prod. interno (ou escalar) em R2 ou R3: 〈u, v〉 =n∑
i=1
uivi .
〈u, v〉 = u · v = uT v
‖u‖ =√〈u, u〉
cos θ =〈u, v〉‖u‖‖v‖
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 1
Produto Interno (Canônico) em R2 ou R3
Definição (produto interno em R2 ou R3)
Prod. interno (ou escalar) em R2 ou R3: 〈u, v〉 =n∑
i=1
uivi .
〈u, v〉 = u · v = uT v
‖u‖ =√〈u, u〉
cos θ =〈u, v〉‖u‖‖v‖
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Produto Interno (Canônico) em R2 ou R3
Definição (produto interno em R2 ou R3)
Prod. interno (ou escalar) em R2 ou R3: 〈u, v〉 =n∑
i=1
uivi .
〈u, v〉 = u · v = uT v
‖u‖ =√〈u, u〉
cos θ =〈u, v〉‖u‖‖v‖
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Propriedades do PI Canônico em R2 ou R3
simetria
〈u, v〉 = 〈v, u〉 ∀u, v ∈ R2 ou R3
bilinearidade
〈αu1 + u2, v〉 = α 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉∀α ∈ R, ∀u1, u2, v ∈ R2 ou R3
〈u, αv1 + v2〉 = α 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉∀α ∈ R, ∀u, v1, v2 ∈ R2 ou R3
positividade
〈u, u〉 > 0 ∀0 6= u ∈ R2 ou R3
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Propriedades do PI Canônico em R2 ou R3
simetria
〈u, v〉 = 〈v, u〉 ∀u, v ∈ R2 ou R3
bilinearidade
〈αu1 + u2, v〉 = α 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉∀α ∈ R, ∀u1, u2, v ∈ R2 ou R3
〈u, αv1 + v2〉 = α 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉∀α ∈ R, ∀u, v1, v2 ∈ R2 ou R3
positividade
〈u, u〉 > 0 ∀0 6= u ∈ R2 ou R3
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Propriedades do PI Canônico em R2 ou R3
simetria
〈u, v〉 = 〈v, u〉 ∀u, v ∈ R2 ou R3
bilinearidade
〈αu1 + u2, v〉 = α 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉∀α ∈ R, ∀u1, u2, v ∈ R2 ou R3
〈u, αv1 + v2〉 = α 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉∀α ∈ R, ∀u, v1, v2 ∈ R2 ou R3
positividade
〈u, u〉 > 0 ∀0 6= u ∈ R2 ou R3
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Definição de Produto Interno
Definição (produto interno)
Espaço com PI é um espaço vetorial V munido de umafunção 〈·, ·〉 : V × V → R que satisfaz às propriedades:
simetria〈u, v〉 = 〈v, u〉
bilinearidade
〈αu1 + u2, v〉 = α 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉
〈u, αv1 + v2〉 = α 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉
positividade〈u, u〉 > 0
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Definição de Produto Interno
Definição (produto interno)
Espaço com PI é um espaço vetorial V munido de umafunção 〈·, ·〉 : V × V → R que satisfaz às propriedades:
simetria〈u, v〉 = 〈v, u〉
bilinearidade
〈αu1 + u2, v〉 = α 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉
〈u, αv1 + v2〉 = α 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉
positividade〈u, u〉 > 0
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Definição de Produto Interno
Definição (produto interno)
Espaço com PI é um espaço vetorial V munido de umafunção 〈·, ·〉 : V × V → R que satisfaz às propriedades:
simetria〈u, v〉 = 〈v, u〉
bilinearidade
〈αu1 + u2, v〉 = α 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉
〈u, αv1 + v2〉 = α 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉
positividade〈u, u〉 > 0
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Definição de Produto Interno
Definição (produto interno)
Espaço com PI é um espaço vetorial V munido de umafunção 〈·, ·〉 : V × V → R que satisfaz às propriedades:
simetria〈u, v〉 = 〈v, u〉
bilinearidade
〈αu1 + u2, v〉 = α 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉
〈u, αv1 + v2〉 = α 〈u, v1〉+ 〈u, v2〉
positividade〈u, u〉 > 0
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Exemplos
Produto interno canônico de Rn
〈u, v〉 =n∑
i=1
uivi
Outro produto interno em R2
〈u, v〉 = uT[
7 22 7
]v
Bilinear, simétrico.
〈u, u〉 = 7u21 + 4u1u2 + 7u2
2
2ab ≥ −a2 − b2
}⇒ 〈u, u〉 ≥ 5u2
1 + 5u22 > 0
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 1
Exemplos
Produto interno canônico de Rn
〈u, v〉 =n∑
i=1
uivi
Outro produto interno em R2
〈u, v〉 = uT[
7 22 7
]v
Bilinear, simétrico.
〈u, u〉 = 7u21 + 4u1u2 + 7u2
2
2ab ≥ −a2 − b2
}⇒ 〈u, u〉 ≥ 5u2
1 + 5u22 > 0
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 1
Exemplos
Produto interno canônico de Rn
〈u, v〉 =n∑
i=1
uivi
Outro produto interno em R2
〈u, v〉 = uT[
7 22 7
]v
Bilinear, simétrico.
〈u, u〉 = 7u21 + 4u1u2 + 7u2
2
2ab ≥ −a2 − b2
}⇒ 〈u, u〉 ≥ 5u2
1 + 5u22 > 0
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 1
Exemplos
Produto interno canônico de Rn
〈u, v〉 =n∑
i=1
uivi
Outro produto interno em R2
〈u, v〉 = uT[
7 22 7
]v
Bilinear, simétrico.
〈u, u〉 = 7u21 + 4u1u2 + 7u2
2
2ab ≥ −a2 − b2
}⇒ 〈u, u〉 ≥ 5u2
1 + 5u22 > 0
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 1
Exemplos
Produto interno canônico de Rn
〈u, v〉 =n∑
i=1
uivi
Outro produto interno em R2
〈u, v〉 = uT[
7 22 7
]v
Bilinear, simétrico.
〈u, u〉 = 7u21 + 4u1u2 + 7u2
2
2ab ≥ −a2 − b2
}⇒ 〈u, u〉 ≥ 5u2
1 + 5u22 > 0
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Mais Exemplos
Produto interno em um espaço de funções
〈u, v〉 =
∫ 1
−1u(t)v(t)dt
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Norma de um Espaço com PI
Definição (norma)
Se (V , 〈·, ·〉) é espaço com produto interno, define-se, parav ∈ V,
‖v‖ =√〈v, v〉.
Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Se (V , 〈·, ·〉) é espaço com produto interno e ‖ · ‖ é definidacomo acima, vale a desigualdade
〈u, v〉 ≤ ‖u‖‖v‖ ∀u, v ∈ V .
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Norma de um Espaço com PI
Definição (norma)
Se (V , 〈·, ·〉) é espaço com produto interno, define-se, parav ∈ V,
‖v‖ =√〈v, v〉.
Teorema (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
Se (V , 〈·, ·〉) é espaço com produto interno e ‖ · ‖ é definidacomo acima, vale a desigualdade
〈u, v〉 ≤ ‖u‖‖v‖ ∀u, v ∈ V .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 1
Prova de Cauchy-Schwarz
0 ≤ ‖u + tv‖2 = 〈u + tv, u + tv〉= 〈u, u〉+ 2t 〈u, v〉+ t2 〈v, v〉= ‖u‖2 + 2t 〈u, v〉+ t2‖v‖2 ∀t ∈ R.
Temos at2 + bt + c ≥ 0 ∀t . Minimizando, obtemos
−b2 − 4ac4a
≥ 0.
Como a > 0, temos b2 ≤ 4ac, i.e., (2 〈u, v〉)2 ≤ 4‖u‖2‖v‖2.
Portanto, 〈u, v〉 ≤ ‖u‖‖v‖.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 1
Prova de Cauchy-Schwarz
0 ≤ ‖u + tv‖2 = 〈u + tv, u + tv〉= 〈u, u〉+ 2t 〈u, v〉+ t2 〈v, v〉= ‖u‖2 + 2t 〈u, v〉+ t2‖v‖2 ∀t ∈ R.
Temos at2 + bt + c ≥ 0 ∀t . Minimizando, obtemos
−b2 − 4ac4a
≥ 0.
Como a > 0, temos b2 ≤ 4ac, i.e., (2 〈u, v〉)2 ≤ 4‖u‖2‖v‖2.
Portanto, 〈u, v〉 ≤ ‖u‖‖v‖.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 1
Prova de Cauchy-Schwarz
0 ≤ ‖u + tv‖2 = 〈u + tv, u + tv〉= 〈u, u〉+ 2t 〈u, v〉+ t2 〈v, v〉= ‖u‖2 + 2t 〈u, v〉+ t2‖v‖2 ∀t ∈ R.
Temos at2 + bt + c ≥ 0 ∀t . Minimizando, obtemos
−b2 − 4ac4a
≥ 0.
Como a > 0, temos b2 ≤ 4ac, i.e., (2 〈u, v〉)2 ≤ 4‖u‖2‖v‖2.
Portanto, 〈u, v〉 ≤ ‖u‖‖v‖.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 1
Prova de Cauchy-Schwarz
0 ≤ ‖u + tv‖2 = 〈u + tv, u + tv〉= 〈u, u〉+ 2t 〈u, v〉+ t2 〈v, v〉= ‖u‖2 + 2t 〈u, v〉+ t2‖v‖2 ∀t ∈ R.
Temos at2 + bt + c ≥ 0 ∀t . Minimizando, obtemos
−b2 − 4ac4a
≥ 0.
Como a > 0, temos b2 ≤ 4ac, i.e., (2 〈u, v〉)2 ≤ 4‖u‖2‖v‖2.
Portanto, 〈u, v〉 ≤ ‖u‖‖v‖.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 1
Prova de Cauchy-Schwarz
0 ≤ ‖u + tv‖2 = 〈u + tv, u + tv〉= 〈u, u〉+ 2t 〈u, v〉+ t2 〈v, v〉= ‖u‖2 + 2t 〈u, v〉+ t2‖v‖2 ∀t ∈ R.
Temos at2 + bt + c ≥ 0 ∀t . Minimizando, obtemos
−b2 − 4ac4a
≥ 0.
Como a > 0, temos b2 ≤ 4ac, i.e., (2 〈u, v〉)2 ≤ 4‖u‖2‖v‖2.
Portanto, 〈u, v〉 ≤ ‖u‖‖v‖.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 1
Prova de Cauchy-Schwarz
0 ≤ ‖u + tv‖2 = 〈u + tv, u + tv〉= 〈u, u〉+ 2t 〈u, v〉+ t2 〈v, v〉= ‖u‖2 + 2t 〈u, v〉+ t2‖v‖2 ∀t ∈ R.
Temos at2 + bt + c ≥ 0 ∀t . Minimizando, obtemos
−b2 − 4ac4a
≥ 0.
Como a > 0, temos b2 ≤ 4ac, i.e., (2 〈u, v〉)2 ≤ 4‖u‖2‖v‖2.
Portanto, 〈u, v〉 ≤ ‖u‖‖v‖.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 1
Propriedades da Norma
Propriedades da norma:‖0‖ = 0
‖v‖ > 0 ∀ 0 6= v ∈ V
‖αv‖ = |α|‖v‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ∀ u, v ∈ V(Desigualdade Triangular)
De fato,
‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 1
Propriedades da Norma
Propriedades da norma:‖0‖ = 0
‖v‖ > 0 ∀ 0 6= v ∈ V
‖αv‖ = |α|‖v‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ∀ u, v ∈ V(Desigualdade Triangular)
De fato,
‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 1
Propriedades da Norma
Propriedades da norma:‖0‖ = 0
‖v‖ > 0 ∀ 0 6= v ∈ V
‖αv‖ = |α|‖v‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ∀ u, v ∈ V(Desigualdade Triangular)
De fato,
‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 1
Propriedades da Norma
Propriedades da norma:‖0‖ = 0
‖v‖ > 0 ∀ 0 6= v ∈ V
‖αv‖ = |α|‖v‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ∀ u, v ∈ V(Desigualdade Triangular)
De fato,
‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 1
Propriedades da Norma
Propriedades da norma:‖0‖ = 0
‖v‖ > 0 ∀ 0 6= v ∈ V
‖αv‖ = |α|‖v‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ∀ u, v ∈ V(Desigualdade Triangular)
De fato,
‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 1
Propriedades da Norma
Propriedades da norma:‖0‖ = 0
‖v‖ > 0 ∀ 0 6= v ∈ V
‖αv‖ = |α|‖v‖ ∀ α ∈ R, ∀ v ∈ V
‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ∀ u, v ∈ V(Desigualdade Triangular)
De fato,
‖u + v‖2 = ‖u‖2 + 2 〈u, v〉+ ‖v‖2 ≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 1
Ortogonalidade
Cauchy-Schwarz ⇒∣∣∣∣ 〈u, v〉‖u‖‖v‖
∣∣∣∣ ≤ 1
Definição (ângulo entre vetores)
cos θ =〈u, v〉‖u‖‖v‖
Definição (vetores ortogonais)
Diz-se que u e v são ortogonais se 〈u, v〉 = 0.
Observação
0 é ortogonal a qualquer vetor.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 1
Ortogonalidade
Cauchy-Schwarz ⇒∣∣∣∣ 〈u, v〉‖u‖‖v‖
∣∣∣∣ ≤ 1
Definição (ângulo entre vetores)
cos θ =〈u, v〉‖u‖‖v‖
Definição (vetores ortogonais)
Diz-se que u e v são ortogonais se 〈u, v〉 = 0.
Observação
0 é ortogonal a qualquer vetor.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 1
Ortogonalidade
Cauchy-Schwarz ⇒∣∣∣∣ 〈u, v〉‖u‖‖v‖
∣∣∣∣ ≤ 1
Definição (ângulo entre vetores)
cos θ =〈u, v〉‖u‖‖v‖
Definição (vetores ortogonais)
Diz-se que u e v são ortogonais se 〈u, v〉 = 0.
Observação
0 é ortogonal a qualquer vetor.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 1
Ortogonalidade
Cauchy-Schwarz ⇒∣∣∣∣ 〈u, v〉‖u‖‖v‖
∣∣∣∣ ≤ 1
Definição (ângulo entre vetores)
cos θ =〈u, v〉‖u‖‖v‖
Definição (vetores ortogonais)
Diz-se que u e v são ortogonais se 〈u, v〉 = 0.
Observação
0 é ortogonal a qualquer vetor.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 1
Conjunto Ortonormal
Definição (vetor unitário)
v é dito unitário se ‖v‖ = 1.
Observação (normalização)
Se v é não-nulo, v = 1‖v‖v é unitário.
Definição (conjunto ortogonal)
{v1, . . . , vp} é ortogonal se⟨vi , vj
⟩= 0 ∀i 6= j .
Definição (conjunto ortonormal)
Um conjunto ortonormal é um conjunto ortogonal devetores unitários.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 1
Conjunto Ortonormal
Definição (vetor unitário)
v é dito unitário se ‖v‖ = 1.
Observação (normalização)
Se v é não-nulo, v = 1‖v‖v é unitário.
Definição (conjunto ortogonal)
{v1, . . . , vp} é ortogonal se⟨vi , vj
⟩= 0 ∀i 6= j .
Definição (conjunto ortonormal)
Um conjunto ortonormal é um conjunto ortogonal devetores unitários.
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Conjunto Ortonormal
Definição (vetor unitário)
v é dito unitário se ‖v‖ = 1.
Observação (normalização)
Se v é não-nulo, v = 1‖v‖v é unitário.
Definição (conjunto ortogonal)
{v1, . . . , vp} é ortogonal se⟨vi , vj
⟩= 0 ∀i 6= j .
Definição (conjunto ortonormal)
Um conjunto ortonormal é um conjunto ortogonal devetores unitários.
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Conjunto Ortonormal
Definição (vetor unitário)
v é dito unitário se ‖v‖ = 1.
Observação (normalização)
Se v é não-nulo, v = 1‖v‖v é unitário.
Definição (conjunto ortogonal)
{v1, . . . , vp} é ortogonal se⟨vi , vj
⟩= 0 ∀i 6= j .
Definição (conjunto ortonormal)
Um conjunto ortonormal é um conjunto ortogonal devetores unitários.
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Conjunto Ortonormal
Observação (conjunto ortonormal)
{v1, . . . , vp} é ortonormal s.s.s.⟨vi , vj
⟩= δij ∀i , j .
Teorema
Um conjunto ortogonal de vetores não nulos é sempre LI.
Corolário
Um conjunto ortonormal é sempre LI.
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Conjunto Ortonormal
Observação (conjunto ortonormal)
{v1, . . . , vp} é ortonormal s.s.s.⟨vi , vj
⟩= δij ∀i , j .
Teorema
Um conjunto ortogonal de vetores não nulos é sempre LI.
Corolário
Um conjunto ortonormal é sempre LI.
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Conjunto Ortonormal
Observação (conjunto ortonormal)
{v1, . . . , vp} é ortonormal s.s.s.⟨vi , vj
⟩= δij ∀i , j .
Teorema
Um conjunto ortogonal de vetores não nulos é sempre LI.
Corolário
Um conjunto ortonormal é sempre LI.
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Conjunto Ortonormal
Prova (do teorema)
{v1, . . . , vp} ortogonal. Então
p∑i=1
αivi = 0 ⇒
⟨ p∑i=1
αivi , vj
⟩=
⟨0, vj
⟩⇒
p∑i=1
αi⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2 = 0 ∀j
⇒ αj = 0 ∀j (já que vj 6= 0.)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 1
Conjunto Ortonormal
Prova (do teorema)
{v1, . . . , vp} ortogonal. Então
p∑i=1
αivi = 0 ⇒
⟨ p∑i=1
αivi , vj
⟩=
⟨0, vj
⟩⇒
p∑i=1
αi⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2 = 0 ∀j
⇒ αj = 0 ∀j (já que vj 6= 0.)
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Conjunto Ortonormal
Prova (do teorema)
{v1, . . . , vp} ortogonal. Então
p∑i=1
αivi = 0 ⇒
⟨ p∑i=1
αivi , vj
⟩=
⟨0, vj
⟩⇒
p∑i=1
αi⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2 = 0 ∀j
⇒ αj = 0 ∀j (já que vj 6= 0.)
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Conjunto Ortonormal
Prova (do teorema)
{v1, . . . , vp} ortogonal. Então
p∑i=1
αivi = 0 ⇒
⟨ p∑i=1
αivi , vj
⟩=
⟨0, vj
⟩⇒
p∑i=1
αi⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2 = 0 ∀j
⇒ αj = 0 ∀j (já que vj 6= 0.)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 1
Conjunto Ortonormal
Prova (do teorema)
{v1, . . . , vp} ortogonal. Então
p∑i=1
αivi = 0 ⇒
⟨ p∑i=1
αivi , vj
⟩=
⟨0, vj
⟩⇒
p∑i=1
αi⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2 = 0 ∀j
⇒ αj = 0 ∀j (já que vj 6= 0.)
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Conjunto Ortonormal
Prova (do teorema)
{v1, . . . , vp} ortogonal. Então
p∑i=1
αivi = 0 ⇒
⟨ p∑i=1
αivi , vj
⟩=
⟨0, vj
⟩⇒
p∑i=1
αi⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2 = 0 ∀j
⇒ αj = 0 ∀j (já que vj 6= 0.)
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Coordenadas em Base Ortogonal
β = {v1, . . . , vn} base ortogonal, u qualquer.
u =∑n
i=1 αivi .⟨u, vj
⟩=
⟨∑ni=1 αivi , vj
⟩=
∑ni=1 αi
⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2.
αj =
⟨u, vj
⟩‖vj‖2 ∀j .
u =∑n
i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =
〈u, v1〉‖v1‖2
...〈u, vn〉‖vn‖2
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 1
Coordenadas em Base Ortogonal
β = {v1, . . . , vn} base ortogonal, u qualquer.
u =∑n
i=1 αivi .⟨u, vj
⟩=
⟨∑ni=1 αivi , vj
⟩=
∑ni=1 αi
⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2.
αj =
⟨u, vj
⟩‖vj‖2 ∀j .
u =∑n
i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =
〈u, v1〉‖v1‖2
...〈u, vn〉‖vn‖2
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 1
Coordenadas em Base Ortogonal
β = {v1, . . . , vn} base ortogonal, u qualquer.
u =∑n
i=1 αivi .⟨u, vj
⟩=
⟨∑ni=1 αivi , vj
⟩=
∑ni=1 αi
⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2.
αj =
⟨u, vj
⟩‖vj‖2 ∀j .
u =∑n
i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =
〈u, v1〉‖v1‖2
...〈u, vn〉‖vn‖2
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 1
Coordenadas em Base Ortogonal
β = {v1, . . . , vn} base ortogonal, u qualquer.
u =∑n
i=1 αivi .⟨u, vj
⟩=
⟨∑ni=1 αivi , vj
⟩=
∑ni=1 αi
⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2.
αj =
⟨u, vj
⟩‖vj‖2 ∀j .
u =∑n
i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =
〈u, v1〉‖v1‖2
...〈u, vn〉‖vn‖2
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 1
Coordenadas em Base Ortogonal
β = {v1, . . . , vn} base ortogonal, u qualquer.
u =∑n
i=1 αivi .⟨u, vj
⟩=
⟨∑ni=1 αivi , vj
⟩=
∑ni=1 αi
⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2.
αj =
⟨u, vj
⟩‖vj‖2 ∀j .
u =∑n
i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =
〈u, v1〉‖v1‖2
...〈u, vn〉‖vn‖2
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 1
Coordenadas em Base Ortogonal
β = {v1, . . . , vn} base ortogonal, u qualquer.
u =∑n
i=1 αivi .⟨u, vj
⟩=
⟨∑ni=1 αivi , vj
⟩=
∑ni=1 αi
⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2.
αj =
⟨u, vj
⟩‖vj‖2 ∀j .
u =∑n
i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =
〈u, v1〉‖v1‖2
...〈u, vn〉‖vn‖2
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 1
Coordenadas em Base Ortogonal
β = {v1, . . . , vn} base ortogonal, u qualquer.
u =∑n
i=1 αivi .⟨u, vj
⟩=
⟨∑ni=1 αivi , vj
⟩=
∑ni=1 αi
⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2.
αj =
⟨u, vj
⟩‖vj‖2 ∀j .
u =∑n
i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =
〈u, v1〉‖v1‖2
...〈u, vn〉‖vn‖2
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 1
Coordenadas em Base Ortogonal
β = {v1, . . . , vn} base ortogonal, u qualquer.
u =∑n
i=1 αivi .⟨u, vj
⟩=
⟨∑ni=1 αivi , vj
⟩=
∑ni=1 αi
⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2.
αj =
⟨u, vj
⟩‖vj‖2 ∀j .
u =∑n
i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =
〈u, v1〉‖v1‖2
...〈u, vn〉‖vn‖2
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 1
Coordenadas em Base Ortogonal
β = {v1, . . . , vn} base ortogonal, u qualquer.
u =∑n
i=1 αivi .⟨u, vj
⟩=
⟨∑ni=1 αivi , vj
⟩=
∑ni=1 αi
⟨vi , vj
⟩= αj‖vj‖2.
αj =
⟨u, vj
⟩‖vj‖2 ∀j .
u =∑n
i=1〈u, vi〉‖vi‖2 vi , [u]β =
〈u, v1〉‖v1‖2
...〈u, vn〉‖vn‖2
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 1
Coordenadas em Base Ortonormal
β = {v1, . . . , vn} base ortonormal, u qualquer.
Como ‖vi‖2 = 1 ∀i ,
u =∑n
i=1 〈u, vi〉 vi , [u]β =
〈u, v1〉...
〈u, vn〉
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 1
Coordenadas em Base Ortonormal
β = {v1, . . . , vn} base ortonormal, u qualquer.
Como ‖vi‖2 = 1 ∀i ,
u =∑n
i=1 〈u, vi〉 vi , [u]β =
〈u, v1〉...
〈u, vn〉
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 1
Coordenadas em Base Ortonormal
β = {v1, . . . , vn} base ortonormal, u qualquer.
Como ‖vi‖2 = 1 ∀i ,
u =∑n
i=1 〈u, vi〉 vi , [u]β =
〈u, v1〉...
〈u, vn〉
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 1
Coordenadas em Base Ortonormal
β = {v1, . . . , vn} base ortonormal, u qualquer.
Como ‖vi‖2 = 1 ∀i ,
u =∑n
i=1 〈u, vi〉 vi , [u]β =
〈u, v1〉...
〈u, vn〉
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 1
Coordenadas em Base Ortonormal
β = {v1, . . . , vn} base ortonormal, u qualquer.
Como ‖vi‖2 = 1 ∀i ,
u =∑n
i=1 〈u, vi〉 vi , [u]β =
〈u, v1〉...
〈u, vn〉
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 1
Processo de Gram-Schmidt
A partir de uma base qualquer {v1, . . . , vp} de umsubespaço H, queremos construir uma base ortogonal{u1, . . . , up} para este subspaço.
Podemos exigir que:
u1 = v1
u2 = v2 + αv1
u3 = v3 + βv1 + γv2... =
...up = vp + . . . .
Desta forma, 〈u1, . . . , uk 〉 = 〈v1, . . . , vk 〉 ∀k .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 1
Processo de Gram-Schmidt
A partir de uma base qualquer {v1, . . . , vp} de umsubespaço H, queremos construir uma base ortogonal{u1, . . . , up} para este subspaço.
Podemos exigir que:
u1 = v1
u2 = v2 + αv1
u3 = v3 + βv1 + γv2... =
...up = vp + . . . .
Desta forma, 〈u1, . . . , uk 〉 = 〈v1, . . . , vk 〉 ∀k .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 1
Processo de Gram-Schmidt
A partir de uma base qualquer {v1, . . . , vp} de umsubespaço H, queremos construir uma base ortogonal{u1, . . . , up} para este subspaço.
Podemos exigir que:
u1 = v1
u2 = v2 + αv1
u3 = v3 + βv1 + γv2... =
...up = vp + . . . .
Desta forma, 〈u1, . . . , uk 〉 = 〈v1, . . . , vk 〉 ∀k .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 1
Processo de Gram-Schmidt
Como 〈u1, . . . , uk 〉 = 〈v1, . . . , vk 〉, podemos reescrever:
u1 = v1
u2 = v2 + αu1
u3 = v3 + βu1 + γu2... =
...up = vp + . . . .
Como calcular α, β, γ, . . . ? Ortogonalidade!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 1
Processo de Gram-Schmidt
Como 〈u1, . . . , uk 〉 = 〈v1, . . . , vk 〉, podemos reescrever:
u1 = v1
u2 = v2 + αu1
u3 = v3 + βu1 + γu2... =
...up = vp + . . . .
Como calcular α, β, γ, . . . ? Ortogonalidade!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 1
Processo de Gram-Schmidt
Como 〈u1, . . . , uk 〉 = 〈v1, . . . , vk 〉, podemos reescrever:
u1 = v1
u2 = v2 + αu1
u3 = v3 + βu1 + γu2... =
...up = vp + . . . .
Como calcular α, β, γ, . . . ? Ortogonalidade!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 1
Processo de Gram-Schmidt
u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0
}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0
⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0
⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0
⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0
⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0
⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 1
Processo de Gram-Schmidt
u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0
}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0
⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0
⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0
⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0
⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0
⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 1
Processo de Gram-Schmidt
u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0
}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0
⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0
⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0
⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0
⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0
⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 1
Processo de Gram-Schmidt
u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0
}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0
⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0
⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0
⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0
⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0
⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 1
Processo de Gram-Schmidt
u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0
}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0
⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0
⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0
⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0
⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0
⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 1
Processo de Gram-Schmidt
u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0
}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0
⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0
⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0
⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0
⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0
⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 1
Processo de Gram-Schmidt
u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0
}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0
⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0
⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0
⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0
⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0
⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 1
Processo de Gram-Schmidt
u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0
}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0
⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0
⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0
⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0
⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0
⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 1
Processo de Gram-Schmidt
u2 = v2 + αu1〈u2, u1〉 = 0
}⇒ 〈v2, u1〉+ α 〈u1, u1〉 = 0
⇒ α = −〈v2, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u1〉 = 0〈u2, u1〉 = 0
⇒ 〈v3, u1〉+ β 〈u1, u1〉 = 0
⇒ β = −〈v3, u1〉〈u1, u1〉
u3 = v3 + βu1 + γu2〈u3, u2〉 = 0〈u1, u2〉 = 0
⇒ 〈v3, u2〉+ γ 〈u2, u2〉 = 0
⇒ γ = −〈v3, u2〉〈u2, u2〉
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 1
Processo de Gram-Schmidt
Assim,
u1 = v1
u2 = v2 −〈v2, u1〉〈u1, u1〉
u1
u3 = v3 −〈v3, u1〉〈u1, u1〉
u1 −〈v3, u2〉〈u2, u2〉
u2
... =...
up = vp −〈vp, u1〉〈u1, u1〉
u1 −〈vp, u2〉〈u2, u2〉
u2 . . .−⟨vp, up−1
⟩⟨up−1, up−1
⟩up−1
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 1
Complemento Ortogonal
Definição (complemento ortogonal)
H ⊂ V subespaço vetorial. O complemento ortogonal de H,denotado H⊥, é o conjunto dos vetores de V ortogonais atodos os vetores de H,
H⊥ = {v ∈ V | 〈v, u〉 = 0 ∀u ∈ H}.
Observação
H⊥ é subespaço.Se {u1, . . . , up} é base de H, então
H⊥ = {v ∈ V | 〈v, ui〉 = 0 i = 1, . . . , p}.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 1
Complemento Ortogonal
Definição (complemento ortogonal)
H ⊂ V subespaço vetorial. O complemento ortogonal de H,denotado H⊥, é o conjunto dos vetores de V ortogonais atodos os vetores de H,
H⊥ = {v ∈ V | 〈v, u〉 = 0 ∀u ∈ H}.
Observação
H⊥ é subespaço.Se {u1, . . . , up} é base de H, então
H⊥ = {v ∈ V | 〈v, ui〉 = 0 i = 1, . . . , p}.
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Complemento Ortogonal
Definição (complemento ortogonal)
H ⊂ V subespaço vetorial. O complemento ortogonal de H,denotado H⊥, é o conjunto dos vetores de V ortogonais atodos os vetores de H,
H⊥ = {v ∈ V | 〈v, u〉 = 0 ∀u ∈ H}.
Observação
H⊥ é subespaço.Se {u1, . . . , up} é base de H, então
H⊥ = {v ∈ V | 〈v, ui〉 = 0 i = 1, . . . , p}.
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Complemento Ortogonal
Lema
Sejam βH = {u1, . . . , up} base ortogonal de H eβ = {u1, . . . , up, up+1, . . . , un} uma extensão de βH a umabase ortogonal de V . Então βH⊥ = {up+1, . . . , un} é basede H⊥.
Corolário
Se H ⊂ V com dim(V ) = n e dim(H) = p, entãodim(H⊥) = n − p.
Corolário
(H⊥)⊥ = H
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Complemento Ortogonal
Lema
Sejam βH = {u1, . . . , up} base ortogonal de H eβ = {u1, . . . , up, up+1, . . . , un} uma extensão de βH a umabase ortogonal de V . Então βH⊥ = {up+1, . . . , un} é basede H⊥.
Corolário
Se H ⊂ V com dim(V ) = n e dim(H) = p, entãodim(H⊥) = n − p.
Corolário
(H⊥)⊥ = H
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Complemento Ortogonal
Lema
Sejam βH = {u1, . . . , up} base ortogonal de H eβ = {u1, . . . , up, up+1, . . . , un} uma extensão de βH a umabase ortogonal de V . Então βH⊥ = {up+1, . . . , un} é basede H⊥.
Corolário
Se H ⊂ V com dim(V ) = n e dim(H) = p, entãodim(H⊥) = n − p.
Corolário
(H⊥)⊥ = H
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Complemento Ortogonal
Lema
Sejam βH = {u1, . . . , up} base ortogonal de H eβ = {u1, . . . , up, up+1, . . . , un} uma extensão de βH a umabase ortogonal de V . Então βH⊥ = {up+1, . . . , un} é basede H⊥.
Corolário
Se H ⊂ V com dim(V ) = n e dim(H) = p, entãodim(H⊥) = n − p.
Corolário
(H⊥)⊥ = H
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 1
Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
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Relação entre Nuc(A) e Im(AT )
Sejam A ∈ Rm×n,Rn 3 v ∈ Nuc(A) eRn 3 y = AT x ∈ Im(AT ).
Então
〈v, y〉 = vT y = vT AT x = (Av)T x = 〈Av, x〉 = 〈0, x〉 = 0.
Qualquer vetor de Nuc(A) é ortogonal a qualquer vetor deIm(AT ). Além disso, dim(Nuc(A)) + dim(Im(AT )) = n.Portanto, Nuc(A)⊥ = Im(AT ) e Nuc(A) = Im(AT )⊥.Analogamente, Nuc(AT )⊥ = Im(A) e Nuc(AT ) = Im(A)⊥.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 1
Base para H⊥
Seja H = 〈v1, . . . , vm〉. Queremos base para H⊥.
v ∈ H⊥ ⇐⇒ 〈v, vi〉 = vT vi = vTi v = 0, i = 1, . . . , m
⇐⇒
vT
1
vT2...
vTm
v =
00...0
⇐⇒ AT v = 0
H⊥ = Nuc(AT ), onde A =[
v1 · · · vm
]
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 1
Base para H⊥
Seja H = 〈v1, . . . , vm〉. Queremos base para H⊥.
v ∈ H⊥ ⇐⇒ 〈v, vi〉 = vT vi = vTi v = 0, i = 1, . . . , m
⇐⇒
vT
1
vT2...
vTm
v =
00...0
⇐⇒ AT v = 0
H⊥ = Nuc(AT ), onde A =[
v1 · · · vm
]
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 1
Base para H⊥
Seja H = 〈v1, . . . , vm〉. Queremos base para H⊥.
v ∈ H⊥ ⇐⇒ 〈v, vi〉 = vT vi = vTi v = 0, i = 1, . . . , m
⇐⇒
vT
1
vT2...
vTm
v =
00...0
⇐⇒ AT v = 0
H⊥ = Nuc(AT ), onde A =[
v1 · · · vm
]
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 1
Base para H⊥
Seja H = 〈v1, . . . , vm〉. Queremos base para H⊥.
v ∈ H⊥ ⇐⇒ 〈v, vi〉 = vT vi = vTi v = 0, i = 1, . . . , m
⇐⇒
vT
1
vT2...
vTm
v =
00...0
⇐⇒ AT v = 0
H⊥ = Nuc(AT ), onde A =[
v1 · · · vm
]
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 1
Base para H⊥
Seja H = 〈v1, . . . , vm〉. Queremos base para H⊥.
v ∈ H⊥ ⇐⇒ 〈v, vi〉 = vT vi = vTi v = 0, i = 1, . . . , m
⇐⇒
vT
1
vT2...
vTm
v =
00...0
⇐⇒ AT v = 0
H⊥ = Nuc(AT ), onde A =[
v1 · · · vm
]
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 1
Base para H⊥
Seja H = 〈v1, . . . , vm〉. Queremos base para H⊥.
v ∈ H⊥ ⇐⇒ 〈v, vi〉 = vT vi = vTi v = 0, i = 1, . . . , m
⇐⇒
vT
1
vT2...
vTm
v =
00...0
⇐⇒ AT v = 0
H⊥ = Nuc(AT ), onde A =[
v1 · · · vm
]
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 1
Notação
V espaço vetorial, dim(V ) = n
H ⊂ V subespaço vetorial, dim(H) = p
γ = {u1, . . . , up} base ortogonal de H
β ={
u1, . . . , up, up+1, . . . , un}
base ortogonal de V
Observação
δ ={
up+1, . . . , un}
é base ortogonal de H⊥.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 1
Notação
V espaço vetorial, dim(V ) = n
H ⊂ V subespaço vetorial, dim(H) = p
γ = {u1, . . . , up} base ortogonal de H
β ={
u1, . . . , up, up+1, . . . , un}
base ortogonal de V
Observação
δ ={
up+1, . . . , un}
é base ortogonal de H⊥.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 1
Notação
V espaço vetorial, dim(V ) = n
H ⊂ V subespaço vetorial, dim(H) = p
γ = {u1, . . . , up} base ortogonal de H
β ={
u1, . . . , up, up+1, . . . , un}
base ortogonal de V
Observação
δ ={
up+1, . . . , un}
é base ortogonal de H⊥.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 1
Notação
V espaço vetorial, dim(V ) = n
H ⊂ V subespaço vetorial, dim(H) = p
γ = {u1, . . . , up} base ortogonal de H
β ={
u1, . . . , up, up+1, . . . , un}
base ortogonal de V
Observação
δ ={
up+1, . . . , un}
é base ortogonal de H⊥.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 1
Notação
V espaço vetorial, dim(V ) = n
H ⊂ V subespaço vetorial, dim(H) = p
γ = {u1, . . . , up} base ortogonal de H
β ={
u1, . . . , up, up+1, . . . , un}
base ortogonal de V
Observação
δ ={
up+1, . . . , un}
é base ortogonal de H⊥.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 1
Teorema de Pitágoras
Teorema (de Pitágoras)
Sejam vH ∈ H e vH⊥ ∈ H⊥. Então
‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.
Prova
‖vH + vH⊥‖2
= 〈vH + vH⊥ , vH + vH⊥〉= 〈vH , vH〉+ 〈vH , vH⊥〉︸ ︷︷ ︸
=0
+ 〈vH⊥ , vH〉︸ ︷︷ ︸=0
+ 〈vH⊥ , vH⊥〉
= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 1
Teorema de Pitágoras
Teorema (de Pitágoras)
Sejam vH ∈ H e vH⊥ ∈ H⊥. Então
‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.
Prova
‖vH + vH⊥‖2
= 〈vH + vH⊥ , vH + vH⊥〉= 〈vH , vH〉+ 〈vH , vH⊥〉︸ ︷︷ ︸
=0
+ 〈vH⊥ , vH〉︸ ︷︷ ︸=0
+ 〈vH⊥ , vH⊥〉
= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 1
Teorema de Pitágoras
Teorema (de Pitágoras)
Sejam vH ∈ H e vH⊥ ∈ H⊥. Então
‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.
Prova
‖vH + vH⊥‖2
= 〈vH + vH⊥ , vH + vH⊥〉= 〈vH , vH〉+ 〈vH , vH⊥〉︸ ︷︷ ︸
=0
+ 〈vH⊥ , vH〉︸ ︷︷ ︸=0
+ 〈vH⊥ , vH⊥〉
= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 1
Teorema de Pitágoras
Teorema (de Pitágoras)
Sejam vH ∈ H e vH⊥ ∈ H⊥. Então
‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.
Prova
‖vH + vH⊥‖2
= 〈vH + vH⊥ , vH + vH⊥〉= 〈vH , vH〉+ 〈vH , vH⊥〉︸ ︷︷ ︸
=0
+ 〈vH⊥ , vH〉︸ ︷︷ ︸=0
+ 〈vH⊥ , vH⊥〉
= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 1
Teorema de Pitágoras
Teorema (de Pitágoras)
Sejam vH ∈ H e vH⊥ ∈ H⊥. Então
‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.
Prova
‖vH + vH⊥‖2
= 〈vH + vH⊥ , vH + vH⊥〉= 〈vH , vH〉+ 〈vH , vH⊥〉︸ ︷︷ ︸
=0
+ 〈vH⊥ , vH〉︸ ︷︷ ︸=0
+ 〈vH⊥ , vH⊥〉
= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2
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Teorema de Pitágoras
Teorema (de Pitágoras)
Sejam vH ∈ H e vH⊥ ∈ H⊥. Então
‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.
Prova
‖vH + vH⊥‖2
= 〈vH + vH⊥ , vH + vH⊥〉= 〈vH , vH〉+ 〈vH , vH⊥〉︸ ︷︷ ︸
=0
+ 〈vH⊥ , vH〉︸ ︷︷ ︸=0
+ 〈vH⊥ , vH⊥〉
= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 1
Teorema de Pitágoras
Teorema (de Pitágoras)
Sejam vH ∈ H e vH⊥ ∈ H⊥. Então
‖vH + vH⊥‖2 = ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2.
Prova
‖vH + vH⊥‖2
= 〈vH + vH⊥ , vH + vH⊥〉= 〈vH , vH〉+ 〈vH , vH⊥〉︸ ︷︷ ︸
=0
+ 〈vH⊥ , vH〉︸ ︷︷ ︸=0
+ 〈vH⊥ , vH⊥〉
= 〈vH , vH〉+ 〈vH⊥ , vH⊥〉= ‖vH‖2 + ‖vH⊥‖2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 1
Decomposição Ortogonal
Teorema
Dado v ∈ V, existe uma única decomposição v = vH + vH⊥ .
Prova
Existência: v =n∑
i=1
αiui =
p∑i=1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H
+n∑
i=p+1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H⊥
Unicidade: Suponha v = vH + vH⊥ = wH + wH⊥ . Então
vH −wH︸ ︷︷ ︸∈H
= wH⊥ − vH⊥︸ ︷︷ ︸∈H⊥
∈ H ∩ H⊥ = {0}.
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Decomposição Ortogonal
Teorema
Dado v ∈ V, existe uma única decomposição v = vH + vH⊥ .
Prova
Existência: v =n∑
i=1
αiui =
p∑i=1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H
+n∑
i=p+1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H⊥
Unicidade: Suponha v = vH + vH⊥ = wH + wH⊥ . Então
vH −wH︸ ︷︷ ︸∈H
= wH⊥ − vH⊥︸ ︷︷ ︸∈H⊥
∈ H ∩ H⊥ = {0}.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 1
Decomposição Ortogonal
Teorema
Dado v ∈ V, existe uma única decomposição v = vH + vH⊥ .
Prova
Existência: v =n∑
i=1
αiui =
p∑i=1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H
+n∑
i=p+1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H⊥
Unicidade: Suponha v = vH + vH⊥ = wH + wH⊥ . Então
vH −wH︸ ︷︷ ︸∈H
= wH⊥ − vH⊥︸ ︷︷ ︸∈H⊥
∈ H ∩ H⊥ = {0}.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 1
Decomposição Ortogonal
Teorema
Dado v ∈ V, existe uma única decomposição v = vH + vH⊥ .
Prova
Existência: v =n∑
i=1
αiui =
p∑i=1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H
+n∑
i=p+1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H⊥
Unicidade: Suponha v = vH + vH⊥ = wH + wH⊥ . Então
vH −wH︸ ︷︷ ︸∈H
= wH⊥ − vH⊥︸ ︷︷ ︸∈H⊥
∈ H ∩ H⊥ = {0}.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 1
Decomposição Ortogonal
Teorema
Dado v ∈ V, existe uma única decomposição v = vH + vH⊥ .
Prova
Existência: v =n∑
i=1
αiui =
p∑i=1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H
+n∑
i=p+1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H⊥
Unicidade: Suponha v = vH + vH⊥ = wH + wH⊥ . Então
vH −wH︸ ︷︷ ︸∈H
= wH⊥ − vH⊥︸ ︷︷ ︸∈H⊥
∈ H ∩ H⊥ = {0}.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 1
Decomposição Ortogonal
Teorema
Dado v ∈ V, existe uma única decomposição v = vH + vH⊥ .
Prova
Existência: v =n∑
i=1
αiui =
p∑i=1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H
+n∑
i=p+1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H⊥
Unicidade: Suponha v = vH + vH⊥ = wH + wH⊥ . Então
vH −wH︸ ︷︷ ︸∈H
= wH⊥ − vH⊥︸ ︷︷ ︸∈H⊥
∈ H ∩ H⊥ = {0}.
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Decomposição Ortogonal
Teorema
Dado v ∈ V, existe uma única decomposição v = vH + vH⊥ .
Prova
Existência: v =n∑
i=1
αiui =
p∑i=1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H
+n∑
i=p+1
αiui︸ ︷︷ ︸∈ H⊥
Unicidade: Suponha v = vH + vH⊥ = wH + wH⊥ . Então
vH −wH︸ ︷︷ ︸∈H
= wH⊥ − vH⊥︸ ︷︷ ︸∈H⊥
∈ H ∩ H⊥ = {0}.
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Projeção Ortogonal
Definição (projeção ortogonal)
Projeção ortogonal sobre H:
PH : V → Hv 7→ vH tal que v = vH + vH⊥
Observação
Fica claro da definição que v = PHv + PH⊥v ∀v ∈ V.Portanto, PH + PH⊥ = I e
PH⊥ = I − PH .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 1
Projeção Ortogonal
Definição (projeção ortogonal)
Projeção ortogonal sobre H:
PH : V → Hv 7→ vH tal que v = vH + vH⊥
Observação
Fica claro da definição que v = PHv + PH⊥v ∀v ∈ V.Portanto, PH + PH⊥ = I e
PH⊥ = I − PH .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 1
Projeção Ortogonal
Definição (projeção ortogonal)
Projeção ortogonal sobre H:
PH : V → Hv 7→ vH tal que v = vH + vH⊥
Observação
Fica claro da definição que v = PHv + PH⊥v ∀v ∈ V.Portanto, PH + PH⊥ = I e
PH⊥ = I − PH .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 1
Projeção Ortogonal
Definição (projeção ortogonal)
Projeção ortogonal sobre H:
PH : V → Hv 7→ vH tal que v = vH + vH⊥
Observação
Fica claro da definição que v = PHv + PH⊥v ∀v ∈ V.Portanto, PH + PH⊥ = I e
PH⊥ = I − PH .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 1
Projeção Ortogonal
Definição (projeção ortogonal)
Projeção ortogonal sobre H:
PH : V → Hv 7→ vH tal que v = vH + vH⊥
Observação
Fica claro da definição que v = PHv + PH⊥v ∀v ∈ V.Portanto, PH + PH⊥ = I e
PH⊥ = I − PH .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 1
Propriedades da Projeção Ortogonal
PH é linear
PHv = 0 ⇔ v ∈ H⊥, ou seja, N(PH) = H⊥
PHv = v ⇔ v ∈ H
A imagem de PH é Im(PH) = H
P2H = PH
PTH = PH
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 1
Propriedades da Projeção Ortogonal
PH é linear
PHv = 0 ⇔ v ∈ H⊥, ou seja, N(PH) = H⊥
PHv = v ⇔ v ∈ H
A imagem de PH é Im(PH) = H
P2H = PH
PTH = PH
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 1
Propriedades da Projeção Ortogonal
PH é linear
PHv = 0 ⇔ v ∈ H⊥, ou seja, N(PH) = H⊥
PHv = v ⇔ v ∈ H
A imagem de PH é Im(PH) = H
P2H = PH
PTH = PH
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 1
Propriedades da Projeção Ortogonal
PH é linear
PHv = 0 ⇔ v ∈ H⊥, ou seja, N(PH) = H⊥
PHv = v ⇔ v ∈ H
A imagem de PH é Im(PH) = H
P2H = PH
PTH = PH
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 1
Propriedades da Projeção Ortogonal
PH é linear
PHv = 0 ⇔ v ∈ H⊥, ou seja, N(PH) = H⊥
PHv = v ⇔ v ∈ H
A imagem de PH é Im(PH) = H
P2H = PH
PTH = PH
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 1
Propriedades da Projeção Ortogonal
PH é linear
PHv = 0 ⇔ v ∈ H⊥, ou seja, N(PH) = H⊥
PHv = v ⇔ v ∈ H
A imagem de PH é Im(PH) = H
P2H = PH
PTH = PH
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 1
Cálculo da Projeção Ortogonal
v =n∑
i=1
〈v, ui〉〈ui , ui〉
ui
=
p∑i=1
〈v, ui〉〈ui , ui〉
ui︸ ︷︷ ︸∈H
+n∑
i=p+1
〈v, ui〉〈ui , ui〉
ui︸ ︷︷ ︸∈H⊥
PHv =
p∑i=1
〈v, ui〉〈ui , ui〉
ui
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 1
Cálculo da Projeção Ortogonal
v =n∑
i=1
〈v, ui〉〈ui , ui〉
ui
=
p∑i=1
〈v, ui〉〈ui , ui〉
ui︸ ︷︷ ︸∈H
+n∑
i=p+1
〈v, ui〉〈ui , ui〉
ui︸ ︷︷ ︸∈H⊥
PHv =
p∑i=1
〈v, ui〉〈ui , ui〉
ui
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 1
Cálculo da Projeção Ortogonal
v =n∑
i=1
〈v, ui〉〈ui , ui〉
ui
=
p∑i=1
〈v, ui〉〈ui , ui〉
ui︸ ︷︷ ︸∈H
+n∑
i=p+1
〈v, ui〉〈ui , ui〉
ui︸ ︷︷ ︸∈H⊥
PHv =
p∑i=1
〈v, ui〉〈ui , ui〉
ui
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 1
Cálculo da Projeção Ortogonal
PHv =
p∑i=1
〈v, ui〉 ui =[
u1 · · · up
] 〈v, u1〉...
〈v, up〉
=[
u1 · · · up
] uT1 v...
uTp v
=[
u1 · · · up
] uT1...
uTp
v
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 1
Cálculo da Projeção Ortogonal
PHv =
p∑i=1
〈v, ui〉 ui =[
u1 · · · up
] 〈v, u1〉...
〈v, up〉
=[
u1 · · · up
] uT1 v...
uTp v
=[
u1 · · · up
] uT1...
uTp
v
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 1
Cálculo da Projeção Ortogonal
PHv =
p∑i=1
〈v, ui〉 ui =[
u1 · · · up
] 〈v, u1〉...
〈v, up〉
=[
u1 · · · up
] uT1 v...
uTp v
=[
u1 · · · up
] uT1...
uTp
v
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 1
Cálculo da Projeção Ortogonal
PHv =
p∑i=1
〈v, ui〉 ui =[
u1 · · · up
] 〈v, u1〉...
〈v, up〉
=[
u1 · · · up
] uT1 v...
uTp v
=[
u1 · · · up
] uT1...
uTp
v
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 1
Cálculo da Projeção Ortogonal
Lema
Seja H = 〈u1, . . . , up〉, onde {u1, . . . , up} é ortonormal.Defina Q =
[u1 · · · up
]. Então
PH = QQT .
Definição (matriz ortogonal)
Uma matriz é ortogonal se suas colunas são ortonormais.
Observação
Qm×n é ortogonal s.s.s. QT Q = In×n.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 1
Cálculo da Projeção Ortogonal
Lema
Seja H = 〈u1, . . . , up〉, onde {u1, . . . , up} é ortonormal.Defina Q =
[u1 · · · up
]. Então
PH = QQT .
Definição (matriz ortogonal)
Uma matriz é ortogonal se suas colunas são ortonormais.
Observação
Qm×n é ortogonal s.s.s. QT Q = In×n.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 1
Cálculo da Projeção Ortogonal
Lema
Seja H = 〈u1, . . . , up〉, onde {u1, . . . , up} é ortonormal.Defina Q =
[u1 · · · up
]. Então
PH = QQT .
Definição (matriz ortogonal)
Uma matriz é ortogonal se suas colunas são ortonormais.
Observação
Qm×n é ortogonal s.s.s. QT Q = In×n.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 1
Cálculo da Projeção Ortogonal
Lema
Seja H = 〈u1, . . . , up〉, onde {u1, . . . , up} é ortonormal.Defina Q =
[u1 · · · up
]. Então
PH = QQT .
Definição (matriz ortogonal)
Uma matriz é ortogonal se suas colunas são ortonormais.
Observação
Qm×n é ortogonal s.s.s. QT Q = In×n.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 1
Cálculo da Projeção Ortogonal
Lema
Seja H = 〈u1, . . . , up〉, onde {u1, . . . , up} é ortonormal.Defina Q =
[u1 · · · up
]. Então
PH = QQT .
Definição (matriz ortogonal)
Uma matriz é ortogonal se suas colunas são ortonormais.
Observação
Qm×n é ortogonal s.s.s. QT Q = In×n.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 1
Exemplo 1
H =
⟨ 123
⟩e v =
200
. Calcule PHv e PH⊥v.
PHv =〈v, u1〉〈u1, u1〉
u1 =
⟨ 200
,
123
⟩⟨ 1
23
,
123
⟩ 1
23
=214
123
=
1/72/73/7
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 1
Exemplo 1
H =
⟨ 123
⟩e v =
200
. Calcule PHv e PH⊥v.
PHv =〈v, u1〉〈u1, u1〉
u1 =
⟨ 200
,
123
⟩⟨ 1
23
,
123
⟩ 1
23
=214
123
=
1/72/73/7
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 1
Exemplo 1
H =
⟨ 123
⟩e v =
200
. Calcule PHv e PH⊥v.
PHv =〈v, u1〉〈u1, u1〉
u1 =
⟨ 200
,
123
⟩⟨ 1
23
,
123
⟩ 1
23
=214
123
=
1/72/73/7
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 1
Exemplo 1
H =
⟨ 123
⟩e v =
200
. Calcule PHv e PH⊥v.
PHv =〈v, u1〉〈u1, u1〉
u1 =
⟨ 200
,
123
⟩⟨ 1
23
,
123
⟩ 1
23
=214
123
=
1/72/73/7
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 1
Exemplo 1
H =
⟨ 123
⟩e v =
200
. Calcule PHv e PH⊥v.
PHv =〈v, u1〉〈u1, u1〉
u1 =
⟨ 200
,
123
⟩⟨ 1
23
,
123
⟩ 1
23
=214
123
=
1/72/73/7
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 1
Exemplo 1 - cont.
PH⊥v = (I − PH)v =
200
− 1/7
2/73/7
=
13/7−2/7−3/7
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 35 / 1
Exemplo 1 - cont.
PH⊥v = (I − PH)v =
200
− 1/7
2/73/7
=
13/7−2/7−3/7
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 35 / 1
Exemplo 1 - cont.
PH⊥v = (I − PH)v =
200
− 1/7
2/73/7
=
13/7−2/7−3/7
.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 35 / 1
Problema da Dieta
Kcal/g gord. (%)arroz 2.5 3carne 3.1 21
peso total: 150 gcal. total: 450 Kcalgordura total: 25 g
arroz + carne = 150
2.50 arroz + 3.10 carne = 4500.03 arroz + 0.21 carne = 25
1 1 1502.50 3.10 4500.03 0.21 25
∼
1 1 1500 0.60 750 0 −2
Não tem solução!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 1
Problema da Dieta
Kcal/g gord. (%)arroz 2.5 3carne 3.1 21
peso total: 150 gcal. total: 450 Kcalgordura total: 25 g
arroz + carne = 150
2.50 arroz + 3.10 carne = 4500.03 arroz + 0.21 carne = 25
1 1 1502.50 3.10 4500.03 0.21 25
∼
1 1 1500 0.60 750 0 −2
Não tem solução!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 1
Problema da Dieta
Kcal/g gord. (%)arroz 2.5 3carne 3.1 21
peso total: 150 gcal. total: 450 Kcalgordura total: 25 g
arroz + carne = 150
2.50 arroz + 3.10 carne = 4500.03 arroz + 0.21 carne = 25
1 1 1502.50 3.10 4500.03 0.21 25
∼
1 1 1500 0.60 750 0 −2
Não tem solução!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 1
Problema da Dieta
Kcal/g gord. (%)arroz 2.5 3carne 3.1 21
peso total: 150 gcal. total: 450 Kcalgordura total: 25 g
arroz + carne = 150
2.50 arroz + 3.10 carne = 4500.03 arroz + 0.21 carne = 25
1 1 1502.50 3.10 4500.03 0.21 25
∼
1 1 1500 0.60 750 0 −2
Não tem solução!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 1
Problema da Dieta
Kcal/g gord. (%)arroz 2.5 3carne 3.1 21
peso total: 150 gcal. total: 450 Kcalgordura total: 25 g
arroz + carne = 150
2.50 arroz + 3.10 carne = 4500.03 arroz + 0.21 carne = 25
1 1 1502.50 3.10 4500.03 0.21 25
∼
1 1 1500 0.60 750 0 −2
Não tem solução!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 1
Problema da Dieta
Kcal/g gord. (%)arroz 2.5 3carne 3.1 21
peso total: 150 gcal. total: 450 Kcalgordura total: 25 g
arroz + carne = 150
2.50 arroz + 3.10 carne = 4500.03 arroz + 0.21 carne = 25
1 1 1502.50 3.10 4500.03 0.21 25
∼
1 1 1500 0.60 750 0 −2
Não tem solução!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 1
Problema da Dieta
No entanto, tomando-se 38 g de arroz e 113 g de carne, 1 12.50 3.100.03 0.21
[38
113
]=
151445.324.87
≈
150450
25
.
Existe uma boa solução para um problema sem solução!
DESENHO
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 37 / 1
Problema da Dieta
No entanto, tomando-se 38 g de arroz e 113 g de carne, 1 12.50 3.100.03 0.21
[38
113
]=
151445.324.87
≈
150450
25
.
Existe uma boa solução para um problema sem solução!
DESENHO
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 37 / 1
Problema da Dieta
No entanto, tomando-se 38 g de arroz e 113 g de carne, 1 12.50 3.100.03 0.21
[38
113
]=
151445.324.87
≈
150450
25
.
Existe uma boa solução para um problema sem solução!
DESENHO
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 37 / 1
Problema da Dieta
No entanto, tomando-se 38 g de arroz e 113 g de carne, 1 12.50 3.100.03 0.21
[38
113
]=
151445.324.87
≈
150450
25
.
Existe uma boa solução para um problema sem solução!
DESENHO
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 37 / 1
Mínimos Quadrados
Ax = b (ou, equiv., b− Ax = 0) pode não ter solução,
mas sempre é possível
minimizar ‖b− Ax‖ (ou, equiv., ‖b− Ax‖2).
Definição (mínimos quadrados)
A solução no sentido de mínimos quadrados do sistemaAx = b é aquela que minimiza (o quadrado d)o resíduoassociado a x, onde o resíduo é dado por r = b− Ax.Note que ‖r‖2 =
∑i r2
i , donde segue o nome mínimosquadrados.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 38 / 1
Mínimos Quadrados
Ax = b (ou, equiv., b− Ax = 0) pode não ter solução,
mas sempre é possível
minimizar ‖b− Ax‖ (ou, equiv., ‖b− Ax‖2).
Definição (mínimos quadrados)
A solução no sentido de mínimos quadrados do sistemaAx = b é aquela que minimiza (o quadrado d)o resíduoassociado a x, onde o resíduo é dado por r = b− Ax.Note que ‖r‖2 =
∑i r2
i , donde segue o nome mínimosquadrados.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 38 / 1
Mínimos Quadrados
Ax = b (ou, equiv., b− Ax = 0) pode não ter solução,
mas sempre é possível
minimizar ‖b− Ax‖ (ou, equiv., ‖b− Ax‖2).
Definição (mínimos quadrados)
A solução no sentido de mínimos quadrados do sistemaAx = b é aquela que minimiza (o quadrado d)o resíduoassociado a x, onde o resíduo é dado por r = b− Ax.Note que ‖r‖2 =
∑i r2
i , donde segue o nome mínimosquadrados.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 38 / 1
Um Problema Correlato
Dado b 6∈ H, encontrar vH ∈ H mais próximo de b.
Podemos decompor b = bH + bH⊥ , de forma que
‖vH − b‖2 = ‖vH − bH︸ ︷︷ ︸∈H
−bH⊥‖2 = ‖vH − bH‖2 + ‖bH⊥‖2.
O mínimo é atingido quando vH = bH = PHb.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 1
Um Problema Correlato
Dado b 6∈ H, encontrar vH ∈ H mais próximo de b.
Podemos decompor b = bH + bH⊥ , de forma que
‖vH − b‖2 = ‖vH − bH︸ ︷︷ ︸∈H
−bH⊥‖2 = ‖vH − bH‖2 + ‖bH⊥‖2.
O mínimo é atingido quando vH = bH = PHb.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 1
Um Problema Correlato
Dado b 6∈ H, encontrar vH ∈ H mais próximo de b.
Podemos decompor b = bH + bH⊥ , de forma que
‖vH − b‖2 = ‖vH − bH︸ ︷︷ ︸∈H
−bH⊥‖2 = ‖vH − bH‖2 + ‖bH⊥‖2.
O mínimo é atingido quando vH = bH = PHb.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 1
Um Problema Correlato
Dado b 6∈ H, encontrar vH ∈ H mais próximo de b.
Podemos decompor b = bH + bH⊥ , de forma que
‖vH − b‖2 = ‖vH − bH︸ ︷︷ ︸∈H
−bH⊥‖2 = ‖vH − bH‖2 + ‖bH⊥‖2.
O mínimo é atingido quando vH = bH = PHb.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 1
Um Problema Correlato
Dado b 6∈ H, encontrar vH ∈ H mais próximo de b.
Podemos decompor b = bH + bH⊥ , de forma que
‖vH − b‖2 = ‖vH − bH︸ ︷︷ ︸∈H
−bH⊥‖2 = ‖vH − bH‖2 + ‖bH⊥‖2.
O mínimo é atingido quando vH = bH = PHb.
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Um Problema Correlato
Dado b 6∈ H, encontrar vH ∈ H mais próximo de b.
Podemos decompor b = bH + bH⊥ , de forma que
‖vH − b‖2 = ‖vH − bH︸ ︷︷ ︸∈H
−bH⊥‖2 = ‖vH − bH‖2 + ‖bH⊥‖2.
O mínimo é atingido quando vH = bH = PHb.
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De Volta aos Mínimos Quadrados
minx∈Rn
‖b− Ax‖ = miny∈Im(A)
‖b− y‖
Ax = y = PIm(A)b
Mínimos Quadrados
x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadradoss.s.s. x é solução (no sentido clássico) de Ax = PIm(A)b.
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De Volta aos Mínimos Quadrados
minx∈Rn
‖b− Ax‖ = miny∈Im(A)
‖b− y‖
Ax = y = PIm(A)b
Mínimos Quadrados
x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadradoss.s.s. x é solução (no sentido clássico) de Ax = PIm(A)b.
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De Volta aos Mínimos Quadrados
minx∈Rn
‖b− Ax‖ = miny∈Im(A)
‖b− y‖
Ax = y = PIm(A)b
Mínimos Quadrados
x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadradoss.s.s. x é solução (no sentido clássico) de Ax = PIm(A)b.
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De Volta aos Mínimos Quadrados
minx∈Rn
‖b− Ax‖ = miny∈Im(A)
‖b− y‖
Ax = y = PIm(A)b
Mínimos Quadrados
x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadradoss.s.s. x é solução (no sentido clássico) de Ax = PIm(A)b.
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De Volta aos Mínimos Quadrados
minx∈Rn
‖b− Ax‖ = miny∈Im(A)
‖b− y‖
Ax = y = PIm(A)b
Mínimos Quadrados
x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadradoss.s.s. x é solução (no sentido clássico) de Ax = PIm(A)b.
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Mínimos Quadrados
r = b− Ax = b− PIm(A)b
= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b
= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).
0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax
Ax = PIm(A)b ⇒ AT Ax = AT b
Vale também a volta!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 41 / 1
Mínimos Quadrados
r = b− Ax = b− PIm(A)b
= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b
= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).
0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax
Ax = PIm(A)b ⇒ AT Ax = AT b
Vale também a volta!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 41 / 1
Mínimos Quadrados
r = b− Ax = b− PIm(A)b
= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b
= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).
0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax
Ax = PIm(A)b ⇒ AT Ax = AT b
Vale também a volta!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 41 / 1
Mínimos Quadrados
r = b− Ax = b− PIm(A)b
= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b
= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).
0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax
Ax = PIm(A)b ⇒ AT Ax = AT b
Vale também a volta!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 41 / 1
Mínimos Quadrados
r = b− Ax = b− PIm(A)b
= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b
= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).
0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax
Ax = PIm(A)b ⇒ AT Ax = AT b
Vale também a volta!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 41 / 1
Mínimos Quadrados
r = b− Ax = b− PIm(A)b
= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b
= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).
0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax
Ax = PIm(A)b ⇒ AT Ax = AT b
Vale também a volta!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 41 / 1
Mínimos Quadrados
r = b− Ax = b− PIm(A)b
= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b
= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).
0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax
Ax = PIm(A)b ⇒ AT Ax = AT b
Vale também a volta!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 41 / 1
Mínimos Quadrados
r = b− Ax = b− PIm(A)b
= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b
= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).
0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax
Ax = PIm(A)b ⇒ AT Ax = AT b
Vale também a volta!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 41 / 1
Mínimos Quadrados
r = b− Ax = b− PIm(A)b
= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b
= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).
0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax
Ax = PIm(A)b ⇒ AT Ax = AT b
Vale também a volta!
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Mínimos Quadrados
r = b− Ax = b− PIm(A)b
= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b
= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).
0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax
Ax = PIm(A)b ⇒ AT Ax = AT b
Vale também a volta!
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Mínimos Quadrados
r = b− Ax = b− PIm(A)b
= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b
= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).
0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax
Ax = PIm(A)b ⇒ AT Ax = AT b
Vale também a volta!
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Mínimos Quadrados
r = b− Ax = b− PIm(A)b
= (I − PIm(A))b = P(Im(A))⊥b
= PNuc(AT )b ∈ Nuc(AT ).
0 = AT r = AT (b− Ax) = AT b− AT Ax
Ax = PIm(A)b ⇔ AT Ax = AT b
Vale também a volta!
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Mínimos Quadrados
Mínimos Quadrados
x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadradoss.s.s. x é solução (no sentido clássico) de AT Ax = AT b.
Observação
Ax = PIm(A)b ⇔ AT Ax = AT bSe Ax = b tem solução no sentido clássico, a soluçãono sentido dos mínimos quadrados coincide com elaA solução no sentido dos mínimos quadrados é únicas.s.s. Nuc(A) é trivial. Neste caso,PIm(A) = A(AT A)−1AT .
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Mínimos Quadrados
Mínimos Quadrados
x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadradoss.s.s. x é solução (no sentido clássico) de AT Ax = AT b.
Observação
Ax = PIm(A)b ⇔ AT Ax = AT bSe Ax = b tem solução no sentido clássico, a soluçãono sentido dos mínimos quadrados coincide com elaA solução no sentido dos mínimos quadrados é únicas.s.s. Nuc(A) é trivial. Neste caso,PIm(A) = A(AT A)−1AT .
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Mínimos Quadrados
Mínimos Quadrados
x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadradoss.s.s. x é solução (no sentido clássico) de AT Ax = AT b.
Observação
Ax = PIm(A)b ⇔ AT Ax = AT bSe Ax = b tem solução no sentido clássico, a soluçãono sentido dos mínimos quadrados coincide com elaA solução no sentido dos mínimos quadrados é únicas.s.s. Nuc(A) é trivial. Neste caso,PIm(A) = A(AT A)−1AT .
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Mínimos Quadrados
Mínimos Quadrados
x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadradoss.s.s. x é solução (no sentido clássico) de AT Ax = AT b.
Observação
Ax = PIm(A)b ⇔ AT Ax = AT bSe Ax = b tem solução no sentido clássico, a soluçãono sentido dos mínimos quadrados coincide com elaA solução no sentido dos mínimos quadrados é únicas.s.s. Nuc(A) é trivial. Neste caso,PIm(A) = A(AT A)−1AT .
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Mínimos Quadrados
Mínimos Quadrados
x é solução de Ax = b no sentido dos mínimos quadradoss.s.s. x é solução (no sentido clássico) de AT Ax = AT b.
Observação
Ax = PIm(A)b ⇔ AT Ax = AT bSe Ax = b tem solução no sentido clássico, a soluçãono sentido dos mínimos quadrados coincide com elaA solução no sentido dos mínimos quadrados é únicas.s.s. Nuc(A) é trivial. Neste caso,PIm(A) = A(AT A)−1AT .
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