Prof. Antonello Tinti

La gravità terrestre

La gravità celeste

La forza di attrazione gravitazionale

Galileo Galilei(Pisa, 15 febbraio 1564 – Arcetri, 8 gennaio 1642)

Galileo Galilei è stato un fisico, filosofo, astronomo e matematico italiano, considerato il padre della scienza moderna.Il suo nome è associato ad importanti contributi in dinamica e in astronomia - fra cui il perfezionamento del telescopio – e all'introduzione del metodo scientifico.Sospettato di eresia e accusato di voler sovvertire la filosofia naturale aristotelica e le Sacre Scritture, Galileo fu processato e condannato dal Sant'Uffizio al confino nella propria villa di Arcetri.

Scrisse anche un trattato di astronomia intitolato Sidereus Nuncius

Conduce alcuni studi sulla teoria copernicana e alcuni esperimenti sul pendolo, durante uno studio sul moto accelerato.

Nel 1609, mentre Keplero pubblica la sua "Nuova astronomia", che contiene le prime due leggi del moto planetario, Galileo comincia ad interessarsi ad un nuovo strumento, costruito in Olanda: il telescopio.

Fino a quel momento le osservazioni astronomiche erano state compiute ad occhio nudo. Dopo avergli apportato dei miglioramenti, ne presenta al Senato di Venezia un esemplare, al quale da' il nome di "perspicillum“ .

Nel marzo 1610, rivela nel "Sidereus Nuncius" che si tratta di 4 satelliti di Giove, che poi battezza Astri Medicei in onore di Cosimo II de' Medici, Gran Duca di Toscana.

Soltanto in seguito, su suggerimento di Keplero, i satelliti prenderanno i nomi con i quali sono conosciuti oggi: Europa, Io, Ganimede e Callisto. La scoperta di un centro del moto che non fosse la Terra comincia a minare alla base la teoria tolemaica del cosmo.

A Padova, con il nuovo strumento, Galileo compie una serie di osservazioni della Luna nel dicembre 1609, e il 7 gennaio 1610 osserva delle "piccole stelle" luminose vicine a Giove.

Giovanni Keplero(Weil der Stadt, 27 dicembre 1571 – Ratisbona, 15 novembre 1630)

Giovanni Keplero (Johannes Kepler) fu un astronomo, matematico e musicista tedesco. Scoprì empiricamente le leggi che regolano il movimento dei pianeti e che sono chiamate, appunto, leggi di Keplero.

Nell'Astronomia nova, Keplero enuncia due delle tre leggi che portano il suo nome. Esse rappresentano un modello di descrizione del moto dei pianeti del sistema solare:

1) I pianeti percorrono orbite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.

2) Un raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali. (Koyrè, nel 1966, percorrendo i calcoli tortuosi di Keplero concluse che questa legge derivi da una premessa errata e da calcoli errati. Inoltre stabilì che questa legge venne ricavata prima della legge delle orbite ellittiche. La legge comunque è esatta ed è una semplice conseguenza della conservazione del momento angolare).

3) Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore dell'orbita è costante.

Isaac Newton(Woolsthorpe-by-Colsterworth, 25 dicembre 1642 – Londra, 20 marzo 1727)

Isaac Newton è stato un matematico, fisico, filosofo naturale, astronomo, teologo ed alchimista inglese. É considerato una delle più grandi menti di tutti i tempi. Fu Presidente della Royal Society.

Pubblicò Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, opera nella quale descrisse la legge di gravitazione universale e, attraverso le sue leggi del moto, stabilì i fondamenti per la meccanica classica.

Contribuì in

maniera fondamentale a più di una branca del sapere, sp

ecialmente

alla Rivoluzione scientifica e al progresso

della teoria

eliocentric

a.

Newton fu il primo a dimostrare che la luce bianca è composta dalla somma (in frequenza) di tutti gli altri colori.

Christiaan Huygens

(L'Aia, 14 aprile 1629 – L'Aia, 8 luglio 1695)

Christiaan Huygens è stato un matematico, astronomo e fisico olandese, fra i protagonisti della rivoluzione scientifica.

Nel 1655, adoperando un telescopio di propria fabbricazione, scoprì la luna di Saturno, Titano,e teorizzò che Saturno fosse circondato da un anello sottile e piatto, non collegato al pianeta, inclinato rispetto all'eclittica.Nello stesso anno osservò la Nebulosa di Orione.Molte delle osservazioni astronomiche di Huygens furono raccolte nel Systema Saturnium (1659)

A lui si deve anche la prima ipotesi in merito alla conservazione dell’energia, introducendo il concetto di forza viva, che successivamente sarà chiamata energia cinetica, applicata concettualmente anche alla possibilità di spiegare i fenomeni naturali in termini di cambiamenti di velocità e posizione di atomi microscopici.

Prima legge di Keplero

Le orbite dei pianeti attorno al Sole sono ellissidi cui il Sole occupa uno dei due fuochi

Il Modello Eliocentrico giustificava benissimo le differenze di velocità angolare di un pianeta in alcuni punti della sua traiettoria.

Il Modello Tolemaico non riusciva più a giustificare i dati sperimentali circa le orbite dei pianeti e in particolare dei loro satelliti

La I legge di Keplero consente di conoscere a priori tutte le possibili posizioni che possono essere occupate da un pianeta, una volta che si conosce il semiasse maggiore e l’eccentricità della sua traiettoria.

Seconda legge di KepleroIl raggio vettore di un pianeta spazza aree

uguali in tempi uguali

Sia ∆t piccolo

Siano AB e CD due archi di traiettoria percorsi nello stesso ∆t

AB e CD sono sufficientemente piccoli e quindi possiamo considerarli due archi di circonferenza di raggi R1 e R2

R1

R2

Quindi anche le velocità agli estremi degli archi sono uguali, e quindi in ogni arco il moto è circolare uniforme

vA = vB = v1

vC = vD = v2

Il sistema Pianeta-Sole è un sistema isolato

Il momento angolare del pianeta ruotante si conserva

L = m v R = costante

m v1R1 = m v2R2

E poiché il moto è circolare uniforme AB = v1 ∆t CD = v2 ∆t

v1R1 = v2R2

t

CDv

t

ABv

21

21 Rt

CDR

t

AB

21 RCDRAB

Le due areole sono approssimate da due triangoli, per cui dividendo per 2…

2221 RCDRAB

)()( CSDAreaASBArea

costante2

1RAB

Terza legge di KepleroIl rapporto tra il cubo del semiasse maggiore a dell’orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione T attorno al Sole è lo stesso per tutti i pianeti.

a

22

32

21

31

T

a

T

a

Quindi se esiste un corpo centrale dotato di una certa massa MS attorno a cui orbitano più corpi di masse

diverse attorno ad orbite diverse, allora il rapporto prima considerato dipende solamente dalla massa del corpo

centrale.

SMKT

a

21

31

La legge di gravitazione universale

Le leggi della fisica sono le stesse per tutti i corpi dell’Universo

I principi della dinamica

221

r

mmGF

Approssimiamo l’orbita ellittica con una circonferenza

L’eccentricità è molto bassa 1a

ce

Christian Huygens (L’Aia 1629 – L’Aia1695

Fu il primo ad affermare che la forza che si esercita tra il Sole e un pianeta è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i loro centri.

Il moto del pianeta di massa m è un moto circolare uniforme

T

2

rac2

rT

mrmmaF cc 2

22 4

Accelerazione centripeta

Forza centripeta

Applichiamo la III legge di Keplero SMKT

r

21

31

Ricavandoci ….. SMKr

T3

121

2

2

3

2

2

2 444

r

MKmr

r

MKmr

TmF SS

c

2

24

r

MKa Sc

E per il II principio della dinamica . . .

Abbiamo l’accelerazione centripeta del pianeta

Newton ipotizzò che tale forza fosse anche direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei due corpi

22

2 14

rmGM

r

MKmF S

Sc

Che porta a chiedere che . . . SS MG

MK24

2r

mMGF S

Da cui la famosa legge . . .

È una forza centrale

Raggio d’azione infinito

G è detta costante di gravitazione universale

Il valore di G è molto piccolo

La forza gravitazionale

221

r

mmGF

Due corpi puntiformi di massa m1 e m2 posti

a distanza r si attraggono fra loro con una forza diretta lungo la loro congiungente.

2

21110674,6kg

mNG

Forza gravitazionale e il III principio della dinamica

Anche se i due corpi non sono a contatto ciascuno di essi esercita una forza uguale e contraria a quella che agisce su di esso, diretta lungo la congiungente i centri e simultanee.

FTerra = - FLuna

Il fenomeno delle maree

Ma i pianeti … non sono corpi “puntiformi”

La forza di attrazione gravitazionale tra due corpi estesi si calcola con la legge di gravitazione universale quando i corpi ….

Hanno dimensioni molto piccole rispetto alla loro distanza

Hanno simmetria sferica, e in questo caso r è la distanza tra i loro centri

Calcolo della forza gravitazionale tra la Terra e la Luna

MT= 6,0 x 1024 kg mL = 7,3 x 1022 kg d = 3,8 x 108 m

...2

r

mMGFF LT

LTTL

N

m

kgkg

kg

mN 2028

2224

2

211 102

108,3

103,7100,6107,6...

Ma allora… che cosa è il peso P=mg ?

…La caduta dei corpi in prossimità della superficie terrestre è determinata dall’interazione gravitazionale tra la Terra con ciascuno di essi.

…L’accelerazione di gravità g=9,8 fosse proprio originata da tale forza

Newton suppose che…

O

R

h

22 hR

mMG

r

mMGF

2

2

2

22

222 211 R

R

h

R

hR

R

hRhR

1 12

2

R

h

R

hRh Poichè

2R

mMGF

Quindi . . .

Un semplice calcolo dimostra che gs

m

R

MG

22

8.9

PgmmR

MGF

2

Quindi . . .

L’accelerazione di gravità terrestre g già studiata da Galilei quale accelerazione naturale o intrinseca posseduta da tutti i corpi lasciati cadere , conferma la legge di gravitazione universale di Newton e viene a sua volta giustificata da essa.