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PROGETTAZIONE AGLI STATI LIMITE DI
ELEMENTI STRUTTURALI IN CEMENTO
ARMATO
Giovanni Di Luzio
2
Indice
1 13
1.1 Descrizione dell’opera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Normativa di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 I materiali 19
2.1 Calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Acciaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 27
3.1 Schematizzazione della struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Predimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Analisi dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Solaio 35
4.1 Determinazione delle azioni interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Armatura longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Verifiche di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Travi 61
5.1 Determinazione delle azioni interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Armatura longitudinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Armatura trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4 Verifiche di resistenza allo stato limite ultimo . . . . . . . . . . . . . . 87
3
5.5 Verifiche agli stati limite di esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6 Pilastri 101
6.1 Analisi dei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2 Dimensionamento della sezione e delle armature . . . . . . . . . . . . . 102
6.3 Verifica allo stato limite di tensioni in esercizio . . . . . . . . . . . . . . 106
7 Fondazioni 111
7.1 Verifiche secondo NTC 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2 Terreno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3 Dimensionamento della base di appoggio e dell’altezza . . . . . . . . . . 125
7.4 Dimensionamento delle armature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.5 Verifiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.6 Travi di collegamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8 Dettagli costruttivi 133
4
Ad Antonella ed Antonio
Two roads diverged in a wood, and I-
I took the one less travelled by,
And that has made the difference.
ROBERT FROST
5
6
Prefazione
Il corso di Tecnica delle Costruzioni nell’ambito del Laboratorio di Costruzioni pres-
so la Facolta di Architettura e Societa del Politecnico di Milano, prevede la redazione
di un elaborato progettuale, nella maggior parte dei casi, con elementi strutturali in
cemento armato. Al fine di fornire agli allievi un esempio di svolgimento di questo pro-
getto, si e deciso di prendere spunto dagli elaborati di Laurea triennale in Ingegneria
Civile svolti da Andrea Grandi e Giulia Bartoli e da Collenghi Claudio, De Amici Al-
berto e Roberta Forlani nel Settembre 2008, dei quali e stata ampliata la parte teorica
ed inseriti alcuni commenti.
In questo esempio didattico si e scelta una certa impostazione (soluzione), che in
numerosi casi non e unica, ma sono possibili differenti scelte tecniche o di calcolo,
comunque, ugualmente corrette. Utilizzarne una, come in questo esempio, non significa
che le altre siano sbagliate. Pertanto, lo studente deve valutare con spirito critico
il presente esempio cercando di leggerlo con un sano scetticismo valutando anche le
possibili alternative.
A causa della necessita di fornire in tempi brevi un prodotto finito, non posso
escludere che vi possano essere errori di calcolo (e saro grato a chiunque me li segnalera).
Giovanni Di Luzio
7
8
Introduzione
Nella presentazione di un progetto conviene preparate due distinte relazioni strut-
turali: 1) la prima, denominata relazione generale, in cui si riportano i criteri gener-
ali che sono stati seguiti nel progetto; 2) la seconda, denominata relazione di calcolo,
riporta invece in dettaglio tutte le elaborazioni numeriche effettuate secondo i criteri
indicati nella relazione generale. La relazione generale e abbastanza breve (una o due
pagine per argomento) e, nel seguito, si riportano i criteri adottati per la sua stesura.
Invece, la relazione di calcolo e sempre molto estesa, perche deve contenere tutte le
elaborazioni svolte.
La relazione generale deve essere prodotta secondo il seguente schema, in cui sono
riportati gli argomenti che essa deve contenere per il progetto di una struttura in
cemento armato.
1. Indicazioni generali
Caratteristiche principali del fabbricato (geometria, numero di piani, ubicazione,
destinazione d’uso, tipologia strutturale) e del terreno su cui esso e edificato. Caratte-
ristiche dei materiali utilizzati. Normativa cui si e fatto riferimento nel calcolo.
2. Solaio
Criteri seguiti per dimensionarne lo spessore. Schemi e combinazioni di carico presi
in esame. Metodo utilizzato per la risoluzione degli schemi. Tipologia di armatura
prescelta e formule utilizzate per valutare l’area di armatura necessaria a flessione.
Motivazioni che possono rendere necessarie le fasce piene e semipiene (flessione, taglio)
9
e formule utilizzate per determinarle. Sezioni nelle quali si e effettuata la verifica a
flessione e procedura utilizzata per la verifica.
3. Travi
Criteri utilizzati per valutare il carico sulla trave. Metodo usato per stimare il
momento massimo e per definire la sezione. Schemi e combinazioni di carico presi
in esame. Programma utilizzato per la determinazione delle azioni interne per i vari
schemi statici. Tipologia di armatura scelta per la flessione e il taglio e formule uti-
lizzate per valutare l’area di armatura necessaria. Sezioni per le quali si e effettuata
la verifica a flessione e procedura utilizzata per la verifica. Criteri seguiti per valutare
carichi e caratteristiche di sollecitazione in esercizio e per effettuare le verifiche per la
fessurazione, le tensioni di esercizio, e la deformabilita.
4. Pilastri
Criteri utilizzati per valutare i carichi sui pilastri a ciascun piano e l’azione normale
conseguente. Criteri seguiti per dimensionarne la sezione e le armature. Criteri seguiti
per valutare le caratteristiche di sollecitazione in esercizio e per la verifica allo stato
limite di tensioni.
5. Effetto del vento e del sisma
Modalita seguite nel calcolare la pressione del vento e le accellerazioni dovute al-
l’azione sisma, e le conseguenti forze orizzontali. Metodo usato per stimare i momenti
flettenti prodotti dalle forze orizzontali. Combinazioni di carico prese in esame. Pro-
gramma di calcolo utilizzato per calolare le azioni interne. Considerazioni sull’incremen-
to di sollecitazioni provocato dal vento e sui conseguenti effetti su sezione e armature
necessarie per le travi. Modalita per la determinazioni dei domini limite M-N. Con-
siderazioni sull’effetto dell’incremento di sollecitazioni su sezione e armature necessarie
per i pilastri. Criteri seguiti per valutare le caratteristiche di sollecitazione in esercizio
e per effettuare la verifica allo stato limite di tensioni di esercizio.
6. Plinti di fondazione
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Modello utilizzato per rappresentare il comportamento del terreno. Criteri segui-
ti per il dimensionamento dei plinti di fondazione (dimensioni della sezione ed delle
armature). Criteri utilizzati per dimensionare le travi di collegamento tra i vari plinti.
Per questo esempio didattico, nel seguito non si fara distinzione tra la relazione
generale e la relazione di calcolo, ma si riportera in ciascun capitolo la progettazione e
la verifica dei vari elementi strutturali che appartengono ad una struttura in cemento
armato presa come esempio.
11
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Capitolo 1
1.1 Descrizione dell’opera
La progettazione di un’opera di ingegneria civile e un processo complesso, che si
svolge attraverso numerose fasi, ed e, inoltre, un processo iterativo di perfezionamento
(ciclico), in cui la ricerca della migliore soluzione comporta un processo di continua
ridefinizione dell’opera. La parte piu delicata di questo processo e quella della con-
cezione dello schema strutturale ed il calcolo non puo condurre direttamente alla scelta
della soluzione strutturale. Inoltre, vi sono numerose decisioni da prendere che devono
tenere conto della natura del suolo, dei problemi esecutivi, di quelli estetici ed economi-
ci. Pertanto, l’intreccio delle influenze e dei condizionamenti su tali decisioni e tale da
rendere ogni progetto unico.
La progettazione richiede anche immaginazione ed intuizione, supportate dalla co-
noscenza della statica e della meccanica, in un processo continuo di cooordinamento e di
sintesi. Dalla concezione strutturale della struttura piu che da minuti perfezionamenti
del calcolo dipende alla fine il buon esito dell’opera.
In questo volume si vuole presentare la progettazione della parte strutturale di un
edificio a destinazione abitativa e commerciale (Fig. 1.1). Lo sviluppo in pianta e di
forma rettangolare con un asse di simmetrica coincidente con l’asse verticale del ret-
tangolo stesso. Il fabbricato e costituito da due piani fuori terra: il primo e destinato
ad ospitare due unita immobiliari di 90 m2 circa cadauna, mentre, il secondo piano
13
1
Figura 1.1: Viste dell’edificio da progettare.
14
1
Figura 1.2: Vista assonometrica degli elementi strutturali.
e destinato a semplice copertura piana praticabile. Entrambi i piani sono accessibili
attraverso una scala situata all’interno della costruzione stessa. Il piano terreno del-
l’edificio e destinato a diventare sede di attivita commerciali. La struttura portante
dell’edificio e realizzata in cemento armato, in cui le travi ed i pilastri, connessi fra di
loro, sostengono i solai in latero-cemento che, orientati lungo la direzione di maggiore
luce in pianta, costituiscono la componente strutturale degli orizzontamenti (vedi Fig.
1.2).
La parte strutturale del solaio ha uno spessore di 20+4cm; considerando le finiture
si raggiunge lo spessore complessivo di 34cm. Le travi sono a sezione rettangolare,
tutte di dimensioni 30x45 cm. I pilastri hanno dimensioni diverse a seconda della
posizione in pianta e dell’impalcato in cui si trovano con dimensioni massime di 30x35
cm e minime di 25x25cm. Lo sviluppo in senso verticale dei pilastri e stato realizzato in
modo che non si vengano a creare momenti parassiti dovuti ad eccentricita geometriche.
Il vano scala e realizzato interamente in calcestruzzo armato, la cui struttura portante
verticale e realizzata mediante setti in c.a. incastrati fra di loro. Tale conformazione
conferisce al vano scala una rigidezza sensibilmente maggiore rispetto al resto della
struttura. Eventuali azioni orizzontali, come quelle derivanti dal vento o da azioni
sismiche, saranno quindi competenza del vano scale, visto come nucleo irrigidente di
controventamento. Le rampe sono costituite da solette piene, poggianti su travi disposte
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in corrispondenza dei pianerottoli, inclinate secondo la pendenza della rampa. Le
solette hanno un intradosso piano, mentre la parte superiore e sagomata secondo il
profilo dei gradini. Le murature perimetrali di tamponamento esterno, intonacate sia
internamente che esternamente, sono costituite da blocchi di laterizio alveolare con uno
spessore totale e di 35cm.
La scelta delle tipologie costruttive e derivata da precise scelte di carattere tecnico,
tecnologico ed economico. In particolare, e stata posta particolare attenzione sulla
effettiva praticita di esecuzione in cantiere delle indicazioni progettuali. A volte, quindi,
la progettazione e stata eseguita privilegiando la semplicita costruttiva rispetto ad
altri criteri, come ad esempio quello del minimo uso di materiale. Tale scelta, oltre a
migliorare in generale la sicurezza dell’edificio, riducendo le probabilita di una cattiva
esecuzione delle opere, presenta anche un sensibile vantaggio economico derivante dal
minore utilizzo di mano d’opera.
1.2 Normativa di riferimento
Per la progettazione della struttura si e fatto riferimento ad alla normativa tecnica
vigente: gli Eurocodici e le relative appendici nazionali. Gli Eurocodici sono norme eu-
ropee, che aggiornano ed uniformano per i paesi membri della Unione Europea, i metodi
di calcolo per la progettazione delle strutture. Il loro obiettivo e quello di armonizzare
le regole di progettazione e di calcolo vigenti nei paesi che aderiscono all’Unione Euro-
pea contribuendo alla creazione di un mercato unico. Le norme nazionali (per l’Italia,
le norme UNI) che recepiscono gli Eurocodici, ne contengono il testo completo cosı
come emanato dal CEN (comprese tutte le appendici), il quale puo essere preceduto da
una premessa nazionale e/o seguito da una appendice nazionale. L’appendice nazionale
puo contenere solo informazioni su quei parametri, noti come parametri determinati a
livello nazionale, che in ogni Eurocodice sono lasciati a libera scelta per ogni singolo
stato. Oggetto delle appendici nazionali sono:
∙ valori e/o classi per i quali nell’Eurocodice sono fornite alternative;
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∙ valori da impiegare, per i quali nell’Eurocodice e fornito solo un simbolo;
∙ coefficienti inerenti la taratura di modelli o derivanti da prove sperimentali;
∙ dati specifici della singola nazione (geografici, climatici, ecc.), come, a titolo di
esempio, la mappa della neve;
∙ la procedura da impiegare quando nell’Eurocodice ne sono proposte diverse in
alternativa.
Per meglio districarsi attraverso il complesso gruppo di norme tecniche, ogni Eu-
rocodice tratta un preciso argomento. Quello utilizzato in questo lavoro e il secondo,
che tratta le progettazione delle opere in cemento armato. Questo e ulteriormente sud-
diviso in quattro parti, ognuna delle quali tratta specificatamente di alcuni tipi di opere
(edifici, ulteriori prescrizioni per la progettazione contro l’incendio, ponti, strutture di
contenimento dei liquidi). Viene quindi adottato il seguente codice: Eurocodice 2 -
UNI EN 1992-1-1:2005 Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici nel seguito
indicato come EC-2.
Le Appendici Nazionali dell’Eurocodice, emanate di recente per armonizzare le
nuove Norme Tecniche con l’Eurocodice stesso, sono state utilizzate ove necessario;
in generale, si e notata una maggiore penalizzazione riguardo alle caratteristiche dei
materiali da parte delle appendici. Viceversa, non variano sensibilmente le procedure
di calcolo e di verifica.
Nello studio dei carichi agenti sulla struttura e di grande importanza la corretta va-
lutazione dei carichi permanenti e dei sovraccarichi accidentali (o variabili). La natura
di questi ultimi, e soprattutto la loro valutazione numerica, risulta tanto piu difficoltosa
tanto meno risultano prevedibili i futuri utilizzi dell’opera e delle condizioni in cui ques-
ta si verra a trovare. La normativa di riferimento utilizzata per la determinazione dei
carichi e dei sovraccarichi e rappresentata dalle Norme Tecniche per le Costruzioni em-
anate con il DM 14 gennaio 2008 (di seguito indicate con NTC) specificatamente ai
Capitoli 2 e 3.
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Capitolo 2
I materiali
Nella progettazione della struttura la scelta dei materiali da utilizzare riveste un
ruolo fondamentale non solo nel garantire le caratteristiche meccaniche necessarie, ma
anche nel conferire all’opera buone caratteristiche di durabilita e di comportamento in
esercizio. E’ inoltre necessario sottolineare che il calcolo delle strutture viene influenzato
direttamente dalla scelta dei legami sforzi-deformazioni di progetto, i quali hanno il
difficile compito di essere il piu possibile semplici da applicare senza pero perdere
la dovuta affidabilita. Vengono quindi analizzati nel dettaglio le caratteristiche dei
due principali materiali utilizzati nella realizzazione della struttura: il calcestruzzo e
l’acciaio. Secondo l’EC-2 (paragrafo 2.3.2), per la determinazione delle proprieta dei
materiali e dei prodotti si rimanda alla norma EN 1990 (Sezione 3 e Sezione 4).
2.1 Calcestruzzo
Il calcestruzzo e un materiale composto da aggregati, detti anche inerti, (sabbia e
ghiaia o pietrisco di varie dimensioni) legati tra loro dalla pasta di cemento che si forma
per idratazione del cemento stesso (formando pricipalmente il gel di silicato di calcio
idrato e cristalli di idrossido di calcio). Le proprieta meccaniche di tale agglomerato
lapideo artificiale dipendono da quelle dei singoli componenti e dal legame che si realizza
tra loro.
19
L’EC-2 raccomanda di considerare le proprieta del calcestruzzo che dipendono dal
tempo come il ritiro e la viscosita nei seguenti casi
∙ nella verifica agli stati limite di esercizio;
∙ nella verifica agli stati limite ultimi solo se i loro effetti sono significativi, per
esempio, nella verifica agli stati limite ultimi di stabilita dove gli effetti del secondo
ordine sono importanti. Negli altri casi non e necessario che siano tenuti in conto a
condizione che la duttilita e la capacita di rotazione degli elementi siano sufficienti.
Nel caso si dovesse condiderare la viscosita, l’EC-2 raccomanda di valutare i suoi
effetti sul progetto sotto la combinazione di azioni quasi-permanente (carichi perma-
nenti e il valore medio della precompressione), indipendentemente dalla situazione di
progetto considerata. L’EC-2 nel paragrafo 3.1.4 (insieme all’ Appendice B) presenta
un procedimento con cui determinare il coefficiente di viscosita a tempo infinito e la
deformazione da ritiro a tempo infinito.
I calcestruzzi vengono classificati in base alla resistenza caratteristica cilindrica, fck,
e cubica, fck,cube, a compressione (prove di compressione uniassiale effettuate su provini
di forma cilindrica e cubica, rispettivamente). Il termine ’carattestistica’ sta ad indicare
che si fa riferimento al frattile del 5%, cioe, quel particolare valore che, con riferimento
ad una densita di probabilita ottenuta sperimentalmente, ha una probabilita del 5%
di essere minorato). L’EC-2 rimanda alla norma EN 206-1 per la classificazione dei
calcestruzzi e per le proprieta meccaniche da utilizzare nella progettazione.
La scelta della classe del calcestruzzo non viene effettuata solo in base alla resisten-
za meccanica richiesta in fase di progetto, ma anche in base ai requisiti di durabilita.
Infatti, l’EC-2 nella Sezione 4 richiede che una struttura durevole deve soddisfare i
requisiti di attitudine al servizio, resistenza e stabilita durante la sua vita utile di pro-
getto, senza presentare perdite significative di funzionalita ne richiedere manutenzione
straordinaria eccessiva. Le condizioni ambientali sono classificate secondo il Prospetto
4.1 dell’EC-2 (basato sulla EN 206-1), in cui la classe di esposizione e stabilita in base
alle condizioni chimiche e fisiche alle quali la struttura e esposta.
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Nel caso in esame, i requisiti di durabilita sono legati alla protezione dall’attacco
corrosivo della armature metalliche in seguito alla carbonatazione del calcestruzzo, che
inducono alla necessita di utilizzare un calcestruzzo di buona qualita. L’ambiente in cui
si trova la struttura e caratterizzato da umidita moderata; inoltre, il calcestruzzo espos-
to all’esterno e protetto dalla pioggia. Secondo il Prospetto 4.1 dell’EC-2, in conformita
alla EN 206-1, la classe di esposizione che si adatta al caso in esame e la XC3. In rifer-
imento al prospetto E.1N (Appendice E dell’EC-2), che fornisce un’indicazione sulle
classi di resistenza da impiegare in funzione delle classi di esposizione, si sceglie di imp-
iegare per la realizzazione della struttura un calcestruzzo di classe C30/37. Una classe
di resistenza cosı elevata, che non sarebbe giustificata dalle esigenze di resistenza, riesce
a garantire, insieme ad altri specifici provvedimenti (riguardanti i dettagli costruttivi,
l’esecuzione, il controllo di qualita ed i copriferri), il requisito della durabilita nel tempo
di vita della struttura.
Le principali caratteristiche meccaniche del calcestruzzo da impegare nella pro-
gettazione sono legate alla resistenza caratteristica a compressione nel Prospetto 3.1
dell’EC-2. Le caratteristiche meccaniche relative al calcestruzzo C30/37 sono di segui-
to riportate: fck,cube=37MPa, fck=30MPa, resistenza media a compressione a 28 giorni
di fcm=38MPa, resistenza media a trazione assiale di fctm=2.9MPa, resistenza carat-
teristica a trazione assiale (frattile 5%) di fctm,0.05=2,0MPa, resistenza caratteristica
a trazione assiale (frattile 95%) di fctm,0.95=3,8MPa, modulo di elasticita secante di
Ecm=33GPa, deformazione alla tensione di picco pari a �c2 =0.2%, deformazione ulti-
ma (o di rottura) di �cu2 =0.35%. Le resistenze di progetto a compressione e trazione
vengono definite secondo il punto 3.1.6 dell’EC-2, ottenendo
fcd = �ccfck c
(2.1)
fctd = �ctfctm,0.05 c
(2.2)
dove �cc e un coefficiente che tiene conto degli effetti a lungo termine sulla resistenza a
compressione e degli effetti sfavorevoli risultanti dal modo in cui il carico e applicato,
il cui valore si puo reperire nell’appendice nazionale ed e pari a 0,85. Il coefficiente
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�ct tiene conto degli effetti a lungo termine sulla resistenza a trazione e degli effetti
sfavorevoli risultanti dal modo in cui il carico e applicato, il cui valore si puo reperire
nell’appendice nazionale ed e pari a 1. Il coefficiente c e il coefficiente di sicurez-
za parziale per il calcestruzzo, il cui valore, anch’esso viene reperito nell’appendice
nazionale, ed e pari ad 1,5. Pertanto, le resistenze di progetto hanno i seguenti valori
fcd = 17.0MPa e fctd = 1.33MPa (2.3)
Al punto 3.1.7 dell’EC-2 sono indicati i vari legami costitutivi (relazione sforzo-
deformazione) per il calcestruzzo che possono essere utilizzati per la progettazione,
come, ad esempio, il legame denominato parabola-rettangolo riportato nella Fig. 2.1.
Per semplificare i calcoli (punto 3.1.7.3 dell’EC-2), e consentito adottare una dis-
trubuzione rettangolare di tensioni su di una altezza compressa ridotta come mostra-
to in Fig. 2.2 in cui il coefficiente �, che definisce l’altezza efficace della zona di
compressione e il coefficiente �, che definisce la resistenza effettiva, si deducono da:
� = 0, 8 per fck ≤ 50MPa
� = 0, 8− (fck − 50)/400 per 50 > fck ≤ 90MPa (2.4)
� = 1, 0 per fck ≤ 50MPa
� = 0, 8− (fck − 50)/200 per 50 > fck ≤ 90MPa (2.5)
Inoltre, se la larghezza della zona di compressione decresce nella direzione della fibra
piu compressa, si raccomanda di ridurre del 10% il valore �fcd.
2.2 Acciaio
Nel cemento armato normale e precompresso si utilizzano, per le armature, solita-
mente, barre nervate di acciaio fornite in fasci di verghe dritte di lunghezza di 12m.
Le proprieta delle barre di armatura ordinaria necessarie per l’utilizzo con l’EC-2 sono
22
11
Figura 2.1: Legame costitutivo parabola-rettangolo del calcestruzzo.
Figura 2.2: Legame costitutivo parabola-rettangolo del calcestruzzo.
fornite nell’appendice C, in accordo con la EN 10080. Le regole applicative per la pro-
gettazione e i dettagli costruttivi dell’EC-2 sono valide per acciai con tensioni di sner-
vamento fyk = da 400 MPa a 600 MPa e con superficie nervata in modo da assicurare
adeguata aderenza al calcestruzzo.
Si e scelto di utilizzare barre di armatura ad aderenza miglorata del tipo B450C. In
Figura 2.3 sono mostrate alcune barre ad aderenza migliorata.
Le principali caratteristiche dell’acciaio utilizzato vengono di seguito elencate:
∙ fyk=450MPa (tensione di snervamento caratteristica);
∙ fyd=391,3MPa (tensione di snervamento di progetto);
23
11
Figura 2.3: Tipiche barre di armatura ad aderenza migliorata.
∙ �sy=0.1957% (deformazione di progetto al limite elastico);
∙ �sd=1% (limite ultimo di deformazione dell’acciaio);
∙ Es=200GPa (modulo elastico dell’acciaio, punto 3.2.7-(4) dell’EC-2)
La tensione di snervamento di progetto viene cosı calcolata
fyd =fyk s
(2.6)
essendo s il coefficiente di sicurezza parziale per l’acciaio, reperito nell’appendice
nazionale, pari ad 1,15.
Al punto 3.2.7 dell’EC-2 vengono indicate le possibili relazioni sforzi deformazioni
per l’acciaio da utilizzare in sede di progetto; viene scelto il legame elastico-perfettamente
plastico, con deformazione massima dell’acciaio pari all’1%, come schematizzato nella
Fig. 2.4.
La deformazione di progetto, �sy, che identifica il passaggio dal comportamento
elastico lineare a quello perfettamente plastico viene calcolata come:
�yd =fykEs
(2.7)
24
Calcolo
Idealizzato
Figura 2.4: Legame costitutivo dell’acciaio elastico-perfettamente plastico.
25
26
Capitolo 3
3.1 Schematizzazione della struttura
Al fine di trovare le azioni interne della struttura, necessarie per la successiva pro-
gettazione dei vari elementi strutturali, e necessario ricondursi ad un efficace schema
statico ed effettuare una corretta analisi dei carichi. La struttura in esame e costituita
da un complesso tridimensionale intelaiato. Si potrebbe pensare di effettuare un’anal-
isi tridimensionale complessiva: essa pero porterebbe ad un grande onere di calcolo a
causa dell’elevato numero di gradi di liberta della struttura. Inoltre, per valutare effet-
tivamente in modo corretto le sollecitazioni si dovrebbe tenere conto anche delle varie
fasi esecutive della costruzione, in cui la struttura assume configurazioni diverse. Per
questo, si puo pensare di utilizzare schemi statici semplificati che forniscono ugualmente
soluzioni sufficientemente sicure.
Una prima ipotesi porterebbe, considerata l’orditura dei solai, a considerare la strut-
tura portante composta da un telaio costituito da travi longitudinali incastrate ai pi-
lastri. Si otterrebbe quindi un telaio a due piani, formato da un insieme di 10 travi e
12 pilasti; ipotizzando di voler risolvere la struttura mediante il metodo degli sposta-
menti e trascurando il contributo di taglio e azione assiale, si avrebbe un sistema di 14
equazioni in 14 incognite.
Una seconda ipotesi, utilizzata in questo esempio, consiste nel considerare i vari
elementi strutturali portanti distintamente gli uni dagli altri, imponendo, per questo,
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diverse condizioni di vincolo. Pertanto, lo schema di calcolo utilizzato in questo lavoro
consiste nello studiare indipendentemente (soltanto per quanto riguarda i vincoli) i
travetti del solaio, le travi, i pilastri e le fondazioni.
3.2 Predimensionamento
I carichi agenti sulla struttura dipendono, in parte, dalle dimensioni della strut-
tura stessa, che, a loro volta, dipendono dai carchi. Pertanto, la progettazione degli
elementi strutturali e un processo iterativo che necessita di un punto di partenza che
consiste nel predimensionare gli elementi strutturali. Nel caso in studio, gli elementi
da predimensionare sono il solaio e le travi di piano.
Solaio
La regola empirica vuole che lo spessore del solaio, ℎ, non risulti maggiore di 1/25
della luce massima. Seguendo, invece, le indicazioni dell’EC-2 (punto 4.4.3), per man-
tenere limitate le inflessioni in esercizio, nel caso di schemi di solaio a piu campate, il
rapporto luce/altezza utile e non superiore a 23 per calcestruzzo molto sollecitato o 32
per calcestruzzo poco sollecitato. Utilizzando queste indicazioni e possibile effettuare
il dimensionamento imponendo:
ℎ ≥ l
25(3.1)
Anche lo sbalzo, secondo l’EC-2 (punto 4.4.3), per evitare la sua eccessiva deformabilita,
deve avere un rapporto luce/altezza utile dello sbalzo non superiore a 7 per calcestruzzo
molto sollecitato o 10 per calcestruzzo poco sollecitato.
La luce massima per il solaio dell’edificio in esame e di 5.80 m; con riferimento alla
Eq. 3.1 l’altezza del solaio deve essere di almeno 23.2cm. La luce massima degli sbalzi
e 1.65 m; in base alle indicazioni dell’EC-2 (punto 4.4.3) l’altezza utile dello sbalzo deve
essere di almeno 16.5cm (o 23.6cm nel caso di elevate sollecitazioni). Si e quindi deciso
di assegnare allo sia allo sbalzo che al solaio uno spessore costante di 24 cm.
Travi
28
16
Figura 3.3
Figura 3.1
Figura 3.1: Sezione del solaio con evidenza della parte strutturale.
Si decide di utilizzare travi emergenti, cioe travi di altezza maggiore dello spessore
del solaio. La larghezza usuale delle travi emergenti e compresa tra 15 e 40 cm. Si decide
di adottare travi emergenti di larghezza pari a 30 cm, che corrisponde alla larghezza
dei quasi tutti i pilastri. Mentre, l’altezza viene calcolata pari a 1/(10÷12) la luce
massima, che corrisponde a 45cm (525/12=43.8cm).
3.3 Analisi dei carichi
Le azioni agenti sulla struttura oggetto di progettazione sono dovute principal-
mente ai carichi permanenti, cioe quelli non rimovibili durante il normale esercizio
della costruzione e costituiti dai pesi propri dei vari elementi che la compongono, ed ai
sovraccarichi variabili, cioe quelli che variano durante la vita della costruzione come,
ad esempio, i carichi di esercizio, l’azione del vento, il carico da neve, l’azione sismica,
le azioni dovute alle variazioni termiche ambientali, etc. Per la determinazione delle
azioni sulla struttura si seguono le NTC del 14 gennaio 2008.
Gran parte dei carichi permanenti agenti sulla struttura sono dovuti al peso proprio
del solaio, la cui sezione e rappresentata in Fig. 3.1 (quote in mm).
Considerando per ogni strato, il suo spessore moltiplicato per il suo peso specifico,
si ottiene il peso per unita di superficie. Peso proprio della parte strutturale di una
29
porzione unitaria di solaio:
– Peso specifico [kN/m3] Spessore [mm] Peso proprio [kN/m2]
Soletta 25 40 1.00
Travetti 25 200 1.00
Pignatte 20 200 0.8
Totale - - 2.8
Carichi permanenti del solaio di abitazione:
– Peso specifico [kN/m3] Spessore [mm] Peso proprio [kN/m2]
Massetto 14 70 0.98
Pavimento 27 100 0.27
Intonaco 15 20 0.3
Tramezzi - - 1.2
Il carico dei divisori interni viene considerato come un carico permanente portato
uniformemente distribuito, poiche i solai sono in grado di assicurare una adeguata
ripartizione di tale carico. Essendo il peso proprio per unita di lunghezza delle partizioni
interne pari a 2,5kN/m il carico permanente uniformemente distribuito risulta pari a
1,20kN/m.
Carichi permanenti del solaio di copertura:
– Peso specifico [kN/m3] Spessore [mm] Peso proprio [kN/m2]
Massetto 14 70 0.98
Pavimento 27 100 0.27
Intonaco 15 20 0.3
Coibentazione - - 0.1
Seguendo le indicazioni delle NTC del 14 gennaio 2008 (par. 2.6.1), i carichi
permanenti vengono distinti in:
∙ carichi permanenti, che rappresentano i carichi dovuti ai pesi propri degli elementi
strutturali;
30
∙ carichi permanenti non strutturali, che rappresentano i carichi dovuti ai pesi
propri degli elementi portati (non strutturali).
Nel caso in cui i carichi permanenti non strutturali siano compiutamente definiti,
essi possono essere considerati come carichi permanenti. Nel seguito si terra conto di
questa distinzione.
Essendo la struttura in esame destinata a civile abitazione, quindi non suscettibile
ad affollamento, si puo assumere, secondo le NTC del 14 gennaio 2008 che i sovraccarichi
variabili agenti sul piano di abitazione (primo piano) siano pari a 2.00 kN/m2 per i locali
di abitazione e relativi servizi e a 4.00 kN/m2 per i balconi, ballatoi e scale comuni.
Per quanto riguarda, invece, i sovraccarichi variabili gravanti sul solaio di copertura, si
deve in aggiunta considerare l’eventuale presenza del carico da neve, pari a:
qs = �iqsk = 1.2kN/m2 (3.2)
dove il coefficiente �i e il coefficiente di forma della copertura e qsk e il valore di rifer-
imento del carico neve al suolo relativo il sito della costruzione. Essendo la copertura
dell’abitazione praticabile, ne deriva un sovraccarico pari a 0.5kN/m2; questo pero,
come da disposizioni normative, non deve essere cumulato con il sovraccarico dovuto
alla neve. Viene scelto quindi il maggiore tra i due.
Riassumendo, i carichi gravanti sul solaio sono i seguenti:
∙ 4.35 kN/m2 carico permanente piano di abitazione;
∙ 1.20 kN/m2 carico permanente non strutturale piano di abitazione;
∙ 4.45 kN/m2 carico permanente copertura;
∙ 0.0 kN/m2 carico permanente non strutturale copertura;
∙ 2.0 kN/m2 carico variabile abitazione;
∙ 1.2 kN/m2 carico variabile copertura.
31
16
Figura 3.3
Figura 3.1
Figura 3.2: Sezione di una tipica muratura esterna di chiusura.
16
Figura 3.3
Figura 3.1
Figura 3.3: Sezione di un muretto di parapetto.
La sezione del muro di tamponamento esterno e riportata nella Fig. 3.2 ed il suo
peso per unita di lunghezza e dato da
– Peso specifico [kN/m3] Spessore [m] Altezza [m] Peso proprio [kN/m]
Muratura 11.3 0.35 3.16 12.5
Intonaco interno 15 0.02 3.16 0.95
Intonaco esterno 19 0.03 3.16 1.81
Totale - - - 15.26
La sezione del muretto parapetto e riportata in Fig. 3.3 ed il proprio peso e
32
17
Figura 3.4: Sezione tipo della trave di solaio.
17
Figura 3.5: Sezione tipo del pilastro.
– Peso specifico [kN/m3] Spessore [m] Altezza [m] Peso proprio [kN/m]
Muratura 11 0.12 1.1 1.45
Intonaco interno 15 0.02 1.1 0.33
Intonaco esterno 19 0.03 1.1 0.63
Totale - - - 2.4
La sezione delle travi, tutte di uguali dimensioni, e riportata in Fig. 3.4 il cui peso
per unita di lunghezza e di 3.375kN/m (25 ⋅ 0, 3 ⋅ 0, 45).
La sezione dei pilastri e riportata in Fig. 3.5; le dimensioni variano a seconda
della posizione del pilastro in pianta ed in elevazione, il peso dei pilastri per unita di
33
lunghezza e riporatato nella seguente tabella
– Peso specifico [kN/m3] Spessore [m] Altezza [m] Peso proprio [kN/m2]
Sezione 25x25 25 0.25 0.25 1.563
Sezione 25x30 25 0.25 0.25 1.875
Sezione 30x30 25 0.30 0.30 2.25
Sezione 30x35 25 0.30 0.35 2.625
34
Capitolo 4
Solaio
Le tipologie di solaio comumemente previste sono tre:
∙ solai in getto pieno;
∙ solai misti in c.a. e c.a.p. con elementi di alleggerimento;
∙ solai con elementi prefabbricati in c.a. e c.a.p.
Alla prima categoria appartengono le solette piene e solette nervate. Mentre le
prime vengono solitamente impiegate per realizzare piccole porzioni di un impalcato
quali balconcini, pianerottoli ecc. ed hanno un funzionamento a piastra (elemento
bi-dimensionale), le seconde sono utilizzate solo per particolari esigenze architettoniche.
Alla seconda categoria appartengono i solai latero-cementizi gettati in opera che, in
passato, hanno rappresentato l’unico tipo di solaio misto in laterizio e cemento armato,
mentre, attualmente, a causa dell’onerosita della loro messa in opera, vengono utilizza-
ti soltanto in situazione particolari come, ad esempio, quando la pianta del fabbricato
presenta irregolarita tali da impedire l’impiego di elementi prefabbricati. Attualmente,
per ridurre l’onere di realizzazione sono utilizzati i solai con travetti prefabbricati in
cemento armato (Fig.4.1) o cemento armato precompresso (Fig.4.2). Questi travetti
hanno capacita portanti piu o meno elevate e sono in grado, quindi, di sostenere da
soli il peso dei laterizi e del getto di completamento in calcestruzzo, aiutati solo da
35
Figura 4.1: Solaio con travetti prefabbricati a traliccio.
Figura 4.2: Solaio con travetti prefabbricati precompressi.
elementi rompitratta situati ad intervalli regolari. I travetti a traliccio sono quelli piu
in uso e sono composti da una piccola struttura reticolare spaziale con discrete ca-
pacita autoportanti (Fig.4.1). Oltre a un’armatura di base, gia inserita nell’elemento,
possono essere annegati nella suola ulteriori ferri a seconda delle esigenze statiche del
solaio. Mentre, l’armatura destinata ad assorbire i momenti flettenti negativi deve
essere posizionata in opera prima del getto finale. Con i travetti a traliccio gli ele-
menti rompitratta devono essere posti a una distanza di circa 2.5m. I travetti in c.a.p.
(Fig.4.2) sono una valida alternativa ai travetti a traliccio soprattutto in presenza di lu-
ci o carichi elevati o quando e difficoltosa la realizzazione di una puntellazione adeguata
e necessitano di travetti rompitratta posti ad una distanza di circa 2m. Le dimensioni
e l’armatura di precompressione variano a seconda del campo di utilizzazione, mentre,
36
l’armatura destinata ad assorbire i momenti flettenti negativi, anche in questo caso,
deve essere posizionata in opera prima del getto di completamento finale.
Infine, alla terza categoria appartengono i solai realizzati con elementi prefabbricati
generalmente in c.a.p. come, ad esempio, i solaio alveolari. Inoltre, sono anche uti-
lizzati solai realizzati con lastre prefabbricate, dette anche predalles, e solai a pannelli
prefabbricati.
Pertanto, un solaio e comunemente composto da un’alternanza di travetti in cemen-
to armato (precompresso o non) con elementi di alleggerimento in laterizio o polistirolo
e da una soletta di collegamento in cemento armato che copre tutta la superficie sol-
idarizzando i vari elementi tra loro. La presenza della soletta fa sı che il solaio sia
assimilabile ad una piastra (elemento strutturale bidimensionale), soggetto ad uno sta-
to tensionale piano e caricato in direzione perpendicolare al piano stesso. Pero, la
piastra presenta una forte anisotropia dovuta al procedimento costruttivo per il quale
si hanno sezioni diverse al variare della direzione (ex. quantitativi diversi di armatura,
geometria diversa ecc.), e quindi, il carico si diffonde privilegiando la direzione di mag-
giore rigidezza. Il solaio ha una composizione eterogenea (cemento armato e laterizio)
ed una geometria tale da rendere la rigidezza nella direzione parallela alla tessitura dei
travetti di gran lunga superiore a quella nella direzione perpendicolare. Questa notevole
differenza consente di trascurare, nel calcolo, le sollecitazioni che si sviluppano perpen-
dicolarmente alla direzione dei travetti e di approssimare il comportamento del solaio a
quello di una trave (elemento monodimensionale). Grazie a quest’assunzione, un solaio
di una o piu campate puo essere staticamente modellato come una trave continua su
appoggi fissi. Tuttavia, e necessario fare alcune precisazioni sulla scelta dei vincoli.
Infatti, gli appoggi del solaio, nella realta, sono costituiti dalle travi in cemento armato
che lo portano e che sono dotate di una certa rigidezza flessionale. Quindi, il vincolo
dato dalla trave assomiglia ad una molla estensionale piu che ad un appoggio fisso.
Tuttavia, questa semplificazione del modello strutturale e tale da rendere trascurabile
l’errore commesso. Inoltre, i vincoli alle estremita del solaio sono esercitati delle travi
di bordo che possiedono una propria rigidezza torsionale che impedisce, in parte, la
37
rotazione del solaio con conseguente sviluppo di un momento flettente negativo nel so-
laio. Pertanto, il vincolo esistente tra trave e solaio corrisponderebbe ad un semincastro
i cui effetti dipendono dalla rigidezza torsionale della trave (minore nella mezzeria e
maggiore in corrispondenza del pilastro). Per questo motivo, nella progettazione di un
solaio bisogna considerare diversi schemi di vincolo, come verra di seguito mostrato.
Nel presente progetto vengono utilizzati travetti prefabbricati a traliccio del tipo di
Fig. 4.1 e la tipologia di solaio la cui geometria e illustrata in Fig. 3.1. I travetti che
costituiscono l’ossatura portante del solaio possone essere staticamente modellati, per
quanto detto in precedenza, attraverso i tre diversi schemi strutturali riportati in Fig.
4.3.
Schema 1
Schema 2
Schema 3
Figura 4.3: Schemi di calcolo.
Lo schema 1 di vincolo di Fig. 4.3, trave continua su piu oppoggi, approssima meglio
il comportamento dei travetti situati in prossimita della mezzeria delle travi e/o per
travi di estremita poco rigide. Invece, lo schema 2 di vincolo di Fig. 4.3, travi separate
ed incatrate alle estremita, approssima il comportamento dei travetti in prossimita dei
pilastri. Lo schema 3 di vincolo di Fig. 4.3, trave incernierate agli estremi con carichi
38
Figura 4.4: Pianta del solaio del primo piano.
39
dimezzati, si utilizza per cautelarsi da eventuali interruzioni della continuita causata
da variazioni termiche o da eventuali cedimenti dei vincoli. La risoluzione dei diversi
schemi di vincolo produrra una serie di diagrammi delle azioni interne, il cui inviluppo
ci consente di progettare e verificare il solaio. Per i travetti dei solai il momento
flettente rappresenta la sollecitazione piu gravosa, mentre, poiche i solai normali non
vengono armati a taglio salvo rispettare alcune prescrizioni costruttive, il taglio non
viene considerato.
Osservando la pianta strutturale del primo piano (di abitazione) in Fig. 4.4 e del
piano di copertura in Fig. 4.5, possiamo constatate come vi siano tre diverse tipologie
di solaio:
∙ i travetti che si trovano fra le travi T 115-116 e T 117-118 sono continui con tre
appoggi e con due sbalzi laterali che costituiscono i balconi esterni; di seguito
indicato come travetto A.
∙ I travetti posizionati fra le travi T 117-118 e T 119-120 sono, anche essi, continui
con tre appoggi, ma presentano un unico sbalzo incastrato nella campata piu
corta; di seguito indicato come travetto B.
∙ I restanti travetti del primo piano e tutti quelli del piano di copertura sono con-
tinui con due campate e tre appoggi senza sbalzi laterali; di seguito indicato come
travetto C.
Nel seguito si presenta l’analisi della prima tipologia di travetto (travetto A) essendo
le altre tipologie (travetto B e C) un caso particolare della prima.
4.1 Determinazione delle azioni interne
Schema 1
Nel caso di schema 1 di vincolo (Fig. 4.3), per determinare le azioni interne si utilizza
il metodo delle forze con riferimento alla generica trave continua su due campate di
40
Figura 4.5: Pianta del solaio del piano di copertura.
41
L1 LA LB L2
q1 qA qB q2
q1 qA qB q2
X X
R1 R’2 R”2 R3
1 2 3
Figura 4.6: Generica geometria e condizione di carico di un travetto di solaio su tre
appoggi e con due sbalzi laterali.
L1 LA LB L2
q1 qA qB q2
q1 qA qB q2
X X
R’2 R”2
1 2 3
R’1 R”1 R’3 R”3
Figura 4.7: Struttura di servizio del travetto di Fig. 4.6.
42
Fig. 4.6 la cui trave di servizio e illustrata in Fig. 4.7. Pertanto, la condizione di
congruenza sull’appoggio centrale si scrive come:
�11X + �10 = 0 (4.1)
Sostituendo nell’Eq. 4.1 i valori delle rotazioni dovute all’iperstatica ed ai carichi esterni
si ottiene l’equazione che consente di calcolare l’incognita iperstatica X:(LA
3EIA+
LB3EIB
)X +
(− qAL
3A
24EIA− qBL
3B
24EIB+q1L
21LA
12EIA+q2L
22LB
12EIB
)= 0 (4.2)
Nel caso in cui la sezione del travetto sia costante (IA = IB = I) sia ha:(LA3
+LB3
)X +
(−qAL
3A
24− qBL
3B
24+q1L
21LA
12+q2L
22LB
12
)= 0 (4.3)
Noto il valore dell’incognita iperstatica e possibile calcolare le reazioni vincolari
(R1, R′2, R
′′2, R3) e i valori dei momenti flettenti in mezzeria delle campate (MA,MB)
R′1 = q1L1 e R′′1 =q1L
21
2LA− X
LA+
1
2qALA (4.4)
R′2 =X
LA+
1
2qALA e R′′2 =
X
LB+
1
2qBLB (4.5)
R′3 = q2L2 e R′′3 =q2L
22
2LB− X
LB+
1
2qBLB (4.6)
MA = −q1L21
4− X
2+qAL
2A
8(4.7)
MB = −q2L22
4− X
2+qBL
2B
8(4.8)
Al variare della posizione dei carichi accidentali si ottengono diversi diagrammi delle
azioni interne, in particolare, del momento flettente. In generale, si cerca il massimo
momento in campata ed il minimo sugli appoggi che conseguono dal carico disposto
sulla campata interssata ed in alternanza sulle altre e dal carico disposto sulle due
43
campate adiacenti l’appoggio interessato, rispettivamente. Nel caso in considerazione
(Fig. 4.6) indichiamo i carichi uniformemente distribuiti su una striscia unitaria (fascia
di solaio di un metro) con i seguenti simboli: g1c carico permenente in camapata, gc2
carico permenente non strutturale in camapata, gs1 carico permenente sullo sbalzo, gs2
carico permenente non strutturale sullo sbalzo, qc carico accidentale in camapata e qs
carico accidentale sullo sbalzo. Come mostrato nel Capitolo 3 i carichi e le luci delle
campate assumono, nel caso considerato, i seguenti valori:
gc1 = 4.35kN/m, gc2 = 1.2kN/m, gs1 = 4.35kN/m e gs2 = 0.0kN/m
qc = 2.0kN/m e qs = 4.0kN/m (4.9)
L1 = 1.65m, LA = 4.85m, LB = 5.85m e L2 = 1.65m (4.10)
Pertanto, i carichi della Fig. 4.6 assumeranno diversi valori a seconda della condizione di
carico considerata. Tali carichi devono essere amplificati attraverso i coefficienti parziali
di sicurezza, g1, g2 e q, che sono applicati, rispettivamente, ai carichi permanenti,
carichi permanenti non strutturali ed accidentali ed assumono i valori di g1 = 1.3,
g2 = 1.5 e q = 1.5 nel caso sfavorevole oppure di g1 = 1.0, g2 = 0 e q = 0 nel caso
favorevole. Questi valori portano a tre condizioni di carico dello schema 1 di vincolo
che sono rappresente in Fig. 4.8 e sono analizzate singolarmente nel seguito.
44
1 2 3
�g1 c1g + g�g2 c2
�q cq
A B
�g1 s1g + g�g2 s2
�q sq
1-a)
1 2 3A B
1-b)
1 2 3A B
1-c)
�q cq �q sq
�q cq
�g1 c1g + g�g2 c2
�g1 s1g + g�g2 s2
�g1 s1g + g�g2 s2 �g1 s1g + g�g2 s2
�g1 c1g + g�g2 c2
�g1 s1g + g�g2 s2 �g1 s1g + g�g2 s2
Figura 4.8: Condizioni di carico dello schema 1.
45
1 2 3
A B
a)
1 2 3
A B
b)
1 2 3
A B
c)
M =15.91
kN/m X=M =28.692
kN/m M =7.73
kN/m
M =-0.357A
kN/m M =26.53B
kN/m
M =7.71
kN/m X=M =25.292
kN/m M =15.93
kN/m
M =14.25A
kN/m M =11.31B
kN/m
M =7.71
kN/mX=M =34.54
2kN/m
M =7.73
kN/m
M =9.62A
kN/m M =23.61B
kN/m
Figura 4.9: Diagrammi del momento flettente per le condizioni di carico dello schema
1.
Schema 1-a Questa condizione di carico (Fig. 4.8 1-a) consente di determinare il
massimo momento sollecitante nella campata B a cui corrispondono i seguenti valori
dei carichi
q1 = g1 ⋅ gs1 + g2 ⋅ gs2 + q ⋅ qs, qA = g1 ⋅ gc1 + g2 ⋅ gc2,
qB = g1 ⋅ gc1 + g2 ⋅ gc2 + q ⋅ qc e q2 = g1 ⋅ gs1 + g2 ⋅ gs2 (4.11)
46
Sostituendo i valori dei carichi 4.11 nell’equazione di congruenza 4.3, si ottine
X =1(
LA
3+ LB
3
) ⋅ (( g1gc1 + g2gc2)L3A
24+
( g1gc1 + g2gc2 + qqc)L3B
24−
( g1gs1 + g2gs2 + qqs)L21LA
12− ( g1gs1 + g2gs2)L
22LB
12) (4.12)
e si ricava l’iperstatica X = 26.3kN/m. Dalle Equazioni 4.7 e 4.8 si ottengono i momenti
nella mezzeria delle due campate: MA = −0.445kNm e MB = 27.73kNm. In Fig. 4.9a)
e riportato il diagramma del momento flettente per questa condizione di carico.
Schema 1-b Questa condizione di carico (Fig. 4.8 1-b) consente di determinare il
massimo momento sollecitante nella campata A a cui corrispondono i seguenti valori
dei carichi
q1 = g1 ⋅ gs1 + g2 ⋅ gs2, qA = g1 ⋅ gc1 + g2 ⋅ gc2 + q ⋅ qc,
qB = g1 ⋅ gc1 + g2 ⋅ gc2 e q2 = g1 ⋅ gs1 + g2 ⋅ gs2 + q ⋅ qs (4.13)
Sostituendo i valori dei carichi 4.13 nell’equazione di congruenza 4.3 si ottiene
X =1(
LA
3+ LB
3
) ⋅ (( g1gc1 + g2gc2 + qqc)L3A
24+
( g1gc1 + g2gc2)L3B
24−
( g1gs1 + g2gs2)L21LA
12− ( g1gs1 + g2gs2 + qqs)L
22LB
12) (4.14)
e si ricava l’incognita iperstatica X = 21.1kN/m ed i momenti nella mezzeria delle due
campate: MA = 16.35kNm e MB = 5.72kNm. In Fig. 4.9b) e riportato il diagramma
del momento flettente per questa condizione di carico.
Schema 1-c La condizione di carico in Fig. 4.8 1-c consente, invece, di determinare
il massimo (minimo se consideriamo positivi i momenti flettenti che tendono le fibre in-
feriori) momento sollecitante in corrispondenza dell’appoggio centrale (2) con i seguenti
valori dei carichi
q1 = g1 ⋅ gs1 + g2 ⋅ gs2, qA = g1 ⋅ gc1 + g2 ⋅ gc2 + q ⋅ qc,
qB = g1 ⋅ gc1 + g2 ⋅ gc2 + q ⋅ qc e q2 = g1 ⋅ gs1 + g2 ⋅ gs2 (4.15)
47
Sostituendo i valori dei carichi nell’equazione di congruenza 4.3 si ottiene
X =1(
LA
3+ LB
3
) ⋅ (( g1gc1 + g2gc2 + qqc)L3A
24+
( g1gc1 + g2gc2 + qqc)L3B
24−
( g1gs1 + g2 ⋅ gs2)L21LA
12− ( g1gs1 + g2 ⋅ gs2)L2
2LB12
) (4.16)
e si ricava l’incognita iperstatica X = 34.54kN/m ed i momenti flettenti MA = 9.62kNm
e MB = 23.61kNm. In Fig. 4.9b) e riportato il diagramma del momento flettente per
questa condizione di carico.
Schema 2 Si considera il caso di campate separate, perfettamente incastrate agli
estremi e caricate come mostrato in Fig. 4.10a) insieme ai diagrammi del momento
flettente d’incastro perfetto di Fig. 4.10b).
�g 1 c1g
�q cq
�g c1� g
�q cq
1 2 3
A B
a)
M =20.51
kN/m M’ =20.52
kN/m M =29.823
kN/m
M =10.25A
kN/m M =14.91B
kN/m
b)
2
M” =29.822
kN/m
�g2 c2g �g2 c2g
Figura 4.10: Condizioni di carico (a) e diagramma del momento flettente (b) per lo
schema 2.
Schema 3 Si considera, infine, il caso di travi incernierate agli estremi con carico
dimezzato come mostrato in Fig. 4.11a) insieme ai diagrammi del momento flettente
di Fig. 4.11b).
48
�g c1� g /2
�q cq /2
�g1 c1g /2
�q cq /2
1 3A B
a)
M =15.37A
kN/m M =22.36B
kN/m
b)
2
�g2 c2g /2�g2 c2g /2
Figura 4.11: Condizioni di carico (a) e diagramma del momento flettente (b) per lo
schema 3.
Sovrapponendo i diagrammi dei momenti flettenti ricavati per i vari schemi di calcolo
si ottiene il diagramma inviluppo dei momenti, riportato in Fig. 4.12 che ci consente
di dimensionare e verificare i travetti del solaio. Il diagramma inviluppo deve pero
prima essere traslato lungo l’asse longitudinale nel verso sfavorevole (che per una certa
sezione da luogo ad un aumento, in valore assoluto, del momento flettente) per tenere
in conto l’interazione tra taglio e momento flettente. La distanza al con cui traslare il
diagramma inviluppo del momento flettente vale al = z, dove z e il braccio della coppia
interna con z = 0.9d, poiche si fa riferimento ad un travetto sprovvisto di armatura a
taglio.
49
INVILUPPO MOMENTI
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
LUNGHEZZA [m]
-M
[KN
m]
Figura 4.12: Diagramma di inviluppo dei momenti flettenti.
4.2 Armatura longitudinale
Noto il diagramma inviluppo del momento flettente si procede alla progettazione
delle armature ed alla successiva verifica delle sezioni. Per determinare l’armatura
del solaio e il suo posizionamento si utilizza la formula semplificata per le sezioni
rettangolari a semplice armatura:
As =Ms
0.9dfyd(4.17)
o inversa
Mr = 0.9dAsfyd (4.18)
dove d e l’altezza utile della sezione, As e l’area dell’armatura in zona tesa, fyd ,e la ten-
sione di snervamento di progetto dell’armatura Ms e il momento flettente sollecitante
della sezione, Mr e il momento flettente resistente dell’armatura As. Per il dimen-
50
INVILUPPO MOMENTI
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
LUNGHEZZA [m]
-M
[KN
m]
5
-5
10
-10
-15
15
20
2 10 L=560 cm�
2 12 L=660 cm�
1 10 - L=435 cm�
1 12 L=920 cm�
160 cm
M (2 10)r �
M (2 12)r �
M (1 10+ )r � 1 12�
M (3 12)r �
M (1 12)r �
1 12 L=500 cm�
160 cm
1 12 L=340 cm�
2 12 L=450 cm�
215 cm 280 cm
280 cm
370 cm
860 cm
M (2 12)r �
Figura 4.13: Disposizione delle armature longitudinali del solaio con la verifica del
momento resistente.
51
sionamento e il posizionamento dell’armatura si puo procedere attraverso le seguenti
fasi:
1. si calcola l’armatura As con la formula approssimata 4.17 nelle sezioni di mezzeria
e sugli appoggi e, successivamente, il numero di barre necessarie (per eccesso).
2. Si disegna l’armatura calcolata nel punto 1 in genere costituita da: (1) un sago-
mato ed un dritto in campata; (2) un moncone aggiuntivo sugli appoggi; (3) una
molla per gli sbalzi.
3. Si calcola con la formula 4.18 il momento resistente dell’armatura presente in
ogni sezione e si verifica che esso sia maggiore del momento flettente sollecitante.
Se, in alcune sezioni, tale verifica non dovesse essere soddisfatta si modifica il
posizionamento o la sagomatura o la lunghezza delle barra ipotizzata nella fase
2.
Nel caso considerato si determina l’armatura AS, apprimando per eccesso il risultato
della formula 4.17, in mezzeria e sugli appoggi relativa ad una striscia di un metro (due
travetti) con d=22cm. I risultati sono riporati nella seguente tabella:
- Ms [kNm] Amins [mm2] n∘ barre As [mm2] Mr [kNm]
Appoggio 1 -10.25 132.3 �10 + �12 191 14.85
Campata A 7.13 91.95 2�10 157 12.17
Appoggio 2 -17.3 223.3 3�12 339 26.29
Campata B 13.3 171.22 2�12 226 17.53
Appoggio 3 -14.91 192.5 2�12 226 17.53
Si dispone l’armatura calcolata come indicato nel punto (2)e si calcola con la formula
4.18 il corrispondente momento resistente in ogni sezione e si verifica graficamente che
esso sia maggiore del momento flettente sollecitante come riportato nella Fig. 4.13. La
costruzione del grafico del momento resistente deve essere effettuata considerando le
opportune lunghezze di ancoraggio delle armature metalliche.
52
4.3 Verifiche di resistenza
Progettata l’armatura longitudinale si procede alla verifica delle sezioni inflesse
maggiormente sollecitate (in mezzeria delle campate ed in corrispondenza degli appog-
gi). La verifica a flessione consente di avere una conferma della correttezza delle scelte
progettuali (altezza del solaio, fasce semipiene e piene, armatura dei travetti). Poiche
la sezione non e stata dimensionata con formule di progetto appropriate, e necessario
effettuare la verifica della sezione a flessione. La verifica a taglio e invece essenziale
per ottenere ulteriori indicazioni sull’estensione delle fasce semipiene e piene. A rigore
la sezione del travetto andrebbe considerata a T poiche parte del getto di completa-
mento viene a collaborare, in compressione, con il travetto nelle sezioni di campata. In
prossimita degli appoggi, dove si ha momento negativo, la parte di sezione compressa
e quella inferiore e, quindi, con larghezza pari a quella del travetto. In queste sezioni,
particolarmente sollecitate, la sezione compressa potrebbe essere sottodimensionata e
per questo si puo aumetare la larghezza della sezione del travetto in prossimita dell’ap-
poggio eliminando una fila di pignate, fascia piena, o eliminando una in modo alternato,
fascia semipiena. Nel caso in esame, si e deciso di far riferimento sempre ad un travetto
di sezione rettangolare costante (di dimensioni h=24cm, b=10cm, c=c’=2cm) ed, in
prima battuta, non si considera l’inserimento di fasce semipiene o piene.
La verifica allo stato limite ultimo (S.L.U.) per sforzi normali si basa sulle seguenti
ipotesi: (1) le sezioni si conservano piane; (2) il calcestruzzo teso non fornisce contributo
alla resistenza; (3) perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo; (4) i legami costitutivi
adottati sono quelli presentati nel Capitolo 2. Per la verifica allo S.L.U. della sezione si
si fa ancora riferimento ad un singolo travetto. Le verifiche a flessione vengono effettuate
nelle sezioni maggiormente sollecitate sia da momento positivo sia da momento flettente
negativo. Il solaio e un elemento soggetto a flessione retta e la verifica va quindi
effettuata calcolando la percentuale di armatura meccanica !s per la sezione in esame
e, successivamente, confrontando tale valore con i valori di !sb′ , !sc, !sc′ , che sono
le percentuali di armatura meccanica relative rispettivamente ai diagrammi b’, c, c’
53
h d
c
c’
o
b
y
z
A’S
AS
trazione compressione
deformazioni
�su �yd �cu
�=0
2a
3
4
�yd
2b
b
c
d
c’
b’
Figura 4.14: Campi di rottura in flessione semplice.
Percentuale meccanica Campo di rottura
!s < !sb′ 2a
!sb′ < !s < !sc 2b
!sc < !s < !sc′ 3
!s > !sc′ 4
Tabella 4.1: Percentuale meccanica di armatura ed il corrispondente campo di rottura
di Fig. 4.14. In tal modo e possibile individuare il campo di comportamento in cui
si trova il diagramma delle deformazioni della sezione analizzata, secondo la seguente
Tabella 4.3.
In Fig. 4.14 e rappresentato il caso di una sezione rettangolare con doppia armatu-
ra sollecitata da momento flettente positivo con le possibili situazioni di rottura. In
particolare, si evidenziano tre diversi campi:
∙ campo 2 caratterizzato dalla rottura convenzionale dell’acciaio teso (�s = �su)
mentre il calcestruzzo compresso non raggiunge il limite di rottura (�c ≥ �cu).
Questo campo, per comodita, viene suddiviso nei due campi 2a e 2b, in cui,
54
rispettivamente, l’armatura compressa risulta essere in fase elastica (�′s > −�′yd)oppure snervata (�′s ≤ −�′yd).
∙ campo 3 caratterizzato dalla rottura del calcestruzzo compresso (�c = �cu)) con
acciaio teso e compresso snervato (�su ≤ �s > �yd e �′s < −�′yd).
∙ campo 4 caratterizzato dalla rottura del calcestruzzo compresso (�c = �cu)) con
acciaio teso in fase elastica (�s < �yd) e acciaio compresso snervato (�′s < −�′yd).
Si fara sempre nel seguito la convenzione di considerare positivi per il calcestruzzo
gli accorciamenti e le compressioni, mentre, per l’acciao gli allungamenti e le trazioni.
Pertanto, solo l’acciaio compresso presenta segni negativi. Le percentuali meccaniche
limite sono ottenute dall’equilibrio alla traslazione della sezione semplicemente inflessa
(N=0) per la quale indichiamo con x la distanza dell’asse neutro dal lembo compresso
e con � = x/d la posizione dell’asse nuetro adimensionalizzata rispetto all’altezza utile
d. Definiamo i rapporti meccanici di armatura !s e !′s come
!s =Asfsddbfcd
, !′s =A′sfsddbfcd
(4.19)
Per i materiali utilizzati (calcestruzzo con Rck= 37 MPa ed acciaio FeB44k) i valori
delle deformazioni limite sono: �c1 = 0.002, �cu = 0.0035, �yd = fsd/Es = 0.001957 e
�su = 0.01.
Diagramma b’ La posizione dell’asse neutro x′b associata al diagramma limite b’ si
ottiene dalla seguente similitutide
�sud− xb′
=−�ydxb′ − c
(4.20)
con �yd < 0 essendo di contrazione, che porta a
xb′ =c′�su − d�yd�su − �yd
= �b′d (4.21)
da cui si ricava �b′ = 0.24 per c′/d = 20/220.
Diagramma c La posizione dell’asse neutro xc associata al diagramma limite c si
ottiene dalla equazione�su
d− xc=�cuxc
(4.22)
55
dalla quale si ottene che
xc =�cu
�su + �cud = �cd (4.23)
da cui si ricava �c = 0.259.
Diagramma c’ La posizione dell’asse neutro x′c associata al diagramma limite c’ si
ricava dalla seguente similitutide
�ydd− xc′
=�cux′c
(4.24)
dalla quale si ottene che
xc =�cu
�yd + �cud = �c′d (4.25)
da cui si ottiene �c′ = 0.641.
Nella Fig. 4.15 sono rappresentati per i tre diversi diagrammi limite b’, c e c’ le
corrispondenti distribuzioni di tensioni normali sulla sezione con le risultati distanziate
di z. Con riferimento alla Fig. 4.15 si pone l’equilibrio alla traslazione come
�0xbfcd − A′s�′s = As�s (4.26)
dove �0 rappresenta il coefficiente di riempimento, �′s e la tensione nell’acciaio compresso
e �s e la tensione nell’acciaio in zona tesa. Dividendo l’Eq. 4.26 per dbfcd si ottiene
l’equazione di equilibrio alla traslazione in forma adimensionalizzata:
�0� − !′s�′sfyd
= !s�sfyd
(4.27)
dalla quale risolvendo per !s si ottiene il valore della percentuale meccanica limite, !si,
corrispondente alla posizione dell’asse neutro �i
!si =�0�i − !′s�′s/fyd
�s/fyd(4.28)
Sostituendo nell’Eq. 4.27 i valori prima determinati ed assumendo !′s=0 (sezione
semplicemente armata) e �0=0.8 (stress block come legame costitutivo del calcestruz-
zo), si ottengono le percentuali meccaniche di armatura limite riportate nella seguente
Tabella 4.3.
56
d
c
c’
o
b
y
z
AS
�s=�su �yd
�c<�cu
2a
3
4
�yd
2b
b
c
d
c’
b’n n
A’S xb’
�s sd=f
0.8xb’
fcd
�’ =-fs sd
a)
d
c
c’
o
b
y
z
AS
�yd
2a
3
4
�yd
2b
b
c
d
c’
b’
n nA’S xc
�s sd=f
0.8xc
fcd
�’ =-fs sd
b)
�’ =s �yd
�s=�su
�c=�cu
�’ <s �yd
c
c’
b
y
AS
�s=�yd
2a
3
4
�yd
2b
b
c
d
c’
b’
n n
A’S
xc’
�s sd=f
0.8xc’
fcd
�’ =-fs sd
c)
�su
�c=�cu
�’ <s �yd
d oz
T
C
T
C
T
C
zb’
zc
zc’
Figura 4.15: Diagrammi limite di deformazione per la rottura in flessione semplice.
57
diagramma limite Posizione asse neutro percentuali meccaniche limite
c �c=0.259 !sc = 0.207
c’ �c′=0.641 !sc′ = 0.513
Tabella 4.2: Percentuali meccaniche di armatura limite
Noto il campo di deformazione si impone l’equilibrio alla traslazione per determinare
la posizione dell’asse neutro x = !sd/�0 e, succesivamente, si calcola il valore del braccio
della coppia interna z = d(1 − 0.4!s/�0). Quindi, si calcola il momento resistente
MRd = Aszfyd che va quindi confrontato con il momento sollecitante MSd. La sezione
e verificata se risulta MSd ≤ MRd. Nella Tabella 4.3 sono riportate le verifiche nelle
sezioni critiche, cioe quelle maggiormente sollecitate, per le quali sono stati determinati
il campo di rottura, la posizione dell’asse neutro x, il braccio della coppia interna z, il
momento resistente di progetto Mrd ed il rapporto tra momento resistente e momento
sollecitante Mrd/Msd.
Sezione Campo di rottura x[mm] z[mm] Mrd[kN] Mrd/Msd
Appoggio 1 !s = 0.2 < !sc → 2 55.14 197.95 -14.84 1.45
Campata A !s = 0.164 < !sc → 2 45.2 201.92 12.41 1.71
Appoggio 2 !sc < !s = 0.355 < !sc′ → 3 97.62 180.95 -24.02 1.39
Campata B !sc < !s = 0.237 < !sc′ → 3 65.08 193.97 17.17 1.32
Appoggio 3 !sc < !s = 0.237 < !sc′ → 3 65.08 193.97 -17.17 1.15
Tabella 4.3: Verifiche nelle sezioni critiche.
La verifica a taglio e essenziale per ottenere ulteriori indicazioni sull’estensione delle
fasce semipiene e/o piene. Essa viene effettuata nelle sezioni critiche, cioe nelle sezioni
di passaggio fra la fascia semipiena e quella alleggerita. Poiche il solaio e sprovvisto
di armature trasversali, la verifica al taglio riguarda soltanto il calcestruzzo, per il
quale deve risultare che VSd ≤ VRd,c, essendo VRd,c la resistenza a taglio di progetto
dell’elemento privo di armatura a taglio. Il valore di progetto della resistenza a taglio
58
VRd,c e dato da (EC-2 6.2.2(1)):
VRd,c =[CRd,c ⋅ k ⋅ (100 ⋅ �l ⋅ fck)1/3 + k1 ⋅ �cp
]bw ⋅ d (4.29)
in ogni caso non minore di
V minRd,c = (�min + k1 ⋅ �cp) bw ⋅ d (4.30)
dove fck e in MPa, CRd,c = 0.18/ c, k = 1 +√
200/d ≤ 2 con d in mm, �l = Asl/(bwd)
con Asl =area longitudinale dell’armatura tesa, bw =larghezza minima della sezione in
zona tesa calcolata in mm, k1 = 0.15, �min = 0.0035k3/2fck)1/2, �cp = NEd/Ac < 0.2fcd
in MPa, con NEd =forza assiale in N (NEd > 0 se di compressione).
Nel caso in esame, considerando un singolo travetto che si estende sino all’appoggio,
quindi senza l’inserimento di fasce piene o semipiene, abbiamo: bw=100mm, d=220mm,
Asl=armatura in zona tesa sufficientemente ancorata rispetto alla sezione considerarta
(per non meno di lbd + d), �l =0.00714, k=1.953, CRd,c =0.12. Da cui si ottene che il
taglio resistente riporato nella Tabella 4.3 e confrontato con il taglio sollecitante VSd.
Sezione Asl VRd,c[kN] VSd[kN]
Appoggio 1 2�10 14.32 10.96
Appoggio 2 3�12 18.51 18.27
Appoggio 3 2�12 14.32 12.62
Tabella 4.4: Verifica al taglio
La verifica e soddisfatta e non e richiesto l’inserimento di fascie piene e/o semipiene
cosı come si e anche ottenuto nella verifica in flessione semplice, si decide, pertanto, di
inserire, per ragioni costruttive, una fascia piena di 5cm tra trave e pignate.
59
60
Capitolo 5
Travi
Analisi dei carichi
Per determinare i carichi che gravano sulle travi bisogna considerare:
∙ il carico che il solaio trasmette alla trave;
∙ il peso proprio della trave
∙ i carichi direttamente applicati alla trave (come, ad esempio, la muratura di
chiusura esterna).
Nello schema di trave continua utilizzato per il calcolo del solaio la reazione di ogni
appoggio costituisce il carico trasmesso dal solaio al trave posizionata in corrispondenza
dell’appoggio stesso. In assenza di continuita del solaio ogni campata trasmetterebbe
un carico corrispondente a meta campata. Per tenere conto della continuita tra le
campate di solaio, questo carico viene incrementato attraverso un coefficiente �, detto
coefficiente di continuita. Gli sbalzi non necessitano del coefficiente di continuita in
quanto il carico viene direttamente calcolato imponendo l’equilibrio. In realta, il valore
del carico potrebbe essere calcolato con precisione a partire dai risultati della risoluzione
dello schema di trave continua del solaio, prendendo in considerazione tutte le condizioni
di carico analizzate per il solaio. In pratica, risulta essere molto piu semplice utilizzare
valori approssimati stimati in base all’andamento del diagramma dei momenti flettenti
61
Trave � Larghezza Perm. [kN/m] Perm. non Accid.[kN/m]
d’influenza[m] strutt. [kN/m]
T1 1.0 4.85/2=2.425 10.55+15.26+3.375 2.91 4.85
T2 1.25 5.85/2+4.85/2=5.35 29.1+3.375 8.03 13.38
T3 1.0 5.85/2=2.925 12.73+15.26+3.375 3.51 4.85
T4 1.0 4.85/2=2.425 10.80+3.375 0 2.91
T5 1.25 5.85/2+4.85/2=5.35 29.76+3.375 0 8.03
T6 1.0 5.85/2=2.925 13.02+3.375 0 3.51
Tabella 5.1: Carichi uniformemente distrubuiti per le travi di solaio
del solaio. Si decide di utilizzare un valore di � pari alla media dei due valori relativi alle
due campate considerate separatamente (adottando un valore minimo pari a 1 quando
il momento massimo sull’appoggio in esame e all’incirca uguale al momento all’altro
estremo della campata; un valore massimo pari a 1.25 quando nell’altro estremo il
momento e nullo). Nei calcoli, dell’esempio in esame, si e usato il valore di �=1.25,
generalmente a favore di sicurezza, per l’appoggio di continuita.
Per il calcolo delle sollecitazioni nelle travi portanti del primo piano (T1 tra i pilastri
P101 e P106, T2 tra i pilastri P107 e P112, T3 tra i pilastri P113 e P118) e del piano
copertura (T4 tra i pilastri P201 e P206, T5 tra i pilastri P207 e P212, T6 tra i pilastri
P213 e P218) bisogna, innanzitutto, determinare la larghezza d’influenza di ogni singola
trave che viene determinata suddividendo in corrispondenza della mezzeria le campate
del solaio che si appoggia su di essa.
Il peso proprio della trave e stato stimato considerando la sezione della trave pred-
imensionata nel Capitolo 3 pari a 3.375kN/m. La validita di queste sezioni verra
controllata immediatamente dopo aver calcolato il carico agente sulle campate.
Nell’analisi dei carichi (Capitolo 3) si sono valutati i carichi variabili separatamente
da quelli permanenti, in modo da poterli poi combinare nel modo piu gravoso per la
trave e sono riportati nella Tabella 5.
62
d
c
o
b
y
z
AS
n nx
�s sd=f
0.8x
fcd
�s
�c=�
cu
T
C
z
0.4x
Figura 5.1: Sezione rettangolare a rottura.
Per la trave T1 nella campata tra i pilastri P101-P102 e nella prima meta della
campata tra i pilastri P102-P103, cosı per la trave T3 nella campata tra i pilastri P113-
P114 i carichi devono essere incrementati per considerare anche gli sbalzi del solaio che
producono i seguenti carichi: carico permanente di 4.35 ⋅ 1.65 + 2.4 =9.58kN/m ed
un carico accidicentale di 4.0 ⋅ 1.65 =6.6kN/m. Nel seguito, per ragioni di sintesi,
si presenta la progettazione e verifica della sola trave centrale, di spina, denominata,
in precedenza, T2 compresa tra i pilastri P107 e P112. Tale procedura puo essere
facilmente applicata per progettare e verificare le altre travi.
Controllo sezione trave
Verificato che le dimensioni adottate per la sezione della trave siano sufficienti. Per
una trave su piu di tre appoggi il massimo momento negativo in corrispondenza degli
appoggio puo essere stimato pari a
M =pL2
10=
(1.3 ⋅ 32.47 + 1.5 ⋅ 8.03 + 1.5 ⋅ 13.38) ⋅ 5.252
10= 204.86kNm (5.1)
Per controllare la correttezza delle dimensioni assunte, si fa riferimento alla seguente
situazione. Si consideri una sezione semplicemente armata sollecita in flessione semplice
con rottura lato calcestruzzo come mostrato in Fig. 5.1. La posizione dell’asse neutro
63
x vale�cux
=�s
d− x→ x = d ⋅ �cu
�cu + �s→ x = k ⋅ d (5.2)
dove, nel caso di rottura duttile con acciaio teso snervato, il valore di k risulta com-
preso tra 0.259 e 0.641 (per acciaio B450C), come ricavato nel Capitolo 4. Si assume,
pertanto, un valore di k compreso in questo intervallo e pari a k = 0.3. Dall’equilibrio
alla rotazione (vedere Fig. 5.1), si ottiene
M = 0.8xbfcd(d− 0.4x) (5.3)
Sostituendo nell’Eq. 5.3 il valore di x = 0.3 ⋅ d si ricava la seguente espressione
M = 0.21fcdbd2 (5.4)
Questa relazione puo essere utilizzata per ricavare una tra le seguenti grandezze: il
momento resistente della sezione per rottura lato calcestruzzo M , l’altezza utile d della
sezione oppure la larghezza b della sezione. Ricavando dall’Eq. 5.4 l’altezza utile d si
ottiene
d =
√1
0.21fcd
√M
b= �
√M
b(5.5)
dove � e un coefficiente che dipende dal tipo di calcestruzzo utilizzato secondo quanto
riportato nella Tabella 5.
fck[MPa] 20 25 30 35 40
�[mm/N1/2] 0.648 0.58 0.529 0.49 0.458
Tabella 5.2: Valori del coefficiente �
Dall’Eq. 5.4 e possibile ricavare il momento resistente oppure la larghezza della
sezione:
M =d2b
�2e b =
�2M
d2(5.6)
Utilizzando nell’esempio considerato un calcestruzzo con fck=30MPa, si ha un valore
di � = 0.529. Dall’Eq. 5.5 si ottiene un’altezza utile d = 43.7cm, alla quale va aggiunto
64
il copriferro c = 4 cm. Pertanto si ritiene accettabile la sezione 30x45 che e stata
inizialmente considerata anche se leggermente sottodimensionata secondo questi calcoli
preliminari.
Dall’equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro delle compressioni, vedere Fig.
5.1, per x = 0.3 ⋅ d, si ottiene
M = Asfyd(d− 0.4x) = 0.88dAsfyd (5.7)
Per semplicita ed unifomita con le tensioni ammissibili si utilizza la seguente espressione
per il dimensionamento delle armature
As =M
0.9dAsfyd(5.8)
La sollecitazione di taglio massima puo essere stimata per eccesso attraverso la
seguente formula
Vmax =pL2/2 + pL2/10
L= 235.8kN (5.9)
Il taglio resistente associato alla crisi del puntone compresso di parete nel traliccio
di Morsch (punto 6.2.3 (3), espressione 6.9 dell’EC-2) vale
VRd,max =�cw�1fcdzbwcotg� + tg�
(5.10)
dove � rappresenta l’inclinazione dei puntoni compressi di calcestruzzo, �cw e un coeffi-
ciente che tiene conto dell’interazione tra la tensione nel corrente compresso e qualsiasi
tensione di compressione assiale (�cw = 1 per strutture non precompresse), z = 0.9d
e il braccio della coppia interna, bw e la larghezza minina della sezione, �1 e un coeffi-
ciente di riduzione della resistenza del calcestruzzo fessurato calcolato con la seguente
espressione
�1 = 0.6
(1− fck
250
)(5.11)
in cui fck e in MPa.
Secondo il modello a inclinazione variabile del traliccio di Morsch, al diminuire del-
l’angolo � vengono caricati maggiormente i puntoni compressi di parete che modellano
65
Schema 1: trave continua
Schema 2: travi incastrate alle estremita’
Schema 3: campate appoggiate con carico dimezzato
Sezione trave
Figura 5.2: Schemi statici della trave.
il comportamento del calcestruzzo e scaricati i tiranti di parete in acciaio che rap-
presentano l’armatura trasversale. L’EC-2 nel punto 6.2.3(2) consente di adottare un
qualsiasi valore di cotg� compreso tra 1 e 2.5. Il taglio resistente VRd,max conviene
inizialmente calcolarlo utilizzando il massimo valore consentito dalla normativa per
l’angolo � (cotg�=2.5), che fornisce la minima resistenza VRd,max. Pertanto, nel caso in
esame con � = 0.526, b = 30cm, fcd = 16.31MPa, cotg�=2.5, z = 37.8cm si ha
VRd,max = 335.8kN (5.12)
Questo valore risulta ben maggiore del taglio sollecitante stimato con l’Eq. 5.9.
66
5.1 Determinazione delle azioni interne
Come visto nel caso del solaio nel Capitolo 4, anche nel caso delle travi di solaio, lo
schema di funzionamento statico reale dipende dalla rigidezza dei vincoli. Per questo
motivo si considerano diversi schemi di vincolo, riporati in Fig. 5.2, che considerano le
diverse situazioni estreme di vincolo che la trave potrebbe avere:
∙ schema 1 di trave continua approssima bene il comportamento della trave nel
caso di pilastri deformabili;
∙ schema 2 di campate incastrate approssima bene il comportamento della trave in
presenza di pilastri molto rigidi;
∙ schema 3 di campate separate ed appoggiate con carichi dimezzati considera il caso
in cui la trave perdesse la continuita a causa di fessurazione, variazioni termiche
o plasticizzazione in corrispondenza degli appoggi.
Schema 1 – trave continua
La trave T2 in esame e stata, dapprima, schematizzata come trave continua. Per
determinare le azioni interne si utilizza il metodo delle forze con riferimento alla generica
trave continua su sei appoggi di Fig. 5.3 la cui trave di servizio e illustrata in Fig. 5.3.
Pertanto, le equazioni di congruenza sugli appoggi ci permettono di scrivere il seguente
sistema risolvente:
�BBXB + �BCXC + �BDXD + �BEXE + �B0 = 0
�CBXB + �CCXC + �CDXD + �CEXE + �C0 = 0
�DBXB + �DCXC + �DDXD + �DEXE + �D0 = 0
�EBXB + �ECXC + �EDXD + �EEXE + �E0 = 0
(5.13)
67
L1 L2 L3 L4
q1 q2 q3 q4
XB XB
R’C R”C
A B C
R’B R”B R’D R”D
q5
L5
D E F
q1 q2 q3 q4 q5
XC XC XD XD XE XE
RFR’E R”ERA
Figura 5.3: Generica trave continua su sei appoggi e la sua struttura di servizio.
68
Dove i coefficienti d’influenza rappresentano i valori delle rotazioni relative dovute
a valori unitari delle iperstatiche ed ai carichi esterni e sono di seguito riportati:
�BB = L1
3EI1+ L2
3EI2; �BC = �CB = L2
6EI2; �BD = �DB = 0; �BE = �EB = 0;
�B0 = − q1L31
24− q2L3
2
24; �CC = L2
3EI2+ L3
3EI3; �CD = �DC = L3
6EI3; �CE = �EC = 0;
�C0 = − q2L32
24− q3L3
3
24; �DD = L3
3EI3+ L4
3EI4; �DE = �ED = L4
6EI4;
�D0 = − q3L33
24− q4L3
4
24; �EE = L4
3EI4+ L5
3EI5; �E0 = − q4L3
4
24− q5L3
5
24
(5.14)
Sostituendo nel sistema di Eq. 5.13 i valori dei coefficienti di influenza si ottengono
le quattro Eq. che consentono di calcolare le incognite iperstatiche XB, XC ,XD e XE.
Per il caso in studio, il problema puo essere semplificato sfruttando la simmetria della
trave (simmetria geometrica, i.e. L1 = L5 e L2 = L4, e simmetria dei carichi, i.e.
q1 = q5 e q2 = q4) come illustrato in Fig. 5.4. In questo caso si hanno due equazioni di
congruenza (essendo XB=XE e XC=XD) ed il seguente sistema risolvente:
�BBXB + �BCXC + �B0 = 0
�CBXB + �∗CCXC + �C0 = 0(5.15)
Dove i coefficienti d’influenza hanno gli stessi valori riportati in precedenza con la sola
eccezione di �∗CC che vale
�∗CC =L2
3EI2+
L3
2EI3
La soluzione del sistema di Eq. 5.15 consente di determinare le incognite iperstatiche
come di seguito mostrato.
XB = −−�C0�BB+�BC�B0
�∗CC�BB−�2BC
�BC
�BB− �B0
�BB
XC = −�C0�BB+�BC�B0
�∗CC�BB−�2BC
(5.16)
Sostituendo nelle Eq. 5.16 i valori dei coefficienti di influenza e considerando il caso di
una trave di sezione costante (i.e. (I1 = I2 = I3 = I4 = I5 = I)), si ottine
XB =L2(q2L3
2+q3L33)−2(L2+3L3/2)(q1L3
1+q2L32)
4L22−16(L2+3L3/2)(L1+L2)
XC =q1L3
1+q2L32
4L2− 2(L1+L2)
L2XB
(5.17)
69
L1 L2L /23
q1 q2q3
XB XB
R’C R”C
A B C
R’B R”B
q1 q2q3
XC XC
RA
q1q2q3
L1L2L /23
D E F
Figura 5.4: Trave continua su sei appoggi simmetrica e la sua struttura di servizio.
70
Noto il valore delle incognite iperstatiche e possibile calcolare le reazioni vincolari e
l’azione di taglio alle estremita delle campate (RA, R′B +R′′B, R
′C +R′′C , R
′D +R′′D, R
′E +
R′′E, RF ) e i valori dei momenti flettenti in mezzeria delle campate (M1,M2,M3,M4,M5)
RA = RF = 12q1L1 − XB
L1
R′B = R′′E = 12q1L1 + XB
L1
R′′B = R′E = 12q2L2 + XB
L2− XC
L2
R′C = R′′D = 12q2L2 − XB
L2+ XC
L2
R′′C = R′D = 12q3L3
(5.18)
M1 = M5 =q1L2
1
8− XB
2
M2 = M4 =qBL
2B
8− XB
2− XC
2
M3 =q3L2
3
8−XC
(5.19)
Procediamo ora alla risoluzione dei vari schemi di carico per la determinazione dei
massimi e minimi momenti flettenti e delle azioni taglianti in corrispondenza degli
appoggi. Nel caso in esame si ha:
L1 = L5 = 4.35m, L2 = L4 = 5.25m, L3 = 2.8m (5.20)
mentre i carichi di ciascuna campata q1 = q5, q2 = q4 e q3 variano a seconda dello
schema di carico considerato. Nel caso in considerazione, il carico permenente g1,
il carico permenente non strutturale g2 e quello accidentale q, come determinato in
precedenza (vedi Tab. 5), hanno i seguenti valori:
g1 = 32.47kN/m, g2 = 8.03kN/m e q = 13.38kN/m (5.21)
Tali carichi devono essere amplificati attraverso i coefficienti parziali di sicurezza g1 =
1.3 (oppure 1 se favorevole) e g2 = 1.5 (oppure 0 se favorevole) per i carichi permanenti
e q = 1.5 (oppure 0 se favorevole) per i carichi accidentali. Le diverse condizioni di
carico dello schema 1 di vincolo sono analizzate singolarmente nel seguito.
Schema 1-a Questa condizione di carico consente di determinare il massimo mo-
mento sollecitante nella campata 1, 3 e 5 a cui corrispondono i seguenti valori dei
71
carichi
q1 = q5 = g1 ⋅g1+ g2 ⋅g2+ q ⋅q, q2 = q4 = g1 ⋅g1+ g2 ⋅g2, q3 = g1 ⋅g1+ g2 ⋅g2+ q ⋅q(5.22)
Sostituendo i valori dei carichi (Eq. 5.22) nell’Eq. 5.17, si ottiene
XB =L2(( g1⋅g1+ g2⋅g2)L3
2+( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L33)−2(L2+3L3/2)(( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L3
1+( g1⋅g1+ g2⋅g2)L32)
4L22−16(L2+3L3/2)(L1+L2)
XC =( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L3
1+( g1⋅g1+ g2⋅g2)L32
4L2− 2(L1+L2)
L2XB
(5.23)
da cui si ricavano le incognite iperstatiche: XB = 159.7kN/m e XC = 81.06kN/m.
Dalle Eq. 5.19 si ottengono i momenti nella mezzeria delle due campate: M1 = M5 =
95.94kNm, M2 = M4 = 66.54kNm e M3 = −8.26kNm. In Fig. 5.5 e riportato il
diagramma del momento flettente e del taglio per questa condizione di carico.
Schema 1-b Questa condizione di carico consente di determinare il massimo mo-
mento sollecitante nella campata 2 e 4 a cui corrispondono i seguenti valori dei carichi
q1 = q5 = g1⋅g1+ g2⋅g2, q2 = q4 = g1⋅g1+ g2⋅g2+ q⋅q, q3 = g1⋅g1+ g2⋅g2 (5.24)
Sostituendo i valori dei carichi (Eq. 5.24) nell’Eq. 5.17, si ottiene
XB =L2(( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L3
2+( g1⋅g1+ g2⋅g2)L33)−2(L2+3L3/2)(( g1⋅g1+ g2⋅g2)L3
1+( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L32)
4L22−16(L2+3L3/2)(L1+L2)
XC =( g1⋅g1+ g2⋅g2)L3
1+( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L32
4L2− 2(L1+L2)
L2XB
(5.25)
da cui si ricavano le incognite iperstatiche: XB = 167.7kN/m e XC = 111.4kN/m.
Dalle Eq. 5.19 si ottengono i momenti nella mezzeria delle due campate: M1 = M5 =
44.47kNm, M2 = M4 = 116.5kNm e M3 = −58.26kNm. In Fig. 5.6 e riportato il
diagramma del momento flettente e del taglio per questa condizione di carico.
Schema 1-c Questa condizione di carico consente di determinare il massimo momen-
to sollecitante in corrispondenza dell’appoggio B a cui corrispondono i seguenti valori
dei carichi
q1 = q5 = g1 ⋅g1+ g2 ⋅g2+ q ⋅q, q2 = q4 = g1 ⋅g1+ g2 ⋅g2+ q ⋅q, q3 = g1 ⋅g1+ g2 ⋅g2(5.26)
72
L1 L2L /23
q =1.3g +1.5(g +q)1 1 2
A B C
L1L2L /23
D E F
q =2 1.3g +1.5g1 2
q =3 1.3g +1.5(g +q)1 2
q =4 1.3g +1.5g1 2
q =5 1.3g +1.5(g +q)1 2
XB=159.7kN/mXC=81.06kN/m
M1=95.94kN/m M =662 .54kN/m M3=/8.26kN/m
R”B=157.4kN R”C=104.1kNRA=125kN
R’B=198.4kN R’C=127.4kN
Figura 5.5: Condizione di carico a dello schema 1.
73
L1 L2L /23
A B C
L1L2L /23
D E F
XB=167.7.8kN/mXC=111.4kN/m
M1=44.47kN/m M2=116.5kN/m M3=-58.26kN/m
R”B=205.8kN R”C=75.96kNRA=79.45kN
R’B=156.6kN R’C=188.4kN
q =1.3g1 1+1.5g2
q =2 1.3g +1.5(g +q)1 2q =3 1.3g +1.5g1 2 q =5 1.3g +1.5g1 2
q =4 1.3g +1.5(g +q)1 2
Figura 5.6: Condizione di carico b dello schema 1.
74
L1 L2L /23
A B C
L1L2L /23
D E F
XB=191kN/mXC=105kN/m
M1=80.3kN/m M2=108.1kN/m M3=-51.79kN/m
R”B=211.5kN R”C=75.96kNRA=117.8kN
R’B=205.6kN R’C=178.7kN
q =1.3g +1.5(g +q)1 1 2 q =5 1.3g +1.5(g +q)1 2q =2 1.3g +1.5(g +q)1 2
q =3 1.3g +1.5g1 2
q =4 1.3g +1.5(g +q)1 2
Figura 5.7: Condizione di carico c dello schema 1.
Sostituendo i valori dei carichi (Eq. 5.26) nell’Eq. 5.17, si ottiene
XB =L2(( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L3
2+( g1⋅g1+ g2⋅g2)L33)−2(L2+3L3/2)(( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L3
1+( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L32)
4L22−16(L2+3L3/2)(L1+L2)
XC =( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L3
1+( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L32
4L2− 2(L1+L2)
L2XB
(5.27)
da cui si ricavano le incognite iperstatiche: XB = 191kN/m e XC = 105kN/m. Dalle
Eq. 5.19 si ottengono i momenti nella mezzeria delle due campate: M1 = M5 =
80.3kNm, M2 = M4 = 108.1kNm e M3 = −51.79kNm. In Fig. 5.7 e riportato il
diagramma del momento flettente e del taglio per questa condizione di carico.
75
Schema 1-d Questa condizione di carico consente di determinare il massimo mo-
mento sollecitante in corrispondenza dell’appoggio C a cui corrispondono i seguenti
valori dei carichi
q1 = q5 = g1 ⋅g1+ g2 ⋅g2, q2 = q4 = g1 ⋅g1+ g2 ⋅g2+ q ⋅q, q3 = g1 ⋅g1+ g2 ⋅g2+ q ⋅q(5.28)
Sostituendo i valori dei carichi (Eq. 5.28) nell’Eq. 5.17, si ottiene
XB =L2(( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L3
2+( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L33)−2(L2+3L3/2)(( g1⋅g1)L3
1+( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L32)
4L22−16(L2+3L3/2)(L1+L2)
XC =( g1⋅g1+ g2⋅g2)L3
1+( g1⋅g1+ g2⋅g2+ q ⋅q)L32
4L2− 2(L1+L2)
L2XB
(5.29)
da cui si ricavano le incognite iperstatiche: XB = 166kN/m e XC = 117.7kN/m. Dalle
Eq. 5.19 si ottengono i momenti nella mezzeria delle due campate: M1 = M5 =
45.33kNm, M2 = M4 = 114.2kNm e M3 = −44.9kNm. In Fig. 5.8 e riportato il
diagramma del momento flettente e del taglio per questa condizione di carico.
Schema 2 Si considera lo schema a campate separate e perfettamente incastrate
agli estremi. Le campate sono caricate come mostrato in Fig. 4.10 insieme ai diagrammi
del momento flettente e di taglio per l’incastro perfetto.
Schema 3 Si considera, infine, il caso di travi incernierate agli estremi con carico
dimezzato come mostrato in Fig. 5.10 insieme ai diagrammi del momento flettente.
Sovrapponendo i diagrammi dei momenti flettenti e del taglio ricavati per i vari sche-
mi di calcolo si ottengono i diagrammi inviluppo del momento flettente e del taglio,
riportato in Fig. 5.11 che ci consentono di dimensionare e verificare la trave di solaio.
Per tenere in considerazione l’interazione tra il taglio e il momento flettente, il diagram-
ma inviluppo del momento flettente deve pero essere traslato lungo l’asse longitudinale
nel verso sfavorevole (cioe in modo tale da ottenere un aumento, in valore assoluto,
del momento flettente) di un distanza al che, nel caso di trave provvista di armatura a
taglio, vale al = z(cotg�− cotg�)/2, dove z = 0.9d e il braccio della coppia interna. In
via cautelativa, si consiglia di utilizzare sempre il valore al = z.
76
L1 L2L /23
A B C
L1L2L /23
D E F
XB=166kN/mXC=117.7kN/m
M1=45.33kN/m M2=114.2kN/m M3=-44.9kN/m
R”B=204.3kN R”C=104.1kNRA=79.85kN
R’B=156.2kN R’C=185.9kN
q =3 1.3g +1.5(g +q)1 2
q =1.3g1 1+1.5g2
q =2 1.3g +1.5(g +q)1 2
q =5 1.3g +1.5g1 2
q =4 1.3g +1.5(g +q)1 2
Figura 5.8: Condizione di carico d dello schema 1.
77
L1 L2L /23
A B C
L1L2L /23
D E F
M”B= 170.7kN/mM’C= M”C= kN/mM’D=48.56
M1=58.6kN/m M2=85.4kN/m M3=24.28kN/m
R”B=195.1kN R”C=104.1kNRA=161.7kN
R’B=161.7kN R’C=195.1kN
MA= 117.2kN/mM’ =B
q =1.3g +1.5(g +q)1 1 2 q =3 1.3g +1.5(g +q)1 2 q =5 1.3g +1.5(g +q)1 2
q =2 1.3g +1.5(g +q)1 2q =4 1.3g +1.5(g +q)1 2
Figura 5.9: Condizioni di carico e diagrammi del momento flettente e del taglio per lo
schema 2.
78
L1 L2L /23
q =(1 1.3g +1.5(g +q)1 2 )/2
A B C
L1L2L /23
D E F
q =2 ( )/21.3g +1.5(g +q)1 2
q =3 ( )/21.3g +1.5(g +q)1 2
q =4 ( )/21.3g +1.5(g +q)1 2
q =5 ( )/21.3g +1.5(g +q)1 2
M1=87.9kN/m M2=128kN/m M3=36.4kN/m
Figura 5.10: Condizioni di carico e diagramma del momento flettente per lo schema 3.
5.2 Armatura longitudinale
Cosı come per il solaio, anche per la trave l’area delle armature da disporre e
fornita dalla relazione 5.8 dove in questo caso d = ℎ − c = 42cm. Come armature
si sono utilizzate barre di diverso diametro pari a 16mm (As = 1.54cm2) e 18mm
(As = 2.01cm2), considerando come minimo di armatura due barre inferiori e due
superiori. Le aree di ferro necessarie e quelle effettivamente disposte sono indicate
nella tabella 5.2. Il diagramma del momento resistente, calcolato con l’inversa della
Eq. 5.8, e riportato nella Figura 5.12. In ogni sezione si verifica graficamente che il
momento resistente sia maggiore del momento flettente sollecitante. La costruzione del
grafico del momento resistente e la corrispondente disposizione delle armature, deve
essere effettuata considerando le opportune lunghezze di ancoraggio delle armature
metalliche.
79
161.7kN
161.7kN
205.6kN
205.6kN211.5kN
211.5kN195.1kN
195.1kN
104.1kN
104.1kN
117.2kNm 117.2kNm
191kNm 191kNm170.7kNm 170.7kNm
95.94kNm 95.94kNm
128kNm 128kNm
36.4kNm
Figura 5.11: Diagrammi inviluppo del momento flettente e del taglio.
80
Sezione Mmaxs [KNm] Amin
s [mm2] Armatura As [mm2] Mr [KNm]
Appoggio A -117.2 793 2�18 + 2�16 911 134.76
Campata 1 95.94 649 2�18 + 1�16 710 105.02
Appoggio B -191.0 1291 4�18 + 2�16 1420 210.04
Campata 2 128 866 2�18 + 2�16 911 134.76
Appoggio C -170.7 1154 4�18 + 1�16 1219 180.3
Campata 3 36.4 246 3�16 603 89.22
Appoggio D -170.7 1154 4�18 + 1�16 1219 180.3
Campata 4 128 866 2�18 + 2�16 911 134.76
Appoggio E -191.0 1291 4�18 + 2�16 1420 210.04
Campata 5 95.94 649 2�18 + 1�16 710 105.02
Appoggio F -117.2 793 2�18 + 2�16 911 134.76
Si sono disposte (vedere Fig. 5.12) senza nessun calcolo delle armature di parete pari
a 2 �14). Questa armatura fornisce un contributo resistente a taglio ma, soprattutto,
riduce i problemi di fessurazione e consente di assorbire eventuali trazioni dovute, ad
esempio, a ritiro o variazioni termiche.
Per completare la progettazione dell’armatura longitudinale occorre considerate le
indicazioni del capitolo 9 dell’EC-2 sui dettagli costruttivi. Conformemente al punto
9.2.1.1 dell’EC-2 debbono essere rispettati i seguenti quantitativi minimi, As,min, per
l’aramtura tesa e massimi, As,max, sia per l’armatura tesa che per quella compressa:
As,min = 0.26fctmfybtd ≥ 0.0013btd
As,max = 0.04Ac(5.30)
dove bt e la larghezza media della zona tesa, fctm e la resistenza a trazione media
determinata dal prospetto 3.1 dell’EC-2 in base alla classe di resistenza del calcestruzzo
e Ac e l’area della sezione. Nel caso in esame si ha
As,min = 211.12mm2
As,max = 5040mm2(5.31)
81
M[kNm]
x[m]
2
2 2
2
Figura 5.12: Ricoprimento del diagramma inviluppo del momento flettente. 82
Come si puo verificare dalla Fig. 5.12 in ogni sezione della trave vi e un quatitativo di
armatura in zona tesa ed in zona compressa che rispettano addondantemente i limiti
dell’Eq. 5.31.
5.3 Armatura trasversale
Le armature a taglio sono costituite, nel caso in esame, da sole staffe a due brac-
ci. Per il calcolo delle armature a taglio si fa riferimento alle indicazioni dell’EC-2
punto 6.2.3 in cui si utilizza il metodo del traliccio Morsch ad inclinazione variabile
come discusso in precedenza. Per determinare in quale zona e necessario un calcolo
diretto dell’armatura a taglio, si calcola il valore di VRd,c (dall’EC-2 punto 6.2.2(1)) che
rappresenta la resistenza a taglio della trave in assenza di armatura a taglio:
VRd,c =[CRd,c ⋅ k ⋅ (100 ⋅ �l ⋅ fck)1/3 + k1 ⋅ �cp
]bw ⋅ d (5.32)
in ogni caso non minore di
V minRd,c = (�min + k1 ⋅ �cp) bw ⋅ d (5.33)
dove fck e la resistenza cilindrica caratteristica del calcestruzzo in MPa, CRd,c = 0.18/ c,
k = 1 +√
200/d ≤ 2 con d in mm e il coefficiente che tiene conto dell’ingranamento
degli inerti, �l = Asl/(bwd) con Asl =area longitudinale dell’armatura tesa rispetto alla
sezione e il coefficiente che tiene conto dell’effetto spinotto, bw =larghezza minima della
sezione in zona tesa calcolata in mm; �cp = NEd/Ac < 0.2fcd in MPa, con NEd =forza
assiale in N (NEd > 0 se di compressione). Senza ripetere tale calcolo per tutte le
sezioni, lo si e effettuato una volta sola utilizzando un valore di �l ottenuto consideran-
do il minimo di armatura tesa pari a 603mm2 corrispondente a 3�16. Essendo nel
caso in studio fck=30MPa, b =30cm, d = 42cm, �l = 0.00479, k = 1.690 si ottine
VRd,c =58.23kN.
Per verificare se la sezione e sufficiente per sopportare il taglio sollecitante, si calcola
il valore di VRd,max, resistenza del puntone inclinato di calcestruzzo nel traliccio di
83
Morsch ad inclinazione variabile come riportato in Eq. 5.10. Assumendo cotg�=2
e, nel caso in esame con � = 0.526, b = 30cm, fcd = 17MPa e z = 37.8cm, si ha
Vrd−max=381.7kN. Come si puo facilmente verificare dalla Fig. 5.11 tale valore risulta
essere abbondantemente maggiore del massimo taglio sollecitante.
Per verificare se in una trave armata a taglio il quantitativo di armatura sia suf-
ficiente per sopportare il taglio sollecitante, bisogna determinare il valore di VRd,s che
rappresenta la resistenza delle aste tese di parete nel traliccio di Morsch ad inclinazione
variabile. Il contributo resisetnte a taglio associato alla crisi delle armature trasversali
verticali (staffe) puo essere determinato attraverso l’espressione 6.8 del punto 6.2.3(3)
dell’EC-2
VRd,s =Aswsbwzfydcotg� (5.34)
Occorre determinare dove e necessario calcolare direttamente le armature a taglio
e il quantitativo di armatura da disporre. Per questo si puo procedere nel seguente
modo:
1. si determinano i punti di intersezione tra il valore costante di VRd,c ed il diagram-
ma del taglio. Tali punti, che possono essere determinati sia graficamente che
analiticamente, individuano i due tratti della trave da armare a taglio e quello
(centrale) in cui e richiesto solo il minimo di normativa.
2. Si suddividono i tratti da armare a taglio in segmenti di lungezza costante (ad
esempio di 100cm) e si determina in ciascun di essi il taglio massimo sollecitante.
3. In ciascun segmento, si calcola, ponendo il taglio sollecitante pari a VRd,s nell’Eq.
5.34, la densita delle staffe Asw/s, da cui e possibile ottenere il passo delle staffe
avendo fissato a piacere l’area Asw della singola staffa.
Nel definire l’armatura a taglio si sono sempre considerate le indicazioni del capitolo
9 dell’EC-2 sui dettagli costruttivi. Tali indicazioni rigurdano l’armatura minima,
il massimo passo longitudinale delle staffe sl,max e la massima distanza trasversale
dei bracci delle staffe st,max. Conformemente al punto 9.2.2 dell’EC-2 debbono essere
84
verificate le seguenti relazioni
�w = Asw
sbw≥ �w,min = 0.08
√fck
fyk
sl ≤ sl,max = 0.75d
st ≤ st,max = 0.75d ≤ 600mm
(5.35)
Nel caso in studio si ha
�w,min = 0.00102
sl,max = 315mm
st,max = 315mm
(5.36)
Nella Fig. 5.13 si riporta l’inviluppo del diagramma del taglio ed il diagramma del
taglio resistente corrispondente alle armature disposte secondo il procedimento che e
stato prima presentato. Dalla Fig. 5.13 si possono ricavare il passo massimo utilizzato
pari a 25cm e la densita minima pari a Asw/(sbw) =0.00135 entrambi i valori soddisfano
quanto richiesto dall’EC-2 in Eq. 5.36. La distanza trasversale tra i bracci delle staffe
e sicuramente minore di st,max di Eq. 5.36 poiche la larghezza della sezione e minore
(b = 30cm).
85
V[kNm]
x[m]
Figura 5.13: Ricoprimento del diagramma inviluppo del taglio.
86
5.4 Verifiche di resistenza allo stato limite ultimo
Si effettuata la verifica a flessione retta allo stato limite ultimo delle sezioni piu sig-
nificative. Il procedimento e le relative formule utilizzate nel seguito sono gia state
presentate nel capitolo relativo al solaio e non vengono quindi ripetute in questo
capitolo.
Verifica della sezione in corrispondenza dell’appoggio A
Per questa sezione si ha: b =30cm, d =42cm, c =3cm, As =9.11 cm2, A′s =7.1cm2
e Msd =-117.2kNm. Come in tutte le altre sezioni sollecitate da momento flettente
negativo si assume che As e A′s rappresentino, rispettivamente, le armature tese e quelle
compresse. Quindi si possono ancora utilizzare le formule per la flessione viste per
momento flettente positivo con l’accortezza di ribaltare attorno ad un asse orizzontale
le sezioni quando sollecitate da momento negativo. Pertanto le percentuali meccaniche
d’armatura risultano essere: !′s = A′sfyd/b/d/fcd =0.13 e !s = Asfyd/b/d/fcd =0.166.
Le !sb′ , !sc e !sc′ , che corrispondono ai differenti diagrammi limite, valgono: diagramma
b’ con �b′ = 0.223 !sb′=0.308, diagramma c con �c = 0.259 !sc=0.337 e diagramma
c’ con �c′ = 0.641 !sc′=0.656. Essendo !s < !sb′ lo stato di deformazione rientra
nel campo di rottura 2a. Il valore di x si ottiene dall’equilibrio alla traslazione con
�′s = Es�′s = Es�su(x− c)/(d− x)
�0xbfcd − A′s�′s = Asfyd → x = 59.205mm (5.37)
Dall’equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro dell’armatura compressa si ricava il
valore del momento resistente
Mrd = �0xbfcd(c− 0.4x) + Asfyd(d− c) (5.38)
Nella sezione in esame e pari a Mrd=-140.6kNm. Poiche Msd < Mrd la sezione e
verificata.
Verifica della mezzeria della prima campata (campata 1)
Per questa sezione si ha: b =30cm, d =42cm, c =3cm, As =7.1 cm2, A′s =7.1cm2
e Msd =95.94kNm. Quindi le percentuali meccaniche d’armatura risultano essere:
87
!′s =0.13 e !s =0.13. Le !sb′ , !sc e !sc′ , che corrispondono ai differenti diagrammi
limite, valgono: diagramma b’ con �b′ = 0.223 !sb′=0.308, diagramma c con �c = 0.259
!sc=0.337 e diagramma c’ con �c′ = 0.641 !sc′=0.656. Essendo !s ¡ !sb′ lo stato di de-
formazione rientra nel campo di rottura 2a. Il valore di x si ottiene dall’equilibrio alla
traslazione con �′s = Es�′s = Es�su(x − c)/(d − x) in Eq. 5.37 che vale x =49.64cm. Il
momento resistente si ottiene dall’equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro dell’ar-
matura compressa (Eq. 5.38) e, nella sezione in esame, vale Mrd=110.4kNm. Essendo
Msd < Mrd la sezione e verificata.
Verifica della sezione in corrispondenza dell’appoggio B
Per questa sezione si ha: b =30cm, d =42cm, c =3cm, As =14.2 cm2, A′s =7.1cm2
e Msd =-191kNm. Quindi le percentuali meccaniche d’armatura risultano essere:
!′s =0.13 e !s =0.26. Le !sb′ , !sc e !sc′ , che corrispondono ai differenti diagram-
mi limite, valgono: diagramma b’ !sb′=0.308, diagramma c !sc=0.337 e diagramma c’
!sc′=0.656. Essendo !s ¡ !sb′ lo stato di deformazione rientra nel campo di rottura 2a. Il
valore di x si ottiene dall’equilibrio alla traslazione con �′s = Es�′s = Es�su(x−c)/(d−x)
in Eq. 5.37 per il quale si ha 82.295cm. Dall’equilibrio alla rotazione rispetto al bari-
centro dell’armatura compressa (Eq. 5.38) si ricava il valore del momento resistente
Mrd=-215.7kNm. Poiche Msd < Mrd la sezione e verificata.
Verifica della mezzeria della seconda campata (campata 2)
Per questa sezione si ha: b =30cm, d =42cm, c =3cm, As =9.11 cm2, A′s =5.1cm2 e
Msd =128kNm. Quindi le percentuali meccaniche d’armatura risultano essere: !′s =0.093
e !s =0.0166. Le !sb′ , !sc e !sc′ , che corrispondono ai differenti diagrammi limite,
valgono: diagramma b’ !sb′=0.272, diagramma c !sc=0.3 e diagramma c’ !sc′=0.62.
Essendo !s ¡ !sb′ lo stato di deformazione rientra nel campo di rottura 2a. Il valore di
x si ottiene dall’equilibrio alla traslazione con �′s = Es�′s = Es�su(x− c)/(d− x) in Eq.
5.37 che vale x =63.75cm. Il momento resistente si ottiene dall’equilibrio alla rotazione
rispetto al baricentro dell’armatura compressa (Eq. 5.38) e, nella sezione in esame, vale
Mrd=140.2kNm. Essendo Msd < Mrd la sezione e verificata.
Verifica della sezione in corrispondenza dell’appoggio C
88
Per questa sezione si ha: b =30cm, d =42cm, c =3cm, As =12.19 cm2, A′s =6.03cm2
e Msd =-170.7kNm. Quindi le percentuali meccaniche d’armatura risultano essere:
!′s =0.11 e !s =0.186. Le !sb′ , !sc e !sc′ , che corrispondono ai differenti diagrammi
limite, valgono: diagramma b’ !sb′=0.289, diagramma c !sc=0.317 e diagramma c’
!sc′=0.637. Essendo !s ¡ !sb′ lo stato di deformazione rientra nel campo di rottura
2a. Il valore di x si ottiene dall’equilibrio alla traslazione con �′s = Es�′s = Es�su(x −
c)/(d−x) in Eq. 5.37 per il quale si ha 76.7cm. Dall’equilibrio alla rotazione rispetto al
baricentro dell’armatura compressa (Eq. 5.38) si ricava il valore del momento resistente
Mrd=-185.8kNm. Poiche Msd < Mrd la sezione e verificata.
Verifica della mezzeria della terza campata (campata 3)
Per questa sezione si ha: b =30cm, d =42cm, c =3cm, As =6.03 cm2, A′s =12.19cm2
e Msd =36.4kNm. Quindi le percentuali meccaniche d’armatura risultano essere:
!′s =0.186 e !s =0.11. Le !sb′ , !sc e !sc′ , che corrispondono ai differenti diagrammi lim-
ite, valgono: diagramma b’ !sb′=0.4, diagramma c !sc=0.43 e diagramma c’ !sc′=0.749.
Essendo !s ¡ !sb′ lo stato di deformazione rientra nel campo di rottura 2a. Il valore
di x si ottiene dall’equilibrio alla traslazione con �′s = Es�′s = Es�su(x − c)/(d − x)
in Eq. 5.37 che vale x =40.81cm. Il momento resistente si ottiene dall’equilibrio alla
rotazione rispetto al baricentro dell’armatura compressa (Eq. 5.38) e, nella sezione in
esame, vale Mrd=94.33kNm. Essendo Msd < Mrd la sezione e verificata per il momento
flettente positivo. In realta, questa sezione e anche sollecitata da un momemto flet-
tente negativo pari a Msd =-58.26kNm, per il quale la crisi avviene sempre nel campo
di rottura 2a. La posizione dell’asse neutro vale x =66.81cm ed il momento resistente
vale Mrd=-185.4kNm. Essendo Msd < Mrd la sezione e verificata anche per il momento
flettente negativo.
Le rimanenti sezioni risultato verificate per la simmetria della trave.
89
5.5 Verifiche agli stati limite di esercizio
Gli stati limite di servizio sono condizioni al di la delle quali la struttura perde i suoi
requisiti di funzionalita. Il raggiungimento di uno stato limite di servizio e, pertanto,
legato alle condizioni di impiego della struttura, e puo avere carattere reversibile od
irreversibile. Nel primo caso il danno o la deformazione cessa non appena si elimini la
causa che ha portato al superamento dello stato limite di servizio; nel secondo caso si
presentano danni o deformazioni non piu eliminabili. I principali stati limite di esercizio
per strutture in cemento armato considerati dall’EC-2 riguardano la limitazione delle
tensioni, il controllo della fessurazione e quello della deformazione.
Le verifiche agli stati limite di servizio si basano su due distinte combinazioni di
carico: la combinazione quasi-permanente, meno gravosa, e quella caratteristica o rara,
maggiormente impegnativa. I valori del carico, nel caso di una sola azione variabile,
relativi alla combinazione rara sono forniti dalla relazione
prd = g1 + g2 + qk (5.39)
I valori del carico, nel caso di una sola azione variabile, relativi alla combinazione
quasi-permanente sono forniti dalla relazione
pq−pd = g1 + g2 + 2qk (5.40)
dove 2 =0.2 per edifici destinati a residenziale. I valori di g1=32.47kN/m (valore
caratteristico dei carichi permanenti), g2=8.03kN/m (valore caratteristico dei carichi
permanenti non strutturali) e qk=13.38kN/m (valore caratteristico dei carichi variabili)
per la trave in esame sono gia stati determinati in precedenza. Pertanto, il rapporto tra
la combinazione di carico per lo stato limite ultimo ed fd vale 0.725 per la combinazione
di carico rara e 0.58 per la combinazione di carico quasi-permanente.
I valori del momento flettente possono essere approssimativamente ricavati dai va-
lori ottenuti per lo stato limite ultimo, moltiplicandoli per il coefficiente 0.725 (per la
combinazione rara) e 0.58 (per la combinazione quasi-permanente). Ovviamente, ques-
ta e solo una approssimazione, per essere precisi occorrerebbe ripetere la risoluzione
90
dei diversi schemi visti per lo stato limite ultimo, con i carichi permanenti e variabili
relativi allo stato di servizio considerato. Per la combinazione di carico rara, la dif-
ferenza e minima, perche i carichi, permanenti e variabili, mantengono sostanzialmente
le rispettive proporzioni. Le differenze maggiori si hanno per la combinazione di carico
quasi-permanente, in cui si riducono molto di piu i carichi variabili. Questo procedi-
mento approssimato e pero sempre a favore della sicurezza. In Tab. 5.5 si riportano i
momenti flettenti sollecitanti per le diverse combinazioni di carico: stato limite ultimo,
MSLUs , combinazione caratteristica o rara, Mr
s, e combinazione quasi-permanente, Mq−ps .
Sezione MSLUs [KNm] Mr
s [KNm] Mq−ps [KNm]
Appoggio A -117.2 84.97 68.09
Campata 1 95.94 69.56 55.74
Appoggio B -191.0 138.5 111.0
Campata 2 128 92.8 74.37
Appoggio C -170.7 123.8 99.18
Campata 3 36.4 26.4 21.15
Appoggio D -170.7 123.8 99.18
Campata 4 128 92.8 74.37
Appoggio E -191.0 138.5 111.0
Campata 5 95.94 69.56 55.74
Appoggio F -117.2 84.97 68.09
Verifica della deformabilita
In una struttura e sempre bene controllare le inflessioni dei vari elementi, in modo
tale che questa non pregiudichi la funzionalita o l’aspetto estetico. L’EC-2 raccoman-
da quindi di stabilire dei valori limite di inflessione entro i quali ci si deve attenere;
questi tengono conto della natura della struttura, delle finiture, del tipo dei tramezzi,
degli accessori e della funzione della struttura stessa. La norma propone due diversi
metodi per il controllo dell’inflessione: il primo (punto 7.4.3 dell’EC-2) consiste con il
vero e proprio calcolo degli spostamenti massimi sotto le condizioni di carico utilizzate
91
per la verifica. Il secondo (punto 7.4.2 dell’EC-2), di natura empirica, e basato sulla
limitazione del rapporto fra lo spessore degli elementi strutturali e le luci degli stessi.
Per la struttura in esame, considerata l’ordinarieta della struttura e dei carichi, si
puo utilizzare il metodo semplificato. Secondo tale procedura, il massimo valore del
rapporto luce-altezza si ottiene dal prospetto 7.4N dell’EC-2 in funzione dello schema
statico e del quantitativo di armatura che fornisce un’indicazione di quanto l’elemento
strutturale sia sollecitato. In particolare, l’EC-2 considera poco sollecitato un elemento
che ha una percentuale di armatura � minore di 0.5%, al contrario, se � e maggiore di
1.5%, per l’EC-2, esso e molto sollecitato.
Per la trave in studio con b =30cm e d =42cm si hanno le seguenti percentuali di
armatura:
∙ campata 1 di rapporto luce/altezza di 10.36 e � =0.0056
∙ campata 2 di rapporto luce/altezza di 12.5 e � =0.0072
∙ campata 3 di rapporto luce/altezza di 6.67 e � =0.0095
∙ campata 4 di rapporto luce/altezza di 12.5 e � =0.0072
∙ campata 5 di rapporto luce/altezza di 10.36 e � =0.0056
Come si vede tutte le sezione considerate hanno un rapporto geometrico di armatu-
ra � intermedio tra 0.5% e 1.5%. Pertanto, interpolando linearmente tra i valori del
prospetto 7.4N con sistema struttrale di campata terminale di trave continua per le cam-
pate 1 e 7, mentre per tutte le altre campate con sistema strutturale relativo a campata
intermedia di trave si ottengono i seguenti valori limite del rapporto luce/altezza:
∙ campata 1: 25.5;
∙ campata 2: 27.7;
∙ campata 3: 25.3;
∙ campata 4: 27.7;
92
∙ campata 5: 25.5.
Come si puo vedere i rapporti luce/altezza sono abbondantemente al di sotto dei valori
limite, pertanto la verifica alla deformabilita e soddisfatta.
Verifica della fessurazione
La fessurazione e un evento usuale nelle strutture in calcestruzzo armato soggette a
trazioni indotte da carichi diretti o da deformazioni impedite. Questa pero deve essere
adeguatamente limitata ad un livello tale da non pregiudicare il corretto funzionamento
della struttura, la sua durabilita o da renderne inaccettabile il suo aspetto. L’EC-2 non
considera le fessure derivanti da altre cause, come ritiro plastico o reazioni chimiche
espansive all’interno del calcestruzzo indurito.
L’EC-2 consente, dopo aver verificato la presenza in zona tesa di un quantitativo
minimo di armatura (punto 7.3.2 dell’EC-2), due diversi metodi per il controllo della
fessurazione: (punto 7.3.4 dell’EC-2) il calcolo diretto dell’ampiezza delle fessure per
le condizioni di carico utilizzate per la verifica; (punto 7.3.3 dell’EC-2) procedimento
semplificato basato sulla limitazione del diametro e della spaziature delle armature.
Seguendo le indicazioni dell’EC-2 (punto 7.3.2) si e innanzitutto controllato se l’ar-
matura disposta e sufficiente ad evitare che l’armatura si snervi appena raggiunto il
limite di fessurazione del calcestruzzo teso. L’armatura minima deve essere superiore
al seguente valore:kkcfctAct
0.9fyk(5.41)
dove kc =0.4 poiche la trave e inflessa, k =1 coefficiente che tiene conto degli effetti
delle auto-tensioni non uniformi, fct=3MPa resistenza del calcestruzzo a trazione, Act =
bℎ/2 area di calcestruzzo teso (parte della sezione tesa immediatamente prima della
fessurazione). Si ottiene come minima armatura da disporre As =2.0cm2. Poiche
l’armatura tesa minima e costituita da 3�16 =6.03cm2 tale limite e abbondantemente
superato.
Per l’EC-2, viene fissata un’ampiezza limite di progetto delle fessure, wmax, i cui
valori sono funzione della classe di esposizione, della tecnologia costruttiva e del tipo
93
di acciaio utilizzato. Con riferimento al prospetto 7.1N dell’EC-2, per il caso in studio,
si hanno i seguenti limiti:
∙ wmax = 0,4mm per la combinazione di carico caratteristica (rara);
∙ wmax = 0,3mm per la combinazione di carico quasi permanente.
Per la verifica della fessurazione senza il calcolo diretto (punto 7.3.3 dell’EC-2), nel
caso di fessurazione causata principalmente da carichi, occorre limitare il diametro delle
barre secondo il prospetto 7.2N e la spaziatura tra le barre secondo il prospetto 7.3N
che dipendono entrambi dalla tensione nell’acciaio teso e dal wmax per la combinazione
di carico considerata.
Per calcolare rigorosamente tale tensione occorre innanzitutto determinare la sezione
reagente considerando il calcestruzzo al II stadio di comportamento, lineare ma non
resistente a trazione, e con un coefficiente di omogeneizzazione n pari a 15. La posizione
dell’asse neutro e ottenuta ponendo uguale a zero il momento statico della sezione
omogeneizzato calcolato rispetto all’asse neutro:
Sid,n = xbx
2+ nA′s(x− c)− nAs(d− x) = 0 (5.42)
Nota la sezione reagente, e possibile calcolare il momemto d’inerzia della sezione reagente
omogenizzata rispetto all’asse neutro che vale
Iid,n =x3b
3+ nA′s(x− c)2 + nAs(d− x)2 (5.43)
Le tensioni nella sezione possono essere determinate mediate la nota formula �(y) =
My/Iid,n, dove y indica la distanza della fibra nella quale si calcola la tensione dall’asse
neutro. Pertanto gli sforzi massimi nel calcestruzzo compresso, �c, e quello nell’acciaio
teso, �s, valgono
�c =Msd
Iid,nx �s = n
Msd
Iid,n(d− x) (5.44)
Per la trave in esame si ha b =30cm, d =42cm e c =3cm, mentre le armature differisco
nella varia sezioni critiche. Pertanto nella tabella 5.5 si riportano le grandezze geo-
metriche relative alle diverse sezioni critiche. Nella tabella 5.5 si riportano, invece, gli
94
sforzi massimi dell’acciao nelle diverse sezioni critiche per le due condizioni di carico,
rara e quasi-permanente.
Sezione A′s[mm2] As[mm2] x[mm] Iid,n[cm4]
Appoggio A 710 911 135.7 147300
Campata 1 710 710 121.3 121700
Appoggio B 710 1420 163.9 202800
Campata 2 509 911 140.7 143800
Appoggio C 603 1219 156.5 179800
Campata 3 1219 603 102 111600
Appoggio D 603 1219 156.5 179800
Campata 4 509 911 140.7 143800
Appoggio E 710 1420 163.9 202800
Campata 5 710 710 121.3 121700
Appoggio F 710 911 135.7 147300
Tabella 5.3: Dati geometrici delle sezioni critiche
Si noti che le tensioni, con minime approssimazioni, si sarebbero potuto calcolare
assumendo a priori un valore del braccio della coppia interna pari a 0.9d = 42.0cm.
Il diametro massimo delle armature, �max, prescritto dall’EC-2 (prospetto 7.2N)
vale:
∙ per la combinazione di carico rara (�s=280N/mm2 e wmax = 0.4mm) �max=16mm
∙ per la combinazione di carico quasi-permanente (�s=220N/mm2 e wmax = 0.3mm)
�max=20.5mm (per interpolazione lineare)
La spaziatura massima tra le armature, s�,max, prescritta dall’EC-2 (prospetto 7.3N)
vale
95
Combinazione rara Cominazione quasi-permanente
Sezione �s[N/mm2] �s[N/mm2]
Appoggio A 245.96 197.11
Campata 1 255.96 205.12
Appoggio B 262.3 210.19
Campata 2 270.3 216.61
Appoggio C 272.12 218.1
Campata 3 112.81 90.4
Appoggio D 272.12 218.1
Campata 4 270.3 216.61
Appoggio E 262.3 210.19
Campata 5 255.96 205.12
Appoggio F 245.96 197.11
Tabella 5.4: Tensioni massime dell’acciaio nelle varie sezioni critiche
∙ per la combinazione di carico rara (�s=280N/mm2 e wmax = 0.4mm) s�,max=200mm
∙ per la combinazione di carico quasi-permanente (�s=220N/mm2 e wmax = 0.3mm)
s�,max=225mm (per interpolazione lineare)
Le armature disposte (vedere Fig. 5.12) superano il diametro massimo consentito
e, quindi, si deve effettuare il calcolo diretto dell’ampiezza delle fessure per verificare il
problema della fessurazione.
Seguendo le indicazioni del paragrafo 7.3.4 dell’EC2, l’ampiezza caratteristica delle
fessure, wk, puo essere calcolata con la seguete espressione:
wk = sr,max(�sm − �cm) (5.45)
dove sr,max e la distanza massima tra le fessure, �sm e la deformazione media nel-
l’armatura sotto la combinazione di carico pertinente, �cm la deformazione media del
96
calcestruzzo tra le fessure. La differenza �sm−�cm puo essere calcolata con l’espressione:
�sm − �cm =�s − kt fct,eff�p,eff
(1 + �e�p,eff )
Es(5.46)
dove �s e la tensione nell’armatura tesa considerando la sezione fessurata, �e e il rap-
porto Es/Ecm, kt e un fattore dipendente dalla durata del carico (kt = 0.6 per carichi
di breve durata e kt = 0.4 per carichi di lunga durata), �p,eff = As/Ac,eff per elementi
in cemento armato ordinario in cui Ac,eff e l’area efficace di calcestruzzo teso attorno
all’armatura ordinaria o a quella di precompressione di altezza, ℎc,ef , dove ℎc,ef e il
minore tra 2.5(ℎ − d), (ℎ − x)/3 o ℎ/2 (vedere figura 7.1 del punto 7.3.2), fct,eff e il
valore medio della resistenza a trazione efficace del calcestruzzo al momento in cui si
suppone insorgano le prime fessure, si puo assumere fct,eff = fctm.
La distanza massima tra le fessure puo essere calcolata con l’espressione
sr,max = k3c+ k1k2k4�/�p,eff (5.47)
dove c e il ricoprimento dell’armatura, k1 e un coefficiente che tiene conto delle pro-
prieta di aderenza dell’armatura (0.8 per barre ad aderenza migliorata e 1.6 per barre
con una superficie effettivamente liscia), k2 e un coefficiente che tiene conto della dis-
tribuzione delle deformazioni (0.5 per flessione, 1.0 per trazione pura ed in caso di
trazione eccentrica, o per singole parti di sezione, si raccomanda di utilizzare i valori
di k2 = (�1 + �2)/2�1 dove �1 ed �2 sono rispettivamente la piu grande e la piu piccola
deformazione di trazione alle estremita della sezione considerata, calcolate per sezione
fessurata), i valori raccomandati di k3 e k4 sono rispettivamente 3.4 e 0.425, � e il
diametro delle barre. Se in una sezione sono impiegate barre di diametro diverso, si
raccomanda di adottare un diametro equivalente, �eq. Per una sezione con n1 barre di
diametro �1 e n2 barre di diametro �2, il diametro equivalente vale
�eq =n1�
21 + n2�
21
n1�1 + n2�2
(5.48)
Nel caso in esame, si calcolano le ampiezze caratteristiche delle fessure, wk, nelle
varie sezioni assumendo che k1 = 0.8, k2=0.5, k3=3.4, k4=0.425, kt=0.4, ℎc,ef=75mm,
97
Ac,eff=225cm2, Ecm=33000N/mm2, Es=200000N/mm2. Nella Tab. 5.5 si riportano i
risultati relativi alla trave in esame e come si puo vedere dalla Tab. 5.5 le ampiezze
delle fessure per le combinazioni di carico quasi permanente e rara sono inferiori ai
limiti consentiti, wmax.
Sezione Armatura tesa �eff �eq[mm] sr,max[mm]
Appoggio A 2�18 + 2�16 0.0405 17.06 143.02
Campata 1 2�18 + 1�16 0.0316 17.4 165.06
Appoggio B 4�18 + 2�16 0.0631 17.4 118.23
Campata 2 2�18 + 2�16 0.0405 17.06 143.02
Appoggio C 4�18 + 1�16 0.0542 17.64 126.74
Campata 3 3�16 0.0268 16.00 172.86
Appoggio D 4�18 + 1�16 0.0542 17.64 126.74
Campata 4 2�18 + 2�16 0.0405 17.06 143.02
Appoggio E 4�18 + 2�16 0.0631 17.4 118.23
Campata 5 2�18 + 1�16 0.0316 17.4 165.06
Appoggio F 2�18 + 2�16 0.0405 17.06 143.02
Tabella 5.5: Distanza massima tra le fessure
Verifica delle tensioni di esercizio
Considerando il comportamento delle sezioni al II stadio, si verifica che le massime
tensioni nei due materiali siano inferiori ai massimi valori consentiti, indicati dall’EC-2
al punto 7.2. La tensione di compressione nel calcestruzzo deve essere limitata al fine
di evitare la fessurazione o elevati livelli di viscosita, che possono comportare effetti
inaccettabili per la funzionalita della struttura. I limiti sono:
∙ �c < 0.60fck=18[N/mm2] per la combinazione caratteristica (o rara);
∙ �s < 0.80fyk=360[N/mm2] per la combinazione caratteristica (o rara)
98
Comb. quasi permanente Comb. rara
Sezione �s[N/mm2] �sm − �cm wk[mm] �s[N/mm2] �sm − �cm wk[mm]
Appoggio A 245.96 0.00105 0.15 197.11 0.000807 0.115
Campata 1 255.96 0.00105 0.177 205.12 0.000792 0.134
Appoggio B 262.3 0.00184 0.14 210.19 0.000924 0.109
Campata 2 270.3 0.00173 0.168 216.61 0.000905 0.129
Appoggio C 272.12 0.00122 0.154 218.1 0.000948 0.12
Campata 3 112.81 0.00031 0.054 90.4 0.0002 0.035
Appoggio D 272.12 0.00122 0.154 218.1 0.000948 0.12
Campata 4 270.3 0.00173 0.168 216.61 0.000905 0.129
Appoggio E 262.3 0.00184 0.14 210.19 0.000924 0.109
Campata 5 255.96 0.00105 0.177 205.12 0.000792 0.134
Appoggio F 245.96 0.00105 0.15 197.11 0.000807 0.115
Tabella 5.6: Ampiezza caratteristica delle fessure per le combinazioni di carico quasi
permanente e rara.
Inoltre nel caso in cui sia verificata la condizione �c < 0.45fck=13.5[N/mm2] per la com-
binazione quasi-permanente e possibile considerare un comportamento visco-elastico di
tipo lineare.
Sotto l’azione dei carichi di esercizio per la combinazione di carico rara, occorre
quindi limitare il valore delle tensioni secondo i limiti appena presentati. La verifica e
stata effettuata per tutte le sezioni critiche considerando il comportamento al II stadio
e con coefficiente di omegenizzazione pari a 15. Le massime tensioni nell’armatura
tesa e nel calcestruzzo compresso sono stati calcolati e riportati nella Tabella 5.5. La
verifica e quindi soddisfatta essendo tali sforzi sempre minori dei limiti richiesti (i.e.
�c < 18[N/mm2] e �s < 360[N/mm2]).
99
Sezione A′s[mm2] As[mm2] x[mm] Iid,n[cm4] �s[N/mm2] �c[N/mm2]
Appoggio A 710 911 135.7 147300 245.96 6.66
Campata 1 710 710 121.3 121700 255.96 5.45
Appoggio B 710 1420 163.9 202800 262.3 10.86
Campata 2 509 911 140.7 143800 270.3 7.3
Appoggio C 603 1219 156.5 179800 272.12 9.71
Campata 3 1219 603 102 111600 112.81 2.07
Appoggio D 603 1219 156.5 179800 272.12 9.71
Campata 4 509 911 140.7 143800 270.3 7.3
Appoggio E 710 1420 163.9 202800 262.3 10.86
Campata 5 710 710 121.3 121700 255.96 5.45
Appoggio F 710 911 135.7 147300 245.96 6.66
Tabella 5.7: Sforzi nelle sezioni critiche per la combinazione di carico rara
100
Capitolo 6
Pilastri
6.1 Analisi dei carichi
Considerando la modilita con cui i carichi si trasmettono dal solaio alla trave e da
essa al pilastro, e possibile determinare i carichi che gravano su ciascun pilastro. Per-
tanto si procede all’individuazione dell’area di influenza di ciascun pilastro, maggiorata
di un opportuno coefficiente di continuita �, cosı come per la trave. L’area di influenza
e individuata tagliando idealmente a meta ciascun travetto delle campate di solaio,
eventualmente, i travetti degli sbalzi per intero, e tagliando idealmente sempre a meta
ciascuna campata della trave. Tale area deve essere maggiorata mediante coefficienti di
continuita � che tengano conto sia della continuita del solaio sia della continuita della
trave. Sono stati assegnati valori di � individualmente per ogni area di influenza e
distinguendo la continuita del solaio da quella della trave considerando valori compresi
tra 1 e 1.2, come riportato in Fig. 6.1.
Per l’esempio in esame, si procede alla determinazione dei carichi dei pilastri del
telaio centrale denominati P07, P08, P09, P10, P11 e P12, per i quali si tiene conto
sia dei carichi dovuti alle travi del telaio stesso che alle travi ad esso perpendicolari
(in questo caso costituito da peso proprio delle travi, peso del tamponamento esterno
e parte dello sbalzo laterale). Il peso proprio del pilastro viene considerato pari all’1%
101
�=1 �=1.2 �=1.2 �=1.2 �=1.2 �=1
�=1.2 �=1.44 �=1.44 �=1.44 �=1.44 �=1.2
�=1 �=1.2 �=1.2 �=1.2 �=1.2 �=1
P07 P08 P09 P10 P11 P12
Figura 6.1: I coefficienti di continuita � e le aree di influenza.
del carico assiale totale al piano considerato. Nelle Tabelle 6.1, 6.1 e 6.1 sono riportati
i caocoli dei carichi per i pilastri considerati. Per la simmetria della struttura e dei
carichi i pilastri P07, P08, P09, risultano essere uguali, rispettivamente, ai pilastri P12,
P10 e P11.
6.2 Dimensionamento della sezione e delle arma-
ture
L’area di calcestruzzo necessaria viene calcolata considerando che l’armatura assor-
ba il 10% dello sforzo normale (il minimo imposto dalla normativa) e con una riduzione
102
Area[m2] o lunghezza[m] Carico[kN/m2 o kN/m] N[kN]
Solaio 1.2(4.852
+ 5.852
) ⋅ 4.22
= 13.48 1.3 ⋅ 4.45 + 1.5 ⋅ 1.2 102.3
I piano Trave 4.202
= 2.1 1.3 ⋅ 3.375 9.22
Trave laterale 1.2(4.852
+ 5.852
) = 6.42 1.3 ⋅ 3.375 28.2
Peso proprio 1.4
Totale 141.0
Solaio 1.2(4.852
+ 5.852
) ⋅ 4.22
= 13.48 1.3 ⋅ 4.35 + 1.5 ⋅ (2 + 1.2) 141.0
Piano terra Trave 4.202
) = 2.1 1.3 ⋅ 3.375 9.22
Trave laterale 1.2(4.852
+ 5.852
) = 6.42 1.3 ⋅ (3.375 + 15.26) 155.6
Peso proprio 3.06
Totale 449.8
Tabella 6.1: Carichi dei pilastri P07 e P12
del 25% della resistenza del calcestruzzo (anche se non specificamente imposta dall’EC-
2). Questa riduzione della resistenza consente al pilastro di sopportare un certo mo-
mento flettente non esplicitamente calcolato. Cosı facendo e possibile omettere la va-
lutazione del massimo momento flettente nel pilastro (considerando le combinazioni
peggiori dei carichi variabili e le inevitabili imperfezioni costruttive) e la successiva
verifica in pressoflessione. Pertanto, l’area di calcestruzzo necessaria viene determinata
mediante la formula seguente
Ac,nec =0.9Nsd
0.8fcd(6.1)
Secondo l’EC-2 (punto 9.5.2), l’area delle armature deve essere in grado di assorbire
almeno il 10% dell’azione assiale sollecitante Nsd, quindi:
As,min =0.1Nsd
fyd≥ 0.3%Ac (6.2)
Dove, per l’EC-2 punto 9.5.2, l’area dell’armatura deve, comunque, essere superiore allo
0.3% dell’area di calcestruzzo effettiva. Nel determinare l’area delle armature conviene,
per facilitare la realizzazione e limitare le possibilita di errori, assegnare a tutti i pilastri
aventi la stessa sezione la stessa armatura.
103
Area[m2] o lunghezza[m] Carico[kN/m2 o kN/m] N[kN]
Solaio 1.2(4.852
+ 5.852
) ⋅ 1.2(4.22
+ 5.32
) = 36.6 1.3 ⋅ 4.45 + 1.5 ⋅ 2 277.6
I piano Trave 1.2(4.22
+ 5.32
) = 5.7 1.3 ⋅ 3.375 25.01
Trave laterale 1.2(4.852
+ 5.852
) = 6.42 1.3 ⋅ 3.375 28.17
Peso proprio 3.31
Totale 334.0
Solaio 1.2(4.852
+ 5.852
) ⋅ 1.2(4.22
+ 5.32
) = 36.6 1.3 ⋅ 4.35 + 1.5 ⋅ (3.2) 382.6
Piano terra Trave 1.2(4.22
+ 5.32
= 5.7 1.3 ⋅ 3.375 25.01
Trave laterale 1.2(4.852
+ 5.852
) = 6.42 1.3 ⋅ 3.375 28.17
Peso proprio 4.36
Totale 774.2
Tabella 6.2: Carichi dei pilastri P08 e P11
Nella Tabella 6.2 sono riportati, per i pilastri del telaio analizzato, l’area di calces-
truzzo necessariaAc,nec, la sezione effettivamente adottata (sezione minima di 25cmx25cm),
l’area minima delle armature As,min, le armature effittivamente adottate e l’azione
assiale resistente, Nrd, calcolata come:
Nrd = Ac0.8fcd + Asfyd (6.3)
La scelta della quantita di armatura da disporre in ciascun pilastro e abbastanza
soggettiva. E’ buona regola adottare diametri non troppo piccoli (maggiore di �16)
nei quattro spigoli, anche per i pilastri di dimensione minima. Le barre longitudinali
vengono prolungate rispetto all’estradosso della trave per una lunghezza pari a quella
di sovrapposizione al fine di garantire un buon ancoraggio con le barre del pilastro
superiore. Tale lunghezza e stata in questo caso fissata a 0.60 m, misura piu che
sufficiente per le barre utilizzate (vedere Tabela 8).
104
Area[m2] o lunghezza[m] Carico[kN/m2 o kN/m] N[kN]
Solaio 1.2(4.852
+ 5.852
) ⋅ 1.2(5.32
+ 2.82
) = 31.2 1.3 ⋅ 4.45 + 1.5 ⋅ 1.2 236.7
I piano Trave 1.2(5.32
+ 2.82
) = 4.86 1.3 ⋅ 3.375 21.32
Trave laterale 1.2(4.852
+ 5.852
) = 6.42 1.3 ⋅ 3.375 28.17
Peso proprio 2.86
Totale 289.0
Solaio 1.2(4.852
+ 5.852
) ⋅ 1.2(5.32
+ 2.82
) = 31.2 1.3 ⋅ 4.35 + 1.5 ⋅ (3.2) 326.2
Piano terra Trave 1.2(5.32
+ 2.82
) = 4.86 1.3 ⋅ 3.375 21.32
Trave laterale 1.2(4.852
+ 5.852
) = 6.42 1.3 ⋅ 3.375 28.17
Peso proprio 3.76
Totale 668.5
Tabella 6.3: Carichi dei pilastri P09 e P10
Le disposizioni costruttive riguardanti i pilastri sono contenute nel capitolo 9.5
dell’EC-2. Per l’EC-2 sono considerati pilastri tutti gli elementi struttirali verticali che
hanno un rapporto tra la dimensione maggiore e quella minore non maggiore di 4.
Le armature longitudinali devono avere un diametro maggiore di 12mm, un area
minima come da Eq 6.2 ed un area massima di 4%Ac al di fuori delle zone di sovrappo-
sizione che puo aumentare 0.08Ac nelle zone di sovrapposizione. Inoltre, per forme dei
pilastri poligonali si raccomanda di disporre almeno un barra in ogni angolo, mentre,
per sezioni circolari almeno 4 barre.
Oltre l’armatura longitudinale devono essere disposte delle staffe (secondo le pre-
scrizioni dell’EC-2 punto 9.5.3) di diametro non minore di 6mm ed adeguatamente
ancorate. Il loro passo deve essere minore del minore dei seguenti limiti:
∙ 21 volte il diametro minimo delle barre longitudinali
∙ la dimensione minore del pilastro
∙ 25cm
105
Pilastro N[kN] Ac,nec[cm2] Ac[cm2] As,min[cm2] 0.2%Ac As[cm2] Nrd[kN]
P107 141 93.4 25x25=625 0.36 1.9 4�16=8.04 1165
P207 449.8 297.7 30x30=900 1.15 2.7 4�16=8.04 1539
P108 334.0 221.1 25x30=750 0.86 2.25 4�16=8.04 1335
P208 774.2 512.3 30x35=1050 1.98 3.15 4�16=8.04 1743
P109 289.0 191.3 25x25=625 0.84 1.9 4�16=8.04 1165
P209 668.5 442.4 30x30=900 1.81 2.7 4�16=8.04 1539
Tabella 6.4: Geometria ed armature dei pilastri
Il passo massimo consentito deve ridursi, di un fattore 0.6, in prossimita degli estremi
del pilastro per una lunghezza pari alla dimensione maggiore del pilastro. Per l’esempio
in esame, il passo massimo consentito vale 19.2cm. Si e quindi deciso di disporre una
staffa ogni 10 cm agli estremi del pilastro ed una ogni 15 cm nella parte centrale. Nelle
Fig. 6.2 e 6.3 si riportano le disposizioni delle armature in precedenza determinate.
6.3 Verifica allo stato limite di tensioni in esercizio
Le tensioni in esercizio devono risultare sufficientemente contenute affinche l’en-
tita della compressione non sia tale da indurre fessurazione parallela alla direzione di
compressione e tale da provocare eccessive deformazioni viscose. Si fa riferimento alla
combinazione di carico rara per la quale lo sforzo nel calcestruzzo, �c, deve risultare
minore di 0.60fck=18[N/mm2]. Mentre, non e necessaria l’ulteriore verifica prevista
per armature tese, essendo i pilastro elementi compressi. L’azione normale relativa alla
condizione di carico rara viene determinata utilizzando il coefficiente riduttivo ricavato
per la trave e pari al 70% di quello allo stato limite ultimo. Lo sforzo nel calcestruzzo
106
Figura 6.2: Disposizione delle armature per il pilastro 1.
107
Figura 6.3: Disposizione delle armature per il pilastro 2.
108
viene determinato con la seguente formula
�c =0.725Nsd
Ac + nAs(6.4)
Gli sforzi in esercizio per la combinazione di carico rara sono riporati nelle Tabella 6.3
dalla quale si puo osservare come la verifica sia soddisfatta.
Pilastro �c[N/mm2]
P1-1 1.37
P1-1 3.2
P2-1 2.8
P2-1 4.8
P3-1 2.81
P3-1 4.75
Tabella 6.5: sforzi in esercizio per la combinazione di carico rara.
109
110
Capitolo 7
Fondazioni
La fondazione e quella parte della struttura che il compito di diffondere al terreno i
carichi e le azioni gravanti sulla struttura. Si considerano fondazioni di tipo diretto che,
cioe, trasmettono i carichi sul terreno attraverso il contatto della base di appoggio e
quindi, prevalentemente, con sforzi normali. Per garantire la funzionalita della struttura
in elevazione, il sistema di fondazioni deve soddisfare alcuni requisiti; in particolare, il
carico trasmesso in fondazione:
1. non deve portare a rottura il terreno sottostante;
2. non deve indurre nel terreno cedimenti eccessivi tali da compromettere la stabilita
e la funzionalita dell’opera sovrastante;
3. non deve produrre fenomeni di instabilita generale (p. es. nel caso di strutture
realizzate su pendio);
4. non deve indurre stati di sollecitazione nella struttura di fondazione incompatibili
con la resistenza dei materiali.
La scelta del piano di posa deve essere tale da assicurare una sufficiente profondita
per: - superare lo strato superficiale di terreno vegetale ed eventualmente di riporto;
- superare lo strato di terreno soggetto all’azione del gelo o a variazioni stagionali del
111
Figura 7.1: Meccanismi di rottura.
contenuto d’acqua (in Italia, questo strato e stimabile in circa 1-2 metri);
- mettersi al sicuro dall’azione delle acque superficiali. La scelta del piano di posa
determina quindi la distanza che si viene a creare fra fondazione e il primo piano
calpestabile (piani interrati o piano terra), e quindi anche il sistema di protezione
dall’umidita del solaio piu basso.
L’approccio progettuale generale per la determinazione del tipo di fondazione da
adottare si basa sul mettere le caratteristiche dell’edificio in relazione ai risultati di
una indagine geologica funzionale alla determinazione delle caratteristiche del terreno
stesso. In particolare, i parametri utilizzati per caratterizzzare il terreno sono: l’angolo
di attrito del terreno; la coesione; il peso di volume del terreno; la stratigrafia e la
posizione della falda acquifera. Le analisi geologiche vengono condotte attraverso uno
studio della stratigrafia del terreno, eseguendo sia delle prove in sito e sia prelevando
dei campioni da sottoporre a prove di laboratorio.
Nel progetto in esame, essendo la struttura di modeste dimensioni ed assumendo
il terreno non particolarmente scadente, si realizzata la fondazione mediante plinti
collegati da travi in modo da realizzare un reticolo, cosı come richiesto per le costruzioni
in zona sismica.
Il primo aspetto e quello che riguarda la verifica di stabilita dell’insieme terreno-
fondazione, ossia la determinazione della capacita portante (o carico limite, qlim) e che
rappresenta la pressione massima che una fondazione puo trasmettere al terreno prima
che questo raggiunga la rottura. Per introdurre il concetto di capacita portante immag-
112
iniamo di applicare ad un blocco di calcestruzzo appoggiato su un terreno omogeneo un
carico verticale centrato e di incrementarlo fino al collasso, come mostrato in Fig. 7.1.
In relazione al diverso stato di addensamento (o alla consistenza, se si tratta di terreno
coesivo) del terreno si osservano diversi meccanismi di rottura che possono ricondursi
a tre schemi principali: rottura generale, rottura locale, punzonamento; per ciascuno
dei quali si sviluppano, nel terreno sottostante la fondazione, superfici di rottura con
diverso andamento. Per quanto riguarda i tre meccanismi di rottura, e possibile osser-
vare che nel caso di terreno denso (o compatto) i piani di rottura si estendono fino a
raggiungere la superficie del piano campagna (rottura generale), nel caso di materiale
sciolto (o poco consistente) le superfici di rottura interessano solo la zona in prossimita
del cuneo sottostante la fondazione e non si estendono lateralmente (rottura locale); nel
caso di materiale molto sciolto (o molle) le superfici di rottura coincidono praticamente
con le facce laterali del cuneo (punzonamento). Attualmente non si dispone di criteri
quantitativi per individuare a priori il tipo di meccanismo di rottura, anche se esistono
indicazioni a livello qualitativo per identificare il tipo di rottura piu probabile. Ad oggi,
non sono reperibili in letteratura soluzioni analitiche per lo studio del meccanismo di
rottura locale, mentre esistono numerose soluzioni analitiche per la stima del carico
limite per lo schema di rottura generale, al quale si fa riferimento per il calcolo della
capacita portante.
I due principali studi teorici per il calcolo della capacita portante, dai quali deriva la
maggior parte delle soluzioni proposte successivamente, sono stati condotti da Prandtl
(1920) e Terzaghi (1943), per fondazione nastriforme (problema piano) utilizzando il
metodo dell’equilibrio limite. Entrambi schematizzano il terreno come un mezzo contin-
uo, omogeneo e isotropo, a comportamento rigido plastico e per il quale vale il criterio
di rottura di Mohr-Coulomb. Il meccanismo di rottura di Terzaghi ipotizza (secondo
uno schema piu aderente alle condizioni reali) la presenza di attrito tra fondazione e
terreno. In questo caso il cuneo sottostante la fondazione e in condizioni di equilibrio
elastico, ha superfici inclinate di un certo angolo rispetto all’orizzontale, e penetra nel
terreno come se fosse parte della fondazione stessa. Con riferimento al meccanismo
113
di rottura di Terzaghi, relativo al caso di una fondazione nastriforme, e possibile ev-
idenziare che il carico limite dipende, oltre che dalla larghezza della fondazione, B;
dall’angolo di resistenza al taglio, �, del terreno; dalla coesione, c; dal peso proprio del
terreno, , interno alla superficie di scorrimento; dal sovraccarico presente ai lati della
fondazione, che, in assenza di carichi esterni sul piano campagna, e dato da q = D.
Non esistono metodi esatti per il calcolo della capacita portante di una fondazione
superficiale su un terreno reale, ma solo formule approssimate trinomie ottenute, per
sovrapposizione di effetti, dalla somma di tre componenti da calcolare separatamente.
La soluzione, per fondazione nastriforme con carico verticale centrato, e espressa nella
forma:
qlim =1
2 BN + cNc + qNq (7.1)
dove N , Nc, Nq sono quantita adimensionali, detti fattori di capacita portante, funzioni
dell’angolo di resistenza al taglio � e della forma della superficie di rottura considerata.
Per i fattori Nc ed Nq, relativi rispettivamente alla coesione e al sovraccarico, esistono
equazioni teoriche, mentre per il fattore N , che tiene conto dell’influenza del peso
del terreno, la cui determinazione richiede un procedimento numerico per successive
approssimazioni, esistono solo formule empiriche approssimanti.
Confrontando le equazioni proposte da vari Autori per il calcolo dei fattori di ca-
pacita portante si osserva un accordo quasi unanime per i fattori Nc e di Nq, mentre
per il fattore N sono state proposte soluzioni diverse. Le equazioni piu utilizzate per
la stima dei fattori di capacita portante sono le seguenti:
Nq = e� tg'tg2(�
4+'
2) (7.2)
Nc = (Nq − 1)cotg' (7.3)
N = 2(Nq − 1)tg' (7.4)
Il valore dei fattori di capacita portante cresce molto rapidamente con l’angolo di
resistenza al taglio o angolo di attrito interno. E pertanto molto piu importante, per
una stima corretta della capacita portante, la scelta dell’angolo di resistenza al taglio
114
Tabella 7.1: Fattori di forma (Vesic, 1975).
Forma della fondazione sc sq s
Rettangolare 1 + B′
L′Nq
Nc1 + B′
L′tg' 1− 0.4B
′
L′
Circolare o quadrata 1 + Nq
Nc1 + tg' 0.6
(o angolo di attrito interno) che non l’utilizzo di una o l’altra delle equazioni proposte
dai vari Autori.
Da una superficiale osservazione della formula in Eq. 7.1 senza scomodare la teoria
della plasticita e l’analisi limite si possono ottenere utili indicazioni sul carico limite che
aumenta all’aumentare della densita del terreno; dell’angolo di attrito '; della quata
del piano di posa D; della larghezza della fondazione B. Inoltre, va sottolineato che il
carico limite non e una caratteristica del terreno, come spesso si ritiene.
Equazione generale di capacita portante di fondazioni superficiali
Per valutare la capacita portante di fondazioni superficiali generiche, si utilizza la
seguente equazione generale, proposta da Vesic (1975):
qlim =1
2 B′N s d i b g + cNcscdcicbcgc + qNqsqdqiqbqgq (7.5)
In cui, si e indicato con: s , sc, gq, i fattori di forma; d , dc, dq, i fattori di profondita;
i , ic, iq, i fattori di inclinazione del carico; b , bc, bq, i fattori di inclinazione della base;
g , gc, gq, i fattori di inclinazione del piano campagna; B′ la larghezza equivalente per
carico eccentrico.
Fattori di forma L’equazione originale di Terzaghi e ottenuta con riferimento ad
un striscia indefinita di carico, in modo da poter considerare il problema piano. Le
fondazioni reali hanno invece, spesso, dimensioni in pianta confrontabili, e quindi la
capacita portante e influenzata dagli effetti di bordo. Si puo tener conto, in modo semi
empirico, della tridimensionalita del problema di capacita portante attraverso i fattori
di forma, il cui valore puo essere calcolato con le formule indicate in Tabella 7.1.
115
Fattori di profondita Se si vuole mettere in conto anche la resistenza del terreno
sopra il piano di fondazione, ovvero considerare la superficie di scorrimento estesa fino
al piano campagna, si possono utilizzare i fattori di profondita proposti da Vesic (1975).
Tuttavia, poiche il terreno sovrastante il piano di fondazione e molto spesso un terreno
di riporto o comunque con caratteristiche meccaniche scadenti e inferiori a quelle del
terreno di fondazione, l’uso dei fattori di profondita deve essere fatto con cautela e si
consiglia in generale di assumere d =dc=dq=1.
Eccentricita del carico Molto spesso le fondazioni superficiali devono sostenere
carichi eccentrici e/o inclinati. Per tenere conto della riduzione di capacita portante
dovuta all’eccentricita del carico si assume che l’area resistente a rottura sia quella
porzione dell’area totale per la quale il carico risulta centrato. In particolare, per una
fondazione a base rettangolare di dimensioni B x L, se la risultante dei carichi trasmessi
ha eccentricita eB nella direzione del lato minore B ed eccentricita eL nella direzione
del lato maggiore L, ai fini del calcolo della capacita portante si terra conto di una
fondazione rettangolare equivalente di dimensioni B′xL′ rispetto alla quale il carico e
centrato, essendo:
B′ = B − 2eB (7.6)
L′ = L− 2eL (7.7)
Inclinazione del carico Anche l’inclinazione del carico riduce la resistenza a
rottura di una fondazione superficiale. A seconda del rapporto fra le componenti,
orizzontale H e verticale V , del carico la rottura puo avvenire per slittamento o per
capacita portante. Le equazioni empiriche per fattori di inclinazione del carico ritenute
piu affidabili sono indicate in Tabella 7.2. Si osservi che data una fondazione con carico
inclinato si puo definire un dominio di rottura nel piano H − V , e pervenire al collasso
per differenti moltiplicatori del carico, e in particolare: 1) per aumento di V ad H
costante, 2) per aumento di H a V costante, 3) per aumento proporzionale di H e di
V (a H/V costante).
116
Tabella 7.2: Fattori di inclinazione del carico (Vesic, 1975).
Terreno ic iq i
' = 0 1− mHBLcuNc
1 1
' > 0 e c > 0 iq − 1−iqNctg'
[1− HV+BLc′cotg'
]m+1 [1− HV+BLc′cotg'
]m+1
c = 0 – (1− HV
)m (1− HV
)m+1
dove
m = mLcos2#+mBsin2#
con
mL =2 +B/L
1 +B/Le mL =
2 + L/B
1 + L/B
in cui # e l’angolo fra la direzione del carico proiettata sul piano di fondazione e la
direzione di L.
Inclinazione della base e del piano campagna Se la struttura trasmette carichi
permanenti sensibilmente inclinati puo essere talvolta conveniente realizzare il piano di
posa della fondazione con un’inclinazione rispetto all’orizzontale. In tal caso la capacita
portante nella direzione ortogonale al piano di posa puo essere valutata utilizzando i
fattori di inclinazione del piano di posa b , bc, bq. In questo corso consideriamo solo
fondazioni non inclinate rispetto al piano di posa, per le quali b = bc = bq = 1.
Se il piano campagna risulta inclinato rispetto all’orizzontale, la capacita portante
puo essere valutata utilizzando i fattori di inclinazione del piano di campagna g , gc,
gq. In questo corso consideriamo solo fondazioni con piano campagna orizzontale, per
le quali g = gc = gq = 1.
Resistenza del terreno
Il calcolo della capacita portante deve essere effettuato nelle condizioni piu critiche
per la stabilita del sistema di fondazione, valutando con particolare attenzione le possi-
bili condizioni di drenaggio. Tali condizioni dipendono noto dal tipo di terreno e dalla
velocita di applicazione del carico. Nel caso dei terreni a grana grossa (ghiaie e sab-
bie), caratterizzati da valori elevati della permeabilita (K ≥ 10−5m/s), l’applicazione
117
di carichi statici non genera sovrapressioni interstiziali; pertanto, l’analisi e sempre
condotta con riferimento alle condizioni drenate, in termini di tensioni efficaci. Nel
caso di terreni a grana fine (limi e argille), a causa della loro bassa permeabilita, salvo
il caso di applicazione molto lenta del carico, si generano sovrapressioni interstiziali
che si dissipano lentamente nel tempo col procedere della consolidazione. Pertanto per
i terreni a grana fine e necessario distinguere un comportamento a breve termine, in
condizioni non drenate, ed uno a lungo termine, in condizioni drenate.
L’analisi (a lungo termine) in condizioni drenate puo essere effettuata in termini
di tensioni efficaci. Tale tipo di approccio puo essere impiegato anche nelle analisi (a
breve termine) in condizioni non drenate, ma per la sua applicazione e richiesta la co-
noscenza delle sovrapressioni interstiziali, che si sviluppano durante la fase di carico.
Poiche la definizione delle sovrapressioni in sito e un problema estremamente comp-
lesso, l’analisi in condizioni non drenate e generalmente effettuata, nelle applicazioni
pratiche, in termini di tensioni totali, con riferimento alla resistenza al taglio non drena-
ta corrispondente alla pressione di consolidazione precedente l’applicazione del carico.
Le condizioni non drenate sono generalmente le piu sfavorevoli per la stabilita delle
fondazioni su terreni coesivi, poiche al termine del processo di consolidazione l’incre-
mento delle tensioni efficaci avra prodotto un incremento della resistenza al taglio. In
questo esempio si fara sempre e solo riferimento alle condizioni drenate.
Analisi in termini di tensioni efficaci (condizioni drenate). Nelle anal-
isi di capacita portante in termini di tensioni efficaci, la resistenza del terreno e definita
mediante i parametri c′ e '′ e i vari termini e fattori della relazione generale (Eq.
7), devono essere calcolati con riferimento a questi parametri. In presenza di falda si
deve tener conto dell’azione dell’acqua, sia nella determinazione del carico effettiva-
mente trasmesso dalla fondazione al terreno sia nel calcolo della qlim. In particolare,
nel calcolo del carico trasmesso dalla fondazione al terreno deve essere considerata la
sottospinta dell’acqua agente sulla porzione di fondazione immersa (quindi il carico di
esercizio deve essere diminuito della sottospinta idraulica) che a favore della sicurezza
puo essere trascurato, mentre il carico limite deve essere valutato in termini di pressioni
118
efficaci. In particolare, riferendosi per semplicita alla relazione di Terzaghi Eq. 7.1 (e
nel caso piu generale alla Eq. 7), si ha:
qlim =1
2 ′2BN + c′Nc + q′Nq (7.8)
dove q′ rappresenta il valore della pressione efficace agente alla profondita del piano
di posa della fondazione e ′2 il peso di volume immerso del terreno presente sotto la
fondazione. Nel calcolo dei fattori di capacita portante viene utilizzato il valore di '′
del terreno presente sotto la fondazione.
Ipotizzando la presenza di falda in quiete, si possono presentare i seguenti 4 casi:
1. Il pelo libero della falda si trova a profondita maggiore di D+B. In questo caso
la presenza della falda puo essere trascurata.
2. Il pelo libero della falda coincide con il piano di posa della fondazione (Fig. 7.2a).
In questo caso q′ = 1D, essendo 1 il peso umido (o saturo) del terreno al di
sopra del piano di posa della fondazione.
3. Il pelo libero della falda si trova a quota a al di sopra del piano di posa della fon-
dazione (Fig. 7.2b). In questo caso q′ = 1(D−a) + ′1a, essendo rispettivamente
1 il peso umido (o saturo) e ′1 il peso immerso del terreno al di sopra del piano
di posa della fondazione.
4. Il pelo libero della falda si trova a quota d < B sotto il piano di posa della
fondazione (Fig. 7.2c). In questo caso q′ = 1D, essendo 1 il peso umido
(o saturo) del terreno al di sopra del piano di posa della fondazione, mentre il
termine ′2B diventa 2d+ ′2(B − d).
Interazione terreno-fondazione. Nel caso di fondazioni con carico eccentrico,
per il calcolo strutturale dell’elemento di fondazione, si fa in genere l’ipotesi sempli-
ficativa che, in condizioni di esercizio e quindi per carico molto minore della capacita
119
Figura 7.2: Posizione della falda rispetto alla fondazione.
Figura 7.3: Pressioni di contatto per fondazioni molto rigide con carico eccentrico.
120
portante, la pressione di contatto struttura di fondazione- terreno sia lineare, e che il
terreno non abbia resistenza a trazione. Ne consegue che il diagramma delle tensioni
di contatto viene calcolato con le formule della presso flessione per sezioni non reagenti
a trazione. Ad esempio, se per semplicita di esposizione si considera una fondazione
continua di larghezza B soggetta ad un carico verticale N per unita di lunghezza con
eccentricita e (Fig. 7.3): - se la risultante ricade all’interno del nocciolo d’inerzia,
ovvero se risulta e < B/6, il diagramma e trapezio e le tensioni alle estremita valgono:
�max =N
B
(1 +
6e
B
)e �min =
N
B
(1− 6e
B
)(7.9)
- se invece la risultante e esterna al nocciolo d’inerzia, ovvero se risulta e > B/6,
la sezione e parzializzata e il diagramma e triangolare, con base B∗ = 3(B/2 − e) e
tensione massima all’estremita compressa
�max =4
3
N
B − 2e(7.10)
E, comunque, buona norma tuttavia progettare le fondazioni superficiali in modo
che la sezione sia interamente compressa, almeno per i carichi di lunga durata.
7.1 Verifiche secondo NTC 2008
Verifiche agli stati limite ultimi (SLU)
Per la progettazione e verifica degli elementi di fondazione si fara riferimento, nel
seguito, alla normativa italiana rappresentata dalle Norme Tecniche per le Costruzioni
emanate con il DM 14 gennaio 2008 (NTC) specificatamente ai Capitoli 2 e 6. Secondo
le NTC e consentito l’utilizzo di due diversi approcci progettuali nelle verifiche nei
confronti degli stati limite ultimi strutturali (STR) e geotecnici (GEO). Per semplicita si
seguira l’Approccio 2, in cui si impiega un’unica combinazione dei gruppi di coefficienti
parziali definiti per le Azioni (A), per la resistenza dei materiali (M) e, eventualmente,
per la resistenza globale (R). In tale approccio, per le azioni si impiegano i coefficienti
F riportati nella colonna A1 della Tabella 2.6.I delle NTC-2008 pag. 9. In questo
121
modo e possibile utilizzare le combinazioni di carico gia adottate per le verifiche agli
stati limite ultimi dei pilastri.
Le NTC raccomandano di effettuare verifiche di sicurezza che comprendano tutti
i meccanismi di stato limite ultimo, sia a breve sia a lungo termine. Gli stati limite
ultimi delle fondazioni superficiali si riferiscono allo sviluppo di meccanismi di collasso
determinati dalla mobilitazione della resistenza del terreno e al raggiungimento della
resistenza degli elementi strutturali che compongono la fondazione stessa. Nel caso
di fondazioni posizionate su o in prossimita di pendii naturali o artificiali deve essere
effettuata la verifica anche con riferimento alle condizioni di stabilita globale del pendio
includendo nelle verifiche le azioni trasmesse dalle fondazioni.
Le NTC raccomandano di effettuare le verifiche almeno nei confronti dei seguenti
stati limite:
∙ SLU di tipo geotecnico (GEO)
- collasso per carico limite dell’insieme fondazione-terreno
- collasso per scorrimento sul piano di posa
- stabilita globale
∙ SLU di tipo strutturale (STR)
- raggiungimento della resistenza negli elementi strutturali.
Sono, inoltre, definiti i coefficienti parziali M per i parametri geotecnici e i coeffici-
enti R che operano direttamente sulla resistenza globale di opere e sistemi geotecnici
per le differenti verifiche. La verifica di stabilita globale deve essere effettuata secon-
do l’Approccio 1 con Combinazione 2: (A2+M2+R2); tenendo conto dei coefficienti
parziali riportati nelle Tabelle 6.2.I e 6.2.II per le azioni e i parametri geotecnici e nella
Tabella 6.8.I per le resistenze globali.
La rimanenti verifiche devono essere effettuate, tenendo conto dei valori dei coef-
ficienti parziali riportati nelle Tab. 6.2.I, 6.2.II e 6.4.I, seguendo almeno uno dei due
approcci:
122
∙ Approccio 1: Combinazione 1: (A1+M1+R1) e Combinazione 2: (A2+M2+R2)
∙ Approccio 2: Combinazione (A1+M1+R3).
Nelle verifiche effettuate con l’approccio 2 che siano finalizzate al dimensionamento
strutturale, il coefficiente gR non deve essere portato in conto.
Nel seguito le verifiche saranno effettuate seguendo l’approccio progettuale 2, in cui
le azioni di progetto in fondazione derivano da un’unica analisi strutturale svolta imp-
iegando i coefficienti parziali del gruppo A1. Nelle verifiche agli stati limite ultimi per il
dimensionamento geotecnico delle fondazioni (GEO), si considera lo sviluppo di mecca-
nismi di collasso determinati dal raggiungimento della resistenza del terreno interagente
con le fondazioni. L’analisi puo essere condotta con la Combinazione (A1+M1+R3),
nella quale i coefficienti parziali sui parametri di resistenza del terreno (M1) sono uni-
tari e la resistenza globale del sistema e ridotta tramite i coefficienti R = 2.3 del
gruppo R3. Tali coefficienti si applicano solo alla resistenza globale del terreno, che e
costituita, a seconda dello stato limite considerato, dalla forza normale alla fondazione
che produce il collasso per carico limite, o dalla forza parallela al piano di scorrimen-
to della fondazione che ne produce il collasso per scorrimento. Essi vengono quindi
utilizzati solo nell’analisi degli stati limite GEO. Nelle verifiche agli stati limite ultimi
finalizzate al dimensionamento strutturale (STR), si considerano gli stati limite ultimi
per raggiungimento della resistenza negli elementi di fondazione. Per tale analisi non si
utilizza il coefficiente R (o meglio R = 1) e si procede percio come nella Combinazione
1 dell’Approccio 1.
Verifiche agli stati limite di esercizio (SLE)
Per effetto delle azioni trasmesse in fondazione, i terreni subiscono deformazioni che
provocano spostamenti del piano di posa. Le componenti verticali degli spostamenti
(cedimenti) assumono in genere valori diversi sul piano di posa di un manufatto. Si
definisce cedimento differenziale la differenza dei cedimenti tra punti di una stessa fon-
dazione, di fondazioni distinte con sovrastrutture comuni e di fondazioni distinte con
sovrastrutture staticamente indipendenti. In base alla evoluzione nel tempo si distin-
123
guono i cedimenti immediati e i cedimenti differiti. Questi ultimi sono caratteristici dei
terreni a grana fine, poco permeabili, e dei terreni organici. I cedimenti e gli spostamen-
ti delle fondazioni e del terreno circostante possono essere valutati con metodi empirici
o analitici. Nel caso di terreni a grana fine, i parametri che caratterizzano la deforma-
bilita sono di regola ottenuti da prove di laboratorio su campioni indisturbati. Nel caso
di terreni a grana media o grossa, i parametri anzidetti possono essere valutati sulla
base dei risultati di indagini geotecniche in sito. I valori delle proprieta meccaniche da
adoperare nell’analisi sono quelli caratteristici e i coefficienti parziali sulle azioni e sui
parametri di resistenza sono sempre unitari. Sulla base della previsione dei cedimenti
deve esprimersi un giudizio sulla loro ammissibilita con riferimento ai limiti imposti
dal comportamento statico e dalla funzionalita del manufatto. Qualora il manufatto
in progetto possa influire sul comportamento statico e sulla funzionalita di manufatti
adiacenti, il giudizio di ammissibilita deve essere esteso a questi ultimi.
7.2 Terreno
Supponiamo che il sito di costruzione sia situato in Pianura Padana. La sequenza
stratigrafica del sottosuolo della Pianura Padana e caratterizzata da una successione
di terreni semplificabile in due raggruppamenti principali: una serie sabbioso-argillosa
di eta piu recente, il cui spessore varia fra i 4 km a nord fino a raggiungere i 12
km nel settore meridionale in corrispondenza del margine appenninico, e una serie
calcarea-dolomitica, profonda, di eta piu antica.
Essendo il livello di base delle fondazioni a quota -1.70m e la falda a -3m, le fon-
dazioni appoggiano sullo strato di terreno sabbioso-argilloso le cui caratteristiche mec-
caniche risultano essere (da indagine geologica): peso specifico = 20 kN/m3, angolo
di attrito interno ' = 30∘ e coesione c = 0.002 MPa.
I parametri di resistenza del terreno di base delle fondazioni, con l’applicazione dei
coefficienti del gruppo M1 essendo unitari, non variano di valore.
124
D
B
�1
c, �� ��
P
Figura 7.4: Schema di riferimento per il calcolo del carico limite.
Per questo terreno applicando le formule in Eq. 7.2 si ottengono i seguenti valori
dei parametri Ni:
Nq = 18.4, Nc = 30.14 e N = 20.09 (7.11)
7.3 Dimensionamento della base di appoggio e del-
l’altezza
Consideriamo i pilastri maggiormente sollecitati, P08 e P11, come da analisi nel
capitolo precedente. In corrispondenza della base di questi pilastri abbiamo un carico
ultimo assiale Pmax = 774.2 kN ottenuto con il metodo approssimato. Si sottolinea
che l’azione assiale e calcolata allo stato limite ultimo quindi adoperando i coefficienti
di applificazione dei carichi cosı come richiesto dall’approccio 2. Si poteva allo stesso
modo considerare i carichi ottenuti dalla risoluzione del telaio. Supponendo di utilizzare
plinti di fondazione di forma quadrata occorre calcolare i coefficienti di forma in Eq.
7.1: sc = 1.611, sq = 1.577 e s = 0.6, mentre assumiamo unitari tutti gli altri fattori.
Assumendo una larghezza della fondazione B = 1m, con riferimento alla Fig. 7.4, il
125
h
P
h/2 h/2
h/2
Perimetro critico Area caricata
Figura 7.5: Perimetro e sezione critica per punzonamento.
carico limite a rottura qlim vale secondo l’Eq. 7
qlim =1
2 2BN s + cNcsc + 1DNqsq (7.12)
da cui sostituendo i valori determinati nel paragrafo precedente si ottiene qlim = 1.11
MPa. L’area della base di appoggio puo essere determinata come
Amin =Pmax ⋅ 1.05
qlim/ R(7.13)
in cui il peso del plinto e stato considerato, in prima approssimazione, pari al 5% del
carico. Dall’Eq. 7.13 e possibile ricavare il lato B della fondazione che risulta pari
a B =√Amin = 129.94cm. Pertanto, essendo B maggiore di 1m, possiamo assure
B = 130cm.
L’altezza del plinto viene, invece, determinata considerando la rottura per punzon-
amento. Assumendo che il carico concentrato si diffonda con un angolo di 45∘ fino al
piano medio della sezione (vedi Fig. 7.5), si puo individuare la sezione resistente di
area 0.5ℎ ⋅ u. Pertanto la resistenza a punzonamento, in assenza di apposita armatura,
e quindi
FRd =1
2uℎfctd (7.14)
126
h
P
Sezione di verifica
aP
�*
B
L
l1
l2
Figura 7.6: .
Trascurando il contributo portante del terreno al di sotto dell’area critica e ponendo
FRd = Pmax possiamo ricavare l’altezza del plinto
Pmax =1
2ℎ [2(l + ℎ) + 2(b+ ℎ)] fctd (7.15)
dove l e b rappresentano i lati del pilastro. L’Eq. 7.25 rappresenta un’equazione di
secondo grado nell’incognita ℎ la radice positiva e
ℎ =1
4
√b2fctd + 2fctdbl + l2fctd + 8Pmax
fctd− bfctd + lfctd
4fctd(7.16)
Per il caso in esame essendo b = 30cm, l = 35cm e fctd = 1.33MPa, si ha ℎ = 40cm.
127
7.4 Dimensionamento delle armature
Essendo a > ℎ il plinto si configura come un plinto basso (vedi Fig. 7.6), quindi
il calcolo viene condotto suddividendolo in piu elementi indipendenti a sbalzo dal pi-
lastro. In questo modo il problema tridimensionale ed iperstatico si trasforma in un
problema piano e isostatico. Per plinti di forma pressoche quadrata si esegue il calcolo
suddividendo il plinto in quattro mensole come indicato in Fig. 7.6. I carichi agenti
su ciascun coppia di mensole sono costituiti dalla pressione di contatto terreno-plinto
(diretta verso l’alto) e dal peso proprio del plinto e da eventuali carichi presenti diret-
tamente su di esso (diretti verso il basso). Quest’ultimi a favore di sicurezza vengono
trascurati. In caso di pressioni di contatto uniformi i momenti flettenti nelle sezioni di
incastro risultano
M1 =1
2�∗Bl21 e M2 =
1
2�∗Ll22 (7.17)
A favore della sicurezza, la pressione limite �∗ puo essere presa pari alla qlim, che
per la fondazione in esame vale �∗ = qlim = 1.144MPa. Pertanto, il momento flet-
tente massimo nella sezione di verifica Mmax = maxM1,M2 vale Mmax = 185.8kNm.
In questo caso si prende il massimo tra i due visto che non differisco significativa-
mente, ma comunque, in generale, conviene considerare il maggiore per entraanbe le
direzioni. Applicando la formula approssimata per il progetto delle armature delle
sezioni rettangolari a semplice armatura si ha:
As =Mmax
0.9dfyd(7.18)
assumendo un copriferro di 4cm si ha d = ℎ−4cm = 36cm, quindi si ha As = 1466mm2.
Si utilizzano allora 10 barre �14 per un’area di 1539mm2.
Inoltre, occorre verificare che vi sia un quantitativo minimo di armatura in zona tesa
(punto 7.3.2 dell’EC-2) per verificare che l’armatura disposta sia sufficiente ad evitare
che l’armatura si snervi appena raggiunto il limite di fessurazione del calcestruzzo teso.
L’armatura minima deve essere superiore al seguente valore:
kkcfctAct0.9fyk
(7.19)
128
dove kc = 0.4 poiche il plinto e inflesso, k = 1, fct=3MPa, Act = Bℎ/2 area di calces-
truzzo teso (parte della sezione tesa immediatamente prima della fessurazione). Si ot-
tiene come minima armatura da disporre Amins = 886mm2. Poiche l’armatura tesa, cal-
colata per la flessione, e costituita da 10�14 = 1539mm2 tale limite e abbondantemente
superato.
7.5 Verifiche
Verifica terreno (SLU) Essendo il livello di base delle fondazioni a quota -1.70m e
la falda a -3m, le caratteristiche meccaniche sono: peso specifico = 20 kN/m3, angolo
di attrito interno ' = 30∘ e coesione c = 0.0 MPa. Avendo una fondazione quadrata
di lato B = L = 1m e D = 1.7m il carico limite a rottura qlim vale secondo l’Eq. 7
qlim =1
2 2BN s + cNcsc + 1DNqsq (7.20)
da cui sostituendo i valori determinati nel paragrafo precedente si ottiene qlim =
1.144MPa. Lo sforzo massimo sul terreno e pari a
�max =Pmax + 1.3W
B2= 0.471MPa (7.21)
dove W = 16.22kN e il peso proprio del plinto. Essendo �max < qlim/ R la verifica
risulta soddisfatta.
Verifica a taglio (SLU) La verifica a taglio, che si effettua in corrispondenza della
sezione critica (vedi Fig. 7.7), si controlla il valore del taglio sollecitante di progetto Ved
rispetto al taglio resistente dell’elemento in assenza di armature trasversali. Il taglio
sollecitante di progetto Ved vale
Ved =PmaxB2
B
[1
2(L− l)− d
]= 83.4kN (7.22)
Il taglio resistente dell’elemento in assenza di armature trasversali puo essere valutato
con la V minRd,c
V minRd,c =
(0.035k3/2f
1/2ck + k1 ⋅ �cp
)B ⋅ d (7.23)
129
Sezione di verifica
B
L
d
d
B
L
1.5 d
1.5 d
Taglio Punzonamento
l
b
Figura 7.7: Sezioni critiche per le verifiche a taglio e a punzonamento.
dove k = 1 +√
200/d ≤ 2 con d in mm e k1 = 0, quindi la verifica risulta soddisfatta
essendo V minRd,c = 156.6kN.
Verifica a flessione (SLU) La verifica a flessione, che si effettua in corrispondenza
della sezione critica a filo del pilastro, si controlla il valore del momento sollecitante di
progetto Med rispetto a quello del momento resistente Mrd.
Verifica a punzonamento (SLU) La verifica a punzonamento si effettua in cor-
rispondenza della sezione critica (vedi Fig. 7.7) di perimetro u = 2(l + 3d) + 2(b+ 3d)
e di area uℎ. In questa verifica si e presa la sezione di verifica a 1.5d invece che a 2d
come raccomandato dall’EC2 per tener in conto dell’effetto diffusivo del terreno al di
sotto della fondazione (par. 6.4.1 dell’EC2). Si calcola il valore della tensione di taglio
di progetto ved provocata dal punzonamento e si verifica che sia inferiore alla tensione
di taglio resistente dell’elemento in assenza di armature trasversali vRd,c (par. 6.4.4
dell’EC2). Se cio non fosse verificato si calcola vRd,cs (par. 6.4.4 dell’EC2) che rappre-
senta il valore di progetto del taglio-punzonamento resistente di una piastra dotata di
armature per il taglio-punzonamento, e si dispone l’armatura calcolata lungo la sezione
130
di verifica considerata. Inoltre, va verificato che vRd,max = 0.5�fcd, il valore di progetto
del massimo taglio-punzonamento resistente lungo la sezione di verifica considerata,
non superi Ved in tale sezione.
Nel caso in esame, poiche il perimetro critico eccede le dimensioni della fondazione
di assume la sezione critica ad una distanza pari a 1.25d dal pliastro. Pertanto, il
perimetro critico risulta u = 2(l + 2.5d) + 2(b+ 2.5d) = 4.9m. La tensione di taglio di
progetto ved risulta
ved =Pmaxuℎ
= 0.439N/mm2 (7.24)
La tensione di taglio resistente dell’elemento in assenza di armature trasversali
risulta
vRd,c = CRd,c ⋅ k ⋅ (100 ⋅ �l ⋅ fck)1/3 + k1 ⋅ �cp (7.25)
dove CRd,c = 0.18/ c, fck e espresso in Megapascal, k = 1 +√
200/d ≤ 2 con d in
mm, �l =√�lx�ly ≤ 0.02 con �lx e �ly riferiti all’acciaio teso aderente rispettivamente
nelle direzioni y e z, �cp = (�cx�cy)/2 con �cx e �cy le tensioni normali (in Megapascal,
positive se di compressione) nel calcestruzzo della sezione critica nelle direzioni y e z,
k1 = 0.1. Sostituendo i valori per il progetto in esame, si ottiene vRd,c = 0.449MPa.
Inoltre, occorre verificare che lungo il perimetro del pilastro u0 = 2l + 2b, o il
perimetro dell’area caricata, la massima tensione di taglio-punzonamento non sia su-
perata, ved < vRd,max (punto 6.4.3 dell’EC2).
vRd,c = 0.5�fcd = 5.1MPa (7.26)
con � = 0.6. Il valore della tensione di taglio di progetto ved = Pmax/u0 = 1.66MPa.
Verifica cedimenti (SLE)
7.6 Travi di collegamento
Utilizzare plinti isolati puo non essere una buona soluzione. E’ consigliabile, ma
in zona sismica e obbligatorio, collegare i plinti tra loro con travi anche di modesta
sezione. Le travi di collegamento sono utilizzate per: annullare eventuali spostamenti
131
orizzontali dei plinti, assorbire le forze orizzontali presenti alla base dei pilastri, realiz-
zare l’appoggio per eventuali muri perimetrali. Le travi di collegamento sono realizzate
alla quota del piano di appoggio delle fondazioni anche se sarebbe piu razionale dal
punto di vista strutturale posizionarle alla base del pilastro. Il dimensionamento di
queste travi dipende dalla loro funzione. Per gli scopi sopraelencati possono bastare le
raccomandazioni previste delle norme sismiche secondo le quali le travi di collegamento
devono essere dimensionate per sopportare una forza assiale di trazione o compressione
pari a 1/10 del maggiore dei carichi verticali applicati ai due elementi che collega.
132
Capitolo 8
Dettagli costruttivi
Per garantire i requisiti relativi alla sicurezza, al comportamento in servizio e
alla durabilita, debbono essere seguite alcune disposizioni che riguardano i dettagli
costruttivi e le regole del buon costruire.
Copriferro
Gli Eurocodici, per garantire la durabilita delle strutture, oltre ad indicare le classi
minime di resistenza del calcestruzzo, che indirettamente sono correlate alla durabilita
dello stesso, prescrivono, sempre facendo riferimento a determinate classi di esposizione,
vita utile di progetto e condizioni ambientali standard, lo spessore minimo di copriferro
da adottare. Avendo scelto una classe di esposizione XC3 (Capito 2), si fara riferimento
al punto 4.4.1 dell’EC-2 per la determinazione del copriferro nominale, cnom, secondo
cui si ha:
cnom = cmin + Δcdev (8.1)
dove cmin = copriferro minimo e Δcdev = margine di progetto per gli scostamenti. Il
copriferro minimo e dato dall’espressione
cmin = max (cb,min, cdur,min + cdur, − cdur,st − cdur,add, 10mm) (8.2)
dove le singole quantita rappresentano il minimo copriferro da utilizzare per garantire
l’aderenza delle barre e la durabilita dell’opera nelle condizioni ambientali in cui e posta.
133
In particolare si ha: cb,min = �long[mm], cdur,min=25mm, cdur, =0mm, cdur,st=0mm,
cdur,add=0mm. Pertanto, il copriferro minimo risulta:
cmin = max (�long, 25mm, 10mm) (8.3)
Nell’ipotesi di utilizzare barre di armatura con diametro inferiore a 25mm si ha cmin =25mm.
Il copriferro minimo deve essere aumentato per tenere conto degli scostamenti in
fase di realizzazione dell’opera con il valore di progetto; la determinazione di tale valore
aggiuntivo e legata al livello di accuratezza nell’esecuzione dei lavori ed alla presenza o
meno di controlli specifici sul posizionamento delle armature. Ipotizzando di utilizzare
degli appositi distanziatori per garantire lo spessore di copriferro, in conformita col
punto 4.4.1.3(1) dell’EC-2, si adotta
Δcdev = 5mm (8.4)
ottenendo, quindi, un copriferro nominale finale di:
cnom = 30mm (8.5)
Tale valore non rende necessario l’utilizzo di armature di pelle per evitare un’eccessiva
fessurazione superficiale.
Interferro
La distanza fra le barre di armatura deve essere tale da consentire una messa in
opera ed una compattazione adeguate per lo sviluppo completo dell’aderenza fra acciaio
e calcestruzzo. Tale distanza viene calcolata seguendo le indicazioni del punto 8.2(2)
dell’EC-2 come:
a = max (k1�long, dg + k2, 20mm) . (8.6)
Essendo nel caso in esame: k1 = 1, �long=20mm, dg = 25mm (massima dimensione
dell’aggregato), k2 = 5mm; si ha:
a = max (20mm, 30mm, 20mm) . (8.7)
Lunghezza di ancoraggio
134
L’armatura metallica longitudinale deve essere ancorata in modo tale da consentire
la trasmissione sicura delle forze di aderenza al calcestruzzo per evitare la fessurazione
longitudinale ed il distacco del calcestruzzo. Nell’ipotesi di tensione di aderenza uni-
forme, la lunghezza di ancoraggio di base, lb,rqr, necessaria per ancorare la forza As�sd
risulta (punto 8.4.2(2) dell’EC-2):
lb,rqr =�
4⋅ �sdfbd
. (8.8)
dove fbd e il valore di progetto della tensione ultima di aderenza, che il punto 8.4.2 (2)
dell’EC-2 determina come:
fbd = 2.25�1�2fctd. (8.9)
Essendo �1 e un coefficiente legato alla qualita della condizione di aderenza e alla
posizione della barra nel getto il cui valore risulta: �1 = 1 nel caso di buona aderenza,
�1 = 0.7 nel caso di non buona aderenza (come descritto nella Figura 8.2 dell’EC-2).
Il coefficiente �2 e, invece, legato al diametro della barra il cui valore risulta �2 = 1 nel
caso di diametro minore di 32mm. fctd e il valore di progetto della resistenza a trazione
del calcestruzzo, nel caso in esame fctd= 1,33MPa per calcestruzzo di classe C30/37.
Pertanto, si ha, in definitiva:
fbd = 3.0MPa e lb,rqr = 31.67 ⋅ �. (8.10)
La lunghezza di ancoraggio di progetto e definita da (punto 8.4.4(1) dell’EC-2):
lbd = �1�2�3�4�5lb,rqr ≥ lb,min. (8.11)
Dove �1 tiene conto dell’effetto della forma delle barre nel tratto di ancoraggio; �2 tiene
conto dell’effetto del ricoprimento minimo di calcestruzzo; �3 tiene conto dell’effetto
del confinamento dovuto ad armatura trasversale; �4 tiene conto dell’influenza di una
o piu barre trasversali saldate lungo la lunghezza di ancoraggio di progetto lbd; �5 tiene
conto dell’effetto della pressione trasversale al piano di spacco lungo la lunghezza di
ancoraggio. I valori dei coefficienti �1, �2, �3, �4, �5 sono riportati nel prospetto 8.2
dell’EC-2. La lunghezza minima di ancoraggio, lb,min, vale per ancoraggi in trazione:
lb,min = max (0.3lb,rqr; 10�; 100mm) ; (8.12)
135
mentre ancoraggi in compressione e pari a:
lb,min = max (0.6lb,rqr; 10�; 100mm) ; (8.13)
Nel caso in esame, considerando ancoraggi di barre tese dritti, con sufficiente copriferro,
e trascurando l’effetto di eventuali armature trasversali, si ha �1 = 1, �2 = 1, �3 = 1,
�4 = 1 e �5 = 1.
Si ottengono quindi le lunghezze di ancoraggio di progetto per le barre tese e
compresse, come riportato in Tabella 8.
- BARRA TESA BARRA COMPRESSA
lb,min 10 ⋅ � 19 ⋅ �lbd 31.67 ⋅ � 31.67 ⋅ �
Vengono riportate, per il caso in esame, in Tabella 8 le lunghezze di ancoraggio per
diversi diametri commerciali delle barre di armatura.
� lbd
10 32cm
12 39cm
14 45cm
16 51cm
18 58cm
20 64cm
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![ELEMENTI DI PROGETTAZIONE FOTOVOLTAICO · 2017-05-11 · elementi di progettazione fotovoltaico. 3 indice generale ... ,o pdjjlru surgxwwruh prqgldoh qho q 4 &hoov /¶d]lhqgd whghvfd](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5f2ea05a3a2c5b570c2de90c/elementi-di-progettazione-fotovoltaico-2017-05-11-elementi-di-progettazione-fotovoltaico.jpg)
