@lap

rofed

emate

mola

Tania Fernández Serna C1

Progresiones aritméticas _________________________________________________________________________ Término general Suma finita de términos Interpolación

1

( )n n

n k

a a da a n k d

−= +

= + −1( )2

nnn a aS +

=1

b am−

+

Binomio de Newton

0 1 1 0

0( ) . . ... . ... . .

0 1

mm m m n m n m k m k

k

m m m m mx a x a x a x a x a x a

n m k− − −

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

0 1 1 0

0( ) . . ... ( 1) . ... ( 1) . ( 1) .

0 1

mm m m n n m n m m k k m k

k

m m m m mx a x a x a x a x a x a

n m k− − −

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + + − + + − → −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

Coeficiente del término k-ésimo Binomio de Newton:

1m

ck k⎛ ⎞=⎜ ⎟−⎝ ⎠

Número combinatorio

!, !.( )!

mmCm n nn m n⎛ ⎞

= =⎜ ⎟− ⎝ ⎠

Progresiones aritméticas de orden superior _________________________________________________________Diferencias finitas

22 1 1

1 1 1 1 2 12 1 – – –n n nxx x x x x xx x − −Δ ⇒ Δ Δ Δ ⇒ Δ Δ= Δ= =

Fórmulas de Newton

Emplearemos las Fórmulas de Newton para obtener el término general en sucesiones en las que nos den términos consecutivos.

1

1

21 1 1 1

21 1 1 1

1 1 1 10 1 2 1

1 2 3

n

n

n

n

n n n nx x x x x

nn n n n

S x x x xn

−

−

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + Δ + Δ + + Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + Δ + Δ + + Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Progresiones geométricas ________________________________________________________________________Término general Suma de términos Interpolación Producto

1n nn k

n k

a a ra a r

−

−

=

=

11

11 1

11 1

11 converge 1

nn

n

n

n nn n

a r a rS ar r

rr a a ar

∞ ∞

= =

− −= =

− −−

< => → =−∑ ∑

1mbra

+= 1( . )n

n nP a a=

Progresiones aritmético-geométricas _______________________________________________________________ Término general Suma de términos Método general

( ) nna a bn r= + S S (1 )Sn n nr r− = − (1 )n n nA xA x A− = −

Recurrencias lineales de primer orden con coeficientes constantes _____________________________________ Término general: 𝒙𝒏 = 𝒂𝒙𝒏%𝟏 + 𝒃

1. Escribimos ecuación recurrente para los valores n, n-1, …, 2.

2. Multiplicamos an-n de orden partir de n-1 por a, a2,…, an-2. (Cuando n=n-1; an-(n-1)=a. Cuando n=3; an-3).

3. Sumamos miembro a miembro y estudiando casos si procede.

Sucesiones homográficas ________________________________________________________________________ Término general Ecuación asociada Caso 1: dos soluciones distintas Caso 2: una solución doble

1

nn

n

ax bxcx d−

+=

+2 ( ) 0ax bx cx d a x b

cx d+

= → + − − =+

1 1

1

nn

n

x xrx x

β βα α

−− −=

− − 1

1 1

n n

kx xα α−

= +− −

@lap

rofed

emate

mola

Tania Fernández Serna C1 Recurrencias lineales con coeficientes constantes de orden k __________________________________________ Término general: 𝑥* = 𝑎,𝑥*-­‐‑, + 𝑎.𝑥*-­‐‑. + ⋯+ 𝑎0𝑥*-­‐‑0

Ecuación característica: 𝑥0 − 𝑎,𝑥0%, − 𝑎.𝑥0%. − ⋯− 𝑎0%,𝑥 − 𝑎0 = 0

Casos según la naturaleza de las raíces de la ecuación característica

1

11 2

Si r R, con multiplicidad p:(r ), (nr ), , (n r )n n p n

n n p nn px r nr n rλ λ λ

−

−

⇒ ∈

= + + +

1

1

1 11 2 1 2

Si (cos ) es raíz con multiplidad p:( cosn ), (n cosn ), , (n cosn )( ), (n ), (n )

cosn n cosn n cosn n n

n n p n

n n p n

n n p n n n p nn p p

isen

senn senn sennx senn senn senn

ρ θ θ

ρ θ ρ θ ρ θ

ρ θ ρ θ ρ θ

λ ρ θ λ ρ θ λ ρ θ µ ρ θ µ ρ θ µ ρ θ

−

−

− −

⇒ ±

= + + + + + + +

Número complejo: forma polar y trigonométrica

Sea z =  x + iy: ar g

2

c

t

2z r

yx

x y

α

= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ ⇒

Forma trigonométrica: (cos )

Forma polar: ( , )

z r isen

z r

α α

α

= ±

=

Después, sustituiríamos con los valores que conocemos de xn.

Ecuaciones en diferencias lineales y completas de orden k ____________________________________________

Término general: 0 1 1 2 2n n n k n k na x a x a x a x r− − −+ + + + = Ecuación característica: nGC nGH nspa a a= +

anGH 1 20 1 2 0k k k

ka x a x a x a− −+ + + + = , resolvemos como “Recurrencias lineales con coeficientes constantes de orden k”.

ansp Solución particular de la ecuación en diferencias lineal y completa (Método de los coeficientes indeterminados):

0 1 1 2 2 ( ) , donde: a ( )n j nn n n k n k nspa x a x a x a x p n s n q n s− − −+ + + + = =

Se pueden dar dos casos según nr :

Si s no es raíz de la a ( 0):

( ) , donde ( ) puede ser:

a) Si grq(n) = 0 ( ) y

b) Si grq(n) 1 ( ) y ( )

nGHn

nn

nsp

nnsp

jx q n s q n

q n k a ks

q n a bn a a bn s

⇒ =

=

⇒ = =

≥ ⇒ = + = +

Si s es raíz de la a ( multiplicidad de la raíz):

( ) , donde ( ) puede ser:

a) Si grq(n) = 0 ( ) y

b) Si grq(n) 1 ( ) y ( )

nGHj n

nj n

nsp

j nnsp

jx n q n s q n

q n k a n ks

q n a bn a n a bn s

⇒ =

=

⇒ = =

≥ ⇒ = + = +

Resolvemos ansp igualando a rn del término general sustituyendo cada xn con la ecuación de la particular atendiendo al valor de n.

Resolvemos anGH una vez tenemos los valores de ansp sustituyendo con los valores conocidos de xn.

TRUCOS _______________________________________________________________________________________ -   Numeradores y denominadores distinta progresión en ocasiones.

-   Podemos convertir sumas descompuestas en fracciones simples en sumas telescópicas:

1𝑛 + 𝑖

−1

𝑛 + 𝑖 + 1+

1𝑛 + 𝑖 + 1

−1

𝑛 + (𝑖 + 2)

:

*;,

=1

𝑛 + 𝑖−

1𝑛 + 𝑖 + 1

:

*;,

+1

𝑛 + 𝑖 + 1−

1𝑛 + (𝑖 + 2)

:

*;,

-   Podemos ir encadenando sucesiones cuando aplicamos los métodos generales hasta llegar a una de fácil resolución.

-   Poner atención en el primer término de la serie.

-   Podemos completar las recurrencias si nos faltan términos como 1n. -   Cuando sacamos factor común en productos, siempre tenemos que tener en cuenta cuántos factores hay en el producto.

-   Cuando sea posible, tratar de obtener series telescópicas.

-   Si tenemos varias sucesiones, podemos recurrir a compararlas para simplificar.