DÍA 05 * 1º BAD CTSUCESIONES Y LÍMITES

Progresiones aritméticas• Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior más

una constante, d, llamada DIFERENCIA

• a = a , a , a , a , .... , a , ... , a , a • n 1 2 3 4 k n‑1 n

• Deducimos la fórmula principal:

• a = a• 1 1 • • a = a + d• 2 1

• a = a + d = a + 2.d• 3 2 1

• a = a + d = a + 3.d• 4 3 1

• …………………..……….

• a = a + d = a + (n ‑1).d • n n‑1 1

• O sea:

• a = a + ( n ‑ 1 ).d• n 1

• De ella se despeja en caso necesario a , d o n.• 1

• a = a - (n – 1 ).d ,, d = (a - a ) / (n – 1 )• 1 n n 1

• n = [ (a - a ) / d ] + 1• n 1

• En la resolución de sistemas un método muy práctico es poner cualquier término en función del primero y de la diferencia.

• EJEMPLO_1

• En una PA el primer término vale 5 y la diferencia es 3.• Hallar el término séptimo y el término duodécimo.

• Tenemos:

• a = a + ( n ‑ 1 ).d• n 1

• De donde:• • a = a + ( 7 – 1 ).3 = 5 + 6.3 = 5 + 18 = 23• 7 1

• a = a + ( 12 – 1 ).3 = 5 + 11.3 = 5 + 33 = 38• 12 1

• La PA sería:• {a } = 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, …• n

• EJEMPLO_2

• En una PA el primer término vale 5 y la diferencia es - 4.• Hallar el término quinto y el término undécimo.

• Tenemos:

• a = a + ( n ‑ 1 ).d• n 1

• De donde:• • a = a + ( 5 – 1 ).(-4) = 5 + 4.(-4) = 5 - 16 = - 11• 5 1

• a = a + ( 11 – 1 ).(-4) = 5 + 10.(-4) = 5 - 40 = - 35• 11 1

• La PA sería:• {a } = 5, 1, -3, -7, -11, -15, -19, -23, - 27, - 31, - 35, …• n

• EJEMPLO_3

• En una PA el noveno término vale 5 y la diferencia es 7.• Hallar el primer término.

• Tenemos:

• a = a + ( n ‑ 1 ).d• n 1

• De donde:• • a = a - ( 9 – 1 ).7 = 5 - 8.7 = 5 - 56 = - 51• 1 9

• La PA sería:• {a } = - 51, - 44, - 37, - 30, - 23, - 16, - 9, - 2, 5, …• n

Suma de términos en P.A.

• Sea la P.A. an = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

• Observar que 1+15 = 3+13 = 5+11 = 7+9 , es siempre 16

• En toda P.A. la suma del primero y del último es igual a la suma del segundo con el penúltimo, e igual a la suma del tercero con el antepenúltimo, ...

• O sea que la suma (a1 + an) se repite n / 2 veces, quedando:

• (a1 + an) • S = (a1 + an) . (n/2) , o lo que igual: S = ‑--------‑‑‑‑ . n• 2

• Ejemplo_1

• Hallar la suma de los 35 primeros múltiplos de 7.• La P.A. sería: an = 7, 14, 21, 28, …• Donde a1 = 7 , d = 7 y n = 35

• Hallamos a35 = a1 + ( 35 – 1).7 = 7 + 34.7 = 7 +238 = 245

• Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda:• S = (7 + 245) . (35/2) = 252.17,5 = 4410

• Ejemplo_2

• Los alumnos de una clase se colocan en filas, pero de forma que en la1ª fila hay 1 alumno, en la 2ª fila hay 2 alumnos, en la 3ª fila hay 3 alumnos y así sucesivamente hasta completar 11 filas. ¿Cuántos alumnos hay en esa clase?

• La sucesión de alumos por cada fila sería: an = 1, 2, 3, 4, …, 11• Sería una PA donde a1 = 1 , d = 1 y n = 11

• Hallamos a11 = a1 + ( n – 1).d = 1 + 10.1 = 11• (En este caso sobraría, pero en la mayoría de las circunstancias hay

que hallarlo al desconocerse su valor) • • Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda:• S = (1 + 11) . (11/2) = 12.5,5 = 66

• En la clase habría 66 alumnos en total.

• Ejemplo_3

• En una PA el primer término vale 3, la diferencia vale 0,25 y la suma de todos los términos de la progresión vale 28. Hallar el número de términos.

• Nos dicen que es una PA donde a1 = 3 , d = 0,25 y S = 28

• Hallamos el último término: an = a1 + ( n – 1).d = 3 + (n – 1).0,25• Y aplicando la suma S = (a1 + an) . (n/2) , queda:• 28 = (3 + 3 + (n – 1).0,25) . (n/2)• Operando: 28 = (6 + 0,25.n – 0,25).(n/2)• 28 = 3.n + 0,125.n2 – 0,125.n• Ordenando queda: 0,125.n2 + 2,875.n – 28 = 0• Multiplicando por 1000 queda: 125.n2 + 2875.n – 28000 = 0• Dividiendo entre 125 queda: n2 + 23.n – 224 = 0• Resolviendo la ecuación: n = 101 términos • La otra posible solución de n no vale al ser negativa.

11.6 Progresiones geométricas

• Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN .

• a = a , a , a , a , .... , a , ..., a , a • n 1 2 3 4 k n‑1 n

• Deducimos la fórmula principal:

• a = a• 1 1 • • a = a . r• 2 1 • 2• a = a . r = a . r• 3 2 1 • 3• a = a . r = a . r• 4 3 1

• ……………...• n-1• a = a . r = a . r • n n‑1 1

• O sea: • • n‑1• a = a . r • n 1

• De ella se despeja en caso necesario a , d o n.• 1 • n-1 n-1• a = a / r ,, r = √ (a / a ) • 1 n n 1

• n = Aplicando logaritmos ( 4º ESO)

EJEMPLO_1

• En una PG el primer término vale 5 y la razón 2.• Hallar el término séptimo y el término duodécimo.

• Tenemos:• n-1• a = a . r • n 1

• De donde:• 7-1 6• a = a . 2 = 5 . 2 = 5 . 64 = 320• 7 1• 12-1 11• a = a . 2 = 5 . 2• 12 1

• La PG sería:• {a } = 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, …• n

• EJEMPLO_2

• En una PG el primer término vale 5 y el quinto vale 125.• Hallar la razón.

• Tenemos:• n-1• a = a . r • n 1

• De donde:• 5-1 4 4 4• a = a . r ,, 125 = 5 . r ,, 25 = r ,, r = √ 25 = √ 5• 5 1• • La PG sería:

• {a } = 5, 5 √ 5, 25, 25 √ 5 , 125, …• n

• EJEMPLO_3

• En una PG el noveno término vale 10 y la razón vale 5.• Hallar el primer término.

• Tenemos:• n-1• a = a . r • n 1

• De donde:• 9 -1 8 7 -7• a = a / 5 = 10 / 5 = 2 / 5 = 2. 5• 1 9

• La PG sería:• -7 - 6 -5• {a } = 2. 5 , 2.5 , 2.5 , …• n

• Demostramos la fórmula de la suma:• • S = a + a + a + a + ... + a + .... + a + a• 1 2 3 4 k n‑1 n

• Si multiplico todo por la razón r, queda :

• S.r = a .r + a . r + a . r + ... + a .r + a .r• 1 2 3 n‑1 n

• Restando una de otra expresión :

• S ‑ S.r = a ‑ a . r• 1 n• a1 - an• S.(1 ‑ r ) = a ‑ a . r S = ------------• 1 n 1 - r

Suma de términos en P.G.

•

AMPLIACIÓN:

• La fórmula anterior en muchas ocasiones hay que combinarla con la fórmula principal, quedando una nueva fórmula de la suma:

• n • a . ( 1‑ r )• 1 • S = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--‑• 1 ‑ r

• Ejemplo_1

• En un tablero de ajedrez se pone 1 € en la primera casilla, 2 € en la segunda, 4 € en la tercera y así sucesivamente hasta la 64ª casilla. Hallar la suma de todos los euros colocados.

• La P.G. sería: an = 1, 2, 4, 8, 16, …

• Donde a1 = 1 , r = 2 y n = 64

• 64-1 63• Hallamos a64 = a1 . 2 = 2

• Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda:

• 63 64 19• S = (1 - 2 . 2) / ( 1 – 2 ) = 2 - 1 = 1,8 . 10

• Ejemplo_2

• En una población un vecino se entera de una noticia importante y en una hora se la comunica a cuatro vecinos, cada uno de los cuales, también en una hora, la transmite a su vez a otros cuatro, y así sucesivamente. ¿Cuántos vecinos conocerán la noticia al cabo de 12 horas?.

• La sucesión de vecinos informados hora a hora sería:

• an = 1, 4, 16, …

• Está claro que es una P.G. donde a1 = 1 , r = 4 y n = 12

• 12-1 11• Hallamos a12 = a1 . 4 = 4

• Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda:

• 11 12 • S = (1 - 4 . 4) / ( 1 – 4 ) = ( 4 - 1 ) / 3 = 5.592.405

Límite de una sucesión• Una sucesión es una función real cuyo dominio es el conjunto de los

números naturales N.

• Una sucesión de números reales tiene por límite el número real a cuando, dado un número real r positivo, por pequeño que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes a él verifican:

• |an – a| < r

• El límite se representa por la notación.

• Lím an = a• noo

• Si una sucesión tiene por límite un número real se llama convergente.• En caso contrario se llama divergente. Aparece el +oo o el - oo

• Ejemplo 1• 2n - 1• Sea la sucesión an = --------• n• Hallar su límite.• Calcular la distancia entre el término a10 y el límite.• Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una milésima.

• Hallamos el valor de algunos términos:• a1 = 1, a10 = 1’9, a100 = 1’99• Lím an = 2• noo

• Hallamos la distancia de a10 al límite• | a10 - a | = |1,9 – 2| = |-0’1| = 0’1

• Hallamos el término pedido:• | an - a | < r | an - 2 | < 0,001• 2n – 1 2n – 1 – 2n • | -------- - 2 | < 0,001 | ----------------- | < 0,001• n n• 1/n < 0,001 1 < 0,001.n 1/0,001 < n n > 1000 n=1001

• Ejemplo 2• 2 – 3n• Sea la sucesión bn = ---------• n + 1• Hallar su límite.• Calcular la distancia entre el término b20 y el límite.• Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una diezmilésima.

• Hallamos el valor de algunos términos:• b1 = -0’5, b20 = -2’7619, b2000 = -2’9975• Lím bn = - 3• noo

• Hallamos la distancia de a20 al límite• | b20 - b | = |- 2’7619 – (-3)| = |3 – 2’7619 | = 0’2381

• Hallamos el término pedido:• | bn - b | < r | bn – (-3) | < 0,0001• 2 – 3n 2 – 3n + 3n + 3 • | ----------- - (-3) | < 0,0001 | --------------------- | < 0,0001• n + 1 n +1• 5/(n+1) < 0,0001 5 < 0,0001.n + 0,0001 5 – 0’0001 < 0’0001n• 4’9999 < 0,0001n 4’9999 /0’0001 < n n > 49999 n=50000

Sucesión creciente y decreciente

• Sucesión creciente es aquella en que el valor de los términos crece respecto a los términos anteriores.

• Se deberá cumplir an+1 – an ≥ 0

• Sucesión decreciente es aquella en que el valor de los términos decrece respecto a los términos anteriores.

• Se deberá cumplir an+1 – an ≤ 0

• Si una sucesión es creciente y está acotada superiormente, entonces es convergente.

• Si una sucesión es decreciente y está acotada inferiormente, entonces es convergente.

• Si no se produce alguno de los casos anteriores entonces es divergente.

• Ejemplo 1• 3n - 1• Sea la sucesión an = --------• 2n• Hallar su límite.• Ver si es creciente o decreciente.

• Hallamos el valor de algunos términos:• a1 = 1, a10 = 1’45, a100 = 1’495• Lím an = 1,5• noo

• Crecimiento• 3(n+1) – 1 3n + 1 n(3n+2) – (n+1)(3n+1) • an+1 - an = -------------- – ----------- = ------------------------------- = • 2(n+1) 2n 2n(n+1)• 3n2 +2n – (3n2 +4n+1) – 2n – 1 – • = ------------------------------- = -------------- = ---- = – Decreciente • 2n(n+1) 2n(n+1) +

• Ejemplo 2• 2 – n• Sea la sucesión an = --------• n + 1• Hallar su límite.• Ver si es creciente o decreciente.

• Hallamos el valor de algunos términos:• a1 = 0,5 a10 = -0,7272 a100 = -0,9703• Lím an = - 1• noo

• Crecimiento• 2 – (n+1) 2 – n (n+1)(1 – n) – (n+2)(2 – n) • an+1 - an = -------------- – ----------- = ----------------------------------- = • (n+1) + 1 n + 1 (n+2)(n+1)• 1 – n2 – (4 – n2) – 3 – • = ----------------------- = ---------------- = ---- = – Decreciente • (n+2)(n+1) (n+2)(n+1) +