Appendix predavanjima

Appendix predavanjima(ide posle VIII predavanja)

Koordinate na projektivnoj pravoj

Nae dodeljivanje brojeva takama projektivne prave u svrhu uvoenja aksiome neprekidnosti ne znai i automatsku koordinatizaciju projektivne prave. Da bi ta koordinatizacija zaista u potpunosti bila sprovedena, potrebno je da bude usaglaena sa aritmetikim operacijama. Zato emo uvesti posebna projketivna preslikavanja projektivne prave na samu sebe koja odgovaraju pojedinim aritmetikim operacijama sa brojevima.Najpre emo definisati sabiranje u skupu taaka projektivne prave. Obeleimo sa parabolino projektivno preslikavanje prave na samu sebe, takvo da je taka iz repera njegova dvojna taka, a da se taka iz repera preslikava na taku Tada za svaku taku za koju vai zapisujemo po definiciji Na ovaj nain je preko parabolinih projektivnih preslikavanja sa zajednikom dvojnom takom definisano sabiranje taaka jedne prave. Lako se moe dokazati da vaiTeorema I U skupu taaka projektivne prave, take ije je sabiranje definisano preko parabolinih preslikavanja ini komutativnu grupu. Ova teorema se dokazuje preko niza zadataka koje su dokazane na vebama. To su zadaci koji se tiu osobina parabolinih projektivnih preslikavanja.

Poevi od take kojoj je dodeljen broj , sabiranjem moemo da generiemo sve take kojima su dodeljeni prirodni brojevi, a pomou inverznih operacija i one kojima su dodeljeni negativni celi brojevi.Zatim emo definisati mnoenje taaka na projektivnoj pravoj. Obeleimo sa hiperbolino projektivno preslikavanje projektivne prave na samu sebe, sa dvojnim takama i , a koje taku preslikava na taku To preslikavanje emo zvati preslikavanje mnoenja sa . Ako za neku taku te prave vai tu injenicu prevodimo na mnoenje na sledei nain:

Na osnovu niza zadataka koji su uraeni na vebama, a odnose se na osobine hiperbolinih projektivnih preslikavanja sa zajednikim dvojnim takama, praktino je dokazana

Teorema II U skupu taaka projektivne prave, take ije je mnoenje definisano na gornji nain ine komutativnu grupu.Takoe, vai i

Teorema III U skupu taaka projektivne prave, mnoenje taaka je distribitivno u odnosu na njihovo sabiranje.Dokazaemo ovu teoremu. Uoiemo take i takve da je i preslikavanje Neka je dvojna taka tog preslikavanja. Tada vai to znai da je dvojna taka preslikavanja , odnosno Poto druge dvojne take nema, to znai da je jedno od preslikavanja Odmah emo videti i koje. Vaie

odakle sledi Dakle, vai

pa vai

to znai , pa je mnoenje taaka distributivno u odnosu na njihovo sabiranje. Na ovaj nain smo dokazali da sabiranje i mnoenje taaka imaju sve osobine sabiranja i mnoenja brojeva, pa dakle moemo smatrati da je na ovaj nain sprovedena koordinatizacija projektivne prave.

Sada elimo da sastavimo anatitiki izraz projektivnog preslikavanja projektivne prave na samu sebe, to nam omoguava koordinatni princip. Kombinacijom svih vrsta preslikavanja pomou kojih dobijamo take sa novim koordinatama, dobijamo da je najoptiji analitiki izraz projektivnog preslikavanja prave na samu sebe

Dakle, vai

Teorema IV Svako projektivno preslikavanje jednodimenzionih mnogostrukosti izraava se, u projektivnim koordinatama, u gornjem obliku.Teorema se dokazuje posmatranjem kompozicije dva projektivna preslikavanja, gde je

Uslov znai da je preslikavanje obostrano jednoznano; u protivnom, kada taj uslov ne bi bio ispunjen, preslikavanje bi degenerisalo i sve take bi se preslikavale u istu.

Naravno, sam analitiki izraz projektivnog preslikavanja jednodimenzione mnogostrukosti moe da bude shvaen i kao izraz za transformaciju koordinate take prilikom promene repera. Svaki reper se moe projektivno preslikati na svaki drugi.Uvoenje projektivnih koordinata na projektivnu pravu ima odreenih nedostataka. Najvei je, svakako, taj to taka nema realnu koordinatu, nego nosi znak . Da bismo to izbegli, uveemo nov tip koordinata na projektivnu pravu. Njih emo zvati homogene koordinate, za razliku od koordinata koje smo ve uveli, a koje nazivamo nehomogenim koordinatama. Ako je nehomogena koordinata neke take, tada su njene homogene koordinate par takav da vai Na ovaj nain, svaka taka projektivne prave ima par realnih koordinata, pa i taka ija su koordinate Meutim, nedostatak homogenih koordinata je u tome to one nisu jednoznane. Takoe, ne postoji taka ije su koordinate (0,0).Taka sa koordinatama preslikava se na taku sa koordinatama tako da je zadovoljeno

Takoe, vaie i , da preslikavanje ne bi bilo degenerisano.Definiimo sada brojnu veliinu koja se zove dvorazmera.

Definicija. Neka su etiri take iste prave, sa nehomogenim koordinatama redom. Dvorazmera etvorke taaka je broj

Lako je dokazati da vai

Teorema V Dvorazmera etvorke taaka je invarijanta projektivnog preslikavanja.

Zaista, projektivnim preslikavanjem take sa koordinatama preslikavaju se na take sa koordinatama , pri emu vai Posle voluminoznog, ali ne odvie komplikovanog rauna, dobija se

Takoe, na potpuno isti nain se dokazuje da vai

Teorema VI Dvorazmera etvorke taaka ne zavisi od izabranog repera.Zaista, ako na jednodimenzionoj mnogostrukosti odaberemo dva razna repera, uvek moemo jedan na drugi preslikati projektivnim preslikavanjem. Tom prilikom, koordinata proizvoljne take u odnosu na prvi i na drugi reper bie povezane relacijom

a ovo preslikavanje ne remeti dvorazmeru.

Moe da se pokae da vai i

Teorema VII Svako preslikavanje jednodimenzionih mnogostrukosti koje ouvava dvorazmeru je projektivno. Dokaz. Neka su etiri take iju emo dvorazmeru obeleiti sa . Neka se ove etiri take nekim obostrano jednoznanim preslikavanjem preslikavaju na druge etiri take ija je dvorazmera i vai =. Pretpostavimo da se trojka taaka projektivno preslikava na trojku taaka . Takvo projektivno preslikavanje je uvek jednoznano odreeno. Neka se tom prilikom taka preslikava na taku Tada, na osnovu prethodne teoreme, vai =. Odatle, meutim, zbog izraza kojim je definisana dvorazmera sledi Iz definicije dvorazmere sledi

Od skupa od etiri take (ili druga etiri elementa) postoje ukupno 24 permutacije. Kada ih razvrstamo u grupe u kojima su po etiri jednake na osnovu gornjeg obrasca, tada sledi da postoji 6 razliitih dvorazmera od fiksne etiri take i to

Takoe, vai i

Vaie takoe i Teorema VIII

Dokaz.

Ako su kolinearne take takve da vai , tada postoji potpuni etvorotemenik takav da su i njegove dijagonalne take, a i su incidentne sa onim stranama etvorotemenika koje prolaze kroz treu dijagonalnu taku

Tada imamo sledea perspektivna preslikavanja

EMBED Equation.DSMT4 .

Odavde sledi da ove tri etvorke taaka imaju jednake dvorazmere, odnosno, prema gore prikazanim jednakostima, sledi odakle sledi ili =1 ili =-1. Ukoloko bi vaila prva mogunost, vailo bi ili ili to sigurno ne vai. Onda ostaje da vai

U obrnutom smeru, neka je Neka je takva taka da je zadovoljeno Tada je i i vai

pa e vaiti odakle sledi .Dvorazmeru smo definisali preko nehomogenih koordinata. Ona, meutim, moe da se definie i preko homogenih koordinata. Ako stavimo onda vai Ako za take odaberemo redom reperne take tada je prema izvedenom obrascu Ako taka pripada istom odseku kao i taka , njena koordinata je pozitivna; u protivnom, bie negativna. Kako koordinatni reper moemo da slobodno biramo i menjamo i kako promena repera ne menja dvorazmeru etvorke taaka, zakljuujemo da vaiTeorema IX

Ranije smo dokazali da je svaka involucija zadata pomou dva para dvostruko odgovarajuih elemenata. Kako je svaki par dvostruko odgovarajuih elemenata hiperboline involucije harmonijski konjugovan sa parom njenih dvojnih elemenata, sledi da dva para dvostruko odgovarajuih elemenata hiperboline involucije ne razdvajaju jedan drugog. Sada emo dokazati i obrnuto, odnosno

Teorema X Ako dva para dvostruko odgovarajuih taaka jedne iste involucije ne razdvajaju jedan drugog, ta involucija je hiperbolina. Involucija je eliptina ako i samo ako dva para njenih dvostruko odgovarajuih elemenata razdvajaju jedan drugog.

Dokaz. Neka je u involuciji jedan, a drugi par dvostruko odgovarajuih elemenata. Odaberimo reper tako da je i neka su homogene koordinate take . Izabraemo analitiki izraz za involuciju u homogenim koordinatama. Tada vai

Reenja ovog sistema su Ako postavimo problem o broju dvojnih taaka involucije, on se svodi na problem broja reenja kvadratne jednaine ije reenje ne moe biti dvostruko. Dakle, sve se svodi na diskriminantu. Postoje dve dvojne take (involucija je hiperbolina) ako i samo ako je diskriminanta odnosno ako i samo ako je A tada ili, to je isto, U drugom sluaju , imamo eliptinu involuciju.Koordinate u projektivnoj ravni

Posmatrajmo u projektivnoj ravni trotemenik ija temena oznaimo sa i jo jednu taku koja nije incidentna ni sa jednom njegovom stranom, a koju oznaavamo sa Potpuni etvorotemenik zovemo koordinatni etvorotemenik, jer pomou njega moemo da koodinatizujemo itavu koordinatnu ravan. Obeleimo strane koordinatnog etvorotemenika: i Projektivne koordinate proizvoljne take u ravni nalazimo na sledei nain: neka prave seku redom prave u takama . Takoe, neka prave seku redom prave u takama . Moe se primetiti da je svaka od navedenih konstrukcija jednoznana. Sada, neka taka na pravoj u odnosu na reper (u kome je jedinina taka) ima nehomogenu koordinatu a taka na pravoj u odnosu na reper (kod koga je jedinina, a beskonana taka) nehomogenu koordinatu Tada taka projektivne ravni ima nehomogene koordinate

Ispravnost koordinatnog principa podrazumeva ne samo da za svaku taku u ravni postoje jednoznano odreene koordinate, nego i obrnuto, da svaki par koordinata jednoznano odreuje taku u ravni. Zaista, kako je koordinatni princip ispravno sproveden na projektivnoj pravoj, kada su date koordinate uvek su jednoznano odreene take na pravama , a tada je i taka jednoznano odreena. Jedino take prave imaju sve isti par koordinata, ali te koordinate nisu realne i na toj pravoj ne postoji jedinina taka.

Ako sada stavimo i onda su homogene projektivne koordinate take Moemo primetiti da ove koordinate nisu jednoznane (kao to nisu jednoznane ni homogene koordinate na pravoj) i da (0,0,0) nisu koordinate nijedne take.

Sada je pitanje kako analitiki izraziti injenicu o meusobnoj incidenciji take i prave ili, kako izraziti injenicu o kolinernosti nekog skupa taaka (jednaina prave). injenica je da, prema principu dualiteta, ako taka ima koordinate, onda mora da ih ima i prava. Neka je proizvoljna taka koja je razliita od koordinatnih osa i neka je njena proizvoljna taka. Tada vai

odnosno

Znamo da se ovo poslednje projektivno preslikavanje analitiki moe prikazati ovako

Kako se prilikom ovog preslikavanja taka preslikava na taku , a one inaju beskonane koordinate, gornje projektivno preslikavanje se svodi na

i kada imamo u vidu da se koordinate na pravoj belee sa a koordinate na pravoj dobijamo

to je linearna veza izmeu koordinata. Dakle, gornji linearni izraz jeste potreban i dovoljan uslov da taka bude incidentna sa pravom . Iz ove analize, vidimo da je jednaina prave homogena linearna jednaina s obzirom na koordinate taaka. Dakle, ako za koordinate nekog skupa taaka vai

te take su kolinearne i prava kojoj one pripadaju ima koordinate .Analitiki izraz kolinearnih preslikavanjaPosmatrajmo preslikavanje taaka koje su zadate svojim homogenim koordinatama

Ovo je preslikavanje kojim se take preslikavaju na take. Da bi ovo bio analitiki izraz kolineacije, potrebno je da postoji pratee preslikavanje kojim se prave preslikavaju na prave. Poto prave takoe imaju svoje koordinate, preslikavanje e izgledati ovako:

Da bi ovo preslikavanje bilo kolineacija, moramo da naemo vezu izmeu preslikavanja pomou ove dve matrice. Zapisaemo ova dva simultana preslikavanja (koja zapravo predstavljaju jednaine jednog preslikavanja) u matrinom obliku:

Ovde smo ipak morali da napravimo razliku izmeu take i prave, piui taku kao vektor-kolonu, a pravu kao vektor-vrstu, mada izmeu ove dve vrste vektora geometrijski posmatrano nema principijelne razlike. Meutim, ovo ipak nije euklidski prostor, a injenica o incidenciji ili neincidentnosti take i prave se izraava preko skalarnog proizvoda:

Da bi ovo preslikavanje bilo projektivno, ono mora da uva incidenciju, pa emo to obezbediti na sledei nain:

Zaista, pod ovim uslovom e meusobno incidentne taka i prava ostati incidentne i posle primene preslikavanja, a ako nisu bile incidentne, nee to biti ni posle. Dakle, vaie

Na ovaj nain, dokazali smo da vai

Teorema XI Jednaine kolineacije u projektivnoj ravni date su sa

gde je kofaktor elementa u matrici

Analitiki izraz korelacije. Polaritet

(ide posle IX predavanja)Iz napred izloenih ideja o koordinatizaciji ravni i analitikom pristupu kolineaciji, sledi ideja o prikazu korelacije sa analitikog aspekta. Slika kolinearnih taaka korelacijom je pramen pravih i obrnuto, a to preslikavanje je projektivno. Dakle, taka sa koordinatama se preslikava na projektivnu pravu sa koordinatama na sledei nain

,

to se u matrinom obliku moe zapisati

jer se u koordinatnom obliku prava izraava kao vektor-vrsta, a operacija transpozicije je involutivna i menja redosled matrinog mnoenja. Na isti nain moemo prikazati i preslikavanje pravih na take

Da bi ovo preslikavanje bilo projektivno, mora da bude ouvana incidencija. To znai da mora da vai

Poto vai to znai da mora da vai Tako smo dokazali da vai

Teorema XII Jednaine korelacije u projektivnoj ravni date su sa

gde su kofaktori elemenata Ako elimo da analitiki prikaemo polaritet, odrediemo transformacije koje su inverzne gornjim. Vaie

Polaritet je involutorna korelacija. Kako su u pitanju homogene koordinate taaka i pravih, vaie

Ista jednaina vai i za kofaktore. Za gornju jednainu postoje dva reenja po

EMBED Equation.DSMT4 Ako je onda vai

to dovodi do degeneracije preslikavanja. Kako to nije mogue, onda vai i matrica je tada simetrina.

Afina analitika klasifikacija krivih drugog redaKako je kriva drugog reda skup autokonjugovanih taaka datog polariteta, njena jednaina je

koja je homogena po svim promenljivim. U afinoj geometriji pojavljuje se prvi put klasifikacija krivih drugog reda (osim one prvobitne, na nedegenerisane i degenerisane) prema broju njihovih preseka sa apsolutnom pravom. Za apsolutnu pravu projektivne ravni, uobiajeno je uzeti pravu , jer je ona ionako bila smetnja, njene take nisu imale jednoznano odreene koordinate, a ona sama nije imala jedininu taku i nije bilo jasno koja je njena taka nulta. Dakle, kako prava ima jednainu te su take ovde iskljuene iz posmatranja. Kako su koordinate homogene do na nenula mnoilac, smatraemo da su koodinate afinih taaka Ovo su koordinate afinih taaka u projektivnoj ravni, a njihove afine koordinate su

Kriva drugog reda u afinim koordinatama zadata je jednainom

Ova jednaina je specijalni sluaj prve jednaine ovog paragrafa, kada je To znai da se jednaina u afinim koordinatama uvek moe dopuniti do jednaina u projektivnim koordinatama, gde linearne lanove nadopunimo nedostajuom koordinatom , a slobodni lan njenim kvadratom.Broj preseka ove krive sa pravom dobijamo kao broj reenja jednaine

Kako se sada ponovo nalazimo u projektivnoj ravni, koordinate su homogene, pa je za nas bitan kolinik (ili ako je a oba ne mogu biti jednaka nuli, jer je ve ) Dakle, priroda krive je odreena vrednou diskriminante

PAGE ii

_1267120873.unknown

_1267445065.unknown

_1267448202.unknown

_1267640960.unknown

_1267719601.unknown

_1267722616.unknown

_1267723433.unknown

_1267724000.unknown

_1267724081.unknown

_1267724188.unknown

_1267724210.unknown

_1267724041.unknown

_1267723754.unknown

_1267723957.unknown

_1267723550.unknown

_1267722837.unknown

_1267723361.unknown

_1267722753.unknown

_1267721860.unknown

_1267722471.unknown

_1267722591.unknown

_1267722290.unknown

_1267721606.unknown

_1267721798.unknown

_1267719620.unknown

_1267717862.unknown

_1267718345.unknown

_1267719228.unknown

_1267719461.unknown

_1267718346.unknown

_1267717993.unknown

_1267718247.unknown

_1267717917.unknown

_1267646561.unknown

_1267647254.unknown

_1267647446.unknown

_1267646771.unknown

_1267641021.unknown

_1267646421.unknown

_1267640996.unknown

_1267449636.unknown

_1267469427.unknown

_1267470130.unknown

_1267470644.unknown

_1267469666.unknown

_1267467301.unknown

_1267467633.unknown

_1267465445.unknown

_1267448525.unknown

_1267448983.unknown

_1267449439.unknown

_1267448844.unknown

_1267448356.unknown

_1267448500.unknown

_1267448318.unknown

_1267446348.unknown

_1267447511.unknown

_1267447984.unknown

_1267448087.unknown

_1267448183.unknown

_1267448005.unknown

_1267447750.unknown

_1267447912.unknown

_1267447714.unknown

_1267446566.unknown

_1267446694.unknown

_1267447466.unknown

_1267446636.unknown

_1267446428.unknown

_1267446522.unknown

_1267446389.unknown

_1267445712.unknown

_1267445884.unknown

_1267446033.unknown

_1267446294.unknown

_1267445940.unknown

_1267445807.unknown

_1267445830.unknown

_1267445748.unknown

_1267445501.unknown

_1267445646.unknown

_1267445678.unknown

_1267445582.unknown

_1267445332.unknown

_1267445361.unknown

_1267445149.unknown

_1267203245.unknown

_1267205769.unknown

_1267440052.unknown

_1267440615.unknown

_1267440751.unknown

_1267440786.unknown

_1267440677.unknown

_1267440219.unknown

_1267440268.unknown

_1267440167.unknown

_1267206740.unknown

_1267439833.unknown

_1267440004.unknown

_1267206820.unknown

_1267206594.unknown

_1267206671.unknown

_1267206359.unknown

_1267204335.unknown

_1267205380.unknown

_1267205483.unknown

_1267205653.unknown

_1267205399.unknown

_1267204392.unknown

_1267204873.unknown

_1267204368.unknown

_1267203722.unknown

_1267204167.unknown

_1267204226.unknown

_1267204048.unknown

_1267203362.unknown

_1267203664.unknown

_1267203259.unknown

_1267123788.unknown

_1267124595.unknown

_1267124829.unknown

_1267202809.unknown

_1267202940.unknown

_1267203079.unknown

_1267202748.unknown

_1267124726.unknown

_1267124788.unknown

_1267124666.unknown

_1267123950.unknown

_1267124310.unknown

_1267124573.unknown

_1267124194.unknown

_1267123860.unknown

_1267123882.unknown

_1267123813.unknown

_1267121331.unknown

_1267122603.unknown

_1267123637.unknown

_1267123758.unknown

_1267123590.unknown

_1267121983.unknown

_1267122566.unknown

_1267121593.unknown

_1267121111.unknown

_1267121217.unknown

_1267121251.unknown

_1267121142.unknown

_1267120970.unknown

_1267121020.unknown

_1267120917.unknown

_1266841705.unknown

_1267039109.unknown

_1267119451.unknown

_1267120628.unknown

_1267120756.unknown

_1267120819.unknown

_1267120667.unknown

_1267119754.unknown

_1267120206.unknown

_1267120031.unknown

_1267119509.unknown

_1267118060.unknown

_1267118233.unknown

_1267119420.unknown

_1267118218.unknown

_1267039317.unknown

_1267039763.unknown

_1267039170.unknown

_1267038032.unknown

_1267038736.unknown

_1267038860.unknown

_1267039044.unknown

_1267038831.unknown

_1267038618.unknown

_1267038695.unknown

_1267038408.unknown

_1266949580.unknown

_1267037689.unknown

_1267037841.unknown

_1266953352.unknown

_1266953351.unknown

_1266841889.unknown

_1266842033.unknown

_1266841737.unknown

_1266839789.unknown

_1266840981.unknown

_1266841242.unknown

_1266841340.unknown

_1266841406.unknown

_1266841312.unknown

_1266841144.unknown

_1266841191.unknown

_1266841040.unknown

_1266840752.unknown

_1266840857.unknown

_1266840884.unknown

_1266840772.unknown

_1266839879.unknown

_1266840015.unknown

_1266839847.unknown

_1266838682.unknown

_1266839598.unknown

_1266839670.unknown

_1266839709.unknown

_1266839622.unknown

_1266839219.unknown

_1266839487.unknown

_1266839168.unknown

_1266838462.unknown

_1266838552.unknown

_1266838590.unknown

_1266838515.unknown

_1266838359.unknown

_1266838399.unknown

_1266838302.unknown