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Variance balanced block designs
Propriedades e métodos de construção
Planeamento de experiências
Iniciou-se com Sir Ronald A. Fisher com as investigações no Rothamsted Agricultural Experiment Station
A ele também se deve a ANOVA (análise de Variância)
Foi continuado por Frank Yates, John Wishart e William CochranOutros se seguiram como:
R.C. BoseO. KempthorneGertrude Mary Cox
Uma dos fundadores da Sociedade Biométrica – 1947Seu presidente em 1968-1969Primeira mulher a ser eleita para o International Statistical Institute
Planeamento de experiências
O que é?
Protocolo para seleção e organização das amostras a serem investigadas
Investigação pretende adquirir conhecimentos sobre uma determinada área
Planeamento de experiências
Regras
Processo de medição simples
Resultados obtidos devem ser úteis e fiáveis
Custos mínimos
Execução em tempo útil
Planeamento de experiências
Porque o erro é inevitável
Método para o controlar
Medidas para minimizar
Organização do material
Identificar
Separar
Planeamento de experiências
Princípios básicos
Usar réplicasObservação ou aplicação do mesmo tratamento
Agrupamentos convenientesOrganizar dados por critérios - uniformes
Casualização ou aleatorizaçãoCondição sine qua non para validar a estimação do erro
Planeamento de experiências
Tipos de planeamento
Completamente casualizadoTratamentos distribuídos às unidades
A variação é espalhada a todas unidades – desvantagemPode ser usado com qualquer número de tratamentos ou réplicasAnálise estatística simples mesmo com rejeição de unidades ou tratamentos
Blocos completos casualizadosAplica-se muito na agricultura
Vant
agen
s
Planeamento de experiências
Tipos de planeamento
Quadrados latinosMatriz quadrada em que cada letra ocorre uma vez em cada linha e em cada coluna
O número de réplicas é igual ao número de tratamentosDesvantagem
A B
B A
A B C
B C A
C A B
A B C D
B C D A
C D A B
D A B C
Planeamento de experiências
Tipos de planeamento
Blocos incompletos
Aparecem pela dificuldade em manter a homogeneidade intrabloco pela inclusão de todos os tratamentos
Os blocos não necessitam de ter o mesmo tamanho
Planeamento de experiências
Planos em blocos incompletos
T e B vetores totais dos tratamentos e dos blocos, N matriz de incidência
Plano binário
Plano apropriado
Plano equi-replicado
Planeamento de experiências
Planos em blocos incompletos
Temos:
Planeamento de experiências
Planos em blocos incompletosAnálise de variância
Partimos do modelo
Obs i-ésimo tratamento do j-ésimo
bloco
Média global
Efeito i-ésimo
tratamento
Efeito do j-ésimo bloco
Componente
aleatória do
erro
Planeamento de experiências
Planos em blocos incompletosAnálise de variância
Compara-se com F0 crítico da tabela F-Snedcor
Origem de variação
Graus de liberdade
Soma de quadrados Quadrados médios
Razão de variâncias
Blocos (ignorando tratamentos)Tratamentos (ajustados)Resíduo
Total
Planeamento de experiências
Planos em blocos incompletos equilibrados
Um plano é equilibrado (balanceado) quando dois quaisquer tratamentos aparecem o mesmo número de vezes juntos
PBIE, (v,b,r,k,λ)
Planeamento de experiências
Planos em blocos incompletos equilibrados
Três condições devem ser cumpridas:
PBIE (4,4,3,3,2)PBIE (5,15,6,2,3/2)
1
2
3
inteiro
Planeamento de experiênciasPlanos em blocos incompletos
Análise de variância
Origem de variação
Graus de liberdade
Soma de quadrados Quadrados médios
Razão de variâncias
Tratamentos (ajustados)
Tratamentos (ignorando blocos)Blocos (ignorando tratamentos)Blocos (ajustados)
Resíduo
Total
Planeamento de experiências
Métodos de construção dos blocos
Teorema 1
Se é um PBIE com parâmetros e é a matriz C para , então
é a matriz incidência do VB PBIE.
NiNi v;bi ;ri;ki;¸ iv;bi ;ri;ki;¸ i CiCii = 1;2;:: : ;ti = 1;2;:: : ;t
N = [N 1N 2 : : :N t]N = [N 1N 2 : : :N t]
Planeamento de experiências
Métodos de construção dos blocos
Teorema 1
Se é um PBIE com parâmetros e é a matriz C para , então
é a matriz incidência do VB PBIE.
NiNi v;bi ;ri;ki;¸ iv;bi ;ri;ki;¸ i CiCii = 1;2;:: : ;ti = 1;2;:: : ;t
N = [N 1N 2 : : :N t]N = [N 1N 2 : : :N t]
Planeamento de experiências
Métodos de construção dos blocos
Teorema 2
Se é a matriz incidência do PBIE com parâmetros e é a matriz incidência do PBIE com parâmetros , então:
é a matriz de incidência VB PBIE com parâmetros
N1N1 v;b1; r1;k1;¸1v;b1; r1;k1;¸1N2N2 v;b2; r2;k2;¸2v;b2; r2;k2;¸2
N =N 1 ¤N 2N =N 1 ¤N 2
v;b= v2(v ¡ 1)=2; r = (v ¡ 1)2;k =·2¢1v(v¡ 1)(v¡ 2)=2
1v(v¡ 1)
¸;b¤ = v(v+ 1)=2v;b= v2(v ¡ 1)=2; r = (v ¡ 1)2;k =
·2¢1v(v¡ 1)(v¡ 2)=2
1v(v¡ 1)
¸;b¤ = v(v+ 1)=2
Planeamento de experiências
Métodos de construção dos blocos
Teorema 3
Se é a matriz incidência do PBIE com parâmetros
E é a matriz incidência do PBIE com parâmetros
então:é a matriz de incidência VB PBIE com parâmetros
N1N1
N2N2
N =N 1 ¤N 2N =N 1 ¤N 2
v;b= t(6t + 1)2; r = 18t2; k =·3¢12t(3t¡ 1)(6t+1)
2¢13t(6t+1)
¸;b¤ = 4t(6t + 1)v;b= t(6t + 1)2; r = 18t2; k =
·3¢12t(3t¡ 1)(6t+1)
2¢13t(6t+1)
¸;b¤ = 4t(6t + 1)
v1 = 6t + 1;b1 = t(6t + 1); r1 = 3t;k1 = 3;¸1 = 1v1 = 6t + 1;b1 = t(6t + 1); r1 = 3t;k1 = 3;¸1 = 1
v2 = b2 = 6t + 1;r2 = k2 = 6t;¸2 = 6t ¡ 1v2 = b2 = 6t + 1;r2 = k2 = 6t;¸2 = 6t ¡ 1
Planeamento de experiências
Métodos de construção dos blocos
Teorema 4
Se é a matriz incidência do PBIE com parâmetros
E é a matriz incidência do PBIE com parâmetros
então:é a matriz de incidência VB PBIE com parâmetros
N1N1
N2N2
N =N 1 ¤N 2N =N 1 ¤N 2
v;b= 3(2t + 1)2(3t + 1); r = 2(3t + 1)2; k =·3¢16t(2t+1)(3t+1)2¢13(2t+1)(3t+1)
¸;b¤ = 4(2t + 1)(3t + 1)v;b= 3(2t + 1)2(3t + 1); r = 2(3t + 1)2; k =
·3¢16t(2t+1)(3t+1)2¢13(2t+1)(3t+1)
¸;b¤ = 4(2t + 1)(3t + 1)
v1 = 3(2t + 1);b1 = (2t + 1)(3t + 1); r1 = 3t + 1;k1 = 3;¸1 = 1v1 = 3(2t + 1);b1 = (2t + 1)(3t + 1); r1 = 3t + 1;k1 = 3;¸1 = 1
v2 = b2 = 3(2t + 1); r2 = k2 = 2(3t + 1);¸2 = 6t + 1v2 = b2 = 3(2t + 1); r2 = k2 = 2(3t + 1);¸2 = 6t + 1
Planeamento de experiências
Métodos de construção dos blocos
Teorema 5
Se é a matriz incidência do PBIE com parâmetros
então:
é a matriz de incidência VB PBIE com parâmetros
N1N1
N =N 1 ¤N 1N =N 1 ¤N 1
v;b= v2; r = r21; k =·
k1 ¢1v¸11v(v¡ 1)
¸;b¤ = v(v+ 1)=2v;b= v2; r = r21; k =
·k1 ¢1v
¸11v(v¡ 1)
¸;b¤ = v(v+ 1)=2
v1 = b1; r1 = k1;¸1v1 = b1; r1 = k1;¸1
Planeamento de experiênciasMétodos de construção dos blocos
Corolários
Parâmetros PBIE
1 primo ou potência de primo
2
3
v1 = b1 = 4t + 3; r1 = k1 = 2(t + 1);¸1 = t + 1v1 = b1 = 4t + 3; r1 = k1 = 2(t + 1);¸1 = t + 1
4t + 34t + 3
v;b= (4t + 3)2; r = 4(t + 1)2;v;b= (4t + 3)2; r = 4(t + 1)2;
k =·
2(t + 1) ¢14t+3(t + 1) ¢12(2t+1)(4t+3)
¸;k =
·2(t + 1) ¢14t+3
(t + 1) ¢12(2t+1)(4t+3)
¸;
b¤ = 2(t + 1)(4t + 3)b¤ = 2(t + 1)(4t + 3)
v1 = b1 = 4t2; r1 = k1 = t(2t + 1); ¸1 = t(t + 1)v1 = b1 = 4t2; r1 = k1 = t(2t + 1); ¸1 = t(t + 1)v;b= 16t4; r = t2(2t + 1)2;v;b= 16t4; r = t2(2t + 1)2;
k =·
t(2t + 1) ¢14t2t(t + 1) ¢14t2 (4t2 ¡ 1)
¸;k =
·t(2t + 1) ¢14t2
t(t + 1) ¢14t2 (4t2 ¡ 1)
¸;
b¤ = 2t2(4t2 +1)b¤ = 2t2(4t2 +1)
v1 = b1 = 4t2 ¡ 1; r1 = k1 = 2t2; ¸1 = t2v1 = b1 = 4t2 ¡ 1; r1 = k1 = 2t2; ¸1 = t2 v;b= (4t2 ¡ 1)2; r = 4t4;v;b= (4t2 ¡ 1)2; r = 4t4;
k =·
2t2 ¢14t2 ¡ 1t2 ¢12(2t2 ¡ 1)(4t2¡ 1)
¸;k =
·2t2 ¢14t2 ¡ 1
t2 ¢12(2t2 ¡ 1)(4t2¡ 1)
¸;
b¤ = 2t2(4t2 ¡ 1)b¤ = 2t2(4t2 ¡ 1)
Planeamento de experiênciasMétodos de construção dos blocos
Corolários
Parâmetros PBIE
4
5
6
v1 = b1 = 8t + 7; r1 = k1 = 4(t + 1);¸1 = 2(t + 1)v1 = b1 = 8t + 7; r1 = k1 = 4(t + 1);¸1 = 2(t + 1)v;b= (8t + 7)2; r = 16(t + 1)2;v;b= (8t + 7)2; r = 16(t + 1)2;
k =·
4(t + 1) ¢18t+72(t + 1) ¢12(4t+3)(8t+7)
¸;k =
·4(t + 1) ¢18t+7
2(t + 1) ¢12(4t+3)(8t+7)
¸;
b¤ = 4(t + 1)(8t + 7)b¤ = 4(t + 1)(8t + 7)
v1 = b1 = t2 + t + 1;r1 = k1 = t2; ¸1 = t(t ¡ 1)v1 = b1 = t2 + t + 1;r1 = k1 = t2; ¸1 = t(t ¡ 1) v;b= (t2 + t + 1)2; r = t4;v;b= (t2 + t + 1)2; r = t4;
k =·
t2 ¢1t2+t+1t(t ¡ 1) ¢1t(t+1)(t2+t+1)
¸;k =
·t2 ¢1t2+t+1
t(t ¡ 1) ¢1t(t+1)(t2+t+1)
¸;
b¤ = (t2 + t + 1)(t2 + t + 2)=2)b¤ = (t2 + t + 1)(t2 + t + 2)=2)
v1 = b1 = (t + 1)(t2 + 1); r1 = k1 = t3; ¸1 = t2(t ¡ 1)v1 = b1 = (t + 1)(t2 + 1); r1 = k1 = t3; ¸1 = t2(t ¡ 1) v;b= (t + 1)2(t2 + 1)2; r = t6;v;b= (t + 1)2(t2 + 1)2; r = t6;
k =·
t3 ¢1(t+1)(t2+1)t2(t ¡ 1) ¢1t(t+1)(t2+1)(t2+t+1)
¸;k =
·t3 ¢1(t+1)(t2+1)
t2(t ¡ 1) ¢1t(t+1)(t2+1)(t2+t+1)
¸;
b¤ = (t + 1)(t2 + 1)(t3 + t2 + t + 2)=2b¤ = (t + 1)(t2 + 1)(t3 + t2 + t + 2)=2
Planeamento de experiênciasMétodos de construção dos blocos
Corolários
Parâmetros PBIE
7 v1 = b1; r1 = k1 = v1 ¡ 1;¸1 = v ¡ 2v1 = b1; r1 = k1 = v1 ¡ 1;¸1 = v ¡ 2 v;b= v2; r = (v ¡ 1)2;v;b= v2; r = (v ¡ 1)2;
k =·
(v ¡ 1) ¢1v(v ¡ 2) ¢1v(v¡ 1)
¸;k =
·(v ¡ 1) ¢1v
(v ¡ 2) ¢1v(v¡ 1)
¸;
b¤ = v(v+ 1)=2b¤ = v(v+ 1)=2
Planeamento de experiênciasExemplos
Exemplos
Parâmetros
1v = 4;b1 = 6;r1 = 3;k1 = 2;¸1 = 1v = 4;b1 = 6;r1 = 3;k1 = 2;¸1 = 1
v = 4;b2 = 4;r2 = 3;k2 = 3;¸2 = 2v = 4;b2 = 4;r2 = 3;k2 = 3;¸2 = 2
N 1 =
2
664
1 0 1 0 1 01 0 0 1 0 10 1 1 0 0 10 1 0 1 1 0
3
775N 1 =
2
664
1 0 1 0 1 01 0 0 1 0 10 1 1 0 0 10 1 0 1 1 0
3
775
N 2 =
2
664
1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1
3
775N 2 =
2
664
1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1
3
775
v = 4;b= 24; r = 9;k =·2¢112112
¸;b¤ = 10v = 4;b= 24; r = 9;k =
·2¢112112
¸;b¤ = 10
N =
2
664
1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 10 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 10 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0
3
775N =
2
664
1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 10 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 10 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0
3
775
N =£N 1 N 1 I 4 I 4 I 4
¤N =
£N 1 N 1 I 4 I 4 I 4
¤
Planeamento de experiênciasExemplos
Exemplos
Parâmetros
2 v = b1 = 7;r1 = k1 = 3;¸1 = 1v = b1 = 7;r1 = k1 = 3;¸1 = 1v = b2 = 7;r2 = k2 = 6;¸2 = 5v = b2 = 7;r2 = k2 = 6;¸2 = 5
N 1 =
2
66666664
1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 1 0 00 1 0 1 0 1 01 0 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 1 00 1 0 0 1 0 1
3
77777775
N 1 =
2
66666664
1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 1 0 00 1 0 1 0 1 01 0 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 1 00 1 0 0 1 0 1
3
77777775
N 2 =
2
66666664
0 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 11 1 1 0 1 1 11 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 0
3
77777775
N 2 =
2
66666664
0 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 11 1 1 0 1 1 11 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 0
3
77777775
v = 7;b= 49; r = 18;k =·3¢1282¢121
¸;b¤ = 28v = 7;b= 49; r = 18;k =
·3¢1282¢121
¸;b¤ = 28
N 3 =
2
66666664
1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1
3
77777775
N 3 =
2
66666664
1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1
3
77777775
N =£N 1 N 1 N 1 N 1 N 3
¤N =
£N 1 N 1 N 1 N 1 N 3
¤
Planeamento de experiênciasExemplos
Exemplos
Parâmetros
3v = 9;b1 = 12;r1 = 4;k1 = 3;¸1 = 1v = 9;b1 = 12;r1 = 4;k1 = 3;¸1 = 1
v = b2 = 9;r2 = k2 = 8;¸2 = 7v = b2 = 9;r2 = k2 = 8;¸2 = 7
N 1 =
2
666666666664
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 00 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 00 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 01 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 00 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 10 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 10 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
3
777777777775
N 1 =
2
666666666664
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 00 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 00 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 01 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 00 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 10 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 10 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
3
777777777775
N 2 =
2
666666666664
0 1 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 0 1 0
3
777777777775
N 2 =
2
666666666664
0 1 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 1 1 11 1 1 0 1 1 1 1 11 1 1 1 0 1 1 1 11 1 1 1 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 0 1 0
3
777777777775
v = 9;b= 108; r = 32;k =·3¢1722¢136
¸;b¤ = 48v = 9;b= 108; r = 32;k =
·3¢1722¢136
¸;b¤ = 48
N 4 =
2
666666666664
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N =£N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 4
¤N =
£N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 1 N 4
¤
Fim