Esercizi di preparazione di Logica Matematica

La parte di logica dell’esame scritto conterra al piu tre o quattro problemi,simili a quelli che trovate in questa lista. Dovreste essere in grado di risolvereun esercizio di logica proposizionale (Capitoli 1–3 del libro di testo) in circa 20minuti e di risolvere un esercizio relativo alla logica dei predicati (Capitolo 4)in circa 30 minuti.

1. Dimostrare che ` (A → B) → ((C → D) → ((A ∧ C) → (B ∧D))) e unsequente derivabile.

Soluzione: Procedendo dal basso verso l’alto otteniamo

A → B, C → D, A ∧ C ` B A → B, C → D, A ∧ C ` D(∧-r)

A → B, C → D, A ∧ C ` B ∧D(→-l)

A → B, C → D ` (A ∧ C) → (B ∧D))(→-l)

A → B ` (C → D) → ((A ∧ C) → (B ∧D))(→-l) ` (A → B) → ((C → D) → ((A ∧ C) → (B ∧D)))

quindi basta dimostrare che i due sequenti

A → B, C → D, A ∧ C ` B e A → B, C → D, A ∧ C ` D

sono derivabili. Il primo ha come albero di derivazione

C ` C(i)

A → B, A,C ` B,C

B ` B(i)

A,C, D,B ` BA ` A

(i)A,C, D ` A, B

(t)A → B, A, C,D ` B

(t)A → B,C → D, A,C ` B

(∧-l)A → B,C → D, A ∧ C ` B

dove (i) e (t) denotano, rispettivamente, la regola di indebolimento e ditaglio. Il secondo sequente ha come albero di derivazione

D ` D(i)

A, C, B, D ` D

C ` C(i)

C → D, A, C, B ` D(t)

A → B, A, C, D ` B

D ` D(i)

A, C, D ` D, B

A ` A(i)

A, C ` D, B, A(t)

C → D, A, C ` D, B(t)

A → B, C → D, A, C ` D(∧-l)

A → B, C → D, A ∧ C ` D

2. Formalizzare la seguente frase

Ogni numero maggiore di uno e divisibile per qualche numeroprimo

usando i simboli <, 1 e | per il predicato di divisibilita.

Soluzione: ∀x(x > 1 → ∃y (“y e primo” ∧ y|x)) e “y e primo” e formaliz-zata cosı: y > 1∧ ∀z(z|y → z = y ∨ z = 1). Quindi la frase e formalizzatacosı:

∀x(x > 1 → ∃y (y > 1 ∧ ∀z(z|y → z = y ∨ z = 1) ∧ y|x))

1

3. Mettere in forma normale congiuntiva (CNF) e disgiuntiva (DNF) la se-guente formula

(Q ↔ (P ∨R)) ↔ R

Soluzione: Poiche la tavola di verita e

P Q R (Q ↔ (P ∨R)) ↔ R0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 1

la FND e

(¬P ∧ ¬Q ∧ ¬R) ∨ (¬P ∧ ¬Q ∧R) ∨ (¬P ∧Q ∧ ¬R)∨ (¬P ∧Q ∧R) ∨ (P ∧ ¬Q ∧R) ∨ (P ∧Q ∧R)

e la FNC e(¬P ∨Q ∨R) ∧ (¬P ∨ ¬Q ∨R).

4. Dimostrare che il seguente insieme di formule e insoddisfacibile:

{A ∨ ¬D,¬B ∨ ¬C,¬A ∨B ∨ ¬C,D, C ∨ ¬D}

Soluzione: Per assurdo, sia V una valutazione che soddisfa l’insieme diformule cioe

V (A ∨ ¬D) = 1 (1)V (¬B ∨ ¬C) = 1 (2)

V (¬A ∨B ∨ ¬C) = 1 (3)V (D) = 1 (4)

V (C ∨ ¬D) = 1 (5)

Da (4) e (1) otteniamo V (A) = 1 e da (4) e (5) otteniamo V (C) = 1.Quindi V (B) = 1 dalla (3). Ma allora V (¬B ∨ ¬C) = 0, contro la (2).

5. Verificare se

(Q → (P ∨R)) ∧ ((¬Q ∨ P ) → R) ∧ (R → P ) |= Q

Soluzione: Vediamo se c’e una valutazione (o interpretazione) V taleche V (Q) = 0 e V

((Q → (P ∨R)) ∧ ((¬Q ∨ P ) → R) ∧ (R → P )

)= 1.

Quest’ultima condizione si traduce nelle tre equazioni

V(Q → (P ∨R)

)= 1

V((¬Q ∨ P ) → R

)= 1

V(R → P

)= 1.

2

La prima equazione e sempre soddisfatta, dato che V (Q) = 0. PoicheV (¬Q ∨ P ) = 1, la seconda implica che V (R) = 1. Di conseguenza laterza implica che V (P ) = 1. Quindi: la valutazione V tale che V (P ) = 1,V (Q) = 0 e V (R) = 1 testimonia che

(Q → (P ∨R)) ∧ ((¬Q ∨ P ) → R) ∧ (R → P ) 6|= Q.

6. Sia L il linguaggio che ha 3 simboli di predicato 1-ari: P, Q, R. Consi-deriamo la L-struttura M = (D, I) con D = {a, b, c, d}, I(P ) = {a, b},I(Q) = {a, b, c} e I(R) = {c, d}. Dimostrare che M testimonia

∀x (P (x) → Q(x)) ∧ ∃x (Q(x) → R(x)) 6|= ∀x (P (x) → R(x))

Soluzione: Dobbiamo verificare che

M |= ∀x (P (x) → Q(x)) (6)M |= ∃x (Q(x) → R(x)) (7)M 6|= ∀x (P (x) → R(x)) (8)

(6) discende dal fatto che I(P ) = {a, b} ⊆ {a, b, c} = I(Q), mentre per (7)basta prendere ξ tale che ξ(x) = c oppure ξ(x) = d. La (8) segue daI(P ) = {a, b} * {c, d} = I(R).

7. Mettere in forma prenessa il seguente enunciato

∀x∃y(∃z∃w (R(w, x) ∧R(z, w)) → ∀zR(z, y))

dove R e un predicato binario.

Soluzione: ∀x∃y∀z∀w∀u (R(w, x) ∧R(z, w) → R(u, y)).

8. Sia ⊕ il connettivo binario definito dalla tavola di verita

p q p⊕ q0 0 00 1 11 0 11 0 0

Dimostrare che {⊕,→} e un sistema adeguato di connettivi.

Soluzione: Sappiamo che {¬,∨} e un sistema adeguato di connettivi.Poiche p∨ q e semanticamente equivalente a ¬p → q (cioe: p∨ q e ¬p → qhanno la stessa tavola di verita), ne consegue che {¬,→} e un sistemaadeguato di connettivi. Quindi e sufficiente verificare che ¬p e esprimi-bile mediante ⊕ e →. Ma cio segue immediatamente dal fatto che ¬p esemanticamente equivalente a p → (p⊕ p).

9. Formalizzare la seguente frase:

Se esistono infiniti numeri che godono della proprieta P alloratra un numero e il suo doppio c’e un numero che gode dellaproprieta Q

3

usando i predicati 1-ari P e Q e i simboli +, < e =.

Soluzione: Dire che “ci sono infiniti numeri naturali tali che . . . ” eequivalente a dire che “per ogni numero c’e un numero ancora piu grandetale che . . . ”. Quindi la formula si formalizza cosı:

∀x∃y (x < y ∧ P (y)) → ∀x∃y (x < y ∧ y < x + x ∧Q(y))

10. Consideriamo il linguaggio L che ha un simbolo di predicato binario R.Considerare la formula ϕ

∀x∀y (R(x, y) → ∃z (R(x, z) ∧R(z, y)))

In quali delle seguenti strutture ϕ e vera?

• A = (N, I) con I(R) la relazione d’ordine <.

• A = (N, I) con I(R) la relazione d’ordine ≤.

• A = (Q, I) con I(R) la relazione d’ordine <.

Soluzione: (N, <) |= ϕ se e solo se per ogni assegnazione ξ, se ξ(x) =n < m = ξ(y) allora c’e un k ∈ N tale che n < k e k < m. Cio eevidentemente falso perche se n e m sono interi consecutivi non c’e nessunnumero naturale strettamente compreso tra di loro. Quindi nel primo casola risposta e negativa.

Nel secondo caso la relazione R e interpretata come ≤. Sia ξ un’assegna-zione e siano n = ξ(x) e m = ξ(y). Se n > m, allora A, ξ 6|= R(x, y),quindi, banalmente, A, ξ |= R(x, y) → ∃z (R(x, z) ∧R(z, y)). Se invecen ≤ m, allora A, ξ |= R(x, y) e basta modificare la ξ in ξ[n/z] cosı cheA, ξ[n/z] |= R(x, z)∧R(z, y). Quindi A, ξ |= ∃z (R(x, z) ∧R(z, y)) e alloraA, ξ |= ϕ. Essendo ξ arbitrario, abbiamo che A |= ϕ.

Supponiamo infine che A = (Q, I) con I(R) la relazione d’ordine <. Siaξ un’assegnazione. Ragionando come sopra, se ξ(x) ≥ ξ(y), allora ba-nalmente A, ξ |= ϕ, quindi possiamo supporre che ξ(x) < ξ(y). Allorase ξ′ e ottenuta modificando ξ in modo che ξ′(z) = 1

2 (ξ(x) + ξ(y)), allo-ra A, ξ′ |= R(x, z) ∧ R(z, y) e quindi A, ξ |= ∃z (R(x, z) ∧R(z, y)) da cuiA, ξ |= ϕ. Essendo ξ arbitrario, abbiamo che A |= ϕ.

4

Esercizi di preparazione di Matematica Discreta

La parte di Matematica Discreta dell’esame scritto conterra al piu tre o quattroproblemi. I problemi saranno simili a quelli che trovate in questa lista e cisaranno anche problemi sulle equazioni ricorsive che non sono presenti in questalista.

Dovreste essere in grado di risolvere ognuno degli esercizi in circa 15/20minuti. Gli esercizi piu lunghi sono di solito quelli relativi alle matrici e alleequazioni in Z o alle congruenze.

1. Risolvere il sistema di equazioni lineari

x1 + 3x2 − 2x3 = 12x1 − 4x2 + x3 + x4 = 2x1 + x2 − 2x3 = 1

Soluzione. Eseguendo l’algoritmo di riduzione di Gauss si ottiene:

1 3 −2 0 12 −4 1 1 21 1 −2 0 1

R2→R2−2R1−−−−−−−−→

R3→R3−R1

1 3 −2 0 10 −10 5 1 00 −2 0 0 0

−−−−−−−→R2↔−R3/2

1 3 −2 0 10 1 0 0 00 −10 5 1 0

−−−−−−−−−−−−→

R3→1/5(R3+10R2)

1 3 −2 0 10 1 0 0 00 0 1 1/5 0

da cui si ottiene che il sistema ammette le seguenti infinite soluzionidipendenti da 1 parametro:

x1 = 1− 25

t

x2 = 0

x3 = −15

t

x4 = t

2. Risolvere il sistema di equazioni lineari

2x1 + x2 + 5x3 = 13x1 − x2 + 2x3 = 2x1 + 2x3 = 1

Soluzione. La matrice A dei coefficienti ha determinante = −3 ed equindi invertibile. Il sistema e dunque di Cramer e si puo risolvere con laformula di Cramer:

x =

∣∣∣∣∣∣

1 1 52 −1 21 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 53 −1 21 0 2

∣∣∣∣∣∣

=1−3

= −13,

5

y =

∣∣∣∣∣∣

2 1 53 2 21 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 53 −1 21 0 2

∣∣∣∣∣∣

=5−3

= −53,

z =

∣∣∣∣∣∣

2 1 13 −1 21 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1 53 −1 21 0 2

∣∣∣∣∣∣

=−2−3

=23

Il sistema puo essere risolto anche con l’algoritmo di riduzione. Provare afarlo come esercizio ulteriore.

3. Calcolare tutte le soluzioni dell’equazione intera 35x + 56y = 49, determi-nando inoltre quelle in cui |x + y| e minimo.

Soluzione. Controlliamo dapprima che ci siano soluzioni.

Poiche (35, 56) = 7 divide 49, ci sono infinite soluzioni (x, y) con x, y ∈ Z.

L’algoritmo euclideo ci permette di scrivere l’identita di Bezout

7 = 56 · 2− 35 · 3 da cui − 21 · 35 + 14 · 56 = 49.

Allora una soluzione e (−21 , +14). Trovata questa soluzione particolare,tutte le soluzioni si ottengono al variare di k ∈ Z come:

(−21 +567

k , 14− 357

k) ossia (−21 + 8k , 14− 5k).

Il minimo di | − 21 + 8k + 14− 5k| = |3k− 7| si ottiene per k = 2 e quindila soluzione cercata e (−5, 4).

4. Calcolare (se esistono) le soluzioni dell’equazione 77x = 42 in Z55 e in Z56.

Soluzione. Controlliamo dapprima che ci siano soluzioni.

Poiche (77, 55) = 11 non divide 42, l’equazione non ha soluzioni in Z55.

Invece (77, 56) = 7 divide 42; ci sono quindi soluzioni in Z56 ed esattamentece ne sono 7.

L’algoritmo euclideo ci permette di scrivere l’identita di Bezout

7 = 3 · 77− 4 · 56.

Allora 77 · 3 = 7 in Z56 e quindi 77 · 18 = 42. Trovata la soluzione x = 18tutte le soluzioni si ottengono aggiungendo a questa multipli di 8 = 56

7 , ecioe:

2, 10, 18, 26, 34, 42, 50.

6

5. Calcolare (se esiste) l’inversa della classe 126 in Z383 e in Z385.

Soluzione. Controlliamo dapprima l’esistenza della classe inversa.

Poiche (126, 385) = 7, non esiste l’inversa in Z385.

Invece (126, 383) = 1 e quindi esiste la classe inversa in Z383.

Calcolare l’inversa e equivalente a risolvere l’equazione fra classi

126x = 1, in Z383

L’algoritmo euclideo ci permette di scrivere l’identita di Bezout

1 = 76 · 126− 25 · 383.

Allora 76 · 126 = 1 in Z338 e quindi 76 e la classe inversa di 126 in Z338.

6. Calcolare il resto della divisione di 73675 per 37.

Soluzione. (7, 37) = 1 e quindi si puo usare il teorema di Eulero-Fermat.

ϕ(37) = 36

perche 37 e un numero primo e quindi

736 ≡ 1 (mod 37).

Quindi,73675 = 7102·36+3 = (736)102 · 73 ≡ 73 (mod 37)

e poiche73 = 343 ≡ 10 (mod 37),

si ha che il resto della divisione e 10.

7. Usando le 21 lettere dell’alfabeto italiano, consideriamo tutte le sequenzedi 6 lettere.

a) quante sequenze hanno esattamente 3 lettere uguali e le altre 3 differentifra loro?

b) quante sequenze hanno esattamente 3 lettere uguali consecutive e lealtre 3 differenti fra loro?

Soluzione. a) Per prima cosa scegliamo quale lettera e ripetuta, e ci sono

21 possibilita. I modi possibili di posizionare la lettera ripetuta sono(

63

).

Per le rimanenti 3 posizioni dobbiamo scegliere 3 lettere diverse fra loro ediverse da quella ripetuta. Si ha

21×(

63

)× 20× 19× 18 = 2 872 800

b) Il calcolo e simile, ma adesso le tre lettere ripetute devono essereconsecutive, e ci sono 4 posizioni possibili (123, 234, 345, 456). Quindi:

21× 4× 20× 19× 18 = 574 560

7

8. Calcolare i coefficienti dei monomi x3y4 e x5y4 nello sviluppo di (2x−y2)7.

Soluzione. La formula del binomio di Newton da

(2x− y2)7 =7∑

i=0

(7i

)(2x)i(−y2)7−i

Il monomio x3y4 non compare poiche per i = 3 l’esponente di y risulta4 · 2 = 8 e dunque il suo coefficiente e 0.

Il monomio x5y4 si ottiene per i = 5 e il suo coefficiente e quindi(

75

)· 25 · (−1)2 = 21 · 32 = 672

9. Si consideri l’insieme B dei numeri interi positivi che, nell’usuale notazioneposizionale decimale, hanno scrittura di 5 cifre (ossia che sono compresitra 10·000 e 99·999)

a) Quanti sono gli elementi di B che si possono scrivere senza usare lacifra 7?

b) Quanti sono gli elementi di B che si possono scrivere utilizzando esat-tamente una volta la cifra 0?

c) Quanti sono gli elementi di B le cui cifre sono in ordine strettamentecrescente?

Soluzione.

a) Nella prima posizione puo essere scritta una cifra qualsiasi tranne 7 e0; nelle posizioni successive puo essere scritta una cifra qualsiasi diversada 7: i numeri sono quindi 8 · 94.

b) I numeri di questo tipo si possono ottenere inserendo la cifra 0 inuna posizione qualsiasi dalla seconda alla quinta e poi delle cifre qualsiasidiverse da 0 nelle 4 posizioni rimanenti. Sono quindi 4 · 94.

c) Osserviamo che nella scrittura di questi numeri non puo comparire 0(perche dovrebbe essere la cifra iniziale); quindi sono univocamente indivi-duati dalle 5 cifre (necessariamente diverse da 0 e tra loro) che compaiononella loro scrittura. Sono quindi tanti quanti i modi di scegliere 5 cifre tra

9 ossia:(

95

)

10. Sia f la permutazione di S9 che ha decomposizione in cicli disgiunti:

f = (1 3 7)(2 8 5)(9 4 6).

a) Scrivere la decomposizione in cicli disgiunti di f−1 e di f2 = f ◦ f .

b) Quante sono le permutazioni di S9 che hanno lo stesso tipo di f?

c) Quanti sono i 6-cicli di S9 in cui non compaiono ne 3 ne 4?

Soluzione.

a) Poiche f e scritta come composizione di cicli disgiunti, il cui prodottocommuta, l’inversa di f e il suo quadrato si ottengono componendo rispet-tivamente gli inversi e i quadrati dei cicli. Inoltre si ha (1 3 7)−1 = (7 3 1)

8

e (1 3 7)2 = (1 7 3) = (7 3 1) e lo stesso capita per gli altri due cicli dellascomposizione di f Allora:

f−1 = f2 = (7 3 1)(5 8 2)(6 4 9).

b)9!

3 · 3 · 3 · 3!c) Sono tanti quanti i 6-cicli che si possono ottenere con 7 elementi ossia

tanti quanti i 6-cicli in S7 ossia:(

76

)· 5!

9