INSTITUTI PËR STUDIME I SHKENCAVE ORGANIZATIVE – APLIKATIVE

“PJETËR BUDI” – PRISHTINË

PUNIM SEMINARIK

LËNDA: STATISTIKË

TEMA: NDRYSHORËT E RASTIT

Mentori: Studenti:

Prof. Faruk BELEGU Petrit SHABANI

Prishtinë, PRILL 2011

1

NDRYSHORËT E RASTIT

NDRYSHORJA E RASTIT NJËDIMENSIONALE

Njëri nga kuptimet më të rëndësishme në teorinë e probabilitetit dhe të statistikës ka të bëjë me ndryshorën ( variablën ) e rastit . Definicioni 1 . Realizimi i çdo ndodhie të rastit mund të karakterizohet me me numër . Variabla ( ndryshorja ) e cila vlerat e tilla numerike i merrë me probabilitet të caktuar emërtohet si ndryshorja e rastit . Ndryshorja e rastit shpesh herë definohet edhe si funksion i cili çdo ndodhie elementare i bashkangjet numrin e caktuar Me kusht që variabla e rastit veçohet me numrin e numrueshem të vlerave me probabilitetët pozitive atëherë ajo njifet si variabla diskrete e rastit . Ndryshorja e rastit është kontinuale me kusht që me probabilitetin pozitiv mund të ketë vlerën e çfarëdoshme numerike në intervalin e caktuar .Ndryshorët e rastit do të shënojmë me X Y Z … ndërsa vlerat ( modalitetët ) e tyre respektivisht me : { xi } { yi } { zi } … i = 1 2 … n … .

Më tutje marrim që ndryshorja e rastit X mund të ketë vlerat x1 x2 … xn me probabilitetët dedikuiese p1 p2 … pn . Bashkësia e çifteve të vlerave :

{ xi pi = P ( X = xi ) } i = 1 2 … n përkatësisht paraqitja skematike e këtyre çifteve të numrave :

na paraqet shpërndarjën e probabiliteteve të variablës së rastit ashtu që çdo vlere të ndryshorës së rastit i bashkangjitetët vlera përkatëse e probabilitetit .

4

Ilustrimi grafik i shpërndarjës të probabilitetit është i prezentuar në figurën 37 dhe përfitohet me bashkangjitjen e pikave ( xi pi ) ( I = 1 2 … n ) . Funksioni i shpërndarjës të probabiliteteve apo ndryshe ligji komulativ i shpërndarjës të probabiliteteve mund të definohet sipas :

►

Figura 1 .

Një grafik i mundshem i funksionit të shpërndarjës të probabiliteteve është i prezentuar në figurën 2 .

Figura 38 . Përmes funksionit të shpërndarjës të variablës të rastit X mund të shprehim probabilitetin sipas : a ≤ X < b për vlerat e çfarëdoshme a dhe b ( a < b ) .

5

F(X)

F(x1)

O(0,0) x1 x2 x3 X

Nëse me A e shënojmë ndodhinë për X < a me B ndodhinë për X < b dhe me C ndodhinë për a ≤ X < b atëherë vlenë : B = A + C . Pasi që ndodhitë A dhe C përjashtohen reciprokisht mund të shkruajmë :

P ( B ) = P ( A ) + P ( C ) prej kahit përfitojmë :

P ( C ) = P ( B ) – P ( A ) apo :

P ( a ≤ X < b ) = P ( X < b ) – P ( X < a ) ► Gjithashtu vlenë :

P ( a ≤ X < b ) = F ( b ) – F ( a ) ►

Vetia 1 . Pasi që probabiliteti nuk është numër negativ rezulton që duhet të plotësohet kushti :

F ( a ) ≤ F ( b ) ►

Kjo don të thot që funksioni i shpërndarjës është funksion jozvoglues .

Vetia 2 . Gjithashtu vlenë :

F ( - ∞ ) = 0 dhe F ( + ∞ ) = 1 ( = 100 % ) ►

Sipas kësaj rezulton që vlenë :0 ≤ F ( x ) ≤ 1 ►

Definicioni 2 . Ndryshorja e rastit X është diskrete me kusht që për çdo vlerë reale x është i përcaktuar funksioni jozvoglues F( X ) = P ( X < x ) i cili i plotëson konditat : F ( -∞ ) = 0 F ( + ∞ ) = 1 dhe i cili në pikat xi i ka vlerat përkatëse të probabiliteteve pi :

F ( xi + 0 ) – F ( xi ) = pi ; I = 1 2 … n ;Pi = P ( X = xi )

6

Definicioni 3 . Ndryshorja e rastit X është e pandërprerë nëse për çdo numër real x është i përcaktuar funksioni jozvoglues kontinual F ( X ) = P ( X < x ) i cili i plotëson kushtët : F ( - ∞ ) =0 F ( + ∞ ) = 1 . Për ketë rast mund të shkruajmë :

►

Dukja parimore e funksionit të shpërndarjës për ndryshorën e rastit si madhësi kontinuale është e dhënë sipas figurës 3 .

Figura 39 .

Densiteti i funksionit të shpërndarjës përfitohet sipas :

F ( X ) = F’( X ) = dF(X) / dx ►

Kuptohet probabilitetin mund të përcaktojmë edhe sipas densitetit të funksionit të shpërndarjës :

►

Kuptohet integrali në fjalë e ka kuptimin e shumës të probaliteteve elementare në intervalin ( a b ) ( a < b ) .

7

F(X) F(X)=1

O(0,0) X

Funksionin e shpërndarjës mund të shprehim përmes densitetit të shpërndarjës . Sipas definicionit vlenë :

F ( X ) = P ( X < x ) = P ( - ∞ < X < x ) ►

Sipas kësaj mund të shkruajmë :

►

Në aspektin gjeometrik funksioni i shpërndarjës na jipet si syprina ndërë lakorën e densitetit të shpërndarjës në të majtën e pikës x ( Figura 4 ) .

Figura 41 .

Vetitë themelore të funksionit të shpërndarjës janë :

1) Densiteti i shpërndarjës na jipet si funksion jonegativ çdo të thot :

f ( X ) ≥ 0 ►

8

f (X)

O(0,0) X=x X

P ( X x )

Detyra 1 . Të caktohet konstanta a ashtu që funksioni të jetë i formës :

.Zgjidhje : Tani respektivisht kemi :

Kështu densiteti i funksionit të shpërndarjës na jipet sipas :

►

Funksioni i shpërndarjës na jipet sipas :

Probabiliteti i kërkuar është :

9

Detyra 2 . Kontrollori e verifikon produktin e programit prodhues i cili përmban 20 % të shkartit dhe e përfundon verifikimin kur e gjenë shkartin . Nëse me X e shënojmë

numrin e artikujve të verifikuarë kërkohet shpërndarja e probabilitetit të ndryshorës së rastit X .

Zgjidhje : Verifikimi i kualitetit kryhet me serinë – n të artikullit ( n = 1 2 … ) me kusht që në produktët ( n – 1 ) të parë nuk ka hasur në shkart . Kështu përfitojmë :

►

Kështu funksioni i shpërndarjës mund të jipet sipas tabelës vijuese :

xi 1 2 3 … n …pi 1/5 4/52 42/53 … 4n-1/5n …

Probabiliteti kur numri i produkteve të verifikuarë rritët pakufishem shumë mund të caktohet sipas :

►

Detyra . Densiteti i funksionit të shpërndarjës të probabilitetit është i dhënë sipas figurës 48 . Kërkohet funksioni i shpërndarjës .

Zgjidhje :

Për densitetin e funksionit të shpërndarjës ( sipas figurës 5 ) do të përfitojmë :

10

►

Në ketë mënyrë për funksionin e shpërndarjës të probabilitetit do të përfitojmë :

►

Figura 48 .

Në figurën 49 janë prezentuarë lakorët karakteristike për ketë rast dhe ate për parametrat projektues :

A= 3/2 b = 7/2 ►

11

f(x)

O(0,0) X X = a X = b

NDRYSHORJA E RASTIT DYDIMENSIONALE

Në lidhje me aplikimin e torisë të probabilitetit dhe të statistikës shpesh herë çfaqen dukuritë ku nuk kemi të bëjmë vetëm me një ndryshore të rastit por më dy ndryshore apo më shumë . Kështu vijmë në aplikimin e ndryshorës n- dimensionale të rastit e ndaj përcaktimit të funksionit të shpërndarjës . Sistemet e ndryshoreve n – dimensionale mund të karakterizohen si pikat e rastit apo si vektorët e rastit në hapsirën n – dimensionale . Është gjë e kuptueshme që ekzaminimi i ndryshorës n – dimensionale nuk mund të përqendrohet vetëm në ekaziminimin e çdo ndryshore veç e veç por duhet të shtjellohet edhe mvarëshmëria e tyre reciproke . Është evidente që vektori i rastit dydimensional ( X,Y ) mund të paraqitët me pikat e rastit në hapsirën operacionale përkatëse .

Ndryshorja e rastit ( X Y ) mund të jetë diskrete apo kontinuale . Sikurse edhe variabla e rastit njëdimensionale edhe ndryshorja e rastit dydimensionale veçohet me një bashkësi të numrueshme të çifteve të vlerave ( X Y ) ndërsa ndryshorja e pandërprerë dallohet me pakufishem shumë vlera të çifteve përkatëse .Bashkësia e tresheve të vlerave ( xi yj pij ) e paraqet shpërndarjën e probabilitetit për ndryshorën e rastit dydimensionale diskrete . Shuma e probabiliteteve në fjalë barazohet me 1 ( = 100 % )

Le të marrim që pij është probabiliteti i ndryshorës të rastit ( X Y ) ashtu që të vlenë :

12

Shpërndarjën e probabiliteteve të variablës së rastit dydimensionale ( X,Y ) në mënyrë të përshtatshme mund të paraqesim në mënyrë tabelare :

Y Y1 Y2 … yj … ym Probabiliteti Margjinal

X

x1 p11 P12 … P1j … P1m P10

X2 P21 p22 … P2j … P2m P20

… … … … … … … …

xi Pi1 Pi2 … pij … Pim Pi0

… … … … … … … …

xn Pn1 Pn2 … pnj … pnm Pn0

Probabiliteti Margjinal

P01 P02 … P0j … P0m 1

Karakteristika e dytë e variablës së rastit dydimensionale ( X,Y ) është funksioni i shpërndarjës F(x,y) i cili e paraqet probabilitetin e realizimit të njëkohëshëm të ndodhive X < x Y < y :F ( x y ) = P ( X < x Y < y )

13

Vetitë e funksionit të shpërndarjës mund të cekën tani në ketë mënyrë :1) Funksioni i shpërndarjës F(x,y) është funksion jozvoglues i argumenteve

paraprakë :

◄

2) Janë të vlefshme relacionet : ◄

3) Gjithashtu vlenë :

◄

Me F1( x ) dhe F2( y ) janë të dhënura funksionet e shpërndarjës të ndryshoreve të rastit ( X,Y ) ( të vërehet edhe figura 6) .

Figura 52 .

4) Me kusht që të dy argumentët e kanë vlerën që tenton kah vlera infinite atëherë vlenë :

F( - ∞ + ∞ ) = 1 ( = 100 % ) ►

14

Detyra 1 .

Y M(x,y) Y M(x,y)

X

X

F1(x)F2( y )

Të caktohet probabiliteti ashtu që pika e rastit ( X,Y ) t’i takon fushës së shrafuarë ( hiezuarë ) sipas figurës 54 me kusht që funksioni i shpërndarjës është i dhënë .

Zgjidhje : Për ketë rast respektivisht do të kemi :

►

Detyra 2 . Shpërndarja e probabilitetit të variablës dydimensionale të rastit është e dhënë sipas tabelës :

Y1 2 3 4 5

Shpërndarja margjinale e ndryshorës

XX

1 1/12 1/24 - 1/24 1/30 1/52 1/24 1/24 1/24 1/24 1/30 1/53 1/12 1/24 1/24 - 1/30 1/54 1/12 - 1/24 1/24 1/30 1/55 1/24 1/24 1/24 1/24 1/30 1/5

Shpërndarja margjinale

e ndryshorës

Y

1/3 1/6 1/6 1/6 1/6 1

15

Të caktohet shpërndarja me kusht e probabilitetit .

Zgjidhje : Vlerat e kalkuluara do të prezentohen sipas tabelave vijuese .

Y 1 2 3 4 5X1 1/4 1/4 - 1/4 1/52 1/8 1/4 1/4 1/4 1/53 1/4 1/4 1/4 - 1/54 1/4 - 1/4 1/4 1/55 1/8 1/4 1/4 1/4 1/5

TOTALI 1 1 1 1 1Y

1 2 3 4 5 TOTALIX1 5/12 5/24 - 5/24 1/6 12 5/24 5/24 5/24 5/24 1/6 13 5/12 5/24 5/24 - 1/6 14 5/12 - 5/24 5/24 1/6 15 5/24 5/24 5/24 5/24 1/6 1

16

Statististicientët në lidhje me ekzaminimin e dukrive më të ndryshme në natyrë jetë dhe shoqëri zakonisht i aplikojnë metdodat e ndryshme studimi si : metodën induktive ate deduktive analizën sintezën e të tjera . Të metoda induktive nga individualja shkohet ka përgjithsimi i studiomit statistikor .

Të analiza e studimit të popullimeve statistikore dukuria statistikore shpërndahet me qëllim të studimit të çdo pjese në veçanti . Të metoda e sintezës njohuritë individuale të çdo pjese bashkangjitën në një terësi në lidhje me informimin më të plotë dhe më detajë .

Pastaj statisticientët bazohen edhe në metodat tjera si në metodën e analogjisë e cila merrë vendime në bazë të karakteristikave të njohura të një dukurie .

Aplikohet më shumë sukses edhe metoda e mostrës pastaj metoda reprezentative si edhe shumë metoda tjera ashtu që modeli i përhvetësuar statistikor na mundëson përfitimin e rezultateve statistikore më premtuese dhe më të favorshme . Dukuritë masive apo popullimi të cilët përmbashen prej njësive statistikore burimin e kanë në natyrë jetë dhe në shoqëri . Njësia statistikore na jipet si element i popullimit statistikor ashtu që duhet t’i ketë karakteristikat të një variable . Çdo veti e veçantë për secilin dhe e përbashkët për të gjitha njësit statistikore në statistikë quhet tipar apo atribut . Variacioni na paraqet ecuritë apo lëvizjet në lidhje me shprehjen e sasisë ose të cilësisë të çdo njësie statistikore dhe të popullimin statistikor në terësi . Variacioni si ndryshim apo diferencë e paraqet ndryshimin në mes të madhësive raportuese dhe paraprake të një atributi apo tipari . Diagramet janë grupi i rëndësishem i pasqyrave grafike të cilat ndërtohen në bazë të formave më të ndryshme gjeometrike . Në lidhje me ketë mund të dallojmë : stignogramet diagramet vijore diagramët sipërfaqësore ( histogramet ) dhe stereogramet . Analizat statistikore mund të veçohen si më të ndryshmët .Kështu mund të dallojmë : analizën statike ate dinamike analizën reprezentative dhe analizën regresive . Gjat analizeve statistikore në fjalë aplikohet studimi i madhësive paraprake apsolute dhe relative .

17

P Ë R M B A J T J A

HYRJE………………………………………………………………………..3

NDRYSHORJA E RASTIT NJË DIMENSIONALE………………………4

NDRYSHORJA E RASTIT DYDIMENSIONAL…………………………12

LITERATURA ………………………………………………………………...18

2

HYRJE

Statististika është njëra nga shkëncat më të rëndësishme e cila si e tillë është zhvilluar krahas zhvillimit të shoqërisë njërzore . Termi statistikë rrjedh nga fjala latine “status “e cila i dedikohet gjendjës përkatësisht shtetit në kuptimin që e realizon përshkrimin e gjendjës të shtetit . Statistika si degë shkëncore është inicuarë dhe është zhvuilluar krahas zhvillimit të shteteve në botë . Informimi i plotë i njeriut mbi dukuritë ambientin dhe fenomene të tjera natyrore e shoqërore arrihet me lindjën e pronës dhe të shtetit përkatësisht me paraqitjen e nevojës që në mënyrë të organizuarë të mbrohet prona pasuria dhe jeta e njerëzve . Fillet më të herëshme të Statistikës çfaqen qysh të njërzit e lashtë ku krahas komunikimit dhe numrimit të parë lajmrohet edhe një evidencë e lashtë statistikore në lidhje me mbrojtjën e pronës më të herëshme . Civilizimet e lashta në Kinë Egjipt Mesopotami e pastaj në Greqinë e Vjetër në Imperinë Romake gjithashtu veçohen me fillet të aplikimit të Statistikës . Rëndësia e Statistikës mbeshtetët në aspektin e sqarimit të natyrës të mënyrës të shfrytëzimit të dhënave statistikore interpretimit të tyre si edhe të njohjës dhe mirëkuptimit të rëndësisë së tyre . Objekti i hulumtimit të Statistikës janë dukuritë masive të shumëta dhe të llojllojshme .Ato burimin e kanë në proceset natyrore ekonomike dhe shoqërore .

3

LITERATURA

Nga ligjeratat e Prof. Faruk BELEGU

Prishtinë 2011

18