1

Gjimnazi “Gjon Buzuku”

Shkencat natyrore

P r i z r e n

N e n t o r 2 0 1 2

Punoi:Elona Shatri

Mentor:Nimete VRENEZI

Lënda: Matematikë Tema:Trekëndëshi

Gjimnazi “Gjon Buzuku” Shkencat Natyrore

Lënda:Matematikë

Tema:Trekëndëshi

Nxënesja:Elona SHATRI Mentor:prof. Nimete VRENEZI

Abstrakte

Një ndër problemet e zakonshme matematikore është për të gjetur këndet qe mbyllin brinjet e një

trekëndshi ,koordinatat e kulmeve,gjatësitë e brinjëve, siperfaqen e tij, etj. Duke i pasur te njohura

disa të dhëna .

Objektivat

Të zgjedhim trekëndshin duke përdorur formulat e kosinusit

Të zgjedhim trekëndshin duke perdorur formulat e sinusit

Të gjejmë siperfaqen e trekëndshit

Të gjinden gjatësit e brinjëve pikprerjet dhe ekuacionet e tyre

Të gjinden këndet e brendshme dhe ato të jashtme

Të gjinden medianat,ortoqendra dhe ekuacionet e tyre

Të gjinden lartësit pika e rëndimit dhe ekuaconet e tyre

Përmbajtja

1. Njohje me trekendeshin…………………………………………………………………………………..

2. Formulat e kosinusit per trekendesh…………………...............................................

3. Formulat e sinusit per trekendesh…………………………………………………………………….

4. Formulat e Hero’s per syprinen e trekendeshit………………………………………………….

5. Simetralja e brinjes ,kendit ,lartesit, mediana…………………………………………………….

6. Shembuj………………………………………………………………………………………………...………….

Njohja me trekendëshin

Trekendëshi ka tri kulme qe shenohen me A,B dhe C ,tri brinjë që shënohen me a,b dhe c. Ka tri kënde α ,

β dhe δ shuma e këndeve te brendshme eshte 180ᴼ pra α+β+δ=180ᴼ.

Trekendeshat i klasifikojme sipas :

Brinjeve

trekendeshi barabrinjes (kur gjatesia e brinjeve eshte e barabarte dhe secili kend I brendshem eshte 60ᴼ)

trekendesh barakrahesh (dy brinje kane kende te barabarta)

trekendeshi brinjendryshem (te tre kendet dhe brinjet e ndryshme)

Kendeve

trekendeshi kendedrejte (njeri kend eshte 90ᴼ)

trekendeshi kendegjere (me nje kend me te madh se 90

trekendeshi kendengushte (me tri kende me te vogla se 90ᴼ)

2. Formulat e kosinusit per trekendesh

Kur kemi te dhene tri brinjet ,ne mund te gjejme kendet e trekendeshit me formulat e meposhtme:

Ose forma tjeter :

1

Sh.1.0. Gjeni gjatesine e brinjes se trete ,nese jane te dhena:

a) a=1 , b=2 , δ=30ᴼ

b) a=3 , c=4 , β=60ᴼ

c) b=5 , c=10 , α=30ᴼ

Zhvillim I detyres

a) a=1 , b=2 , δ=30ᴼ

1 http://ëëë.mash.dept.shef.ac.uk/Resources/ëeb-sinecostri.pdf

b) a=3 , c=4 , β=60ᴼ

=13

c) b=5 , c=10 , α=30ᴼ

2. Formulat e sinusit per trekendesh

Ne mund te perdorim formulat e sinusit per te gjetur nje brinje, kur jane te dhena dy te tjera dhe kendi mes

brinjes se panjohur dhe njeres brinje te njohur.

Ku R është rrezja e rrethit të jashtashkruar.

Sh1.1. Supozojme se janë dhënë tri brinjët e trekëndëshit si në vijim:

a=5 , b=7 dhe c=10 .Gjeni këndin α

Sh3.Janë dhënë c=8 , b=12 dhe kendi mes brinjës së panjohur dhe njerës brinjë të njohur është δ=30ᴼ ,të

gjinden dy kendet tjera.

Por ketu mund të ndodh një kompliim sepse janë dy këndë qe kanë sinusin 0.75 : 180ᴼ-48.6ᴼ=131.4ᴼ

Në rastin e parë këndet e trekëndëshit janë këto :

δ=30ᴼ , β=48.6ᴼ dhe α=180ᴼ-β-δ=101.4ᴼ

dhe në rastin e dytë kemi:

δ=30ᴼ , β=131.4ᴼ dhe α=180ᴼ-β-δ=18.6ᴼ

4.Formulat e Hero’s per syprinen e trekendeshit

Formula e cila na jep syprinën e trekëndëshit është

Ose

Kur kemi të dhëna dy brinjë dhe këndin të cilin e formojnë mes vete formulat për syprinë janë këto :

Në rastin kur nuk kemi të dhënë asnjërin prej këndeve atëher syprinën e trekëndëshit e njehsojmë me anën e

formulave te Heros:

Sh1.3. Janë dhene brinjet te njehsohet syprina e trekëndëshit:

GJEOMETRI ANALITIKE

Simetralja e brinjës

Simetralja e brinjës së trekëndëshit është drejtëza normale me brinjën e cila kalon nëpër mesin e saj. Është e

njohur se të tre simetralet e brinjëve të trekëndëshit kalojnë nëpër një pikë dhe kjo pikë është qendra e rrethit të

jashtashkruar.

Lartësia

Lartësi e trkëndëshit është drejtëza që kalon nëpër një kulm të trkëndëshit dhe është normale me brinjën

përballe tij, të tre lartësitë trekëndëshit priten në një pikë e cila quhet ortoqendër.

Simetralja e këndit

Simetrale e këndit të brendshëm të trekëndëshit është drejtëza e cila kalon nëpër kulmin e trekëndëshit dhe

këndin e ndan në dy pjesë të barabarta. Tre simetralet e këndeve poashtu priten në një pikë e cila paraqet

qendrën e rrethit të brendashkruar i cili i prek të tre brinjët në një pikë.

Mediana

Medianë ose vijë e rëndimit është drejtëza e cila kalon nëpër kulmin e trekëndëshit dhe mesin e brinjës përballë

tij, vërtetohet se të gjitha medianat priten në një pikë e cila paraqet qendrën e rëndimit të trekëndëshit.

Shembuj

Sh2.1.Të gjendet syprina e trekëndshit nësë janë të dhëna kulmet e trekendëshit:

A(4,2) ,B(-2,5) dhe C(1,-4)

Zhvillim

Sh2.2.Te gjinden ekuacionet e brinjëve të të njejtit trekëndësh:

Gjejme ekuacionin e drejtzes qe permban brinjen AB :

A(4,2) ,B(-2,5)

AB:

Gjejme ekuacionin e drejtzes qe permban brinjen BC :

B(-2,5) , C(1,-4)

BC:

Dhe ekuacionin e drejtzes qe permban brinjën CA:

C(1,-4) , A(4,2)

CA :

Sh2.3.Te gjendet gjatesia e brinjëve te trekëndëshit :

Zhvillim

Pët të gjetur gjatesin e brinjeve perdorim formulat per percaktimin e distancave mes dy pikave ne kete rast

mes pikave te kulmeve:

A(4,2) dhe B(-2,5)

=

Brinja mes kulmeve C(1,-4) dhe B(-2,5)

=20.22

Dhe brinja mes kulmeve C(1,-4) dhe A(4,2)

Sh2.4.Të gjenden medianat dhe ekuacionet e tyre

Mediana e cila bashkon piken e mesit te brinjes AC dhe kulmin B

Pika e mesit te brinjes AC eshte

Ekuacioni I medianës eshte B :4x+3y-7=0

Mediana e cila bashkon piken e mesit te brinjes AB dhe kalon kulmin C

Pika e mesit te brinjes eshte

Ekuacioni I brinjes sepse ekuacioni I drejtzes qe bart brinjen AB eshte paralele me

boshtin x.

Mediana e cila bashkon piken e mesit te brinjes BC dhe kulmin A

Pika e mesit te brinjes BC eshte

Ekuacioni I drejtzes qe bart medianen eshte :

Qendra e rendimit te trekendeshit eshte pika ku priten medianat (vijat e rendimit) kjo pike gjendet nepermes

sistemit te ekuacioneve te medianave:

4x+3y-7=0

Nga ketu gjejme x=13.14 dhe y=-2.04 pra P(13.14 , -2.04)

Sh.2.5.Të gjinden lartësitë dhe ekuacionet e drejtzave që bartin këto lartësi :

Lartësia gjendet duke gjetur drejtzen e cila eshte normale ne drejtzen BC dhe permban

kulmin A(4,2)

Lartësia : gjendet duke gjetur drejtzen e cila eshte normale ne drejtzen AC dhe permban

kulmin B(-2,5)

Lartësia : gjendet duke gjetur drejtzen e cila eshte normale ne drejtzen AB dhe permban

kulmin C(1,-4)

Ndërsa ortoqendra është pikprerja e ketyre lartësive pra formohet sistemi I ekuacioneve lineare me dy të

panjohura

Kur e zgjedhim sistemin del qe pika ku priten keto drejtza qe bartin lartesit e trekendeshit eshte Q(4,2)

Sh.2.6.Gjeni këndet që formojnë mes vete brinjët :

AB:

BC:

CA :

ku k-ja paraqet koeficientin kendor k=tg

Këndin mes brinjës AB dhe CA është këndi α:

dhe kendi I jashtem

Këndin mes brinjës AB dhe BC është këndi β:

ndersa keni I jashtem

Këndin mes brinjës AB dhe BC është këndi :

dhe kendi I jashtem

Sh.2.7.Të gjenden simetralet e këndeve që formojne brinjët e trekëndëshit :

a) AB: x+2y-8=0 dhe BC: x+y+1=0

b) BC: x+y+1=0 dhe AC: 2x-y-6=0

c) AB: x+2y-8=0 dhe AC: 2x-y-6=0

Formulat per te gjetur simetralen e kendit eshte :

a)

b)

c)

Shembuj

Sh2.1.Të gjendet syprina e trekëndshit nësë janë të dhëna kulmet e trekendëshit:

A(4,2) ,B(-2,5) dhe C(1,-4)

Zhvillim

Sh2.2.Te gjinden ekuacionet e brinjëve të të njejtit trekëndësh:

Gjejme ekuacionin e drejtzes qe permban brinjen AB :

A(4,6) , B(-1,5)

AB:

Gjejme ekuacionin e drejtzes qe permban brinjen BC :

B(-1,5) , C(2,3)

BC:

Dhe ekuacionin e drejtzes qe permban brinjën CA:

C(2,3) , A(4,6)

CA :

Sh2.3.Te gjendet gjatesia e brinjëve te trekëndëshit :

Zhvillim

Pët të gjetur gjatesin e brinjeve perdorim formulat per percaktimin e distancave mes dy pikave ne kete rast

mes pikave te kulmeve:

A(4,6) , B(-1,5)

Brinja mes kulmeve B(-1,5) , C(2,3)

Dhe brinja mes kulmeve C(2,3) , A(4,6)

Sh2.4.Të gjenden medianat dhe ekuacionet e tyre

Mediana e cila bashkon piken e mesit te brinjes AC dhe kulmin B

Pika e mesit te brinjes AC eshte

Ekuacioni I medianës eshte B : x+8y-39=0

Mediana e cila bashkon piken e mesit te brinjes AB dhe kalon kulmin C

Pika e mesit te brinjes eshte

Ekuacioni I brinjes

Mediana e cila bashkon piken e mesit te brinjes BC dhe kulmin A

Pika e mesit te brinjes BC eshte

Ekuacioni I drejtzes qe bart medianen eshte :

Sh.2.5.Të gjinden lartësitë dhe ekuacionet e drejtzave që bartin këto lartësi :

Lartësia gjendet duke gjetur drejtzen e cila eshte normale ne drejtzen BC dhe permban

kulmin A(4,6)

Lartësia : gjendet duke gjetur drejtzen e cila eshte normale ne drejtzen AC dhe permban

kulmin B(-1,5)

Lartësia : gjendet duke gjetur drejtzen e cila eshte normale ne drejtzen AB dhe permban

kulmin C(2,3)

Sh.2.6.Gjeni këndet që formojnë mes vete brinjët :

Këndin mes brinjës AB dhe CA është këndi α:

dhe kendi I jashtem

Këndin mes brinjës AB dhe BC është këndi β:

ndersa keni I jashtem

Këndin mes brinjës AB dhe BC është këndi :

dhe kendi I jashtem

Sh.2.7.Të gjenden simetralet e këndeve që formojne brinjët e trekëndeshit:

AB: dhe BC:

BC: dhe CA :

CA : dhe AB:

Formulat per te gjetur simetralen e kendit eshte :