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Python과 함께배우는 신호해석
박섭형
복소수가필요한 이유
복수소의표현 방법
두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
Python과 함께 배우는 신호 해석
제 4 강. 복소수 기본 개념과 표현
(제 2 장. 복소수 기초)
박섭형
한림대학교 전자공학과
한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 4 강. 복소수 기본 개념과 표현 1
Python과 함께배우는 신호해석
박섭형
복소수가필요한 이유
복수소의표현 방법
두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
배울 내용
복소수의 기본 개념
복소수의 표현
오일러 (Euler) 공식
복소수의 대수 연산
1의 N 승근
Python에서 복소수 다루기
한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 4 강. 복소수 기본 개념과 표현 2
Python과 함께배우는 신호해석
박섭형
복소수가필요한 이유
복수소의표현 방법
두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
복소수가 필요한 이유
2차 방정식 ax2 + bx + c = 0(a ̸= 0)의 해는 다음과 같이 구한다.
x =−b ±
√b2 − 4ac2a . (2.1)
여기에서 판별식의 부호에 따라서 다음과 같은 세 경우로 나누어 생각할 수있다.
i) b2 − 4ac > 0일 때, 이 방정식은 서로 다른 두 개의 두 실근을 갖는다.ii) b2 − 4ac = 0일 때, 이 방정식은 하나의 실근을 갖는다.
iii) b2 − 4ac < 0일 때, 이 방정식의 실근은 존재하지 않는다. 만약에√−1이라는
숫자가 존재한다고 가정하면 x는 다음과 같이 표현할 수 있다.
x = −b2a
±√−1
√−(b2 − 4ac)
2a. (2.2)
한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 4 강. 복소수 기본 개념과 표현 3
Python과 함께배우는 신호해석
박섭형
복소수가필요한 이유
복수소의표현 방법
두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
허수의 기본 단위
정의 2.1 (허수의 기본 단위)
허수의 기본 단위인√−1을 j라고 정의한다.
일반적으로√−1을 i 또는 j라는 기호로 표현하는데, 공학에서는 j를 많이
사용한다. 허수 단위 j를 도입하면, 식 (2.2)의 2차 방정식의 근은 다음과 같이표현할 수 있다.
x = − b2a ± j
√−(b2 − 4ac)
2a . (2.3)
예제 2.1√−9를 j를 이용하여 표현하라.
√−9 =
√−1 · 9 =
√−1
√9 = j3 (2.4)
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복수소의표현 방법
두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
2차 방정식의 허근
예제 2.2z2 + 3z + 7 = 0의 근을 구하라.
근의 공식을 이용하면 근을 다음과 같이 구할 수 있다.
z =−3±
√32 − 4 · 72
=−3±
√−19
2= −3
2±
√−1
√19
2= −2± j
√19
2
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복수소의표현 방법
두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
복소수의 정의
정의 2.2 (복소수)a와 b를 실수라고 할 때, a + jb 형태의 수를 복소수라고 부른다.
복소수를 나타낼 때 사용하는 기호로 z가 주로 사용된다. z = a + jb라고 하면 a를 복소수 z의 실수부, b를 복소수 z의 허수부라고 부르며, a와 b를 각각 다음과같이 표현한다.
a = ℜe(z), (2.5)
b = ℑm(z). (2.6)
예제 2.3z = −2 + j3일 때, ℜe(z)와 ℑm(z)를 구하라.
ℜe(−2 + j3) = −2, (2.7)
ℑm(−2 + j3) = 3. (2.8)한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 4 강. 복소수 기본 개념과 표현 6
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복수소의표현 방법
두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
복소수의 정의
정의 2.3 (켤레 복소수)복소수 z = a + jb의 켤레 복소수를 z∗라고 표시하며, z∗ = a − jb이다.
정의 2.4 (복소수의 절대값)
복소수 z = a + jb의 절대값은 |z| =√
zz∗ =√
a2 + b2으로 정의한다.
주: zz∗ = (a + jb)(a − jb) = a2 − jab + jab − (jb)2 = a2 + b2.
예제 2.4z = −2 + j3일 때, |z|를 구하라.
|z| = | − 2 + j3| =√
(−2)2 + (3)2 =√4 + 9 =
√13. (2.9)
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두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
복수소의 직각 좌표형 표현
복수소 z를 직각 좌표형으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
z = (x, y)
= x + jy (2.10)
= ℜe(z) + jℑm(z)
이 표현 방법을 사용하면 복소수를 2차원 평면의 한 점으로 표현할 수 있다.
0ℜe{z}
ℑm{z}
x
y
r
z = x+ jy
θ
그림 2.1: 직각 좌표형의 점 x + jy와 극 좌표형의 r∠θ와의 관계를 설명하는 그림.
그림 2.1에서 가로 축은 실수 축이고, 세로 축은 허수 축이다.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 4 강. 복소수 기본 개념과 표현 8
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두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
복수소의 극 좌표형 표현
복수소 z를 극 좌표형으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
z = r∠θ. (2.11)
r원점에서 복소수까지의 거리r ≥ 0
θ
실수축의 양의 방향축과 이루는 각각의 크기를 나타내는 단위에는 도(degree, ◦)와 라디안(radian)의 두 가지가있다.θ는 −180◦ < θ ≤ 180◦ (라디안으로는 −π < θ ≤ π)의 범위에서 표현할 수있다. 이 범위의 각을 기본값(principal value)라고 부른다.예를 들어서, 2∠200◦에서 각도를 기본값으로 바꾸면2∠(200◦ − 360◦) = 2∠− 160◦이며, 3∠ 9π
4에서 각도를 기본값으로 바꾸면
3∠π4이다.
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두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
극 좌표형 표현에서 직각 좌표형 표현으로 변환
그림 2.1에서 cos θ =xr , sin θ =
yr 이므로 다음과 같은 관계가 성립한다.
x = r cos θ, (2.12)
y = r sin θ. (2.13)
따라서,z = x + jy = r cos θ + jr sin θ. (2.14)
예제 2.5극 좌표형으로 표현된 다음 복소수를 직각 좌표형 표현으로 바꾸어라.
4∠30◦.
z = 4 cos(30◦) + j sin(30◦) = 4 ·√
32
+ j4 · 12= 2
√3 + j2.
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두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
직각 좌표형 표현에서 극 좌표형 표현으로 변환
그림 2.1에서r =
√x2 + y2, (2.15)
이고, tan θ =yx이므로
θ = arctan(y
x
)= tan−1
(yx
)(2.16)
이다.이 때, tan 함수는 주기가 2π가 아닌 π인 주기 함수이고, arctan 함수의 치역은(−π
2, π2)이므로, arctan 함수를 이용하면 1 사분면과 4 사분면에 존재하는 θ의
값만 구할 수 있다. 따라서 복소수가 2 사분면 또는 3 사분면에 존재하는경우에는 다음과 같은 식을 사용해야 한다.
θ =
arctan
(yx
)if x ≥ 0
arctan(y
x
)± 180◦ if x < 0
(2.17)
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두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
직각 좌표형 표현에서 극 좌표형 표현으로 변환
0ℜe{z}
ℑm{z}
−√3
1
r
r
z = −√3 + j
√3− j
θ = arctan
(
− 1√3
)
+ 180◦
arctan
(
− 1√3
)
√3
−1
0ℜe{z}
ℑm{z}
−√3
−1
r
r
z = −√3− j
√3 + j
θ = arctan
(
1√3
)
− 180◦
arctan
(
1√3
)
√3
1
(a) 복소수가 2사분면에 있는 경우. (b) 복소수가 3사분면에 있는 경우.
그림 2.2: 복소수가 2사분면과 3사분면에 있는 경우에 θ를 구하는 방법을 설명하는 그림.
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복수소의표현 방법
두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
직각 좌표형 표현에서 극 좌표형 표현으로 변환
예제 2.6직각 좌표형으로 표현된 다음 복소수를 극 좌표형 표현으로 바꾸어라.
(1) 1 + j
(2) −1 + j
(3) −1− j
(4) 1− j
(1) r =√12 + 12 =
√2, θ = tan−1 1
1= π
4
(2) r =√
(−1)2 + 12 =√2, 이 복소수는 2 사분면에 있으므로,
θ = tan−1 1−1
+ π = −π4+ π = 3π
4.
(3) r =√
(−1)2 + (−1)2 =√2, 이 복소수는 3 사분면에 있으므로,
θ = tan−1 −1−1
+ π = π4+ π = 5π
4.
(4) r =√
12 + (−1)2 =√2, 이 복소수는 4 사분면에 있으므로,
θ = tan−1 1−1
= −π4.
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복수소의표현 방법
두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
오일러 공식
앞에서 사용했던 r∠θ라는 표현 대신에 rejθ라는 표현을 도입하면, 다음과같이 표현되는 오일러의 공식을 사용하여 두 좌표계 표현 방법을 서로 다른표현 방법으로 변환할 수 있다.
오일러 공식
ejθ = cos θ + j sin θ. (2.18)
이 식을 오일러 공식이라고 하는데, 이 공식으로부터 2 차원 복소 공간의 한점 ejθ은 반지름이 1이고, 양의 방향의 실수축과 이루는 각도가 θ인 복소수(또는 벡터)라는 것을 알 수 있다.
테일러 급수(Taylor Series)를 이용하여 오일러 공식을 유도할 수 있다.
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두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
테일러 급수
f(x)가 다음과 같이 거듭제곱 급수 (power series)로 표현될 수 있다고 가정하자.
f(x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + c3(x − a)3 + · · · , |x − a| < R.
여기에서 R은 거듭제곱 급수의 수렴구간이다.그러면, cn은 다음과 같이 구할 수 있다.
f(a) = c0f′(a) = c1f′′(a) = 2!c2
...
f(n)(a) = n!cn
여기에서 f(n)(x)는 f(x)를 n번 미분한 것을 나타낸다. (주: 0! = 1).
f(x) = f(a)0!
+f′(a)1!
(x−a)+ f′′(a)2!
(x−a)2 + f′′(a)3!
(x−a)3 + · · · , |x−a| < R.
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두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
테일러 급수
테일러 급수는 함수를 한 값에서의 미분값들로부터 계산한 값들의 합으로근사화하는 것을 말한다. 특히, 개구간 (a − r, a + r)에서 정의되는 무한번 미분가능한 함수 f(x)는 다음과 같이 표현된다.
f(x) =∞∑
n=0
f(n)(a)n! (x − a)n, (2.19)
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두 좌표형표현 사이의변환
오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
ex의 테일러 급수
f(x) = ex인 경우에는 f(1)(x) = ex, · · · , f(n)(x) = ex, · · · 이므로
ex =
∞∑n=0
ea
n! (x − a)n. (2.20)
이 식에 a = 0을 대입하면 다음 식을 얻는다.
ex =
∞∑n=0
xn
n! . (2.21)
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오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
cos(x)와 sin(x)의 테일러 급수
f(x) = cos(x)인 경우에는f(1)(x) = − sin(x), f(2) = − cos(x), f(3) = sin(x), f(4) = cos(x), · · · 이므로cos(x)를 다음과 같이 쓸 수 있다.
cos(x) = cos(a)0!
(x − a)0 + − sin(a)1!
(x − a)1 + − cos(a)2!
(x − a)2
+sin(a)3!
(x − a)3 + · · ·.
(2.22)
cos(0) = 1, sin(0) = 0이므로, 위 식에 a = 0을 대입하면 다음 식을 얻을 수있다.
cos(x) = 1− x22!
+x44!
− · · ·. (2.23)
f(x) = sin(x)인 경우에는 유사한 방법을 통해서 다음 식을 얻을 수 있다.
sin(x) = x − x33!
+x55!
+ · · ·. (2.24)
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오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
오일러 공식
오일러 공식을 테일러 급수를 이용하여 증명하면 다음과 같다.
ejx =
∞∑n=0
(jx)n
n!
= 1 + jx +(jx)22!
+(jx)33!
+ · · ·
= 1 + jx − x22!
− j x33!
+x44!
+ · · ·
=
(1− x2
2!+
x44!
+ · · ·)+
(jx − j x3
3!+ j x5
5!+ · · ·
)(2.25)
=
(1− x2
2!+
x44!
+ · · ·)+ j
(x − x3
3!+
x55!
+ · · ·)
= cos(x) + j sin(x).
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오일러 공식
예제 2.7오일러 공식을 이용하여 다음 식을 직각좌표계 형식으로 변환하라.
(1) 2ej π4
(2) 3e−j π3
(1) 2ej π4 = 2
(cos
(π4
)+ j sin
(π4
))= 2
(√2
2+ j
√2
2
)√2 + j
√2
(2) 3e−j π3 = 3
(cos
(−π
3
)+ j sin
(−π
3
))= 3
(12− j
√3
2
)= 3
2− j 3
√3
2
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역 오일러 공식
식 (2.18)에서 θ 대신에 −θ를 대입하고 cos(−θ) = cos θ, sin(−θ) = − sin θ
관계식을 이용하면 다음 식을 얻는다.
e−jθ = cos(−θ) + j sin(−θ) = cos θ − j sin θ. (2.26)
식 (2.18)과 식 (2.26)으로 부터 다음 식을 얻을 수 있다.
ejθ + e−jθ = 2 cos θ, (2.27)
ejθ − e−jθ = 2j sin θ. (2.28)
역 오일러 공식
cos θ =ejθ + e−jθ
2, (2.29)
sin θ =ejθ − e−jθ
2j . (2.30)
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오일러 공식(Euler’sFormula)과 역 오일러공식
역 오일러 공식
ℜe{z}
ℑm{z}
0
z1 = ejθ
z2 = e−jθ
z1 + z2cosθθ
−θ ℜe{z}
ℑm{z}
0
z1 = ejθ
z2 = e−jθz2 = e−jθ
z1 − z2
−z2 = −e−jθ j sin θ
θ
−θ
(a) cos θ =ejθ + e−jθ
2(b) sin θ =
ejθ − e−jθ
2j
그림 2.3: 역 오일러 공식을 설명하는 설명.
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