Python과 함께 배우는 신호 해석 - 제 7 강. 주요 신호와 주파수 (제 3 …contents.kocw.net/KOCW/document/2014/Hallym/parkseophyeng/07.pdf · Python 과함께 배우는신호

Python과 함께배우는 신호해석

박섭형

주요 신호

신호의주파수

Python을이용한정현파의샘플링과그래프그리기

Python과 함께 배우는 신호 해석

제 7 강. 주요 신호와 주파수

(제 3 장. 신호의 기초)

박섭형

한림대학교 전자공학과

한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 7 강. 주요 신호와 주파수 1


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주요 신호

신호의주파수


배울 내용

신호의 분류

신호의 상관 함수상호 상관 함수자기 상관 함수

주요 신호단위 임펄스 신호단위 계단 신호

신호의 주파수

정현파 신호의 샘플링과 그래프 그리기



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단위 계단 신호

연속시간단위계단함수: 헤비사이드계단함수(Heaviside step function)

정의 3.1 (연속시간 단위 계단 함수)

u(t) =

1, for t ≥ 0

0, for t < 0(3.34)

1

2

−2 0 2 4 6 t

u(t)

그림 3.1: 연속시간 단위 계단 함수 u(t)의 그래프.



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단위 계단 신호

이산시간 단위 계단 함수

정의 3.2 (이산시간 단위 계단 함수)이산시간 단위 계단 함수는 다음과 같이 정의된다.

u[n] =

1, n ≥ 0

0, n < 0(3.35)

이산시간 단위 계단 함수의 정의역은 정수의 집합이지만, 이산시간 단위계단 함수의 그래프를 그리거나 시스템의 단위 계단 응답을 구하기 위해서시뮬레이션을 할 때 특정한 구간에서만 이 신호를 사용할 수도 있다. 이런용도로 구간 [n1,n2]에서 u[n − n0] 함수의 정의역과 신호를 동시에반환하는 Python 함수를 stepseq(n0, n1, n2)로 정의하여 사용한다.



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신호의주파수


단위 계단 함수의 줄기 그래프를 그리는 Python 스크립트 1

def stepseq(n0, n1, n2):if (n0 > n2) or (n0 < n1) or (n1 > n2):

print("Error: arguments must satisfy n1 <= n0 <= n2")return None

n = np.arange(n1,n2+1)x = (n >= n0) * 1.0return n, x

n, x = stepseq(0, -3, 5)if n != None:

plt.stem (n, x)plt.axis([-3, 5, -0.2, 1.2])plt.show()



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주요 신호

신호의주파수


단위 계단 함수의 줄기 그래프를 그리는 Python 스크립트 2

def stepseq(n0, n1, n2):assert (n0 <= n2) and (n0 >= n1) and (n1 <= n2)n = np.arange(n1,n2+1)x = (n >= n0) * 1.0return n, x

n, x = stepseq(0, -3, 5)plt.stem (n, x)plt.axis([-3, 5, -0.2, 1.2])plt.show()



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신호의주파수


단위계단함수의줄기그래프를그리는 Python 스크립트실행결과

3 2 1 0 1 2 3 4 50.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

그림 3.2: Python으로 그린 이산시간 단위 계단 함수의 그래프.

>>> n = np.arange(-3,5)>>> narray([-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4])>>> n>=0array([False, False, False, True, True, True,True, True], dtype=bool)



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단위 임펄스 신호

이산시간 단위 임펄스

정의 3.3이산시간 단위 임펄스 함수 이산시간 단위 임펄스 함수는 다음과 같이 정수의집합 Z에서 정의되는 크로네커 델타(Kronecker delta) 함수로 표현된다.

δ[n] =

1, n = 0

0, n ̸= 0(3.36)

이산시간 단위 계단 함수와 마찬가지로 이산시간 단위 임펄스의 정의역도정수의 집합이지만, 특정한 구간에서만 이 신호를 사용할 수도 있다. 이런용도로 구간 [n1,n2]에서 δ[n − n0] 함수의 정의역과 신호를 동시에반환하는 Python 함수를 impseq(n0, n1, n2)로 정의하여 사용한다.



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이산시간 단위 임펄스 함수의 줄기 그래프를 그리는 Python스크립트 1

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef impseq(n0, n1, n2):

if (n0 > n2) or (n0 < n1) or (n1 > n2):print("Error: arguments must satisfy n1 <= n0 <= n2")return None

n = np.arange(n1,n2+1)x = (n == n0) * 1.0return n, x

n, x = impseq(0, -3, 5)if n != None:

plt.stem (n, x)plt.axis([-3, 5, -0.2, 1.2])plt.show()



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신호의주파수


이산시간 단위 임펄스 함수의 줄기 그래프를 그리는 Python스크립트 2

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef impseq(n0, n1, n2):

assert (n0 <= n2) and (n0 >= n1) and (n1 <= n2)n = np.arange(n1,n2+1)x = (n == n0) * 1.0return n, x

n, x = impseq(0, -3, 5)plt.stem (n, x)plt.axis([-3, 5, -0.2, 1.2])plt.show()



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이산시간 단위 임펄스 함수의 줄기 그래프를 그리는 Python스크립트

3 2 1 0 1 2 3 4 50.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

그림 3.3: Python으로 그린 이산시간 단위 임펄스 함수의 그래프.

>>> n = np.arange(-3,5)>>> narray([-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4])>>> n==0array([False, False, False, True, False, False,False, False], dtype=bool)



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signals 모듈 만들기

다음 스크립트를 현재 디렉토리에 signals.py라는 이름으로 저장하자.

import numpy as npdef stepseq(n0, n1, n2):

assert (n0 <= n2) and (n0 >= n1) and (n1 <= n2)n = np.arange(n1,n2+1)x = (n >= n0) * 1.0return n, x

def impseq(n0, n1, n2):assert (n0 <= n2) and (n0 >= n1) and (n1 <= n2)n = np.arange(n1,n2+1)x = (n == n0) * 1.0return n, x



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이산시간 단위 임펄스 신호를 이용한 신호의 표현

이산시간 단위 계단 함수와 이산시간 단위 임펄스 함수의 관계

δ[n] = u[n]− u[n − 1]. (3.37)

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef unitstep(n,k):

return (n>=k)n=np.arange(-3,4)plt.subplot(1,3,1); plt.stem (n, unitstep(n,0))plt.axis([-3, 3, -1, 2])plt.subplot(1,3,2); plt.stem (n, unitstep(n,1))plt.axis([-3, 3, -1, 2])plt.subplot(1,3,3);plt.stem (n, unitstep(n,0)-unitstep(n,1));plt.axis([-3, 3, -1, 2])plt.show()



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import signalsimport matplotlib.pyplot as pltn, u0 = signals.stepseq(0, -3, 3)n, u1 = signals.stepseq(1, -3, 3)plt.subplot(1,3,1); plt.stem (n, u0)plt.subplot(1,3,2); plt.stem (n, u1)plt.subplot(1,3,3);d = u0 - u1plt.stem (n, d);plt.show()



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다음 그래프는 이 스크립트의 실행 결과이다.

3 2 1 0 1 2 31.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

3 2 1 0 1 2 31.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

3 2 1 0 1 2 31.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

(a) u[n] (b) u[n − 1] (c) u[n]− u[n − 1]

그림 3.4: δ[n] = u[n]− u[n − 1]을 설명하는 그림.



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식 (3.4)를 이용하면 다음 식을 얻을 수 있다.

u[n] = u[n]− n[n − 1] + n[n − 1]− n(n − 2) + n(n − 2) + · · ·

= δ[n] + δ[n − 1] + δ[n − 2] + · · · (3.38)

=

∞∑k=0

δ[n − k].

다음 그림은 u[n] = δ[n] + δ[n − 1] + δ[n − 2] + δ[n − 3] + · · · 를 설명하는그림이다.

3 2 10 1 2 3 40.5

0.0

0.5

1.0

1.5

3 2 10 1 2 3 40.5

0.0

0.5

1.0

1.5

3 2 10 1 2 3 40.5

0.0

0.5

1.0

1.5

3 2 10 1 2 3 40.5

0.0

0.5

1.0

1.5

3 2 10 1 2 3 40.5

0.0

0.5

1.0

1.5

u[n] δ[n] δ[n − 1] δ[n − 2] δ[n − 3]

그림 3.5: u[n] = δ[n] + δ[n − 1] + δ[n − 2] + δ[n − 3] + · · · 를 설명하는 그림.



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이산시간 단위 임펄스 신호를 이용한 일반적인 신호의 표현

단위 임펄스 신호는 일반적인 신호를 표현하는 기본 단위로 사용할 수 있다.이산시간 단위 임펄스 신호를 이용하여 일반 신호를 표현할 수 있다.먼저 다음 관계식을 생각해 보자.

x[n]δ[n − k] = x[k]δ[n − k]. (3.39)

이 식을 이용하면 임의의 이산시간 신호 x[n]을 다음과 같이 표현할 수 있다.

x[n] = · · ·+ x[−2]δ[n + 2] + x[−1]δ[n + 1] + x[0]δ[n] + x[1]δ[n − 1] + · · ·

=

∞∑k=−∞

x[k]δ[n − k]. (3.40)



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연속시간 단위 임펄스 함수

연속시간 단위 임펄스 신호는 다음과 같은 디락 델타 함수(Dirac deltafunction)로 정의한다.

정의 3.4 (디락 델타 함수(Dirac delta function))

δ(t) =

+∞, t = 0

0, t ̸= 0, (3.41)

∫ ∞

−∞δ(t)dt = 1. (3.42)



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다음과 같은 방법으로 디락 델타 함수를 정의하기도 한다.먼저, 다음과 같은 펄스 함수를 정의하자.

정의 3.5 (펄스 함수)

δε(t) =

1

ε, − ε

2≤ t ≤ ε

20, otherwise

, (3.43)

여기에서 ε은 아주 작은 양의 수이다.



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다음 그림은 ε의 값에 따라서 펄스 함수가 변하는 모습을 그림으로 표현한것이다.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1 0 1

ε = 1

t 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1 0 1

ε = 0.5

t 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1 0 1

ε = 0.25

t 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1 0 1

ε = 0.1

t

(a) ε = 1.0 (b) ε = 0.5 (c) ε = 0.25 (d) ε = 0.1

그림 3.6: ε의 값에 따라서 펄스 함수 δε(t)가 변하는 모습.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 7 강. 주요 신호와 주파수 20


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이 함수는 가로 폭이 ε이고 높이가 1ε인 펄스이다. ε이 작아질수록 가로 폭은

줄어들고 높이는 커지지만, 직사각형 형태의 펄스의 넓이는 항상 1을 유지한다.즉, 다음 식이 성립한다. ∫ ∞

−∞δε(t)dt = 1. (3.44)

이 함수를 사용하여 디락 델타 함수, 즉 연속시간 단위 임펄스 신호를 다음과같이 정의한다.

정의 3.6 (펄스 함수를 이용한 디락 델타 함수 정의)

δ(t) = limε→0

δε(t), (3.45)

δε(t) =

1

ε, − ε

2≤ t ≤ ε

20, otherwise

. (3.46)



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디락 델타 함수의 그래프는 그림 3.7과 같이 화살표를 같은 수직선으로표현하는데 화살표 옆에 있는 (1)은 이 임펄스 신호의 크기 (또는 면적)이 1인것을 나타내는 것이다.

t

(1)

0

δ(t)

그림 3.7: 연속시간 단위 임펄스 δ(t)의 그래프.



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연속시간 단위 임펄스 신호를 이용한 신호의 표현

식 (3.13)에 정의된 펄스 함수에 f(t)를 곱하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

f(t)δε(t) =

f(t)ε

, − ε

2≤ t ≤ ε

20, otherwise

. (3.47)

이 식을 이용하여 f(t)δ(t)를 다음과 같이 구할 수 있다.

f(t)δ(t) = f(t) limε→0

δε(t)

= limε→0

f(t)δε(t)

= limε→0

f(0)δε(t)

= f(0)δ(t).

(3.48)



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그리고 f(t)δ(t − t0)는 다음과 같이 구할 수 있다.

f(t)δ(t − t0) = f(t) limε→0

δε(t − t0)

= limε→0

f(t)δε(t − t0)

= limε→0

f(t0)δε(t − t0)

= f(t0)δ(t − t0).

(3.49)

식 (3.16)의 양변을 적분하면 다음 식을 얻을 수 있다.∫ ∞

−∞f(t)δ(t − t0)dt =

∫ ∞

−∞f(t0)δ(t − t0)dt

= f(t0)∫ ∞

−∞δ(t − t0)dt

= f(t0).

(3.50)

이 식을 임펄스의 체질 (sifting) 성질 또는 샘플링 성질이라고 한다.한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 7 강. 주요 신호와 주파수 24


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이 식에서 t에 τ를 대입하고, t0에 t를 대입하면, 임의의 이산시간 신호 x(t)를다음과 같이 표현할 수 있다.

f(t) =∫ ∞

−∞f(τ)δ(τ − t)dτ. (3.51)

이 식은 임의의 연속시간 신호 x(t)를 임펄스 신호의 가중 합으로 나타낸 것이며,이산시간 신호에서는 앞에서 배운대로 식 (3.7)과 같이 임의의 신호 x[n]을이산시간 임펄스 신호의 가중 합으로 나타낼 수 있다. 이 두 식을 비교하면서식이 내포하고 있는 물리적인 의미를 잘 생각해 보자.



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연속시간 신호의 주파수

t

x̃(t) = A sin(2πt/T0)

A

T0

2T0

3T0

2−

T0

2−T0

0

T0

그림 3.8: 연속시간 주기 신호의 예: x̃(t) = A sin(2πt/T0).

이 신호의 기본 주기는 T0이고, 기본 주파수는 f0 = 1T0이다. T0의 단위는 초

(sec)이며, f0의 단위는 /sec, 즉 Hz이다.



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연속시간 신호의 주파수

주기가 T0인 복소지수 신호는 다음과 같다.

x̃(t) = ej 2πT0

t= ej2πf0t = eω0t, (3.52)

여기에서 ω0 = 2πf0로 정의되는 ω0는 각주파수 (angular frequency)라고부른다. 이를 이용하면 정현파 신호를 다음과 같이 표현할 수 있다.

x̃(t) = A sin(2πt/T0) = A sin(2πf0t) = A sin(ω0t), (3.53)



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이산시간 신호의 주파수

연속시간 신호 x(t)를 샘플링 주기 Ts로 샘플링해서 얻은 신호 x[n]

x[n] = x(nTs) = x(n/fs), (3.54)

여기에서 fs =1

Ts는 샘플링 주파수이다.

식 (3.20)으로 표현되는 연속시간 정현파 신호를 샘플링 주파수 Ts로샘플링한 이산시간 신호

x̃[n] = A sin(2πnTs/T0) = A sin(2πnf0/fs) = A sin(2πnf̂0) = A sin(ω̂0),

(3.55)여기에서 f̂0 = f0

fs를 이산시간 신호의 주파수라고 한다. 연속시간 주파수의

단위는 Hz이지만, 이산시간 주파수는 연속시간 주파수와 샘플링 주파수의비율이므로 이산시간 주파수에는 단위가 없다

식 (3.19)로 표현되는 연속시간 복소지수 신호를 샘플링 주파수 Ts로샘플링한 이산시간 복소지수 신호

x̃[n] = ej 2πT0

nTs = ej2π f0fs

n= ej2πf̂0n = ejω̂0n. (3.56)



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Python을 이용한 정현파의 샘플링과 그래프 그리기

x(t) = 20 cos(2π(40)t − 0.4π). (3.57)

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltTs=0.005; tn = np.arange(0, 0.06+Ts, Ts)xn = 20.*np.cos(2*np.pi*40 * tn - 0.4 * np.pi)plt.subplot(221); plt.plot(tn, xn)plt.subplot(223); plt.stem(tn, xn, 'r')plt.title("Sampled sign signal (Ts = 0.0005)")Ts=0.001; tn = np.arange(0, 0.06+Ts, Ts)xn = 20.*np.cos(2*np.pi*40 * tn - 0.4 * np.pi)plt.subplot(222); plt.plot(tn, xn)plt.subplot(224); plt.stem(tn, xn, 'r')plt.title("Sampled sign signal (Ts = 0.001)")plt.tight_layout(); plt.show()



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Python을 이용한 정현파의 샘플링과 그래프 그리기

그림 3.9: 샘플링을 이용해서 그린 정현파의 그래프.

이 그림에서 연속시간 신호를 그릴 때 샘플의 수가 많은 경우가 우리가 원하는연속시간 신호에 가까운 것을 볼 수 있다. 따라서 그래프를 그릴 때는 샘플 수를충분히 많게 설정할 필요가 있다.



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Python을 이용한 정현파의 샘플링과 그리기

연습 문제 3.1다음 신호의 그래프를 그리는 Python 스크립트를 작성하시오. 단, t의 구간은[−0.25, 0.25]이고, 샘플링 간격은 0.005, 0.0025, 0.001초 세 가지 경우의그래프를 그리시오.

x(t) = 20 cos(2π(40)t − 0.4π) + 10 cos(2π(15)t − 0.25π).


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