Python과 함께 배우는 신호 해석 - 제 17 강. 주요 연속시간 신호의 …contents.kocw.net/KOCW/document/2014/Hallym/parkseophyeng/17.pdf · 푸리에변환 Python과함께배우는신호해석

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배우는 신호해석

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연속시간푸리에급수에서연속시간푸리에변환으로

연속시간푸리에변환의존재와 수렴

연속시간푸리에변환의 성질

주요 신호의연속시간푸리에 변환

Python과 함께 배우는 신호 해석

제 17 강. 주요 연속시간 신호의 푸리에 변환

(제 7 장. 연속시간 비주기 신호의 주파수 해석: 연속시간 푸리에 변환)

박섭형

한림대학교 전자공학과

한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 17 강. 주요 이산시간 신호의 푸리에 변환 1

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배울 내용

연속시간 푸리에 급수와 연속시간 푸리에 변환

연속시간 푸리에 변환의 존재 조건

연속시간 푸리에 변환의 성질

주요 연속시간 신호의 푸리에 변환


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연속시간 비주기 신호의 푸리에 변환과 역변환

푸리에 급수 분석과 합성 식에서 초기의 T0 값을 T라 두고, T0 →∞로하면 x̃(t)는 주기함수에서 비주기 함수로 변한다.이렇게 얻는 비주기 함수를 x(t)라고 하면, 둘 사이의 관계를 다음과 같이표현할 수 있다.

x(t) = limT0→∞

x̃(t) ={

x̃(t), −T2≤ t ≤ T

2

0, otherwise. (7.1)

여기에서 f0 = 1T0

이라고 하면, limT0→∞

f0 = df가 되고, limT0→∞

f0k는

연속변수 f가 된다.

limT0→∞

T0ck = limT0→∞

∫ T02

− T02

x̃(t)e−j 2πT0

ktdt

= limT0→∞

∫ T02

− T02

x̃(t)e−j2πf0ktdt (7.2)

=

∫ ∞

−∞x(t)e−j2πftdt.


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이제 X(f)를 다음과 같이 정의하자.

X(f) = limT0→∞

T0ck =

∫ ∞

−∞x(t)e−j2πftdt. (7.3)

그러면, 합성식의 x̃(t)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

x̃(t) =∞∑

k=−∞

ckej 2πT0

kt

=

∞∑k=−∞

T0ckej 2πT0

kt 1

T0(7.4)

=

∞∑k=−∞

(T0ck)ej2πf0ktf0.


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이 식으로부터 x(t)를 다음과 같이 구할 수 있다.

x(t) = limT0→∞

x̃(t)

= limT0→∞

∞∑k=−∞

(T0ck)ej2πf0ktf0

=

∫ ∞

−∞X(f)ej2πftdf.

여기에서 ω = 2πf라 하면, dω = 2πdf가 되어 df = dω2π

로 쓸 수 있다.그리고 식 (7.3)에서 정의한 X(f) 대신에 X(ω)라는 표기를 사용하면 x(t)를다음과 같이 쓸 수 있다.

x(t) = 1

2π

∫ ∞

−∞X(ω)ejωtdω, (7.5)


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여기에서 X(jω)는 다음과 같다.

X(ω) =

∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt. (7.6)

이 두 식을 각각 연속시간 푸리에 역변환과 푸리에 변환이라고 한다. 또한X(ω) 대신에 X(jω)를 사용하는 것이 일반적이다.

정의 7.1 (연속시간 비주기 신호의 푸리에 변환과 역변환)연속시간 비주기 신호 x(t)의 푸리에 변환

X(jω) =∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt. (7.7)

역 푸리에 변환

x(t) = 1

2π

∫ ∞

−∞X(jω)ejωtdω. (7.8)


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푸리에 변환의 존재 조건

x(t) = e−5tu(t)의 푸리에 변환을 구해보자.

X(jω) =

∫ ∞

−∞e−5tu(t)e−jωtdt =

∫ ∞

0

e−(5+jω)tdt

=e−(5+jω)t

−(5 + jω)

∣∣∣∣∞0

=1

5 + jω

즉, 다음 변환쌍을 얻는다.

e−5tu(t) F←→ 1

5 + jω

그러나 역푸리에 변환에 필요한 다음 적분값을 구하는 것은 대단히 어렵기때문에 변환쌍 표로부터 구한다.

1

2π

∫ ∞

−∞

1

5 + jω ejωtdω = e−5tu(t)


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푸리에 변환의 존재 조건

다음 식을 생각해 보자.

|X(jω)| =∣∣∣∣∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt

∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞

−∞

∣∣∣x(t)e−jωt∣∣∣ dt (7.9)

=

∫ ∞

−∞|x(t)|

∣∣∣e−jωt∣∣∣ dt.

그런데 모든 t에 대해서∣∣e−jωt∣∣ = 1이므로, 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

|X(jω)| ≤∫ ∞

−∞|x(t)| dt. (7.10)

따라서 푸리에 변환이 존재하기 위한 충분 조건은 다음과 같다.∫ ∞

−∞|x(t)| dt <∞. (7.11)

이 조건을 절대 적분 가능(absolutely integrable) 조건이라고 한다. 단, 이조건은 충분 조건이지 필요 조건이 아니다.


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연속시간 푸리에 변환의 중첩 특성

X(jω) =∫ ∞

−∞(ax1(t) + bx2(t))e−jωtdt (7.12)

= a∫ ∞

−∞x1(t)e−jωtdt + b

∫ ∞

−∞x2(t)e−jωtdt (7.13)

= aX1(jω) + bX2(jω). (7.14)

즉,ax1(t) + bx2(t)⇔ aX1(ejω) + bX2(ejω). (7.15)


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연속시간 푸리에 변환의 시간 지연 특성

F{x(t− t0)} =∫ ∞

−∞x(t− t0)e−jωtdt, (7.16)

여기에서 τ = t− t0 라 두면, t = τ + t0, dt = dτ 이므로 위 식은 다음과 같이 쓸수 있다.

F{x(t− t0)} =∫ ∞

−∞x(τ)e−jω(τ+t0)dτ

=

∫ ∞

−∞x(τ)e−jωτe−jωt0dτ (7.17)

= e−jωt0X(ejω).


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콘볼루션 적분의 연속시간 푸리에 변환

v(t) = x(t) ∗ y(t)라 하면, 다음 식이 성립한다.

v(t) = x(t) ∗ y(t) =∫ ∞

−∞x(τ)y(t− τ)dτ. (7.18)

이 식의 양변에 연속시간 푸리에 변환을 취하면 다음 식을 얻는다.

V(jω) =∫ ∞

−∞x(τ)

[e−jωτY(jω)dτ

]

=

(∫ ∞

−∞x(τ)e−jωτdτ

)Y(jω) (7.19)

= X(jω)Y(jω).


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주파수 영역에서의 미분

F{tx(t)} =∫ ∞

−∞tx(t)e−jωtdt

=

∫ ∞

−∞x(t)j(−jt)e−jωtdt

= j∫ ∞

−∞x(t)

(−jte−jωt

)dt (7.20)

= j∫ ∞

−∞x(t) d

dω e−jωtdt

= j dX(ejω)

dω .


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켤레 복소수 신호의 푸리에 변환

F{x∗(t)} =∫ ∞

−∞x(t)∗e−jωt

=

(∫ ∞

−∞x(t)e−j(−ω)t

)∗

(7.21)

= X∗(−jω).


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실수 신호의 푸리에 변환의 대칭성

연속시간 신호 x(t)가 실수 신호이면, X∗(e−jω) = X(jω)을 만족한다.

X∗(−jω) =(∫ ∞

−∞x(t)e−j(−ω)tdt

)∗

=

∫ ∞

−∞x∗(t)e−jωtdt

=

∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt (7.22)

= X(jω).

이 성질을 X∗(jω) = X(−jω)로 쓸 수도 있다.


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Parseval의 정리

시간 영역의 에너지와 주파수 영역에서의 에너지는 동일하다.∫ ∞

−∞|x(t)|2dt =

∫ ∞

−∞x∗(t)x(t) dt

=

∫ ∞

−∞

(1

2π

∫ ∞

−∞X(jω)ejωtdω

)∗

x(t) dt

=1

2π

∫ ∞

−∞X∗(jω)

(∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt

)dtω (7.23)

=1

2π

∫ ∞

−∞X∗(jω)X(jω) dtω

=1

2π

∫ ∞

−∞|X(jω)|2


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연속시간 푸리에 변환의 주요 성질 요약

이름 표현

선형성 F{ax1(t)+bx2(t)} = aX1(jω)+bX2(jω)

시간 지연 F{x(t− t0)} = e−jωt0X(ejω)

주파수 지연 F{x(t)ejω0t} = X(ej(ω−ω0))

콘볼루션 F {x1(t) ∗ 2(t)} = X1(jω)X2(jω)

곱셈 F{x̃1(t)x̃2(t)} =1

2πX1(jω) ∗ X2(jω)

신호의 미분 F{

dx(t)dt

}= jωX(jω)


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연속시간 푸리에 변환의 주요 성질 요약

이름 표현

주파수 영역에서의 미분 F{tx(t)} = j dX(ejω)

dω켤레 복소수 신호 F{x∗(t)} = X∗(−jω)

시간 반전 F{x(−t)} = X(−jω)

신호의 공액 F{x̃∗(t)} = X∗(−jω)

실수 신호 X∗(jω) = X(−jω)

파스발의 정리

∫ ∞

−∞|x(t)|2dt = 1

2π

∫ ∞

−∞|X(jω)|2


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DC 신호의 푸리에 변환

x(t)의 푸리에 변환을 X(jω) = 2πδ(ω)라고 하자. 그러면 x(t)는 다음과같이 구할 수 있다.

x(t) = 1

2π

∫ ∞

−∞2πδ(ω)ejωtdω

= ej0t (7.24)

= 1.

따라서 x(t) = 1의 푸리에 변환은 X(jω) = 2πδ(ω)이다. 즉,

F{1} = 2πδ(ω). (7.25)


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단위 임펄스 신호의 푸리에 변환

x(t) = δ(t) (7.26)

X(jω) =

∫ ∞

−∞δ(t)e−jωtdt

= e−jω0

∫ ∞

−∞δ(t)dt

= e−jω0

= 1.

(7.27)

δ(t) F←→ 1 (7.28)


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단위 계단 신호의 푸리에 변환

다음과 같이 정의되는 sgn(t) 신호를 생각해 보자.

sgn(t) =

1, t ≥ 0

−1, t < 0(7.29)

그리고 다음과 같이 정의되는 양방향 지수 신호 fα(t)를 생각해 보자.

fα(t) =

e−αt, t ≥ 0

−eαt, t < 0, (7.30)

여기에서 α > 0이다.

이 함수는 아래 그림과 같이 α→ 0이 되면서 sgn(t)에 가까워진다. 즉,

limα→0

fα(t) = sgn(t). (7.31)


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10 5 0 5 10

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

10 5 0 5 10

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

10 5 0 5 10

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

10 5 0 5 10

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

(a) α = 1.0 (b) α = 0.5 (c) α = 0.1

(d) α = 0.01

그림 7.1: 양방향 지수 신호에서 α의 변화에 따른 그래프의 변화 모습.

단위계단 함수를 sgn(t)를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

u(t) = 1

2[sgn(t) + 1] =

1

2limα→0

fα(t) +1

2. (7.32)


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그런데F{e−αtu(t)} = 1

α+ jω (7.33)

이고, F{f(−t)} = F(−jω)이므로

F{eαtu(−t)} = 1

α− jω (7.34)

이다. 따라서

F{e−αtu(t)} − F{eαtu(−t)} = 1

α+ jω −1

α− jω = − 2jωα2 + ω2

(7.35)

이고,

F{sgn(t)} = F{

limα→0

fα(t)}= lim

α→0

(− 2jωα2 + ω2

)= −j 2

ω=

2

jω . (7.36)

따라서F{u(t)} = 1

2· 1

jω +1

2· 2πδ(ω) = 1

jω + πδ(ω). (7.37)한림대학교 박섭형 Python과 함께 배우는 신호 해석 제 17 강. 주요 이산시간 신호의 푸리에 변환 22

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사각 신호의 푸리에 변환

예제 7.1다음과 같이 주어지는 x(t)의 푸리에 변환을 구하라.

x(t) =

1, 0 ≤ t < T0

0, elsewhere. (7.38)

이 함수를 그림으로 나타내면 다음 그림과 같다.

t−2T0 −T0 0 T0 2T0 3T0 4T0 5T0

1

x(t)


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이 함수의 푸리에 변환은 다음과 같이 구할 수 있다.

X(jω) =∫ ∞

−∞x(t)e−jωtdt =

∫ T0

0

1 · e−jωtdt

= − 1

jω e−jωt∣∣∣T0

0=

jω

(e−jωT0 − 1

)

=jω

e−j 12ωT0

(e−j 1

2ωT0 − ej 1

2ωT0

)(7.39)

=jω

e−j 12ωT0

[−j2 sin

(1

2ωT0

)]

=sin

(12ωT0

)12ω

e−j 12ωT0

= T0

sin(12ωT0

)12ωT0

e−j 12ωT0 .


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앞 예제에서 구한 푸리에 변환의 크기 성분은 다음과 같다.

|X(jω)| =∣∣∣∣∣ sin

(12ωT0

)12ω

∣∣∣∣∣ . (7.40)

크기 성분을 그래프로 그리면 다음과 같다.

−10πT0

−6πT0

−2πT0

0 2πT0

6πT0

10πT0

ω0

T0

|X(jω

)|

그림 7.2: 연속시간 비주기 구형파 신호의 크기 스펙트럼.


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주기 신호의 푸리에 변환

어떤 신호에 주기 신호 성분과 비주기 신호 성분이 모두 존재한다면 이런신호의 주파수 성분을 어떻게 분석해야 할까?

주기 신호의 푸리에 변환을 구할 수 있으면 이 질문에 대한 답을 할 수 있을것이다.

주기 신호 x̃(t)의 푸리에 급수 표현식은 다음과 같다.

x̃(t) =∞∑

k=−∞

ckej 2πT0

kt=

∞∑k=−∞

ckejω0kt. (7.41)

이 주기 신호에 푸리에 변환을 적용하면 다음 식을 얻는다.

F {x̃(t)} =∫ ∞

−∞

∞∑k=−∞

ckejω0te−jωtdt =∞∑

k=−∞

ck

∫ ∞

−∞ejω0te−jωtdt,

(7.42)이 식에서

∫ ∞

−∞ejω0te−jωtdt는 ejω0t 의 푸리에 변환이다.


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주기 신호의 푸리에 변환

주기 신호는 절대 적분 가능 조건을 만족시키지 못한다.∫ ∞

−∞|x(t)| dt <∞. (7.43)

다음 푸리에 변환 쌍을 이용해 보자.

ejω0kt F←→ 2πδ(ω − kω0) (7.44)

푸리에 변환은 선형 변환이므로 다음 식이 성립한다.

∞∑k=−∞

ckejω0kt F←→∞∑

k=−∞

2πckδ(ω − kω0) (7.45)

즉, 주기 신호의 푸리에 변환은 이산 주파수 kω0 에서 가중치 2πck 를 갖는무한 임펄스 열이 된다.

x̃(t) =∞∑

k=−∞

ckejω0kt F←→∞∑

k=−∞

2πckδ(ω − kω0) (7.46)


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복소 지수 신호의 푸리에 변환

어떤 신호 x(t)의 푸리에 변환을 X(jω) = 2πδ(ω − ω0)라고 하자. 그러면x(t)는 다음과 같이 구할 수 있다.

x(t) =1

2π

∫ ∞

−∞2πδ(ω − ω0)ejωtdω

= ejω0t(7.47)

따라서 x(t) = ejω0t 의 푸리에 변환은 X(jω) = 2πδ(ω − ω0)이다. 즉,

F{ejω0t} = 2πδ(ω − ω0). (7.48)


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정현파 신호의 푸리에 변환

x(t) = A cos(ω0t + ϕ). (7.49)

x(t) = 1

2Aejϕejω0t +

1

2Ae−jϕe−jω0t. (7.50)

X(jω) =1

2Aejϕ2πδ(ω − ω0) +

1

2Ae−jϕ2πδ(ω + ω0)

= πAejϕδ(ω − ω0) + πAe−jϕδ(ω + ω0).

(7.51)

x(t) = A cos(ω0t + ϕ)F←→ πAejϕδ(ω − ω0) + πAe−jϕδ(ω + ω0) (7.52)


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주요 신호들의 푸리에 변환 요약

x(t) X(jω)

e−atu(t)1

a + jω

u(t + 1

2T)− u

(t− 1

2T) sin(ωT/2)

ω/2sin(ωbt)

πt u(ω + ωb)− u(ω − ωb)

Aδ(t) A

1 2πδ(ω)

ejω0t2πδ(ω − ω0)

A cos(ω0t + ϕ) πAejϕδ(ω − ω0) + πAe−jϕδ(ω + ω0)

A sin(ω0t + ϕ)π

j Aejϕδ(ω−ω0)−π

j Ae−jϕδ(ω+ω0)


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