Quadrivettori - fondazioneocchialini.it Maggio Corso... · Spazio-Tempo (II) •! Una rotazione ordinaria modifica il nostro punto di vista spaziale: –!Può avvenire sui piani xy,

Quadrivettori

Relatività, Energia e Ambiente Fossombrone (PU), Polo Scolastico “L. Donati”, 12 maggio 2011

http://www.fondazioneocchialini.it

Prof. Domenico Galli Alma Mater Studiorum – Università di Bologna

Trasformazioni di Lorentz e Rotazioni

•! Consideriamo ora le trasformazioni di Lorentz:

•! Esse descrivono la trasformazione delle 4 coordinate ct, x, y e z conseguenti al cambiamento di SdR, da un SdR inerziale a un altro.

•! Confrontiamo queste relazioni con quelle relative a una rotazione nello spazio ordinario.

DOMENICO GALLI - Quadrivettori!

c !t = " ct # $x( )!x = " x # $ct( )!y = y!z = z

%

&

''

(

''

ct = " c !t + $ !x( )x = " !x + $c !t( )y = !yz = !z

%

&

''

(

''

2!

Rotazioni nello Spazio Ordinario

•! Supponiamo che nello spazio ordinario a 3 dimensioni siano ruotati gli assi cartesiani di un angolo !, p. es. attorno all’asse z.

•! Scriviamo ora le relazioni matematiche che descrivono la trasformazione delle coordinate di un punto conseguente a tale rotazione.

•! Oppure, il che è equivalente, le relazioni matematiche che descrivono la trasformazione delle componenti di un vettore conseguente a tale rotazione.


!y

!x

P

!O

x

y

!v

3!

Rotazioni nello Spazio Ordinario (II)

•! Come si vede dalle figure si ha:


ct = c !tx = !x cos" + !y sin"y = # !x sin" + !y cos"z = !z

$

%&&

'&&

!y

!x

P

!

O !x

x

y

!y!

!y sin"

!x cos"

x !y

!x

P

!O

x

y

!y!!y cos"

!x sin"

y!x

(trasformazioni inverse)

4!

Rotazioni nello Spazio Ordinario (III)

•! Per ottenere le trasformazioni dirette è sufficiente sostituire le variabili con gli apici a quelle senza apici e viceversa e sostituire all’angolo ! l’angolo "!:



$

%&&

'&&

" ( #"cos" ( cos"sin" ( # sin"ct( c !t , c !t ( ctx( !x , !x ( xy( !y , !y ( yz( !z , !z ( z

$

%

&&&&

'

&&&&

c !t = ct!x = xcos" # y sin"!y = x sin" + ycos"!z = z

$

%&&

'&&

5!

Rotazioni nello Spazio Ordinario (IV)

•! Le trasformazioni dirette e inverse che descrivono una rotazione attorno all’asse z sono quindi:



$

%&&

'&&


$

%&&

'&&

6!

!y

!x

P

!

O !x

x

y

!y!

!y sin"

!x cos"

x !y

!x

P

!O

x

y

!y!!y cos"

!x sin"

y!x

Rotazioni nello Spazio Ordinario (V)

•! Osserviamo che le rotazioni non modificano la distanza d del punto P dall’origine O:



$

%&&

'&&

!d = !x 2 + !y 2 = xcos" # y sin"( )2+ x sin" + ycos"( )2

=

= x2 cos2" + y2 sin2" #2xycos" sin" + x2 sin2" + y2 cos2" +2xy sin" cos" =

= x2 cos2" + sin2"( ) + y2 cos2" + sin2"( ) = x2 + y2 = d

!d 2 = !x 2 + !y 2 = x2 + y2 = d 2

7!

Rotazioni nello Spazio Ordinario (VI)

•! Questo risultato può essere generalizzato a una generica rotazione nello spazio 3-dimensionale:

•! La distanza di un punto P dall’origine O è un invariante per rotazioni nello spazio ordinario 3-dimensionale.

•! La norma di un vettore è invariante per rotazioni nello spazio ordinario 3-dimensionale.


!d 2 = !x 2 + !y 2 + !z 2 = x2 + y2 + z2 = d 2

8!

Rapidità

•! Vediamo ora di scrivere le trasformazioni di Lorentz in una forma simile.

•! Definiamo una nuova grandezza adimensionale (numero puro) chiamata rapidità !:

•! Si ha:


! = ln " 1+ #( )$% &' = ln1+ #

1( # 2$

%))

&

'**= ln

1+ # 1+ #1+ # 1( #

$

%))

&

'**= ln 1+ #

1( #

$

%))

&

'**=

= ln1+ #1( #

1( #1( #

$

%))

&

'**= ln

1( # 2

1( #

$

%))

&

'**= ln 1

" 1( #( )$

%))

&

'**

! = ln " 1+ #( )$% &'

9!

Rapidità (II)

•! Dunque la rapidità si può anche scrivere come:

•! Inoltre si ha:


! = ln " 1+ #( )$% &' = ln

1+ #1( #

$

%))

&

'**= ln

1" 1( #( )$

%))

&

'**

!" = ! ln # 1+ $( )%& '( = ln1

# 1+ $( )%

&))

'

(**= ln # 1! $( )%& '(

e" = # 1+ $( ) = 1+ $1! $

e!" = # 1! $( ) = 1! $1+ $

10!

Funzioni Iperboliche

!

!


!

Funzioni Circolari Funzioni Iperboliche

11!

Funzioni Iperboliche (II)

$!"

$#

"

#

!"

$!" $# " # !"


#"

#!

#$

%

$

!

"

#& #" #! #$ % $ ! " &


12!

Funzioni Iperboliche (III)

sinh x = ex ! e! x

2

cosh x = ex + e! x

2

tanh x = sinh xcosh x

= ex ! e! x

ex + e! x

"

#

$$$

%

$$$

cosh2 x ! sinh2 x = 1

sin x = eix ! e! ix

2i

cos x = eix + e! ix

2

tan x = eix ! e! ix

i eix + e! ix( )

"

#

$$$$

%

$$$$

cos2 x + sin2 x = 1



13!

Rapidità e Funzioni Iperboliche

•! Utilizzando le funzioni iperboliche si ha, per la rapidità !:


e! = " 1+ #( )e$! = " 1$ #( )

sinh! =e! $ e$!

2=" 1 + #( ) $ " 1 $ #( )

2= " #

cosh! =e! + e$!

2=" 1+ #( ) + " 1$ #( )

2= "

14!

Trasformazioni di Lorentz

•! Utilizzando le funzioni iperboliche e la rapidità, si possono scrivere le trasformazioni di Lorentz nella forma:


! " = sinh#! = cosh#$%&c 't = ! ct ( "x( ) = ! ct ( ! "x = ct cosh# ( x sinh#

'x = ! x ( "ct( ) = ! x ( ! "ct = xcosh# ( ct sinh#

'y = y'z = z

$

%

))

&

))

15!

Trasformazioni di Lorentz (II)

•! Osserviamo che le trasformazioni di Lorentz non modificano la quantità s2 = c2t2 ! x2:


c !t = ct cosh" # x sinh"!x = #ct sinh" + xcosh"!y = y!z = z

$

%&&

'&&

!s = c2 !t 2 # !x 2 = ct cosh" # x sinh"( )2# #ct sinh" + xcosh"( )2

=

= c2t2 cosh2" + x2 sinh2" #2ctxcosh" sinh" # c2t2 sinh2" # x2 cosh2" +2ctx sinh" cosh" =

= c2t2 cosh2" # sinh2"( ) # x2 cosh2" # sinh2"( ) = c2t2 # x2 = s

!s 2 = c2 !t 2 " !x 2 = c2t2 " x2 = s2

16!

Trasformazioni di Lorentz (III)

•! Confrontiamo ora le Trasformazioni di Lorentz:

con le rotazioni attorno all’asse z:



$

%&&

'&&

, " = ln ( 1+ )( )*+ ,-


$

%&&

'&&

17!

Trasformazioni di Lorentz (IV)

•! Osserviamo che rotazioni e trasformazioni di Lorentz sono analoghe nella forma:

–! Le rotazioni attorno all’asse z “mescolano” (fanno combinazioni lineari) le coordinate x e y;

–! Le trasformazioni di Lorentz “mescolano” (fanno combinazioni lineari) le coordinate ct e x.

•! Le trasformazioni di Lorentz sono analoghe a “rotazioni” tra lo spazio e il tempo.



$

%&&

'&&

,


$

%&&

'&&

18!

Trasformazioni di Lorentz (V)

•! Le differenze stanno nell’uso delle funzioni circolari per le rotazioni e delle funzioni iperboliche per le trasformazioni di Lorentz.

•! Inoltre (e conseguentemente) c’e’ un segno relativo diverso nella espressione dell’invariante:


d 2 = x2 + y2

s2 = c2t2 ! x2

"#$

%$

(rotazioni)

(trasformazioni di Lorentz)

19!


$

%&&

'&&

,


$

%&&

'&&

Spazio-Tempo

•! Possiamo quindi pensare di formare punti e vettori in uno spazio a 4 dimensioni (Spazio-Tempo), con le componenti:

•! Un punto dello Spazio-tempo è detto evento.

•! Potremo inoltre definire un invariante generale (l’analogo della norma di un vettore in 3 dimensioni):

•! Questo invariante non viene modificato né da una rotazione, né da una trasformazione di Lorentz:

–! Il fatto che questo invariante non si modifichi nelle trasformazioni di Lorentz è una espressione dell’invarianza della velocità della luce nel vuoto.


ct,x, y, z( )

s2 = c2t2 ! x2 ! y2 ! z2

20!

Spazio-Tempo (II)

•! Una rotazione ordinaria modifica il nostro punto di vista spaziale:

–! Può avvenire sui piani xy, yz e zx.

•! Una trasformazione di Lorentz modifica il nostro punto di vista facendoci passare da un SdR inerziale a un altro SdR inerziale in moto rispetto al primo:

–! È una “rotazione” che può avvenire sui piani tx, ty e tz.

•! L’idea di uno spazio-tempo 4-dimensionale è di Hermann Minkowski (1864-1909).

–! Questo particolare spazio è detto perciò spazio di Minkowski.

DOMENICO GALLI - Quadrivettori! 21!

Spazio-Tempo (III)

•! Un punto materiale è rappresentato da una linea nello spazio-tempo, denominata linea d’universo.

•! Un oggetto che occupa spazio e che si estende per una certa durata di tempo occupa una specie di “bolla” nello spazio-tempo.

–! Quando ci muoviamo a diverse velocità vediamo questa bolla da un diverso punto di vista.


Spazio-Tempo (IV)

•! Dato un evento (ct0, x0, y0, z0), la “iper-superficie” conica nello spazio-tempo a 4 dimensioni di equazione:

(cono di luce) divide lo spazio-tempo in 3 regioni distinte: –! Passato assoluto;

–! Futuro assoluto;

–! Separazione assoluta.

•! La linea di universo di un fotone sta sulla superficie del cono di luce.

•! La linea di universo di una particella con massa sta entro il cono di luce.


Una dimensione spaziale non è rappresentata

nella figura

23!

c2 t ! t0( )2

! x ! x0( )2! y ! y0( )2

! z ! z0( )2= 0

Spazio-Tempo (V)

•! La proprietà di un evento, per esempio (ct2, x2, y2, z2), di trovarsi entro il cono di luce di un altro evento, per esempio (ct1, x1, y1, z1), non dipende dal SdR. (è invariante per trasformazioni di Lorentz).

•! Gli intervalli dello spazio-tempo si classificano in:


c2 t2 ! t1( )2 = x2 ! x1( )2 + y2 ! y1( )2 + z2 ! z1( )2

c2 t2 ! t1( )2 > x2 ! x1( )2 + y2 ! y1( )2 + z2 ! z1( )2

c2 t2 ! t1( )2 < x2 ! x1( )2 + y2 ! y1( )2 + z2 ! z1( )2

tipo-luce

tipo-tempo

tipo-spazio

x = !ct

x = ct

x

t

tipo

-luce

x = !ct

x = ct

x

t

tipo

-tem

po x = !ct

x = ct

x

t

tipo

-spa

zio

24!

Spazio-Tempo (VI)

•! Tra 2 eventi separati da un intervallo di tipo-tempo vi può essere un nesso di causalità.

•! Tra 2 eventi separati da un intervallo di tipo-spazio non vi può essere un nesso di causalità.

•! Tra 2 eventi separati da un intervallo di tipo-luce vi può essere un nesso con un segnale luminoso.

•! L’intervallo tra due punti della linea di universo di un punto materiale è sempre di tipo-tempo.


Quadri-Vettori

•! Si chiama quadri-vettore o 4-vettore, un vettore dello spazio di Minkowski.

•! Un esempio di quadrivettore è costituito dalle 4 coordinate di un evento:

•! È un 4-vettore anche l’intervallo di universo tra due eventi:


s = ct, !r( ) = ct,x, y, z( )

!s = c!t,!!r( ) = c!t,!x,!y,!z( ) = c t2 " t1( ), x2 " x1, y2 " y1, z2 " z1( )

Norma di un Quadri-Vettore

•! La norma di Minkowski di un 4-vettore dello spazio di Minkowski:

si calcola come:

(si osservi il segno “+” nella coordinata temporale e il segno “!” nelle coordinate spaziali).

•! Così per il 4-vettore:

si ha:


!s = c2 t2 " t1( )2 " x2 " x1( )2 " y2 " y1( )2 " z2 " z1( )2

s = ct, !r( ) = ct,x, y, z( )

s = c2t2 ! x2 ! y2 ! z2

!s = c!t,!!r( ) = c!t,!x,!y,!z( ) = c t2 " t1( ),x2 " x1, y2 " y1, z2 " z1( )

Norma di un Quadri-Vettore (II)

•! Avremo pertanto, per gli intervalli dello spazio-tempo:


!s2= 0 " !s = 0

!s2> 0 " !s #!

!s2< 0 " !s #$

tipo-luce

tipo-tempo

tipo-spazio

x = !ct

x = ct

x

t

tipo

-luce

x = !ct

x = ct

x

t

tipo

-tem

po x = !ct

x = ct

x

t

tipo

-spa

zio

28!

Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

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