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Rayos X
C.F. Gelvez and D.H. UsecheDepartmento de Fsica, Universidad de
los Andes, Cra 1 No 18A- 12 Bogota, Colombia
(Dated: 20 de agosto de 2015)
El informe del experimento rayosXpretende mostrar la validez en
el cobre de varios conceptos yteoras en fsica como el espectro de
rayos X, el proceso bremsstrahlung, la difraccion de Bragg y
laabsorcion de rayos X. El experimento consistio en primer lugar en
la medicion de la intensidad de losrayos X del cobre difractados
por dos cristales LiF y KBr. En segundo lugar medimos la intensidad
delos Rayos X con = 1,54A en funcion del espesor de los filtros de
absorcion de Al y Zn. Los primerosresultados fueron que el espectro
del cobre es un espectro discreto acompanado de uno continuo, y
quelas magnitudes de las dos lneas caractersticas del espectro del
cobre sonK= 8,095 0,095[KeV]y K = 8,870 0,045[KeV ]. Paralelamente,
basados en el proceso bremsstrahlung, estimamos laconstante de
Plankh = 6,46 1034 0,10 1034[J s]. Como resultado final,
corroboramos quela intensidad de la senal monocromatica de los
rayos X y el espesor de los filtros de absorcion estanrelacionados
por una funcion exponencial decreciente, y calculamos los
coeficientes de atenuacionpara = 1,54A del Aluminio y Zinc Al =
10,87 0,10[cm
1] y Zn = 42,92 0,86[cm1].
Como conclusion, convalidamos los resultados exp erimentales con
la teora, y proponemos medicionesadicionales para mejorar la
precision de los datos.
Palabras clave: Espectro de rayos X del Cobre, Difraccion de
Bragg, proceso bremsstrahlung, ab-sorcion de Rayos X
I. INTRODUCCION
El experimento consiste en dirigir rayos X hacia doscristales
LiF y KBr, y medir la intensidad de los rayosdifractados por el
cristal para varios angulos. El tubo derayos X esta compuesto por
un catodo que emite electro-nes los cuales son acelerados a traves
de una diferenciade potencial hacia un anodo (en nuestro
experimento elanodo es Cobre). El cobre que se encuentra en el
anodoemite rayos X al desacelerar los electrones por el procesode
bremsstrahlung.
Proceso de bremsstrahlung
Cuando un electron choca con un atomo, el atomoemite un foton
con una longitud de onda dada por,
hc
=KK (1)
DondeKes la energa cinetica del electron antes del cho-que, y K
es la energa cinetica despues del choque. Elespectro de los rayos X
emitidos por el anodo es un es-pectro discreto sucedido por un
espectro continuo. Sinembargo existe un mnimo en la longitud de
onda m del
espectro de rayos X. El mnimo sucede cuando la energadel foton
emitido es maxima, el electron pierde toda suenerga cinetica en el
choque,
m= hc
eV (2)
Espectro de Rayos X del Cobre
Algunos elementos como el Cobre (Cu) y el Molib-deno (Mb) emiten
rayos X con varias longitudes deonda. La energa de los fotones
emitidos corresponde ala diferenca en los niveles de energa de los
elementos.
Algunas de las lneas de emision mas conocidas delCobre son las
series K, L, y M. Estas lineas de emisi ondel Cobre se pueden
detectar a traves de la difraccion deestos rayos con un cristal
como LiF o KBr. Es posibledetectar las lneas K y K cuyos valores
mas exactosson,
K= 8,048[KeV], K = 8,905[KeV] (3)
Difraccion de Bragg
La longitud de onda y por lo tanto la energa delos fotones de
rayos X emitidos por el cobre se pueden
detectar por medio de la difraccion con un cristal. Ladifraccion
con cristales es conocida como difraccionde Bragg. En la difraccion
de Bragg los atomos delcristal sirven como planos de reflexon de
las ondaselectromagneticas incidentes, generando difraccion porla
diferencia de caminos en planos adyacentes, como lomuestra la
figura 1.
Figura 1: Difraccion de Bragg
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La primera condicion de Bragg es que el angulo deincidencia es
igual al angulo de reflexion, y la segunda quelas reflexiones de
planos adyacentes deben combinarseconstructivamente, en
ecuaciones,
n= 2d sen (4)
En esta ecuacion es el angulo de incidencia de los rayos
X sobre el cristal, y d es la separacion entre planos enel
cristal. La separacion entre los planos de (1,0,0) es laconstante
del cristal, los valores para el LiF y KBr son,
dLiF = 2,015[A], dKBr = 3,290[A
] (5)
Absorcion de Rayos X
Cuando los rayos X inciden sobre un material, laintensidad de la
radiacion electromagnetica disminuyeexponencialmente con el grosor
del material d, esto es,
I=Ie()d (6)
En esta ecuacion I es la intensidad sin filtro de absor-cion y
() es el coeficiente de atenuacion lineal el cualdepende de la
longitud de onda.
Calculo de variables fsicas
Basados en las ideas preliminares este informe pre-tende
calcular las los valores K, K, la constante dePlankh, y los
coeficientes de atenuacion linealAl y Zndel Aluminio y Zinc
respectivamente. La constante dePlank la calcularemos con la
ecuacion 2, las constantesde atenuacion con la ecuacion 6, y la
energa de las lneasK, y K, las calculamos con las ecuaciones de
Plank y
Bragg combinadas, ecuacion 7,
E=hc
=
nhc
2d sen (7)
II. MATERIALES Y METODOS
El experimento consiste en medir la intensidad de losrayos X
para varios angulos difractados por dos cristalesLiF y KBr. En
terminos generales usamos el equipoPHYWE de rayos X y una
computadora (ver figura 2).Los materiales que usamos del equipo
PHYWE de rayos
X son:
1. Unidad de rayos X, de 35kV.2. Goniometro para rayos X, de
35kV.3. Tubo de rayos X de Cu.4. Cristales LiF y KBr.5. Filtro de
1mm para la fuente de rayos X.6. Set de absorcion de rayos X, Al y
Zn.7. Tubo contador, tipo B.
El procedimiento realizado se puede dividir en dospartes
distintas: a) Medicion del espectro de rayos X
Figura 2: Equipo usado para este experimento endifraccion de
Rayos X
difractados por LiF y KBr, b) Medicion de la intensidaddel
maximo de LiF cambiando el set de absorci on. Paralograr obtener
estas mediciones realizamos los siguientes
pasos:
1. Conectamos el tubo de Rayos X de Cu, asigna-mos un voltaje de
35kV, y una intensidad de 1mA.2. Calibramos el equipo PHYWE de
rayos X. Tomamosen cuenta que un maximo de difraccion de los rayos
Xdel cobre con LiF es a 22,6.3. Conectamos el equipo a la
computadora y a traves delsoftware Measure medimos el espectro de
LiF y KBrpara angulos entre 5 y 50 en pasos de 0,1
4. Medimos la intensidad del maximo de difraccion deLiF a 22,6
cambiando las pelculas de absorcion de Aly Zn, que se conectan en
el tubo contador. Medimos
desde 0.0mm a 0.1 mm para juntos materiales, enpasos de 0.02mm y
0.025 para el Aluminio y el Zincrespectivamente.
III. RESULTADOS
Basados en las figuras 3 y 4 encontramos un espec-tro discreto
superpuesto por un espectro continuo en ladifraccion de los rayos X
de Cobre sobre LiF y KBr.As mismo, encontramos cuatro maximos en el
espectrodel LiF y 6 maximos en el espectro del KBr.
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Figura 3: Intensidad de los rayos X del cobre en funciondel
angulo de incidencia con cristal LiF
Figura 4: Intensidad de los rayos X del cobre en funciondel
angulo de incidencia con cristal KBr
Hallamos 4 maximos en la difraccion con el LiF loscuales
corresponden a las lneas K, K, medidas para
n = 1, 2. Al cambiar el LiF por KBr, se obtiene tresordenes de
difraccion n = 1, 2, 3. Los valores de K,yK, se presentan en la
tabla 1 y se obtienen a partir dela ecuacion 6,
[] Linea Eexp[keV]
LiF difraccion (Fig 3)
n=1 20,3 K 8.918
22.6 K 8.049
n=2 43.8 K 8.918
50.1 K 8.049
KBr difraccion (Fig 4)
n=1 12.6 K 8.668
13.9 K 7.840
n=2 24.9 K 8.918
27.8 K 8.049
n=3 39.3 K 8.918
44.5 K 8.049
Cuadro I: Energas caractersticas del Cobre medidascon LiF y
KBr
Para calcular los valores experimentales de K, yK,hallamos el
promedio, la desviacion estandar, y el errorestadstico de los datos
en el Cuadro 1 para cada magni-tud. Los valores finales son,
K= 8,095 0,095[KeV] (8)
K = 8,870 0,045[KeV] (9)
Los valores calculados con su rango de error incluyen alos
valores esperados, y tienen un error relativo menoral 1%. Cabe
notar que 4 pares de datos en la tablaaciertan a los valores
esperados, y solo un par se desvadel valor esperado. Este par de
datos corresponden alprimer y segundo maximo de la difraccion con
el KBr.Es posible que la desviacion sucediera debido a que alser
los angulos muy mnimos la precision del equipofuera menor.
Ahora procedemos a encontrar el valor experimen-
tal de la constante de Plank. Al observar las figuras 3 y4
podemos ver que para angulos menores a 10 la inten-sidad es maxima
a los 5, y disminuye hasta cierto valorpara aumentar
progresivamente, es decir, hay un minimolocal en ese rango. Estos
cambios en la intensidad sepueden explicar por el proceso de
bremsstrahlung. Laintensidad es alta para angulos cercanos a 5
debido aque los rayos X estan dirigidos casi directamente haciael
contador, y la intensidad disminuye para angulosmayores al alejarse
el contador de los rayos directos. Sinembargo, para cierto angulo
el contador detecta unosrayos X adicionales que corresponden a la
difracci on delos fotones mas energeticos en el espectro del Cobre,
es
decir el umbral en el proceso bremsstrahlung. Con elmnimo local
de la intensidad se puede hallar min apartir de la ecuacion 4,
tomandon = 2, y con la ecuacion2 se puede estimar el valor de la
constante de Plank.Se encontro que el angulo donde empieza el
continuobremsstrahlung en el KBr es min = 6,1
. As hallamosel valor experimental de la constante de Plank,
h= 6,46 1034 0,10 1034[J s] (10)
En este calculo ignoramos los datos de la graficadel LiF, debido
a que el min en el LiF no es tanpronunciado como en el caso del
KBr. El error ex-
perimental lo calculamos teniendo en cuenta que elerror relativo
de h es el mismo del error relativo delangulo el cual es
aproximadamente del 1 %. El valorexperimental de la constante de
Plank se aleja al valoraceptado en un 2.5 %, esto nos demuestra que
el experi-mento coincidio con la teora del proceso
bremsstrahlung.
En tercera instanca mostramos los resultados so-bre la absorcion
de rayos X del cobre por parte delAluminio y Zinc. En los cuadros 2
y 3, incluimos laintensidad de la senal I/Icirc en funcion del
espesor,dondeI= 8083, = 22,6,= 1,54A
.
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Espesor d [mm] IntensidadI /I
0.0 1.0
0.02 0.772
0.04 0.611
0.06 0.489
0.08 0.395
0.10 0.342
Cuadro II: Relacion de intensidad de los rayos X yespesor de
filtro de absorcion de Aluminio para
= 1,54A.
Espesor d [mm] IntensidadI /I
0.0 1.0
0.025 0.419
0.05 0.184
0.075 0.077
0.10 0.011
Cuadro III: Relacion de intensidad de los rayos X yespesor de
filtro de absorcion de Zinc para = 1,54A.
Basados en la ecuacion 6 se espera que la relacion en-tre el
espesor del filtro de absorcion y la intensidad delos rayos X sea
exponencial. Para mostrar que la rela-cion es exponencial incluimos
los datos en una gr aficasemilogartmica de base 10,
Figura 5: Intensidad de los rayos X de Cobre en funciondel
espesor de los filtros de absorcion de Aluminio y
Zinc para = 1,54A.
Basados en los datos anteriores realizamos la
regresionlogartmica para calcular Al y Zn los coeficientes
deatenuacion lineal para = 1,54A del aluminio y
zincrespectivamente, as como el error estadstico de
estasconstantes,
Al= 10,87 0,10[cm1] (11)
Zn = 42,92 0,86[cm1] (12)
La correlacion de los datos R2 es del 99 % para el Alu-minio y
del 98% para el Zinc, lo cual demuestra quelos datos efectivamente
estan relacionados por una fun-cion exponencial. Debido a la alta
correlacion estadsticade los datos el error relativo de las
constantes de atena-cion resulta ser menor al 5 %. Los anteriores
argumentosmuestran que el experimento concuerda con la
ecuacion6.
IV. CONCLUSIONES
En el experimento de la difraccion de los rayosX del cobre
obtuvimos que los rayos caractersticostienen una magnitud K = 8,095
0,095[KeV] yK = 8,870 0,045[KeV]. Dado que el error experimen-tal
de estas transiciones de energa es menor al 1 % y elvalor hallado
experimentalmente con su rango de errorconcuerda con el valor
aceptado, podemos afirmar queel Cobre tiene dos transiciones de
energa caractersticasK y K, y que los cristales LiF y KBr actuan
comoplanos permitiendo difraccion de Bragg. Adicional-mente, el
instrumento utilizado tena una precision
del 0,1
la cual es una posible razon de los resultadospositivos de la
difraccon de los rayos X en estos cristales.
En el experimento de difraccion hallamos un valor de laconstante
de Plankh = 6,4610340,101034[Js],y encontramos un espectro continuo
adicional al espec-tro discreto del cobre (figuras 3 y 4). Estos
resultadosdemuestran el proceso bremsstrahlung, es decir, losrayos
X del cobre son el resultado de la desaceleraci onde electrones al
chocar inelasticamente multiples vecescon atomos de Cobre. El
resultado de h tiene un errorexperimental menor al 2 %, sin
embargo, el resultadofinal y su error no incluyen el valor
aceptado. Para
mejorar el resultado de h es recomendable medir mvariando la
diferencia de potencial entre el catodo yel anodo en el tubo de
rayos X, graficar V vs 1/m yrealizar la regresion lineal.
A traves del experimento de la absorcon de rayosX por Aluminio y
Zinc pudimos comprobar que larelacion entre el espesor del filtro y
la intensidad de lasenal es exponencial decreciente(fig5), tambien
calcula-mos las coeficientes de atenuacion del Aluminio y Zincpara
= 1,54A, estos son Al = 10,87 0,10[cm1] yZn = 42,92 0,86[cm
1]. Obtuvimos un error relativo
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menor al 5 % lo cual corrobora que la relacion entre d eI es
exponencial. Para proximos experimentos con esteequipo se propone
medir la relacion de d e Ipara otras
longitudes de onda y as investigar la dependencia de y .
[1] R. Eisberg, Quantum Physics of Atoms, molecules, so-
lids, nuclei, and particles(John Wiley & Sons, 2nd
Edition,1974.)
[2] D. Griffiths,Introduction to Quantum Mechanics(Pearson,
2nd Edition. 1992)
