Razvoj ﬁnancne matematikeˇ Zakljucekˇuc.fmf.uni-lj.si/mi/arhivpoletih/gradiva/1213/... · 2013-01-25 · Razvoj ﬁnancne matematikeˇ Finanˇcni trg in vrednotenje Zakljucekˇ

Razvoj financne matematikeFinancni trg in vrednotenje

Zakljucek

Arbitraža na financnih trgih in teorija verjetnosti

Tomaž Košir

Oddelek za matematiko, Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani

Moderni izzivi poucevanja matematike25. januar 2013

T. Košir Arbitraža in teorija verjetnosti


Zakljucek

Vsebina

1 Razvoj financne matematikeZacetkiModerna doba

2 Financni trg in vrednotenjeFinancni instrumentiMatematicni model financnega trgaOsnovna izreka vrednotenja premoženja

3 Zakljucek



Zakljucek

Vsebina



3 Zakljucek



Zakljucek

Vsebina



3 Zakljucek



Zakljucek

ZacetkiModerna doba

Uvod

Sodobno financno matematiko v grobem delimo na 3 dele:teorijo vrednotenja,portfeljsko teorijo,teorijo upravljanja s tveganji.

Sorodni sta še aktuarska matematika in ekonomskamatematika (matematicna ekonomija). Vse uporabljajo teorijoverjetnosti in matematicno statistiko.

Danes bom predstavil uvod v teorijo vrednotenja.



Zakljucek

ZacetkiModerna doba

Uvod






Zakljucek

ZacetkiModerna doba

Uvod






Zakljucek

ZacetkiModerna doba

Teorija vrednotenja

Razvoj teorijevrednotenja sospodbudili predvsemfinancni instrumenti zopcijsko komponento.

Prvi znan primer izzgodovine je Talesovzakup stiskalnic za olive.Z opcijami kot jihpoznamo danes so prvictrgovali v Angliji konec17. stoletja v casusovladanja Williama inMary.



Zakljucek

ZacetkiModerna doba

Teorija vrednotenja

Razvoj teorijevrednotenja sospodbudili predvsemfinancni instrumenti zopcijsko komponento.Prvi znan primer izzgodovine je Talesovzakup stiskalnic za olive.Z opcijami kot jihpoznamo danes so prvictrgovali v Angliji konec17. stoletja v casusovladanja Williama inMary.



Zakljucek

ZacetkiModerna doba

Louis Bachelier 1870-1946

Francoski matematik, zacetnik financnematematike.Leta 1900 napisal doktorsko disertacijoTeorija napovedovanj (Théorie de laspéculation). Obravnava gibanjavrednosti na financnih trgih in predstavimatematicni model za njih.V disertaciji je prvi matematicni opisBrownovega gibanja. Einstein ga jepodal s fizikalnim ozadjem leta 1905.



Zakljucek

ZacetkiModerna doba

Vinzenz Bronzin 1872-1970

Rojen v Rovinju, obiskoval italijanskogimnazijo v Kopru, študiral na Dunaju,živel in deloval v Trstu.Leta 1908 napisal knjigo Teorijapogodb s premijo (Theorie derPrämiengeschäfte). Obravnava izracunpremij za razlicne pogodbe z odloženoin opcijsko poravnavo.



Zakljucek

ZacetkiModerna doba

Formula Blacka in Scholesa

Fischer Black (1938-1995) in Myron S. Scholes (1941-) staleta 1969 dokazala danes slavno Black-Scholesovoformulo za vrednotenje opcij.Njuno formulo razširi in posploši Robert C. Merton (1944-).Nobelova nagrada za ekonomijo 1997 (Merton in Scholes).

Black Scholes MertonT. Košir Arbitraža in teorija verjetnosti


Zakljucek

Financni instrumentiMatematicni model financnega trgaOsnovna izreka vrednotenja premoženja

Financni instrumenti

Financni sistem je ustvaril številne financne instrumente.Financni instrument je pogodba med dvema osebama, vkateri se obvežeta, da bosta izvršili dolocena placila obdolocenih casih sedaj in/ali v prihodnosti.

Primeri: delnice, obveznice, zakladne menice, vzajemniskladi, posojila, zavarovalne police, . . .



Zakljucek


Financni instrumenti

Financni sistem je ustvaril številne financne instrumente.Financni instrument je pogodba med dvema osebama, vkateri se obvežeta, da bosta izvršili dolocena placila obdolocenih casih sedaj in/ali v prihodnosti.Primeri: delnice, obveznice, zakladne menice, vzajemniskladi, posojila, zavarovalne police, . . .



Zakljucek


Izvedeni financni instrumenti

Financni instrumenti, katerihpogodba se nanaša na drugefinancne instrumente, soizvedeni financni instrumenti.Primeri: terminske pogodbe(futures), terminski posli(forwards), zamenjave(swaps), opcije (options), . . .



Zakljucek


Kaj so opcije?

Npr. evropska nakupna opcija(European call option) daje lastnikupravico (in ne obveznosti) nakupadolocenega premoženja (npr. delnice)za doloceno ceno ob dolocenem casuv prihodnosti. Za to pravico moralastnik placati premijo.

Podobno evropska prodajna opcija(European put option) daje lastnikupravico (in ne obveznosti) prodajedolocenega premoženja za dolocenoceno ob dolocenem casu v prihodnosti.



Zakljucek


Kaj so opcije?

Npr. evropska nakupna opcija(European call option) daje lastnikupravico (in ne obveznosti) nakupadolocenega premoženja (npr. delnice)za doloceno ceno ob dolocenem casuv prihodnosti. Za to pravico moralastnik placati premijo.Podobno evropska prodajna opcija(European put option) daje lastnikupravico (in ne obveznosti) prodajedolocenega premoženja za dolocenoceno ob dolocenem casu v prihodnosti.



Zakljucek


(naiven) Zgled

Od gospe Kralj ste danes kupiliopcijo za nakup 10 delnic Krke poEUR60 cez tri mesece, to je 25. 4.2013.

Ce bo 25. 4. vrednost delnic Krkenad EUR60, boste delnice takratkupili, saj jih lahko takoj prodate povišji ceni.Ce bo vrednost pod EUR60, delnicne boste kupili od gospe Kralj, saj jihlahko na trgu dobite ceneje.



Zakljucek


(naiven) Zgled

Od gospe Kralj ste danes kupiliopcijo za nakup 10 delnic Krke poEUR60 cez tri mesece, to je 25. 4.2013.Ce bo 25. 4. vrednost delnic Krkenad EUR60, boste delnice takratkupili, saj jih lahko takoj prodate povišji ceni.

Ce bo vrednost pod EUR60, delnicne boste kupili od gospe Kralj, saj jihlahko na trgu dobite ceneje.



Zakljucek


(naiven) Zgled

Od gospe Kralj ste danes kupiliopcijo za nakup 10 delnic Krke poEUR60 cez tri mesece, to je 25. 4.2013.Ce bo 25. 4. vrednost delnic Krkenad EUR60, boste delnice takratkupili, saj jih lahko takoj prodate povišji ceni.Ce bo vrednost pod EUR60, delnicne boste kupili od gospe Kralj, saj jihlahko na trgu dobite ceneje.



Zakljucek


Trgovanje z opcijami

V resnici se z opcijami in drugimiizvedenimi financnimi instrumentitrguje bodisi na organiziranem ali naprostem trgu in v veliki vecini sepozicije zapre že pred dospetjem.Tudi pri instrumentih, ki imajo vpogodbi blagovno poravnavo, pridesamo do denarne poravnave. (Nikrav na Wall Streetu.)

Trgovanje na trgu izvedenihinstrumentov ’napoveduje’ cene naprimarnem trgu in tudi vpliva na njih.



Zakljucek


Trgovanje z opcijami

V resnici se z opcijami in drugimiizvedenimi financnimi instrumentitrguje bodisi na organiziranem ali naprostem trgu in v veliki vecini sepozicije zapre že pred dospetjem.Tudi pri instrumentih, ki imajo vpogodbi blagovno poravnavo, pridesamo do denarne poravnave. (Nikrav na Wall Streetu.)Trgovanje na trgu izvedenihinstrumentov ’napoveduje’ cene naprimarnem trgu in tudi vpliva na njih.



Zakljucek


Za kaj se uporabljajo opcije?

Opcije se uporabljajotako za investicije(trgovanje s financnimvzvodom) kot tudi zazašcito pred financnimitveganji (angl. hedging).

Na primer: zašcita predvalutnimi tveganji, predtveganji izgube vrednostidelnic, itd.



Zakljucek


Za kaj se uporabljajo opcije?

Opcije se uporabljajotako za investicije(trgovanje s financnimvzvodom) kot tudi zazašcito pred financnimitveganji (angl. hedging).Na primer: zašcita predvalutnimi tveganji, predtveganji izgube vrednostidelnic, itd.



Zakljucek


Idealne predpostavke

Ljudje so racionalni.Spremembe cen so zvezne in sledijo Brownovemu gibanju.Ni arbitraže.Trg je ucinkovit.Možno je kupiti poljuben del premoženja.Ni transakcijskih stroškov.Dovoljena je kratka prodaja.



Zakljucek



Ljudje so racionalni.

Spremembe cen so zvezne in sledijo Brownovemu gibanju.Ni arbitraže.Trg je ucinkovit.Možno je kupiti poljuben del premoženja.Ni transakcijskih stroškov.Dovoljena je kratka prodaja.



Zakljucek



Ljudje so racionalni.Spremembe cen so zvezne in sledijo Brownovemu gibanju.

Ni arbitraže.Trg je ucinkovit.Možno je kupiti poljuben del premoženja.Ni transakcijskih stroškov.Dovoljena je kratka prodaja.



Zakljucek



Ljudje so racionalni.Spremembe cen so zvezne in sledijo Brownovemu gibanju.Ni arbitraže.

Trg je ucinkovit.Možno je kupiti poljuben del premoženja.Ni transakcijskih stroškov.Dovoljena je kratka prodaja.



Zakljucek



Ljudje so racionalni.Spremembe cen so zvezne in sledijo Brownovemu gibanju.Ni arbitraže.Trg je ucinkovit.

Možno je kupiti poljuben del premoženja.Ni transakcijskih stroškov.Dovoljena je kratka prodaja.



Zakljucek



Ljudje so racionalni.Spremembe cen so zvezne in sledijo Brownovemu gibanju.Ni arbitraže.Trg je ucinkovit.Možno je kupiti poljuben del premoženja.

Ni transakcijskih stroškov.Dovoljena je kratka prodaja.



Zakljucek



Ljudje so racionalni.Spremembe cen so zvezne in sledijo Brownovemu gibanju.Ni arbitraže.Trg je ucinkovit.Možno je kupiti poljuben del premoženja.Ni transakcijskih stroškov.

Dovoljena je kratka prodaja.



Zakljucek



Ljudje so racionalni.Spremembe cen so zvezne in sledijo Brownovemu gibanju.Ni arbitraže.Trg je ucinkovit.Možno je kupiti poljuben del premoženja.Ni transakcijskih stroškov.Dovoljena je kratka prodaja.



Zakljucek


Obstoj arbitraže in Zakon ene cene

Arbitraža (oz. arbitražna priložnost) je možnost priti dodobicka brez vloženih sredstev. (Zastonj kosilo.)

Zakon ene cene: Dve financni pogodbi, ki imata vprihodnosti enake denarne tokove, imata sedaj enakoceno.Je posledica predpostavke o neobstoju arbitraže.

Na primer:Nakup dveh brezkuponskih obveznic ali ene kuponskeobveznice.Vrednost terminske pogodbe in vrednost osnovnegapremoženja:

F = S0erT

(F - vrednost iz terminske pogodbe, S0 - trenutna vrednostosnovnega premoženja, r - bancna obrestna mera, T casdo zapadlosti.)



Zakljucek



Arbitraža (oz. arbitražna priložnost) je možnost priti dodobicka brez vloženih sredstev. (Zastonj kosilo.)Zakon ene cene: Dve financni pogodbi, ki imata vprihodnosti enake denarne tokove, imata sedaj enakoceno.

Je posledica predpostavke o neobstoju arbitraže.Na primer:

Nakup dveh brezkuponskih obveznic ali ene kuponskeobveznice.Vrednost terminske pogodbe in vrednost osnovnegapremoženja:

F = S0erT




Zakljucek



Arbitraža (oz. arbitražna priložnost) je možnost priti dodobicka brez vloženih sredstev. (Zastonj kosilo.)Zakon ene cene: Dve financni pogodbi, ki imata vprihodnosti enake denarne tokove, imata sedaj enakoceno.Je posledica predpostavke o neobstoju arbitraže.

Na primer:Nakup dveh brezkuponskih obveznic ali ene kuponskeobveznice.

Vrednost terminske pogodbe in vrednost osnovnegapremoženja:

F = S0erT




Zakljucek



Arbitraža (oz. arbitražna priložnost) je možnost priti dodobicka brez vloženih sredstev. (Zastonj kosilo.)Zakon ene cene: Dve financni pogodbi, ki imata vprihodnosti enake denarne tokove, imata sedaj enakoceno.Je posledica predpostavke o neobstoju arbitraže.

Na primer:Nakup dveh brezkuponskih obveznic ali ene kuponskeobveznice.Vrednost terminske pogodbe in vrednost osnovnegapremoženja:

F = S0erT




Zakljucek


Obstoj arbitraže in Zakon ene cene 2

Vrednosti nakupne in prodajne opcije z isto izvršilno cenoK sta povezani:

C + Ke−rT = P + S0.

(C - trenutna vrednost nakupne opcije, P - trenutnavrednost prodajne opcije, S0 - trenutna vrednost delnice vcasu 0.)



Zakljucek


Prvi osnovni izrek vrednotenja premoženja



Zakljucek


Osnovna izreka vrednotenja premoženja

Izrek (Prvi osnovni izrek vrednotenja premoženja)Na trgu ni arbitraže natanko tedaj, ko obstaja ekvivalentnamartingalska verjetnost glede na dan numerar.

Izrek (Drugi osnovni izrek vrednotenja premoženja)Trg je poln natanko tedaj, ko obstaja natanko ena ekvivalentnamartingalska verjetnost glede na dan numerar.



Zakljucek


Osnovna izreka vrednotenja premoženja

Izrek (Prvi osnovni izrek vrednotenja premoženja)Na trgu ni arbitraže natanko tedaj, ko obstaja ekvivalentnamartingalska verjetnost glede na dan numerar.

Izrek (Drugi osnovni izrek vrednotenja premoženja)Trg je poln natanko tedaj, ko obstaja natanko ena ekvivalentnamartingalska verjetnost glede na dan numerar.



Zakljucek


Vrednotenje opcij

Black-Scholesova formula za evropsko nakupno opcijo:

C(S, t) = S Φ(d1)− K e−r(T−t) Φ(d2),

kjer je

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e

t22 dt ,

d1 =log S − log K +

(r + 1

2σ2) (T − t)

σ√

T − t,

d2 = d1 − σ√

T − t .



Zakljucek


Vrednotenje opcij 2

Black-Scholesova diferencialna enacba:

∂V∂t

+12σ2S2∂

2V∂S2 + rS

∂V∂S− rV = 0

V - vrednost opcije, S - vrednost delnice, σ2 - disperzija zaS

Spominja na toplotno enacbo - tudi fiziki medkvantitativnimi financniki (ekonofizika).



Zakljucek


Vrednotenje opcij 2

Black-Scholesova diferencialna enacba:

∂V∂t

+12σ2S2∂

2V∂S2 + rS

∂V∂S− rV = 0

V - vrednost opcije, S - vrednost delnice, σ2 - disperzija zaSSpominja na toplotno enacbo - tudi fiziki medkvantitativnimi financniki (ekonofizika).



Zakljucek

Svetovni financni trgi in vloga financnih matematikov

Obseg trgovanja z izvedenimi financnimi instrumenti jeenormen: na organiziranem trgu (na vseh borzah na svetuskupaj) je bil obseg trgovanja v zadnjem cetrtletju 2004USD344 · 1012, odprte postavke na svetovnih prostih trgihv juniju 2011 pa USD708 · 1012.

Številne financne inštitucije in podjetja v zahodnem svetuicšejo doktorje matematike (in tudi fizike) ki so pripravljenidelovati na podrocju financne matematike. To so zelodobro placani kadri.



Zakljucek

Svetovni financni trgi in vloga financnih matematikov

Obseg trgovanja z izvedenimi financnimi instrumenti jeenormen: na organiziranem trgu (na vseh borzah na svetuskupaj) je bil obseg trgovanja v zadnjem cetrtletju 2004USD344 · 1012, odprte postavke na svetovnih prostih trgihv juniju 2011 pa USD708 · 1012.Številne financne inštitucije in podjetja v zahodnem svetuicšejo doktorje matematike (in tudi fizike) ki so pripravljenidelovati na podrocju financne matematike. To so zelodobro placani kadri.



Zakljucek

Svetovni financni trgi in vloga financnih matematikov 2

Vloga financnih matematikov v poslovnem svetu je vpripravi novih financnih produktov, upravljanju s tveganji,vrednotenju financnih produktov, pripravi ustreznihalgoritmov in metod za izracune potrebne pri tem, itd.

Financni matematiki v akademskem svetu se tudi ukvarjajos tem, poleg tega pa tudi s temeljnimi matematicnimiraziskavami.



Zakljucek

Svetovni financni trgi in vloga financnih matematikov 2

Vloga financnih matematikov v poslovnem svetu je vpripravi novih financnih produktov, upravljanju s tveganji,vrednotenju financnih produktov, pripravi ustreznihalgoritmov in metod za izracune potrebne pri tem, itd.Financni matematiki v akademskem svetu se tudi ukvarjajos tem, poleg tega pa tudi s temeljnimi matematicnimiraziskavami.



Zakljucek

Literatura

1 Peter Bernstein: Against the Gods, Wiley, 19962 M. Davis, A. Ethridge: Louis Bachelier’s Theory of

Speculation, Princeton University Press, 20063 Emanuel Derman: My Life as a Quant, Wiley, 20044 Niall Ferguson: The Ascent of Money, Penguin Books,

20085 Wolfgang Hafner, Heinz Zimmermann: Vinzenz Bronzin’s

Option Pricing Models, Springer Verlag, 20096 Benoit Mandelbrot: The (mis)Behavior of Markets, Basic

Books, 20047 Perry Mehrling: Fischer Black and the Revolutionary Idea

of Finance, Wiley, 20058 Leo Melamed: Escape to Futures, Wiley, 19969 William Poundstone: Fortune’s Formula, Hill & Wang, 2005

10 Paul Wilmott: Paul Wilmott Introduces QuantitativeFinance, Wiley, 2001 T. Košir Arbitraža in teorija verjetnosti


Zakljucek

Nekaj spletnih strani

1 http://finance.yahoo.com/2 http://www.wilmott.com/3 http://www.outbacksoftware.com/finEngineer

/financialEngineering.html4 http://www.bloomberg.com/index.html?Intro=intro35 http://www.risk.net/6 http://www.global-derivatives.com/


Documents

Razvoj ﬁnancne matematikeˇ Zakljucekˇuc.fmf.uni-lj.si/mi/arhivpoletih/gradiva/1213/... · 2013-01-25 · Razvoj ﬁnancne matematikeˇ Finanˇcni trg in vrednotenje Zakljucekˇ