Uvod u dinamike (stohastike) modele operavnotee (DSGE)Doc. dr. Josip Tica21. listopada 2011.2Sadraj1 Ramseyev model 71.1 Uvod u Ramseyev model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Intertemporalna funkcija potronje . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Optimalna razina potronje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Solow meets Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Originalni Ramsey model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Real business cycle model 192.1 Uvod u RBC model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.1 RBC model za dva razdoblja . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Graka prezentacija RBC modela . . . . . . . . . . . 222.2 Pretpostavke RBC modela za simulaciju . . . . . . . . . . . . 262.3 Lagrange - maksimizacija uz ogranienja . . . . . . . . . . . . 282.4 Log-linearizacija oko ravnotenog stanja . . . . . . . . . . . . 302.4.1 Log-linearizacija jednadbe 2.27 . . . . . . . . . . . . . 332.4.2 Log-linearizacija jednadbe 2.31 . . . . . . . . . . . . . 362.4.3 Log-linearizacija jednadbe 2.32 . . . . . . . . . . . . . 382.4.4 Log-linearizacija jednadbe tehnologije . . . . . . . . . 392.5 Razdvajanje (decoupling) funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . 402.5.1 Priprema sustava za razdvajanje . . . . . . . . . . . . . 402.5.2 Rjeavanje sustava jednadbi . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.3 Invertiranje matrice koecijenataaij. . . . . . . . . . 432.5.4 Rjeavanje sustavapomousvojstvenihvrijednosti isvojstvenih vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5.5 Rjeenje sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6 Izvoenje etiri sporedne varijable. . . . . . . . . . . . . . . . 552.6.1 Investicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.6.2 Dohodak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6.3 Plae i kamatne stope . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.7 Rijeen (razdvojen) sustav spreman za simulaciju . . . . . . . 582.8 Simulacija RBC u excelu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6134 SADRAJ2.8.1 Unoenje parametara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.8.2 Unoenje formula za ravnotena stanja . . . . . . . . . 622.8.3 Unoenje formula za koecijente. . . . . . . . . . . . . 632.8.4 Unoenje formula za simulirana odstupanja od ravno-tene vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 New-keynesian model (NKM) 713.1 Uvod u NKM model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Kuanstva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.1 Funkcija korisnosti i proraunsko ogranienje . . . . . . 743.2.2 N diferenciranih proizvoda. . . . . . . . . . . . . . . . 763.3 Lagrange - maksimizacija kuanstava . . . . . . . . . . . . . . 773.4 Poduzea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4.1 Proizvodna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4.2 Agregatna razina cijena i ljepljive cijene . . . . . . . . 843.4.3 Optimalno odreivanje cijena . . . . . . . . . . . . . . 863.5 Log-linearizacija oko ravnotenog stanja . . . . . . . . . . . . 893.5.1 Log-linearizacija Ramseyevog pravila . . . . . . . . . . 893.5.2 Log-linearizacija agregatne inacije . . . . . . . . . . . 913.5.3 Log-linearizacija optimalne razine cijena . . . . . . . . 923.6 Pronalaenje ravnotee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.6.1 New Keynesian Phillips Curve. . . . . . . . . . . . . . 953.6.2 Dinamika IS krivulja (DIS) . . . . . . . . . . . . . . .1033.6.3 Taylorovo pravilo ili egzogeno odreivanje mase novca .1063.7 Razdvajanje (decoupling) sustava . . . . . . . . . . . . . . . .1083.7.1 Postavka sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1083.7.2 Razdvajanje sustava za okove kamatne stope . . . . .1093.7.3 Razdvajanje sustava za tehnoloke okove . . . . . . . .1143.8 Rijeen sustav spreman za simulaciju . . . . . . . . . . . . . .1193.8.1 okovi kamatne stope . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1193.8.2 okovi tehnologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1193.9 Simulacija NKM u excelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1203.9.1 okovi kamatne stope . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1213.9.2 okovi tehnologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1224 Popis literature 127UvodOvaj tekst osmiljen je kao prijelazni korak za studente koji su apsolvirali sta-tike modele dodiplomske makroekonomije i koji ele dobiti to jednostavnijiuvid u dinamiku (stohastiku) makroekonomsku analizu. Postoji nekolikoosnovnih prednosti ovoga teksta u odnosu na brojne udbenike iz napredneili dinamike makroekonomije.Osnovna prednost je injenica to su svi modeli runo izvedeni od poetkado kraja, tako da je za itanje i razumijevanje potrebna znatno nia razinapredznanja iz matematike. U pravilu se podrazumijeva da itatelj zna rje-avati jednadbe sa nepoznanicama, poznaje deriviranje funkcija i mnoenjematrica. Svi modeli su izvedeni u diskretnom vremenu, a sloenija matema-tika pravila, izvodi ili operacije koritene u tekstu su objanjene na mjestimagdje su nune za izvod modela.Druga vana specinost ovoga teksta proizlazi iz injenice kako su mode-li sagraeni na nain da itatelja najkraim putem odvedu od pretpostavki,preko optimizacije i log-linearizacije, do simulacije modela u vremenu. Za si-mulaciju su izabrane najjednostavnije (osnovne) verzije Real Business Cyclemodela i New-Keynesian modela, kako bi svaki itatelj mogao proi sve fazeizgradnje modela u to kraem roku. Simulacija svih modela je napravljenau MS Excelu kako bi se novosteena znanja iz ekonomije simulirala unutarpoznatog softwarea, te kako bi se utedjelo vrijeme potrebno za uenje pro-gramiranja u MATLAB-u i/ili Dynarei.Brojna pojednostavljenja nisu promijenila niti jednu karakteristiku mo-dela, najjednostavnije verzije oba modela su u potpunosti, bez preskakanjakorakaizvedenei pomouokovasimuliraneuvremenu. Stogaovaj tekstnudi jedinstvenu priliku studentima da nastave graditi na postojeim pred-znanjima i na taj nain bitno olakaju prvi korak u dinamiku ekonomskuanalizu.Za oekivati je da e velika veina studenata koji se potrude samostalnoizvesti i simulirati oba modela biti sposobna bez velikih potekoa razumjetiekonomskeprobleme, ali i matematikuanalizuvelikeveine"workhorse"dinamikih modela i udbenika iz dinamike/stohastike makroekonomije kao56 SADRAJtosuBlanchardi Fischer (1989), Barroi Sala-i-Martin(1998) i Romer(2000).Upravo je to bio i cilj ovoga teksta, demisticirati matematike probleme,premjestiti simulaciju u poznati software i to je mogue veu panju posve-titi izgradnji ekonomske intuicije potrebne za razumijevanje simulacije RealBusiness Cycle i New-Keynesian modela.U prvom poglavlju je analiziran Ramseyev model kao osnovni model svihdinamikih ekonomskih modela. Nakon toga je u drugom poglavlju prezen-tiran Real Business Cycle model baziran na savrenom tritu racionalnimoekivanjimai stohastikimokovimatehnologije. Utreempoglavljujepredstavljen i simuliran New-Keynesian model baziran na nesavrenom tri-tu,monopolskoj konkurenciji, ljepljivim cijenama i monetarnim i tehnolo-kim okovima.Poglavlje 1Ramseyev modelRamseyev model je osnova svih dinamikih modela u ekonomiji i na njemu sebaziraju svi modeli realnih poslovnih ciklusa, kao i novi-Keynesijanski mode-li. Osnovna ideja modela je da se postojeim makroekonomskim modelimadodaju mikroekonomske osnove, odnosno da se svi makroekonomski zakljuciobjasne u okruenju u kojem postoje kuanstva koja maksimiziraju iskljuivosvoju korist.1.1 Uvod u Ramseyev modelOsnovna razlika Ramseyevom modelu u odnosu na dodiplomsku (bihevioral-nu)makroekonomijulei ufunkciji potronje. UKeynesovoj funkciji, po-tronjaovisi oautonomnoj potronji c0, graninoj sklonosti potronji c1iraspoloivom dohotkuYd.C= c0 +c1(Yd) (1.1)Kod Modiglianija, potronja ovisi o graninoj sklonosti ka potronji iz pri-vatnog bogatstvac0, graninoj sklonosti potronjic1, raspoloivom dohotkuYd i privatnom bogatstvuWp.C= c0Wp +c1(Yd) (1.2)U Solow modelu, tednja je bila funkcija umnoka stope tednje i dohotkaS= sY , a potronja je bila dohotku umanjenom za tednju.C= Y S= Y sY= (1 s)Y (1.3)U sva tri modela je potronja bila bazirana na temelju bihevioralni jed-nadbi, odnosnonatemeljuksnihpravilaponaanja, kojasuvrloesto78 POGLAVLJE 1. RAMSEYEV MODELmogla proizvoditi sistematske pogreke u ponaanju. Najbolji primjer siste-matske pogreke je funkcija formiranja oekivanja u kojoj sindikate do plusbeskonanosti rade istu pogreku i nikada ne uspiju shvatiti da se ponaajuneracionalno (adaptivno).Upravo je to bila osnovna meta Lucasove kritike (1976). Prema Lucasu,ako su potroai (ili sindikati) racionalni, tada e promijeniti pravila ponaa-nja u trenutku kada shvate da nisu optimalna za postizanje njihovih ciljeva.Odnosno, prema Lucasu racionalni sindikati maksimiziraju sadanju vrijed-nost svih plaa tijekom radnog vijeka, a potroai sadanju vrijednost potro-nje tijekom trajanja ivota. Zahtjeva li navedena maksimizacija promjenu c0ic1, oni e se promijeniti.Sukladno tome, svaka funkcija procijenjena pomou ekonometrijskih alatanije korisna za predvianje budunosti , svaki ekonometrijski procijenjenc0i c1jetoansamousluajuakonavedenafunkcijapotronjeneodstupaod optimalnog plana potronje za kuanstvo. U trenutku kada bihevioralnafunkcijaodstupi odoptimalnogplana, statistiki procijenjenavezaebitibezvrijedna.1.2 Intertemporalna funkcija potronjeU skladu s Lucasovom kritikom, u Ramsey modelu funkcija korisnosti Ujepozitivna funkcija sadanje i svih buduih potronji.C0 +1C1 +2C2 +... +nCn(1.4)Koecijent0R ,optimalanplanpotronjejeopadajui. Usuprotnomsluajuenaravno,potronja u vremenu rasti.Slika 1.2 prikazuje kretanje potronje u vremenu kada je = R= 0, 05,zatimkadajeR =0, 05, a=0, 06isluajkadajeR =0, 05, a = 0, 04.Oigledno je dakle da e kretanje potronje ovisiti o oekivanom dohotkui kamatnoj stopi tijekom itavog ivota i nestrpljenju , odnosno strpljenju potroaa.Potroai e u vremenu kada je dohodak iznad prosjenog tedjeti,a u vremenu kada je ispod prosjenog troiti uteeno.Glavnaekonomskaimplikacijaintertemporalnefunkcijepotronjekojaproizlazi iz intertemporalne optimizacije je injenica da e sve promjene do-hotka koje su percipirane kao privremene na potronju djelovati znatno ma-njenegopromjenedohotkakojesupercipiranekaostalne. Upravojeovaimplikacija kljuna za Lucasovu kritiku, sve privremene ekspanzije dohotka1.4. SOLOW MEETS RAMSEY 13Slika 1.2: Utjecaj odnosa iR na kretanje optimalnog plana potronjeu vremenuuzrokovaneskalnimi monetarnimekspanzijamaneeimati Keynesijanskiefekt na potronju iz razloga to e granina sklonost potronjic1 u vrijemeprivremenog booma biti znatno manja (ili jednaka nuli).1.4 Solow meets RamseyKako bi mogli analizirati implikacije kretanja potronje iz Ramseyovog mo-dela na stopu tednje i ravnoteno stanje u Solow modelu, potrebno je izrazitiRamseyevo pravilo kao stopu rasta potronje, odnosno logaritmirati jednad-bu 1.19.lnCt+1lnCt= ln(1 +R ) ln(1 +) (1.20)Prebacimo li itav sustav u kontinuirano vrijeme, tada je ln(1 +) pri-blino jednak , a isto tako stopa rasta iz diskretnog vremena lnCt+1lnCtpostajeC(t)/C(t) u kontinuiranom vremenu. Nakon sreivanja jednadbe,stoparastapotronjeCebiti jednakarazlici netokamatnestopei stopekorisnosti vremenske preferencije potronje (nestrpljivost).C(t)C(t)= R (1.21)14 POGLAVLJE 1. RAMSEYEV MODELDrugi korak je da jednadbu 1.8 koja denira kretanje kapitala izrazimokaostopurastakapitalaukontinuiranomvremenu. Kapital uslijedeemrazdoblju Kt+1 jednak zbroju investicija i neamortiziranog kapitala (1)Ktu ovome razdoblju.Kt+1= It + (1 )Kt(1.22)Umjesto investicijaImoemo, kao i u lagrange funkciji, uvrstitiY C,odnosnoAtKtN1tCt, aKt moemo pomnoiti sa zagradom1 .Kt+1= AtKtN1tCt +KtKt(1.23)Prebacimo liKt na lijevu stranu, dobiti emo:Kt+1Kt= AtKtN1tCtKt(1.24)Odnosno u kontinuiranom vremenu:K(t) = A(t)K(t)N(t)1C(t) K(t) (1.25)Jednadba 1.21 i jednadba 1.25 ine sustav diferencijalnih jednadbi ukojem promjena kapitala ovisi o tednji (dohodak A(t)K(t)N(t)1umanjenza potronjuC(t)) i amortizaciji K(t). Isto kao i u Solow model,kada jenepotroeni diodohotka(tednja) vei odamortizacije, kapital erasti iobrnuto.Novina u odnosu na Solow model,proizlazi iz injenice da kretanje po-tronje(tednje) uvremenuovisi ointertemporalnoj optimizaciji ukojojsu glavni imbenici kamatna stopari nestrpljenje potroaa. Najvanijaimplikacijajedapotronja, odnosnotednjaneebiti konstantne(kaotopretpostavlja Solow), ako kamatna stopa nije jednaka nestrpljenju.Promjena potronje e mijenjati tednju, promjena tednje, razinu kapi-tala, promjena kapitala graninu produktivnost kapitala, odnosno kamatnustopu, a kamatna stopa e povratno djelovati na razinu potronje. Kljunojepitanjedakle, dalijeovajzaaranikrugstabilan(postojiliravnotenostanje) ili e jednostavno sustav jednadbi eksplodirati u apstraktnim velii-nama.Slika 1.3 prikazuje Ramseyevu funkciju potronje (jednadba 1.21) i So-lowovu funkciju za kretanje kapitala (jednadba 1.25) na grakonu koji naosima ima potronjuCi kapitalC.PravacK(t)=0prikazujesvekombinacijepotronjeCikapitalaKukojima se ekonomija nalazi u ravnotenom stanju u Solow modelu.K(t)=0znai dasekapital nemijenja, odnosnodajenepotroeni diodohotkaY Cjednak amortizaciji. Zbog zlatnog pravila kapitala iznos potronje u1.4. SOLOW MEETS RAMSEY 15Slika 1.3: Ramseyev dijagram za Solow model rastaravnotenom stanju u Solow modelu e rasti sve to razine kapitalaKGR,anakon toga e poeti padati. TokaA oznaava ravnotenu razinu kapitalazamaksimalnurazinupotronje. Desnoodnjepotronjaepadati jerjemarginalanproizvodkapitalapremali dabi krozrastdohotkanadoknadiopotronjurtvovanuzadodatneinvesticije. Lijevoodtetokesituacijajeobrnuta.Desno odKRamsey, neto kamatna stopa e biti manja (opadajui prinosna kapital), a kada je nestrpljivost vea od neto kamatne stope, potronja eopadati u vremenu (Slika 1.2). Lijevo od tokeKRamsey neto kamatna stopae biti vea od nestrpljivosti i potronje e rasti.PravacC= 0 na slici 1.3 je okomit iz razloga to e potronja u vremenubiti stabilna samo kada je neto kamatna stopar, odnosno marginalna pro-duktivnostkapitalaumanjenazaamortizacijuR jednakanestrpljivosti. U naem sluaju, nestrpljivost e biti jednaka marginalnog produktivnostikapitala umanjenoj za amortizaciju na razini kapitalaKRamsey.IznadK(t) =0pravca, potronjaebiti prevelika, atednjapremalaY C Kpa e kapital imati tendenciju porasta.Slika 1.4: Solow dijagram i nestrpljivostPravacC= 0 mora biti lijevo od razine kapitala KGR (zlatno pravilo), akoje nestrpljivost vea od nule > 0. Slika 1.4 prikazuje kako je u zlatnom pra-vilu kapitala marginalni proizvod kapitala jednak amortizaciji, aR = 0,meutim zbog funkcije kretanja potronje iz Ramsey modela, znamo da nastabilnoj potronju R mora biti jednak nuli, odnosno da za stabilizira-nje potronje marginalni proizvod kapitalaR mora biti vei od amortizacijeza iznos nestrpljivosti. Imajui na umu da su opadajui prinosi na kapitaljednaodpretpostavkimodela, oiglednojekakoepotronjabitistabilnana nioj razini kapital gdje je granini proizvod kapitala vei.1.5 Originalni Ramsey modelPostoje etiri osnovne razlike izmeu Ramseyevog modela iz prethodnog po-glavlja i naina na koji se obino model prezentira u naprednim udbenicimaiz makroekonomije. Prva razlika je kao to je ve reeno, da se obino opti-mizira potronja po kuanstvu. Druga razlika je da obino postoje padajuiprinosi na potronju u funkciji korisnosti. Trea razlika je da se model moe1.5. ORIGINALNI RAMSEY MODEL 17izvesti poefektivnomradnikuANi etvrtarazlikajedasegotovouvijekmodel izvodi u kontinuiranom vremenu od poetka.Sva etiri odstupanja u ovome tekstu su napravljena iz pedagokih raz-loga, kako bi se to jednostavnije objasnio osnovni mehanizam ravnotenogstanja kada je i odluka o tednji/potronji objanjena unutar modela (endo-genizirana).Dvije od etiri pretpostavke moemo jednostavno odbaciti sada kada smoizveli Ramseyevmodel unajjednostavnijemobliku. Funkcijakorisnosti umodelupoefektivnomradnikuisopadajuomkorisnounapotronjueizgledati ovako:U=

t=0t_CtAtNt_11 (1.26)Proizvodna funkcija u navedenom modelu e biti:Yt=KtAtNt(1.27)Kapital epratiti istopravilu, samotoesadazahtijevaneinvesticijemorati uraunati i stopu rasta tehnologijegA i populacijegN.ItAtNt=Kt+1At+1Nt+1(1 gAgN)KtAtNt(1.28)Nakon uvrtavanja u Lagrange funkciju, deriviranja po potronji i kapi-talu po efektivnom radniku i uvrtavanja prve derivacije u drugu umjesto ,dobiti emo:1_CtAtNt_= Et__1 gAgN+KtAtNt1_Ct+1At+1Nt+1___(1.29)Postupak je opet isti kao i u jednostavnijem sluaju.Prvo uklonim oznakuzaoekivanjaEt[], zatimuvrstimonestrpljivostumjestostrpljivosti , ana kraju pomnoimo cijelu jednadbu sa_Ct+1At+1Nt+1_._Ct+1At+1Nt+1CtAtNt_=1 gAgN+KtAtNt11 +(1.30)Nakon logaritmiranja emo dobiti:18 POGLAVLJE 1. RAMSEYEV MODEL_lnCt+1At+1Nt+1lnCtAtNt_ = ln_1 gAgN+KtAtNt1_ln(1+)(1.31)Kako bi s lijeve strane dobili stopu rasta potronje po efektivnom radniku,potrebno je podijeliti cijelu jednadbu sa.lnCt+1At+1Nt+1lnCtAtNt=ln_1 gAgN+KtAtNt1_ln(1 +)(1.32)Kao i u jednostavnom modelu, prebacimo li itav sustav u kontinuiranovrijeme,tada je ln(1 + ) priblino jednak ,a isto tako stopa rasta izdiskretnog vremenalnCt+1 lnCtpostajeC(t)/C(t) u kontinuiranom vre-menu. CAN(t)CAN(t)=KtAtNt1 gAgN (1.33)Ukonanici, formulazastopurastapotronjeimatrinovaargumenta.Stopa rasta tehnologije gA i stopa rasta populacije gN proizlaze i injenice dato sada tehnologija i populacija rastu, pa investicije u ravnotenom stanjumorajubitiveeodamortizacijekakobipokrilerastpopulacijeitehnolo-gije. Koecijent proizlazi izopadajuihprinosanapotronjuufunkcijikorisnosti. Kada bi bio jedan, tada bi funkcija korisnosti bila ista kao i ujednostavnom Ramsey modelu.Prednostovogamodelajedamoemonapraviti sliku1.3sakapitalomipotronjompoefektivnomradnikunaosima. Takoervanojenapome-nuti dajednadbe1.33uoriginalnommodeluizvedenomukontinuiranomvremenu za potronju po radniku izgleda neznatno drugaije:C(t)/C(t) =KtAtNt1 gA(1.34)Stope rasta populacije nema iz razloga to jeCdrugaije deniran, amnoi stopu rasta tehnologijegAiz razloga to je Lagrange ili Hamiltoniandrugaijepostavljenukontinuiranomvremenu. Maksimizacijaintegralaukontinuiranomvremenurezultirapunomonijimmatematikimmodelom,ali je naalost pedagoka korisnost navedenog modela vrlo upitna.Poglavlje 2Real business cycle model2.1 Uvod u RBC modelRBC model je dijametralno suprotan pogled na ekonomske cikluse u odnosunaKeynesijansku/monetaristikuteoriju. Cilj RBCmodelajeukazati nainjenicu da sluajni okovi tehnolokog napretkaA, u uvjetima racionalnihoekivanja i savrene konkurencije mogu proizvesti makroekonomske uktu-acije jednake onima zabiljeenim u slubenim podacima.Uspjeh RBC modela u simuliranju stvarnosti je stavio pod znak upitnikatvrdnjukeynesijanaca, monetaristainovih-keynesijanacakakosusveuk-tuacije dohotka i zaposlenosti posljedica podzaposlenosti ili devijacija neza-poslenosti odprirodnerazinenezaposlenosti. Osnovni zakljuakproizaaoizRBCrevolucijejeinjenicadajezasvakudevijacijudohotkaizaposle-nosti upitno radi li se o devijaciji od ravnotee (keynesijanci,monetaristi inovi-keynesijanci) ili o devijacijama ravnotene razine dohotka i zaposlenosti(RBC modeli).1Posljedica na voenje ekonomske politike sukladno tome je bila injenicada nema potrebe ekspanzivnim politikama djelovati na sve padove dohotkai/ili zaposlenosti iz razloga to neke devijacije mogu biti posljedica promjeneu racionalnom odabiru kuanstva u pogledu toga koliko ele raditi/uivati itroiti/tedjeti (ponekad se koristi rije struktura).2.1.1 RBC model za dva razdobljaOsim potronje, u RBC modelu kuanstva biraju i koliko e satiL raditi upojedinom vremenskom razdoblju, odnosno koliko sati nee raditi1 L. U1Kydland i Prescott (1982) su za svoj RBC rad "Time to build and aggregate uctu-ations" (zajedno s jo nekim drugim zaslugama), dobili nobelovu nagradu.1920 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELskladu s tim, potrebno je razlikovati varijabluNkoja oznaava zaposlenosti varijabluL koja oznaava sate rada. U skladu s tim, ukupni sati rada sujednaki broju zaposlenih pomnoenom sa prosjenim radnim vremenom pozaposlenomL=satixN.2Uobiajeno je osamsatno radno vrijeme,ali kaotopokazujustatistikipodaci, satiradaznatnouktuirajuusvimgospo-darstvima.URBCmodelu, neradili odmaranje 1 Lpoveavakorisnost Ukaoi potronja. Sukladnotomekuanstvaemaksimizirati korisnost Ukojaproizlazi izpotronjeCi nerada1 L. Dodavanjeizboraokoliini radastvaradvijevrsteizboraumodelu, intErtemporalniizmeusadanjegibudueg nerada i intrAtemporalni izmeu sadanje potronje i sadanjegnerada.Problem intratemporalnog i intertemporalnog izbora je najlake razumje-ti u RBC modelu sa dva vremenska razdoblja. Pretpostavimo kuanstvo kojee raditi samo u dva vremenska razdoblja i tijekom navedena dva razdobljamoe potroiti dohodak koji e zaraditi radei kroz navedena dva razdoblja.Sadanja vrijednost potronje C mora biti jednaka sadanjoj vrijednosti svihbuduih dohodakaWL (nadnica puta sati rada).C1 +C2(1 +r)= W1L2 +W2L2(1 +r)(2.1)Dakle kuanstvo mora izabrati C1, C2, L1 i L2 kako bi maksimiziralo svojukorist uz ogranienje dohotka. Matematiki je puno lake rijeiti ovaj modelako pretpostavimo logaritamsku funkciju korisnosti U= logC +log(1 L).Naravno, mogui sui drugi oblici funkcijekorisnosti, ali ovajobliknakonderiviranja rezultira sa najmanje parametara i najelegantniji je za raunanje.Kakobi rijeili problemmaksimizacijepotronjei neradauzogranie-njedakakojenemoguepotroiti vienegotosmozaradili, potrebnojeformirati Lagrangea pomou logaritamske funkcije korisnosti i proraunskogogranienja. Ekonomskim rjenikom reeno kuanstva maksimiziraju potro-nju i nerad u dva razdoblja uz ogranienje da ne mogu potroiti vie od plaekoju prime u dva razdoblja. Naravno plaa je jednaka umnoku nadniceWi vremena potroenog na radL.L = logC1 +log(1 L2) +[logC2 +log(1 L2)]_W1L1 +W2L2(1 +r) C1C2(1 +r)_(2.2)Parcijalne derivacije poL1 iL2 e rezultirati sa:2Sukladno tome i u proizvodnoj funkciji emo imati sate radaL, a ne zaposlenostN.2.1. UVOD U RBC MODEL 21LL1= 0 =1 L1+W1=1 L1= W1(2.3)LL2= 0 =1 L2+W21 +r=1 L2= W21 +r(2.4)Slijedei korak je da se rijeimo u obje jednadbe. Jednadbu 2.3 di-jelimo saW1, jednadbu 2.4 mnoimo sa1+rW2kako bi ostao sam na svojojstrani.1 L11W1= (2.5)1 L21 +rW2= (2.6)Izjednaimo li lijeve strane obje jednadbe dobiti emo:1 L11W1=1 L21 +rW2(2.7)U posljednjem koraku je potrebno pomnoiti jednadbu 2.7 sa W1 i 1 L2/.Nakon kraenja iW1 dobiti emo:1 L21 L1= (1 +r)W1W2(2.8)Izjednadbe2.8jemogueizvui zakljukeotomekakoerelativnapromjena plaa izmeu dva razdoblja djelovati na relativnu koliinu nerada(rada) u dva razdoblja i kakvu ulogu u svemu tome ima strpljivost i kamatnastopa.Porast plae u prvom razdoblju u odnosu na plau u drugo razdobljuW1W2 e djelovati narastNErada u drugom razdoblju u odnosu naprvorazdoblje1L21L1, odnosnonapadradaudrugomrazdobljuuodnosu na prvo razdobljeL2L1. Objanjenje proizlazi iz injenice da eporast plae danas motivirati osobe da poveaju rad danas i tede zasutra kada e raditi manje jer je danas rad relativno bolje plaen.Porast kamatne stoperdjelovati e na porast nerada u budunosti uodnosu na sadanjost, odnosno na pad rada u budunosti u odnosu nasadanjost.Racionalizacija proizlazi iz injenice da je isplativije stvoritivikove koje emo kasnije troiti kada je kamatna stopa via.22 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELParcijalne derivacije jednadbe 2.2 poC1 iC2 e rezultirati sa:LC1= 0 =1C1 = 0 =1C1= (2.9)LC2= 0 =C211 +r=C2= 11 +r(2.10)Jednadbu 2.9 pomnoimo sa(1 +r).C2(1 +r) = (2.11)Nakon toga, lijevu stranu jednadbe 2.12 uvrstimo u jednadbu 2.9.1C1= (1 +r)C2(2.12)Nakon mnoenja saC2 dobiti emo:C2C1= (1 +r) (2.13)S obzirom da iz Ramseyevog modela znamo da je strpljivost =11+, jed-nadbu 2.12 moemo zapisati kao tipinu Eulerovu jednadbu iz Ramseyevogmodela:C2C1=1 +r1 +(2.14)Oigledno je dakle da i u RBC modelu sa dva razdoblju potronja ovisioodnosuizmeunetokamatnestoperi nestrpljivosti potroaa. Rastkamatne stope e poveati potronju u budunosti u odnosu na sadanjostjer e nagrada za tednju nadmaiti nestrpljivost potroaa.2.1.2 Graka prezentacija RBC modelaJednostavni model zaRBCudvarazdobljajemoguei graki prikazatinanainkojijejakoslianIS-LMmodeluodKeynesa. Natajnainstu-denti mogudobiti odreenuintuicijupomoualatakoji jesliandosadaobraivanim alatima. Kako bi napravili jednostavan graki prikaz, uz jed-nadbe 2.14 i 2.8, potrebno je pretpostaviti da je dohodak funkcija kapitala,rada i tehnologijeYt=AtKtL1tuz klasian preduvjet opadajuih prino-sa na rad i kapital. Takoer trebati e nam funkcijama promijene kapitalaKt+1= It + (1 )Kt.2.1. UVOD U RBC MODEL 23Slika 2.1 na osima ima realnu kamatnu stopur i dohodakY . Na njemuse nalaze etiri krivulje: krivulja investicijaI,krivuljaCpotronje,njihovzbroj C+ IikrivuljaproizvodnjeYf. Dakle, ovdjeseradiosvojevrsnomAS AD grakonu jer imamo krivulju potranje C+I i krivulju ponude Yf,meutim s obzirom da je umjesto cijene na vertikalnoj osi realna kamatnastopa neke e grakon asocirati naIS LMkrivulju.3Prvi korak je kao i uvijek analiza nagiba krivulja prikazanih na slici 2.1.NagibkrivuljeinvesticijaI jedirektnovezanuzinjenicudausavrenojkonkurenciji poduzea posuuju kapital, odnosno investiraju sve do trenutkakadamarginalni proizvodkapitalapadnedovoljnoniskodaseizjednai srealnom kamatnom stopomr.Uskladustimuravnoteiemarginalniproizvodkapitalabitijednakrealnoj kamatnoj stopi MPK=r. Porast realne kamatne stope e znaitida se marginalna produktivnost kapitala mora poveati, a kako u proizvod-noj funkciji imamo opadajue prinose na kapital, marginalna produktivnostkapitalaeporasti samoakosmanjimokoliinukapitala, odnosnosmanji-moinvesticijeispodamortizacije. Dakle, veakamatnastopar , manjeinvesticijeI .Druga krivulja iji nagib moramo objasniti je krivulja potronje C. Njennagib proizlazi iz Ramseyevog pravila, odnosno u naem sluaju iz jednadbeC2/C1=(1 + r)/(1 + ). Ukoliko doe do porasta realne kamatne stoper,porasti eomjerpotronjeudrugomrazdobljuC2uodnosunapotronjuu prvom razdobljuC1, odnosno doi e do seljenja potronje iz sadanjostiC1 ubudunost C2 . Kakojeslika2.1nacrtanasamozarazdoblje1,na njoj e rast realne kamatne stoper izazvati pad potronje u sadanjostic1 (injenica da u budunosti potronja raste, kao i injenica da emo sadaimati veu stopu rasta potronje nije vidljiva na slici 2.1).Trea krivulja je krivulja agregatne ponudeYf. Za razliku od prve dvijekrivulje, ova krivulja ima pozitivan nagib, dakle oigledno je da e s rastomrealne kamatne stope u istom vremenskom razdoblju doi do poveane pro-izvodnje. Kako bi razumjeli ovaj nagib, potrebno je prisjetiti se jednadbe(1 L2)/(1 L1) = (1 +r)(W1/W2) prema kojoj rast realne kamatne stoperrezultirarastomNEradaubudunosti (1 L2)/(1 L1) uodnosunaNErad u sadanjem razdoblju. Drugim rijeima doi e do seljenja NEradaiz sadanjosti(1 L1) u budunost(1 L2) .Kako slika 2.1 prikazuje samo razdoblje1, pad nerada u sadanjosti(1 L1) ubitipredstavljadaeradniciraditivieusadanjosti L1 . Kakoje proizvodna funkcijaYt= AtKtL1t, porast rada e znaiti vie dohotka.3Napomena je da za sada apstrahiramo dravu i ostatak svijeta (uvoz i izvoz), pa je uskladu s tim agregatna potranja jednaka zbroju investicija i potronje.24 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELDakle porast realne kamatne stoper rezultira sa trenutnim padom NEradai rastom rada (Ili e ljudi raditi vie prekovremenih ili e vei broj lanovakuanstva raditi).Posljednji element koji nam nedostaje za RBC model je tehnoloki ok.Dakle, kada doe do nekog egzogenog porasta tehnologije, krivulje na slici 2.1e se poeti micati. Pretpostavimo li npr. da je dolo do porasta tehnolokognapretkazakoji seoekujedaebiti permanentan, svetri krivuljeesepomaknuti.KrivuljaI se pomie prema desno iz razloga to porast tehnologije pove-ava marginalnu produktivnost kapitala na postojeoj razini kapitala. Kakoepoduzeaposuivati kapital i investirati gasvedokjerealnakamatnastoparmanjaodmarginalneproduktivnosti kapitala, porastMPKznaida e poduzea poeti ponovno poveavati kapital sve dok se uz veu razinutehnologije ponovno ne izjednae MPK i r. Sukladno tome, krivulja I e senakon permanentnog tehnolokog oka pomaknuti u desno.4.Slika 2.1: Porast tehnologijeA u RBC modeluKrivulja C e se takoer pomaknuti u desno iz razloga to e trajni porastproduktivnosti znaiti da e porasti plaa u sadanjosti, ali i u svim buduimrazdobljima.Drugim rijeima doi do porasta prosjene plae tijekom itavogivota, a to e rezultirati rastom potronje u svim razdobljima. Za oekivatije da e porastCbiti manji od porastaI.Krivulja Yf e se pomaknuti u desno iz istog razloga to je tehnologija Au proizvodnoj funkciji, pa e rast tehnologije jednostavno poveati proizvodnemogunosti. Porast proizvodnih mogunosti e biti isti kao i rast prosjenog4UsluajuprivremenogporastatehnologijekrivuljaI eostati naistommjestuizrazloga to treba puno vremena za promjenu koliine kapitala, a privremeni rast tehnologijedo tada moda i nestane2.1. UVOD U RBC MODEL 25oekivanog dohotka i potronje, pa e u skladu s tim pomak krivuljaYfiCbiti jednak.Krivulja C0 +I0 predstavlja zbroj potronje C0 i investicija I0, a krivuljaC1+I1predstavljazbroj potronje C1i investicijaI1nakontehnolokogoka. Ravnotenarealnakamatnastopai dohodakprijetehnolokogokasu denirani presjecitem krivuljaC0 + I0i Yf0,a nakon oka presjecitemkrivuljaC1 +I1 iYf1.Slika 2.1 pokazuje da e trajni porast tehnolokog napretka izazvati po-rastdohotkai realnekamatnestopeiztokeAutokuBurazdoblju1.Naravno, treba imati na umu kako je ovo samo ok u razdoblju1, a ostalarazdobljanisuniti prikazananagrakonu. Kakobi saznali tosedogaatijekom vremena kada je ekonomija izloena manje ili vie volatilnim tehno-lokim okovima, potrebno je napraviti dinamiki RBC model i simulirati gau vremenu pomou nekog softwarea (Kydland 2003).26 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODEL2.2 Pretpostavke RBC modela za simulacijuKako bi mogli simulirati ponaanje ekonomije pomou RBC modela, potreb-no je denirati proizvodnu funkciju, funkciju korisnosti, akumuliranje kapi-tala i tehnoloke okove. Uobiajeno je da se pretpostavi kretanje tehnologijeprocijenjeno na Solow rezidualu izraunatom metodom raunovodstva rasta.Proizvodna funkcija je slina kao i u Solow modelu rasta s tehnologijom.Osnovna razlika je u injenici to je L ukupan broj sati rada, a ne broj radnikaN.Yt= AtKtL1t(2.15)Kapital se takoer kree kao i u Solow modelu, koliina kapitala u slijede-em razdobljuKt+1 je jednaka zbroju investicijaIi neamortizirane koliinekapitalaizsadanjosti (1 )Kt. Jednostavnosti radi pretpostavljamodatehnologija i populacija ne rastu u dugom roku.Kt+1= It + (1 )Kt(2.16)Iako smo pretpostavili da tehnologija ne raste u dugom roku, doputamoda se dogaaju neki sluajni okovi u gospodarstvu koji s vremenom odumirui vraajuekonomijuuravnotenostanje. Stogasetehnologijakreekaoautoregresijski procesAR(1)ukojem1 diookovaodumireusvakomrazdoblju.lnAt= lnAt1 +t(2.17)Korisnost kuanstava ovisi o logaritmiranom i ponderiranom prosjeku po-tronjeCt i slobodnog vremena1 Lt, gdje je ponder slobodnog vremenau ponderiranom prosjeku. Isto kao i u Ramsey modelu, pretpostaviti emoda je C agregatna potronja u gospodarstvu, a ne potronja po kuanstvu iliosobi.U=

t=0t[logCt +log(1 Lt)] (2.18)Ukupna proizvodnja je jednaka zbroju potronje i investicija iz razloga tosu zbog jednostavnosti drava G i neto izvoza NX apstrahirani iz jednadbe.Vano je ovdje uoiti da je investicije mogue supstituirati s razlikom izmeukapitala u slijedeem razdoblju i neamortizirane koliine kapitala u sadanjemrazdoblju.Yt= Ct +It= Ct +Kt+1(1 )Kt(2.19)2.2. PRETPOSTAVKE RBC MODELA ZA SIMULACIJU 27Racionalan cilj kuanstava u modelu je maksimizirati korisnost, odnosnoto vie troiti uz to manje sati rada, ali uz ogranienje da ukupna potronjane moe biti vea od ukupne proizvodnje. Naravno, treba imati na umu damanja potronja danas, preko veih investicija dovodi do veeg dohotka sutra,tako da i navedena intertemporalna supstitucija ulazi u proces optimizacije.Ct +Kt+1(1 )Kt AtKtL1t(2.20)28 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODEL2.3 Lagrange - maksimizacija uz ogranienjaSukladno tome Lagrange funkcija e imati dva ogranienja, klasino budet-sko ogranienje koje proizlazi iz funkcije proizvodnje i drugo ogranienje kojeproizlazi iz procesa formiranja kapitala. Kapital ne moe porasti vie negototodozvoljavajuinvesticijei amortizacija, apotronjajelimitiranabu-detskim ogranienjem koje proizlazi iz proizvodne funkcije.L = t_logCt +log(1 Lt) t(Ct +Kt+1(1 )KtAtKtL1t)(2.21)Parcijalna derivacija po potronji rezultira sa:LCt= 0 =1Ctt= 0 =1Ct= t(2.22)Parcijalna derivacija po radu rezultira sa5:LLt= 0 =1 Lt(1) +t(1 )AtKtLt= 0 (2.23)Kod parcijalne derivacije po kapitalu treba imati na umu kako varijablakapitalaKt+1ulaziulagrangefunkcijuizjednadbe2.21, aliistotakoiulagrange funkciju u razdobljut + 1 gdjeKt+1zauzima isto mjesto kao i Ktu jednadbi 2.21. Sukladno tome se pojavljuje s vremenskim indeksimatit + 1.LKt+1= 0 =t +Ett+1(1 ) +Ett+1At+1K1t+1L1t+1= 0(2.24)ParcijalnaderivacijaLagragneovogmultiplikatorarezultiras ogranie-njem:Lt= 0 =Ct +Kt+1(1 )KtAtKtL1t= 0 (2.25)Sada kada smo dobili etiri uvjeta prvog reda iz Lagrangeove maksimiza-cije uz ogranienje, slijedei korak je uvrtavanje1Ctumjestot u jednadbu2.23 i 2.24. Nakon uvrtavanja u jednadbu 2.23 dobivamo:1 Lt+1Ct(1 )AtKtLt= 0 (2.26)5NAPOMENA: Derivacija od log() je jednaka1(1), a derivacija log() je jednaka1 (1). Isto vrijedi i zalog(1 ) to je jednako1(1) (1)2.3. LAGRANGE - MAKSIMIZACIJA UZ OGRANIENJA 29Potom slijedi prebacivanje desnog izraza na desnu stranu i mnoenje i-tave jednadbe sa 1:1 Lt=(1 )AtKtLtCt(2.27)Uvrtavanjem1Cti1Ct+1umjestot it+1 u jednadbu 2.24 dobiti emo:1Ct+Et1Ct+1(1 ) +Et1Ct+1At+1K1t+1L1t+1= 0 (2.28)Nakon prebacivanja na desnu stranu dobijemo i mnoenja s 1 dobijemo:1Ct= Et1Ct+1(1 ) +Et1Ct+1At+1K1t+1L1t+1(2.29)U predzadnjem koraku je potrebno izluitiEt na desnoj strani:1Ct= Et_1Ct+1(1 ) +1Ct+1At+1K1t+1L1t+1_(2.30)I na kraju svesti razlomak na zajedniki nazivnik:1Ct= Et_(1 ) +At+1K1t+1L1t+1Ct+1_(2.31)Posljednji element iz Lagrangeove optimizacije je jednadba 2.25 u kojojjepotrebnoprebaciti potronjui kapital uslijedeemrazdobljunalijevustranu na lijevu stranu.Ct +Kt+1= (1 )Kt +AtKtL1t(2.32)Jednadba 2.27, jednadba 2.31 i jednadba 2.32 zajedno sa logaritmira-nom jednadbom 2.17, ine sustav jednadbi koji je potrebno rijeiti kako bise mogao simulirati ovaj jednostavni model realnih poslovnih ciklusa.1 Lt=(1 )AtKtLtCt1Ct= Et_(1 ) +At+1K1t+1L1t+1Ct+1_Ct +Kt+1= (1 )Kt +AtKtL1tlogAt+1= logAt +t+1(2.33)30 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODEL2.4 Log-linearizacija oko ravnotenog stanjaSustav iz jednadbe 2.33 je nelinearan sustav s poprilinim brojem nepozna-nica i varijabli i kao takvog ga je teko rijeiti. Kako bi se rijeio navedeniproblem, potrebnojesveetiri jednadbelog-lineariziratiokoravnotenogstanja. Kako bi mogli log-linearizirati model, potrebno je prvo izraziti rav-notena stanja za sve etiri jednadbe, a zatim i analitiki izvesti kapital poradnikuK/L, potronjuC, kapitalKi radL.Vrijednosti varijabli u ravnotenom stanju emo izraavati bez vremen-skog indeksat. U ravnotei (steady state), izrazi iz jednadbe 2.33 e imatislijedee vrijednosti (uklonjeni su vremenski indeksi).1 L=(1 )AKLC1C= 1 +AK1L1CC +K= (1 )K +AKL1lnA = lnA(2.34)Ravnotenastanjaenamtrebati zalog-linearizacijusveetiri funkci-je proizala iz maksimizacije Lagrangea uz ogranienja i u nastavku tekstaemo ih koristiti u procesu log-linearizacije kako bi sve varijable izrazili kaoodstupanja od ravnotenog stanja. Meutim, u samoj simulaciji modela e-mo koristiti jednadbe za ravnoteno stanje u kojima e biti K, C i L s lijevestranei uskladustimjepoeljnoizraziti ravnotenastanjaizjednadbe2.34 kao funkcije kapitala, potronje i rada.Kapital po radniku K/L je u ravnotenom stanju Solow modela bez teh-nologijekonstantani nemijenjase(Toi jedenicijaravnotenogstanja).Izvodimogaizdrugogredajednadbe2.34. Prvojepotrebnodrugi izrazpomnoiti saCi podijeliti sa.1= 1 +AK1L1(2.35)Nakon toga1 je potrebno prebaciti na lijevu stranu, a kako jeL1isto to i(1L)1+, izrazK1L1moemo napisati kao(KL)1.1 1 += A_KL_1(2.36)Zadnji korakjedijeljenjejednadbesaAi prebacivanjepotencijesa2.4. LOG-LINEARIZACIJA OKO RAVNOTENOG STANJA 31K/L na suprotnu stranu jednakosti.6Jednadba 2.37 predstavlja ravnotenuvrijednost (steady state) kapitala po radniku.KL=_1 1 +A_11(2.37)Kako bi dobili ravnotenu razinu potronjeC, potrebno je prvi red jed-nadbe 2.34 pomnoiti saC(1L).C=(1 L)(1 )A_KL_(2.38)Iz treeg reda jednadbe 2.34 izvodimo ravnotenu razinu kapitalaK. Uprvom koraku je potrebno pomnoiti Ksa zagradom(1 ) i prebaciti gana lijevu stranu, a potronjuCprebaciti na desnu stranu.K K +K= AKL1C (2.39)DvaizrazazaKslijevestranesekrate, jednadbupodijelimosa, aKL1moemo zapisati kaoKL1L, odnosnoLKL .K=AL_KL_C(2.40)Ravnotenu razinu radaL je najsloenije izvesti.7Prethodnu jednadbu2.40 je potrebno pomnoiti sa, a zatim na lijevu stranu prebaciti C, a nadesnuK.C= L_KL_K (2.41)Kada podijelimo navedenu jednadbu saL, dobiti emo:CL=_KL_KL(2.42)Nakon toga emo uvrstiti desnu stranu jednadbe 2.38 umjestoC.(1L)(1)A(KL)L=_KL_KL(2.43)6Jednakostx2= y je isto to ix =y, a korijen moemo zapisati i kao y = y12.7Idejadasepodijeli KsaK/Ljematematiki tona, ali euraunalnojsimulacijistvoriti problem, jer bi ondaL ovisio oK, aKoL (jednadba 2.37), pa raunalo ne bimoglo izraunati obje varijable.32 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELOdnosno, nakon mnoenja vanjskog vanjskim i unutarnje s unutarnjim:(1 L)(1 )A_KL_L=_KL_KL(2.44)Slijedei korakjemnoenjeitavejednadbesai dijeljenjesa(1 )A_KL_.(1 L)L=__KL_KL_(1 )A_KL_(2.45)Invertiranje obje strane e rezultirati sa:L(1 L)=(1 )A_KL___KL_KL_(2.46)Potom mnoimo desnu i lijevu stranu sa (1-L).L =(1 )A_KL___KL_KL_(1 )A_KL___KL_KL_L (2.47)Dijeljenje saL e rezultirati sa:1 =(1 )A_KL___KL_KL_L(1 )A_KL___KL_KL_(2.48)Potom izraz koji je podijeljen s L prebacujemo na lijevu stranu i mnoimocijeli izraz sa 1.(1 )A_KL___KL_KL_L= 1 +(1 )A_KL___KL_KL_(2.49)Kako bi na lijevoj strani jednadbe dobili samoL potrebno je podijelitiitavu jednadbu sa(1 )A_KL_i pomnoiti sa __KL_KL_.1L=__KL_KL_(1 )A_KL_+ 1 (2.50)S obzirom da 1 moemo napisati kao bilo koji razlomak kojem su brojniki nazivnik:1L=__KL_KL_(1 )A_KL_+(1 )A_KL_(1 )A_KL_(2.51)Svoenjem na zajedniki nazivnik, dobiti emo:2.4. LOG-LINEARIZACIJA OKO RAVNOTENOG STANJA 331L=__KL_KL_ + (1 )A_KL_(1 )A_KL_(2.52)to znai da bi ravnotena razina rada bila:L =(1 )A_KL___KL_KL_ + (1 )A_KL_(2.53)InvesticijeIuravnotenomstanjusujednakeamortizaciji, dohodakYzbroju potronje i investicija, a plaeWgraninom proizvodu rada.I= K (1 )K= K (2.54)Y= C +K (1 )K= C +K (2.55)W= (1 )AKL(2.56)Veliina izraena kao broj 1 uvean za neto kamatnu stopu 1+r je jednakagraninom proizvodu kapitala umanjenom za amortizaciju.81 +r = (1 ) +K1L1(2.57)Tako da je neto kamatna stopar jednaka:r = K1L1 (2.58)2.4.1 Log-linearizacija jednadbe 2.27Jednadbu2.27moemonapisati i nanaindasvevarijableiznazivnikastavimo na minus prvu potenciju kako bi se rijeili razlomaka.(1 Lt)1= (1 )AtKtLtC1t(2.59)Slijedei korak je da sve varijable (s indeksom vremena) zamijenimo saumnokom ravnotene vrijednosti varijable (jednadba 2.34) i odstupanja odravnotene vrijednosti koje emo oznaiti s oznakomiznad varijable. Npr.stvarna varijabla Xt e biti zamijenjena sa XeXtgdje je X ravnoteno stanje,aXt odstupanje od ravnotenog stanja ( Xt=XtXX).(1 L)1e

(1Lt)= (1 )AKLC1eAt+ KtLt Ct(2.60)8Rije neto implicira injenicu da je povrat na kapital umanjen za troenje kapitala.34 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELUslijedeemkorakumoemoe xtaproksimiratisa1 + xtkakobidobilidevijacije od ravnotenog stanja i ravnoteno stanje u lineariziranom obliku.(1L)1(1(

1 Lt)) = (1)AKLC1(1+ At+ KtLtCt) (2.61)U slijedeem koraku je potrebno pomnoiti ravnotene vrijednosti sa za-gradama.(1 L)1(1 L)1(

1 Lt) = (1 )AKLC1+ (1 )AKLC1 At+(1 )AKLC1 Kt(1 )AKLC1Lt(1 )AKLC1 Ct(2.62)Iz jednadbe 2.34 znamo da je u ravnotei (1L)1= (1)AKLC1i sukladno tome moemo s obje strane jednadbe ukloniti izraze koji su jed-naki u ravnotenom stanju. Takoer vratiti emo rad i potronju u nazivnikerazlomka zbog tehnikih razloga.1 L(

1 Lt) =(1 )AKLCAt +(1 )AKLCKt(1 )AKLCLt(1 )AKLCCt(2.63)Slijedei korak je da se rijeimo rada iz zagrade i svedemo varijablu naodstupanje rada od ravnotene vrijednosti. Prema deniciji znamo kako jedevijacija varijable od ravnotenog stanja jednaka stvarnoj vrijednosti uma-njenoj od ravnotene i podijeljenoj s ravnotenom ( Xt=XtXX). Sukladnotoj pretpostavki moemo napisati

1 LtiLtkao odstupanje od ravnoteepodijeljeno s ravnoteom.

1 Lt=(1 Lt) (1 L)(1 L)=1 Lt1 +L1 L= Lt +L1 L(2.64)Lt=LtLL(2.65)Jednadbu2.65jepotrebnoizraziti nanaindadobijemo Lt+ Lnalijevoj strani, a s ciljem da seLtu jednadbi 2.64 zamijeni sa odstupanjem2.4. LOG-LINEARIZACIJA OKO RAVNOTENOG STANJA 35odravnotenevrijednostiLt. Uskladustim, pomnoiti emojednadbu2.65 sa L.LLt= Lt +L (2.66)Sobziromdajebrojnikjednadbe2.64jednakdesnoj strani jednad-be2.66, oiglednojekakoimamoizrazzazagradu

1 Ltizraenpomoudevijacija od ravnotenog stanja.

1 Lt= Lt +L1 L= LLt1 L(2.67)Posljednji potez je uvrtavanje desne strane jednadbe 2.67 umjesto

1 Ltu jednadbi 2.63.1 LLLt1 L=(1 )AKLCAt +(1 )AKLCKt(1 )AKLCLt(1 )AKLCCt(2.68)Odnosno nakon sreivanja lijeve strane log-linearizirana jednadba 2.59izgleda ovako:L(1 L)2Lt=(1 )AKLCAt +(1 )AKLCKt(1 )AKLCLt(1 )AKLCCt(2.69)Slijedei korak je prebacivanjeLt na lijevu stranu.L(1 L)2Lt +(1 )AKLCLt=(1 )AKLCAt+(1 )AKLCKt(1 )AKLCCt(2.70)IzluivanjeLt iz oba izraza na lijevoj strani.36 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELLt_L(1 L)2+(1 )AKLC_ =(1 )AKLCAt+(1 )AKLCKt(1 )AKLCCt(2.71)U zadnjem koraku je potrebno podijeliti itavu jednadbu sa izrazom uzagradi_L(1L)2+(1)AKLC_.Lt=(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCAt+(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCKt(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCCt(2.72)2.4.2 Log-linearizacija jednadbe 2.31Ponovno poetnu jednadbu (2.31) moemo napisati na nain da se rijeimorazlomaka.C1t= Et_(1 )C1t+1 +At+1K1t+1L1t+1 C1t+1(2.73)Ponovno sve varijable Xt e biti zamijenjena sa XeXtgdje je X ravnotenostanje, aXt odstupanje od ravnotenog stanja ( Xt=XtXX).C1e Ct= Et[(1 )C1e Ct+1+AK1L1C1eAt+1+(1) Kt+1+(1)Lt+1 Ct+1](2.74)Slijedei korak je aproksimacijae xtsa1 + xt.C1(1 Ct) = Et[(1 )C1(1 Ct+1)+AK1L1C1(1 +At+1 + ( 1) Kt+1 + (1 )Lt+1Ct+1)](2.75)2.4. LOG-LINEARIZACIJA OKO RAVNOTENOG STANJA 37Potom mnoimo ravnotena stanja sa zagradama, a na kraju itavu velikuzagradu sa.C1C1 Ct= Et[(1 )C1(1 )C1 Ct+1+AK1L1C1+AK1L1C1 At+1+( 1)AK1L1C1 Kt+1+(1 )AK1L1C1Lt+1AK1L1C1 Ct+1](2.76)Ravnoteno stanje je C1= (1 )C1+AK1L1C1(Jednad-ba 2.34), pa se sukladno tome pripadajui elementi mogu pokratiti u jednad-bi 2.76. Takoer emo vratiti potronju u razlomak, a operator oekivanjastaviti uz devijacije od ravnotenog stanja (Oekivanja vrijede za sve varija-ble osim kapitala).1CCt= (1 )CEt[ Ct+1]+AK1L1CEt[ At+1]+( 1)AK1L1CKt+1+(1 )AK1L1CEt[Lt+1]AK1L1CEt[ Ct+1](2.77)Zadnji korak je izluivanje iEt[ Ct+1] iz razlomaka koji mnoeEt[ Ct+1]u jednadbi 2.77.1CCt= ((1 ) +AK1L1)CEt[ Ct+1] +AK1L1CEt[ At+1]+( 1)AK1L1CKt+1 +(1 )AK1L1CEt[Lt+1](2.78)38 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODEL2.4.3 Log-linearizacija jednadbe 2.32Kako jednadba 2.32 nema razlomaka, u prvom koraku emo ju samo prepi-sati. napiemo u formi bez razlomaka.Ct +Kt+1= (1 )Kt +AtKtL1t(2.79)Nakon toga emo supstituirati sve varijable Xt sa XeXtgdje je X ravno-teno stanje, aXt odstupanje od ravnotenog stanja ( Xt=XtXX).CeCt+KeKt+1= (1 )KeKt+AKL1eAt+ Kt+(1)Lt(2.80)Slijedei korak je aproksimacijae xtsa1 + xt.C(1 +Ct) +K(1 +Kt+1) = (1 )K(1 +Kt)+AKL1(1 +At + Kt + (1 )Lt)(2.81)Kada pomnoimo ravnotena stanja sa zagradama, dobiti emo:C +C Ct +K +KKt+1= (1 )K + (1 )KKt+AKL1+AKL1 At+AKL1 Kt + (1 )AKL1Lt(2.82)Ravnoteno stanje iz jednadbe 2.34 jeC + K=(1 )K + AKL1,pasestogapripadajuielementiravnotenogstanjaslijeveidesnestranemogu pokratiti.C Ct +KKt+1= (1 )KKt +AKL1 At+AKL1 Kt + (1 )AKL1Lt(2.83)Slijedei korak je izluivanjeKKt iz dva izraza koji mnoeKt. Iz prvogizraza s desne strane jednakosti je oigledno kako izluiti KKt, meutim utreem izrazu imamo K Kt, pa kada podijelimo navedeni izraz sa KKt dobitiemoK1iz razloga to jexy/x = xy/x1= xy1.C Ct +KKt+1= [(1 ) +AK1L1]KKt+AKL1 At + (1 )AKL1Lt(2.84)2.4. LOG-LINEARIZACIJA OKO RAVNOTENOG STANJA 39Prvi razlomak s desne strane jednakosti je mogue zamijeniti sa koecijen-tom iz razloga to je prema jednadbi 2.34 ravnoteno stanje za jednadbu2.31 vrlo slino izrazu u zagradi[(1 ) +AK1L1].1C= 1 +AK1L1C(2.85)Kakobi dobili izrazuzagradi, ravnotenostanje(jednadba2.85) jepotrebno pomnoiti saCi podijeliti s.1= 1 +AK1L1(2.86)Uvrstimo li1umjesto[(1 ) + AK1L1] u jednadbu 2.84 dobitiemo:C Ct +KKt+1=KKt +AKL1 At + (1 )AKL1Lt(2.87)Zadnji korak je prebacivanje izraza zaKt na lijevu stranu jednadbe:KKt= +AKL1 At + (1 )AKL1LtC CtKKt+1(2.88)2.4.4 Log-linearizacija jednadbe tehnologijeU jednadbi 2.33 je tehnologija denirana u logaritamskom oblikulnAt+1=lnAt+t+1. Kako jednadba za tehnologiju ini etvrtu jednadbu sustava,potrebno je i nju log-linearizirati.Isto kao i u prethodnim sluajevima, zamijenimoXt saXeXt.lnAeAt+1= lnAeAt+t+1(2.89)Imamo li na umu da jelne xtisto to i xt dobiti emo:lnA +At+1= (lnA +At) +t+1(2.90)Pokratimo li obje strane jednadbe sa ravnotenim stanjem iz jednadbe2.34, dobiti emo:At+1= At +t+1(2.91)40 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODEL2.5 Razdvajanje (decoupling) funkcija2.5.1 Priprema sustava za razdvajanjePrije uvrtavanja, Jednadbu 2.72, jednadbu 2.78 i jednadbu 2.88 poeljnoje pojednostaviti kako bi olakali daljnje rjeavanje sustava jednadbi.U skla-du s tim, sve izraze koji mnoe log-linearizirane varijable emo supstituiratisa jednostavnim koecijentima.bLA=(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCbLK=(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCbLC= (1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCbCC= ((1 ) +AK1L1)CbCA=AK1L1CbCK=( 1)AK1L1CbCL=(1 )AK1L1CbKA= AKL1bKL= (1 )AKL1(2.92)Jednadba 2.72 e izgledati:Lt= bLAAt +bLKKtbLC Ct(2.93)Jednadba 2.78 e izgledati:1CCt= bCCEt[ Ct+1] +bCAEt[ At+1] +bCKKt+1 +bCLEt[Lt+1] (2.94)Jednadba 2.88 e izgledati:KKt= +bKA At +bKLLtC CtKKt+1(2.95)2.5. RAZDVAJANJE (DECOUPLING) FUNKCIJA 41Imajui na umu da su sve varijable u jednadbi 2.93 u istom vremenskomrazdoblju, mogue je jednadbu 2.93 uvrstiti umjestoLt iLt+1 u jednadbu2.94 i jednadbu 2.95.1CCt= bCCEt[ Ct+1] +bCAEt[ At+1] +bCKKt+1+bCL(bLAEt[ At+1] +bLKKt+1bLCEt[ Ct+1])(2.96)KKt= +bKA At +bKL(bLAAt +bLKKtbLC Ct) C CtKKt+1(2.97)Kada se rijeimo zagrada dobiti emo:1CCt= bCCEt[ Ct+1] +bCAEt[ At+1] +bCKKt+1+bCLbLAEt[ At+1] +bCLbLKKt+1bCLbLCEt[ Ct+1](2.98)KKt= +bKA At+bKLbLAAt+bKLbLKKtbKLbLC CtC CtKKt+1(2.99)Nakon izluivanja log-lineariziranih varijabli na desnoj strani potrebno jeprebaciti sve varijable s indeksomt na lijevu stranu.1CCt= (bCC bCLbLC)Et[ Ct+1]+ (bCK +bCLbLK) Kt+1 + (bCA +bCLbLA)Et[ At+1](2.100)(bKLbLC+C) Ct+(K bKLbLK) Kt+(bKAbKLbLA) At= KKt+1(2.101)Sada kada smo se rijeili jednadbe zaLt, imamo sustav s tri jednadbe, stim da je jo samo potrebno u jednadbi za tehnologiju (2.91) prebaciti At+1na lijevu stranu, aAt na desnu stranu. At= At+1 +t+1(2.102)42 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODEL2.5.2 Rjeavanje sustava jednadbiNakon maksimizacije uz ogranienje i log-linearizacije modela, posljednji ko-rakjerjeavanjesustavakakobisepronalastabilnafunkcijapotronje, aondapomounjeifunkcijazakapitalirad. Uprvomkorakujepotrebnojednadbe 2.100, 2.101 i 2.102 napisati u jednostavnijem obliku.a11 Ct= b11Et[ Ct+1] +b12 Kt+1 +b13Et[ At+1]a21 Ct +a22 Kt +a23 At= b22 Kt+1a33 At= b33Et[ At+1](2.103)gdje su:a11= 1Ca21= bKLbLC +C= (1 )AKL1(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLC+Ca22= K bKLbLK= K (1 )AKL1(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCa23= bKAbKLbLA= AKL1(1 )AKL1(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCa33= b11= bCC bCLbLC== ((1 ) +AK1L1)C(1 )AK1L1C(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCb12= bCK +bCLbLK==( 1)AK1L1C+(1 )AK1L1C(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCb13= bCA +bCLbLA==AK1L1C+(1 )AK1L1C(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCb22= Kb33= 1(2.104)2.5. RAZDVAJANJE (DECOUPLING) FUNKCIJA 43Zapiemo li sustav iz jednadbe 2.103 u matrinom obliku, dobiti emo:__a110 0a21a22a230 0 a33____CtKtAt__ =__b11b12b130 b2200 0 b33____Et[ Ct+1]Kt+1Et[ At+1]__(2.105)Slijedei korak je prebacivanje matrice koecijenataaijs lijeve strane nadesnu stranu. Kako se radi o matricama potrebno je s lijeve strane pomnoitiobje matrice koecijenata sa invertiranom matricom koecijenataaij.__a110 0a21a22a230 0 a33__1__a110 0a21a22a230 0 a33____CtKtAt__ ==__a110 0a21a22a230 0 a33__1__b11b12b130 b2200 0 b33____Et[ Ct+1]Kt+1Et[ At+1]__(2.106)Matrica pomnoena s vlastitim inverzom se krati, tako da se sustav svodina:__CtKtAt__ =__a110 0a21a22a230 0 a33__1__b11b12b130 b2200 0 b33____Et[ Ct+1]Kt+1Et[ At+1]__(2.107)2.5.3 Invertiranje matrice koecijenataaijMatricu emo invertirati na nain da prvo pronaemo determinantu | |, anakon toga1||pomnoimo sa transponiranom matricom kofaktoraadj.M1=__a110 0a21a22a230 0 a33__1=1|M| adjM (2.108)Determinanta je jednaka padajuoj dijagonali iz razloga to je ostalih petdijagonalnih umnoaka u jednadbi za determinantu mnoi nulu.|M| = a11a22a23 +a210 0 + 0 a230[0 a220 +a210 a33 +a110 a23]= a11a22a23(2.109)44 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELSlijedei korak je pronai matricu kofaktora.cofactor =__|C11| |C12| |C13||C21| |C22| |C23||C31| |C32| |C33|__(2.110)lanovi matrice kofaktora su determinante dijelova matriceMi to samoonih redaka i stupaca u kojem se ne nalazi lan matrice kofaktoraCij. Npr.ako za kofaktorC11 koji se nalazi u prvom retku i prvom stupcu, raunamodeterminantulanovamatriceMkoji seNEnalazeuprvomretkuniti uprvom stupcu.|C11| =a22a230 a33 = a22a330 = a22a33|C12| = a21a230 a33 = a21a330 = a21a33|C13| =a21a220 0 = 0 0 = 0|C21| = 0 00 a33 = 0 0 = 0|C22| =a1100 a33 = a11a330 = a11a33|C23| = a1100 0 = 0 0 = 0|C31| =0 0a22a33 = 0 0 = 0|C32| = a110a21a23 = a11a230 = a11a23|C33| =a110a21a22 = a11a220 = a11a22(2.111)Matrica kofaktora je dakle:cofactor =__a22a33a21a3300 a11a3300 a11a23a11a22__(2.112)Nakon transponiranja matrice kofaktora dobiti emoadjMmatricu.2.5. RAZDVAJANJE (DECOUPLING) FUNKCIJA 45adjM=__a22a33a21a3300 a11a3300 a11a23a11a22__

=__a22a330 0a21a33a11a33a11a230 0 a11a22__(2.113)Posljednji korak u raunanju inverza matrice M je mnoenje determinantematrice1|M|iadjMmatrice.1a11a22a23__a22a330 0a21a33a11a33a11a230 0 a11a22__ =__1a110 0a21a11a221a22a23a22a330 01a33__(2.114)Odnosno:__a110 0a21a22a230 0 a33__1=__1a110 0a21a11a221a22a23a22a330 01a33__(2.115)Sukladno tome, sustav jednadbi iz jednadbe 2.107 moemo zapisati kao:__CtKtAt__ =__1a110 0a21a11a221a22a23a22a330 01a33____b11b12b130 b2200 0 b33____Et[ Ct+1]Kt+1Et[ At+1]__(2.116)Odnosno, nakon mnoenja kao:__CtKtAt__ =__b11a11b12a11b13a11a21b11a11a22a21b12a11a22+b22a22a21b13a11a22a23b33a22a330 0b33a33____Et[ Ct+1]Kt+1Et[ At+1]__(2.117)2.5.4 Rjeavanje sustava pomou svojstvenih vrijednos-ti i svojstvenih vektoraJednostavnosti radi, zbog nepraktinosti matrice koecijenata iz jednadbe2.117 preporuka je da se koecijenti ponovno supstituiraju s novim oznakama.Na taj nain biti e znatno lake transformirati matricu koecijenata mij kakobi pronali svojstvene vrijednosti, a preko njih i dijelove svojstvenih vektorakoji su nam potrebni za rjeavanje ovoga sustava.46 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODEL__CtKtAt__ =__m11m12m13m21m22m230 0 m33____Et[ Ct+1]Kt+1Et[ At+1]__(2.118)Oznaimo matricumijkoecijenata sa oznakomM0. Prema matemati-koj teoriji, za matricu s tri reda i tri kolone mogue je pronai tri svojstvenevrijednostjii matricu svojstvenih vektoraQ za koje vrijedi:M0= Q__10 00 200 0 3__Q1(2.119)Sukladno tome, sustav jednadbi moemo zapisati kao:__CtKtAt__ = Q__10 00 200 0 3__Q1__Et[ Ct+1]Kt+1Et[ At+1]__(2.120)Nakon mnoenja sustava saQ1s lijeve strane dobiti emoQ1__CtKtAt__ =__10 00 200 0 3__Q1__Et[ Ct+1]Kt+1Et[ At+1]__(2.121)Ekonomska vanost ove apstraktne matematike zakonitosti proizlazi izinjenice to nam ovo pravilo omoguuje da pronaemo potronju koja e bitijednaka sadanjoj vrijednosti budueg dohotka i koja e osigurati stabilnostsustava. Kako bi to napravili moramo osigurati da izraz koji sa desne stranemnoij1 bude jednak nuli.Q1__CtKtAt__ =__0bd__(2.122)KadapomnoimosustavsamatricomQi pobriemoprvukolonukojamnoi nulu, dobiti emo:__CtKtAt__ = Q[1 : 3, 2 : 3]__0bd__(2.123)IzrazQ[1:3, 2:3] oznaava raspon od prvog do treeg reda i od drugedotreekolone. OiglednojedaeCtbiti jednakprvomredumatriceQpomnoenom sa b i d, tako da je vano vidjeti emu su jednaki b i d.2.5. RAZDVAJANJE (DECOUPLING) FUNKCIJA 47_bd_ = Q[2 : 3, 2 : 3]1_ KtAt_(2.124)Sukladno tome,Ct e biti jednak prvom redu matriceQ[1, 2 : 3] pomno-enom sa desnom stranom jednadbe 2.124.Ct= Q[1, 2 : 3]Q[2 : 3, 2 : 3]1_ KtAt_(2.125)Oznaimo li koecijente matriceQ kao:Q =__q11q12q13q21q22q23q31q32q33__(2.126)Funkcija potronjeCt iz jednadbe 2.125 e biti:Ct=_q12q13_q22q23q32q33_1_ KtAt_(2.127)Preporuka je u ovome trenutku ne rjeavati sustave dalje,nego pronaiestelemenataizmatrice Qkoji senalazeujednadbi 2.127. Razlogzatoleiuinjenicitovrloestonekiodtraenihestelemenatamogubitijednaki nuli ili broju jedan, pa sukladno tome moemo znatno pojednostavitijednadbu 2.127 prije invertiranja i mnoenja.Izvoenje svojstvenih vrijednostiIzvoenje jednadbe 2.127 prije traenja svojstvenih vrijednosti i svojstvenihvektoraimaprednostutome, tosadaznamodaprvukolonumatriceQ,odnosnosvojstveni vektorzasvojstvenuvrijednost j1nemoramotraiti.Od interesa su nam samo drugo i trea kolona matrice Q, odnosno svojstvenivektori za svojstvene vrijednostij2 ij3.Prema teoriji o svojstvenim vrijednostima, trebala bi postojati neka svoj-stvenavrijednostisvojstvenivektorQzakoje evrijeditidaumnoaksvojstvenog vektora i razlike matriceM0i umnoka svojstvene vrijednosti ijedinine9matriceIrezultira nulom.(M0I)Q= 0 (2.128)Kakobiizvelisvojstvenevrijednosti, potrebnojeuvrstitikoecijenteumatricuM0 i pomnoiti ju sa umnokom i jedinine matrice.9Jedinina matricaIima jedinice po padajuoj dijagonali i nule na ostalim mjestima48 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELM0I=__m11m12m13m21m22m230 0 m33____ 0 00 00 0 __ ==__m11 m12m13m21m22 m230 0 m33__(2.129)Nakontoga, potrebnojeizraunati determinantumatriceizjednadbe2.129 i izraunati iz dobivene jednadbe za determinantu matrice. Obinoe postojati onoliko rjeenja za koliko redova/kolona ima matrica. Deter-minanta matrice |M0I| je dana kao:|M0I| = (m11)(m22)(m33) + 0 + 0[0 + 0 +m21m12(m33)]= (m11)(m22)(m33) m21m12(m33) = 0(2.130)Slijedei korak je da izluimo(m33).|M0I| = (m33)[(m11)(m22) m21m12] = 0 (2.131)Dobili smo dakle da je umnoakm33 i(m11)(m22) m21m12jednak nuli,to znai da oba izraza moemo izjednaiti s nulom iz razlogato je dovoljno da samo jedan bude nula kako bi jednakost bila tona.(m11)(m22) m21m12= 0m33 = 0(2.132)Kada pomnoimo zagrade iz prvog retka dobiti emo:m11m22m11 m22 +2m21m12= 0m33 = 0(2.133)Prvu relaciju moemo pretvoriti u oblik a2+b +c i rijeiti kao kolskukvadratnujednadbupoformuli 1,2=bb24ac2a. Potrebnojesamo2prebaciti nalijevustranu, iz m11 m22izluiti i nakrajuostavitiizraze koji ne mnoe.2.5. RAZDVAJANJE (DECOUPLING) FUNKCIJA 492(m11 +m22) +m11m22m21m12= 0m33 = 0(2.134)Sukladnoformuli zakvadratnujednadbu, uprvomizrazuje a =1,b = (m11 + m22) ic = m11m22m21m12, a1,2 e biti deniran formulomza kvadratnu jednadbu. U drugom izrazu je oigledno da je 3 jednaka m33.1,2= b b24ac2a==m11 +m22_(m11 +m22)24(m11m22m21m12)23= m33(2.135)Odnosno kada raspiemo oba rjeenja za kvadratnu jednadbu, tri svoj-stvene vrijednosti sustava |M0I| = 0 e biti:1=m11 +m22_(m11 +m22)24(m11m22m21m12)22=m11 +m22 +_(m11 +m22)24(m11m22m21m12)23= m33(2.136)Izvoenje svojstvenih vektoraSadakadasmo izvelijednadbe za svojstvene vrijednosti, pomounjih e-mo moi izvesti svojstvene vektore. Pomou svojstvene vrijednosti 1mo-emoizvesti svojstveni vektor Q1=Q[1: 3, 1] =[q11, q21, q31]

, odnosnoprvukolonumatriceQ. Meutim, kaotosmovidjeli ujednadbi 2.127,koecijenti izprvekolonematriceQnamneebiti potrebni zarjeavanjesustava. Sukladno tome, izvesti emo samo drugu i treu kolonu matriceQ,pomou2vektor Q2=Q[1: 3, 2] =[q12, q22, q32]

, apomou3vektorQ3= Q[1 : 3, 3] = [q13, q23, q33]

.Prema teoriji o svojstvenim vrijednostima i svojstvenim vektorima, raz-lika matrice i umnoka svojstvene vrijednosti i jedinine matrice rezultira sanulom ako je pomnoena sa svojstvenim vektorom. Kako bi izveli svojstvenevektorepotrebnojeuvrstiti svepoznateelementejednadbeskojomsmopoeli izvoenje svojstvenih vrijednosti (Jednadba 2.128).50 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODEL(M02I)Q2= 0(M03I)Q3= 0(2.137)Nakon uvrtavanja:__m112m12m13m21m222m230 0 m332____q12q22q32__ =__000____m113m12m13m21m223m230 0 m333____q13q23q33__ =__000__(2.138)Sobziromdaje3=m33, koecijentutreemstupcui treemretkudonje matrice za3 e biti jednakm333= 0.__m112m12m13m21m222m230 0 m332____q12q22q32__ =__000____m113m12m13m21m223m230 0 0____q13q23q33__ =__000__(2.139)Kada pomnoimo matricu s vektorom svojstvenih vrijednosti u oba sus-tava,dobiti emo dva sustava jednadbi sa tri jednadbe. Prva matrica enakon mnoenja s vektorom rezultirati sa:(m112)q12 +m12q22 +m13q32= 0m21q12 + (m222)q22 +m23q32= 0(m332)q32= 0(2.140)Druga matrica e rezultirati sa:(m113)q13 +m12q23 +m13q33= 0m21q13 + (m223)q23 +m23q33= 00 q33= 0(2.141)Slijedei korak je naravno rjeavanje oba sustava kako bi dobiliqijkoe-cijente i do kraja izveli jednadbu 2.127.2.5. RAZDVAJANJE (DECOUPLING) FUNKCIJA 51Vektor svojstvenih vrijednostiQ2Iz jednadbe 2.140 je oigledno kako jeq32 jednak nuli, stoga sve izraze kojisu pomnoeni saq32 u jednadbi 2.140 moemo jednostavno zanemariti.(m112)q12 +m12q22= 0m21q12 + (m222)q22= 0q32= 0(2.142)Kako bi dobili ostala dva lana vektora svojstvenih vrijednosti Q2, po-trebno je samo iz prvog izraza prebaciti(m112)q12 na desnu stranu.m12q22= (2m11)q12(2.143)Oigledno je kako e jednakost biti zadovoljena, ako je:q12= m12q22= 2m11(2.144)Drugi vektor svojstvenih vrijednosti za svojstvenu vrijednost Q2 e stogabiti Q2=Q[1: 3, 2] =[m12, 2 m11, 0]

, a njega emo uvrstiti u srednjukolonu matrice koecijenataqij.Q =__q11m12q13q212m11q23q310 q33__(2.145)Vektor svojstvenih vrijednostiQ3Udrugoj matrici (jednadba2.141)zaq33moemopretpostaviti bilokojibroj, ali kako bi pojednostavili raunanje pretpostaviti emo da jeq33= 1:(m113)q13 +m12q23 +m13= 0m21q13 + (m223)q23 +m23= 0q33= 1(2.146)Nakon toga prebacujemo jednu varijablu na desnu stranu.(m113)q13 +m13= m12q23m21q13 +m23= (m223)q23(2.147)52 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELPrvi redak mnoimo sa(m223), a drugi redak sam12, kako bi dobili:(m223)(m113)q13 + (m223)m13= m12(m223)q23m21m12q13 +m12m23= m12(m223)q23(2.148)Nakon oduzimanja druge od prve linije, dobiti emo:[(m223)(m113) m21m12]q13 +(m223)m13m12m23= 0(2.149)Desni dio izraza prebacimo na desnu stranu.[(m223)(m113) m21m12]q13= m12m23(m223)m13(2.150)I na kraju podijelimo itavu jednadbu s izrazom koji mnoiq13.q13=m12m23(m223)m13(m223)(m113) m21m12(2.151)Kako bi dobili q23 potrebno je u jednadbi 2.147 prvi redak pomnoiti sam21, a drugi redak pomnoiti sa(m113) kako bi dobili:m21(m113)q13 +m21m13= m21m12q23m21(m113)q13 +m23(m113) = (m223)(m113)q23(2.152)Nakon oduzimanja druge od prve jednadbe, dobiti emo:m21m13m23(m113) = [(m223)(m113) m21m12]q23(2.153)Nakon dijeljenja itave jednadbe s izrazom koji mnoiq23.q23=m21m13m23(m113)(m223)(m113) m21m12(2.154)Trei vektor svojstvenih vrijednosti za svojstvenu vrijednost Q3 e stogabitiQ2= Q[1 : 3, 3] = [m12m23(m223)m13(m223)(m113)m21m12,m21m13m23(m113)(m223)(m113)m21m12, 1]

, anjega emo uvrstiti u desnu kolonu matrice koecijenataqij.Q =__q11m12m12m23(m223)m13(m223)(m113)m21m12q212m11m21m13m23(m113)(m223)(m113)m21m12q310 1__(2.155)2.5. RAZDVAJANJE (DECOUPLING) FUNKCIJA 532.5.5 Rjeenje sustavaVesadai prijerjeavanjasustava, oiglednojekakonamrezultatdajeq32= 0 iq33= 1 bitno olakava manipuliranje jednadbom 2.127.Ct=_q12q13_q22q230 1_1_ KtAt_(2.156)Za rjeenje jednadbe 2.156 potrebno je prvo invertirati matricu. Deter-minanta je q221 0 q23= q220 = q22. Matrica kofaktora e sada imatietiri elementa.|C11| = |1| = 1|C12| = |0| = 0|C21| = |q23| = q23|C22| = |q22| = q22(2.157)_|C11| |C12||C21| |C22|_ =_1 0q23q22_(2.158)A nakon to ju transponiramo dobiti emo:_1 0q23q22_

=_1 q230 q22_(2.159)U posljednjem koraku je potrebno 1 podijeljen s determinantom pomno-iti s transponiranom matricom kofaktora._q22q230 1_1=1q22_1 q230 q22_ =_1q22q23q220q22q22_ =_1q22q23q220 1_(2.160)Jednadba 2.156 sa invertiranom matricom je jednaka:Ct=_q12q13_1q22q23q220 1_ _ KtAt_(2.161)Nakon mnoenja emo dvije matrice koecijenata dobiti emo:Ct=_q12q22+ 0 q12q23q22+q13_ KtAt_(2.162)Nakrajujepotrebnopomnoitimatricu(vektor)koecijenataivektorvarijabli kako bi konano dobili razdvojenu (decoupled) funkciju potronje.54 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELCt=q12q22Kt +_q13q12q23q22_At(2.163)2.6. IZVOENJE ETIRI SPOREDNE VARIJABLE 552.6 Izvoenje etiri sporedne varijablePrijesimuliranjamodelapoeljnoje(nije nuno) izvesti odstupanjaodravnotenog stanja za dohodakYt, investicijeIt, plaeWt i kamatnu stopu rt.Na taj nain emo imati osam umjesto nune etiri osnovne makroekonomskeu RBC modelu.Osnovni matematiki problem je injenica da smo izveli K, C, L, Y, I, W, rravnotena stanja iKt,Ct, Lt devijacije od ravnotenog stanja i potrebno jepronaiYt, It,Wt, rt pomou navedenih varijabli.U prvom koraku je potrebnopronai emu je jednaka stvarna vrijednost sve etiri varijable, a tek nakontoga emu ju moi izraziti kao odstupanje od ravnotene vrijednosti.2.6.1 InvesticijeInvesticije su jednake razlici izmeu kapitala u buduem razdoblju i neamor-tiziranog kapitala u trenutnom razdoblju.It= Kt+1(1 )Kt(2.164)Uvrstimo liKKt +KumjestoKt, dobiti emo10:It= KKt+1 +K (1 )(KKt +K) (2.165)Nakonmnoenjai uklanjanjazagrade (minus predzagradommijenjapredznake) dobiti emo:It= KKt+1 +K KKt +KKtK +K (2.166)Nakon kraenja, dobiti emo:It= KKt+1KKt +KKt +K (2.167)Odstupanje investicija od ravnotene vrijednosti e biti jednako:It=ItII=KKt+1KKt +KKt +K II(2.168)10ZapoetakdobrosepodsjetitidajeXt=XtXX, amiuovomesluajuimamoX,pomouekonomsketeorijeipretpostavkimodelamoemodobiti Xt, atraimofunkcijeodstupanjaXt. Iz jednakostiXt =XtXX, proizlazi i da je Xt = X Xt +X i to je jedna odkljunih jednakosti za izvod etiri funkcije koje nam nedostaju. Dakle stvarna vrijednostvarijable je jednaka umnoku odstupanja od ravnotene vrijednosti i ravnotene vrijednostiuveanom za ravnotenu vrijednost.56 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELKakoznamodajeravnotenavrijednost zainvesticijejednakaiznosuamortizacije I= K (jednadbe 2.186), funkciju moemo dodatno pojednos-taviti ako pokratimo zadnja dva izraza u brojniku.It=ItII=KKt+1KKt +KKtI(2.169)2.6.2 DohodakIzvoenje funkcije za dohodak e biti znatno jednostavnije. Iz pretpostavkimodela i iz ekonomske teorije znamo da je u zatvorenoj ekonomiji bez javnogsektora, dohodak jednak zbroju investicija i potronje. Umjesto investicija jepotrebno uvrstiti jednadbu 2.167, a umjestoCt moemo uvrstitiC Ct +C.Yt= It +Ct= KKt+1KKt +KKt +K +C Ct +C (2.170)Devijacija od ravnotenog stanja e biti napravljena prema istom principukao i kod investicija.Yt=YtYY=KKt+1KKt +KKt +K +C Ct +C YY(2.171)Kakojeravnoteni dohodakjednakzbrojuravnotenepotronjei rav-notenihinvesticijaY =C+ I =C+ K, moguejeC+ Kuvrstiti ujednadbu i pokratiti s istim izrazima obrnutog predznaka u brojniku.Yt=YtYY=KKt+1KKt +KKt +C CtY(2.172)2.6.3 Plae i kamatne stopePlaa je u RBC modelu granini proizvod rada pa je sukladno tome potrebnosamo izraziti sve varijable pomou ravnotenog stanja i devijacije od njega.Wt= (1)AtKtLt= (1)(A At+A)(KKt+K)(LLt+L)(2.173)Sukladno tome, odstupanje plae od ravnotene vrijednosti e biti:2.6. IZVOENJE ETIRI SPOREDNE VARIJABLE 57Wt=WtWW=1 )(A At +A)(KKt +K)(LLt +L)WW(2.174)Posljednja varijabla je kamatna stopa, a koja je jednaka graninom pro-izvodu kapitala umanjenom za amortizaciju.rt= AtK1tL1t= (A At+A)(KKt+K)1(LLt+L)1 (2.175)Odstupanje od ravnotene vrijednosti je: rt=rtrr=(A At +A)(KKt +K)1(LLt +L)1 rr(2.176)58 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODEL2.7 Rijeen(razdvojen)sustavspremanzasi-mulacijuFunkcija kretanja potronje je denirana jednadbom 2.163, funkciju kapitaludobijemonanaindasrednjiizrazizjednadbe2.103podijelimosab22, afunkciju tehnologije tako da trei izraz iz jednadbe 2.103 podijelimo sab33.Funkcija za rad je ista kao i u jednadbi 2.93. Funkcija za investicije jeizvedenaujednadbi2.169, dohodakujednadbi2.172, plaeujednadbi2.174, a kamatna stopa u jednadbi 2.176.Ct=q12q22Kt +_q13q12q23q22_At(2.177)Kt+1=a21 Ct +a22 Kt +a23 Atb22(2.178)At+1=a33b33At(2.179)Lt= d3At +d2 Ktd1 Ct(2.180)It=KKt+1KKt +KKtI(2.181)Yt=KKt+1KKt +KKt +C CtY(2.182)Wt=(1 )(A At +A)(KKt +K)(LLt +L)WW(2.183) rt=(A At +A)(KKt +K)1(LLt +L)1rr(2.184)Koecijentiqijmatrice svojstvenih vektoraQ su denirani kao:q12= m12q13=m12m23(m223)m13(m223)(m113) m21m12q22= 2m11q23=m21m13m23(m113)(m223)(m113) m21m12q23= 1(2.185)2.7. RIJEEN (RAZDVOJEN) SUSTAV SPREMAN ZA SIMULACIJU 59Jednadbe za ravnotene vrijednosti su iz poglavlja 2.4:KL=_1 1 +A_11C=(1 L)(1 )A_KL_K=AL_KL_CL =(1 )A_KL___KL_KL_ + (1 )A_KL_I= KY= C +KW= (1 )AKLr = AK1L1(2.186)Svojstvene vrijednostii su:2=m11 +m22 +_(m11 +m22)24(m11m22m21m12)23= m33(2.187)Koecijentimijsu denirani kao:m11=b11a11m12=b12a11m13=b13a11m21= a21b11a11a22m22= a21b12a11a22+b22a22m23= a21b13a11a22a23b33a22a33m33=b33a33(2.188)60 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELKoecijentiaijibijsu isti kao i u jednadbi 2.104.a11= 1Ca21= (1 )AKL1(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLC+Ca22= K (1 )AKL1(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCa23= AKL1(1 )AKL1(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCa33= b11= ((1 ) +AK1L1)C(1 )AK1L1C(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCb12=( 1)AK1L1C+(1 )AK1L1C(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCb13=AK1L1C+(1 )AK1L1C(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCb22= Kb33= 1(2.189)Koecijentidijsu isti kao i u jednadbi 2.92.d1= bLC= (1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCd2= bLK=(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLCd3= bLA=(1)AKLCL(1L)2+(1)AKLC(2.190)2.8. SIMULACIJA RBC U EXCELU 612.8 Simulacija RBC u exceluIzrada simulacije se sastoji od etiri koraka. Prvi je unoenje procijenjenih ipretpostavljenih parametara modela.Drugi je izraun ravnotenih vrijednos-ti. Trei je izraun a, b, m, q, , d koecijenata i posljednji korak je simulacijaodstupanja sedam osnovnih makroekonomskih varijabli u vremenu.2.8.1 Unoenje parametaraPrvi korakuizradi simulacijejeunoenjeparametaramodela. Faktorskiudiokapitala uBDP-useobinopreuzimaizobraunaBDP-apremaprimarnim dohocima (prihodna metoda). U naoj simulaciji je unesen ueliju C3. Nestrpljivost potroaa glede potronje u budunosti je izuzetnoteko procjenjiv parametar tako da se u pravilu pretpostavlja da je neznatnomanji od1. U simulaciji je odabran broj0, 984 u elijiC4 (Slika 2.2).Trei parametar je relativni ponder nerada u odnosu na potronju unutarfunkcije korisnosti . Takoer ga je teko procijeniti i u pravilu se susreuveliine od2, 5 pa sve do3, 9 s tim da nije teko pronai i neke druge vri-jednosti. U simulaciji je odabran ponder od3, 48 u eliji C5. Amortizacijajetakoerpretpostavljenaveliinaizrazlogatojeizuzetnotekodoi dostvarnihpodatakaoprosjenomtroenjukapitalaucjelokupnoj ekonomi-ji. S obzirom da se u RBC modelima pretpostavlja da se radi o kvartalnimfrekvencijama, odabrana je stopa amortizacije od 2, 5% kvartalno u eliji C6(Slika 2.2).Posljednja dva parametra, perzistentnost tehnolokih okova i devija-cijatehnolokihokovaseprocjenjujupomouekonometrijskogARIMAmodela na podacima za TFP, odnosno Solow rezidual. Naravno, kako kreta-nje TFP-a nije objavljeno u statistikim publikacijama potrebno je metodomraunovodstva rasta od stope rasta BDP-a oduzeti stope rasta kapitala i radaponderirane njihovim faktorskim udjelima kako bi dobili Solow rezidual i nanjemu procijenili i . U simulaciji je u eliji C7, au eliji C8 (Slika2.2).Slika 2.2: Izbor parametara modela62 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODEL2.8.2 Unoenje formula za ravnotena stanjaSlijedei korak je unoenje formula za ravnotena stanja u kojem se sve va-rijable moraju zamijeniti sa nazivima elija u kojima smo unijeli parametremodela.U eliju C20 unosimo formulu = (((1/C4) 1+C6)/C3)(1/(C31))zaKL.U eliju C21 unosimo formulu = ((1C3)C20C3)/((C20C3C6C20) C5 + (1 C3) C20C3) zaL.U elijuC22 unosimo formulu= ((1 C3) C20C3 (1 C21))/C5zaC.U elijuC23 unosimo formulu= (C21 C20C3 C22)/C6 zaK.U elijuC24 unosimo broj1 zaA.U elijuC25 unosimo formulu= C6 C23 zaI.U elijuC26 unosimo formulu= C25 +C22 zaY .U elijuC27 unosimo formulu= C3 C24 C23(C3 1) C21(1 C3) C6 zar.U eliju C28 unosimo formulu = (1C3) C24C23C3C21(C3)zaW.Slika 2.3 prikazuje izraunate ravnotene vrijednosti pomou navedenihformula.Slika 2.3: Ravnotena stanja2.8. SIMULACIJA RBC U EXCELU 632.8.3 Unoenje formula za koecijenteSada kada imamo izraunata ravnotena stanja i procijenjene i pretpostavlje-ne parametre modela, mogue je izraunati sve koecijente u modelu. Slika2.4 prikazuje izraunate koecijente pomou navedenih formula.Slika 2.4: Koecijenti modelaFormule za koecijenteaij,bij,di,mij,i iqijsu:U elijuC30 unosimo formulu= (1/C22) zaa11.UelijuC31unosimoformulu=C22 + (1 C3) C24 C23C3 C21(1 C3) C42 zaa21.U eliju C32 unosimo formulu = (C23/C4)(1C3)C24C23C3C21(1 C3) C41 zaa22.U elijuC33 unosimo formulu= (C24 C23C3 C21(1 C3)) +(1 C3) C24 C23C3 C21(1 C3) C40 zaa23.U elijuC34 unosimo formulu= C7 zaa33.64 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELU eliju C35 unosimo formulu = ((C4((1C6)+C3C24C23(C31) C21(1 C3)))/C22) + ((C4 (1 C3) C3 C24 C23(C3 1) C21(1 C3))/C22) C40 zab11.U eliju C36 unosimo formulu = ((C4((C31)C3C24C23(C31) C21(1 C3)))/C22) + ((C4 (1 C3) C3 C24 C23(C3 1) C21(1 C3))/C22) C41 zab12.UelijuC37unosimoformulu=((C4 C3 C24 C23(C3 1) C21(1 C3))/C22) + ((C4 (1 C3) C3 C24 C23(C3 1) C21(1 C3))/C22) C42 zab13.U elijuC38 unosimo formulu= C23 zab22.U elijuC39 unosimo broj 1 zab33.U eliju C40 unosimo formulu = (((1C3)C24C23C3C21(C3))/C22)/(((C5C21)/((1C21)2)) +((C3(1C3) C24C23C3C21(C3))/(C22))) zad1.UelijuC41unosimoformulu=((C3 (1 C3) C24 C23C3 C21(C3))/C22)/(((C5 C21)/((1 C21)2)) + ((C3 (1 C3) C24 C23C3 C21(C3))/(C22))) zad2.U eliju C42 unosimo formulu = (((1C3)C24C23C3C21(C3))/C22)/(((C5C21)/((1C21)2)) +((C3(1C3) C24C23C3C21(C3))/(C22))) zad3.U elijuC43 unosimo formulu= C35/C30 zam11.U elijuC44 unosimo formulu= C36/C30 zam12.U elijuC45 unosimo formulu= C37/C30 zam13.U elijuC46 unosimo formulu= (C31 C35)/(C30 C32) zam21.U eliju C47 unosimo formulu = ((C31C36)/(C30C32))+C38/C32zam22.U elijuC48 unosimo formulu= (C31 C37)/(C30 C32) (C33 C39)/(C32 C34) zam23.U elijuC49 unosimo formulu= C39/C34 zam33.U eliju C50 unosimo formulu = (C43+C47+SQRT((C43+C47)24 (C43 C47 C46 C44)))/2 za2.2.8. SIMULACIJA RBC U EXCELU 65U elijuC51 unosimo formulu= C49 za3.U elijuC52 unosimo formulu= C44 zaq12.U eliju C53 unosimo formulu = (C44C48(C47C51)C45)/((C47C51) (C43 C51) C46 C44) zaq13.U elijuC54 unosimo formulu= C50 C43 zaq22.U eliju C55 unosimo formulu = (C46C45(C43C51)C48)/((C47C51) (C43 C51) C46 C44) zaq23.U elijuC56 unosimo broj= 1 zaq33.2.8.4 Unoenje formula za simulirana odstupanja od rav-notene vrijednostiPrije unoenja formule za simuliranje kopirati emo formule svih parametara,ravnotenihvrijednosti i koecijenataudesnosvedokoloneKQ. Natajnain emo imati formule kopirane kroz 300 kolona koje e u biti predstavljatibroj kvartala u modelu.Nakon kopiranja formula svih parametara, ravnotenih vrijednosti i koe-cijenata u desno, unijeti emo formule za simulirane vrijednosti. U poetnomrazdoblju koje se nalazi u koloniCemo unijeti nule u sve elije odC10 doC18. Jednu kolonu udesno, u elijeD10 doD18 unijeti emo formule zat,At,Kt,Ct,Lt,It,Yt, rt iWt i kopirati ih u desno sve do koloneKQ.UelijuD10unosimoformulu+NORMINV (RAND(); 0; D82)zat.U elijuD11 unosimo formulu+D7 C11 +D10 zaAt.U eliju D12 unosimo formulu (D31C13+D32C12+D33C11)/D38zaKt.UelijuD13unosimoformulu(D52/D54) D12 + (D53 ((D52 D55)/D54)) D11 zaCt.U elijuD14 unosimo formulu+D42 D11 +D41 D12 +D40 D13zaLt.U eliju D15 unosimo formulu +(D23 E12 D23 D12 +D6 D23 D12)/D25 zaIt.66 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELU elijuD16 unosimo formulu(D23 E12 D23 D12 +D6 D23 D12 +D22 D13)/D26 zaYt.UelijuD17unosimoformulu+(D3 (D24 D11 + D24) (D23 D12+D23)(D31) (D21D14+D21)(1D3) D27D6)/D27za rt.U eliju D18 unosimo formulu +((1D3) (D24D11+D24) (D23D12 +D23)D3 (D21 D14 +D21)(D3) D28)/D28 zaWt.Slika 2.5 prikazuje simulaciju makroekonomskih varijabli u nultom (kolo-naC) i prvom kvartalu (kolonaD).Slika 2.5: Simulirane vrijednostiSlika 2.6 prikazuje parametre, ravnotene vrijednosti, koecijente i simu-lirane vrijednosti makroekonomskih varijabli nakon kopiranja u desno kroznekoliko vremenskih razdoblja.2.8.SIMULACIJARBCUEXCELU67Slika 2.6: Simulirani model u excelu68 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELNakon to smo sve jednadbe kopirali u desno do koloneKQ,11moemonapraviti grakone koji e prikazivati kretanja makroekonomskih varijabli umodelu. Simulirane vrijednosti e se nalaziti u prostoru odC10 doKQ28.Moemoihsvezajednoprikazati najednomgrakonuili uparovimaradipreglednosti.Zbog preglednosti, slika 2.7 prikazuje kretanje sedam navedenihvarijabli na etiri odvojena grakona.Slika 2.7: Efekt sluajnih okova u ARIMA(1) modelu tehnologije na sedamvarijabli u RBC modelu(a) Kapital i Rad (b) Kamatna stopa i plaa(c) Potronja i investicije (d) DohodakOigledno je iz slike 2.7 kako pretpostavljeno kretanje tehnologije moe11Odkolone CdoKQima300vremenskihrazdoblja, naravnomoguejenapravitisimulaciju za manje ili vie razdoblja, ovisno o preferencijama.2.8. SIMULACIJA RBC U EXCELU 69izazvati poprilinu koliinu uktuacija u ekonomiju u kojoj je novac neutralani u kratkom roku i u kojoj vrijede racionalna oekivanja, odnosno Rikardovaekvivalenca u pogledu efekata skalne politike.Povrh toga, zanimljiva je injenica kako ponaanje varijabli oslikava ne-ka obiljeja koja moemo zapaziti i u stvarnosti, npr. investicije su znatnovolatilnije od potronje,isto vrijedi i za kamatne stope u odnosu na plae.Meutim, kako bi mogli egzaktno ustvrditi koliko dobro RBC model oslika-vastvarnakretanjavarijabli, potrebnojeusporeditistatistikepokazateljesimuliranih varijabli.12Obino se kao pokazatelji koriste:s.d.: standard deviation ili standardna devijacija.r.s.d.: relativestandarddeviation, standardnadevijacijasimuliranevarijable podijeljena sa standardnom devijacijom dohotka.f.o.a.: rst-order autocorrelation - korelacija svih t opservacija u va-rijabli sa t1 opservacijama u istoj varijabli.c.c.w.o.: contemporaneous correlation with output - korelacija svakevarijable s dohotkom.Naravno, cilj svakog RBC modela je da u simulaciji proizvede vrijednostinavedena etiri pokazatelja koje e korespondirati vrijednostima zabiljeenimu statistikim podacima.13Tablica 2.1: Statistiki pokazatelji simuliranog RBC modelas.d. r.s.d. f.o.a. c.c.w.o.Dohodak (Y) 0,0003 1,0000 0,9577 1,0000Tehnologija (A) 0,0002 0,6337 0,9522 0,9978Kapital (K) 0,0002 0,8253 0,9973 0,6937Potronja (C) 0,0002 0,7320 0,9871 0,9183Sati rada (L) 0,0001 0,3520 0,9154 0,7482Investicije (I) 0,0007 2,5628 0,9241 0,8945Kamatna stopa (r) 0,0005 1,8558 0,9166 0,5836Plae (W) 0,0002 0,7716 0,9812 0,9531Osimnavedenihstatikihpokazatelja, moguejeusimulaciji napravitifunkcije impulsnog odaziva. Kako bi to postigli, potrebno je u sve elije od12Ovakva usporedba je najei (a neki kau i jedini) nain na koji se moe empirijskiustvrditi valjanost RBC modela13Vano je nezaboraviti kako e zbog sluajno generiranih pogreaka varepsilont modelsvaki puta rezultirati neznatno razliitim rezultatima.70 POGLAVLJE 2. REAL BUSINESS CYCLE MODELC10doKQ10kopiratibroj 0inakontogauelijuD10stavitivrijednost0, 01, odnosno navedeni 1%-totni ok tehnologije. Slika 2.8 prikazuje funkcijeodaziva (Impuls response functions) koje je RBC model proizveo.Navedenefunkcijesemoguusporediti sfunkcijamaimpulsnogodazivaproizalimaizVARanalizenapravljenenastatistikimpodacima. Narav-nocilj kalibracijeRBCmodelajedasedobijetovjerniji prikazfunkcijaprocijenjenih u VAR modelu.Slika 2.8: Efekt 1%-tnog tehnolokog oka na sedam varijabli u RBC modelu(a) Kapital i Rad (b) Kamatna stopa i plaa(c) Potronja i investicije (d) DohodakPoglavlje 3New-keynesian model (NKM)3.1 Uvod u NKM modelinjenica da su Kydland i Prescott (1982) uspjeli izmodelirali intertemporal-ni model ope ravnotee s mikroekonomskim osnovama (kuanstva maksimi-ziraju korisnost) koji je mogao u simulaciji poprilino dobro oponaati stvar-na kretanja varijabli je rezultirao velikom revolucijom u ekonomiji. Uskoronakon toga,niti jedan makroekonomski model bez mikroekonomskih osno-va i intertemporalne ope ravnotee nije imao velike anse za objavljivanje.U to vrijeme uzleta monetarista i sanacije SAD gospodarstva od posljedicastagacije i stabilizacije, trijumf RBC modela s mikroekonomskim osnovamaje znaio veliki problem za keynesijance, a poglavito za keynesijance koji sueljeli objavljivati u utjecajnim ekonomskim asopisima.Okvir ekonomske analize baziran na Keynesu, Phillipsu, Salteru, Swanu,Meadeu, Dornbuschu, Mundell-Flemingu i Marshall-Lerneru jednostavno ni-je bio utemeljen na mikroekonomskim osnovama i sve funkcije u modelimasu ignorirale intertemporalnu supstituciju potronje i poreza, a povrh togapretpostavkaoadaptivnimoekivanjimaukeynesijanskimmodelimajeunajmanju ruku bila "hrabra", posebno kada govorimo o nancijskim triti-ma. Ukratko reeno, keynesijanci su izgubili uvjerljivost tijekom stagacijeu empirijskom smislu, a nakon RBC revolucije i u metodolokom smislu.Direktna posljedica RBC revolucije, i manjkavosti Keynesovih modela popitanjudinamike, adaptivnihoekivanjai mikroekonomskihosnovajebilainjenica da su keynesijanci morali "nazad u kolu" uiti matematiku. Re-zultat je bila pojava dinamiki modela s mikroekonomskim osnovama bazi-ranih na slavnoj Keynesovoj pretpostavci o rigidnim ili ljepljivim cijenama iplaama, a koja za posljedicu ima pojavu jaza stvarnog dohotka od ravnote-nog dohotka. Navedeni modeli su nazvani new-Keynesianmodeli, odnosno7172 POGLAVLJE 3. NEW-KEYNESIAN MODEL (NKM)novi-Keynesijanski modeli.Za razliku od starih Keynesijanaca koji su za cilj imali punu zaposlenost,monetarista koji su za cilj imali prirodnu stopu nezaposlenosti i RBC-ovacakoji su tvrdili da se gotovo sve devijacije mogu objasniti racionalnom odlu-kom kuanstava da rade i tede manje ili vie, novi-keynesijanci su izgradilimodele u kojima postoje devijacije ravnotenog dohotka kao i u RBC modelu(zbog racionalnih odluka kuanstava), ali osim navedenih devijacija postoje idevijacije stvarnog dohotka od ravnotenog dohotka zbog injenice da cijenei plae nisu jednako eksibilne prema gore i prema dole.Ono to su za keynesijance bili Keynes, Phillips, Mundell i ostali, za nove-keynesijance su postali Dixit, Stiglitz, Calvo, Mankiw, Romer i Gal. Dixit iStiglitz (1977) su jo u sedamdesetima objavili jedan od svojih najcitiranijihlanaka o monopolskoj konkurenciji i optimalnoj raznolikosti proizvoda kojije postao "workinghorse" model za sve ekonomiste koji nisu eljeli graditisvoje modele na pretpostavci savrenog trita. Model je toliko praktian inadogradiv da je kao baza naao uporabu u gotovo svim podrujima ekono-mije, od urbane, regionalne i meunarodne ekonomije preko endogene teorijarasta, pa sve do novih-keynesijanaca.Slijedei dio slagalice je bio Calvov (1983) rad o ljepljivim/rigidnim "(stag-gering)" cijenama imikroekonomskimosnovama ("UtilitymaximizingFra-mework"). Mankiwi Romer(1991)suobjavili knjigupodnazivom"NewKeynesian Economics" u kojoj su na jednom mjestu sistematizirali sve mi-kroekonomske teorije na kojima se bazirala tadanja "New Keynesian" eko-nomska misao.Jordi Gal je objavio itav niz new-keynesian modela, a u konanici je na-pisao izrazito utjecajan udbenik pod nazivom "Monetarypolicy, InationandtheBusinessCycle"(2008)koji jepostaoosnovni tekstnovihkeyne-sijanacadananjice. Najvei diomodelakoji ebiti prezentiranuovomepoglavlju vue svoje korijene iz navedena etiri rada.Osnovna razlika NK modela u odnosu na RBC model je injenica da uNK modelu ne postoji simetrina eksibilnost cijena i/ili plaa. Kao poslje-dica neeksibilnih cijena dolazi do devijacija dohotka od njegove ravnoteneRBC vrijednosti. Takoer, NK model je model decentralizirane ekonomije,odnosno u njemu se posebno modeliraju mikroekonomske osnove kuanstavaipoduzea, dokjeRBCmoguenapravitiiucentraliziranojverziji(samokuanstva), kao to je zbog jednostavnosti napravljeno u poglavlju 2.Isto kao to RBC model moe biti modeliran u centraliziranoj i decentra-liziranojverziji, NKmodelmoebitimodeliranskapitalomibezkapitalau proizvodnoj funkciji. Razlog za isputanje decentralizacije u RBC modeluikapitalauNKmodeluupraviluproizlaziizeljedasetojednostavnijeprikau osnovna obiljeja jednog i drugog modela. Isto kao to RBC ne mo-3.1. UVOD U NKM MODEL 73e funkcionirati bez investicija i kapitala, tako isto NK model ne moe bitizatvoren bez posebne optimizacije poduzea u monopolskoj konkurenciji.74 POGLAVLJE 3. NEW-KEYNESIAN MODEL (NKM)3.2 Kuanstva3.2.1 Funkcija korisnosti i proraunsko ogranienjeFunkcijakorisnosti kuanstvauNKmodelumoebiti istakaoi uRBCmodelu, ali isto tako moe imati malo izmijenjeni oblik. Jordi Gal u svojimmodelimakoristi funkcijukorisnosti sapotronjomCi zaposlenouL, ane dokolicom1 L,s tim da se ne radi o logaritamskim funkcijamalogCti log(1 Lt)korisnosti, negosekoristi oblikC1t1iL1+t1+koji jepogodanzaderiviranje(potencijai razlomaksekrate), akaoposebansluaj moerezultiratilogaritamskimfunkcijamaizRBC modela(Npr. akoje=1i = 1).1Takoer kako sada imamo zaposlenost umjesto dokolice u funkciji koris-nosti, predznak ispred Lt e biti negativan iz razloga to dokolica i potronjapoveavaju korisnost, a radL smanjuje korisnost. Razlog za uvrtavanje za-poslenostiLt umjesto dokolice1 Lt u NK modelu proizlazi iz injenice toNK modeli pokuavaju objasniti uktuacije dohotka i zaposlenosti pomouneeksibilnihcijenaiplaa, anepomouodlukekuanstvakolikoeradaponuditi na tritu (iako ukljuuju i obje promjene).2Cilj racionalnog kuanstva u ovome modelu e biti maksimizirati korisnostnanaindapoveavapotronjui smanjujekoliinurada. Daklepoonojnarodnoj "nitko me ne moe toliko malo platiti koliko malo ja mogu raditi".Kao to vidimo osim nekih kozmetikih promjena, funkcija korisnosti je viemanje ista (Nedostatak pondera relativne korisnosti NErada je najuoljivijarazlika):U=

t=0t_C1t1 L1+t1 +_(3.1)Proraunsko ogranienje je meutim znatno drugaije. Kako smo pret-postavili ekonomijubezinvesticijai kapitala(kratki/srednji rok)kamatnustopunemoemodobiti izprvederivacijeproizvodnefunkcijepokapitalu(kojeg nema). Povrh, toga kako se radi o decentraliziranoj ekonomiji, ulo-ga akumulacije kapitala (kad bi ga i bilo u modelu) je u domeni poduzea,tako da kuanstva mogu svoju tednju kroz kupnju obveznicaBtposuiva-1Mogue je napraviti RBC model iz poglavlja 2 sa istom funkcijom, ali je zbog jednos-tavnosti pretpostavljena logaritamska funkcija. Na taj nain smo izbacili koecijentei.2Gal interpretiraL kao broj zaposlenih lanova kuanstava ako zanemarimo ogranie-nje cijelih brojeva (ne moemo zaposliti 3,5 lanova kuanstva), ali isto tako dozvoljava imogunost da se radi o satima rada kao i u RBC modelu.)3.2. KUANSTVA 75ti poduzeima za investicije,a poduzea akumuliraju kapital. Proraunskoogranienje za kuanstva je stoga dano funkcijom:PtCt +QtBt Bt1 +WtLt(3.2)Razina cijena jePt, potronja jeCt, obveznice suBt, plaa jeWt, a koli-ina rada Lt. Umnoak koliine potronje i prosjene cijene PtCt predstavljaukupaniznospotronje, aumnoakplaei koliineradaWtLtpredstavljaukupan dohodak od rada. Btje jednogodinja obveznica koja po dospijeudonosi jednu jedinicu novca, a trenutna cijena joj je Qt. Sukladno tome, pro-raunsko ogranienje nam kae da iznos potroen na potronju PtCt i tednjuQtBt mora biti jednak ili manji od dohotka od radaWtLt i dospjele tednjeiz prethodnog razdobljaBt1.Vano je uoiti da je trenutna cijena obveznice Qt, a to je isto to iQtBtiz razloga to je svaka obveznica u modelu jednogodinja i svaka obveznica podospijeu vrijedi jednu jedinicu novcaBt= 1, odnosnoQt= QtBt= Qt1.Naravno, kakobiitkotedio, iznosQtmorabitimanjiodbrojejedan, jerse isplati tedjeti u obveznici koja e po dospijeu vrijediti jedan, samo akojumoetekupitipomanjojcijenisada. Naravno, razlikaizmeusadanjecijene i cijene po dospijeu korespondira nominalnoj kamatnoj stopii.Toanmatematiki odnosizmeuQti nominalnekamatnestope itjeslian kao i izmeu strpljenja i nestrpljenja u Ramsey modelu.Qt=11 +it= (1 +it)1 eitt=11 += (1 +)1 e(3.3)Zadnji dio jednakosti proizlazi iz injenice to je Qt= (1 +it)1, a nakonlogaritmiranja dobijemo logQt= 1 +it, to je priblinoj jednako logQt it, a iz ega proizlazi da je Qtei.Naravno, isti izvod vrijedi i za strpljivosti nestrpljivost. Ukontekstunaegproraunskogogranienja, moemoistostavitiQt u odnos saBt.PtCt +Bt1 +it Bt1 +WtLt(3.4)Dakle ukupan iznos potronje Ct i izdataka za obveznice koje sada kotajuQtBt=11+it(azagodinudanaevrijediti Bt=1), morabiti manji odobveznica kupljenih u prethodnom razdoblju Bt1 (a koje sada vrijede jednujedinicu) i dohotka od radaWtLt.76 POGLAVLJE 3. NEW-KEYNESIAN MODEL (NKM)3.2.2 N diferenciranih proizvodaPromjena u funkciji korisnosti je vie kozmetike naravi, a proraunsko ogra-nienje bez kapitala i investicija je u biti pedagoke naravi s ciljem da po-jednostavimodel. SutinskarazlikaNKmodelauodnosunaRBCmodelemeutim proizlazi iz nesavrene konkurencije, dakle poduzea odreuju cije-ne, a ne prihvaaju cijene koje je odredilo savreno trite.Kako bi izmodelirali dinamian model s nesavrenim tritem, osim decen-tralizacije ekonomije u smislu odvojene optimizacije kuanstava i poduzea,potrebnojepretpostaviti i postojanjevieodjednogproizvodnogdobraumodelu. Obiaj je u NK modelima pretpostaviti da postoji od1 doNraz-liitih dobarai. VarijablaCt tada vie nije koliina potronje jednog dobra,nego indeks ukupne koliine potronje:Ct=_N

t=1Ct(i)11_1=_N

t=1Ct(i)1_1(3.5)Ukupan iznos potronjePtCtu u skladu s funkcijom koliine potronjeza svako pojedino dobro biti jednak sumi potronje na sva dobra u ekonomiji.PtCt=N

t=1Pt(i)Ct(i) (3.6)Direktna posljedicaNdobara na na model je u tome da e kuanstvaimati dvije lagrange optimizacije, prvu ve opisanu optimizaciju gdje e iz-abrati razinu radaLt i ukupne potronjeCt i drugu optimizaciju u kojoj ebirati optimalnu razinu potronje svakog pojedinog dobraCt(i). Optimalnakoliina potronje dobrai e ovisiti o relativnoj cijeni dobraPt(i) u odnosunaopeindekscijenaPt, aformalnoizvoenjeoptimalnepotronjedobraierezultirati funkcijompotranjezadobromiiji enagibbiti kljuanmonopolskim poduzeima za izbor visine protne mare.3.3. LAGRANGE - MAKSIMIZACIJA KUANSTAVA 773.3 Lagrange - maksimizacija kuanstavaKuanstva u modelu imaju dvije optimizacije, standardnu optimizaciju ukup-ne potronjeCt uz proraunsko ogranienje kao i u RBC modelu i optimiza-ciju potronje odreenog dobraCt(i) uz proraunsko ogranienje.L = t_C1t1 L1+t1 + t(PtCt +QtBtBt1WtLt)_(3.7)Jednadbu 3.7 deriviramo po potronji Ct, zaposlenosti Lt i obveznicamaBt kako bi mogli dobiti optimalno ponaanje kuanstava po pitanju ukupnepotranje za dobrima, ponude rada i koliine tednje (obveznicama).LCt= 0 =CttPt= 0 =Ct= tPt=CtPt= t(3.8)LLt= 0 =Lt+tWt= 0 =Lt= tWt=LtWt= t(3.9)Kod optimizacije po obveznicama, treba imati na umu da nam obvezniceBtulaze u optimizaciju u dva razdoblja,jednom u razdobljut=0 i drugiputa u razdobljut + 1 = 1.3LBt= 0 =tQt +t+1= 0 =tQt= t+1(3.10)Kada spojimo jednadbe 3.8 i 3.9 na nain da se rijeimo izraza t, dobitiemo:CtPt=LtWt(3.11)Potom je samo potrebno pomnoiti jednadbu 3.11 saWti podijeliti saCt, kako bi dobili ponudu rada koja proizlazi iz optimizacije kuanstva:WtPt=LtCt(3.12)Odnosno, nakon micanja minusa iz potencije:WtPt= Lt Ct(3.13)3Upravo zato i ulazi u formulu u razdobljut = 1 jer je1= , a0= 1.78 POGLAVLJE 3. NEW-KEYNESIAN MODEL (NKM)Uvrtenjem jednadbe 3.8 umjestotu jednadbu 3.10 dobiti emo os-novnu Eulerovu funkciju Ramseyevog pravila.CtPtQt= Ct+1Pt+1(3.14)Nakrajujepotrebnosamopomnoiti jednadbu3.14saPtCtkakobidobili:Qt= Ct+1Pt+1PtCt(3.15)Odnosno:Qt= Ct+1CtPtPt+1(3.16)Oigledno je kako jednadba 3.16 ne nalikuje na Ramseyevo pravilo, me-utim treba imati na umu da je Qt usko vezan uz nominalnu kamatnu stopu,koja u kombinaciji sa inacijomPt+1/Pt daje realnu kamatnu stopu, a rela-tivnu potronju i strpljivost imamo kao i u standardnom modelu.Jednadba 3.13 za ponudu rada i jednadba 3.16 za intertemporalnu sup-stituciju potronje dvije su kljune relacije koje objanjavaju ponaanje ku-anstava u NK modelu.Slijedei korakjederivacijadrugelagrangeoptimizacijekakobi dobi-li funkcijupotranje zasvakopojedinodobro Ct(i). Optimizacijaje is-togoblikakaoi uprethodnomsluaju, samojerazlikauinjenici daje_

Nt=1Ct(i)11_ 1uvrteno umjestoCt, a Nt=1Pt(i)Ct(i) umjestoPtCt.4L =__

Nt=1Ct(i)11_ 1_11 L1t1 t_N

t=1Pt(i)Ct(i) +QtBtBt1WtLt_(3.17)Prije deriviranja je preporuljivo pomnoiti eksponente na zagradama okopotronje, kako bi se rijeili barem jedne zagrade.4Vidi jednadbe 3.5 i 3.6.3.3. LAGRANGE - MAKSIMIZACIJA KUANSTAVA 79L =_

Nt=1Ct(i)11_(1)11 L1t1 t_N

t=1Pt(i)Ct(i) +QtBtBt1WtLt_(3.18)Ovdje je vano uoiti kako je postupak za derivaciju varijable u sumi iliintegralu razliit od postupka za derivaciju varijable. Kada imamoy=xa,tada deriviramoyx= axa1.Meutim kada se varijabla po kojoj deriviramo nalazi unutar sume nekefunkcije y= (

Ni=0xai)b, tada vrijedi praviloyxi= b(

Ni=0xai)b1axa1i. Dak-le,prvo deriviramo itavu sumu kao da se radi o varijabli b(

Ni=0xai)b1,anakon toga jo deriviramo po varijabli unutar sumeaxa1i.LCt(i)=(1 ) 1_

Ni=0Ct(i)11_1 (1)111 1Ct(i)1tPt(i) = 0(3.19)Prvo kratimo 1 ispred i ispod sume, a nakon toga je vano uoiti kakoje1 1= 1=1, tako da umnoak1i1daje jedan i moemo ihpokratiti._N

i=0Ct(i)11_(1)11Ct(i)1tPt(i) = 0 (3.20)SobziromdajeC1t=

Ni=0Ct(i)11(vidi jednadbu3.5)5, moemoC1tuvrstiti umjesto izraza u velikoj zagradi._C1t_(1)11Ct(i)1tPt(i) = 0 (3.21)Slijedei korak je mnoenje u eksponentu sa zagradom u eksponentu._C1t_1 1Ct(i)1tPt(i) = 0 (3.22)Zatimiskoristimoinjenicukakoje1=11kakobisvelieksponentnazagradi na zajedniki nazivnik.5Akojex2=y, tadajex=y1/2. Drugimrijeima, eksponentseinvertirakadaseprebaci na drugu stranu jednakosti.80 POGLAVLJE 3. NEW-KEYNESIAN MODEL (NKM)_C1t_(1)1Ct(i)1tPt(i) = 0 (3.23)Nakon uklanjanja zagrade u brojniku eksponenta i kraenja, dobiti emo:_C1t_+11Ct(i)1tPt(i) = 0 (3.24)Potom moemo pomnoiti eksponent naCt u velikoj zagradi i izvan nje. 1 se krati i dobijemo:C+1tCt(i)1tPt(i) = 0 (3.25)Potom prebacimo izraz Pt(i) na desnu stranu i iskoristimo jednadbu3.8 iz optimizacije ukupne potronje kako bi se rijeili izrazat.C+1tCt(i)1=CtPtPt(i) (3.26)PrebacimoCt na lijevu stranu mnoenjem itavog izraza saCt .C+1tCt Ct(i)1=Pt(i)Pt(3.27)Iskoristimo pravilo prema kojem se zbrajaju eksponenti na varijablamakoje se mnoe.C+1+tCt(i)1=Pt(i)Pt(3.28)Svedemo eksponent na zajedniki nazivnik.C+1+tCt(i)1=Pt(i)Pt(3.29)Pokratimo i.C1tCt(i)1=Pt(i)Pt(3.30)Iskoristimo pravilo prema kojem promjena predznaka eksponenta inver-tira varijablu._Ct(i)Ct_1=Pt(i)Pt(3.31)3.3. LAGRANGE - MAKSIMIZACIJA KUANSTAVA 81Prebacimo eksponent na drugu stranu.6Ct(i)Ct=_Pt(i)Pt_(3.32)I na kraju pom