Society of Astronomers of Serbia

РЕГИОНАЛНО ТАКМИЧЕЊЕ ИЗ АСТРОНОМИЈЕ

ПИТАЊА И ЗАДАЦИ

- СЕНИОРИ -

29. мај 2010. Питања (свако вреди по 5 поена):

1. Планета се види на растојању од 120� од Сунца. Да ли је то унутрашња или спољашња планета? 2. Чему је једнак период ротације Месеца око сопствене осе, синодичком или сидеричком месецу.

Колико траје? 3. Ако две звезде имају исту спектралну класу, која од њих има већу површинску температуру –

џин или патуљак? Образложити одговор.

Задаци (сваки вреди по 25 поена): 1. На дан летње дугодневнице са Антарктика је посматрана сјајна звезда. Мерења су показала да се

њена доња кулминација десила у 8h40m месног времена на висини од 42� 50` изнад хоризонта, а горња на висини 77� 54`. Одредити ректасцензију и деклинацију звезде и географску ширину места са кога су посматрања вршена (Скица обавезна!).

2. Хејл-Бопова комета се 1. априла 1997. године налазила у перихелу своје путање око Сунца. Брзина јој је у том тренутку била 43,876 km/s, а растојање од Сунца 0.918 астрономских јединица. Према садашњим проценама, комета ће достићи афел за нешто више од једног миленијума. Колика ће јој тада бити брзина и растојање од Сунца? Колика је велика полуоса и екцентричност кометине путање ако се зна да је средња брзина Земље на путањи око Сунца 29.765 km/s?

3. Када би се Млечни пут посматрао школским телескопом дијаметра 18 cm из једне далеке галаксије, једва би се видео. Наћи црвени помак те далеке галаксије ако се зна да је апсолутна звездана величина Млечног пута -20,5m.

4. Замислимо астероид сферног облика дијаметра 600 km на кружној путањи коју обилази за 2,6 година. Ако је његов албедо 0,6, колика би му била највећа, а колика најмања визуелна и болометријска звездана величина? Образложи добијене резултате.

- крај -

Druxtvo astronoma Srbije

Astronomical ObservatoryVolgina 7, 11160 Belgrade, Serbia

Phone: +381 11 20 27 826

Fax: +381 11 26 38 715

http://www.das.org.rs

Astronomska opservatorijaVolgina 7, 11160 Beograd

Regionalno takmiqenje iz astronomije29. mart 2015.

Pitanja:

1. (5 p.) Izbaci uljeza: Venera, Zemlja, Mars, Jupiter, Saturn, Uran,Neptun. Obrazlo�i svoj izbor.

Odgovor: Uljez je Venera – jedino ona nema prirodni satelit(e).

Zapa�anje: Ve� sama qinjenica da u datom nizu planeta Sunqevog sis-tema nedostaje jedino Merkur, ukazuje na to da Merkur ima istu os-obenost kao planeta–uljez koju treba izbaciti.

Mnogi takmiqari su navodili Veneru kao uljeza, ali iz pogrexnih ra-zloga: jedina unutraxnja planeta (a kakva je onda Zemlja?), jedina imaretrogradnu rotaciju (nije taqno, Uran tako�e ima retrogradnu rotaciju;njegova osa rotacije je nagnuta pod uglom od oko 98◦ u odnosu na normaluna ekliptiqku ravan). Neki su navodili Zemlju jer jedino na njoj pos-toji �ivot – ova qinjenica nema nikakav astronomski znaqaj qak i da jetaqna (xto jox uvek ne znamo sa sigurnox�u). Neki su navodili razlogeza svaku ili za nekoliko planeta pojedinaqno – ako bi se me�u datimodgovorima naxao i onaj taqan, oduzimani su poeni zbog nesigurnosti.

2. (5 p.) Na kojim geografskih xirinama xtap poboden verikalno u zemljune baca senku u pravo podne?

Odgovor: Senke nema kada se Sunce nalazi u zenitu, a Sunce mo�e dase na�e u zenitu samo za posmatraqe unutar �arkog pojasa, tj. izme�usevernog i ju�nog povratnika, −23, 5◦ < ϕ < +23, 5◦. Tako�e, mogli bismoda ka�emo da xtap ne�e bacati senku tokom polarnih no�i unutar po-larnih krugova, −66, 5◦ > ϕ > +66, 5◦, iako je pravo podne (mada, tadanema ni Sunca iznad horizonta). Drugi deo rexenje nije potreban zadobijanje punog broja poena.

Zapa�anje: Ve�inom su odgovori bili taqni. Najqex�a grexka je bilada takmiqar navede samo geografske xirine severnog i ju�nog povrat-nika ne obuhvataju�i �arki pojas, ili navede deo �arkog pojasa samona severnoj polulopti.

3. (5 p.) Xta su pulsari?

Odgovor: 3 p. za“neutronskezvezde”

Pulsari su neutronske zvezde koje brzo rotiraju (0, 033 < P <

4 s), veoma su guste (1012 < ρ < 1017 kg m−3) i imaju jako magnetno polje

1

(B ≈ 108 T). Nastaju u eksplozijama supernovih ili u tesno dvojnimsistemima. Imaju izuzetno stabilne periode pulsacija – mogu se pore-diti sa atomskim qasovnicima (10−8 s). Najlakxe se detektuju u radio-domenu. Radio-zraqenje potiqe od elektrona koji se u jakom magnetnompolju pulsara ubrzavaju do relativistiqkih brzina i sinhrotronskimmehanizmom zraqe unutar uskih konusa. Sa punim brojem poena se pri-hvata i mnogo sa�etiji odgovor.

Zapa�anje: Za pun broj poena dovoljno je bilo re�i da je pulsar neu-tronska zvezda (3 poena) veoma kratkog i stabilnog perioda rotacije (2poena). Poeni su oduzimani ako bi se navela i neka netaqna qinjenica.Na primer: zvezde u poqetnoj fazi evolucije (zapravo je to jedna od kra-jnjih faza), da su vangalaktiqki objekti (ima ih i u naxoj galaksiji),qak je neko rekao da je to planeta, itd.

Mnogi su pulsare zamenili sa promenljivim zvezdama.

Zadaci:

1. (20 p.) Koliko se Sunce u tvom mestu najvixe podigne nad horizontomu pravo podne, a koliko najmanje? Kada se to dexava? A za posmatraqana ekvatoru?

Rexenje 1: Na podruqju Srbije Sunce uvek kulminira ju�no od zenita.Gornja kulminacija bilo kog nebeskog objekta, pa tako i Sunca, je datarelacijom:

h� = 90◦ − ϕ+ δ�,

gde je ϕ geografska xirina mesta posmatranja, a δ� deklinacija Suncakoja mo�e da ima vrednosti −ε 6 δ� 6 +ε (ε = 23, 5◦). Geografska xirinaBeograda, na primer, je 45◦, pa je:

90◦ − ϕ− ε 6 h� 6 90◦ − ϕ+ ε,

21, 5◦ 6 h� 6 68, 5◦. 5 p.

3 p. za taqnedatume

Sunce se u Beogradu najvixe podigne nad horizontom na dan dugodnevice– oko 22. juna, a najmanje na dan kratkodnevice – oko 21. decembra (ine samo u Beogradu, ve� i u svakoj taqki severnog umerenog pojasa;razmisli xta se dexava u �arkom pojasu, a xta u ledenom).

Geografska xirina ekvatora je 0◦, pa je:

90◦ − 0◦ − ε 6 h� 6 90◦ − 0◦ + ε,

66, 5◦ 6 h� 6 113, 5◦. 3 p.

5 p. za 66, 5◦ 6h� 6 90◦

4 p. za taqnedatume

Me�utim, kako je visina nebeskog objekta definisana kao ugao u ver-tikalnoj ravni koji zahvata pravac ka horizontu i pravac vizure kaobjektu (h ∈ [0◦, 90◦]), pravilan odgovor je 66, 5◦ 6 h� 6 90◦. Imati uvidu da u zavisnosti od godixnjeg doba, Sunce u �arkom pojasu mo�eda kulminira i ju�no i severno od zenita. Zakljuqujemo: za posmatra-qa na ekvatoru, Sunce se najvixe podigne nad horizontom (h� = 90◦)u dane ravnodnevica, i prole�ne i jesenje, a najmanje (h� = 66, 5◦) nadan kratkodnevice – kulminira ju�no od zenita, i na dan dugodnevice –kulminira severno od zenita.

2

Zapa�anje: Najqex�e grexke su bile da takmiqar navede samo maksi-malne ili samo minimalne vrednosti za visinu Sunca, sliqno za datume.Ili, rexi zadatak samo za jednu od geografskih xirirna. Poeni suoduzimani za neoqigledan postupak rexavanja, npr. date samo vrednostibez relacija i raquna.

2. (30 p.) Koliko je vremena proxlo od konjunkcije do opozicije planeteako se njena prividna veliqina smanjila za 0,85 zvezdanih veliqina?Koja je to planeta? (Orbitu planete smatrati kru�nom.)

Rexenje: Sjaj planete se menja zbog promene njenog geocentriqnog ras-tojanja. Odnos udaljenosti planete od Zemlje u konjunkciji i opozicijiizvodimo iz Pogsonovog zakona:

rmax

rmin=√

100,4·∆m =√

100,4·0,85 = 1, 5; 10 p.

rmax = a+ 1 aj

rmin = a− 1 aj

}⇒ a+ 1 aj = 1, 5 · (a− 1 aj) ⇒ a = 5 aj,

gde je a udaljenost planete od Sunca. Na osnovu dobijene udaljenosti,zakljuqujemo da je planeta – Jupiter. 5 p.

Da bismo odredili vreme proteklo izme�u konjunkcije i opozicije potre-ban nam je sinodiqki period Jupitera (taqnije, polovina tog perioda).Ako ne znamo period Jupiterove revolucije, P , mo�emo da ga izraqunamoiz III Keplerovog zakona. Sinodiqki period Jupitera je:

1

S=

1

T− 1

P=

1

1 god− 1

12 god⇒ S = 1, 1 god. 10 p.

Polovina sinodiqkog perioda Jupitera je oko 6,5 meseci, tj. to je vremeproteklo izme�u konjunkcije i opozicije. 5 p.

Zapa�anje: Neki takmiqari nisu znali definicije pojmova “konjunkcija”i “opozicija”. Tako�e, da unutraxnja planeta ne mo�e do�i u polo�ajopozicije. Neki su u III Keplerov zakon uvrstili geocentriqna rasto-janja umesto heliocentriqnih. Mnogi nisu shvatili da treba izraqu-nati polovinu sinodiqkog perioda planete – raqunali su sideriqki (pe-riod revolucije).

3. (20 p.) Rastojanje do jedne dvojne zvezde iznosi 10 pc. Prividna du�inavelike poluose za relativnu orbitu (orbita jedne komponente oko druge)je α = 2′′; period obilaska iznosi 70 godina. Kolike su pojedinaqne masekomponenata ako se zna da je masivnija komponenta u svakom trenutku dvaputa bli�a centru mase od manje masivne?

Rexenje: 5 p. zaa = 20 aj

Iz relacije a = αs gde je s heliocentriqno rastojanje, na-lazimo da je du�ina velike poluose jednaka 20 aj. Primenom tre�egKeplerovog zakona:

M =a3

T 2= 1, 63M�. 5 p.

5 p. zaM = m1 +m2

5 p. za masezvezda

S obzirom na to da je u pitanju relativna orbita, ovo �e biti ukupnamasa, M = m1 +m2. Okolnost da je masivnija zvezda u svakom trenutkudva puta bli�a centru mase od manje masivne (r2 = 2r1, a iz definicijecentra masa znamo da je m1r1 = m2r2 = const), znaqi da je njena masa

3

jednaka dve tre�ine ukupne mase, dakle 1,09 Sunqevih masa. Masa manjemasivne zvezde iznosi onda 0,54 Sunqevih masa.

Zapa�anje: Vrlo qesto je relativna orbita aproksimirana kru�nicom(xto nije dato u postavci zadatka), pa se iz centripetalnog ubrzanjadobija ukupna masa sistema. Na ovaj naqin se dobija dobar red veliqine,ali u ovom sluqaju (i uopxte za dvojne sisteme) mora da se koristi IIIKeplerov zakon jer nam ekscentricitet relativne orbite nije poznat.Za sve eliptiqne putanje koje imaju iste velike poluose, bez obzira nanjihov ekscentricitet, period je isti!

Neki takmiqari se uopxte ne zabrinu ako zbog grexaka u raqunu dobijuveoma male mase zvezda (kao asteroidi).

4. (30 p.) Spektrografska posmatranja kvazara ugaonog preqnika ρ = 0, 03′′

pokazala su da je u njegovom spektru emisiona linija vodonika Hβ qija jetalasna du�ina 486, 1 nm pomerena na 542, 1 nm. Izmerena je i prividnafotografska veliqina kvazara, mph = 15, 5 zvezdanih veliqina, dok je zaSunce odre�ena apsolutna M�ph = 5, 36. Odredi radijalnu brzinu, uda-ljenost, luminoznost i linearni preqnik posmatranog kvazara. Za ocenurastojanja do kvazara, r, primeni najjednostavniji kosmoloxki modelvasione (zatvorena, osciluju�a) u kome va�i r = c

H0

z1+z , gde je c – brzina

svetlosti, H0 – Hablova konstanta, a z – crveni pomak.

Rexenje: Razlika izmerene i emitovane talasne du�ine spektralne li-nije vodonika je:

∆λ = λ− λ0 = 542, 1 nm− 486, 1 = 56, 0 nm,

dok je crveni pomak:

z =∆λ

λ=

56, 0 nm

486, 1 nm= 0, 115. 5 p.

Vrednost crvenog pomaka (z > 0, 1) sugerixe korix�enje relativistiqkeformule za izraqunavanje radijalne brzine kvazara:

vr =(z + 1)2 − 1

(z + 1)2 + 1· c = 0, 108 c. 10 p.

Udaljenost do kvazara raqunamo po relaciji datoj u postavci zadatka:

r = 442 Mpc. 2 p.

Linearni preqnik kvazara je:

D = r[pc] · ρ[′′]

206 265′′= 64, 3 pc. 3 p.

Primenom Pogsonovog zakona dobijamo apsolutnu fotografsku veliqi-nu:

Mph = mph + 5− 5 log r = 15, 5 + 5− 5 log 442 · 106 = −22, 7. 5 p.

Ako za jedinicu luminoznosti upotrebimo luminoznost Sunca, L�ph,tada je:

logLph = 0, 4 · (M�ph −Mph) = 0, 4 · (5, 36 + 22, 7) = 11, 224,

pa je Lph ≈ 167 · 109 L�ph. 5 p.

4

Zapa�anje: Uobiqajeno je da se za raqunanje radijalne brzine objektakoristi relativistiqka formula ako je z > 0, 1 – oduzimana su 2 poena zaupotrebu nerelativistiqke. Pokuxajte da nacrtate grafik zavisnostivr

c= f(z) sa relativistiqkom popravkom i bez nje, mo�da se iznenadite.

Neki takmiqari se uopxte ne zabrinu ako zbog grexaka u raqunu dobijuda je kvazar slabiji od obiqne sijalice!

Iako je u postavci zadatka dat ugaoni preqnik kvazara, neki takmiqariga tretiraju kao polupreqnik i dobijaju pogrexan rezultat za lineranipreqnik kvazara.

5