Vilniaus universitetas

Remigijus Leipus

LAIKO EILUCIU TEORIJOS

IVADAS

Mokomoji priemone

Vilniaus universiteto leidykla1995

Apsvarste ir rekomendavo spausdinti Matematikos fakulteto Mate-matines statistikos katedra (1995 06 20, protokolo Nr.6) ir fakultetotaryba (1995 06 20, protokolo Nr.13).

Recenzavo: doc. F. Miseikis,vyr. asist. V. Kazakevicius

c⃝ Remigijus Leipus, 1995

Turinys

Pratarme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1. ATSITIKTINIAI PROCESAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

2. STACIONARIEJI PROCESAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

3. STACIONARIOSIOS SEKOS KOVARIACINES FUNKCIJOS SA-

VYBES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

4. AUTOREGRESIJOS IR SLENKAMOJO VIDURKIO SEKOS . . . 14

5. ARSV SEKOS KOVARIACINES FUNKCIJOS SKAICIAVIMAS .25

6. SPEKTRINE KOVARIACINES FUNKCIJOS ISRAISKA . . . . . . . .33

7. ARSV SEKOS SPEKTRINIS TANKIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

8. STACIONARIOSIOS SEKOS VIDURKIO IR KOVARIACINES

FUNKCIJOS I‘VERCIAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

9. PERIODOGRAMA IR SPEKTRINES PASISKIRSTYMO FUNK-

CIJOS I‘VERTIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10. SPEKTRINIO TANKIO I‘VERCIAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

11. KAI KURIE KONKRETUS SPEKTRINIO TANKIO I‘VERCIAI82

3

Pratarme

Si mokomoji priemone parasyta pagal pastaruosius kelis metus au-

toriaus skaitytas paskaitas Matematikos fakulteto studentams. Joje pa-

teikiama vieno semestro medziaga, apimanti laiko eiluciu‘teorijos pa-

grindus.

Dauguma statistiniu‘metodu

‘grindziami prielaida, kad stebejimai

yra nepriklausomi (tiksliau – nepriklausomu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘reali-

zacijos). Tokie metodai yra invariantiski stebejimu‘isdestymo atzvilgiu.

Kitaip yra laiko eiluciu‘teorijoje. Laiko eilutes praktikoje gaunamos nuo-

sekliai stebint i‘vairiu

‘fizikos, ekonomikos, meteorologijos, astronomijos,

medicinos ir t.t. reiskiniu‘vystyma

‘si. Todel momentu t gauta stebimo

dydzio reiksme Xt paprastai priklauso nuo to dydzio reiksmiu‘ankstes-

niais momentais s < t. Nustatytoji prieklausa leidzia prognozuoti tolesne‘

mus dominancio reiskinio evoliucija‘.

Sioje knygeleje isdestyti matematiniai laiko eiluciu‘analizes pagrin-

dai. Pirmame skyrelyje apibreziami atsitiktiniai procesai ir suformulu-

ojama Kolmogorovo teorema apie ju‘egzistavima

‘. Antrame ir treciame

skyreliuose apibreziamos stacionariosios sekos bei isvardijamos tokiu‘se-

ku‘kovariaciniu

‘funkciju

‘savybes. Ketvirtas ir penktas skyreliai skirti

4

autoregresijos ir slenkamojo vidurkio (ARSV) sekoms. Nagrinejamos ju‘

stacionarumo bei kauzalumo sa‘lygos ir pateikiami kovariacines funkci-

jos skaiciavimo budai. Sestame skyrelyje apibreziamos spektrines pa-

siskirstymo funkcijos ir spektriniai tankiai. Septintame skyrelyje patei-

kiamos butinos ir pakankamos ARSV sekos spektrinio tankio egzistavimo

sa‘lygos. Likusi dalis skirta statistiniams laiko eiluciu

‘teorijos meto-

dams isdestyti. Astuntame skyrelyje nagrinejamos stacionariosios sekos

vidurkio ir kovariacines funkcijos suderinamumo (kvadratinio vidurkio

prasme) sa‘lygos, devintame – periodogramos ir spektrines pasiskirstymo

funkcijos savybes, desimtame ir vienuoliktame – i‘vairus spektrinio tankio

i‘verciai.

Manau, kad si knygele bus naudinga ne tik matematikos fakulteto

studentams, bet ir visiems besidomintiems laiko eilutemis.

5

1. ATSITIKTINIAI PROCESAI

1.1 apibrezimas. Atsitiktiniu procesu vadinama atsitiktiniu‘dy-

dziu‘, apibreztu

‘vienoje tikimybineje erdveje, seima {Xt, t ∈ T}.

Laiko eiluciu‘teorijoje kintamasis t vadinamas laiku ir jo reiksmiu

‘

aibe T dazniausiai yra Z = {0,±1,±2, ...}, N = {1, 2, 3, ...} (diskretaus

laiko atvejis) arba R+ = [0,∞), R = (−∞,+∞) (tolydaus laiko atvejis).

1.1 pavyzdys. Tarkime, ν> 0 ir r > 0 yra du fiksuoti skaiciai, o

A> 0 ir Θ – nepriklausomi atsitiktiniai dydziai, Θ – tolygiai pasiskirste‘s

intervale [0, 2π). Apibrezkime

Xt = r−1A cos(νt+Θ).

Tokiu atsitiktiniu procesu aprasomas elektros sroves stiprio kitimas, kai

i‘tampa turi atsitiktine

‘amplitude

‘A ir atsitiktine

‘faze

‘Θ; r – rezistoriaus

varza. Laikas t gali buti tiek tolydus, tiek ir diskretus.

1.2 pavyzdys. Standartiniu Brauno judesiu (arba Vynerio procesu)

vadinamas procesas {Wt, t> 0}, tenkinantis sa‘lygas:

(a) W0 = 0;

(b) su visais n = 3, 4, ... ir su visais rinkiniais 06 t1 < t2 < ... < tn

pokyciai Wt2 −Wt1 , Wt3 −Wt2 , ...,Wtn −Wtn−1 yra nepriklau-

somi;

(c) Wt −Ws ∼ N(0, t− s), kai t> s.

6

A priori nera akivaizdu, kad atsitiktinis procesas su tokiomis savybe-

mis egzistuoja. Jo egzistavimas isplaukia is fundamentalios Kolmogorovo

teoremos, kuria‘dabar suformuluosime.

Is pradziu‘apibresime atsitiktinio proceso {Xt} daugiamate

‘pasi-

skirstymo funkcija‘. Taip vadinamas funkciju

‘

Ft1,...,tn(x1, ..., xn) = P{Xt1 6x1, ..., Xtn 6xn}

rinkinys; cia: n = 1, 2, ..., t1, ..., tn ∈ T ⊂ R, t1 < t2 < ... < tn ir

x1, ..., xn ∈ R.

1.1 teorema. Funkcijos {Ft1,...,tn(x1, ..., xn), t1 < t2 < ... < tn,

n = 1, 2, ...} yra kokio nors atsitiktinio proceso daugiamates pasiskirsty-

mo funkcijos tada ir tik tada, kai su visais n = 1, 2, ..., t1 < t2 < ... < tn

ir k = 1, 2, ..., n teisinga sa‘lyga

limxk→∞

Ft1,...,tn(x1, ..., xn) = Ft1,...,tk−1,tk+1,...,tn(x1, ..., xk−1, xk+1, ..., xn).

(1.1)

1.1 pastaba. Pastaroji lygybe vadinama suderinamumo sa‘lyga.

Svarbu yra i‘sidemeti, kad reikalavimas T ⊂ R (tada T yra tiesiskai

sutvarkyta aibe) yra esminis. Jeigu T nera sutvarkyta aibe, papildomai

reiketu‘reikalauti, kad butu

‘ispildyta ”perstatos” sa

‘lyga.

1.2 pastaba. Suderinamumo sa‘lyga

‘galima suformuluoti ir charak-

teristiniu‘funkciju

‘terminais. Jei

φt1,...,tn(u1, ..., un) =

∫Rn

ei∑n

1 ujxjFt1,...,tn(dx1, ..., dxn),

7

tai suderinamumo sa‘lyga ekvivalenti lygybei

limuk→0

φt1,...,tn(u1, ..., un) = φt1,...,tk−1,tk+1,...,tn(u1, ..., uk−1, uk+1, ..., un).

(1.2)

1.1 pratimas. Parodykite, kad 1.2 pavyzdyje apibreztas Vynerio

procesas tenkina suderinamumo sa‘lyga

‘.

2. STACIONARIEJI PROCESAI

2.1 apibrezimas. Atsitiktinio proceso {Xt, t ∈ T}, su visais t ∈ T

tenkinancio sa‘lyga

‘DXt <∞, kovariacine funkcija apibreziama lygybe

r(s, t) = Cov(Xs, Xt) = E(Xs − EXs)(Xt − EXt), s, t ∈ T. (2.1)

2.2 apibrezimas. Seka {Xt, t ∈ Z} vadinama stacionaria‘ja, jeigu:

1) ∀t ∈ Z E|Xt|2 <∞,

2) ∀t ∈ Z EXt = EX0,

3) r(s, t) = r(s+ h, t+ h) su visais s, t, h is Z.

Daznai literaturoje taip apibreztas stacionarumas vadinamas sta-

cionarumu placia‘ja (arba silpna

‘ja) prasme.

Kadangi stacionariai sekai r(s, t) = r(s− t, 0) su visais s, t ∈ Z, tai

patogiau kovariacine‘funkcija

‘traktuoti kaip vieno argumento funkcija

‘ir

rasyti (ka‘mes nuo siol ir darysime) tiesiog r(s) ≡ r(s, 0) visiems s ∈ Z.

Stacionarios sekos koreliacine funkcija apibreziama lygybe

ρ(h) = r(h)/r(0)

su h ∈ Z.

8

2.3 apibrezimas. Sakysime, kad {Xt, t ∈ Z} yra m-osios eiles

stacionarioji seka, jeigu egzistuoja visi misrieji vektoriu‘

(Xt1 , Xt2 , ..., Xtn)

momentai iki m-os eiles ir jie yra invariantiski postumio atzvilgiu, t.y.

EXα1t1 X

α2t2 ...X

αntn = EXα1

t1+hXα2

t2+h...Xαn

tn+h

su visais n ∈ N, (t1, t2, ..., tn) ∈ Zn, h ∈ Z ir∑n

1 αj 6m.

2.4 apibrezimas. Seka {Xt, t ∈ Z} vadinama stacionaria‘ja siau-

ra‘ja (arba griezta

‘ja) prasme, jeigu su visais k ∈ N, t1, t2, ..., tk ir h is

Z vektoriu‘(Xt1 , ..., Xtk) ir (Xt1+h, ..., Xtk+h) pasiskirstymai sutampa.

Nesunku matyti, jeigu seka {Xt} yra stacionari siaura‘ja prasme ir

E|Xt|2 < ∞ , tai ji yra stacionari ir placia‘ja prasme. Atvirkscias gi

teiginys nera teisingas (2.4 pratimas). Taciau Gauso seku‘klaseje abu

stacionarumo apibrezimai yra ekvivalentus. Is pradziu‘apibresime Gauso

procesa‘.

2.5 apibrezimas. Atsitiktinis procesas {Xt, t ∈ T} vadinamas

Gauso procesu, jeigu visi jo daugiamaciai pasiskirstymai yra normalieji.

Priminsime, kad atsitiktinis vektorius ξ = (ξ1, ..., ξn) vadinamas

normaliai pasiskirsciusiu su parametrais a ir Γ, jeigu jo n-mate charak-

teristine funkcija φ(λ) = Eei(λ,ξ), λ = (λ1, ..., λn), yra tokio pavidalo:

φ(λ) = ei(λ,a)−(Γλ,λ)/2; (2.2)

9

cia: a = (a1, ..., an), Γ = (Γkl) − simetrine ir neneigiamai apibrezta

matrica. Galima patikrinti (zr. 2.3 pratima‘), kad ak = Eξk, Γkl =

= E(ξk − ak)(ξl − al).

2.1 teorema. Stacionarioji placia‘ja prasme Gauso seka {Xt, t ∈

∈ Z} yra stacionarioji ir siaura‘ja prasme.

I‘rodymas. Kadangi seka {Xt} yra stacionari placia

‘ja prasme, tai

vektoriu‘(Xt1 , ..., Xtk) ir (Xt1+h, ..., Xtk+h) vidurkiai ir kovariacines mat-

ricos sutampa. Taigi sie vektoriai turi viena‘ir ta

‘pati

‘pasiskirstyma

‘. �

2.1 pavyzdys. Apibrezkime atsitiktini‘procesa

‘

Xt = A cos(θt) +B sin(θt);

cia: A ir B yra nekoreliuoti atsitiktiniai dydziai su EA = EB = 0,

DA = DB = 1 ir θ ∈ [−π, π]. Nesunku i‘sitikinti, kad toks atsitiktinis

procesas yra stacionarus ir Cov(Xt+h, Xt) = cos(θh).

2.2 pavyzdys. Tarkime {Zt, t ∈ Z} yra nepriklausomu‘vienodai

pasiskirsciusiu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘su nuliniu vidurkiu ir dispersija σ2

seka. Seka‘{Xt} apibrezkime lygybe

Xt = Zt + θZt−1.

Tada EXt = 0 ir

Cov(Xt+h, Xt) =

σ2 + θ2σ2 , kai h = 0,θσ2 , kai |h| = 1,0 , kai |h| > 1.

10

Vadinasi, seka {Xt} yra stacionarioji.

2.1 pratimas. Tarkime Xt = Zt + θZt−1, t ∈ N, cia Z0, Z1, ... yra

nepriklausomi vienodai pasiskirste‘atsitiktiniai dydziai su generuojan-

cia‘ja momentu

‘funkcija E exp(λZi) = m(λ). Isreikskite generuojancia

‘ja‘

momentu‘funkcija

‘E exp(

n∑i=1

λiXi) funkcijos m(·) terminais. Parodykite,

kad {Xt} yra stacionarioji siaura‘ja prasme seka.

2.2 pratimas. Tegul atsitiktine seka apibrezta lygybe

Xt = cos(νt+Φ), t ∈ Z; (2.3)

cia: Φ – tolygiai intervale (0, 2π] pasiskirste‘s atsitiktinis dydis, ν> 0.

Parodykite, kad (2.3) seka stacionari.

2.3 pratimas. Tegul Gauso atsitiktinio vektoriaus ξ =(ξ1, ..., ξn)

charakteristine funkcija yra (2.2) pavidalo. Parodykite, kad ak = Eξk,

Γkl = Cov(ξk, ξl).

2.4 pratimas. Sukonstruokite atsitiktiniu‘dydziu

‘seka

‘{Xt, t ∈ Z},

kuri butu‘stacionari placia

‘ja prasme, bet nestacionari siaura

‘ja prasme.

11

3. STACIONARIOSIOS SEKOS KOVARIACINES

FUNKCIJOS SAVYBES

3.1 teiginys. Tarkime, r(·) – stacionariosios sekos {Xt, t ∈ Z}

kovariacine funkcija. Tada:

1) r(0)> 0,

2) |r(h)|6 r(0) su visais h,

3) r(−h) = r(h) su visais h.

I‘rodymas. 1) ir 3) savybes isplaukia is 2.2 apibrezimo. Norint patikrinti

2) savybe‘, tereikia panaudoti Kosi nelygybe

‘. �

Isvardintosios savybes tera tik butinos sa‘lygos, kurioms esant kokia

nors funkcija yra kovariacine. Butina ir pakankama sa‘lyga apibreziama

tos funkcijos neneigiamo apibreztumo sa‘voka.

3.1 apibrezimas. Funkcija r: Z → R vadinama neneigiamai api-

brezta, jeigu ∀n ∈ N, (a1, ..., an) ∈ Rn, (t1, ..., tn) ∈ Zn

n∑i,j=1

aiajr(ti − tj)> 0.

3.1 teorema. Lygine funkcija f : Z → R yra stacionariosios sekos

kovariacine funkcija tada ir tik tada, kai ji yra neneigiamai apibrezta.

I‘rodymas. B u t i n u m a s. Tarkime, f(·) yra stacionariosios sekos

{Xt, t ∈ Z} kovariacine funkcija. Tada

n∑i,j=1

aiajf(ti − tj) =n∑

i,j=1

aiajE(Xti − EXti)(Xtj − EXtj ) =

12

= E(n∑

i=1

ai(Xti − EXti))2 > 0.

P a k a n k a m u m a s. Sakykime f : Z → R yra lygine neneigiamai

apibrezta funkcija. I‘rodydami, jog egzistuoja stacionarus procesas, ku-

rio kovariacine funkcija yra f(·), pasinaudosime Kolmogorovo teorema.

Apibrezkime funkcija‘

φt1,...,tn(u1, ..., un) = e−1/2

n∑i,j=1

uiujf(ti−tj)

. (3.1)

Kadangi f(·) yra lygine ir neneigiamai apibrezta, tai (3.1) yra nor-

maliai pasiskirsciusio vektoriaus charakteristine funkcija. Akivaizdu,

kad si funkcija tenkina (1.2) suderinamumo sa‘lyga

‘. Vadinasi, egzistuoja

toks atsitiktinis procesas, kurio baigtiniamaciu‘pasiskirstymu

‘charak-

teristines funkcijos yra (3.1) funkcijos. Is 2.3 pratimo isplaukia, kad

f(i− j) = Cov(Xi, Xj). �

Is 3.1 teoremos isplaukia, kad bet kokiai lyginei neneigiamai api-

breztai funkcijai galima sukonstruoti stacionaru‘ji‘Gauso procesa

‘, kurio

kovariacine funkcija butu‘si funkcija.

3.1 pratimas. Parodykite, kad kovariacinei funkcijai teisinga ne-

lygybe

|r(n)− r(m)|2 6 2r(0)(r(0)− r(n−m)).

3.2 pratimas. Parodykite, kad funkcija r : Z → R, apibreziama

lygybemis

r(h) =

1, h = 0,ρ, |h| = 1,0, |h| > 1,

13

yra stacionarios sekos kovariacine funkcija tada ir tik tada, kai |ρ|6 1/2.

4. AUTOREGRESIJOS IR SLENKAMOJO VIDURKIO

SEKOS

4.1 apibrezimas. Seka {Zt} vadinama balto triuksmo seka su

vidurkiu 0 ir dispersija σ2, jeigu EZt = 0 ir

r(h) =

{σ2, h = 0,0, h = 0.

Zymesime Zt ∼ BT (0, σ2).

4.2 apibrezimas. Procesas {Xt, t ∈ Z} vadinamas autoregresijos

ir slenkamojo vidurkio seka, jeigu {Xt} stacionarus ir su visais t

Xt − ϕ1Xt−1 − ...− ϕpXt−p = Zt + θ1Zt−1 + ...+ θqZt−q; (4.1)

cia Zt ∼ BT (0, σ2). Tokia‘seka

‘zymesime ARSV(p,q).

(4.1) lygybe‘galima uzrasyti trumpiau:

ϕ(B)Xt = θ(B)Zt, t ∈ Z; (4.2)

cia:

ϕ(z) = 1− ϕ1z − ...− ϕpzp,

θ(z) = 1 + θ1z + ...+ θqzq

ir B yra postumio operatorius, t.y. BjXt = Xt−j , j ∈ Z. Daugianariai

ϕ(·) bei θ(·) vadinami atitinkamai autoregresijos bei slenkamojo vidurkio

daugianariais.

14

4.1 pavyzdys (SV(q) procesas). Jei lygtyje (4.1) ϕ(z) ≡ 1, t.y.

Xt = Zt + θ1Zt−1 + ...+ θqZt−q,

tai seka‘{Xt} vadinsime q-osios eiles slenkamojo vidurkio seka (SV(q)).

Akivaizdu, kad EXt = 0 ir

Cov(Xt+h, Xt) =

σ2q−|h|∑j=0

θjθj+|h|, |h|6 q,

0, |h| > q,

cia θ0 = 1. Taigi {Xt} yra stacionari seka.

4.2 pavyzdys (AR(1) procesas). Panagrinekime atveji‘, kai (4.1)

lygtyje p = 1, θ(z) ≡ 1 ir ϕ(z) = 1− ϕz:

Xt − ϕXt−1 = Zt, t ∈ Z. (4.3)

Tada

Xt = Zt + ϕ(Zt−1 + ϕXt−2) = ...

... = Zt + ϕZt−1 + ϕ2Zt−2 + ...+ ϕkZt−k + ϕk+1Xt−k−1.

Sakykime, EX2t ≡ const <∞. Tada, jeigu |ϕ| < 1, tai

E(Xt −n∑

j=0

ϕjZt−j)2 = ϕ2n+2EX2

t−n−1 → 0, (4.4)

kai n→ ∞. Todel rasysime

Xt =∞∑i=0

ϕiZt−i, (4.5)

reiskini‘desineje puseje laikydami daliniu

‘sumu

‘riba kvadratinio vidurkio

prasme. Veliau pamatysime, kad (4.5) teisinga ir su tikimybe 1.

15

Seka, apibrezta (4.5) lygybe, yra stacionari, nes

EXt =

∞∑i=0

ϕiEZt−i = 0,

ir

Cov(Xt+h, Xt) = limn→∞

E

n∑i,j=0

ϕi+jZt+h−iZt−j =

= σ2ϕ|h|∞∑j=0

ϕ2j = σ2 ϕ|h|

1− ϕ2.

Be to, {Xt}, apibreztas (4.5) lygybe, tenkina AR(1) (4.3) lygti‘. Vadinasi,

jis yra vienintelis stacionarus sprendinys.

Jeigu |ϕ| > 1, tai panasiai i‘sitikiname, kad

Xt = −∞∑i=1

ϕ−iZt+i

yra vienintelis stacionarus (4.3) lygties sprendinys.

Parodysime, kad |ϕ| = 1 atveju AR(1) (4.3) lygtis stacionaraus

sprendinio neturi. Lygybe‘

Xt − ϕkXt−k = Zt + ϕZt−1 + ϕ2Zt−2 + ...+ ϕk−1Zt−k+1

skaliariskai padaugine‘1 is Xt − ϕkXt−k, gausime

E(Xt − ϕkXt−k)2 = kσ2. (4.6)

1 Sakydami ”X skaliariskai dauginame is Y ”, turime omenyje (zr. 6.1

pastaba‘), kad skaliarine sandauga ⟨X,Y ⟩ yra apibrezta lygybe ⟨X,Y ⟩ =

= EXY.

16

Tarkime, {Xt} yra stacionari seka. Tada, pazymeje‘r(k) :=

= Cov(Xt, Xt−k) ir tare‘, kad k yra lyginis skaicius, is (4.6) gauname

2r(0)− 2r(k) = kσ2,

arba

r(k) = r(0)− 1

2kσ2.

Tai priestarauja stacionarios sekos kovariacines funkcijos savybems, nu-

rodytoms 3.1 teiginyje (visur, suprantama, mes nagrinejame ”neissigi-

musi‘” atveji

‘σ = 0). Veliau parodysime, kad ir bendresne AR(p) lygtis

Xt − ϕ1Xt−1 − ...− ϕpXt−p = Zt

turi vieninteli‘stacionaru

‘ji‘sprendini

‘tada ir tik tada, kai lygties ϕ(z) = 0

saknys nera ant vienetinio apskritimo.

Auksciau gautas AR(1) lygties su |ϕ| < 1 sprendinys (4.5) prik-

lauso nuo balto triuksmo sekos reiksmiu‘momentais t, t − 1, t − 2, ...,

t.y. isreiskiamas ”praeities” stebejimais. Tokia sa‘rysio su {Zt} savybe

vadinama kauzalumu.

4.3 apibrezimas. ARSV (p, q) procesas, apibreztas (4.2) lygtimis,

vadinamas kauzaliuoju, jeigu egzistuoja tokia absoliuciai sumuojama

seka {ψi, i ≥ 0}, kad

Xt =∞∑i=0

ψiZt−i, t ∈ Z.

Dabar suformuluosime teigini‘, kuris bus reikalingas veliau

ARSV(p, q) sekoms tirti.

17

4.1 teorema. Jeigu {Xt} – stacionari seka su kovariacine funkcija

r(·),∑

|ψi| < ∞, tai su visais t ∈ Z eilute∑∞

i=−∞ ψiXt−i konverguoja

absoliuciai su tikimybe 1 bei kvadratinio vidurkio prasme. Abiem atve-

jais ribos sutampa, ir Yt := ψ(B)Xt ≡∑∞

i=−∞ ψiXt−i yra stacionari

seka su kovariacine funkcija

rY (h) =∞∑

i,j=−∞ψiψjr(h− i+ j). (4.7)

I‘rodymas. Is teoremos apie monotoniska

‘konvergavima

‘isplaukia

E

n∑i=−n

|ψi||Xt−i| → E

∞∑i=−∞

|ψi||Xt−i|,

kai n→ ∞. Kadangi {Xt} – stacionari seka, tai E|Xt|6 (EX2t )

1/2 <∞,

todel

E∞∑

i=−∞|ψi||Xt−i|6 sup

tE|Xt|

∞∑−∞

|ψi| <∞.

Vadinasi (zr. 4.1 pratima‘),

∑∞i=−∞ |ψi||Xt−i| , kartu ir

∑∞i=−∞ ψiXt−i

yra su tikimybe 1 baigtiniai atsitiktiniai dydziai.

Konvergavima‘kvadratinio vidurkio prasme i

‘rodysime, pritaike

‘Kosi

kriteriju‘. Su visais n > m > 0 turime

E|∑

m<|i|6n

ψiXt−i|2 =∑

m<|i|,|j|6n

ψiψjEXt−iXt−j 6

6 suptEX2

t (∑

m<|i|6n

|ψi|)2 → 0,

kai m,n → ∞. Is erdves L2 pilnumo isplaukia, kad eilute ψ(B)Xt kon-

verguoja kvadratinio vidurkio prasme.

18

Parodysime, kad ribos abiem atvejais sutampa. Pazymekime raide

S riba‘kvadratinio vidurkio prasme, t.y. tegu

limm,n→∞

E|n∑

i=−m

ψiXt−i − S|2 = 0.

Tada is Fatu lemos gauname

E|S −∞∑

i=−∞ψiXt−i|2 = E lim inf

n→∞|S −

n∑i=−n

ψiXt−i|2 6

6 lim infn→∞

E|S −n∑

i=−n

ψiXt−i|2 = 0,

todel S =∑∞

i=−∞ ψiXt−i su tikimybe 1.

Seka {Yt, t ∈ Z} yra stacionari su kovariacine funkcija (4.7), nes

EYt = EXt

∑∞i=−∞ ψi = const <∞ ir su visais t, h ∈ Z

E(Yt+h − EYt+h)(Yt − EYt) =

= limn→∞

En∑

i,j=−n

ψiψj(Xt+h−i − EXt+h−i)(Xt−j − EXt−j) =

=

∞∑i,j=−∞

ψiψjr(h− i+ j). �

Is 4.1 teoremos isplaukia, kad operatoriai ψ(B) ≡∑∞

i=−∞ ψiBi su∑∞

−∞ |ψi| < ∞ stacionarias laiko eilutes perveda i‘stacionarias. Daznai

tokie operatoriai vadinami tiesiniais filtrais su svoriais {ψi}. Taikomuoju

poziuriu svarbus vadinamieji realiai i‘gyvendinami filtrai, atitinkantys

kauzalu‘isejimo srauta

‘. Suformuluosime butinas ir pakankamas sa

‘lygas,

su kuriomis ARSV(p, q) procesas yra kauzalus, bei pademonstruosime,

kaip siuo atveju apskaiciuoti koeficientus {ψi, i> 0}.

19

4.2 teorema. Sakykime, {Xt} – ARSV(p,q) seka, ir ϕ(·) su θ(·)

neturi bendru‘nuliu

‘. Laiko eilute {Xt} yra kauzali tada ir tik tada, kai

ϕ(z) = 0 su visais z ∈ C, |z|6 1. Koeficientai {ψi, i> 0} apskaiciuojami

is sa‘rysio

ψ(z) ≡∞∑i=0

ψizi =

θ(z)

ϕ(z), |z|6 1. (4.8)

I‘rodymas. B u t i n u ma s. Sakykime, {Xt} – kauzalioji ARSV(p, q)

laiko eilute, t.y. Xt =∑∞

0 ψjZt−j ; cia {ψj} – absoliuciai sumuojama

seka. Tada (4.2) lygti‘galime uzrasyti taip:

θ(B)Zt = ϕ(B)ψ(B)Zt.

Pazymeje‘ν(z) = ϕ(z)ψ(z) ≡

∑∞0 νjz

j su |z|6 1, gauname

q∑j=0

θjZt−j =∞∑j=0

νjZt−j .

Skaliariskai padaugine‘lygybe

‘is Zt−k, isvedame lygybes νk = θk, kai

k6 q ir =0, kai k > q. Taigi

θ(z) = ν(z) = ϕ(z)ψ(z), |z|6 1. (4.9)

Tarkime, egzistuoja toks z0, kad |z0|6 1 ir ϕ(z0) = 0. Kadangi

|ψ(z)| < ∞, ∀|z|6 1, tai is (4.9) isplaukia, kad θ(z0) = 0. Tai priesta-

rauja prielaidai, kad ϕ(·) ir θ(·) neturi bendru‘nuliu

‘.

P a k a n k a m u m a s. Sakykime, kad ϕ(z) = 0 skritulyje |z|6 1.

Tada galima rasti toki‘ε > 0, kad visi ϕ(z) nuliai butu

‘skritulio |z|6 1+ε

isoreje. Tuomet srityje |z|6 1 + ε turime

1

ϕ(z)=

∞∑0

ξjzj ≡ ξ(z).

20

Is butino eilutes konvergavimo pozymio isplaukia, kad ξj(1 + ε)j −→j→∞

0.

Todel egzistuoja toks M , 0 < M <∞, kad

|ξj | < M(1 + ε)−j , j = 0, 1, 2, ... .

Taigi∑∞

0 |ξj | <∞.

Remdamiesi 4.1 teorema (abi lygybes ϕ(B)Xt = θ(B)Zt puses yra

stacionarios sekos), galime rasyti

ξ(B)ϕ(B)Xt = ξ(B)θ(B)Zt,

arba

Xt = ξ(B)θ(B)Zt.

Is to isplaukia, kad

Xt =∞∑j=0

ψjZt−j ;

cia absoliuciai sumuojama seka {ψj} apibreziama (4.8) sa‘rysiu. �

4.1 pastaba. Is butinumo i‘rodymo matome, kad bet kuris sta-

cionarus ARSV lygties su ϕ(z) = 0, |z|6 1 sprendinys Xt turi pavidala‘

Xt =∑∞

0 ψjZt−j su seka {ψj}, apibrezta (4.8) lygybe. Kita ver-

tus, akivaizdu, kad Xt = ψ(B)Zt tenkina (4.2) ARSV lygti‘. Vadi-

nasi, Xt =∑∞

0 ψjZt−j yra vienintelis ARSV lygties sprendinys, jeigu

ϕ(z) = 0 su |z|6 1.

Duali kauzalumo sa‘vokai yra laiko eilutes apgre

‘ziamumo sa

‘voka.

21

4.4 apibrezimas. ARSV laiko eilute ϕ(B)Xt = θ(B)Zt vadinama

apgre‘ziama, jeigu egzistuoja tokia seka {αj},

∑∞0 |αj | <∞, kad

Zt =∞∑j=0

αjXt−j .

Suformuluosime butinas ir pakankamas apgre‘ziamumo sa

‘lygas bei

nustatysime sa‘rysi

‘tarp koeficientu

‘αj ir ARSV parametru

‘.

4.3 teorema. Tarkime {Xt} yra ARSV(p, q) seka ir ϕ(·) su θ(·)

neturi bendru‘nuliu

‘. Tuomet {Xt} yra apgre

‘ziama tada ir tik tada, kai

θ(z) = 0 skritulyje |z|6 1. Koeficientai {αj} apibreziami lygybe

α(z) ≡∞∑j=0

αjzj =

ϕ(z)

θ(z), |z|6 1. (4.10)

I‘rodymas panasus i

‘4.2 teoremos i

‘rodyma

‘.�

Sujunge‘4.2 ir 4.3 teoremas, gauname tokia

‘isvada

‘.

4.1 isvada. Tarkime, {Xt} yra ARSV(p,q) seka, ϕ(z)θ(z) = 0

su |z|6 1 ir ϕ(·) su θ(·) neturi bendru‘nuliu

‘. Tada ji yra kauzali ir

apgre‘ziama, o atitinkami parametrai {ψj} ir {αj} randami is (4.8) ir

(4.10) lygybiu‘.

4.2 pastaba. Pasinaudojus kauzalumo sa‘voka, galima apibrezti

slenkamojo vidurkio su begaline eile (zymesime SV(∞)) sekas. Butent,

{Xt} vadinamas SV(∞) procesu, jeigu egzistuoja tokia seka {ψj}, kad∑∞0 |ψj | < ∞ ir Xt =

∑∞0 ψjZt−j ; cia Zt ∼ BT (0, σ2). Panasiai

apibreziamos AR(∞) sekos.

22

4.3 pastaba. Sakykime, ϕ(·) ir θ(·) neturi bendru‘nuliu

‘ir egzis-

tuoja toks z, kad |z| = 1 ir ϕ(z) = 0. Tokiu atveju (zr. 6.3 pratima‘)

(4.2) ARSV lygtis stacionaraus sprendinio neturi. Kita vertus, jei ∀z,

|z| = 1 : ϕ(z) = 0, tai is kompleksinio kintamojo funkciju‘teorijos

isplaukia, kad

θ(z)

ϕ(z)=

∞∑j=−∞

ψjzj ≡ ψ(z), R−1 < |z| < R

su kazkokiu R > 1. Konvergavimas nurodytajame ziede yra absoliutus.

Taigi teisinga tokia teorema.

4.4 teorema. Tarkime, kad ϕ(·) neturi nuliu‘ant apskritimo |z| =

= 1 ir ϕ(·) su θ(·) neturi bendru‘nuliu

‘. Tada ARSV(p,q) lygtis turi

vieninteli‘stacionaru

‘sprendini

‘

Xt =∞∑

j=−∞ψjZt−j ;

cia koeficientai {ψj} apskaiciuojami is lygybes

ψ(z) ≡ θ(z)

ϕ(z), R−1 < |z| < R.

I‘rodymas. Is 4.1 teoremos isplaukia, kad {Xt = ψ(B)Zt} yra sta-

cionarioji seka. Is cia

ϕ(B)Xt = ϕ(B)ψ(B)Zt,

arba

ϕ(B)Xt = θ(B)Zt.

23

Taigi Xt yra stacionarus ARSV lygties sprendinys.

Parodysime, kad jis yra vienintelis. Tarkime,Xt yra bet kuris ARSV

lygties ϕ(B)Xt = θ(B)Zt sprendinys. Kadangi ϕ(z) = 0 ant apskritimo

|z| = 1, tai 1/ϕ(z) =∑∞

−∞ ξjzj ≡ ξ(z) kazkokiame ziede R−1 < |z| < R,

be to, konvergavimas absoliutus. Todel∑∞

−∞ |ξj | <∞ ir is 4.1 teoremos

gauname

ξ(B)ϕ(B)Xt = ξ(B)θ(B)Zt,

arba

Xt = ψ(B)Zt. �

4.1 pratimas. Tarkime, ξ yra ”apibendrintas” atsitiktinis dydis su

reiksmemis aibeje [−∞,∞]. I‘rodyti: jeigu E|ξ| < ∞, tai |ξ| < ∞ P -

beveik visur

4.2 pratimas. Tarkime, AR(2) seka {Xt} apibrezta lygtimis

Xt − ϕ1Xt−1 − ϕ2Xt−2 = Zt, Zt ∼ BT (0, σ2).

I‘rodykite, kad {Xt} kauzali tada ir tik tada, kai (ϕ1, ϕ2) patenka i

‘sriti

‘ϕ1 + ϕ2 < 1,ϕ2 − ϕ1 < 1,|ϕ2| < 1.

24

5. ARSV SEKOS KOVARIACINES FUNKCIJOS

SKAICIAVIMAS

5.1. Tarkime, Xt yra kauzalus lygties

ϕ(B)Xt = θ(B)Zt, Zt ∼ BT (0, σ2)

sprendinys. Tada r(k) = Cov(Xk, X0) randama is lygybes

r(k) = σ2∞∑j=0

ψjψj+|k|; (5.1)

cia ψ(z) ≡∑∞

0 ψjzj = θ(z)/ϕ(z), |z|6 1. Tam, kad suskaiciuotume

(5.1), pakanka i‘sistatyti koeficientus {ψj}, kurie savo ruoztu randami is

lygybes

ψ(z)ϕ(z) = θ(z). (5.2)

I‘state

‘i‘(5.2) israiskas θ(z) = 1+θ1z+...+θqz

q ir ϕ(z) = 1−ϕ1z+...−ϕpzp,

gauname (su θ0 = 1, ϕ0 = −1)

−∞∑j=0

p∑i=0

ψjϕizi+j =

q∑k=0

θkzk,

arba

−∞∑k=0

(

min(p,k)∑i=0

ψk−iϕi)zk =

q∑k=0

θkzk.

Taigi

−min(p,k)∑

i=0

ψk−iϕi =

{θk, kai 06 k6 q,0, kai k > q.

25

Jei p < q, tai

ψk =

θk +k∑

i=1

ψk−iϕi, kai 06 k6 p,

θk +p∑

i=1

ψk−iϕi, kai p < k6 q,

p∑i=1

ψk−iϕi, kai k > q.

(5.3)

Jeigu p> q, tai

ψk =

θk +k∑

i=1

ψk−iϕi, kai 06 k6 q,

k∑i=1

ψk−iϕi, kai q < k6 p,

p∑i=1

ψk−iϕi, kai k > p.

(5.4)

(5.3), (5.4) formules galime uzrasyti glausciau:

ψk −k∑

i=1

ϕiψk−i = θk, kai 06 k < max(p, q + 1), (5.5)

ψk −p∑

i=1

ϕiψk−i = 0, kai k> max(p, q + 1), (5.6)

jei laikysime ϕi = 0, kai i > p ir θj = 0, kai j > q.

Lygtys

ϕ(B)ψk = 0, k> max(p, q + 1) (5.7)

yra homogenines tiesines skirtumines lygtys su pastoviais koeficientais

kintamu‘ju‘{ψk, k> max(p, q + 1) − p} atzvilgiu. Gerai zinoma, kad

bendrasis (5.7) sprendinys yra tokio pavidalo:

ψk =m∑i=1

ri−1∑j=0

cijkjz−k

i , k> max(p, q + 1)− p; (5.8)

26

cia z1, ..., zm – skirtingi ϕ(z) nuliai, ri – atitinkamo nulio kartotinu-

mas (∑m

1 ri = p) ir cij – laisvosios konstantos. p konstantu‘cij ir

nezinomuosius ψk, 06 k < max(p, q + 1) − p, randame is max(p, q + 1)

(5.5) krastiniu‘sa‘lygu

‘. Taigi {ψk} apskaiciuojami pagal toki

‘algoritma

‘:

1 zingsnis. Is pirmu‘ju‘max(p, q+ 1)− p (5.5) lygciu

‘randame nezi-

nomuosius ψk, 06 k < max(p, q + 1)− p.

2 zingsnis. Uzrasome bendra‘ji‘sprendini

‘(5.8):

ψk =m∑i=1

ri−1∑j=0

cijkjz−k

i , k> max(p, q + 1)− p.

3 zingsnis. p konstantu‘cij randame i

‘sistate

‘(5.8) i

‘likusias p (5.5)

lygciu‘.

5.1 pavyzdys. Rasime ARSV(2, 1) proceso

Xt − 0, 5Xt−1 + 0, 04Xt−2 = Zt + 0, 25Zt−1, Zt ∼ BT (0, σ2), (5.9)

koeficientus ψk jo kauzaliajame destinyje

Xt =∞∑k=0

ψkZt−k.

Siuo atveju

ϕ(z) = 1− 0, 5z + 0, 04z2,

θ(z) = 1 + 0, 25z.

(5.5) krastines sa‘lygos yra tokio pavidalo:

ψ0 = θ0 = 1,

ψ1 = θ1 + ψ0ϕ1 =3

4,

ψ2 = ψ1ϕ1 + ψ0ϕ2 =67

200.

27

Bendrasis lygciu‘

ψk − 0, 5ψk−1 + 0, 04ψk−2 = 0, k> 2,

sprendinys yra

ψk = c10

(52

)−k

+ c2010−k, k> 0.

Vadinasi, norint rasti konstantas c10 ir c20, reikia isspre‘sti lygciu

‘sistema

‘c10 + c20 = 1,

2

5c10 +

1

10c20 =

3

4.

Is cia c10 =13

6, c20 = −7

6ir

ψk =13

6

(52

)−k

− 7

610−k, k> 0.

Turedami seka‘{ψk}, apskaiciuosime (5.9) laiko eilutes kovariacine

‘funk-

cija‘r(n) (n> 0):

r(n) = σ2∞∑j=0

ψjψj+n =

= σ2∞∑j=0

(136

(52

)−j

− 7

610−j

)(136

(52

)−j−n

− 7

610−j−n

)=

=125

864σ2

(1437

(52

)−n

− 287

3310−n

). (5.10)

5.2. Kai norime rasti tik kovariacines funkcijos reiksmes, neskai-

ciuodami visu‘koeficientu

‘{ψk}, galime tai padaryti tokiu budu. Lygti

‘

Xt − ϕ1Xt−1 − ...− ϕpXt−p = Zt + θ1Zt−1 + ...+ θqZt−q

28

skaliariskai padauginame is Xt−k. Gauname:

r(k)− ϕ1r(k − 1)− ...− ϕpr(k − p) =

=

σ2q∑

j=k

θjψj−k, kai k6 q, (5.11)

0, kai k > q. (5.12)

Kaip ir anksciau, (5.11) ir (5.12) lygtis galime uzrasyti (su k> 0):

r(k)− ϕ1r(k − 1)− ...− ϕpr(k − p) =

=

σ2q∑

j=k

θjψj−k, kai k < max(p, q + 1), (5.13)

0, kai k> max(p, q + 1). (5.14)

(5.14) homogeniniu‘lygciu

‘bendrasis sprendinys velgi yra pavidalo

r(k) =m∑i=1

ri−1∑j=0

dijkjz−k

i , k> max(p, q + 1)− p; (5.15)

cia z1, ..., zm, r1, ..., rm turi ta‘pacia

‘prasme

‘kaip (5.8) formuleje. p

konstantu‘dij ir max(p, q+1)−p kovariaciju

‘r(n) randame is max(p, q+1)

(5.13) krastiniu‘sa‘lygu

‘. Vadinasi, kovariacijos r(n) apskaiciuojamos pa-

gal toki‘algoritma

‘:

1 zingsnis. Is pirmu‘ju‘q + 1 (5.5) lygciu

‘randame nezinomuosius

ψ0, ..., ψq.

2 zingsnis. Uzrasome bendra‘ji‘sprendini

‘

r(k) =

m∑i=1

ri−1∑j=0

dijkjz−k

i , k> max(p, q + 1)− p.

3 zingsnis. p konstantu‘dij ir kovariacijas r(n) (06n < max(p, q +

+1)−p) randame i‘sistate

‘bendra

‘ji‘sprendini

‘(5.15) i

‘max(p, q+1) (5.13)

lygciu‘.

29

5.2 pavyzdys. Gri‘zkime prie to paties 5.1 pavyzdzio. Kadangi

ψ0 = 1, ψ1 = 3/4, tai remiantis (5.12) krastines sa‘lygos siuo atveju yra: r(0)− 0, 5r(1) + 0, 04r(2) = 1, 1875σ2,

r(1)− 0, 5r(0) + 0, 04r(1) = 0, 25σ2.(5.16)

(5.14) homogenines lygtys yra

r(n)− 0, 5r(n− 1) + 0, 04r(n− 2) = 0, n> 2,

kuriu‘bendrasis sprendinys

r(n) = d10

(52

)−n

+ d2010−n, n> 0. (5.17)

I‘sistate

‘(5.17) i

‘(5.15) krastines sa

‘lygas, gausime lygciu

‘sistema

‘504

625d10 +

2376

2500d20 = 1, 1875σ2,

− 21

250d10 +

99

250d20 = 0, 25σ2,

kurios sprendinys yra d10 =17875

6048σ2 ir d20 = −35875

28512σ2. I

‘state

‘d10 ir

d20 i‘(5.17) lygybe

‘, gauname (5.10) formule

‘.

5.3. Norint rasti pirmuosius kovariacines sekos {r(n), n> 0} na-

rius, galima tai daryti ir rekurentiskai. Is pirmu‘ju‘p + 1 (5.13) lygciu

‘

apskaiciuojame r(0), ..., r(p). Likusius sekos narius r(p + 1), r(p + 2), ...

randame rekurentiskai.

5.3 pavyzdys. Proceso, apibrezto 5.1 pavyzdyje, kovariacine funk-

cija tenkina lygciu‘sistema

‘r(0)− 0, 5r(1) + 0, 04r(2) = 1, 1875σ2,

r(1)− 0, 5r(0) + 0, 04r(1) = 0, 25σ2,

r(1)− 0, 5r(0) + 0, 04r(1) = 0.

30

Is cia

r(0) =169375

99792σ2 ≈ 1, 697σ2,

r(1) =421675

399168σ2 ≈ 1, 056σ2,

r(2) =367475

798336σ2 ≈ 0, 460σ2.

Kitos kovariacines funkcijos reiksmes randamos rekurentiskai is lygybes:

r(k + 2) = 0, 5r(k + 1)− 0, 04r(k), k> 1.

5.4. Ieskant kovariacines funkcijos, galima naudoti ir generuojan-

ciu‘ju‘funkciju

‘metoda

‘.

5.1 apibrezimas. Stacionaraus proceso {Xt, t ∈ Z} su kovariacija

r(·) kovariacine generuojancioji funkcija apibreziama lygybe

g(z) =

∞∑j=−∞

r(j)zj ; (5.18)

cia (5.18) eilutes konvergavimo sritis yra ziedas δ−1 < |z| < δ, δ > 1.

Taigi r(j) yra koeficientas prie zj arba z−j kovariacines generuo-

janciosios funkcijos (5.18) skleidinyje.

5.4 pavyzdys. Tarkime,

Xt =∞∑

i=−∞ψiZt−i, Zt ∼ BT (0, σ2); (5.19)

cia ψ(z) ≡∑∞

−∞ ψizi absoliuciai konverguoja ziede δ−1 < |z| < δ, δ > 1.

31

Tada

r(j) = σ2∞∑

i=−∞ψiψi+|j|

ir

g(z) = σ2∞∑

i,j=−∞ψiψi+|j|z

j = σ2∞∑

i=−∞ψiz

i∞∑

j=−∞ψjz

−j . (5.20)

(5.20) formule‘galime uzrasyti trumpiau:

g(z) = σ2ψ(z)ψ(z−1), δ−1 < |z| < δ. (5.21)

5.5 pavyzdys. Is 4.4 teoremos zinome, kad bet kuri ARSV(p, q)

seka ϕ(B)Xt = θ(B)Zt su funkcija ϕ(z), neturincia nuliu‘ant apskritimo

|z| = 1, gali buti uzrasyta (5.19) pavidalu. Koeficientai {ψi} apskaiciuo-

jami is lygybes

ψ(z) =θ(z)

ϕ(z).

Is (5.21) isplaukia, kad ARSV(p, q) sekos kovariacine generuojancioji

funkcija yra

g(z) = σ2 θ(z)θ(z−1)

ϕ(z)ϕ(z−1), δ−1 < |z| < δ, δ > 1.

5.1 pratimas. ARSV(2,1) seka apibrezta lygybe

Xt −Xt−1 +1

4Xt−2 = Zt + Zt−1, kur Zt ∼ BT (0, σ2).

Apskaiciuoti kauzaliojo destinio Xt =∑∞

0 ψiZt−i koeficientus {ψi} ir

kovariacine‘funkcija

‘EX0Xk.

32

5.2 pratimas. Duota SV(2) seka

Xt = Zt + θ1Zt−1 + θ2Zt−2.

Uzrase‘kovariacine

‘generuojancia

‘ja‘funkcija

‘, apskaiciuokite sios sekos

kovariacine‘funkcija

‘r(k).

6. SPEKTRINE KOVARIACINES FUNKCIJOS

ISRAISKA

6.1 apibrezimas. {Xt, t ∈ Z} vadinamas kompleksine stacionaria

seka, jeigu:

1) ∀t ∈ Z E|Xt|2 <∞,

2) ∀t ∈ Z EXt = EX0,

3) ∀t, h ∈ Z Cov(Xt+h, Xt) ≡ E(Xt+h − EXt+h)(Xt − EXt) =

= Cov(Xh, X0).

Kaip ir anksciau zymesime r(h) = Cov(Xh, X0).

6.1 pastaba. Tarkime, H2 yra tokia aibe kompleksiniu‘atsitiktiniu

‘

dydziu‘X, kad E|X|2 <∞. Pazymekime

⟨X,Y ⟩ = EXY .

Erdve H2 (tiksliau erdve ekvivalenciu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘klasiu

‘) su

skaliarine sandauga ⟨X,Y ⟩ ir norma ∥X∥ = ⟨X,X⟩1/2 yra pilna, taigi

yra Hilberto erdve. Todel kovariacine‘funkcija

‘galima butu

‘sutapatinti

su skaliarine sandauga ir taikyti Hilberto erdviu‘teorijos rezultatus.

33

Kompleksinio proceso kovariacines funkcijos savybes:

1) r(0)> 0,

2) |r(h)|6 r(0) su visais h,

3) r(h) = r(−h) su visais h (tokia funkcija vadinama Ermito).

Panasiai kaip ir anksciau galetume i‘rodyti tokia

‘teorema

‘.

6.1 teorema. Ermito funkcija r : Z → C yra kompleksines sta-

cionarios sekos kovariacine funkcija tada ir tik tada, kai r yra neneigiamai

apibrezta, t.y ∀n ∈ N, (a1, ..., an) ∈ Cn, (t1, ..., tn) ∈ Zn

n∑i,j=1

aiajr(ti − tj)> 0.

Dabar pateiksime pavyzdi‘, kuris iliustruoja pagrindine

‘sio skyrelio

teorema‘.

6.1 pavyzdys. Seka‘{Xt, t ∈ Z} apibrezkime lygybe

Xt =N∑

k=1

Akeitλk ; (6.1)

cia: −π < λ1 < ... < λN 6π, A1, ..., AN – nekoreliuoti atsitiktiniai

dydziai ir EAk = 0, E|Ak|2 = σ2k > 0 su k = 1, 2, ..., N . Taip apibrezta

seka yra stacionari su vidurkiu 0 ir kovariacine funkcija

r(h) =N∑

k=1

σ2ke

ihλk . (6.2)

Apibrezkime funkcija‘

F (λ) =∑

k:λk 6λ

σ2k.

34

Tada kovariacine funkcija (6.2) gali buti uzrasyta kaip Lebego–Styltjeso

integralas:

r(h) =

∫ π

−π

eihλdF (λ). (6.3)

Stacionaria‘seka

‘(6.1) galima interpretuoti kaip harmoniku

‘eitλk su

atsitiktinemis amplitudemis Ak ir intensyvumais σ2k = E|Ak|2 suma

‘.

Taigi, zinodami F (λ), galime apskaiciuoti kovariacine‘funkcija

‘r(h) ir

kartu nustatyti kiekvieno daznio λk intensyvuma‘.

Funkcija F (·), atitinkamai normuota, yra pasiskirstymo funkcija

(siame pavyzdyje ji dalimis pastovi). Jos nesejas yra sukoncentruotas

intervale (−π, π], t.y. F (λ) = 0 su λ6 − π ir F (λ) = F (π) su λ > π.

Mes i‘rodysime, kad kiekvienos stacionarios sekos kovariacine funkcija

gali buti uzrasyta (6.3) pavidalu.

Pasirodo, kad bet kuriam stacionariam procesui Yt galima sukon-

struoti (6.1) pavidalo procesa‘, kurio spektrine pasiskirstymo funkcija ir

kovariacine funkcija aproksimuotu‘atitinkamas Yt charakteristikas. Pa-

renkant σ21 , ..., σ

2N ir pakankamai dideli

‘N , galima FY aproksimuoti kokiu

norima tikslumu.

6.2 pavyzdys. Tarkime, Zt ∼ BT (0, 1), t.y.

r(h) =

{1, kai h = 0,0, kai h = 0.

Tada

r(h) =

∫ π

−π

eihλdF (λ)

35

su

F (λ) =

∫ λ

−π

f(ν)dν;

cia f(ν) =1

2π, −π < ν6π.

Matome, kad balto triuksmo seka {Zt} yra sudaryta is harmoniku‘,

turinciu‘ta‘pati

‘intensyvuma

‘. Tai paaiskina tokios sekos pavadinima

‘:

balta spalva yra gaunama is vienodo intensyvumo spektro spalvu‘.

Pazymekime raide IF aibe‘funkciju

‘F : [−π, π] → [0,∞), kurios yra

tolydzios is desines nemazejancios apreztos ir tenkina sa‘lyga

‘F (−π) = 0.

6.2 (Hergloco) teorema. Kompleksine funkcija {r(h), h ∈ Z}

yra neneigiamai apibrezta tada ir tik tada, kai

r(h) =

∫ π

−π

eihλdF (λ) (6.4)

su kazkokia (ir vienintele) F ∈ IF (F vadinama spektrine pasiskirstymo

funkcija, o jeigu F (λ) =∫ λ

−πf(ν)dν, λ ∈ [−π, π], tai f – spektriniu

tankiu).

I‘rodymas. B u t i n u m a s. Apibrezkime pagalbine

‘funkcija

‘fn(λ),

λ ∈ [−π, π], lygybe

fn(λ) =1

2πn

n∑s,t=1

e−isλr(s− t)eitλ =1

2π

∑|m|<n

(1− |m|n

)r(m)e−imλ.

Kadangi r(·) yra neneigiamai apibrezta funkcija, tai fn(λ)> 0.

Pazymekime

Fn(λ) =

∫ λ

−π

fn(ν)dν.

36

Tada ∫ π

−π

eihλdFn(λ) =1

2π

∑|m|<n

(1− |m|n

)r(m)

∫ π

−π

ei(h−m)λdλ =

=

(1− |h|n )r(h), kai |h| < n,

0, kai |h|>n.

(6.5)

Kadangi Fn(π) =∫ π

−πdFn(λ) = r(0) < ∞ su visais n, tai Fn ∈ IF.

Is Helio teoremos isplaukia, jog egzistuoja toks posekis {nk}, kad Fnk

silpnai konverguoja i‘F ∈ IF. Todel∫ π

−π

g(λ)dFnk(λ) →

∫ π

−π

g(λ)dF (λ), kai k → ∞

su kiekviena tolydzia intervale [−π, π] funkcija g. Taigi∫ π

−π

eihλdFnk(λ) −→

k→∞

∫ π

−π

eihλdF (λ).

Is (6.5) isplaukia lygybe

r(h) =

∫ π

−π

eihλdF (λ).

P a k a n k a m u m a s. Is kovariacines funkcijos (6.4) israiskos

isplaukia, kad r(·) yra Ermito funkcija.

Ji yra neneigiamai apibrezta, kadangi

n∑r,s=1

arasr(tr − ts) =n∑

r,s=1

aras

∫ π

−π

eiλ(tr−ts)dF (λ) =

=

∫ π

−π

|n∑

r=1

areiλtr |2dF (λ)> 0

37

su visais n> 1, a1, ..., an ∈ C, t1, ..., tn ∈ Z. Is 6.1 teoremos gauname,

jog r(·) – kovariacine funkcija.

I‘rodysime funkcijos F vienati

‘. Tarkime, F1 ir F2 yra dvi klases IF

funkcijos, tenkinancios lygybe‘

r(h) ≡∫ π

−π

eihλdF1(λ) =

∫ π

−π

eihλdF2(λ), h ∈ Z.

Kadangi bet kuria‘tolydzia

‘intervale [−π, π] funkcija

‘galima tolygiai

aproksimuoti trigonometriniais daugianariais, tai teisinga ir lygybe∫ π

−π

g(λ)dF1(λ) =

∫ π

−π

g(λ)dF2(λ)

su visomis g ∈ C[−π, π]. Taigi F1 = F2. �

6.1 isvada. Tarkime r(·) yra kompleksine funkcija,∑∞

−∞ |r(h)| <

< ∞. Tada r(·) yra stacionarios sekos kovariacine funkcija tada ir tik

tada, kai∞∑−∞

e−ihλr(h)> 0

su visais λ ∈ [−π, π]. Tokiu atveju funkcija f(λ) = 12π

∑∞−∞ e−ihλr(h)

yra spektrinis tankis, atitinkantis kovariacine‘funkcija

‘r(·).

I‘rodymas. B u t i n u m a s. Tarkime, r(·) – kovariacine funkcija.

Kadangi ji yra neneigiamai apibrezta, tai

fn(λ) =1

2πn

n∑s,t=1

e−isλr(s− t)eitλ > 0.

Kita vertus, kadangi r(·) yra absoliuciai sumuojama, tai

fn(λ) =1

2π

∑|m|<n

(1− |m|n

)e−imλr(m) −→n→∞

1

2π

∞∑m=−∞

e−imλr(m) = f(λ).

(6.6)

38

Is (6.6) gauname, kad f(λ)> 0 su λ ∈ [−π, π]. Tai, jog f(λ) yra spektrinis

tankis, isplauks is Hergloco teoremos, jei i‘rodysime lygybe

‘

r(h) =

∫ π

−π

eihλf(λ)dλ.

Desine sios lygybes puse yra∫ π

−π

eihλf(λ)dλ =

∫ π

−π

1

2π

∞∑m=−∞

ei(h−m)λr(m)dλ.

Kadangi∫ π

−π

1

2π

∞∑m=−∞

|ei(h−m)λr(m)|dλ =

∫ π

−π

1

2π

∞∑m=−∞

|r(m)|dλ <∞,

tai is Fubini teoremos∫ π

−π

eihλf(λ)dλ =1

2π

∞∑m=−∞

r(m)

∫ π

−π

ei(h−m)λdλ = r(h).

P a k a n k a m u m a s. Sakykime, f(λ) = 12π

∑∞−∞ e−ihλr(h)> 0.

Kadangi∑∞

−∞ |r(h)| <∞, tai∫ π

−π

eihλf(λ)dλ = r(h),

ir is 6.2 teoremos isplaukia, kad r(·) – kovariacine funkcija. �

6.2 pastaba. Is 6.1 ir 6.2 teoremu‘gauname, jog tam, kad kom-

pleksine funkcija r(·) butu‘stacionarios sekos kovariacine funkcija, butina

ir pakanka, kadn∑

i,j=1

aiajr(ti − tj)> 0

39

su visais n ∈ N, (a1, ..., an) ∈ Cn, (t1, ..., tn) ∈ Zn, arba

r(h) =

∫ π

−π

eihλdF (λ)

su visais h ∈ Z ir kazkokia F ∈ IF.

6.3 pastaba. Tarkime, {Xt} yra realus stacionarus procesas. Tada

jo kovariacine funkcija

r(h) =

∫ π

−π

cos (λh)dF (λ).

Jeigu egzistuoja spektrinis tankis f(·), tai f(λ) = f(−λ), −π6λ6π, ir

todel

r(h) = 2

∫ π

0

cos (λh)f(λ)dλ.

Taigi funkcija f(λ), λ ∈ [−π, π], yra realaus stacionaraus proceso spek-

trinis tankis tada ir tik tada, kai:

1) ∀λ ∈ [−π, π] f(λ)> 0,

2) ∀λ ∈ [−π, π] f(λ) = f(−λ),

3)∫ π

−πf(λ)dλ <∞.

Tai leidzia tikrinti absoliuciai sumuojamos funkcijos neneigiama‘api-

breztuma‘, naudojantis daug patogesniu ir informatyvesniu kriterijumi

negu tiesioginis apibrezimas.

6.1 pavyzdys. Pasireme‘6.1 isvada, parodysime (zr. 3.2 pratima

‘),

kad funkcija

r(h) =

1, kai h = 0,ρ, kai h = ±1,0, kai |h| > 1

40

yra kovariacine funkcija tada ir tik tada, kai |ρ|6 1/2.

r(·) yra absoliuciai sumuojama, todel

f(λ) =1

2π

∞∑−∞

e−ihλr(h) =1

2π(1 + 2ρ cosλ).

Is cia isplaukia, kad

∀λ ∈ [−π, π] f(λ)> 0, ⇐⇒ |ρ|6 1

2.

6.1 pratimas. I‘rodyti, kad kiekviena neneigiamai apibrezta funk-

cija yra Ermito funkcija.

6.2 pratimas. I‘rodyti (6.6) konvergavima

‘.

6.3 pratimas. Sakykime, ϕ(·) ir θ(·) yra daugianariai, neturintys

bendru‘nuliu

‘ir ϕ(z) = 0 su kazkokiu z ∈ C, |z| = 1. Naudodamiesi

sa‘rysiu tarp {Xt} ir {Zt} spektriniu

‘pasiskirstymo funkciju

‘, priestaros

metodu i‘rodykite, kad ARSV lygtys

ϕ(B)Xt = θ(B)Zt, Zt ∼ BT (0, σ2)

neturi stacionaraus sprendinio.

41

7. ARSV SEKOS SPEKTRINIS TANKIS

Siame skyrelyje isvesime ARSV sekos spektrinio tankio formule‘.

Pries tai i‘rodysime svarbia

‘teorema

‘apie stacionarios sekos tiesines trans-

formacijos spektra‘.

7.1 teorema. Tarkime, {Yt} yra stacionarus kompleksinis proce-

sas su nuliniu vidurkiu, spektrine pasiskirstymo funkcija FY ir

Xt =∞∑

j=−∞ψjYt−j ;

cia∑∞

−∞ |ψj | <∞.

Tada {Xt} – stacionari seka su spektrine pasiskirstymo funkcija

FX(λ) =

∫ λ

−π

|ψ(e−iν)|2dFY (ν), λ ∈ [−π, π]; (7.1)

cia ψ(e−iν) ≡∑∞

−∞ ψje−iνj .

I‘rodymas. Is 4.1 teoremos analogo kompleksiniu atveju isplaukia,

kad {Xt} yra stacionarus kompleksinis procesas su nuliniu vidurkiu ir

kovariacine funkcija

rX(h) ≡ EXhX0 =

∞∑j,k=−∞

ψjψkrY (h− j + k), h ∈ Z. (7.2)

I‘state

‘i‘(7.2) israiska

‘rY (n) =

∫ π

−πeinλdFY (λ) ir pasinaudoje

‘Fubini

teorema, gauname

rX(h) =

∞∑j,k=−∞

ψjψk

∫ π

−π

ei(h−j+k)λdFY (λ) =

=

∫ π

−π

(∞∑

j=−∞ψje

−ijλ)(∞∑

k=−∞

ψkeikλ)eihλdFY (λ) =

=

∫ π

−π

eihλ|ψ(e−iλ)|2dFY (λ) =

∫ π

−π

eihλdFX(λ);

42

cia FX(λ) apibreztas (7.1) lygybe.�

7.1 isvada. Jeigu egzistuoja stacionariosios sekos {Yt} spektrinis

tankis fY ir Xt =∑∞

−∞ ψjYt−j ,∑

|ψj | <∞, tai {Xt} spektrinis tankis

yra

fX(λ) = |ψ(e−iλ)|2fY (λ).

Pasireme‘7.1 isvada, isvesime ARSV(p, q) spektrinio tankio formule

‘.

7.2 teorema. Tarkime, {Xt} yra ARSV(p, q) seka

ϕ(B)Xt = θ(B)Zt, Zt ∼ BT (0, σ2);

cia ϕ(z) su θ(z) neturi bendru‘nuliu

‘ir ϕ(z) = 0, kai |z| = 1. Tada

egzistuoja sekos {Xt} spektrinis tankis

fX(λ) =σ2

2π

∣∣∣ θ(e−iλ)

ϕ(e−iλ)

∣∣∣2, λ ∈ [−π, π]

(toks tankis vadinamas racionaliuoju spektriniu tankiu).

I‘rodymas. Is 4.4 teoremos zinome, kad ARSV(p, q) lygties sprendi-

nys turi pavidala‘Xt =

∑∞−∞ ψjZt−j su

∑|ψj | <∞.

Kadangi {Zt} spektrinis tankis yra σ2/2π ≡ fZ(λ) (zr. 6.2 pavyzdi‘),

tai is 7.1 isvados isplaukia, jog {Xt} turi spektrini‘tanki

‘. Pazymekime

Ut := ϕ(B)Xt = θ(B)Zt.

Seka {Ut} yra stacionari su spektriniu tankiu (vel naudojantis 7.1 isvada)

fU (λ) = |ϕ(e−iλ)|2fX(λ) = |θ(e−iλ)|2fZ(λ).

43

Kadangi ϕ(z) = 0, kai |z| = 1, tai

fX(λ) =σ2

2π

∣∣∣ θ(e−iλ)

ϕ(e−iλ)

∣∣∣2. �7.1 pastaba. Tarkime Xt tenkina lygti

‘

ϕ(B)Xt = θ(B)Zt, Zt ∼ BT (0, σ2);

cia ϕ(z) = 0, kai |z| = 1.

Pazymekime daugianario ϕ(z) = 1−ϕ1z− ...−ϕpzp nulius z1, ..., zp.

Tada nesunku i‘sitikinti, kad

ϕ(z) = (1− z

z1)...(1− z

zp).

Sunumeruokime ϕ(z) nulius taip, kad pirmieji butu‘tie, kurie yra uz

skritulio |z|6 1, o likusieji – skritulyje |z| < 1, t.y.

|zj | > 1, j = 1, ..., s,

|zj | < 1, j = s+ 1, ..., p.

Is 7.2 teoremos isplaukia, kad {Xt} turi spektrini‘tanki

‘

fX(λ) =σ2

2π

|θ(e−iλ)|2∏sj=1 |1− z−1

j e−iλ|2∏p

j=s+1 |1− z−1j e−iλ|2

.

Apibrezkime

ϕ(z) =s∏

j=1

(1− z

zj)

p∏j=s+1

(1− zjz).

Kadangi visi ϕ(z) nuliai yra uz skritulio |z|6 1, tai lygybe

ϕ(B)Xt = θ(B)Zt, Zt ∼ BT (0, σ2),

44

apibrezia kauzalia‘ja‘ARSV(p, q) seka

‘{Xt}. Pakeisime balto triuksmo

sekos dispersija‘taip, kad seku

‘{Xt} ir {Xt} spektriniai tankiai (kartu ir

kovariacijos) taptu‘lygus.

Turime

|1− zje−iλ| = |zj | |1− z−1

j e−iλ|,

todel

fX(λ) =σ2

2π

|θ(e−iλ)|2

|ϕ(e−iλ)|2=

=σ2

2π

|θ(e−iλ)|2s∏

j=1

|1− z−1j e−iλ|2

p∏j=s+1

(|zj |2|1− z−1j e−iλ|2)

=

=σ2

2π

|θ(e−iλ)|2

|ϕ(e−iλ)|2p∏

j=s+1

|zj |−2 = fX(λ)

p∏j=s+1

|zj |−2.

Jeigu apibresime nauja‘balto triuksmo seka

‘Zt ∼ BT (0, σ2

p∏j=s+1

|zj |2),

tai lygciu‘

ϕ(B)Xt = θ(B)Zt, t ∈ Z,

sprendinys {Xt} bus kauzali seka, turinti ta‘pati

‘spektrini

‘tanki

‘kaip ir

seka {Xt}, t.y. fX(λ) = fX(λ).

7.1 pavyzdys. Lygtys

Xt − 2Xt−1 = Zt + Zt−1, Zt ∼ BT (0, σ2),

apibrezia nekauzalia‘ARSV(1,1) seka

‘, nes lygties 1− 2z = 0 saknis yra

z1 = 1/2. ”Kauzalus” daugianaris siuo atveju yra ϕ(z) = 1− 12z, ir

Xt −1

2Xt−1 = Zt + Zt−1, Zt ∼ BT (0,

σ2

4),

45

apibrezia kauzalia‘ja‘seka

‘su spektriniu tankiu

fX(λ) = fX(λ) =σ2

2π

|1 + e−iλ|2

|1− 2e−iλ|2=σ2

π

1 + cosλ

5− 4 cosλ.

7.1 pratimas. Sakykime, duota ARSV(p, q) lygtis ϕ(B)Xt =

= θ(B)Zt, Zt ∼ BT (0, σ2); cia ϕ(z)θ(z) = 0, kai |z| = 1. Panasiai kaip

7.1 pastaboje sukonstruokite kauzalu‘ir apgre

‘ziama

‘ARSV(p, q) procesa

‘

su spektriniu tankiu, lygiu {Xt} spektriniam tankiui.

8. STACIONARIOSIOS SEKOS VIDURKIO IR

KOVARIACINES FUNKCIJOS I‘VERCIAI

1. Vidurkio i‘vertis. Tarkime, X1, ..., Xn yra imtis is stacionarios

sekos {Xt, t ∈ Z}. Pazymekime

X =1

n

n∑i=1

Xi.

8.1 teorema. Sakykime, {Xt} yra stacionari seka su vidurkiu µ

ir kovariacine funkcija r(·). Tada tvirtinimai

(1) E|X − µ|2 → 0

ir

(2)1

n

n∑k=1

r(k) → 0

46

yra ekvivalentus.

I‘rodymas. (1) =⇒ (2). Turime

| 1n

n∑k=1

r(k)|2 = | 1n

n∑k=1

E(Xk − µ)(X0 − µ)|2 =

= |E(1

n

n∑k=1

(Xk − µ))(X0 − µ)|2 6E| 1n

n∑k=1

(Xk − µ)|2E|X0 − µ|2 =

= E|X − µ|2E|X0 − µ|2 −→n→∞

0.

(2) =⇒ (1). Pazymekime sn =∑n

1 r(k) ir perrasykime

E|X − µ|2 =1

n2

n∑i,j=1

r(i− j) =1

n

∑|m|<n

(1− |m|n

)r(m) =

=1

n2(nr(0) + 2

n−1∑i=1

si).

Fiksuotam ϵ > 0 imkime toki‘N , kad su visais n > N butu

‘teisinga

nelygybe | 1nsn| < ϵ. Tada su pakankamai dideliais n

E|X − µ|2 6 r(0)

n+

2

n2

n−1∑i=1

|si| =r(0)

n+

2

n2(

N∑i=1

|si|+n−1∑

i=N+1

|si|)6

6 r(0)

n+

2

n2(

N∑i=1

|si|+n−1∑

i=N+1

iϵ)6 r(0)

n+

2

n2

N∑i=1

|si|+ 2ϵ −→n→∞

2ϵ.

Kadangi ϵ > 0 buvo laisvai pasirinktas, tai E|X − µ|2 → 0. �

8.1 isvada. Tarkime, teisingos 8.1 teoremos prielaidos. Tuomet

(1) jeigu r(n) → 0, tai E|X − µ|2 → 0,

47

(2) jeigu∑k∈Z

|r(k)| <∞, tai nE|X − µ|2 →∑k∈Z

r(k).

I‘rodymas. (1) tiesiogiai isplaukia is 8.1 teoremos, o (2) – is lygybiu

‘

limn→∞

nE|X − µ|2 = limn→∞

1

n

n∑i,j=1

r(i− j) =

= limn→∞

∑|k|<n

(1− |k|n)r(k) =

∑k∈Z

r(k). �

8.1 pastaba. Jeigu∑∞

−∞ |r(k)| < ∞, tai, pasireme‘8.1 isvada,

galime teigti, jog egzistuoja spektrinis tankis f(·) ir

nE|X − µ|2 →∑k∈Z

r(k) = 2πf(0).

Dvipusio slenkancio vidurkio sekos atveju (zr. 8.1 pratima‘) turime lygy-

be‘

2πf(0) = σ2|∞∑

k=−∞

ψk|2.

8.2 pastaba. Vietoje empirinio vidurkio X galima nagrineti ir ki-

tokius i‘vercius, pavyzdziui, geriausia

‘tiesini

‘nepaslinkta

‘vidurkio i

‘verti

‘

(zr. 8.2 pratima‘). Taciau yra zinoma, kad jo asimptotines savybes ne-

siskiria nuo X savybiu‘.

8.3 pastaba. Norint sukonstruoti vidurkio µ pasikliautina‘ji‘in-

tervala‘, reikia rezultatu

‘apie X asimptotini

‘normaluma

‘. Kadangi ju

‘

i‘rodymas yra gana ilgas, jie cia nepateikiami. Pastebesime tik, kad tuo

atveju, kai stebimoji imtis gauta is stacionarios Gauso sekos, galima

uzrasyti tikslu‘X skirstini

‘:

√n(X − µ) ∼ N

(0,

∑|m|<n

(1− |m|

n

)r(n)

).

48

Taigi, jeigu kovariacine funkcija yra zinoma, galime sukonstruoti tikslu‘

vidurkio µ pasikliautina‘ji‘intervala

‘. Nezinant kovariacines funkcijos,

imamas jos i‘vertis.

2. Kovariacines funkcijos i‘vertis. Tarkime, X1, ..., Xn yra imtis

is stacionarios sekos {Xt} su nezinomais vidurkiu ir kovariacija.

Kovariacines funkcijos i‘verti

‘apibrezkime lygybe

r(h) =1

n

n−|h|∑k=1

(Xk −X)(Xk+|h| −X), 06 |h| < n. (8.1)

Sis i‘vertis pasizymi tuo, kad su visais n> 1 matrica

Rn =

r(0) r(1) . . . r(n− 1)r(1) r(0) . . . r(n− 2). . . . . .

r(n− 1) r(n− 2) . . . r(0)

(8.2)

yra neneigiamai apibrezta.

8.1 teiginys. Matrica Rn, apibrezta (8.2) lygybe, yra neneigiamai

apibrezta su visais n> 1.

I‘rodymas. Turime

Rn =1

nDnD

′n;

cia

Dn =

0 . . . 0 0 Y1 Y2 . . . Yn−1 Yn0 . . . 0 Y1 Y2 . . . . Yn 0. . . . . . . . . . . . .0 Y1 . . . . Yn 0 . . . 0 0

yra n× 2n matrica ir Yj = Xj −X, 16 j6n.

49

Tada su visais a = (a1, ..., an) ∈ Rn

a′Rna =1

na′DnD

′na =

1

n(a′Dn)(a

′Dn)′ > 0. �

Koreliacines funkcijos ρ(h) i‘verciu laikysime

ρ(h) =r(h)

r(0).

Aisku, kad atitinkama empirine koreliacine matrica taip pat bus nenei-

giamai apibrezta.

Del paprastumo nuo siol nagrinejamosios stacionariosios sekos vi-

durki‘laikysime lygiu nuliui (EXt = 0) ir

r(h) =1

n

n−|h|∑k=1

XkXk+|h|, 06 |h| < n. (8.3)

8.4 pastaba. Kadangi Er(h) = (1 − |h|n)r(h), tai r(h) yra tik

asimptotiskai nepaslinktas r(h) i‘vertis. Del sios priezasties daugiklis n−1

(8.1) ar (8.3) lygybese daznai keiciamas daugikliu (n − |h|)−1. Taciau

tada matrica Rn yra nebutinai neneigiamai apibrezta.

8.2 teorema. Tarkime, {Xt} yra stacionarioji seka su vidurkiu 0

ir kovariacija r(·). Tarkime, be to, kad su visais h seka {Xt+hXt, t ∈ Z}

taip pat yra stacionari. Tada yra ekvivalentus tokie du teiginiai:

(1) E|r(h)− r(h)|2 −→n→∞

0

ir

(2)1

n

n∑k=1

E(Xk+hXk − r(h))(XhX0 − r(h)) −→n→∞

0.

50

I‘rodymas. Fiksuokime h> 0 ir pazymekime ξk = Xk+hXk. Tada su

pakankamai dideliais n

r(h) = (1− h

n)ξn−h; (8.4)

cia ξm = m−1∑m

1 ξm. Kadangi {ξk} yra stacionari seka su vidurkiu

r(h), tai is 8.1 teoremos isplaukia, jog teiginiai

E|ξn−h − r(h)|2 −→n→∞

0

ir

1

n− h

n−h∑k=1

E(ξk − r(h))(ξ(0)− r(h)) −→n→∞

0

yra ekvivalentus. Pasinaudoje‘(8.4) lygybe, gauname teoremos teigini

‘.

�

8.5 pastaba Teoremos prielaida bus teisinga, jeigu, pavyzdziui,

{Xt} – stacionarioji siaura‘ja prasme seka su nuliniu vidurkiu ir baigtiniu

ketvirtuoju momentu (E|X0|4 <∞) arba {Xt} – 4-os eiles stacionarioji

seka (zr. 2.3 apibrezima‘).

Jeigu nagrinejamoji seka yra Gauso, tai gauname toki‘rezultata

‘:

8.2 isvada. Tarkime, {Xt} yra stacionari Gauso seka su vidurkiu

0 ir kovariacija r(·). Tada yra ekvivalentus sie du teiginiai:

(1) E|r(h)− r(h)|2 −→n→∞

0

(2)1

n

n∑k=1

r2(k) −→n→∞

0.

51

I‘rodymas. Pasireme

‘8.3 pratimu, galime teigti, kad 8.2 teoremos (2)

sa‘lyga yra ekvivalenti

1

n

n∑k=1

(EXk+hXkXhX0 − r2(h)) =1

n

n∑k=1

(EXk+hXkEXhX0+

+ EXk+hXhEXkX0 + EXk+hX0EXkXh − r2(h)) =

=1

n

n∑k=1

(r2(h) + r(k + h)r(k − h)) −→n→∞

0. (8.5)

Pasinaudoje‘nelygybe

|r(k + h)r(k − h)|6 r2(k + h) + r2(k − h),

gauname, kad (8.5) teisinga, kai

1

n

n∑k=1

r2(k) −→n→∞

0.

Kita vertus, is (8.5) su h = 0 isplaukia n−1∑n

k=1 r2(k) → 0.�

8.3 isvada. Tarkime, {Xt} yra stacionarioji Gauso seka su nuliniu

vidurkiu ir kovariacija r(·). Tuomet E|r(h)−r(h)|2 −→n→∞

0 tada ir tik tada,

kai spektrine pasiskirstymo funkcija F yra tolydi.

I‘rodymas. Naudodamiesi Hergloco teorema, galime rasyti

1

n

n∑k=1

r2(k) =1

n

n∑k=1

∫ π

−π

eiλkdF (λ)

∫ π

−π

e−iνkdF (ν)

=

∫ π

−π

∫ π

−π

1

n

n∑k=1

ei(λ−ν)kdF (λ)dF (ν) =

∫ π

−π

∫ π

−π

fn(λ, ν)dF (λ)dF (ν);

cia

fn(λ, ν) =1

n

n∑k=1

ei(λ−ν)k =

1, λ = ν,

1

n

ei(λ−ν) − ei(λ−ν)(n+1)

1− ei(λ−ν), λ = ν.

52

Taciau

fn(λ, ν) −→n→∞

1{λ=ν} =

{1, λ = ν,0, λ = ν.

Todel

1

n

n∑k=1

r2(k) →∫ π

−π

∫ π

−π

1{λ=ν}dF (λ)dF (ν) =

=

∫ π

−π

(F (λ)− F (λ−))dF (λ) =∑λ

(F (λ)− F (λ−))2.

Desineje puseje sumuojame pagal visus funkcijos F trukio taskus, kuriu‘

aibe yra ne daugiau kaip skaiti. Taigi E|r(h) − r(h)|2 −→n→∞

0 tada ir

tik tada, kai∑

λ(F (λ) − F (λ−))2 = 0. Tai reiskia, kad spektrine pa-

siskirstymo funkcija F yra tolydi.�

Jeigu {Xt} yra dvipuse slenkancio vidurkio seka, tai su tam tikromis

sa‘lygomis galima gauti ir tikslesni

‘asimptotini

‘rezultata

‘apie i

‘vercio r(h)

suderinamuma‘vidutiniu

‘kvadratu

‘prasme.

8.3 teorema. Tarkime

Xt =∞∑

j=−∞ψjZt−j ;

cia∑∞

−∞ |ψj | < ∞ ir {Zt} yra nepriklausomu‘vienodai pasiskirsciusiu

‘

atsitiktiniu‘dydziu

‘seka su vidurkiu EZ0 = 0, dispersija EZ2

0 = σ2 ir

EZ40 <∞. Tada

limn→∞

nE|r(h)− r(h)|2 = χr2(h) +∞∑

k=−∞

(r2(k) + r(k + h)r(k − h));

cia χ = σ−4EZ40 − 3.

53

I‘rodymas. Turime

E(ZkZlZmZn) =

EZ4

0 , kai k = l = m = n,σ4, kai k = l = m = n,σ4, kai k = m = l = n,σ4, kai k = n = l = m,0, likusiais atvejais.

Todel

E(XsXtXuXv) =∞∑

i,j,i′,j′=−∞ψiψjψi′ψj′E(Zs−iZt−jZu−i′Zv−j′) =

= (EZ40 − 3σ4)

∞∑i=−∞

ψiψi+t−sψi+u−sψi+v−s+

+ r(t− s)r(v − u) + r(u− s)r(v − t) + r(v − s)r(u− t).

Is cia, su 0 ≤ h < n,

Er2(h) =1

n2E

n−h∑i,j=1

XiXi+hXjXj+h =

=1

n2

n−h∑i,j=1

[r2(h) + r2(i− j) + r(i− j − h)r(i− j + h)+

+ (EZ40 − 3σ4)

∞∑l=−∞

ψlψl+hψl+j−iψl+j−i+h] =

=(n− h)2

n2r2(h) +

n− h

n2

∑|m|<n−h

(1− |m|n− h

)[r2(m)+

+ r(m− h)r(m+ h) + (EZ40 − 3σ4)

∞∑l=−∞

ψlψl+hψl+mψl+m+h].(8.6)

Is (8.6) dabar isplaukia, kad

E|r(h)− r(h)|2 = Er2(h) + (2h

n− 1)r2(h) =

=n− h

n2

∑|m|<n−h

(1− |m|n− h

)Sm +h2

n2r2(h);

54

cia

Sm = r2(m)+r(m−h)r(m+h)+(EZ40−3σ4)

∞∑l=−∞

ψlψl+hψl+mψl+m+h.

Absoliutus {ψl} sumuojamumas garantuoja, kad seka {Sm} yra absoliu-

ciai sumuojama, todel

limn→∞

nE|r(h)− r(h)|2 =∞∑

m=−∞Sm =

= (EZ40 − 3σ4)

∞∑l=−∞

ψlψl+h

∞∑m=−∞

ψm+lψm+l+h+

+

∞∑m=−∞

r2(m) +

∞∑m=−∞

r(m− h)r(m+ h) =

= (σ−4EZ40 − 3)r2(h) +

∞∑m=−∞

r2(m) +

∞∑m=−∞

r(m− h)r(m+ h). �

8.1 pratimas. Tarkime, {Xt} yra dvipusio slenkamojo vidurkio

seka

Xt =

∞∑k=−∞

ψkZt−k, Zt ∼ BT (0, σ2);

cia∑

|ψk| <∞. Parodykite, kad∑∞

−∞ |r(k)| <∞.

8.2 pratimas. Tarkime {Xt} yra stacionarus procesas su vidurkiu

µ ir kovariacine funkcija r(·). Sakome, kad µn yra geriausias nepaslinktas

vidurkio µ i‘vertis, jeigu µn = c1X1 + ... + cnXn, Eµn = µ ir c1, ..., cn

minimizuoja E|µn−µ|2. Parodykite, kad geriausias nepaslinktas µ i‘vertis

yra uzrasomas formule

µn = (1′R−1n 1)−11′R−1

n Xn;

55

cia Rn yra vektoriaus-stulpelio Xn = (X1, ..., Xn)′ kovariacine matrica

ir 1 = (1, ..., 1)′.

8.3 pratimas. Tarkime, {Xt} yra Gauso atsitiktine seka su nuliniu

vidurkiu. I‘rodykite, kad

EXt1Xt2Xt3Xt4 = EXt1Xt2EXt3Xt4 + EXt1Xt3EXt2Xt4+

+ EXt1Xt4EXt2Xt3 .[Nurodymas. Pasinaudokite lygybe

EX1X2X3X4 =∂4

∂u1∂u2∂u3∂u4φX1,X2,X3,X4(0, 0, 0, 0);

cia

φX1,X2,X3,X4(u1, u2, u3, u4) = exp{−1

2

4∑i,j=1

uiuj EXiXj}].

56

9. PERIODOGRAMA IR SPEKTRINES

PASISKIRSTYMO FUNKCIJOS I‘VERTIS

1. Periodograma. Tarkime, kad {Xt, t ∈ Z} yra reali stacionari

seka, kurios vidurkis del paprastumo lygus nuliui ir kovariacija r(n) =

= EXnX0.

Apibrezta 6 skyrelyje funkcija

fn(λ) =1

2π

∑|m|<n

(1− |m|n

)r(m)e−imλ

pasizymi tokia savybe: jei∑∞

−∞ |r(m)| <∞ ( tada egzistuoja spektrinis

tankis f(λ) ), tai fn(λ) −→n→∞

f(λ) su visais λ is intervalo [−π, π]. Todel

naturalus spektrinio tankio i‘vertis yra funkcija

In(λ) =1

2π

∑|m|<n

(1− |m|n

)rn(m)e−imλ, −π6λ6π; (9.1)

cia

rn(m) =1

n− |m|

n−|m|∑k=1

XkXk+|m|, 06 |m| < n

yra nepaslinktasis kovariacines funkcijos i‘vertis.

Nesunku patikrinti, kad funkcija In(λ) gali buti uzrasyta

In(λ) =1

2πn

∣∣∣ n∑m=1

Xme−iλm

∣∣∣2, −π6λ6π. (9.2)

Tokia imties X1, ..., Xn funkcija In(λ) yra vadinama periodograma.

Kadangi Ern(m) = r(m), tai is (9.1) isplaukia, kad EIn(λ) = fn(λ).

57

Periodogramos asimptotinio elgesio nagrinejimas yra glaudziai susi-

je‘s su Fejerio branduolio savybemis. Priminsime, kad Fejerio branduoliu

vadinama funkcija

Φn(λ) =1

2πn

∣∣∣ n∑m=1

eiλm∣∣∣2 =

1

2πn

( sin nλ2

sin λ2

)2

, λ = 0,

n

2π, λ = 0.

9.1 lema (Fejerio branduolio savybes).

1. Φn(λ)> 0.

2. Φn(·) – 2π-periodine funkcija.

3. Φn(·) – lygine funkcija.

4.∫ π

−πΦn(λ)dλ = 1.

5. ∀δ > 0 :∫ δ

−δΦn(λ)dλ→ 1, kai n→ ∞.

6. Jeigu f – 2π-periodine integruojama [−π, π] funkcija, tai visuo-

se funkcijos f tolydumo taskuose

limn→∞

∫ π

−π

Φn(λ− ν)f(ν)dν = f(λ).

I‘rodymas. 1–3 savybes akivaizdzios.

4. Turime∫ π

−π

Φn(λ)dλ =1

2πn

n∑k,l=1

∫ π

−π

ei(k−l)λdλ = 1,

nes ∫ π

−π

eikλdλ =

{2π, k = 0,0, k = 0.

5. Is nelygybes

Φn(λ)61

2πn sin2 δ2

, kai 0 < δ < |λ|6π,

58

gauname

∫ −δ

−π

Φn(λ)dλ+

∫ π

δ

Φn(λ)dλ62π − 2δ

2πn sin2 δ2

−→n→∞

0.

Todel∫ δ

−δ

Φn(λ)dλ =

∫ π

−π

Φn(λ)dλ−∫ −δ

−π

Φn(λ)dλ−∫ π

δ

Φn(λ)dλ −→n→∞

1.

6. Tarkime, λ yra funkcijos f tolydumo taskas. Fiksuotam ϵ > 0

raskime toki‘δ > 0, kad butu

‘teisinga nelygybe

|f(ν)− f(λ)| < ϵ su |ν − λ| < δ.

Pasireme‘4 savybe, gauname∫ π

−π

f(λ− ν)Φn(ν)dν − f(λ) =

∫ π

−π

(f(λ− ν)− f(λ))Φn(ν)dν =

=

∫ δ

−δ

(f(λ− ν)− f(λ))Φn(ν)dν+

+

∫[−π,π]\]−δ,δ[

(f(λ− ν)− f(λ))Φn(ν)dν =: I1 + I2.

Integralus I1 ir I2 i‘vertiname taip:

|I1|6 ϵ

∫ π

−π

Φn(ν)dν = ϵ,

|I2|6 2

∫ π

−π

f(ν)dν sup[−π,π]\]δ,δ[

Φn(ν).

Taigi

|∫ π

−π

f(λ− ν)Φn(ν)dν − f(λ)|6 ϵ+ 2

∫ π

−π

f(ν)dν sup[−π,π]\]δ,δ[

Φn(ν) → ϵ,

59

kai n→ ∞. Kadangi ϵ > 0 buvo laisvai pasirinktas, tai∫ π

−π

f(λ− ν)Φn(ν)dν − f(λ) −→n→∞

0. �

9.1 teiginys. Tarkime, {Xt, t ∈ Z} yra stacionari seka su nuliniu

vidurkiu. Jeigu si seka turi tolydu‘spektrini

‘tanki

‘f , tai In(λ) yra asimp-

totiskai nepaslinktas f(λ) i‘vertis, t.y.

limn→∞

EIn(λ) = f(λ), −π6λ6π.

I‘rodymas. Is 9.1 lemos gauname

EIn(λ) =1

2πnE

n∑k,l=1

XkXle−i(k−l)λ =

1

2πn

n∑k,l=1

r(k − l)e−i(k−l)λ =

=1

2πn

n∑k,l=1

e−i(k−l)λ

∫ π

−π

ei(k−l)νf(ν)dν =

=

∫ π

−π

1

2πn

∣∣∣ n∑k=1

ei(ν−λ)k∣∣∣2f(ν)dν =

∫ π

−π

Φn(ν − λ)f(ν)dν −→n→∞

f(λ). �

9.1 pastaba. Galima i‘rodyti ir stipresni

‘teigini

‘: jeigu {Xt} turi

spektrini‘tanki

‘, tai

EIn(λ) → f(λ) beveik visur Lebego mato atzvilgiu.

Kaip ir kovariacines funkcijos atveju suformuluosime teigini‘apie

konvergavimo greiti‘.

9.2 teiginys. Jeigu {Xt, t ∈ Z} yra stacionari seka su nuliniu

vidurkiu ir patenkinta sa‘lyga

∞∑−∞

|m r(m)| <∞,

60

tai

limn→∞

n(EIn(λ)− f(λ)) = − 1

2π

∞∑m=−∞

|m|r(m)e−imλ.

I‘rodymas. Turime

n(EIn(λ)− f(λ)) =

=n

2π(∑

|m|<n

r(m)(1− |m|n

)e−imλ −∞∑

m=−∞r(m)(1− |m|

n)e−imλ) =

= − 1

2π(∑

|m|<n

|m|r(m)e−imλ + n∑

|m|>n

r(m)e−imλ).

Kadangi

|n∑

|m|>n

r(m)e−imλ|6∑

|m|>n

n|r(m)|6∑

|m|>n

|m||r(m)| −→n→∞

0,

tai is cia isplaukia i‘rodinejamasis teiginys. �

Nors periodograma ir yra asimptotiskai nepaslinktas spektrinio tan-

kio i‘vertis, taciau praktikoje ji nera naudojama f(λ) vertinti. Priezastis

ta, kad In(λ) nera suderintasis spektrinio tankio f(λ) i‘vertis kvadratinio

vidurkio prasme. Tai matyti is zemiau pateikiamu‘pavyzdziu

‘.

9.1 pavyzdys. Tarkime, {Xt} yra nepriklausomu‘, normaliai pa-

siskirsciusiu‘atsitiktiniu

‘dydziu

‘Xt ∼ N(0, 1) seka. Imties X1, ..., Xn

periodograma taske 0

In(0) =1

2πn

∣∣ n∑t=1

Xt

∣∣261

turi ta‘pati

‘pasiskirstyma

‘kaip ir

1

2πY 2 su Y ∼ N(0, 1). Kadangi sekos

{Xt} spektrinis tankis f(λ) ≡ 1

2πir EY 4 = 3, tai

E|In(0)− f(0)|2 = E| 12πY 2 − 1

2π|2 =

1

4π2E|Y 2 − 1|2 =

=1

4π2(EY 4 − 1) =

1

2π2> 0.

Suformuluosime bendresnius teiginius apie periodogramu‘skirtin-

guose dazniuose kovariacija‘ir asimptotine

‘periodogramos dispersija

‘tuo

atveju, kai nagrinejamoji seka yra Gauso.

9.2 lema. Tarkime, {Xt} yra stacionari Gauso seka su nuliniu

vidurkiu ir spektrine tankio funkcija f(λ). Tada su visais λ, ν is [−π, π]

Cov(In(λ), In(ν)) =

=1

4π2n2

∣∣∣ ∫ π

−π

sinn(λ− x)/2

sin (λ− x)/2

sinn(ν − x)/2

sin (ν − x)/2f(x)dx

∣∣∣2++

1

4π2n2

∣∣∣ ∫ π

−π

sinn(λ− x)/2

sin (λ− x)/2

sinn(ν + x)/2

sin (ν + x)/2f(x)dx

∣∣∣2.I‘rodymas. Pasireme

‘8.3 pratimu, gauname

EIn(λ)In(ν) =1

4π2n2

n∑s,t,u,v=1

EXsXtXuXv e−i(sλ−tλ+uν−vν) =

=1

4π2n2

∑s,t,u,v

(EXsXt EXuXv + EXsXu EXtXv+

62

+ EXsXv EXtXu) e−i(sλ−tλ+uν−vν) =

1

4π2n2×

×[∑

s,t

e−i(s−t)λ

∫ π

−π

ei(s−t)xf(x)dx∑u,v

e−i(u−v)ν

∫ π

−π

ei(u−v)yf(y)dy+

+∑s,u

e−i(sλ+uν)

∫ π

−π

ei(s−u)xf(x)dx∑t,v

ei(tλ+vν)

∫ π

−π

ei(v−t)yf(y)dy+

+∑s,v

e−i(sλ−vν)

∫ π

−π

ei(s−v)xf(x)dx∑t,u

ei(tλ−uν)

∫ π

−π

ei(u−t)yf(y)dy]=

=1

4π2n2

[ ∫ π

−π

|∑s

eis(x−λ)|2f(x)dx∫ π

−π

|∑u

eiu(y−ν)|2f(y)dy+

+

∫ π

−π

∑s

eis(x−λ)∑u

e−iu(ν+x)f(x)dx×

×∫ π

−π

∑t

eit(λ−y)∑v

eiv(ν+y)f(y)dy+

+

∫ π

−π

∑s

e−is(λ−x)∑v

eiv(ν−x)f(x)dx×

×∫ π

−π

∑t

eit(λ−y)∑u

e−iu(ν−y)f(y)dy].

Kadangin∑

t=1

eitα = eiα1− einα

1− eiα= ei(n+1)α/2 sinnα/2

sinα/2, α = 2kπ,

63

tai

Cov(In(λ), In(ν)) =1

4π2n2

[|∫ π

−π

∑s

eis(x−λ)∑u

e−iu(ν+x)f(x)dx|2+

+ |∫ π

−π

∑s

e−is(λ−x)∑v

eiv(ν−x)f(x)dx|2 =

=1

4π2n2

∣∣∣ ∫ π

−π

sinn(λ− x)/2

sin (λ− x)/2

sinn(ν + x)/2

sin (ν + x)/2f(x)dx

∣∣∣2++

1

4π2n2

∣∣∣ ∫ π

−π

sinn(λ− x)/2

sin (λ− x)/2

sinn(ν − x)/2

sin (ν − x)/2f(x)dx

∣∣∣2. �

9.1 teorema. Jeigu teisingos lemos prielaidos ir funkcija f yra

tolydi, tai

limn→∞

DIn(λ) =

f2(λ), λ = −π, 0, π,

2f2(λ), λ = −π, 0, π.

I‘rodymas. Is 9.2 lemos isplaukia

DIn(λ) =1

4π2n2

∣∣∣ ∫ π

−π

sin2 n(λ− x)/2

sin2 (λ− x)/2f(x)dx

∣∣∣2++

1

4π2n2

∣∣∣ ∫ π

−π

sinn(λ− x)/2

sin (λ− x)/2

sinn(λ+ x)/2

sin (λ+ x)/2f(x)dx

∣∣∣2.Is cia ir 9.1 lemos 6) turime teoremos teigini

‘taske λ = 0. Teoremos

tvirtinimas, kai λ = −π ir λ = π, isplaukia is tos pacios lemos ir lygybes

| sin n(π − x)

2| = | sin n(π + x)

2|.

64

I‘rodysime, kad bet kuriame taske λ = −π, 0, π reiskinio

1

2πn

∣∣∣ ∫ π

−π

sinn(λ− x)/2

sin (λ− x)/2

sinn(λ+ x)/2

sin (λ+ x)/2f(x)dx

∣∣∣riba yra lygi nuliui.

Parinkime toki‘ϵ > 0, kad intervaluose [−λ− ϵ,−λ+ ϵ], [λ− ϵ, λ+ ϵ]

nebutu‘tasku

‘−π, 0, π ir uzrasykime

∫ π

−π

sinn(λ− x)/2

sin (λ− x)/2

sinn(λ+ x)/2

sin (λ+ x)/2f(x)dx =

∫ −λ+ϵ

−λ−ϵ

...+

∫ λ+ϵ

λ−ϵ

...+

∫ ′...;

cia∫ ′

integravimo sritis yra [−π, π]\{[−λ− ϵ,−λ+ ϵ] ∪ [λ− ϵ, λ+ ϵ]}.

Pasireme‘nelygybe

∣∣ sinnxsin x

∣∣6n, pirma‘ji‘desines lygybes puses integ-

rala‘i‘vertiname taip:

∣∣∣ ∫ −λ+ϵ

−λ−ϵ

sinn(λ− x)/2

sin (λ− x)/2

sinn(λ+ x)/2

sin (λ+ x)/2f(x)dx

∣∣∣6C1

∫ −λ+ϵ

−λ−ϵ

∣∣∣ sinn(λ+ x)/2

sin (λ+ x)/2

∣∣∣ |f(x)|dx6nC1

∫ −λ+ϵ

−λ−ϵ

|f(x)|dx6

6 2nC1Mϵ ;

cia M := supx |f(x)|.

Visiskai taip pat i‘vertiname antra

‘ji‘integrala

‘. Likusioje srityje

[−π, π]\{[−λ−ϵ,−λ+ϵ]∪ [λ−ϵ, λ+ϵ]} pointegrine funkcija yra aprezta.

Todel

limn→∞

1

2πn

∣∣∣ ∫ π

−π

sinn(λ− x)/2

sin (λ− x)/2

sinn(λ+ x)/2

sin (λ+ x)/2f(x)dx

∣∣∣6Const ϵ.

65

Is cia isplaukia teoremos teiginys, kadangi ϵ > 0 gali buti kiek norima

mazas. �

2. Spektrines pasiskirstymo funkcijos i‘vertis. Tarkime,

X1, ..., Xn yra imtis is stacionarios sekos su vidurkiu 0. Pazymekime

Fn(λ) =

∫ λ

−π

In(ν)dν, −π6λ6π;

cia In(ν) yra periodograma, apibrezta (9.1). Jeigu |k| < n, tai∫ π

−π

eiλkdFn(λ) =

∫ π

−π

eiλkIn(λ)dλ =

=

∫ π

−π

eiλk1

2π

∑|m|<n

(1− |m|n

)rn(m)e−iλmdλ =

=1

2π

∑|m|<n

(1− |m|n

)rn(m)

∫ π

−π

eiλ(k−m)dλ = (1− |k|n)rn(k).(9.3)

Vadinasi, jeigu

rn(k) −→n→∞

r(k) su tikimybe 1,

tai ∫ π

−π

eiλkdFn(λ) −→n→∞

∫ π

−π

eiλkdF (λ) su tikimybe 1.

Is cia isplaukia, kad funkcijos F tolydumo taskuose

Fn(λ) −→n→∞

F (λ) su tikimybe 1.

Jeigu gi rn(k) → r(k) pagal tikimybe‘, tai galima i

‘rodyti (paliekame

tai kaip pratima‘skaitytojui), kad

Fn(λ) −→n→∞

F (λ) pagal tikimybe‘funkcijos F tolydumo taskuose.

66

10. SPEKTRINIO TANKIO I‘VERCIAI

Kaip mateme 9 skyrelyje periodograma

In(λ) =1

2π

∑|m|<n

rn(m)e−imλ

su

rn(m) =1

n

n−|m|∑k=1

XkXk+|m|, 06 |m| < n,

nera suderintas spektrines tankio funkcijos i‘vertis kvadratinio vidurkio

prasme. Todel praktikoje In(λ) keiciamas ”suglodintu” i‘verciu Iwn (λ),

turinciu forma‘

Iwn (λ) =1

2π

∑|m|6Kn

w( mKn

)rn(m)e−imλ; (10.1)

cia

(W1)

w(x) – lygine,

tolydi intervale [−1, 1],

w(x) = 0, kai |x| > 1.

Tokia funkcija w vadinama langu, o atitinkamas i‘vertis Iwn (λ) – suglo-

dintuoju spektrinio tankio i‘verciu. Jeigu w(x) = 1, |x|6 1 ir Kn = n−1,

tai Iwn (λ) ≡ In(λ).

Apibrezkime

Wn(λ) =1

2π

∑|m|6Kn

w( mKn

)e−imλ, λ ∈ [−π, π].

67

Kadangi (zr. (9.3) lygybe‘)

rn(m) =

∫ π

−π

eiλmIn(λ)dλ,

tai

Iwn (λ) =1

2π

∑|m|6Kn

w( mKn

) ∫ π

−π

eiνmIn(ν)dν e−imλ =

=

∫ π

−π

1

2π

∑|m|6Kn

w( mKn

)e−i(ν−λ)mIn(ν)dν =

∫ π

−π

Wn(λ− ν)In(ν)dν.

Funkcija Wn(λ) vadinama spektriniu langu.

Suformuluosime teorema‘apie suglodintojo spektrinio tankio i

‘vercio

asimptotine‘dispersija

‘, kai nagrinejamoji seka yra Gauso.

10.1 teorema. Sakykime, kad {Xt} yra stacionari Gauso seka su

nuliniu vidurkiu ir absoliuciai sumuojama kovariacine funkcija. Jeigu

Iwn (λ) apibrezta (10.1) lygybe , w(x) tenkina (W1), Kn ↗ ∞, Kn

n → 0,

tai

limn→∞

n

KnDIwn (λ) =

2f2(λ)∫ 1

−1w2(x)dx, λ = −π, 0, π,

f2(λ)∫ 1

−1w2(x)dx, λ = −π, 0, π,

ir

limn→∞

n

KnCov(Iwn (λ), Iwn (ν)) = 0, kai ν = ±λ.

I‘rodymas. Turime

Cov(Iwn (λ), Iwn (ν)) =

=1

4π2

∑|m|6Kn|m′|6Kn

w(m

Kn)w(

m′

Kn)e−i(mλ+m′ν)Cov(rn(m), rn(m

′)). (10.2)

68

Kovariacines funkcijos i‘verti

‘rn(m) patogu perrasyti kiek kitokiu pavi-

dalu:

rn(m) =1

n

min{n,n−m}∑i=max{1,1−m}

XiXi+m, |m| < n.

Tada is Gauso proceso savybiu‘(zr. 8.3 pratima

‘) gauname:

Cov(rn(m), rn(m′)) = Ern(m)rn(m

′)− n− |m|n

r(m)n− |m′|

nr(m′) =

=1

n2

min{n,n−m}∑i=max{1,1−m}

min{n,n−m′}∑j=max{1,1−m′}

EXiXi+mXjXj+m′−

− n− |m|n

r(m)n− |m′|

nr(m′) =

=1

n2

min{n,n−m}∑i=max{1,1−m}

min{n,n−m′}∑j=max{1,1−m′}

(r(i− j +m)r(i− j −m′)+

+ r(i− j)r(i− j +m−m′))=

=1

n2

n∑i,j=1

1{max{1,1−m}6 i6 min{n,n−m},max{1,1−m′}6 j 6 min{n,n−m′}}×

×(r(i− j +m)r(i− j −m′) + r(i− j)r(i− j +m−m′)

)=

=1

n2

∑|l|<n

Nn(l,m,m′)(r(l +m)r(l −m′) + r(l)r(l +m−m′)

); (10.3)

cia

Nn(l,m,m′) = #

{(i, j) : i− j = l,max{1, 1−m}6 i6 min{n, n−m},

max{1, 1−m′}6 j6 min{n, n−m′}}.

69

Pastebesime, kad su kai kuriais trejetais (l,m,m′) skaicius Nn(l,m,m′)

gali buti lygus nuliui.

I‘state

‘(10.3) israiska

‘i‘(10.2), gauname

n

KnCov(Iwn (λ), Iwn (ν)) = i1 + i2;

cia

i1 :=1

4π2nKn

∑|m|6Kn|m′|6Kn

w(m

Kn)w(

m′

Kn)e−i(mλ+m′ν)×

×∑|l|<n

Nn(l,m,m′)r(l +m)r(l −m′),

i2 :=1

4π2nKn

∑|m|6Kn|m′|6Kn

w(m

Kn)w(

m′

Kn)e−i(mλ+m′ν)×

×∑|l|<n

Nn(l,m,m′)r(l)r(l +m−m′).

Pazymeje‘l +m = p ir l −m = s, gauname:

i1 =1

4π2nKn

∑|l|<n

l+Kn∑p,s=l−Kn

w(p− l

Kn)w(

l − s

Kn)e−i((p−l)λ+(l−s)ν)×

×Nn(l, p− l, l − s)r(p)r(s) =

70

=1

4π2nKn

∑|l|<n

n+Kn−1∑p,s=−(n+Kn−1)

1{l−Kn 6 p,s6 l+Kn}×

× w(p− l

Kn)w(

l − s

Kn)e−i((p−l)λ+(l−s)ν)Nn(l, p− l, l − s)r(p)r(s) =

=1

4π2nKn

n+Kn−1∑p,s=−(n+Kn−1)

min{n−1,p+Kn,s+Kn}∑l=max{−(n−1),p−Kn,s−Kn}

w(p− l

Kn)×

× w(l − s

Kn)e−i((p−l)λ+(l−s)ν)Nn(l, p− l, l − s)r(p)r(s).

Su fiksuotu N 6Kn teisinga nelygybe

∣∣∣i1 − 1

4π2nKn

N∑p,s=−N

min{n−1,p+Kn,s+Kn}∑l=max{−(n−1),p−Kn,s−Kn}

w(p− l

Kn)w(

l − s

Kn)×

× e−i((p−l)λ+(l−s)ν)Nn(l, p− l, l − s)r(p)r(s)∣∣∣6

6 1

4π2Kn

∑|p|>N|s|>N

min{n−1,p+Kn,s+Kn}∑l=max{−(n−1),p−Kn,s−Kn}

supxw2(x)|r(p)||r(s)|.

Cia pasinaudojome nelygybe Nn(l,m,m′)6n. Kadangi vidineje sumoje

yra ne daugiau kaip 2Kn + 1 demenu‘, tai nelygybe

‘galime prate

‘sti taip:

6 1

4π2(2 +

1

Kn) sup

xw2(x)

∑|p|>N

|r(p)|∞∑

s=−∞|r(s)|.

71

Kai N pakankamai didelis, pastaroji suma yra kiek norima maza. Savo

ruoztu suma‘

1

4π2nKn

N∑p,s=−N

min{n−1,p+Kn,s+Kn}∑l=max{−(n−1),p−Kn,s−Kn}

w(p− l

Kn)w(

l − s

Kn)×

× e−i((p−l)λ+(l−s)ν)Nn(l, p− l, l − s)r(p)r(s)

galime pakeisti suma

1

4π2nKn

N∑p,s=−N

min{n−1,p+Kn,s+Kn}∑l=max{−(n−1),p−Kn,s−Kn}

w2(l

Kn)e−i((p−l)λ+(l−s)ν)×

×Nn(l, p− l, l − s)r(p)r(s), (10.4)

kadangi

w(p− l

Kn)w(

l − s

Kn)− w2(

l

Kn) → 0,

kai Kn → ∞ ir |p|, |s|6N .

Turime

Nn(l,m,m′)>

>#{(i, j) : i− j = l,max

{1, 1−min{m,m′}

}6 i, j6

6 min{n, n−max{m,m′}

}}=

72

= min{n, n−max{m,m′}

}−max

{1, 1−min{m,m′}

}+ 1− |l|>

>n−max{|m|, |m′|} − (1−min{|m|, |m′|}) + 1− |l| =

= n− |m| − |m′| − |l| (10.5)

ir (10.4) reiskinio sumoje pagal l

p−Kn 6 l6 p+Kn, s−Kn 6 l6 s+Kn,

w2(l

Kn) = 0, kai |l| > Kn.

Todel is (10.5) nelygybes splaukia, kad

n−Nn(l, p− l, l − s)6 |l|+ |p− l|+ |l − s|6 3Kn, (10.6)

kai l −Kn 6 p6 l +Kn, l −Kn 6 s6 l +Kn ir |l|6Kn. Taigi remiantis

(10.6) nelygybe, sumu‘(10.4) ir

1

4π2nKn

N∑p,s=−N

min{n−1,p+Kn,s+Kn}∑l=max{−(n−1),p−Kn,s−Kn}

w2( lKn

)e−i((p−l)λ+(l−s)ν)nr(p)r(s)

(10.7)

skirtumas absoliutiniu dydziu nevirsija

3

4π2n(2Kn + 1) sup

xw2(x)

( ∞∑p=−∞

|r(p)|)2 → 0.

(10.7) reiskinio ir sumos

1

4π2nKn

N∑p,s=−N

Kn∑l=−Kn

w2(l

Kn)e−i((p−l)λ+(l−s)ν)r(p)r(s) (10.8)

73

skirtumo moduli‘i‘vertiname taip:

| (10.8) − (10.7) |6

6 1

4π2Knsupxw2(x)

( N∑p=−N

|r(p)|)2 Kn∑

l=−Kn

(1− 1{ p−Kn 6 l6 p+Kns−Kn 6 l6 s+Kn

}),be to,

Kn∑l=−Kn

(1− 1{ p−Kn 6 l6 p+Kns−Kn 6 l6 s+Kn

})

= 2Kn + 1−min{p+Kn, s+Kn,Kn}+max{p−Kn, s−Kn,−Kn}

6 2Kn − (−N +Kn) +N −Kn = 2N.

Todel

| (10.8) − (10.7) |6 N

2π2Knsupxw2(x)

( ∞∑p=−∞

|r(p)|)2 → 0,

kai Kn → ∞. Suma‘(10.8) galime uzrasyti taip:

1

4π2nKn

N∑p,s=−N

∑|l|6Kn

w2(l

Kn)e−i((p−l)λ+(l−s)ν)r(p)r(s) =

=( Kn∑

l=−Kn

1

Knw2(

l

Kn)ei(λ−ν)l

)( 1

2π

∑|p|6N

r(p)e−ipλ)×

×( 1

2π

∑|s|6N

r(s)eisν).

(10.9)

74

Jei λ− ν = 0 arba ±2π, tai pirmoji desines puses suma turi riba‘

limKn→∞

∑|l|6Kn

1

Knw2(

l

Kn) =

∫ 1

−1

w2(x)dx.

Todel, parinkdami N , reiskiniu‘(10.9) ir∫ 1

−1

w2(x)dx f2(λ)

skirtuma‘galime padaryti kiek norima maza

‘.

Jeigu λ− ν = 0,±2π, tai (zr. 10.1 pratima‘)

limKn→∞

∑|l|6Kn

1

Knw2(

l

Kn)ei(λ−ν)l = 0

ir kartu viso (10.9) reiskinio riba lygi nuliui.

Toliau nagrinekime i2 nari‘. Pazymeje

‘l +m−m′ = p, gauname

i2 =1

4π2nKn

∑|l|<n

Kn∑m′=−Kn

Kn+l−m′∑p=−Kn+l−m′

w(p+m′ − l

Kn)w(

m′

Kn)×

× e−i((p+m′−l)λ+m′ν)Nn(l, p+m′ − l,m′)r(l)r(p) =

=1

4π2nKn

∑|l|<n

l+Kn∑s=l−Kn

Kn+s∑p=−Kn+s

w(p− s

Kn)w(

l − s

Kn)e−i((p−s)λ+(l−s)ν)×

×Nn(l, p− s, l − s)r(l)r(p) =

75

=1

4π2nKn

∑|l|<n

2Kn+l∑p=−2Kn+l

l+Kn∑s=l−Kn

1{s−Kn 6 p6 s+Kn}w(p− s

Kn)w(

l − s

Kn)

× e−i((p−s)λ+(l−s)ν)Nn(l, p− s, l − s)r(l)r(p) =

=1

4π2nKn

∑|l|<n

2Kn+l∑p=−2Kn+l

min{l,p}+Kn∑s=max{l,p}−Kn

w(p− s

Kn)w(

l − s

Kn)×

× e−i((p−s)λ+(l−s)ν)Nn(l, p− s, l − s)r(l)r(p).

Kaip ir anksciau pastara‘ja‘suma

‘galima aproksimuoti (su pakankamai

dideliais N 6Kn) suma

1

4π2nKn

N∑l,p=−N

min{l,p}+Kn∑s=max{l,p}−Kn

w(p− s

Kn) w(

l − s

Kn)e−i((p−s)λ+(l−s)ν)×

×Nn(l, p− s, l − s)r(l)r(p),(10.10)

o (10.10) reiskini‘savo ruoztu suma

1

4π2nKn

N∑l,p=−N

Kn∑s=−Kn

w2(s

Kn)e−i((p−s)λ+(l−s)ν)r(l)r(p). (10.11)

Jeigu λ+ ν = 0 arba ±2π, tai (10.11) sumos riba lygi

f2(λ)

∫ 1

−1

w2(x)dx.

76

Jeigu λ+ ν = 0,±2π, tai (10.11) reiskinio riba yra lygi 0. �

Toliau suformuluosime sa‘lygas, su kuriomis pateiktasis suglodintasis

spektrinio tankio i‘vertis (10.1) yra asimptotiskai nepaslinktas. Tegul

langui w(x) teisingos tokios prielaidos:

(W2)

w(x) – lygine,

w(0) = 1,

∀x ∈ [−1, 1] |w(x)|6M,

w(x) = 0, |x| > 1,

limx→0

1− w(x)

|x|q= k su kazkokiais q > 0 ir k > 0.

10.2 teorema. Tarkime, {Xt} – stacionari seka su nuliniu vidur-

kiu ir kovariacija r(·). Tegul Iwn (λ) yra apibreztas (10.1) lygybe su langu

w(x), tenkinanciu (W2) sa‘lygas, Kn ↗ ∞ ir

∞∑m=−∞

|m|p|r(m)| <∞ su kazkokiu p > 0. (10.12)

1) jei p> q ir arba p> 1,Kq

n

n→ 0, arba p6 1,

Kq+1−pn

n→ 0, tai

limn→∞

Kqn(EI

wn (λ)− f(λ)) = − k

2π

∞∑m=−∞

|m|qe−imλr(m);

2) jei p < q ir arba p> 1,Kp

n

n→ 0, arba p6 1,

Kn

n→ 0, tai

limn→∞

Kpn(EI

wn (λ)− f(λ)) = 0.

I‘rodymas. Pazymekime µ = min{p, q}. Tada

Kµn(EI

wn (λ)− f(λ)) =

77

=Kµ

n

2π

∑|m|6Kn

(w(

m

Kn)(1− |m|

n)− 1

)e−imλr(m)−

− Kµn

2π

∑|m|>Kn

e−imλr(m) =

=Kµ

n

2π

∑|m|6Kn

(w(

m

Kn)− 1

)e−imλr(m)−

− Kµn

2π

∑|m|6Kn

w(m

Kn)|m|ne−imλr(m)−

− Kµn

2π

∑|m|>Kn

e−imλr(m) =: j1 − j2 − j3.

Is teoremos sa‘lygu

‘isplaukia, kad su visais ε > 0 egzistuoja toks

δ > 0, kad ∣∣∣w( mKn

)− 1

| mKn

|q+ k

∣∣∣ < ε, kai | mKn

| < δ. (10.13)

Isskaidykime j1 demenimis:

j1 =Kµ

n

2π

∑|m|6 [δKn]

w( mKn

)− 1

| mKn

|µ|m|µe−imλr(m)+

+Kµ

n

2π

∑[δKn]<|m|6Kn

w( mKn

)− 1

| mKn

|µ|m|µe−imλr(m) =: j11 + j12.

Pasireme‘(10.13) nelygybe, atveju µ = q gauname

|j11 +k

2π

∑|m|6 [δKn]

|m|qe−imλr(m)|6 εk

2π

∞∑m=−∞

|m|q|r(m)|;

cia∑∞

−∞ |m|q|r(m)|6∑∞

−∞ |m|p|r(m)| < ∞. Kadangi ε > 0 galima

parinkti kiek norima maza‘, tai j11 galima pakeisti reiskiniu

− k

2π

∑|m|6 [δKn]

|m|qe−imλr(m) −→n→∞

− k

2π

∞∑m=−∞

|m|qe−imλr(m).

78

Jeigu µ = p, tai

|j11 +k

2π

∑|m|6 [δKn]

| mKn

|q−p|m|pe−imλr(m)|6

6 εk

2π

∑|m|6 [δKn]

| mKn

|q−p|m|p|r(m)|6

6 εk

2πδq−p

∞∑−∞

|m|p|r(m)| ( → 0, kai ε→ 0 ).

Taigi siuo atveju j11 galima pakeisti reiskiniu

− k

2π

∑|m|6 [δKn]

| mKn

|q−p|m|pe−imλr(m),

kurio modulis nevirsija

k

2πδq−p

∞∑m=−∞

|m|p|r(m)| → 0 (δ → 0).

Is nelygybes

|1− w(x)||x|µ

6M + 1

δµ, |x| > δ,

isplaukia

|j12|6M + 1

2πδµ

∑|m|>[δKn]

|m|µ|r(m)| −→n→∞

0.

Kadangi

|j2|6MKµ

n

2πn

∑|m|6Kn

|m||r(m)|,

tai j2 → 0, kai p> 1 irKµ

n

n → 0; jeigu gi p6 1, tai

MKµn

2πn

∑|m|6Kn

|m||r(m)| = MKµ+1−pn

2πn

∑|m|6Kn

|m|Kp−1n |r(m)|6

6MKµ+1−pn

2πn

∑|m|6Kn

|m|p|r(m)| → 0,

79

kaiKµ+1−p

n

n → 0.

Pagaliau

|j3| =1

2π|

∑|m|>Kn

Kµne

−imλr(m)|6 1

2π

∑|m|>Kn

|m|µ|r(m)|6

6 1

2π

∑|m|>Kn

|m|p|r(m)| → 0, kai n→ ∞. �

10.1 pastaba. Tarkime k – sveikas teigiamas skaicius ir k6 p. Tada

f (k)(λ) =(−i)k

2π

∞∑m=−∞

ms e−imλ r(m)

yra k-oji spektrinio tankio f(λ) isvestine. Is (10.12) isplaukia, kad visos

k-os eiles (k6 p) isvestines yra apreztos ir tolydzios. Taigi parametrai p

ir q nurodo funkciju‘f ir w glodumo laipsni

‘.

10.2 pastaba. Is 10.1 ir 10.2 teoremu‘matome, kad i

‘vercio Iwn (λ)

vidutine kvadratine paklaida taske λ = 0,±π

E(Iwn (λ)− f(λ))2 = DIwn (λ) + (EIwn (λ)− f(λ))2,

galiojant abieju‘teoremu

‘prielaidoms su p> q, yra

Kn

nf2(λ)

∫ 1

−1

w2(x)dx(1 + o(1))+

+k2

4π2(Kqn)2

( ∞∑m=−∞

|m|qe−imλr(m))2

(1 + o(1)).

80

Is cia matyti, kad dispersija DIwn (λ) ir poslinkis (EIwn (λ) − f(λ))2 Kn

atzvilgiu elgiasi priesingai: kuo didesnis Kn, tuo didesne dispersija ir tuo

mazesnis poslinkis. Aisku, kad abu sie demenys bus tos pacios eiles, kai

Kn

n∼ Const

1

K2qn

,

t.y. K2q+1n ∼ Const n. Pavyzdziui, paeme

‘Kn = [β n

12q+1 ], cia β –

konstanta, gausime (kai λ = 0,±π)

limn→∞

n

2q

2q + 1E(Iwn (λ)− f(λ))2 =

= βf2(λ)

1∫−1

w2(x)dx+k2

4π2β2

( ∞∑−∞

|m|qe−imλr(m))2

.

Pastaroji lygybe leidzia lyginti i‘vairius suglodintus spektrinio tankio

i‘vercius (zr. 11 skyreli

‘) tiek parametro q atzvilgiu (i

‘verciai su didesniu

q yra ”geresni”), tiek∫ 1

−1w2(x)dx ir k2 atzvilgiu (esant vienodiems q).

10.1 pratimas. Tarkime, f(x) – tolydi intervale [−1, 1] funkcija.

Parodykite, kad

limK→∞

K∑l=−K

1

Kf( l

K

)eiαl = 0, kai α = 2kπ, k = 0,±1,±2, ... .

81

11. KAI KURIE KONKRETUS SPEKTRINIO TANKIO

I‘VERCIAI

1. Staciakampis langas. Tegul

w(x) =

{1, kai |x|6 1,0, kai |x| > 1.

Tada atitinkamas spektrinis langas yra Dirichle branduolys DKn(λ):

Wn(λ) = DKn(λ);

cia

Dn(λ) =1

2π

∑|m|6n

eimλ =

12π

sin(n+ 12 )λ

sin λ2

, kai λ = 0,

12π (2n+ 1), kai λ = 0.

(11.1)

Matome, kad Wn(λ) gali i‘gyti ir neigiamas reiksmes, t.y. kai kuriuose

dazniuose spektrinio tankio i‘vertis yra neigiamas. Kai teisingos 10.1

teoremos sa‘lygos, gauname (kai n→ ∞)

DIwn (λ) ∼

4Kn

nf2(λ), kai λ = −π, 0, π,

2Kn

nf2(λ), kai λ = −π, 0, π.

2. Bartleto, arba trikampis, langas. Siuo atveju

w(x) =

{1− |x|, kai |x|6 1,0, kai |x| > 1,

ir atitinkamas spektrinis langas yra Fejerio branduolys:

Wn(λ) =

sin2 Knλ

2

2πKn sin2 λ

2

, kai λ = 0,

Kn

2π, kai λ = 0.

82

Kadangi Wn(λ)> 0, tai si‘langa

‘atitinka neneigiami spektrinio tankio

i‘verciai. Jei teisingos 10.1 teoremos sa

‘lygos, gauname

DIwn (λ) ∼

4Kn

3nf2(λ), kai λ = −π, 0, π,

2Kn

3nf2(λ), kai λ = −π, 0, π.

3. Danielo langas. Jei

w(x) =

sinπx

πx, kai |x|6 1,

0, kai |x| > 1,

tai spektrinis langas yra

Wn(λ) =

Kn

2π, |λ|6 π

Kn,

0, likusiais atvejais.

Siuo atveju is 10.1 teoremos gauname

DIwn (λ) ∼

2Kn

nf2(λ), kai λ = −π, 0, π,

Kn

nf2(λ), kai λ = −π, 0, π.

4. Blekmeno–Tjuki langas. Sakykime

w(x) =

{1− 2a+ 2a cosx, kai |x|6 1,0, kai |x| > 1.

Tada

Wn(λ) = aDKn(λ− π

Kn) + (1− 2a)DKn(λ) + aDKn(λ+

π

Kn);

83

cia DKn yra Dirichle branduolys (11.1). Siuo atveju

DIwn (λ) ∼

4Kn

n (1− 4a+ 6a2)f2(λ), kai λ = −π, 0, π,

2Kn

n (1− 4a+ 6a2)f2(λ), kai λ = −π, 0, π.

Kai a = 0, 23 ir a = 0, 25, atitinkami i‘verciai vadinami Tjuki–Hemingo

ir Tjuki–Heningo i‘verciais.

5. Parzeno langas. Sakykime

w(x) =

1− 6x2 + 6|x|3, kai |x|6 1

2 ,

2(1− |x|)3, kai 12 < |x|6 1,

0, likusiais atvejais.

Jeigu Kn yra lyginis, tai

Iwn (λ) =1

2π

∑|m|6 Kn

2

(1− 6

( mKn

)2+ 6| m

Kn|3)rn(m) e−imλ+

+2

2π

∑Kn2 <|m|6Kn

(1− | m

Kn|)3

rn(m) e−imλ =

=2

2π

∑|m|6Kn

(1− | m

Kn|)3

rn(m) e−imλ−

− 1

2π

∑|m|6 Kn

2

(1− 2| m

Kn|)3

rn(m) e−imλ

ir

84

Wn(λ) =2

2π

∑|m|6Kn

(1− | m

Kn|)3

e−imλ−

− 1

2π

∑|m|6 Kn

2

(1− 2| m

Kn|)3

e−imλ =

=8

2πK3n

(3 sin4 Knλ4

2 sin4 λ2

−sin4 Knλ

4

sin2 λ2

)=

=6π

KnΦ2

Kn2

(λ)− 4

K2n

sin2Knλ

4ΦKn

2(λ);

cia Φn(·) yra Fejerio branduolys. Be to, kai λ = 0,±π ir n→ ∞,

DIwn (λ) ∼ 151

280

Kn

nf2(λ) ( ≈ 0, 539

Kn

nf2(λ) ).

85