Respon Sistem Kontrol - iwan_s.staff.gunadarma.ac.idiwan_s.staff.gunadarma.ac.id/...Sistem_Kontrol.pdf · Respon Sistem Kontrol Bambang Ariantara Jrusan Teknik Mesin Fakultas Teknik

Modul Kuliah Teknik Kontrol Otomatik

Respon Sistem Kontrol

Bambang Ariantara

Jrusan Teknik Mesin Fakultas Teknik Universitas Pasundan

2007

Bambang Ariantara – Respon Sistem Kontrol 1

1. RESPON TRANSIEN Respon transien adalah respon suatu sistem sebelum tercapainya keadaan steady. Pada keadaan transien, output suatu sistem masih berubah seiring dengan berjalannya waktu, sedangkan pada keadaan steady output sistem sudah tidak berubah lagi. Keadaan steady dicapai saat waktu menuju harga yang sangat besar, secara matematik dikatakan menuju tak berhingga.

Respon Suatu Sistem Terhadap Fungsi Step Satuan

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Waktu, t [sec]

Out

put,

y(t

)

Transien Steady

1.1 Respon Transien Sistem Linear Orde 1 Metode Integrasi Suatu sistem linear orde 1 dapat dinyatakan sebagai persamaan diferensial berikut ini.

)t(xK)t(yadt

)t(dy=+ (1)

Pada persamaan diferensial di atas y(t) menyatakan output atau respon, sistem dan x(t) adalah inputnya, sedangkan a dan K adalah konstanta. Jawab persamaan diferensial ini adalah fungsi y(t) yang memenuhi persamaan diferensial tersebut. Dengan metode integrasi dapat diperoleh bahwa jawab persamaan diferensial terrsebut adalah

∫−− += dte)t(xeKeC)t(y atatat (2)

Konstanta integrasi C dapat ditentukan melalui persamaan kondisi awal (initial conditions). Persamaan diferensial tersebut dapat ditulis menggunakan notasi operasional sebagai

)t(xK)t(ya)t(Dy =+ atau )t(xK)t(y)aD( =+ . Karena operator D dapat diperlakukan sebagai besaran aljabar, maka output atau respon y(t) dapat ditulis sebagai

)t(xaD

K)t(y+

= (3)

Dengan demikian, respon suatu sistem linear orde 1 dapat dinyatakan sebagai

∫−− +==+

= dte)t(xeKeC)t(y)t(xaD

K)t(y atatat


Respon Transien

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Waktu, t (sec)

Res

pon,

y(t)

Input

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Waktu, t (sec)

Inpu

t, x(

t)

Contoh 1: Tentukan respon sistem yang dinyatakan oleh persamaan diferensial

)t(x8)t(y4dt

)t(yd=+ dengan input x(t)

berupa fungsi tangga satuan, dan y(0)=0 Penyelesaian:

1)t(x4a8K

)t(x4D

8)t(y

===+

=

2eC)t(y4

ee8eC)t(y

dte1e8eC)t(y

t4

t4t4t4

t4t4t4

+=

+=

+=

−

−−

−− ∫

Kondisi awal: Pada t=0, y(t)=0

2C02C

02Ce0

−==+

=+

Maka respon sistem adalah

)e1(22e2)t(y t4t4 −− −=+−= Di samping ini diperlihatkan grafik input x(t) dan respon y(t) terhadap waktu. Contoh 2: Suatu sistem dinyatakan dengan diagram blok di bawah ini. a. Tentukan persamaan yang mentakaan

hubungan antara output dengan input b. Jika y(0)=0, tentukan respon sistem terhadap

input berupa fungsi tangga satuan Penyelesaian: a. Hubungan antara output dengan input:

[ ]

( )

)t(x3D

3)t(y

)t(x3)t(y3D)t(x3)t(y3)t(Dy)t(y3)t(x3)t(Dy

)t(y)t(xD3)t(y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

=+=+−=

−=

+

-

x(t) y(t)

D3


Respon Transien

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Waktu, t (sec)

Res

pon,

y(t)

xe

y

q

Beban

b b

b. Respon sistem terhadap fungsi tangga satuan

1Ce)t(y3

ee3Cedte1e3Ce)t(y

1)t(x3a3Kdte)t(xKeCe)t(y

t3

t3t3t3t3t3t3

atatat

+=

+=+=

===+=

−

−−−−

−−

∫

∫

Kondisi awal: pada t=0, y(t)=0

1C1C0

1eC0 0

−=+=

+=

Maka respon sistem adalah:

1e)t(y t3 +−= − atau t3e1)t(y −−=

Input

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Waktu, t (sec)

Inpu

t, x(

t)

Contoh 3: Di samping ini adalah sebuah hydraulic amplifier yang mempunyai piston berdiameter 60 cm dan konstanta katup 1 m2/s. a. Gambarlah diagram bloknya b. Tentukan hubungan output y(t) dengan input

x(t) c. Tentukan respon sistem jika ujung kiri batang

dengan sangat cepat digerakkan ke atas sejauh 5 cm

3


Penyelesaian: a. Diagram blok

Walking Beam: 2

yxe −= Hydraulic Amplifier: e

ADCy 1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

b. Hubungan output dengan input

)t(x77.1D

1.77)t(xA2CD

A2C)t(y

)t(xA2

C)t(yA2

CD

)t(xA2

C)t(yA2

C)t(Dy

)t(yA2

C)t(xA2

C)t(Dy

2)t(y)t(x

ADC)t(y

1

1

11

11

11

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Hubungan antara output dengan input ini dapat juga diperoleh dari persamaan sistem umpan balik satuan sebagai berikut

)t(x77.1D

1.77)t(xA2CD

A2C)t(xAD2C1

AD2C)t(x)D(H)D(G1

)D(G)t(y1

1

1

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

c. Respon transien

05.0eC)t(y

05.0)t(x77.1a77.1Kdte)t(xeKeC)t(yt77.1

atatat

+=

===+=

−

−− ∫

Dari kondisi awal, y(0)=0, diperoleh C=-0.05, sehingga )e1(05.0)t(y t77.1−−= Di bawah ini ditampilkan grafik input x(t) dan output y(t) terhadap waktu.

Input

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Waktu, t (sec)

Inpu

t, x(

t)

Respon Transien

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Waktu, t (sec)

Res

pon,

y(t)

x

y

+

-

e

21 e e y

ADC1

y +

-

x AD2C1


Metode Transformasi Laplace Cara lain untuk mencari jawab suatu persamaan diferensial adalah dengan metode transformasi Laplace. Transformasi Laplace mengubah suatu fungsi waktu f(t) menjadi F(s).

[ ] ∫∞

−==0

st dte)t(f)t(fL)s(F

[ ])t(fL dibaca sebagai “Transformasi Laplace dari f(t)” Contoh: Fungsi Tangga Satuan, u(t)

s1

sedte1dte)t(u)s(F

0

st

0

st

0

st =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−===

∞−∞−

∞− ∫∫

Fungsi Tangga, h(t)

sh

shedthedte)t(h)s(F

0

st

0

st

0

st =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−===

∞−∞−

∞− ∫∫

Transformasi Laplace dari berbagai fungsi waktu yang sering dijumpai dalam desain dan analisis sistem kontrol dapat dilihat pada tabel di bawah ini. Tabel 1: Transformasi Laplace

f(t) F(s)

Fungsi Impuls Satuan )t(δ 1

Fungsi Tangga Satuan 1)t(u = s1

Fungsi Tangga h)t(uh = sh

Fungsi Ramp Satuan t 2s1

Fungsi Eksponensial ate as1−

nt 1ns!n+

atnet ( ) 1nas!n

+−

Fungsi Sinus tsinω 22s ω+ω

Fungsi Cosinus tcosω 22ssω+

tsineat ω ( ) 22as ω+−

ω

tcoseat ω ( ) 22asasω+−

−


Tabel 2: Sifat-sifat Transformasi Laplace

Fungsi Waktu Fungsi s

)t(fk )s(Fk

)t(f)t(f 21 + )s(F)s(F 21 + )t(f ′ )0(f)s(Fs − )t(f ′′ )0(f)0(fs)s(Fs2 ′−− )t(f ′′′ )0(f)0(fs)0(fs)s(Fs 23 ′′−′−−

)at(f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

asF

a1

)t(feat )as(F − )tt(f 0− )s(Fe st0−

∫ λλ−λt

0

d)t(g)(f )s(G)s(F

Contoh 4: Tentukan transformasi Laplace dari t2e)t(y −= Penyelesaian:

Dari Tabel 1 diperoleh 2s

1)s(Y+

=

Contoh 5: Tentukan transformasi Laplace dari t2e1)t(y −+= Penyelesaian:

Dari Tabel 1, transformasi Laplace dari 1 adalah s1

dan transformasi Laplace dari t2e− adalah 2s

1+

Berdasarkan sifat-sifat transformasi Laplace dari Tabel 2 diperoleh 2s

1s1)s(Y

++=

Contoh 6; Tentukan transformasi Laplace dari t2e5)t(y −= Penyelesaian:

Dari Tabel 1, transformasi Laplace dari t2e− adalah 2s

1+

Kemudian dengan menggunakan Tabel 2 dapat diperoleh bahwa

transformasi Laplace dari t2e5)t(y −= adalah 2s

5)s(Y+

=


Contoh 7:

Tentukan y(t) jika diketahui 4s

3)s(Y+

=

Penyelesaian:

Dari Tabel 1, inversi transformasi Laplace dari 4s

1+

adalah t4e−

Kemudian dengan menggunakan Tabel 2 diperoleh t4e3)t(y −= Contoh 8:

Tentukan y(t) jika diketahui 4s

3s5)s(Y

++=

Penyelesaian:

Inversi transformasi Laplace dari s5 adalah 5

dan inversi transformasi Laplace dari 4s

3+

adalah t4e3 −

sehingga diperoleh t4e35)t(y −+= Contoh 9: Diketahui fungsi waktu )t(y . Tentukan transformasi Laplace dari )t(y′ dan )t(y ′′ Semua kondisi awal adalah nol. Penyelesaian: Transformasi Laplace dari )t(y′ adalah )s(Ys)0(y)s(Ys =− Transformasi Laplace dari )t(y ′′ adalah )s(Ys)0(yf)0(ys)s(Ys 22 =−− Apabila semua kondisi awal nol, 0)0(y)0(y)0(y)0(y =′′′=′′=′= , berlaku Transformasi Laplace dari )t(y′ adalah )s(Ys

Transformasi Laplace dari )t(y ′′ adalah )s(Ys2 Transformasi Laplace dari )ty ′′′ adalah )s(Ys3 dan seterusnya.

Karena )t(y′ dan )t(y ′′ dapat ditulis sebagai )t(Dy dan )t(yD2 , maka: Transformasi Laplace dari )t(Dy adalah )s(Ys

Transformasi Laplace dari )t(yD2 adalah )s(Ys2 Transformasi Laplace dari )t(yD3 adalah )s(Ys3 dan seterusnya.


Contoh 10:

Tulislah persamaan diferensial )t(x8)t(y4dt

)t(yd=+ dalam bentuk tertransformasi. Semua

kondisi awal adalah nol. Penyelesaian Persamaan diferensial tersebut dapat ditulis sebagai )t(x8)t(y4)t(yD =+ .

Transformasi Laplace-nya adalah )s(X8)s(Y4)s(Ys =+ atau )s(X4s

8)s(Y+

= .

Perhatikan bahwa persamaan diferensial semula dapat ditulis dalam bentuk notasi

operasional sebagai )t(x4D

8)t(y+

=

Maka, transformasi Laplace dari )t(x4D

8)t(y+

= adalah )s(X4s

8)s(Y+

= .

Dari pernyataan di atas terlihat bahwa transformasi Laplace dari suatu persamaan diferensial yang dituliskan dalam notasi operasional dapat dilakukan dengan mengganti semua operator D dengan variabel s. Fungsi Transfer, Fungsi Karakteristik dan Persamaan Karakteristik

Untuk sistem di atas, hubungan antara output dengan input dapat dinyatakan sebagai berikut:

)s(F)s(H)s(G1

)s(G)s(Yatau)t(f)D(H)D(G1

)D(G)t(y+

=+

=

)s(H)s(G1)s(G

+ disebut fungsi transfer

)s(H)s(G1+ disebut fungsi karakteristik 0)s(H)s(G1 =+ disebut persamaan karakteristik

G(s) dan H(s) dapat dinyatakan sebagai H

H

G

G

DN)s(H

DN)s(G == dan

Sehingga hubungan antara output dengan input dalam bentuk tertransformasi adalah

)s(FNNDD

DN)s(Y)s(F

DDNN1

DN

)s(YHGHG

HG

HG

HG

G

G

+=

+= atau

dan persamaan karakteristik sistem dapat dinyatakan sebagai : 0NNDD HGHG =+

+ -

G(D)

H(D)

f(t) y(t) + -

G(s)

H(s)

F(s) Y(s)


Contoh: Tuliskan hubungan antara output dengan input dan persamaan karakteristik untuk sistem di samping ini. Penyelesaian: Hubungan antara output dengan input:

)s(FKs12s7s

)3s(K)s(FK)3s()4s(s

)3s(K)s(F

)3s(1

)4s(sK1

)4s(sK

)s(Y 23 ++++

=+++

+=

+++

+=

Persamaan karakteristik: 0Ks12s7s 23 =+++ Teknik Ekspansi Pecahan Parsial Hubungan antara output dengan input umumnya berbentuk faktor atau perkalian Dalam mennyelesaikan suatu persamaan diferensial menggunakan metode transformasi Laplace, persamaan dalam bentuk faktor perlu diubah ke dalam bentuk penjumlahan. Teknik ekspansi pecahan parsial digunakan untuk mengubah persamaan dalam bentuk perkalian menjadi persamaan dalam bentuk penjumlahan.

Persamaan ( ) ( )21 pspsk)s(Y

++= dapat diubah menjadi ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2

2

1

1

psK

psK)s(Y

Dengan menggunakan teknik ekspansi pecahan parsial, konstanta K1 dan K2 diperoleh dari:

( ) ( ) ( )1ps

121

1 pspsps

kK−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++=

( ) ( ) ( )2ps

221

2 pspsps

kK−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++=

Contoh 11 Hubungan antara output dengan input suatu sistem pengaturan dinyatakan dengan

persamaan diferensial )t(x4D

8)t(y+

= . Tentukan respon transien-nya jika input berupa

fungsi tangga satuan, dan semua kondisi awal afdalah nol. Penyelesaian Untuk sistem ini, hubungan input dengan output dalam bentuk tertransformasi dapat

dituliskan sebagai )s(X4s

8)s(Y+

= . Karena input berupa fungsi tangga satuan, maka

s1

4s8)s(Y+

= .

Dengan teknik ekspansi pecahan parsial diperoleh s

K4s

K)s(Y 21 ++

= .

( ) 24

84ss1

4s8K

4s1 −=

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

−=

( ) 248s

s1

4s8K

0s2 ==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

=

s2

4s2)s(Y ++

−=

Transformasi balik menghasilkan 2e2)t(y t4 +−= −

+ -

F(s) Y(s)

( )4ssK+

( )3ss1+


xe

y

q

Beban

b b

Input

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Waktu, t (sec)

Inpu

t, x(

t)

Respon Transien

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Waktu, t (sec)

Res

pon,

y(t)

Contoh 12: Di samping ini adalah sebuah hydraulic servomotor yang mempunyai piston berdiameter 30 cm dan konstanta katup 1 m2/s. d. Gambarlah diagram bloknya dalam bentuk

tertransformasi e. Tentukan hubungan output Y(s) dengan input

X(s) f. Tentukan respon sistem jika ujung kiri batang

dengan sangat cepat digerakkan ke atas sejauh 5 cm

Penyelesaian:

a. Diagram blok

b. Hubungan output dengan input

)s(X77.1s

77.1)s(XA2Cs

A2C)s(XAs2C1

As2C)s(X)s(H)s(G1

)s(G)s(Y ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

c. Respon Transien

( )

( )

s05.0

77.1s05.0)s(Y

05.0ss05.0

77.1s77.1K

05.077.1ss05.0

77.1s77.1K

sK

77.1sK

s05.0

77.1s77.1)s(Y

0s2

77.1s1

21

++

−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

++

=+

=

=

−=

Transformasi balik menghasilkan ( )t77.1t77.1 e105.005.0e05.0)t(y −− −=+−=

Y(s) +

-

X(s)

sAC

2

y(t) +

-

x(t)

DAC

2


B K

M

f(t)

y(t)

DBB

f(t)

BDy Ky

M

1.2 Sistem Kontrol Linear Orde 2 Suatu sistem kontrol orde 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan diferensial berikut ini.

)t(f)t(yAdt

)t(ydA

dt)t(yd

A 012

2

2 =++ (3)

Sistem massa-peredam-pegas di bawah ini merupakan contoh sistem orde 2.

Gaya redaman sebanding dengan kecepatan dt

)t(yd sehingga )t(yDBdt

)t(ydBfd ==

Gaya pegas sebanding dengan perpindahan y(t): sehingga )t(yKfs = . Perhatikan bahwa arah fd dan fs berlawanan dengan arah perpindahan y(t). Kemudian dengan menerapkan Hukum Newton II dapat diperoleh:

2

2

dt)t(ydM)t(yK

dt)t(ydB)t(f

aMf

=−−

=∑

)t(f)t(yKdt

)t(ydBdt

)t(ydM 2

2

=++

Dalam notasi operasional persamaan diatas dapat ditulis sebagai

)t(fk)t(y)t(yD2)t(yD

)t(fM1)t(y

MK)t(yD

MB)t(yD

)t(f)t(yK)t(yBD)t(yMD

2nn

2

2

2

=ω+ωζ+

=++

=++

)t(fD2D

k)t(y 2nn

2 ω+ωζ+=

MK

n =ω Cn B

BM2B

=ω

=ζ nC M2B ω= . M1k =

Kemudian transformasi Laplace menghasilkan

)s(Fs2s

k)s(Y 2nn

2 ω+ωζ+=

Besaran nω disebut frekuensi natural, BC disebut koefisien redaman kritis, sedangkan ζ disebut rasio redaman, yaitu perbandingan antara koefisien redaman dengan koefisien redaman kritis.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++ 2nn

2 s2sk

ωωζ disebut fungsi transfer

0s2s 2

nn2 =ω+ωζ+ disebut persamaan karakteristik

y(t) : perpindahan f(t) : gaya eksitasi M : massa B : koefisien redaman K : konstanta pegas


Respon Sistem Orde 2 Terhadap Input Fungsi Tangga Satuan Akar-akar persamaan 0s2s 2

nn2 =ω+ωζ+ adalah:

( )1

2422

s 2nn

2n

2nn

2,1 −ζω±ωζ−=ω−ωζ±ωζ−

=

Untuk 1>ζ

1s 2nn2,1 −ζω±ωζ−=

1s 2nn1 −ζω+ωζ−= dan 1s 2

nn2 −ζω−ωζ−= (dua buah akar real yang berbeda)

Persamaan karakteristik 0s2s 2nn

2 =ω+ωζ+ dapat ditulis sebagai ( ) ( ) 0ssss 21 =−−

( )( )

( ) ( ) sK

ssK

ssK)s(Y

sssssk)s(Y

)s(Fs2s

k)s(Y

3

2

2

1

1

21

2nn

2

+−

+−

=

−−=

ω+ωζ+=

Dengan transformasi balik diperoleh respon sistem 3ts

2ts

1 KeKeK)t(y 21 ++=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2n210s21

3

222n212ss

221

2

222n121ss

121

1

kss

kssssss

kK

112

ksss

ksssssss

kK

112

ksss

ksssssss

kK

2

1

ω==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −ς−ς−−ςω

−=

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −ς+ς−−ςω

=−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=

=

=

=

Untuk 1=ζ

1s 2nn2,1 −ζω±ωζ−=

n21 ss ω−== (sebuah akar real yang berulang)

Maka persamaan karakteristik 0s2s 2nn

2 =ω+ωζ+ dapat ditulis sebagai ( ) 0s 2n =ω+

( )

( ) ( ) sK

sC

sC)s(Y

s1

sk)s(Y

)s(Fs2s

k)s(Y

1

n

12

n

2

2n

2nn

2

+ω+

+ω+

=

ω+=

ω+ωζ+=

Dengan transformasi balik diperoleh respon sistem 1

t1

t2 KeCetC)t(y nn ++= ω−ω−

Koefisien-koefisien diperoleh dari:


( )( )

( )( )

( )( )

( ) 2n0s

2n0s

2n

1

2ns

2ss

2n2

n1

nss

2n2

n2

ks

ksss

kK

ksk

sk

dsds

ssk

dsdC

ksks

sskC

nnn

nn

ω=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ω+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ω+=

ω−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω+

ω+=

ω−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω+

ω+=

==

ω−=ω−=ω−=

ω−=ω−=

Untuk 1<ς

bias1is

1s

2,1

2nn2,1

2nn2,1

±=

ς−ω±ως−=

−ςω±ως−=

biasbias 21 −=+= 22nn 1ba ζ−ω=ωζ−=

Persamaan karakteristik mempunyai sepasang akar kompleks Persamaan 0s2s 2

nn2 =++ ωωζ dapat ditulis sebagai ( )[ ] ( )[ ] 0ibasibas =−−+−

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] sK

ibasK

ibasK

)s(Y

sibasibask)s(Y

)s(Fs2s

k)s(Y

1CC

2nn

2

+−−′

++−

=

−−+−=

++=

ωωζ

Respon sistem diperoleh dengan transformasi balik sebagai berikut.

( ) 1at

z KbtsineKb1)t(y ++= φ

( ) ( )

( ) ( ) 2n0s

2nn

21

211

n22z

22ibasibas

2nn

22

nn2z

2nn

ksss2s

kK

1tan

abtandank

ba

kK

ba

kiba

ksks2s

ss2skK

1ba

ω=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ω+ωζ+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ζζ−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=φ

ω=

+=

φ∠+=

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ω+ωζ+

ω+ωζ+=

ζ−ω=ζω−=

=

−−

+=+=


RINGKASAN Suatu sistem orde 2 dapat dinyatakan oleh persamaan di bawah ini,

)s(Fs2s

k)s(Y 2nn

2 ω+ωζ+=

Jika F(s) merupakan fungsi tangga stuan, maka respon sistem adalah: a. Untuk 1>ζ (over damped)

( ) ( ) 2n

3212

2121

1

2nn2

2nn1

3ts

2ts

1

kKsss

kKsss

kK

1s1s

KeKeK)t(y 21

ω=

−−

=−

=

−ζω−ωζ−=−ζω+ωζ−=

++=

b. Untuk 1=ζ (critically damped)

2n

12n

1n

2

1t

1t

2

kKkCkC

KeCetC)t(y nn

ω=

ω−=

ω−=

++= ω−ω−

c. Untuk 1<ζ (under damped)

( )

2n

1

21

nz

2nn

1at

z

kK1

tankK1ba

KbtsineKb1)t(y

ω=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ζζ−

=φω

=ζ−ω=ζω−=

+φ+=

−

Contoh 13

Suatu sistem dinyatakan dengan )s(Fs2s

)s(Y 2nn

2

2n

ω+ωζ+

ω=

Frekuensi naturalnya adalah 10 s-1 dan F(s) merupakan fungsi tangga satuan. Tentukan respon sistem jika rasio redamannya adalah 0.1, 0.5, 0.8, 1.0, dan 1.2 Penyelesaian:

( )

( ) 147.1t95,9sine005.1)t(y

KbtsineKb1)t(y

1kK47.1abtan10kK

94987.91b1as100ks10

damped) (under1.0 Untuk

t

1at

z

2n

11

nz

2nn

21n

++=

+φ+=

=ω

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=φ=

ω=

=ζ−ω=−=ζω−===ω

=ζ

−

−

−−


( )

( ) 1047.1t66.8sine155.1)t(y

1kK047.1abtan10kK

66.81b5as100ks10

KbtsineKb1)t(ydamped) (under5.0 Untuk

t5

2n

11

nz

2nn

21n

1at

z

++=

=ω

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=φ=

ω=

=ζ−ω=−=ζω−===ω

+φ+==ζ

−

−

−−

( )

( ) 16447.0t6sine67.1)t(y

1kK644.0abtan10kK

61b8as100ks10

KbtsineKb1)t(ydamped) (under8.0 Untuk

t

2n

11

nz

2nn

21n

1at

z

++=

=ω

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=φ=

ω=

=ζ−ω=−=ζω−===ω

+φ+==ζ

−

−

−−

1eet)t(y

1kK1kC10kC

s100ks10

KeCetC)t(ydamped)y (criticall0.1 Untuk

t10t10

2n

12n

1n

2

21n

1t

1t

2nn

+−−=

=ω

=−=ω

−=−=ω

−=

==ω

++==ζ

−−

−−

ω−ω−

( ) ( )1e7.115e7.15)t(y

1kK7.115sss

kK7.15sss

kK

129.211s871.21s

s100ks10

KeKeK)t(ydamped) (over2.1 Untuk

t13.21t87.2

2n

3212

2121

1

2nn2

2nn1

21n

3ts

2ts

121

++−=

=ω

==−−

=−=−

=

−=−ζω−ωζ−=−=−ζω+ωζ−=

==ω

++==ζ

−−

−−

ζ=0.1

ζ=0.5

ζ=0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5


1.3 Sistem-sistem Orde Tinggi Secara umum, hubungan antara output dengan input pada suatu sistem kontrol dapat dinyatakan sebagai:

)t(f)D(L)D(L)t(y

n

m=

y(t): output atau respon system terhadap sinyal input f(t): sinyal input atau forcing function Apabila semua kondisi awal nol, maka setelah ditransformasikan dapat diperoleh:

)s(F)s(L)s(L)s(Y

n

m= )s(L)s(L

n

m⇒ disebut fungsi transfer

Fungsi F(s) dapat dinyatakan sebagai F

F

DN)s(F =

Sehingga )s(B)s(A)s(Y

D)s(LN)s(L)s(Y

Fn

Fm == atau

a. Jika B(s) dapat dinyatakan sebagai: )rs)......(rs()rs()s(B n21 −−−= , maka

persamaan B(s) =0 mempunyai n buah akar real berbeda (distinct roots)1.

b. Jika B(s) dapat dinyatakan sebagai: )rs)......(rs()rs()rs()s(B qn21q

−−−−−= , maka persamaan B(s)=0 mempunyai q buah akar real berulang (repeated roots) dan (n-q) buah akar real berbeda.

c. Jika B(s) dapat dinyatakan sebagai

[ ][ ] )rs)...(rs()rs()jba(s)jba(s)s(B 2n21 −−−−−−+−= , maka persamaan B(s)=0 mempunyai sepasang akar kompleks (complex conjugate roots) dan (n-2) akar real bebeda.

Secara umum, persamaan B(s)=0 dapat mempunyai n buah akar yang terdiri atas beberapa pasang akar kompleks + beberapa buah akar real berulang + beberapa buah akar real berbeda. Akar Real Berbeda

n

n

3

2

2

2

1

1

n321

rsK......

rsK

rsK

rsK)s(Y

)rs)......(rs()rs()rs()s(A

)s(B)s(A)s(Y

−++

−+

−+

−=

−−−−==

Setelah ditransformasi balik diperoleh respon sistem sebagai berikut:

trn

tr3

tr2

tr1

n321 eK......eKeKeK)t(y ++++=

Koefisien Ki diperoleh dari: irs

ii )s(B)s(A)rs(K

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=


Contoh: Suatu sistem pengaturan dinyatakan oleh persamaan diferensial berikut ini.

)t(f3D4D

3)t(y 2 ++=

Semua kondisi awal adalah nol. Carilah respon sistem jika input f(t) berupa fungsi step satuan. Penyelesaian:

( )

1)s()3s()1s(

3)s(K

5,0)s()3s()1s(

3)3s(K

5,1)s()3s()1s(

3)1s(K

sK

3sK

1sK

)s()3s()1s(3

s1

3s4s3)s(Y

0s3

3s2

1s1

3212

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+=

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+=

++

++

=++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=

=

−=

−=

Respon sistem terhadap input fungsi step satuan adalah:

1e5,0e5,1)t(yKeKeK)t(y t3t3

t32

t1 ++−=⇒++= −−−−

Akar Real Berulang

)rs(K

......)rs(

K)rs(

K)rs(

C)rs(

C......)rs(

C)rs(

C)s(Y

)rs)......(rs()rs()rs()s(A

)s(B)s(A)s(Y

qn

qn

2

2

1

11q

21q

1qq

q

qn21q

−

−−

−

−

−++

−+

−+

−+

−++

−+

−=

−−−−==

Dengan transformasi balik dapat diperoleh:

rs

qk

k

kq

rs

q2

2

2q

rs

q1q

rs

qq

trqn

tr2

tr1

rt12

2q1q

1qq

)s(B)s(A)rs(

dsd

!k1C

.)s(B)s(A)rs(

dsd

!21C

)s(B)s(A)rs(

dsdC

)s(B)s(A)rs(C

eK......eKeKeCtC......!)2q(

tC!)1q(

tC)t(y qn21

=

−

=

−

=−

=

−

−−

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

++++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−+

−= −


Contoh:

Suatu sistem dinyatakan oleh: )t(f4D4D

4)t(y 2 ++= dengan semua kondisi awal nol.

Carilah respon sistem terhadap input fungsi step satuan.

Penyelesaian:

( )

1)s()2s(

4)s(K

1)s()2s(

4)2s(dsdC

2)s()2s(

4)2s(C

sK

)2s(C

)2s(C

)s()2s(4

s1

4s4s4)s(Y

0s21

2s2

21

2s2

22

112

222

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=

−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++=

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++=

++

++

=+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++=

=

−=

−=


( ) ( ) 1e1t2)t(yKeCtC)t(y t21

t212 ++−=⇒++= −−

Akar Kompleks

[ ][ ]

)rs(K....

)rs(K

)rs(K

)jba(sK

)jba(sK)s(Y

)rs(....)rs()rs()jba(s)jba(s)s(A

)s(B)s(A)s(Y

2n

2n

2

2

1

1CC

2n21

−

−

−

−++

−+

−+

−−+

+−=

−−−−−+−==

Dengan transformasi balik dapat diperoleh:

tr2n

tr2

tr1

at 2n21 eK.....eKeK)bt(sinebk

)t(y −−++++α+=

[ ] [ ]

real sumbu dengan k vektor antarasudut

kor besar vekt

::k

)s(\B)s(A)jba(s)jba(sk

jbas

α

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−=

+=


Contoh:

Suatu sistem dinyatakan oleh: )t(f8D4D

8)t(y 2 ++= dengan semua kondisi awal nol.

Carilah respon sistem terhadap input fungsi step satuan.

Penyelesaian:

[ ][ ]

[ ][ ] [ ][ ]

[ ][ ] 188

8)0(4)0(8

)8s4s(8

)s()2j2(s)2j2(s8)s(limK

1358k

135813522

82j2

8s8limk

)s()2j2(s)2j2(s8)2j2(s)2j2(slimk

2b2as

K)2j2(s

K)2j2(s

K)s()2j2(s)2j2(s

8s1

8s4s8)s(Y

220s1

o

oo2j2s

2j2s

1CC2

==++

=++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+−−

=

−=α=

−∠=∠

=+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−+−−

−−−+−−=

=−=

+−−−

++−−

=−−−+−−

=++

=

→

+−→

+−→


1)135t2(sine28)t(yK)bt(sine

bk

)t(y ot21

at +−=⇒+α+= −

2 Stabilitas Sistem Karakteristik sebuah sistem ditentukan oleh persamaan karakteristiknya. Berikut ini diberikan contoh, bagaimana harga K pada sistem di samping ini akan memengaruhi karakteristiknya .

)s()Ks12s7s()3s(K)s(Y

)s(FKs12s7s

)3s(K)s(FK)3s()4s(s

)3s(K)s(F

)3s(1

)4s(sK1

)4s(sK

)s(Y

23

23

++++

=

++++

=+++

+=

+++

+=

:maka satuan, step fungsi berupainput Jika

:input denganoutput antara Hubungan

3e13.0e63,3e5,0)t(y

3K13,0K63,3K5,0Ks

K562,4s

K438,0s

K2s

K)s(Y

)s()562,4s()438,0s()2s()3s(4

)s()2s5s()2s()3s(4

)s()4s12s7s()3s(4)s(Y

4K

t562,4t438,0t2

43213321

223

++−=

==−==⇒++

++

++

=

++++

=+++

+=

++++

=

=

−−−

: Untuk


3e17.0e)46,1t78,2()t(y

3K17,0K46,1C78,2Cs

K7370,4s

K)1315,1s(

C)1315,1s(

C)s(Y

(s))7370,4(s)1315,1(s)3(s0646,6

(s))0646,6s12s7(s)3(s0646,6Y(s)

0646,6K

t737,4t1315,12121

2112

2

223

+++−=

==−=−=⇒

++

++

++

=

+++

=++++

=

=

−−

: Untuk

3e24,0)32,0t(sine25)t(y

3K24,0Krad32,053,5725k1b1a

sK

5sK

)1j1(sK

)1j1(sK)s(Y

)s()5s()]1j1(s[)]1j1(s[)3s(10

)s()5s()2s2s()3s(10

)s()10s12s7s()3s(10)s(Y

:10K

t5t

21O

21CC

223

++π+=

==π==α==−=⇒

++

+−−−

++−−

=

+−−−+−−+

=+++

+=

++++

=

=

−−

Untuk

3e79,0)373,0t12(sin11,4)t(y

3K79,0K23,14krad373,022,6712b0a

sK

7sK

12jsK

12jsK)s(Y

s)7s()12js()12js()3s(84

s)7s()12s()3s(84

s)84s12s7s()3s(84)s(Y

:84K

t7

31O

21CC

223

++π−=

===π−=−=α==⇒

++

++

+−

=

++−

+=

+++

=+++

+=

=

−

Untuk

3e4,1)3

t31(sine21,5)t(y

3K4,1K29krad3

6031b1a

sK

9sK

31j1(sK

31j1(sK

s)9s()]31j1(s[)]31j1(s[)3s(270)s(Y

s)9s()30s2s()3s(270

s)270s12s7s()3s(270)s(Y

:270K

t9t

21O

21CC

223

++π

−=

===π

−=−=α==⇒

++

+−−

++−

=+−−+−

+=

++−+

=+++

+=

=

−

Untuk

Di bawah ini diperlihatkan grafik respon sistem untuk berbagai harga K. Untuk harga K yang rendah respon sistem masih berupa fungsi eksponensial. Untuk harga K=10 respon sistem sudah berbentuk sinusoidal teredam. Untuk K < 84, suku sinusoidalnya mengalami peredaman, amplitudonya terus berkurang hingga mencapai nol pada keadaan stedi. Untuk harga K=84 sistem mulai tidak stabil karena suku sinusoidal tak mengalami peredaman (amplitudonya konstan). Untuk harga K > 84, sistem sudah tak stabil karena outputnya akan membesar terus menerus


Respon Sistem Terhadap Fungsi Step Satuan Untuk Berbagai Harga K

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Waktu, t [sec]

Out

put,

y(t

)

K=4

K=6.1

K=10

K=15.5

K=36.5

K=84

K=55.3

3. Kriteria Stabilitas dari Routh Secara umum, persamaan karakteristik suatu

sistem pengaturan dapat dinyatakan dalam bentuk:

0bsbsb.....sbsbsb 012

22n

2n1n

1nn

n =++++++ −−

−−

Dari persamaan karakteristik tersebut dapat dibentuk Routh Array sebagai berikut:

1

1

21

21

321

4321

7n5n3n1n

6n4n2nn

0

1

2

3

3n

2n

1n

n

h0g

0ff0ee

.....ddd.....cccc.....bbbb.....bbbb

ssss

ssss

−−−−

−−−

−

−

−

Koefisien-koefisien ci, di, ei, dst. diperoleh dari:

....dst

.....c

cbbcdc

cbbcd

ccbbc

d

.....b

bbbbc

bbbbb

cb

bbbbc

1

41n7n13

1

31n5n12

1

21n3n11

1n

7nn6n1n3

1n

5nn4n1n2

1n

3nn2n1n1

−−−−−−

−

−−−

−

−−−

−

−−−

−=

−=

−=

−=

−=

−=

Misalkan diketahui persamaan karakteristik: 05s4s3s2s 234 =++++


05s06s

051s042s

0531s:ArrayRouth

0

1

2

3

4

−

Kriteria Routh menyatakan bahwa jumlah pergantian tanda pada kolom pertama sama dengan jumlah akar persamaan karakteristik yang berada di sebelah kanan sumbu imajiner. Pada contoh ini terdapat dua kali pergantian tanda pada kolom pertama yang berarti terdapat dua buah akar di sebelah kanan sumbu imajiner dan karenanya sistem tidak stabil.

⇒ Agar sistem stabil, maka tidak boleh ada pergantian tanda pada kolom pertama Routh Array


Contoh 4.1:

Untuk sistem di atas, tentukanlah batas-batas harga K agar sistem stabil

Penyelesaian: Dari diagram blok dapat diperoleh hubungan antara output dengan input sebagai berikut.

)s(FKs4s

K)s(FK)4s(s

K)s(F

)4s(sK1

)4s(sK

)s(Y 2 ++=

++=

++

+=

Persamaan karakteristik: 0Ks4s2 =++

Routh Array: 0Ks

004s0K1s

0

1

2

Sistem akan stabil apabila semua akar persamaan karakteristik terletak di sebelah kiri sumbu imajiner. Agar semua akar-akar persamaan karakteristik terletak di sebelah kiri sumbu imajiner, maka tidak boleh ada pergantian tanda pada kolom pertama Routh Array. Hal ini dapat dipenuhi jika K > 0.

)4s(sK+

F(s) Y(s) +

-


Contoh 4.2: Untuk sistem di bawah ini tentukanlah batas-batas harga K agar sistem stabil

Penyelesaian: Hubungan antara output dengan input:

)s(FKs12s7s

)3s(K)s(FK)3s()4s(s

)3s(K)s(F

)3s(1

)4s(sK1

)4s(sK

)s(Y 23 ++++

=+++

+=

+++

+=

Persamaan karakteristik: 0Ks12s7s 23 =+++

Routh Array:

Ks

07

K84s

0K7s

0121s

0

1

2

3

−

Dari baris ke tiga diperoleh : 84K07

K84<>

−atau

Dari baris ke empat diperoleh : 0K >

Agar sistem stabil maka : 84K0 <<

4. Metode Tempat Kedudukan Akar (Root Locus Method) Root locus berarti tempat kedudukan akar-akar. Metode rot locus digunakan untuk me

F(s) Y(s) )4s(s

K+

)3s(1+

+

-

Documents

Respon Sistem Kontrol - iwan_s.staff.gunadarma.ac.idiwan_s.staff.gunadarma.ac.id/...Sistem_Kontrol.pdf · Respon Sistem Kontrol Bambang Ariantara Jrusan Teknik Mesin Fakultas Teknik