Rjesavanje Istosmjernih Kola_05

8/12/2019 Rjesavanje Istosmjernih Kola_05

http://slidepdf.com/reader/full/rjesavanje-istosmjernih-kola05 1/23

ISTOSMJERNE STRUJE 3

ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA



Analiza linearnih električnih mreža

• Rješavanje linearnih mreža

– Postoji više metoda, a sve se temelje na

• I Kirchhofovom zakonu

• II Kirchhofovom zakonu

• Ohmovom zakonu

• Ohmovom zakonu za dio strujnog kruga

• Medode rješavanja ovise o broju nepoznanica i konfiguraciji

mreže

– Izravna primjena Kirchhoffovih pravila

– Metoda napona čvorova

– Metoda konturnih struja

– Metoda superpozicije

– Theveninov teorem

– Nortonov teorem

– Millmanov teorem

– pretvorba zvijezda - trokut




• Izravna primjena Kirchhoffovih zakona

– Električka mreža sastoji se od g grana i č čvorova

– Općenito u mreži su struje nepoznate – Prema Kirchhoffovim zakonima postavljaju se jednadžbe koje sadrže

nepoznanice

• Jednadžbe se postavljaju za čvorove prema I Kirchhoffovom zakonu i

za konture (zatvorene petlje) prema II Kirchhoffovom zakonu

• Potrebno je postaviti g jednadžbi s g nepoznanica da bi se sustav

jednadžbi mogao riješiti

• Postupak

– pretpostave se smjerovi struja za svaku granu u mreži (g – broj grana)

• odaberu se čvorovi (č –broj čvorova) i postave jednadžbe prema I

Kirchhoffovom zakonu – ako je u mreži č čvorova potrebno je postaviti č - 1 nezavisnih jednadžbi

• proizvoljno se odabiru konture (zatvorene petlje) i postave jednadžbeprema II Kirchhoffovom zakonu

– potrebno je postaviti još n = g – (č – 1) nezavisnih jednadžbi

• rješava se sustav g jednadžbi s g nepoznanica i dobivaju se struje svih grana u

mreži





• - primjer

• Zadano: R1=4Ω, R2=6Ω, R3=5Ω, R4=1Ω,

R5=2Ω R6=10Ω, R7=3Ω, E1=12V, E2=4V,

E4=12V, E5=10V

I1

I2

I6

I4 I5

I3

pretpostavka smjera struja

odabir čvorova: a,b,c

odabir kontura

0 ačvor 321 =−−→ I I I

0 bčvor 461 =+−−→ I I I

0 cčvor 542 =−−→ I I I

0 1kontura 31441151 =−−−−−→ R I R I R I E E

0 2kontura 55632325 =+−−+→ R I R I R I E E

0 3kontura 5544764 =−++→ R I R I R I E

1 2

3





• - primjer

• Zadano: R1=4Ω, R2=6Ω, R3=5Ω, R4=1Ω,

R5=2Ω R6=10Ω, R7=3Ω, E1=12V, E2=4V,

E4=12V, E5=10V

I1

I2

I6

I4 I

5

I3

1 2

3

sustav 6 jednadžbi s 6 nepoznanica

rješenje sustava jednadžbi - struje grana

0321 =−− I I I

0461 =+−− I I I

0542 =−− I I I

51314411 E E R I R I R I −−=++

25556323 E E R I R I R I +=−+

4554476 E R I R I R I =+−−

uvrste se poznate vrijednosti

0321 =−− I I I

0461 =+−− I I I

0542 =−− I I I

229 41 −=+ I I

14216 53 =− I I

1232 654 =−+− I I I

A I I

A I A I

A I A I

2 ;1

;4 ;1

;3 ;2

65

43

21

−==

−==−=−=

negativna vrijednost struje znači da je

pravi smjer struje suprotan od

pretpostavljenog




• Metoda napona čvorova

– temelji se na određivanju potencijala čvorova u linearnoj mreži

– POSTUPAK:• u mreži se odabere jedan čvor kao referentni i dodijeli mu se potencijal

nula

– naponi svih ostalih čvorova prema referentnom čvoru jednaki su njihovimpotencijalima

• struja grane može se izraziti iz Ohmovog zakona za dio strujnog kruga

– tako izražene struje grana uvrštavaju se u jednadžbe prvog Kirchhoffovogzakona

• rješavanjem sustava jednadžbi dobivaju se potencijali čvorova u mreži • iz dobivenih potencijala računaju se struje




• Metoda napona čvorova - primjer

ab E R I R I ϕ ϕ =−−− 11131

referentni čvor c → ϕ C =0V

iz Ohmovog zakona za dio strujnog

kruga izraze se struje

31

11

R R

E I ab

+

−−=

ϕ ϕ

bc R I ϕ ϕ =− 44

4

4

R

I bc ϕ ϕ −=

d a R I R I E ϕ ϕ =−−+ 63232

62

2

3 R R

E

I d a

+

−+

=

ϕ ϕ

d c R I ϕ ϕ =− 55

5

5

R I d c ϕ ϕ −

−=

d b E R I ϕ ϕ =−− 476

7

4

6 R

E

I

d b ϕ ϕ −−

=

(I1)

(I3)

(I4)

(I5)

(I6)

(I2) 312 I I I −=

R2

E2E1

R1

R3

R4 R5

R7

E5

E4

a

bc d

I1

I2

I6

I4 I5

I3

R3

E1

R1 a

b

I1

R2

E2

R6

a

d

I3R4

bc

I4

R5

I5 dc

b

R7 E4

d

I6





struje se uvrštavaju u jednadžbe za čvorove prema I Kirchhoffom zakonu

31

1

1 R R

E I

ab

+

−−

=

ϕ ϕ

7

4

31

1

317431 7

11111 R E

R R E

R R R R R R R d ab +

+=−

+−

++

+ ϕ ϕ ϕ

4

4 R I

bc ϕ ϕ −

=

62

2

3 R R

E I d a

+

−+=

ϕ ϕ

5

5 R

I d c ϕ ϕ −−=

7

46 R

E I d b

ϕ ϕ −−=

(čvor b)

312 I I I −=

0461 =+−− I I I

(čvor d) 0653 =++ I I I

struje se uvrštavaju u jednadžbe za čvorove prema I Kirchhoffom zakonu

7

4

62

2

6275627

11111

R

E

R R

E

R R R R R R R ad b −

+=

+−

++

++− ϕ ϕ ϕ





rješavanjem tih jednadžbi uz ϕ a=E 5 =10V jer je ϕ c =0V dobivaju se potencijali čvorova

A231

11 −=

+−−= R R

E I ab ϕ ϕ

7

4

31

1

317431 7

11111

R

E

R R

E

R R R R R R R d ab +

+=−

+−

++

+ ϕ ϕ ϕ

A44

4 −=−= R

I bc ϕ ϕ

A162

23 =

+

−+=

R R

E I d a ϕ ϕ

A15

5 =−

−= R

I d c ϕ ϕ

A27

46 −=−−=

R E I d b ϕ ϕ

A3312 −=−= I I I

uvrštenjem potencijala u izraze za struju dobijaju se struje

7

4

62

2

6275627

11111

R

E

R R

E

R R R R R R R ad b −

+=

+−

++

++− ϕ ϕ ϕ

V b 4=ϕ

V d 2−=ϕ




• Metoda konturnih struja

– Struje svih grana u mreži mogu se izraziti preko struja nezavisnih kontura

– POSTUPAK:• odabere se proizvoljno n = g - č + 1 nezavisih kontura

• odabere se po volji smjer konturnih struja

• za svaku konturu napiše se jednadžba prema II Kirchhoffovom zakonu

– za konturu k

k – konturna struja konture k

R kk – vlastiti otpor konture (zbroj svih otpora u konturi)

j – konturna struja konture j

R kj – zajednički otpori konture k i konture j

E kk – ukupna suma naponskih izvora u konturi k

• rješava se sustav n jednadžbi sa n nepoznanica da bi se dobile vrijednosti

konturnih struja

• struje u pojedinim granama dobivaju se superpozicijom konturnih struja

kk

n

k j j

kj jkk k E R R =ℑ+ℑ ∑≠=1




• Metoda konturnih struja - primjer

( ) 51433411

E E R R R R −−=ℑ−++ℑ

na shemi odabrane konture i smjerovi

konturnih struja - jednadžbe

( ) 25536522

E E R R R R +=ℑ−++ℑ

( ) 475435241

E R R R R R =++ℑ+ℑ−ℑ

rješavanjem jednadžbi dobiju se

konturne struje

221031

−=ℑ−⋅ℑ

1451832

=⋅ℑ−⋅ℑ

1262321

=⋅ℑ+⋅ℑ−ℑ

A21 −=ℑ

A12 =ℑ

A23 =ℑ

struje grana superpozicijom konturnih struja

A I 211 −=ℑ=

A I 123

=ℑ=

A I 1235

=ℑ−ℑ=

A I 3212

−=ℑ−ℑ=

A I 4314

−=ℑ−ℑ=

A I 236

−=−ℑ=

I1

I2

I6

I4 I5

I3



• Metoda superpozicije

– U linearnoj mreži u kojoj ima više izvora struja grane jednaka je zbroju svihstruja koje bi u toj grani proizveli pojedini izvori

– POSTUPAK:

• odredi se grana gdje se traži struja

• ostavi se samo jedan izvor koji daje doprinos, a ostali se uklone

– naponski se kratko spoje, a strujni odspoje time da se njihovi otpori

ostave priključeni

• izračuna se doprinos tog izvora

• ponavlja se postupak dok se ne izračunaju doprinosi svih izvora

č ž




• Metoda superpozicije - primjer

• Zadano: R1=2 Ω, R2=3 Ω,R3=4 Ω, R4=5Ω, R=1 Ω ,

E1=12 V, E2=12 V, Ik=10 A

traži se struja kroz otpor R

( )Ω=++

++

+= 8

31

24

24 R R

R R R

R R R R

uk

I) ostavlja se naponski izvor E 1

A R

E I

uk

5.11

1 ==- struja izvora

( ) ( ) A

R R

R R I E I

I

R 5.0

4

3111=

+

+−=

- doprinos izvora E1 struji kroz otpor R

A li li ih l kt ič ih ž




• Metoda superpozicije- primjer

( )( )Ω=++++

++

= 62

431

314

R R R R R

R R R R

Ruk

II) ostavlja se naponski izvor E 2

A R

E I

uk

22

2 ==- struja izvora

( ) A

R R

R I E I

II

R 1

4

222=

+

−=

- doprinos izvora E 2

struji kroz otpor R





• Metoda superpozicije- primjer

Ω=

+++

+=

1

3

21111

3124 R R R R R R

uk

III) ostavlja se strujni izvor I k

( ) A

R R

R I I uk

k

III

R 5.2

4

=+

=

- doprinos izvora I k

struji kroz otpor R

( ) ( ) ( ) A I I I I

III

R

II

R

I

R R 1=+−−=

Ω= 5.1uk

R

ukupna struja kroz otpor R – superpozicija

struja- pretpostavit će se da je pozitivan smjer

struju prema dolje, pa se sukladno dobivenim

smjerovima piše jednadžba





• Theveninov teorem

– Struja kroz neki otpor R linearne mreže može se odrediti tako da se cijelapreostala mreža od stezaljki otpora nadomjesti jednim naponskim izvorom

unutarnjeg napona E T i unutarnjeg otpora R T • E T - Theveninov napon je napon praznog hoda na otvorenim stezaljkama a i b

• R T - unutarnji otpor između stezaljki a i b kad je odspojen otpor R, adjelovanje svih izvora uklonjeno (naponski se kratko spoje, a strujni odspoje)

R R

E I

T

T R

+=





• Nortonov teorem

– Struja kroz neki otpor R linearne mreže može se odrediti tako da se cijelapreostala mreža od stezaljki a i b nadomjesti jednim strujnim izvorom struje I k

i unutarnje otpora R T • I k – Nortonova struja jest struja kratkog spoja stezaljki a i b, a određuje se

tako da se umjesto otpora R napravi kratki spoj između stezaljki a i b

• R T - unutarnji otpor između stezaljki a i b kad je odspojen otpor R, adjelovanje svih izvora uklonjeno (naponski se kratko spoje, a strujni odspoje)

R R

R I I

T

T k R

+=





• Pretvorba trokut – zvijezda

– primjenjuje se kad pretvorbom dolazi do pojednostavljenja mreže

TROKUT ZVIJEZDA

312312

1231

1

R R R

R R R

++

⋅=

312312

2312

2

R R R

R R R

++

⋅=

312312

3123

3

R R R

R R R

++

⋅=

ZVIJEZDA TROKUT

3

21

2112

R

R R R R R ⋅

++=

1

32

3223

R

R R R R R ⋅

++=

2

13

1331

R

R R R R R ⋅

++=







• Rješavanje mreže postupnom

pretvorbom izvora - primjer

• Zadano: R1=1Ω, R2=1Ω, R3=2Ω,

R4=2Ω,, E1=12V, E2=12V, E3=12V,E4=24V, RT=8,5Ω

• Traži se struja kroz RT

A R

E I 12

2

6

1

1

1 ===

A R

E I 12

1

12

2

2

2 ===

A R

E I 6

2

12

3

3

3 ===

A R

E I 12

2

24

4

4

4 ===

transformacija naponskih izvora u strujne

(unutrašnji otpori ostaju isti)





A I I I 242112

=+=

Ω=+

=2

1

21

21

12

R R

R R R

spajanje paralelno spojenih strujnih izvora

A I I I 64334

=+−=

Ω=

+

= 1

43

43

34

R R

R R R





V R I E 12121212

==

pretvorba strujnih u naponske izvore

V R I E 6343434

==





V E E E 183412 =+=

spajanje naponskih izvora

Ω=+=2

3

3412 R R R

struja kroz otpor R T

A R R

E I

T

8.1=+

=

Documents

Rjesavanje Istosmjernih Kola_05