1. szamitasa

1-14

Rugalmas tigyaztisu lemezek

Azokat a rugalmas lemezeket, amelyek kozvetlenul a talajra fekszenek fol, az egyszeriiskg kedvC6rt ugy szoktuk vizsgalni, hogy olyan alatamaszthsuk van, amely maga is rugalmas viselkedCsu. Ez persze a talajok viselkedCs6nek nagyon eros idealizalasat jelenti, ezirt a lemez igCnybev6teleinek vizsgalathal nagy koriiltekintCsse1 kell a valcjsagos megthmasztasi viszonyokat mkrlegelniink, de ebben a fejezetben a cklunk nem a talajok rugalmast61 eltCro viselkedCsCnek a taglalasa, csupan az, hogy milyen egyszeru modok vannak arra, hogy a folytonos megthasztasnak a lemez alakvaltozasait61 ftiggo

feIvCtele. Ez az elj&-as azon a feltCtelezCsen alapul, hogy a lemez sikjasa meroleges p feluleti teherrel terhelt lemezre a felfekvksi feluleten ugyancsak a lemez sikjara meroleges q megoszl6 agyazati reakci6 hat, amely minden pontban arhyos az ottani lemezlehajlassal, de i rhya azzal ellentetes. Ha az agyazati feszultsCg CS a lehajlas arbyat egy C-vel jelolt 6.n. agyazhsi tdnyezovel vesszuk fel, a lemezen hajitast okozd teher minden pontban a p feluleti teher CS a q agyazasi seakci6 p-q kulonbs4ge, azaz p-Cw nagysagu. Ennek megfeleloen az alland6 vastagsagu izotrdp lernezek kis lehajlasainak j61 ismert differencialegyenlete az alabbiak szerint modosul:

KAAw = p - Cw,

vagy az ismeretlen lehajlast tartalmazd tagokat az egyenlet bal oldalh csoportositva

A Winkler-fele agyazas feltCtelezCs6nek nagy elonye, hogy az eredeti differential- egyenlet lathatoan csekCly modositasaval figyelembe veheto a mgalrnas megtamasztas hatasa. Nem szabad azonban szem elol tkveszteni, hogy C nem egyszerii talajfizikai allando, hanem olyan s z h , amelyet a talajfizikai jellemzok 6s a vizsghlt lemez meretknek, arbyainak egyiittes mCrlegelCse alapjh kell felvenni.

Ennek a fejezetnek a vdgdn egy korfeluleten miikodo F ero alatti elmozdulas vizsgalata kapcsb megmutatjuk, hogy az elmozdulas alapjan ,,visszaszhithat6" egy C agyazasi tknyezo, amely egyenesen arhyos a talaj M osszenyomodasi modulusaval 6s forditva arhyos a vizsgalt kor sugaraval. Hason16 vizsgalatokon alapul az a javaslat, amely tobb helyen olvashat6 C felvCtel6re:

ahol M az altalaj osszenyomodasi modulusa, b a terhelt tartomimy jellemzo szelesskge, f pedig a tartornany b szelesskge 6s h hosszusaga aranyanak figyelembev6tel6vel felvett szorzo. Ennek erteke b/h << 1 (azaz hosszu savok) esetCn 2.0, b/h=l esetCn 1.5, kor alaku tartomany eseten 4/n. NChhy talaj jellemzo osszenyom6dasi modulusa 106 ~/m'-ben: szilhrd (pl. kiscelli) agyag 15-20, agyagos iszap 20-40, homokliszt, losz 30-50, homok 50- 100, kavicsos homok 100-1 50, durva kavics 200-300.

A rugalmas agyazas hatashak figyelembevktelevel mcidositott differencialegyenlet peremfeltkteleit ugyanazokkal a megfontolasokkal vehetjiik fel, mint az agyazatlan lemezek esetkn. A differencialegyenlet megoldasara is jorkszt azok a megoldasmodszerek alkalmazhatok, amelyeket agyazatlan lemezek esetkre kidolgoztak. A nkgy peremen szabadon feltamaszkodb tkglalaplemez Navier-fkle megoldasat ado kettos trigonometrikus sor egyutthatbi pl. egyetlen, az egyiitthat6 nevezojkbe keriilo tag elhelyezkskvel atirhat6k a rugalmas agyazasu lemez megoldasava, (ilyen perernkialakitasu alaplemezt persze elkg nehkz a val6sagban talalni,) a numerikus rnodellek W-re vonatkoz6 linekis egyenletrendszerknek egyutthatomatrixa is egy egyszerii diagonalmatrix hozzhadasaval atirhat6 a rugalmas agyazasu lemez hason16 szerepu matrixavd, stb.

A kkt differencialegyenlet hasonlosaga ellenkre lknyegi eltkrksek is vannak e differencihlegyenletek megoldasaiban, sot a megoldhat6shgaban is. Az eltkrks alapveto oka az, hogy az 6gyazAsi reakcio akkor is biztositja a lemezre hat6 erok egyensulyat, ha a peremeken sehol nem irunk elo mozgaskorlatoz~st, ezkrt - szemben az agyazatlan lemezekkel - a rugalmas agyazasu lemez lehajlasaira vonatkoz6 differencialegyenletnek rninden mechanikailag krtelmezheto peremfeltktel-rendszer esetkn matematikailag hatarozott megoldasa van.

a ,, Egyirdnyban teherviselo"" rugalmas dgyazds6 lemezek A rugalmasan agyazott lemezek vizsgalathal is nagyon hasznos vkgiggondolni,

milyen egyszeriisitkst tesz lehetovk az ,,egyirhyban teherviselo" lemezeknkl alkalmazott feltktelezks, azaz hogy a terhek CS a lemez alakv~ltozasai a lemez tulnyom6 rkszkn az x,y koordinatarendszernek csak az egyik valtozojatit61 fuggnek. Ha ez az X i rhy, akkor a csak X-to1 fuggo w(x) lehajlas differencialegyenlete a rugalmas agyazasu gerendrikkval analog

kozonskges differencia1egyenlen-C egyszeriisodik, amelyhez a lemeznek az y tengellyel parhuzamos peremein kkt-kkt peremfeltktelt kell kapcsolnunk.

A legtobb gyakorlati problkmhal egyszerii olyan fiiggvknyt talalni, amely kielkgiti ezt a differencialegyenletet, de olyat, amely egyszersmind a peremfeltkteleket is teljesiti, sokkal ritkabban talalunk. A teljes megoldast ezkrt az ismert mcidon

W= Wlnh + Whom

alakban, azaz az inhomogkn differencialegyenlet egy partikulhis megoldasanak 6s a homogkn egyenlet altalhos megoldashak osszegekknt allithatjuk elo. Az inhomogkn partikulkis megoldas biztositja azt, hogy a differencialegyenlet teljesiiljon, a homogkn megoldhsok ezt ,,nem rontjak el", viszont lehetoskget adnak arra, hogy a teljes megoldas a peremfeltkteleket is kielkgithesse.

Az inhomoge'n partikuldris megoldds Egyszerii behelyettesitkssel ellenorizhetjiik, hogy inhomogkn partikularis rnegoldas

a

hap konstans, vagy X-nek legfeljebb hannadfoku fiiggvknye.

I

Egyenletesen megoszlrj, vagy linekisan vdtozrj teher esetkn a w,,h a lernez olyan merevtest-szerii elmozdulasat ttrja le, arnelynek soran a lemezben sem nyomatek, sem nyir6ero nem keletkezik, vagyis a terhek valtozatlan eloszl8ssal jutnak a rugalmas agyazatra.

Egyszerii behelyettesitkssel meggyozodhetiink arr61 is, hogy az l sztlesstgii -.

lemezen p(x)=p,sin(nm/Z) eloszlast mutat6 teherfiiggvenyhez a

inhomogen partikularis megoldas valaszthat6.

Ezt az osszefiggest tagonktnt alkalmazva altalanos alakup(x) tehereloszlas esettn is

talalhatunk inhomogen partikulkis megoldast oly modon, hogy a teherfuggvenyt Fourier-sorba fejtjiik:

A homoge'n dltaldnos megoldds A homogtn hltalhos rnegoldht a w=eh exponencialis pr6bafiiggvtny alapjh felirt

K,?~+c = 0 hianyos negyedfokh karakterisztikus egyenlet megoldasa iitjan Bllithatjuk el6:

ahol

a csillapitdsi te'nyez6nek nevezett paramkter. Mind a nkgy fuggveny exponencialisan valtozo amplitudoju hullAmvonalat ir le, az elso ketto olyat, amely X novekvo ertekei irhyaban, a harmadik es negyedik olyat, amely X csokkeno ertkkei iranyaban mutat eros csillapodast.

A 0 < X I l tartomanyban fekvo lemezsav vizsgalatahoz cklszeriibb a homogen altalrinos megoldast

peremtol az x=O perern felk ugyanolyan csillapodast mutatnak, amilyet az elso fuggvknyphr altal leirt hullamvonalak az x=O peremtol az x=l perem felk, igy a figgvknyek viselkedkse a peremekndl jellegzetesen elkulonul. A megoldas-komponensek szktvAlaszthatbsAghak a mechanikai CrtelmezCse az, hogy a szkles 1emezsAvokon a peremkknyszerek hatasa lokblis, azaz peremzavar-jellegii, mivel csak a perem korlatozott szklesskgii savjaban m6dositja figyelembe veendo mkrtekben a w,,h partikularis megoldas altal leirt alakvaltozast 6s igknybevkteleket. A peremzavar altal krintett sav szklesskgkre vonatkozoan a k tknyezo reciproka ad tajkkoztatast. Ez egy tavolsag, arnely osszemkrheto a peremek l tavolsagaval. A k6t tavolsag arhyat a kl szorzat adja. Ha kl>>l, (a gyakorlati szamitasokban kl > 2 ~ 6 ) az eros csillapodas miatt az x=O helytol indulo hul lhzas az x=l perem kornyezetkben m& teljesen elcseng, ugyanigy x=l helytol indul6 hullamzas az x=O perem kornyezetkben. Ilyenkor a lemezt a vizsgalat szempontjab61 sze'les lemezsdvnak tekinthetjiik. Ez annyiban egyszeriisiti a vizsgalatot, hogy az x=O peremen allitando peremfeltkteleket elegendo a

1

rkszmegoldasra, az x=l peremen allitando peremfeltkteleket pedig a

rkszmegoldasra ertelmezni. Termkszetesen a lemeznek azokon a helyein, amelyek

c q4= COS kx e k - sin

I mindkkt peremtol nagyobb d tavolsagban fekszenek, mint 6/k, semrni Crtelme sincs annak, hogy a teljes megoldast az inhomogCn partikulkis megoldastol kulonbozonek tekintsuk, sot, a gyakorlatban legtobbszor elCg az Ilk hossz 2-3-szorosat a peremzavar aka1 Crintett z6n6nak tekinteni.

A homogCn megoldasok gyakorlati alkalmazasat tetemesen megkonnyiti az egyszerii alaku megoldastipusok mechanikai CrtelmezCse. Ennek 6rdekCben be szoktak vezetni az abran lathat6 tipusmegoldasokat.

Az q 1 tipusmegoldas egy fClvCgtelen lemezsav olyan lehajlasat adja, amely a perernen egysdgnyi nagysagu eltol6dast okoz6 perernerohoz tartozik. Ennek a peremeronek a nagysaga kozvetleniil visszasz~ithato abbol a megfontolasbol, hogy a nyiroero erteke a peremen pontosan a peremteher ertekevel azonos. kepezve tehrit a lehajlasftiggveny harmadik derivaltjanak a felhasznalasaval a nyir6ero peremertCkCt, azt kapjuk, hogy a tipusmegoldashoz tartozo peremero nagysaga ~ = 2 ~ k 3 .

Az q2 tipusmegoldas a lemezsiiv olyan lehajlasat adja, amely a csuklosnak feltktelezett peremen miikodo, egysCgnyi nagysagu elfordulast okoztt peremnyomatCkhoz tartozik. A visszaszamolt peremnyomatek CS peremnyirciero nagysaga M=2Kk2, ill. ~ = 2 K k ? .

Az q3 tipusmegoldas a lemezsav olyan lehajlasat adja, amely a befogottnak feltetelezett egysegnyi eltol6d6sakor jon 1Ctre. A visszaszholt peremnyomatCk CS peremnyiroero nagysaga M=~KI?, ill. ~ = 4 K k ?

Az q4 tipusmegoldas a lemezsav olyan lehajlasat adja, amely a szabad feltetelezett peremen miikodo, egysdgnyi nagysagu elfordulast okoz6 peremnyomatCkhoz tartozik. A visszaszholt peremnyomatCk CrtCke A4=2KI? , a peremnyiroed termeszetesen zerus.

A felreertksek elkeriilCse cCljabo1 nem art hangsulyozni, hogy az q 1-q4 fiiggvCnyek nem alkotjhk a homogCn megoldasok teljes rendszerkt, hiszen itt nem nCgy linehisan fuggetlen megoldasrol van sz6.

Ha az q3 tipusmegoldast tiikrozzuk az x=O pontra, majd egyesitjuk a kCt fuggvknyt, ez a vkgtelen kiterjedksu lemez olyan 1ehajlasfiiggvCnykt irja le, amelyet az x=O vonalon miikod6 F = S K ~ ~ intenzitasu vonalrnenti teher kelt. Ebbol a fdggvCnybol egyszeriien lehet lehajlasi hatasfiiggvCnykCnt is Crtelmezheto fiiggvknyt szarmaztatni, hiszen ha a lehajlas- ordinhtikat SKI?-val osztjuk, az egyskgnyi intenzitasu vonalteherhez tartoz6 lehajlasok diagramjat kapjuk, arni a hatasabrak kinematikai uton tortCno eloallitasanak elvkn az x=O

vonalon fekvo pontoknak az y tengellyel parhuzamos vonalterhekre vonatkozo lehajlasi hatasabraj a.

A hatasabra lehetoskget ad arra, hogy X tetszoleges p(x) fiiggvknye szerint valtozo feltileti teherhez a w,,h inhomogkn partikuliiris megoldht integrhl alakban eloallithassuk. Ennek reszleteivel most nem foglalkozunk.

Korszimmetrikus teherrel, ill. koncentrcilt er6vel terhelt korlemez

A bevezetoben asonlo altalAnosit(isra alkalrnas eredrnknyt ad azoknak a koncentralt erovel terhelt nagymdretii lemezeknek a vizsgalata, amelyehdl a koncentralt teher a lemez belso tartorniuryaban hat, lenyegesen avolabb a peremektijl, mint a hajlit6merevsCg CS az agyazhsi tknyezo alapjan kkpzett -

6.n. karakterisztikus hossnisag. (A tovabbiakban latni fogjuk, hogy ez a hosszusag a megoldasfuggvknyek alakulasaban meghatarozo szerepet tolt be.) Ilyenkor az adodik, hogy a peremeken az elmozdulasok CS az igenybevktelek elhanyagolhatcian kicsinyek, azaz a koncentralt ero kornyezet6nek a vizsgalata a peremfeltdtelek figyelembevktele nklkul, pl. vdgtelen nagy kiterjedesu lemez feltCtelezdsdve1 vegezheto. Mivel a vasbeton alaplernezek esetdn gyakran ez a helyzet, komoly gyakorlati haszna van a koncentralt erovel terhelt vegtelen kiterjedksu lemez megoldasanak, amelyet alapmegoldaskknt kezelve, a szuperpozicio elvCn egy sereg fontos gyakorlati problkma megoldasara fel tudunk hasznalni.

Ezt az alapmegoldast a rugalmasan agyazott kor- CS korgyiiru alaku lemezek megoldasai alapjhn lehet eloallitani a kulso korsugk minden hatiiron tuli novelCskve1.

A rugalmas agyazasu kor- 6s korgyiiru alakd lemezek megoldasait cdlszeru hengerkoordinatak alkalmazasaval vizsgalni. Korszimmetrikus terhek 6s megthasztas esetkn ugyanis az alakvaltozasok 6s az igknybevdtelek csak a henger-koordinatarendszer r valtozojanak figgvknyei, ezCrt a lehajasfuggvkny parcialis differencialegyenlete az alabbi kozonskges differencialegyenlettk egyszeriisitheto:

l Ennek az inhomogen differencialegyenletnek az altalanos megoldasa is l Wdlt = W,nh Whonz I alakban allithato elo, ahol w,,h a differencialegyenlet egy partikularis megoldasa, who,

pedig a homogkn altalanos megoldb.

Az inhomogin partikulbris megoldcis Olyan partikularis megoldast, amelytol nern kivrinjuk meg, hogy a differencial-

egyenlet peremfelteteleit is kielkgitse, altalaban egyszeriien talalhatunk korlemezeknkl is. A feladatokban legtobbszor egyeneletesen megoszlo p teherrel terhelt korlemez, ill. a pereme menten egyenletesen megoszlo vonalteherrel terhelt lemez fordul elo.

A teljes feluletkn konstans feliileti teherrel terhelt lemeznkl az inhomogkn partikularis megoldas a

merevtest-szeru elmozdulas. Azokat a lemezeket, amelyeket nem a teljes teriiletkn, hanem csak egy belso kortartomhyban terhel egyenletesen megoszlo p teher, a terhelt teriilet hatarvonalh kkt rkszre bonthatjuk, CS a teljes megoldast a kkt lemezrkszre kulon vehetjiik fel. Ekkor a belso korlemezre vonatkozoan a wink a fenti merevtest-szeru elmozdulas, a kiilso korgyiirii alaku lemezrkszre pedig win,, = 0. A teljes megoldasnak tartomanyonkent tortkno eloallitasat alkalmazhatjuk az r valtozo szerint Iepcsosen valtozo korszirnrnetrikus teher figyelembevktelere is, termeszetesen azon az aron, hogy minden tartomhyhatkon illesztenunk kell egymashoz a megold8sfiggvknyeket.

A peremkn egyenletesen megoszl6 vonalteherrel terhelt lemez esetkn w,,h = 0, mert a felulet terheletlen, a peremterhet pedig a homogkn megoldas megfelelo felvktelevel lehet figyelembe venni.

Ugyancsak a homogkn megoldasban veheto figyelembe a korlemez kozkppontjaban miikodo koncentralt ero hatasa.

A homoge'n iiltaliinos megoldiis A kozonskges differencialegyenletekdl hasznalt krtelmezks szerinti homogkn

altalhos megoldasrol csak forgasszimmetrikus terhelks 4s megthasztas esetkn beszklhetiink.

Az inhomogkn partikulkis megoldas altalaban nem elkgiti ki a peremfeltkteleket. A homogkn altalanos megoldasban szereplo szabad paramktereket ugy kell felvenniink, hogy a W = winh + who, teljes megoldas ezeket is kielkgitse. A peremfeltbtelek a peremen mukodo terhekre vagy az itt alkalmazott mozgaskknyszerekre vonatkoznak. A homogkn megoldasban szereplo ftiggvknyek irj& le az igknybevkteleknek mozgaskknyszerek 6s a peremterhek hataska fellkpo modosulasait. Ezeket korlatozott kiterjedksuk miatt peremzavaroknak is szoktuk nevezni.

A homogkn altalhos megoldas eloallitastinak matematikai rkszletezkskt most mellozzuk, csuph megemlitjiik, hogy forgasszimmetrikus teher 6s megthasztas eseten a nulladrendu Bessel-fkle figgvknyekbol szhazta tot t u.n. nulladrendu Thornson-fble fiiggvknyek segitskgkvel, (lasd pl. Markus Gyula: Korszimmetrikus szerkezetek elmklete 6s szhi tasa c. konyvkt.), altalanos esetben magasabb rendu Thornson-fkle figgv6nyek alkalmazasaval allithato elo a homogkn megoldas.

A forgasszimmetrikus feladatoknal:

ahol ber(x) 6s bei(x) az 6.n. elsofaju kei(x) 6s ker(x) a masodfaju, nulladrendu Thornson- f6le f~iggvknyek,

r

I l. pedig a korabban mar bevezetett karakterisztikus hosszusag.

A nulladrendu Thomson-fkle fiiggvknyek a muszaki szhitasokban gyakran szerephez jutnak, hasznos ezkrt, ha megismerkediink nkhany alapveto tulajdonsagukkal.

Az l. nagysaga hasonl6an befolyasolja a kor-, ill. korgyuru lemezek peremktol a lemez belseje felk terjedo ,,peremzavar" terjedkskt, mint a rugalrnasan agyazott gerendak, ill. 1emezsAvok e"%os(la), e-&sin(kx), ebcos(kr), ebsin(kx) megoldbaiban szereplo k csillapitasi tenyezo reciprokakknt adodo hosszusag. Ez j61 lathat6 abb61, hogy a Thomson-fkle fiiggvknyekben l. az X formalis fiiggetlen valtozb nevezojkben szerepel. A nkgy Thomson-fkle fiiggvkny ,,szereposztasa" is hason16 a lemezsavok egyik, ill. masik peremktol gyors elcsengkst mutat6 fiiggvknyekkhez: az elsofaju (,,W-S) fiiggvknyek es

az analog hull&fiiggv6nyek kozt, hogy a masodfajd Thomson-fkle fiiggvki$ek az x=O helyen szingularitassal birnak.

A Thomson-fkle fuggvknyek 6s mkrnoki alkalmazasuk rkszletes leirasa megtalalhatb Mdrkus Gyula: ISorszimmetrikus szerkezetek elmklete 6s szhi tasa c. konyvkben. A 1.E fejezet (1 16) kkplete definialja a fiiggvknyeket, a (12 1) kkpletsor pedig a (1 19) szerinti homogkn altaliinos megoldashoz tartoz6 elfordulasok, nyomatkkok 6s nyirbero legegyszeriibb alaku kkpleteit. Ugyanebben a konyvben az LIV tablhzat kozli az elso 6s masodfaju Thomson-fkle fiiggvknyek 6s elso derivaltjaik egyszeruen programozhat6 hatvhysorait, az LV tablazat pedig azokat az 6.n. aszimptotikus formulhkat, amelyekkel X nagy ertkkeinkl (a gyakorlatban x>10 esetkn) a fuggvknysor helyettesitheto. LVI alatt fuggvknytablkat is talalhat6 az elso 6s masodfaju Thomson- fele fiiggvknyek 6s elso derivaltjaik krtkkeirol. A tablazat alapjiin a nyomatkkok 6s nyiroerok kkpletkben szereplo masodik CS magasabb derivaltak is szhithatbk, mert ezek az ismertetksben (120) alatt kozolt rekurziv formulhk alkalmazasaval visszavezethetok a fuggvenyeket CS elso derivhltjaikat tartalmaz6 kifejezksekre. Ezeknek a kkpleteknek az alkalmazasaval adta meg a szerzo a (1 2 1) kkpletsorban talalhat6 formulakat.

A Thomson-fkle fiiggvknyek sajatsagaibbl az kovetkezik, hogy egy korgyuru alaku lemez kulso, ill. a belso peremein a nkgy fiiggvkny kozul altalaban csak ketto-ketto jut szerephez a ,,peremzavarV leirasaban. ha a gyuru szklesskge l. sokszorosa. Ahol a lemez a peremtol a forgastengely iranyaban fekszik, (azaz a vizsgalt perem ,,kulson,) ilyen esetben

ahol pedig az ellenkezo irhnyban folytatodik, (azaz a vizsgalt perem ,,belso",)

I i

megoldasban vesszuk figyelembe. A ;rhomson-fkle fuggvknyek tulajdonsagainak ismeretkben a kei(x) fiiggvknynek

az orig6 koriili vizsgalataval konnyen meg lehet mutatni, hogy ennek a fuggvknynek az r=O helyen jelentkezo szingularitasa pontosan olyan, mint a koncentralt erovel terhelt lemezek 1ehajlasfiggvknyCnek szingularitasa az ero thadaspontjaban. A kozkppontjaban F koncentralt erovel terhelt korlemez esetkn C3 krtCkkt a koncentralt ero meg is hatarozza. Vkgtelen kiterjedksu korlemeznkl C1 = C2 = C4= 0, a lehajlasfuggvkny

A koncentralt ero thadaspontjat61 l. nChanyszorosAnak megfelelo tavolsagban W

osszes derivaltja elhanyagolhat6an kicsinnyk valik, ezert ha egy kozkppontjaban P erovel terhelt korlemez sugara nern vkgtelen nagy, de sokszorosa lo-nak, a lehajlas-figgvknyt valtozatlanul a fenti keplet szerint vehetjiik fel.

Az igenybevktelek kkplete a Thomson-fkle figgvknyek derivaltjaira vonatkoz6 osszeftiggksek felhasznalasaval hatarozhatjuk meg:

M , = - 21t- F [ ker (11 - - (lr V ) keil[t)],

M g = - 2 n [ ker [L - + (:; V ) keil [:l] .

A kepletekkel ellenorizheto, hogy a koncentralt ero helykn a nyomatekok 6s a nyiroero vkgtelen nagyra adbdik, de a lehajlhs nem:

A legnagyobb agyazati feszultseg terrneszetesen ugyanitt 1Cp fel.

A rugalmas agyazasu lemezekre vonatkozo rnegoldasok egy mhsik, altalbosit8sra is alkalmas sajatsaga figyelheto meg azoknal az egyenletesen megoszl6 teherrel terhelt nagykiterjedesu lemezehdl, amelyek peremdn mozgaskorlatoz~st jelento peremfeltdtelt irtunk elo. Ha ilyen mozgaskorlatozas nincs, a teljes megoldast a lemez merevtest-szerii

P M, = - O C

nagysagu eltolodasa adja, arnelyhez zCrus nyomatkkok CS nyiroerok tartoznak, de ha van, akkor is csak a mozgaskorlatozassal kialakitott peremek nkhany lo-nyi szelessCgu kornyezeteben jelentos a lehajlas eltdrCse ettol a wo Crtkktol, 4s szimottevo nagysagu igdnybevetelek is csak ezen a peremsavon belul lCpnek fel.

Ha a lemez meretei olyanok, hogy az oldalhosszak lknyegesen kisebbek lrnal, akkor a lemez meggorbuldsenek a reakcio-eloszlasra gyakorolt hatasa elhanyagolhato. Ilyenkor a talpreakcio olyan sikkal hathrolt feszultsCgtestet alkot, amelynek sulypontja a lemezre hato feluleti terhek eredojdnek hatasvonalara esik.

A kulonbozo nagysagu Winkler-fele agyazasi egyutthato feltetelezes6vel vegzett szamitasok eredmenyeinek osszevetkse azt mutatja, hogy a lemez-igknybevdtelek maximalis krtdkei az agyazasi tCnyezo 6rtCkknek novel6s4vel csokkennek, az agyazati feszultsegek maximumai viszont ugyanekkor novekednek. Ebb01 az kovetkezik, hogy a felfekvds koriilm6nyeinek m6rlegeldsdvel meghatt-kozhato CrtCkhatt-kokon belul mas agyazasi tknyezot celszeru hasznalni, ha a c61 a mkrtkkado lemez-igdnybevktelek szhitasa, ill. ha a c61 a maximalis talajfesziilts6g ellenorzdse. A sullyeddsek ertkket altalaban fenntartassal kell kezelnunk, mel-t az agyazasi model1 nem drzekeny arra, hogy a talajfelszin valamely tartombyan mukodo teher a tartombyon kivuli felszin mozgasat is befolyasolja.

A Winkler-fkle agyazasi modellel megegyezo strukturaju differencialegyenlet vezetheto le a folyadkk felszinere helyezett lemezek, pl. egy vizen uszo jkgtablak alakvaltozasaira vonatkozoan. Itt a lehajlassal arbyos agyazati reakciot a folyadek felhajtoereje kdpviseli. A koncentralt erijvel terhelt korlemezre vonatkoz6 rnegoldasok analiziskvel meg lehet mutatni, sot, kisklettel is igazolni lehet, hogy ha megfeleloen valasztjuk meg a 1emezatmCro CS a lemezvastagsag arhyat, a kozkppontjaban adott nagysagu teherrel terhelt, ennek megfeleloen deforma16d6 ackllemez a viz felszinen uszhat, holott a koncentralt ero nelkul elsullyedne.

A val6saghoz kozelebb a116 agyazasi model1 vezetheto be a Kirchhoff-fCle lemezelmklet CS az izotr6p rugalmas fCltCrre vonatkoz6 Boussinesq-fkle megoldasok kornbinalasaval, ha a lemezt egy sikfeliilettel hatarolt rugalmas fCltCren surlcidas nClkul fdlfekv~nek tekintjiik.

A m6dszer alapjat az adja, hogy a Boussinesq altal levezetett (a rugalmas tkcsak vizsgalatimal megismert alapmegoldasok tkrbeli analogonjainak tekintheto) megoldasok alkalmazasaval a rugalmas felteret hatArol6 sik meroleges irimyu elmozdulasainak fiiggvkny6t tetszoleges feliileti teherre vonatkoz6an felirhat6k egy hathozot-t integral alaku kifejezCs formajaban. M h o s t ha ez a teher azonos azzal, arnelyet a fCltCrre teljes feliileten fdlfekvo lemez a rugalmas filterre kozvetit, tovabba a hatksik meroleges elmozdulasait a lemez alatt ugyanaz a fuggveny irja le, mint a lemez lehajlasait, akkor a rugalmas agyazasnak olyan modellje a11 elo, amelyben az is figyelembe van veve, hogy a agyazat nem ona116 rugokhoz hasonloan, (azaz csak a vizsgalt helyen mukodo agyazati f~sziiltstggel arhyosan) deform816dik, hanem a kiilbnbozii helyeken l h o dgyazati reakci6k 6s elmozdulasok a lemez kozvetitdse nelkiil is kolcsonijsen befoly8soljhk egymast.

Ennek az agyazasi modellnek az elmeletileg korrekt feldpitese komoly nehCzsCgek 1ekiizdksCt igCnyli, mert az integro-differencialegyenletek korkben va16 jartassagot igknyel. NChhny, a ICnyeget nem Crinto egyszeriisito feltCtelezCs megtCtelCve1 le lehet azonban vezetni a model1 alaposszefiiggeseit CS olyan diszkretizalt valtozatat, amellyel tetszoleges alaku CS terhelesii lemez esetCre ugyanolyan Crtelemben ,,megoldhatjuk" a rugalmas fCltCrre fektetett lemez feladatat, mint ahogy a vCgeselem-programokkal vagy a differencia-mbdszer segitsigkvel a lemezfeladatokat ,,megoldjuk".

Induljunk ki a vCgtelen f6ltCr hatarsikjh surl6dAs felfekvo kor keresztmetszetu vCgtelen merev nyom6szerszh benyombdasimak vizsgalatab61. (Frank-Mises: A mechanika CS a fizika differencial- CS integrhlegyenletei. 2. kotet, 347-354 oldal)

A tQbeli rugalmassagtani feladat megoldasa szerint az E rugalmasshgi modulusu, v Poisson-tknyezoju izotr6p fCltQ vizszintes hatksikjh az a sugah kor kozvetitCsCve1

1 mukodo F figgoleges ero a kovetkezo fuggoleges i rhyu elmozdulast kelti:

ahol r a kor kozeppontjat61 mert tavolsagot jeloli. Az eltolodas krteke a nyom6szerszam alatt konstans, kiviile pedig r novekedtevel zkrushoz tart. A megoldas szerint a kontakt- feliileten csak norrnalfesziiltskg mukodik, amelynek eloszlasat a kovetkezo keplet adja:

g =- F ha r <a,

2 m 4 m

A nyomoszerszh alatti eltolodas kepletenek strukturajat vizsgalva fontos kovetkeztetkst tehetiink a Winkler-fkle agyazasi tknyezo felvktelkben meglkvo bizonytalansagra vonatkozoan. A benyomodas keplete ugvanis lehetoskrret kinal arra, -. hogy felvegyiik azt a C agyazasi tknyezot, amelynek figyelembev6televel az a2n nagysagu teriileten megoszlo F er6 hatasara e kkplet szerinti benyomodas jon letre a Winkler-fkle agyazatban is:

amibol kiolvashato, hogy 2E

vagyis a helyettesito Winkler-fele agyazas agyazasi tenyezoje annal kisebb, mine1 nagyobb a terhelo teriilet mkrete.

A kkplet egy masik krtelmezkskvel azt kapjuk, hogy a nyombszerszam rugalmas benyomodasa akkora, mint a fklter anyagab61 kkszitett, kb. 1 . 5 ~ magassagu henger rugalmas osszenyom6dasa.

Visszatkrve az alapmegoldashoz, az F ero ,,tavolhatasainak" figyelembevetelenkl a kicsiny szogek 6s szinuszaik kozti elhanyagolhato kiilonbseg miatt elhetiink a

kozelitessel. Ezt a kepletet a thrgyalas szemleletesebbk tetele ckljab61 a kovetkezokkpp rendezhetjiik at:

Ennek az atrendezesnek az a celja, hogy a hathrol6 siknak a feliileti teher helyetol tavoli alakvaltozashra olyan formulat talhljunk, amely fiiggetlen a terlielo feliilet

I alakjatol. Szemleletiink ugyanis azt diktalja, hogy a ,,tavolhatasW szempontjab61 i I nyilvanvaloan mindegy, hogy a nyomoszerszh keresztmetszetenek alakja kor-e, vagy

atto1 kisebb-nagyobb mkrtkkben eltkro. Ha az $a helyett LA-t irunk, az F/ a2n h&nyadost

l pedig a 6A feluleten egyenletesen megoszlo q teherkknt krtelmezziik, az F ,,tavolhatasatit" ado kepletet az origo koriili tetszoleges alaku LA feliileten megoszl6 q teher

l ,,tavolhatasat" ado kkplettk irhatjuk at:

Alkalmazzuk most a szuperpozicio elvkt arra, hogy tetszoleges szamu 6s helyzetu feluleti teher egyiittes ,,tavolhatasatit" meghatarozzuk. Jelolje az eroket (q,SA,) az erok tamadaspontjhak helykt az x,y koordinatarendszerben X, ,y, . Az egyuttes ,,tavolhatasn kkplete a szupelpoziei6 elvkn

Ez a szuperpozicio az alapelve annak az eljiirasnak, amellyel a fkltkr hatarsikjhak az alakvaltozbht tetszoleges eloszlasu fiiggoleges teher figyelembevktelkvel

azonositan i. Mukodjkk a hatksik A tar tomhyh egy adott q(c, v) fiiggvkny szerint megoszl6 teher. Bontsuk az A tartomhyt egyforma SA =dcdv teriiletu, c,, 77, sulypontu olyan kicsiny A, feluletelemekre, amelyeken belul a q(6,q) feluleti teher mar konstansnak, a q(&, v,) krtkkkvel azonosnak tekintheto, majd alkalmazzuk az egyuttes ,,tavolhaths" kepletet a feluletelemekre jut6 rkszterhekre:

Ha dc-vel 6s dv-val a nullbhoz tartunk, a rkszterhek ,,kozelhatasa" egyre kisebb feluleteken krvenyesul, vkgul hatiiratmenetben eltunik. Ezzel egyidejuleg a szumma egy az A tartomhyra vonatkoz6 feluleti integrallal helyettesitheto, amelynek integracios valtozoi a 5 CS v koordinathk. A hatiirsiknak a q(c,v) fuggvkny szerint megoszlo teher hatasiira lktrejovo alakvaltozasat igy a

hatiirozott integral szolgaltatja, amelyet az egksz hatarsikra kiterjedo improprius integral formajaban is felirhatunk, hiszen az A tartomhyon kivul g(<, 7) krtkkkt zkrusnak vettuk fel.

Ennek az integralnak a meghatarozasa szerencsks q({,v) fiiggvknyalak eseten z& alaku fuggvkny formajaban is lehetskges, (pl. a Ruzsik-Gradstejn: Tabllizatok sorok, szummhk 6s integralok szamitasbhoz c. sok nyelven megjelent konyv segitskgkvel,) de a gyakorlatban altalaban a numerikus integralast cklszerii alkalmazni.

Az integral felirasaval nagy lkpkst tettunk a kituzott problkma megoldasa felk, bar rnkg nem oldottuk meg azt. Lehetoskgiink van azonban a tovabblkpksre is.

Ha feltesszuk, hogy egy lemez peremterheit a lemez globalis viselkedkse i szernpontjabol statikailag egyenkrtkkuen helyettesiteni lehet a peremkornyezet egy

vkkony savjaban felvett specialis eloszlasu feliileti terhekkel, (ennek rkszleteivel az egyszeriiskg kedvkkrt most nem foglalkozunk,) ebb01 a feltktelezksbol az kovetkezik, hogy tetszoleges w(x,y) fiiggvknyhez talalhato olyan p(x,y) feluleti teher, amelyet az agyazas nklkuli lemezen miikodtetve w(x, y) lehajlast kapunk. Ezt a p(x, y) terhet egyszeruen meg is hatarozhatjuk, ha behelyettesitjiik w(x,y)-t az agyazatlan lemez

differencialegyenletebe CS a peremfeltCteli egyenletekbe. Bejrirhato tehat a megoldas utjanak forditottja: ha fdlveszunk egy tetszoleges q(x,y) agyazati reakci6-eloszlast, ahhoz az imCnt levezetett integral segitsCgCve1 meghatrirozhatunk egy w(x,y) elmozdulas- fiiggvknyt, amelyhez egy p(x,y) feluleti terhet szamithatunk.

Ez - legalabb is elvben - lehetoskget ad arra, hogy a feladatot indirekt uton megoldjuk: elegendoen sok egymastcil kulonbozo q(x,y)k agyazati reakci6eloszlast felvdve, ezekhez w(x, y)k CS p(x,y)k fiiggvdnyt meghatarozva megkereshetjiik a p ( ~ , y ) ~ fiiggvknyeknek azt a Cakp(~,y)~ kombinacicijat, amely a legjobban megkozeliti a feladatunkban szereplo p(x,y) aggvenyt, azaz azokat az a k szorzokat, amelyek egy megfeleloen valasztott H(p-Xakpk) hibaftiggvkny CrtCkCt a IegkisebbC teszik. Ezek ismeretkben a kozelito lehajlasfiiggveny w(x,y) W Cak w(x,y)k , az agyazati reakcioeloszlas fuggvknye q(x,y) W Cakq(x,y)k alakban irhati, fel.

A gyakorlatban olyan eljkdsok terjedtek el, amelyek a hagyomhyos lemezfeladat numerikus megoldasm6dszereit (differencia-mbdszer, mozaik-m6dszer) kombinaljak a tavolhatas figye1embevCtelCnek altalunk is hasznalt m6dszerCvel. Az eljkasok elvi vazlata a kovetkezo.

Helyettesitsuk a diszkretizal&s elvdnek megfeleloen a lemez w(x,y) lehajlasait, p(x,y) terheit ks q(x,y) agyazati reakci6it egy-egy W, p, ill. q vektor elemeinek egy pontrendszer azonos pontjaiban Crtelmezett CrtCkrendszerCvel. (Ezek kozul p -t ismertnek tekintjiik, W 6s q vektor elemei a diszkretizalt feladat ismeretlenjei.)

A q elemeit ismertnek feltktelezve a q CS W vektorok kozt direkt kapcsolat 1Ctesitheto. A ,,tavolhatastW kifejezo hatrirozott integral alapjh ugyanis a kCt vektor lineriris kapcsolatat kifejezo

Bqlw vektor-egyenlet B egyiitthat6matrixhak elemeit sorrol-sorra fel tudjuk irni. A kapcsolat mechanikai CrtelmezCsCbol az kovetkezik, hogy ez a B matrix mindig invertalhato. Az inverz

q = ~ - l w osszefiiggCst a diszkretizalt lemezfeladat

Aw=p-q egyenletrendszerkbe behelyettesitve, rendezCs u t h az

[A- B"] W = p linearis egyenletrendszert kapjuk, amelynek megoldasaval a feladat kozelito megoldasa a11 e1o. ~rdemes megemliteni, hogy ez a megoldas formalism csak abban kulonbozik a Winkler-fCle agyazks figyelembevCtelCve1 vegezheto diszkretizalt szAmitastol, hogy Winkler-fCle Bgyazas esetCn a Bqlw lineriris kapcsolat matrixa diagonalmatrix, (mert a Winkler-fCle agyazas nem vesz figyelembe ,,tavolhatast",) igy az inverz osszefiiggCs B-' matrixa a diagonal-elemek reciprokait tartalmaz6 diagonalmatrix.

A kCtfCle agyazas feltCtelezCsCve1 elvCgzett szAmithsok eredmknyeinek osszevetdse lehetosbget adott annak a tisztkasara, hogy a talajfizikai jellemzok mellett a szerkezet meretei CS aranyai hogyan befoly8soljAk az igknybevktel- CS agyazati reakci6eloszlast, ill. e szerkezeti jellemzoket hogyan kell figyelembe venni az agyazasi tCnyezo felvdteldnel ahhoz, hogy a kCtsCgtelenu1 egyszeriibben kezelheto Wi'nkler-fdle agyazasi rnodellen alapulb szamitasok valosagoshoz kozel a116 eredmknyt adjanak. A reszletes vizsgalat alapjan szamos eljarast dolgoztak ki a C felvktelCre.