RUS 02 Matematicki Modeli Sustava 2012 13

8/16/2019 RUS 02 Matematicki Modeli Sustava 2012 13

http://slidepdf.com/reader/full/rus-02-matematicki-modeli-sustava-2012-13 1/55

SVEUČILIŠTE U ZAGREBUFakultet elektrotehnike i računarstva

Zavod za automatiku i računalno inženjerstvo

Unska 3, Zagreb, HRVATSKA

© Ivan Petrović

Računalno upravljanje sustavima: Poglavlje 2 ‐ Matematičko modeliranje sustava

Računalno upravljanje sustavima

Poglavlje 2:

Matematičko modeliranje sustava



© Ivan Petrović

2/55

Računalno upravljanje sustavima: Poglavlje 1 ‐ Uvodno predavanje

Sažetak prethodnog predavanja

• Definicije sustava i upravljanje sustavima

• Uloga, osnovne funkcije, zahtjevi i sposobnosti računalnih sustava upravljanja

• Arhitekture računalnih sustava upravljanja

• Upravljačke petlje u računalnom upravljanju

sustavima



© Ivan Petrović

3/55


Sadržaj poglavlja

• Osnovne definicije sustava

• Matematički modeli sustava u vremenskom

područ

ju• Matematički modeli sustava u kompleksnom

području

• Matematički modeli sustava u frekvencijskom

području

• Eksperimentalno

određ

ivanje

matematič

kog

modela sustava



© Ivan Petrović

4/55


Što je sustav?

ʺSustav je dio svijeta koji je povezan s okolinom

preko ulaznih i izlaznih djelovanja.

Sustav preoblikuje ulazna djelovanja u izlazna djelovanja.

Izlaz sustava općenito može ovisiti o trenutku pobude i o memoriji

sustava do trenutka pobude.

Povijest, odnosno

memorija

sustava

tretira

se

konceptom stanja sustava.ʺ

Vladimir Kučera (1979.)



© Ivan Petrović

5/55


Podjele sustava po raznim kriterijima

Diskretizacija

Obrađuju se: Linearni, deterministički, vremenski nepromjenljivi dinamički sustavi s koncentriranim parametrima i s jednim ulazom i jednim izlazom.



© Ivan Petrović

6/55


Prikaz sustava

Sustavu(t) y(t)

u(t)

t

y(t)

t

Sustavu(kT) y(kT)

u(kT)

t=kT

y(kT)

t=kT

• • • • • ••••

•

•

••• •

• ••

•

1 2 3 4 k 1 2 3 4 k

•

Kontinuirani dinamički sustav:

Diskretni dinamički sustav:






© Ivan Petrović


Poglavlje 2: Matematičko modeliranje sustava

Opis sustava u vremenskom području



© Ivan Petrović

8/55


Diferencijalne jednadžbe i jednadžbe diferencija

Kontinuirani, linearni dinamički sustav:

Diskretni, linearni dinamički sustav:

0

( ) ( ) ( ) ( )i j

n m

i ji ji o j

d d a t y t b t u t

dt dt diferencijalna jednadžba

0 0

( ) ( )n m

i j

i j

y k i u k j

jednadžba diferencija

Primjer: 2

2

2 1 12

i i u

i u

d u du duT T u T u

dt dt dt

1 2

0 1

( ) ( 1) ( 2)

( ) ( 1)

i i i

u u

u k u k u k

u k u k

iznosi i i iovise o primijenjenom

postupku diskretizacije

1

2

T RC

T LC



© Ivan Petrović

9/55


Težinska i prijelazna funkcija



0 t

(t)

Težinska funkcija (impulsni odziv) g – odziv sustava na jediničnu

impulsnu pobudu

*

.

( ) ( )konst

u t K S t

*

( )( )

y t h t

0

( ) ( )t

h t g d

0

( ) ( )k

h k g

Prijelazna funkcija h – odziv sustava na jediničnu skokovitu

pobudu S

u(kT)

t=kT

• • • • • • ••••

1 2 3 4 k

K*

*

.

( ) ( )konst

u k K S k

*

( )( )

y k h k

(kT)

t=kT1 2 3 4 k

1

0

g(t)

g(k)



© Ivan Petrović

10/55


Konvolucijski integral i suma

0

( ) ( ) ( )k

y k u k g

0

( ) ( ) ( )t

t u t g d



Konvolucijski integral (Duhamelov integral)

Konvolucijska suma

• Dakle, ako je poznata težinska funkcija sustava g , tada se za svaki pobudni signal u , može odrediti odziv sustava y.

• Isto tako, iz poznatih tokova signala u i y dekonvolucijom

se može dobiti težinska funkcija sustava g .



© Ivan Petrović

11/55


Opis sustava u prostoru stanja

( ) ( ) ( )t t t x A x B u

( ) ( ) ( )t t t y C x D u

Kontinuirani dinamički sustav:

Diskretni dinamički sustav:x ‐ (n 1) vektor stanjau ‐ (r 1) ulazni (upravljački) vektory ‐ (m 1) izlazni vektor

A ‐ (n n) matrica sustavaB ‐ (n r) ulazna matricaC ‐ (m n) izlazna matricaD ‐ (m r) ulazno/izlazna matrica

( 1) ( ) ( )k k k x Φ x Γ u

( ) ( ) ( )k k k y C x D uMatrice i

ovise o primijenjenom postupku diskretizacije






© Ivan Petrović



Opis sustava u području kompleksne

varijable



© Ivan Petrović

13/55


Laplaceova transformacija – ( kont. sustavi)

Diferencijalna

jednadžba

Algebarska

jednadžba

L‐transformacija

Vremensko podrucje

Podrucje kompleksne

varijable sRješenje

Rješenje

L

‐1‐transformacija0( ) ( )

st

s f t e dt

1

( ) ( )2

c j st

c j f t F s e ds j

0

0in

i ii

d x t adt

, 0,1,2,... 1

0

i

i

d x t i n

dt t

1

11 1

0

0.

n ii

ii

ni

ii

d a s x t

dt Z st X s

N sa s

1

10 0 1

00

n n ii i

i ii i

d X s a s a s x t

dt t

1

, 0k

n s t

k k

x t c e t



© Ivan Petrović

14/55


Prijenosna funkcija ( kontinuirani sustavi)

• Diferencijalna jednadžba:

• Uz početne uvjete jednake nuli, L‐transformacijom:

dobije se prijenosna funkcija sustava:

0 0

.

i jn m

i ji ji j

d y t d u t a b

dt dt

0 0

n mi j

i ji j

Y s a s U s b s

1

0 1

m

o m

n

n

Y s Z sb b s b sG s

U s a a s a s N s

G s L g t

Stupanj Stupanj Z s N s uvjet kauzalnosti

Veza prijenosne funkcije i težinske funkcije sustava



© Ivan Petrović

15/55


Z – transformacija ( diskretni sustavi)

• Laplaceova transformacija diskretnog signala:

• Supstitucijom

dobije se z‐transformacija diskretnog signala f (kT ):

* *

0

( ) ( ) ( ) kTs

k

F s L f t f kT e

1ln sT z e s z

T

* * *1

ln

* 1

*

0

1( ) ( ) ( ) ln

( ) ( )

( ) ( ) ( )

s z T

k

k

z Z f t F s F z T

f t Z F z

F z Z f t f kT z

• L – transformacija je transcendentna

• z‐ transformacija nije transcendentna



© Ivan Petrović

16/55


Prijenosna funkcija ( diskretni sustavi)

• Jednadžba diferencija:

• Uz miran sustav i kauzalnu pobudu slijedi:

• Prijenosna funkcija diskretnog sustava:



© Ivan Petrović

17/55


Diskretizacija kontinuiranog sustava – G(s) → G(z)

1 1( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( )hoG s G z Z G s G s z Z G s

s

1( ) ( ) ( ) ( )

Ts

p ho

eG s G s G s G s s

Gho(s)

G(z) je prijenosna funkcija diskretnog sustava koji je ekvivalentan kontinuiranom sustavu opisanom prijenosnom funkcijom G(s)






© Ivan Petrović



Opis sustava u frekvencijskom području



© Ivan Petrović

19/55


Frekvencijska karakteristika ( kontinuirani sustavi)

• Nakon završetka prijelazne pojave izlazni signal ima istu

frekvenciju kao i ulazni signal, ali različitu amplitudu

i fazni pomak

• Formalno:G(s) → G(j)

G(s), s = + j

= 0 → G(

j

)Ovo je moguće jer djeluje samo u prijelaznoj pojavi

• G(j) se snimi tako da se

sustav pobuđuje sinusnim signalima različitih

frekvencija u čitavom

dinamičkom području sustava

0

u(t)

t

u(t)=Umsint

0 t

y(t)

y(t)=Ymsin(t+

x

yt=



© Ivan Petrović

20/55


Nyquistov dijagram ( kontinuirani sustavi)

A()

=0

j Im

[G]

Re[G]

G - ravnina( )

( ) ( ) j

G j A e

( ) ( )G j ( ) arg ( )G j

• Iz Nyquistovog dijagrama može se procijeniti vremenski tijek prijelazne funkcije sustava:



© Ivan Petrović

21/55


Bodeov dijagram ( kontinuirani sustavi)

• Amplitudna i fazna karakteristika crtaju se zasebno

• Koristi se logaritamski prikaz što

omogućuje jednostavno crtanje

karakteristika sustava u kojima se pojavljuju prijenosni članovi spojeni u seriju:

( ) 20log ( )dB

A dB

1 2

1 dB 2 dB m+n dB

( ) 20log ( ) ( ).... ( )

= ( ) +A ( ) +......+A ( )dB m n

A A A A

A

1 2( ) ( ) ( ) ...... ( ) .

m n

Vrlo povoljan za analizu i sintezu sustava



© Ivan Petrović

22/55


Frekvencijska karakteristika ( diskretni sustavi) – 1/10

0 0( ) ( ), sT G z G e s j

• Transcendentna funkcija => ne mogu se primijeniti

metode analize i sinteze iz kontinuiranih sustava.

• Iz toga se razloga uvodi bilinearna transformacija:

11

w z w

1

1

1 1

1 1

z z w

z z

• Bilinearna transformacija preslikava jedinični krug sa

središtem u ishodištu z ravnine u lijevu poluravninu kompleksne w ravnine.



© Ivan Petrović

23/55



• Preslikavanja s

→ z→ w



© Ivan Petrović

24/55



• Transformacija G(z) u

G(w) (gotov izraz):

1 11 1 2

1 1

2 21

1 1

1(1 )(1 ) 1

1( )

1

(1 )(2 ) 1 1

j

j j j

j

l

l l l l

aa w w

aG w

b

b w wb

1

1

( )

( )( 1) ( )

m

j

jn

k

l l

z a

G z z z b

1 1

1 1

1(1 )(1 ) 1

1

( ) 1(1 )(2 ) 1

1

m m jk m n

j j j

j

n nk l

l l l

l

aa w w

a

G w bb w w

b

1

1

w z

w

1

1 2

( )( 1)

z aG z

z z b z b

Primjer:

m=1; k=1; n=2

2 11

1

1 21 2

1 2

1(1 )(1 ) 1

1( )

1 1(1 )(2 )(1 )(2 ) 1 1

1 1

aa w w

aG w

b bb w b w w w

b b

25/55



© Ivan Petrović

25/55



• Promjena frekvencijskog mjerila:

1 2 21

12 2

1 1

;1 1

2

2

T T j j

j T j T

T T j T j j

z e e e

w z e w z ee e

T w jtg j

T tg

relativna pseudofrekvencija (fiktivna frekvencija);

bezdimenzionalna veličina.

2 2

s s promijenjeno frekvencijsko mjerilo

26/55



© Ivan Petrović

26/55



• Ispravljanje frekvencijskog mjerila:– Uvodimo varijablu

– Nyquistov i Bodeov prikaz u području pseudofrekvencije * geometrijski su slični prikazima ekvivalentnog kontinuiranog

sustava u području stvarne frekvencije (vrijedi i za korištenje w

transformacije)– Također su i brojčane vrijednosti slične brojčanim vrijednostima

kod prikaza ekvivalentnog kontinuiranog sustava (ne vrijedi za wtransformaciju)

11 *

1

11 2 2 1 2

1 1 12

2 1 2 2;

1 2

j T

T z z

w w z T z T T z

z T z e j tg j j

T z T T

apsolutna pseudofrekvencija

[rad/s]

27/55



© Ivan Petrović

27/55



• Veza između pseudofrekvencije i stvarne frekvencije

** 2 2 2

odnosno

2 2

T T tg arctg

T T T

12 2 2

T T T tg

*

Za malo vrijeme uzorkovanje T vrijedi:

0limT

s

Vrijedi:

2 1 2 1

1 1

sT sT z e

sT

z e

T z T e

Dokaz:

2 2

2 20 0 0

( )... ...

2 22 2lim lim lim2( ) ( ) 2

2 ... 2 ...2 2

T T T

Ts sTs s T

sTs TsT

Ts Ts

Razvojem u Taylorov red

2 1

1

z s

T z

1

2

1

2

Ts

z Ts

Tustinov izraz

Dakle za mali T može se koristiti s umjesto .

28/55



© Ivan Petrović

28/55



• Izobličenje frekvencijske karakteristike:– Za vezu * i

– Ako postoji izobličenje frekvencijske karakteristike

uslijed bilinearne transformacije (pri relativno velikom iznosu T ) to izobličenje treba uzeti u obzir pri sintezi digitalnog regulatora.

* 2

2

T tg

T

*2

2

T arctg

T

• Izobličenje zanemarivo za:

0,52

T

29/55



© Ivan Petrović

29/55



• Korekcija izobličenja f. k. (Frequency prewarping)– Provodi se na specifičnim frekvencijama tako da se u

Tustinovu izrazu promjeni koeficijent skaliranja:

– U tom slučaju Tustinov (modificiran) izraz glasi:

– Napomena: Izobličenje frekvencijske karakteristike korigirano samo na specifičnoj frekvenciji 1. Na ostalim frekvencijama postoji izobličenje.

1

1

2

2

T T tg

1

1

1

1

2

z s

T z tg

30/55



© Ivan Petrović

30/55



• Primjer korekcije izobličenja f.k.:

– Neka je specifična frekvencija 1 jednaka lomnoj frekvenciji l = a.

– Zahtijeva se:

– Da bi se to postiglo koristi se izraz:

– Slijedi:

( ) a

G s s a

1

1 1 1( ) ( ) j T G j G z z e 1

1

1

12

z s

T z tg

1

1

1

1 1

11

1

1

1( ) ( )

1

( 1)1 2( )

1 1 1 ( 1) ( 1)1 2

2

1( )

1 12 2

G s a s

T z tg

G z

z T z z tg T z tg

z G z

aT aT ctg ctg z

izraz za implementaciju

31/55



© Ivan Petrović

31/55



• Primjer korekcije izobličenja f.k. ‐ nastavak:– Provjera:

2

1 1 2

( ) ( ) 221

1 1 1

( ) ( ) 11 1 111

2122

1 2( )22

j T z e

a

a jaT

jaT

jaT

jaT

G j G jaa

a

G z G e aT e j jtg

aT aT e tg tg

G e

kontinuirani sustav

diskretni sustav

Na frekvenciji 1=a diskretni sustav ima jednako pojačanje kao i kontinuirani

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU






© Ivan Petrović



Eksperimentalno određivanje modela sustava

33/55Identifikacija na temelju prijelazne funkcije ili



© Ivan Petrović


Identifikacija na temelju prijelazne funkcije ilitežinske funkcije

• Tipični procesi– PTTt

– PTn

– PT2S

– PTnS

– Za ove tipične procese razvijene su metode pomoću

kojih se određuju razlomljene racionalne prijenosne funkcije s mrtvim vremenom ili bez mrtvog vremena, a na temelju eksperimentalno određene prijelazne funkcije ili težinske funkcije

grafoanalitičke metode

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU






© Ivan Petrović



Eksperimentalno određivanje modela sustava:

Identifikacija prijelazne i težinske funkcije

35/55Eksperimentalno određivanje prijelazne funkcije h(t)



© Ivan Petrović


Eksperimentalno određivanje prijelazne funkcije h( t) – neposredni postupak

• Prvi korak: Sustav se dovede u očekivanu radnu

točku (u0, y0) ‐ najčešće ručno

• Drugi korak: Na u0 superponira se skokovita

promjena u(t )=K* ∙S(t )

0

0

* s

s

y y y K

u u u

Proces

u (t )y

0

Proces

u0

y (t )

( )*

yh t

K

y0

y (t ) y (t )=K*·h (t )

ys

u0

u (t ) u (t )=K* · S (t )

us

Obično treba napraviti i negativnu skokovitu

promjenu

36/55Eksperimentalno određivanje prijelazne funkcije h( t)



© Ivan Petrović


p j p j j ( ) – posredni postupci – 1/6

• U mnogim procesima nije dopušteno primijeniti skokoviti test signal za određivanje h(t ):

– remeti se normalni radni režim procesa,

– izvršni (postavni) elementi ne dopuštaju skokovitu

promjenu pobudnog ispitnog signala

• Stoga se prijelazna funkcija određuje posredno na

osnovi drugih oblika pobudnog signala:– pravokutni impuls kao ispitni signal,

– funkcija linearnog porasta kao ispitni signal,

– proizvoljni deterministički ispitni signal.




© Ivan Petrović



• Pravokutni impuls kao ispitni signal:

)()(1

)(* P T t ht y

K t h

(Lako se odredi grafički ili numerički)




© Ivan Petrović



• Funkcija linearnog porasta kao ispitni signal:

(Lako se odredi grafički ili numerički)

K*

TP

t

u(t)

)()()( * P P T t h

dt t dy

K T t h

PROCESTP

K*

dt ...*

pT dy

K dt y

* K

T




© Ivan PetrovićRačunalno upravljanje sustavima: Poglavlje 2 ‐ Matematičko modeliranje sustava


• Proizvoljni deterministički ispitni signal:

– Ako su poznati u(t) i y(t), g(t) se može odrediti pomoću numeričke dekompozicije konvolucijskog integrala.

– Integral (*) može se aproksimirati zbrojem ( ‐mala širina koraka):

– Ako se pri numeričkom izračunavanju za vrijeme t odabere širina koraka , tj.

t = 0,

, 2

, . . . , k

, dobije se sustav od (k+1) jednadžbi s (k+1) nepoznatih

veličina (g(0), g( ), g(2 ), . . ., g(k )):

0

( ) ( ) ( )t

y t u t g d (Duhamelov

konvolucijski integral) (*)

0( ) ( ) ( )

k

y t u t g





– posredni postupci – 5/6

(0) (0) (0) ,( ) ( ) (0) (0) ( ) ,

( ) ( ) (0) (0) ( ) .

y u g y u g u g

y k u k g u g k

0

( ) ( ) ( )k

y t u t g

0

( ) ( ) ( )k

y k u k g

u(0) u(1) u(2) u(3) . . . . . . u(k)

0 1 2 3 k

u

t

y

y(0) . . . . . .y(1) y(2) y(3) y(k)

0 1 2 3 k

t

G(s)u y

Normiranjem vremena t

s slijedi:





– posredni postupci – 6/6

(0) (0) (0) ,( ) ( ) (0) (0) ( ) ,

( ) ( ) (0) (0) ( ) .

y u g y u g u g

y k u k g u g k

Normiranjem vremena t

s slijedi:

( ) ( ) ( )

(0) (0) 0 0 (0)

(1) (1) (0) 0 (1)

( ) ( ) ( 1) (0) ( )

y k u k g k

y u g

y u u g

y k u k u k u g k

1

( ) ( ) ( ) g k u k y k

00

( ) ( ) ( ) ( )t k

h t g d h k g

(Aproksimacija težinske

funkcije u vektorskom obliku)

SVEUČILIŠTE U ZAGREBUč



Fakultet elektrotehnike i računarstvaZavod za automatiku i računalno inženjerstvo




Eksperimentalno određivanje modela sustava:

Metode identifikacije prijenosne funkcije iz

prijelazne i težinske funkcije

43/55

Metoda e a Kü f ülle u




Metoda prema Küpfmülleru

h0 ‐ eksperimentalno dobivena prijelazna funkcija

w ‐ točka infleksije

h ‐ aproksimativna prijelazna funkcija:

( )1

t sT K e

G sTs

Tt tz (vrijeme zadržavanja)T ta (vrijeme porasta)K = y/u ‐ statičko pojačanje (očita se iz oscilograma)

0 ,( )

(1 ) , .t

t

t T

T

t

za t T h t

K e za t T

44/55

Metoda prema Strejcu




Metoda prema Strejcu

• Na snimljenoj

prijelaznoj

funkciji

h0(t) odrede se dvije točke: A(h1;t1) i B(h2;t2)

• Točke A i B trebaju se odabrati tako

da je točka infleksije w između njih.•Kroz točke A i B ucrta se prijelazna

funkcija h(t) i izračunaju se T t i T kako slijedi:

0 ,( )

(1 ) , .t

t

t T

T

t

za t T h t

K e za t T

1

2

1

2

(1 )

(1 )

t

t

t T

T

t T

T

h K e

h K e

2 1

1

2

; ln 1 ; 1 ili 2.

ln

t

t t hT T T t

K K h

K h

Poboljšanje

Küpfmüllerove metode. Manja osjetljivost na mjerni šum

45/55Aproksimacija matematičkog modela sustavać PT2 čl 1/3




pomoću PT2 člana – 1/3

● Na temelju prijelazne funkcije h0(t) dobivene mjerenjem određuje se prijenosna funkcija:

1 2

( )(1 )(1 )

G sT s T s

• Iz vremena ta i tz određuju se vremenske konstante T1 i T2

prijenosne funkcije.

1 2/ /1 2

1 2 2 1

( ) 1 t T t T T T

h t K e eT T T T

• Prijelazna funkcija za G(s) glasi (T1 T2):

1 2/ /

1 2

( ) t T t T h t e e

T T

1 2/ /

1 2 1 2

1 1( ) t T t T K

h t e eT T T T

•Prva i druga derivacija prijelazne funkcije h(t) glase:

Matematički model prikazan prijenosnom

funkcijom prvog reda s mrtvim vremenom često ne zadovoljava kod sustava višeg reda (prije svega zbog velikog odstupanja u

područ ju ˝zaleta˝)

46/55Aproksimacija matematičkog modela sustavapomoću PT2 člana 2/3





1. U toč

ki infleksije

prijelazne

funkcije

druga derivacija je jednaka nuli:

3. Iz sličnosti trokutova proizlazi:

•Uz = T2 /T

1slijedi:

1 2 2

2 1 1

( ) 0 lnw

TT T h t t

T T T

2. Iz grafa prijelazne funkcije vidi se da vrijedi:

2

2 12

1

1

( )

T

T T

w a

a

K T h t t T

t T

1 2 21 2

2 1 1

( )lnw z w

z a

a

t t h t TT T t t T T

t K T T T

1

1

1

( ) ,

1.

( ) 1 ln( ) 11

a

a

z

t

T

t

t

1

1

1

( ) ,

1.

( ) 1 ln( ) 11

a

a

z

t

T

t

t

47/55Aproksimacija matematičkog modela sustavapomoću PT2 člana 3/3





1

1

1

( ) ,

1.

( ) 1 ln( ) 1

1

a

a

z

t T

t

t

1

1

1

( ) ,

1.

( ) 1 ln( ) 1

1

a

a

z

t T

t

t

1T

t

t

ta

z

a

1

2

T

T

z

a

t

t

1T

ta

Nomogram pretvorbe tz i

ta u T 1 i T 2

ta/T1 ta/tz

Primjer: t a = 30 s ; t z = 2,3(1) ta / tz = 13(2) (3) ta / T1 = 6,55 T1 = 4,57 s(2) (4) T2 / T1 = 4,2 T2 = 19,2 s

min ta/tz

48/55Aproksimacija matematičkog modela sustavapomoću PTn člana 1/2




pomoću PTn člana – 1/2

tz tw

ta

h0

wh(tw)

K

h0

t

● Ako su vremenske konstante stvarnog

sustava približno jednake (odnos najvećei najmanje dominantne vremenskekonstante nije veći od 2), aproksimacijaPTn članom daje zadovoljavajućerezultate:

1 2 3

( )1

nn

K T T T T T G s

Ts

• Pripadajuća prijelazna funkcija glasi: 1/

0

/( ) 1

!

nt T

t T h t K e

•Prva i druga derivacija prijelazne funkcije h(t) glase:

1

//( ) 1

1 !

n

t T t T h t

e K n T

1

2 / /

2

1 /( ) 1 1/

1 ! 1 !

n

n t T t T n t T h t

t T e e K n T n T

49/55Aproksimacija matematičkog modela sustavapomoću PTn člana 2/2




pomoću PTn člana – 2/2

•Prva i druga

derivacija

prijelazne

funkcije

h(t)

glase:

1

//( ) 1

1 !

n

t T t T h t

e K n T

1

2 / /

2

1 /( ) 1 1/

1 ! 1 !

n

n t T t T n t T h t

t T e e K n T n T

●Iz uvjeta: ( ) 0 ( 1)w w

h t t n T

1

1

( 1)!( )

( 1)

na

w n

a

t nh t e

t T n

●Iz sličnosti trokutova proizlazi:

11

10

( 1)! ( 1)( ) / ( ) / ( 1)

( 1) !

nn z

w z a w n

t n nt t t h t K n e

T n

●Postupak identifikacije:● Iz prijelazne se funkcije odrede ta i tz , a zatim se n mijenja od n=2 na više i

odredi se T iz (*) ili (**) dok se ne dobije dobro slaganje odziva modelaprocesa i stvarnoga procesa

(*)

(**)

50/55Aproksimacija matematičkog modela sustavapomoću PT2S člana – 1/3




pomoću PT2S člana – 1/3

• Dok su prethodne metode namijenjne identifikaciji sustava s aperiodskim odzivom, ovdje se obrađuje metoda identifikacije sustava s oscilatornim odzivom

• Takvi se sustavi često mogu dovoljno dobro aproksimirati

prijenosnom funkcijom drugog reda:2

2 2( )

2n

n n

G s K s s

gdje je:n ‐ prirodna frekvencija neprigušenih oscilacija i

‐ relativni koeficijent prigušenja nedominatni

polovi

dominatni par

polova

n

p

j

n 1 2

0

n

s - ravnina





pomoću PT2S člana 2/3

0%

50

%

100%

y(t)=h(t)

t50 t

m

m

t

2 2

2( ) 1 cos( 1 ) sin( 1 )

1

nt

n nh t e t t

2

2( ) ( ) sin 11

nt nn g t h t e t

( ) ( ) 0 g t h t Iz

21m

n

t

21

1

% ( ) 1 100

100 ( )

m mh t

e f

50 2( )

nt f

Numeričkim

postupkom50 2 2

50 50 502( ) 1 cos( 1 ) sin( 1 ) ,

1

nt

n nh t e t t





pomoću PT2S člana 3/3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

100

211

% ( ) 1 100

100 ( )

m mh t

e f

1. Pojačanje K određuje se iz omjera promjene izlazne veličine i ulazne veličine u

eksperimentu.

2. Koeficijent prigušenja određuje se iz očitanog m i iz funkcije f 1( ).

3. Frekvencija neprigušenih prirodnih oscilacija n određuje se iz očitanog vremena t50 i iz funkcije f 2( ).

Prijenosna funkcija određena je s tri parametra: K , i n , koji se identificiraju sljedećim postupkom:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

1.2

1.4

1.6

1.8

m[%] = f 1( )

nt50

= f 2( )

53/55

Metoda momenata – 1/3




Metoda momenata 1/3

• Određuje prijenosnu funkciju procesa G(s) iz izmjerene težinske funkcije g(t)

• Odnos g(t) i G(s) dan je Laplaceovom transformacijom:

• Razvojem u Taylorov red člana e‐st u okolici točke st=0 G(s) poprima oblik:

• Iz toga slijedi: => vidjeti sljedeći slajd

0 1

0 1

( )m

m

n

b b s b sG s

a a s s

0

( )= ( ) ( ) st G s L g t g t e dt

2 3

0

( ) ( )( ) 1 ( )2! 3!

st st G s st g t dt

54/55





2 3

0

( ) ( )( ) 1 ( )2! 3!

st st G s st g t dt

2

2

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )

2! sG s g t dt s tg t dt t g t dt

0

( )i

i t g t dt gdje je:

i ‐ ti moment zadane težinske funkcije

2 3

0 1 2 3( ) 2! 3!

s s

G s M sM M M

2 3

0 1 2 3 0 1 0 1

2! 3!

n m

m

s s sM M M a a s s b b s b s

0 1

0 1( )

m

m

n

b b s b s

G s a a s s

• Izjednačenjem koeficijenata uz iste potencije dobije se (m+n+1) algebarskih jednadžbi odakle se mogu odrediti koeficijenti prijenosne funkcije:

a0, a1, . . . ,an‐1, b0, b1, . . . ,bm.

55/55





• Primjer: m = 1; n = 2 (sustav s jednom nulom i dva pola)

00 0

11 0 0 1

220 1 1 0

33 20 1 1

0

2!

03! 2!

b M a

b s M a M a s

M a M a M s

M M a a M s

0

01 0

12

1

0 0

1 13 2

0 1 0

00 1

00 0

2!

0 03! 2! p m

M

M

a M M

a M M

b M b M M M

1

p M m

2 3

0 1 2 3 0 1 0 1

2! 3!

n m

m

s s sM M M a a s s b b s b s

Postavlja se pitanje kako eksperimentalno odrediti (izmjeriti ) težinsku funkciju g (t ) koja je

potrebna za primjenu metode momenata? Opisano na slajdovima 34-41.

Documents

RUS 02 Matematicki Modeli Sustava 2012 13