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第三章 平面向量

§31 平面向量運算 在第一章裡，我們利用“相似三角形”的概念表達三角形邊與角的關係，建立三

角函數，進而以“三角函數”為工具，求“長度、角度、面積”等幾何量，並證明“正

弦定理，餘弦定理以及海龍公式，用以解決測量的問題。在第二章裡，我們利

用直角坐標系，將幾何問題經代數運算求解，再詮釋幾何意義，如直線的傾斜

程度、聯立方程式與直線交點，以及圓與直線的關係，進而研究它們的性質。

本章要再介紹新的數學概念 向量 (具有方向與大小)，包括向量的表徵、向量

的運算，用以處理幾何的問題，如長度 ( 距離 )，角度、平行、垂直、正射影

以及面積。考慮向量所在的環境，平面或空間，本章先來討論平面向量，第四

冊第一章再繼續討論空間向量。 (甲)向量的基本概念 (1)具有大小方向的量 以「位移」為例：

某甲從 A 點出發，朝西北方前進，走了 10 公里到達 B地。某乙從 A 點出發，朝北走了 10 公里到達 C 點，

考慮從 A 點到 B 點與 C 點雖然路徑相同，但方向卻不

一樣。有向線段 AB 的始點 A 其方向為西北方，其長

度 10 公里。有向線段 AC 的始點 A 其方向為北方，長

度為 10 公里。 以「合力」為例：

甲、乙兩人拔河，甲用大小 2F 的水平力向右邊拉，乙用大小 F 的水平力向左

邊拉，我們亦可用有向線段來表示這兩個力，其始點為施力點，方向分別是兩

力的方向，而長度分別是兩力的大小。

像位移、力、速度等物理量包含大小與方向雙重觀念，我們引進「向量」的觀

念，將這些物理觀念(朝西北移動 10 公里、向右 2F 的水平拉力)看成有向線段，

而引入向量，物理觀念經數學化之後，便於物理觀念的溝通與物理量的計算。

(2)向量的概念：

(a)向量的表示： 在數學上，常用有向線段來表示向量，而且有向線段的方向代表向量的方向；

有向線段的長度代表向量的大小。

以 A 為始點，B 為終點的有向線段，稱之為向量，符號：AB，它的方向是由 A

指向 B，大小為AB，記為 | AB |，即 | AB |=

AB。

當 A=B 時，AB為零向量，記為 AA = 0 ；注意： 0 的大小為 0，但方向為任意。

AB與 BA長度相等，但方向相反，稱 BA為 AB的反向量，記為： AB= BA。

向量若不特別指名始點與終點，亦可用 a 、 b 、 u 、…來表示。 (b)向量的相等：

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例如：

右圖的平行四邊形 ABCD，有向線段 AB可以經由

平移移動與有向線段 DC完全重合，此時有向線段 AB、

DC大小相等且方向相同，此時它們代表同一個向量，

即AB=DC。 兩個向量若大小相等方向相同，則稱兩個向量相等。

a = b a 與 b 方向相同且 | a |=| b |。

因此根據這個結果可知，向量可以自由的平行移動。 (練習1) 如右圖，O 點為正六邊形 ABCDEF 的中心，以圖中七個點之一為始點，

另一點為終點的向量中： (1) 有哪些和 AB 相等？ (2) 有哪些是 AB 的反向量？ [解法]： (1) 和 AB 相等的向量有 FO ， OC ， ED 。 (2) AB 的反向量有 OF ， CO ， DE 。

(乙)向量的坐標表示法 用坐標表示的向量，稱為坐標向量，將向量予以坐標化，即向量除了幾何表示(即有向線段)外，希望能利用代數法或代數式表示，使得向量能發揮更大的效益。 (1)平面向量的坐標表示：

設 a 為一個平面向量，如何用坐標來表示 a 呢？ 在坐標平面上，設 O 為原點，P ( a1，a2 ) 為任一點，則以 O 為始點，P 為終

點的向量 OP ，就稱為在 P 點這個位置的位置向量，而 OP 由 P 點唯一決定。

對於此平面上任意一個向量 a ，我們都可以找到唯一的位置向量 OP ，使得

a ＝ OP ，如右圖此時 P 點的坐標 ( a1，a2 )，稱為向量 a 的坐標表示法，記

作 a ＝(a1，a2)，其中 a1，a2 分別稱為 a 的 x 分量與 y 分量。

當向量 a 用坐標 ( a1，a2 ) 表示時，其方向與大小仍可看出：

(1) a 的方向是由原點 O 指向 P( a1，a2 )；

(2) a 的大小為 | a |＝ OP ＝ a12＋a2

2 。

特別地，零向量 0 的坐標為 ( 0 ，0 )，即 0 ＝( 0，0 )。 因此坐標的表示方式可以同時呈現出向量的兩個要素大小與方向

如果 a ＝ b ，則它們對應的位置向量相同，於是我們有以下的結論：

DC

B A

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結論：

(a)若向量 a =(a1,a2)，則其大小 | a |= a12＋a2

2 ，其方向是由(0,0)指向(a1,a2)。

(b)若 a =(a1,a2)， b =(b1,b2)，則 a = b a1=b1 且 a2=b2。

[例題1] 一物體由坐標平面中的點(3,6)出發，沿著向量 v 所指的方向持續前進，可

以進入第一象限。請選出正確的選項。

(1) v =(1,2) (2) v =(1,1) (3) v =(0.001,0) (4) v =(0.001,1)

(5) v =(0.001,1) (2014 學科能力測驗) Ans：(2)(3)(4)

(練習2) 如右圖，在坐標平面上， a ＝ OP ，試求：

(1) P 點與 a 的坐標表示法。

(2) a 的 x 分量與 y 分量。

(3) | a |。

(2)兩點坐標決定一個向量的坐標表示法

設 A(x1,y1)、B(x2,y2)為坐標平面上的兩點，那麼 AB如何表示呢？

若設 A(a1,a2)、B(b1,b2)為坐標平面上的兩點，則 AB=(b1a1 , b2a2)。 [說明]：

如下圖，設 AB對應的位置向量為 OP ，其中 O 為原點，P 點的坐標為(x,y)，則

由全等三角形的性質可得：x＝b1－a1，y＝b2－a2，即 P ( b1－a1，b2－a2 )。因

此AB＝( b1－a1，b2－a2 )。

(a) O，A，B 三點不共線 (b) O，A，B 三點共線

(練習3) 設 A (－2，5 )，B ( 1，1 )，試以坐標表示 AB 與 BA ，

並求 | AB |。

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Ans： AB=(3,4)、 BA=(3,4)， |AB|=5

結論： 已知兩點 A(a1,a2)，B(b1,b2)，則

(a)坐標化： AB=(b1a1 , b2a2)

(b)求分量： AB的 x 分量為 b1a1，y 分量為 b2a2。

(c)求長度： |AB|2= (b1a1)2+(b2a2)2 (3)用長度、方向角決定一個向量：

將AB平移到 OP，其中 O 為原點，令 | OP |=r 從 x 軸正

向 逆 時 針 轉 到 OP 的 有 向 角 為， 我 們 稱 為方向角，

0<360，則 AB= OP =(rcos,r sin)。 [說明]：

設 A(x1,y1)、B(x2,y2) OP =(x2x1,y2y1)， 即 P(x2x1,y2y1)根據正餘弦的定義， 可知 x2x1=rcos，y2y1=rsin。

AB= OP =(rcos,r sin)。

結論：A(x1,y1)、B(x2,y2)， AB=(x2x1 , y2y1)= (rcos,r sin)。 例如：

如圖，正六邊形 ABCDEF 的邊長為 3 單位長，且 cos= 2 3

，因為 |AB|=3，且 cos= 2 3 ，故 AB=(3cos,3sin)=(2, 5)

[例題2] 如圖，以 M 為圓心、MA=8 為半徑畫圓，

AE為該圓的直

徑，B、C、D 三點皆在圓上，且AB =

BC=

CD =

DE 。若

MD=8(cos(+90),sin(+90))。請選出正確選項。

(1) MA=8(cos,sin)

(2) MC=8(cos(+45),sin(+45)) (3) (內積) MA．MA=8

(4) (內積) MB．MD=0

(5) BD =8(cos +cos(+90),sin +sin(+90)) (2015 學科能力測驗)

F

E

D

C

B

O A

x

y

P

A

B

O x

y

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Ans：(2)(4)

(練習4) 如右圖，正六邊形 ABCDEF 的邊長為 3 單位長，

且 cos= 2 3 ，試求 AC=？

Ans： AC=(6 15

2 ,3 5+2 3

2 )

(練習5) 設 A ( 3，－2 )，B (－1，2 )，C ( 2，3 ) 為坐

標平面上的三點，若四邊形 ABCD 為平行四

邊形，試求 D 點的坐標。 Ans：( 6，－1 )

(丙)向量的加減法 許多物理量都具有大小與方向，例如：速度、力、…，這些物理量都可以用向

量來描述。在實際生活中，會遇到兩個不同的速度或力的合成問題，因此我們

可以進一步定義向量的運算，來描述這些現象。

(1) 向量的加法：給定二個向量 a , b 如何定義 a + b 呢？ (a)三角形法(可用位移為模型)：

設 a =AB， b = BC ，使得 a 的終點與 b 的始點為同一點，定義 a + b =AC。

( a 的始點指向 b 的終點)

[討論]：如右圖， AB+ BC +CD+ DE =？

C

B

A

A B C

A C

A B C

A C A

A

B C

D

E

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(b)平行四邊形法(可用合力為模型)：

設 a =AB， b =AC，使得 a 與 b 的始點為同一點，

則定義 a + b =AD，ABDC 為平行四邊形。

[說明]：因為 AC=BD，所以 AB+AC=AB+BD=AD (2)向量的減法：

給定兩個向量 a , b ，如何定義 a b 呢？

可設→■a =AB，→■b =AC，使得 a 與 b 的始點為同一點，

則定義 a b = a +( b )=ABAC=CB (由 b 的終點指向 a 的終點)。 [說明]：

設 a =AB, b =AC，我們定義 a b = a +( b )

根據右圖可知 AD =→■b ，ADEB 為平行四邊形，

a b = a +( b )=AB+AD= AE =CB，即 ABAC= CB。 (3)向量的拆解

(a)任何一個向量 AB，都可以拆解為 AP + BP 兩向量的和，其中 P 為任一點。

即AB= AP + BP 。(可用位移為模型)

(b)任何一個向量 AB，都可以拆解為 PB PA 兩向量的差，其中 P 點為任一點。

即AB= PB PA 。(可用相對運動為模型) (3)坐標向量的加減法 設在坐標平面上， a ＝( a1，a2 )， b ＝( b1，b2 )，若 O 為原點，且 A，B 兩點

的坐標分別為( a1，a2 )，( b1，b2 )，則 a ＝ OA ， b ＝ OB 。 (a)向量的加法：

如果 O，A，B 三點不共線，那麼以 OA ， OB 為兩鄰邊，可作一平行四邊

形 OACB，如圖(a)所示。故得 OA ＋ OB ＝ OC 。令 C 點的坐標為( c1，c2 )，因

為 OC 的中點與 AB 的中點重合，所以 c1＝a1＋b1，c2＝a2＋b2，

A B

C D

A B

C

D E

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(a) (b)

於是 OA ＋ OB ＝ OC ＝( a1＋b1，a2＋b2 )，即 a ＋ b ＝( a1＋b1，a2＋b2 )。

如果 O，A，B 三點共線，且 OA ＋ OB ＝ OC ，那麼 OC 的中點與 AB 的中

點也會重合，所以這個結果仍然成立，如圖(b)所示。 (b)反向量的坐標表示法 接下來，在介紹向量減法的坐標表示法之前，讓我們先來看看反向量的坐標表

示法，設 A'的坐標為 (－a1，－a2 )，則原點 O 為 AA' 的中點，所以OA'與 OA 互

為反向量，即OA'＝－ OA ，於是 若 a ＝( a1，a2 )，則 a 的反向量為－ a ＝(－a1，－a2 )。 (c)向量的減法 利用向量相加與反向量的坐標，我們就可以求出向量相減的坐標表示。 a － b ＝ a ＋(－ b )

＝( a1，a2 ) ＋〔－( b1，b2 ) 〕 ＝( a1，a2 )＋(－b1，－b2 ) ＝( a1＋(－b1 )，a2＋(－b2 ) ) ＝( a1－b1，a2－b2 )。

結論： 向量加減法的坐標表示

設 a ＝( a1，a2 )， b ＝( b1，b2 )，則 (1) a ＋ b ＝( a1＋b1，a2＋b2 )。 (2) a － b ＝( a1－b1，a2－b2 )。 [例題3] 設 a ＝( 5，3 )， b ＝(－2，1 )。

(1) 試以坐標表示 a ＋ b 與 a － b 。 (2) 若 P ( 4，－2 )，且 PQ ＝ a － b ，求 Q 點坐標。 [解法]： (1) a ＋ b ＝( 5，3 )＋(－2，1 )＝( 5＋(－2 )，3＋1 )＝( 3，4 )。 a － b ＝( 5，3 )－(－2，1 )＝( 5－(－2 )，3－1 ) ＝( 7，2 )。

(2) 設 Q 點的坐標為 ( x，y )，因 PQ ＝ a － b ， 故 ( x－4，y－(－2 ) )＝( 7，2 )。

即 x－4＝7y＋2＝2，得 x＝11，y＝0，所以 Q 點坐標為 ( 11，0 )。

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(練習6) 設 a ＝(－3，2 )， b ＝( 4，－1 )。 (1) 試以坐標表示 a ＋ b 與 a － b 。 (2) 試求 | a ＋ b |與 | a － b |。 Ans：(1) a ＋ b =(1,1)、 a － b =(7,3)

(2) | a ＋ b |= 2， | a － b |= 58

(4)向量加法的性質： 利用向量加減法的坐標表示，可以到以下的性質：

(a)交換性： a + b = b + a

(b)結合性：( a + b )+ c = a +( b + c )

(c)零向量： a + 0 = 0 + a

(d)可逆性：對於任一向量 a ，若以 AB表示 a ，則 BA所表示的向量以 a 表示。

(丁)向量的係數積 (1)係數積的定義： 我們用一個力 f 去推動一個物體，如果推不動，我們希望再加倍用力去推，那

麼這個加倍的力就可以用 2 f 表示；如果我們希望只用一半且方向相反的力去

推，那麼“這個大小一半，方向相反的力就可以用－ 1 2 f ”表示，如圖所示。

一般而言，一個實數 r 與一個向量 a 的乘積，稱為向量的係數積。

設 a 是一個向量，r 為實數，則係數積 r a 仍是一個向量，定義如下：

長度： | r a |=|r|| a | 方向：

若 a 為非零向量且 r0：

r0：r a 與 a 同向；r0：r a 與 a 反向

若 r=0 或 a = 0 ：r a = 0

注意：0 a 、r 0 均為零向量 0 ，而不是 0。

(練習7) 下圖中，每個小正方形的邊長皆為 1 單位，試圖示 2 a － 1 3 b 。

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[例題4] 在正六邊形 ABCDEF中，令AB= a ,BC = b ，試以 a 和 b 表示下列諸向量：

(1)AC (2)BD (3) CD。

Ans：(1) a + b (2) 2 b a (3) a + b

(練習8) 正六邊形 ABCDEF， AB＝ a ， BC ＝ b ，則

○Ａ BE ＝2 b －2 a ○Ｂ BD＝2 b － a

○Ｃ BF ＝ b －2 a ○Ｄ BF ＝2 a － b

○Ｅ BD＝ a －2 b 。Ans：(A)(B)(C)

(練習9) 如圖所示，設四邊形 ABCD、EFGH、DCGH、ABFE、ADHE 和 BCGF

都是平行四邊形， BA = a , BC = c , BF = d ，

試以 a , c , d 表示 CE 和 AG 。

Ans： a c + d ， a + d + c

(2)向量平行： 利用係數積可使向量在同向(r0)或反向(r0)，伸縮向量的長度。

例如：設 A,B,C 為一直線上的三點，且AB：

BC=3：2，

則 AB=35AC， BC =

23 BA。

設向量 a 與 b 中有一個可以寫另一個的係數積，則稱這兩個向量 a 與 b 平行，

符號以 a // b 來表示。即 根據向量平行的定義，可知： (a)兩個非零向量平行的充要條件是兩向量同向或反向

(b) 0 之方向不予限定，故 0 可視為與任何向量均平行。

a // b 可找到實數 t 或 s，使得 a =t b 或 b =s a

BA C

A

B C

DF

E

G

H

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[例題5] 設相異三點 A,B,C 共線

若 C 為線段AB之中點，則 AC =________ AB ，CA =________CB

若 C 在線段AB上，且 AC =

23CB，則BC =_______ AC ， AB =________ AC

(練習10) 如圖 A，B，C，D，E，F 共線，且

EFDECDBCAB ＝＝＝＝ ，則下

列敘述何者正確？

(A) AB =15 AF

(B) AB =13 CF (C) BE =

–32 DB

(D) AB +2 DE =3 BC

(E)BD–CB= AF 。Ans：(A)(B)(C)(D)

(3)向量係數積的坐標表示 我們已經學過向量係數積的幾何圖示法，接下來我們要再進一步探討其坐標表

示法。 設 a ＝ OA ＝( a1，a2 )，r a ＝ OB ＝( b1，b2 )，當 r≠0 時，如下圖

(a) r＞0 (b) r＜0

過 A，B 兩點作 x 軸的垂線，其垂足分別為 A' ( a1，0 )，B' ( b1，0)。 因為△OAA'～△OBB'，

(1) 若 r＞0，則 OB'

OA' ＝

OB

OA ＝r，得 b1＝ra1。

(2) 若 r＜0，則 OB'

OA' ＝

OB

OA ＝－r，得－b1＝(－r ) a1，即 b1＝ra1。

於 r＝0 的情形，因 r a ＝ 0 ＝( 0，0 )，故 b1＝0＝0 ·a1＝ra1。 同理可得 b2＝ra2，因此我們可以得到向量係數積的坐標表示法。

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設 a ＝( a1，a2 )，r 是任意實數，則 r a ＝r ( a1，a2 )＝( ra1，ra2 )。 (4)係數積的基本性質： 利用向量係數積的坐標表示法，可得以下的性質：

設 r,s R， a 與 b 為二任意向量，則：

(a)分配律一：r( a + b )=r→■a +r→■b 分配律二：(r+s) a =r a +s b

(b)結合律：r(s→■a )=(rs)→■a

[例題6] 設 a ＝(－1，2 )， b ＝( 2，1 )， c ＝(－5，3 )。

(1) 試以坐標表示 a ＋2 b ，並求| a ＋2 b |。 (2) 試以坐標表示 4 a ＋3 b －2 c ，並求| 4 a ＋3 b －2 c |。 [解法]： (1) a ＋2 b ＝(－1，2 )＋2 ( 2，1 )＝( 3，4 )，

| a ＋2 b |＝ 32＋42 ＝ 25 ＝5。 (2) 4 a ＋3 b －2 c ＝4 (－1，2 )＋3 ( 2，1 )－2 (－5，3 )＝( 12，5 )，

| 4 a ＋3 b －2 c |＝ 122＋52 ＝ 169 ＝13。

[例題7] 設 a ＝( a1，a2 )， b ＝( b1，b2 ) 為兩個非零向量，試證：

a // b ⇔ a1b2＝a2 b1。

[證明]： (1) 若 a // b ，則存在非零的實數 r，使得 a ＝r b ， 即 ( a1，a2 )＝r ( b1，b2 )＝( rb1，rb2 )，得 a1＝rb1，a2＝rb2， 故 a1b2＝( rb1 )b2＝b1 ( rb2 )＝a2b1。

(2) 若 a1b2＝a2b1，當 b1b2≠0 時，則 a1 b1

= a2 b2

，

令此值為 r，r≠0， 則 a ＝( a1，a2 )＝( rb1，rb2 )＝r ( b1，b2 )＝r b ，故 a // b 。 當 b1b2＝0 時，則 b1，b2 恰有一數為 0。 可令 b1＝0，b2≠0，則 a1＝0，a2≠0，故存在非零實數 r，使得 a2＝rb2，於

是 a ＝( 0，a2 )＝( 0，rb2 )＝r ( 0，b2 )＝r b ，即 a // b 。

由(1) (2)知： a // b ⇔ a1b2＝a2b1。

[例題8] 設 a =(2,–3)， b =(1,4)，t 為實數，試求當 t=？時，| a +t b |的最小值。

Ans：1017

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[例題9] (1)求一向量→■u 使|→■u |=1 且→■u 與→■v =(5,6)同方向。

(2) 求一向量→■u 使|→■u |=1 且→■u 與→■v =(5,6)反方向。

Ans：(1)(561

,661

) (2) (–561

,–661

)

平面上每一個非零的向量，都有一個長度為 1 且與它同方向或反方向的向量，

我們把長度為 1 的向量，稱為單位向量。

若非零向量 a 與單位向量 e 同方向，則由係數積的定義可得 a ＝ | a | e ，換句

話說， e 可以表為1

| a | a 。

(練習11) 設 a =(1,1), b =(5,2)，試求：

(1)2 a +3 b (2)4 a 5 b (3)| a +2 b | Ans： (1) (13,4) (2)(29,14) (3) 146

(練習12) 設→■a =(2,1)，→■b =(3,4)，當 | a +t b |最小時，t=？ Ans：2

(練習13) 設→■a =(1,2)、→■b =(3,4)，若 t→■a +→■b 與→■a +t→■b 平行，求實數 t=？

Ans：t=1 或1

(練習14) 設 A ( 1，t )，B ( 3，－2 )，C (－1，6 )，若 A，B，C 三點共線， 試求 t 的值。 Ans：2

(練習15) 請求出與→■a =(4,3)平行的單位向量。Ans：15

(4,3)或15

(4,3)

(練習16) 設→■a =(3,1)、→■b =(1,2)、→■c =(3,8)，若→■c =x→■a +y→■b ，則實數對(x,y)=？

Ans：(x,y)=(2,3)

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O A B

(戊)向量的內積

一個物體在定力 f 作用下，若在力 f 的方向上有一位移 d，則該力對物體所作的

W=fd；但當力的方向與位移的方向有一夾角時，所作的功就不再單純的只是

力與位移的乘積，而與夾角有關。 如下圖，對一個重物施以與水平方向成角大小 5 牛頓的力 f 使得重物沿水平方

向移動 10 公尺，試求所作的功=？ [解答]：因為 f 的水平分力為 5cos，因此所作的功 W=(5cos )10(焦耳) [數學化]：

現在將力視為向量 f ，位移視為向量 d ，因為力與水平方向夾角為，則可視

為 f 與 d 的夾角為，

所作的功 W=(5cos )10=(| f |cos )| d |=| f || d |cos ，其中為 f 與 d 的夾

角，這樣的概念數學化之後，就稱為向量 f 與 d 的內積。 (1)向量的夾角：

a 、 b 為平面上的兩個非零向量，根據向量的意義，我們可以將兩個向量平行

移動，使得 a 與 b 的起點重合(如下圖)，令 a =OA， b =OB， 定義兩向量的夾角為AOB。(0180) 0<<90 90<<180 =90 =0 =180

為 0 之方向不予限定，因此我們規定 0 與任何向量的夾角為任意角度。 注意： (2)向量的內積： 定義：

設 a 與 b 為兩向量，為其夾角，定義 a 與 b 的內積為 | a || b |cos，符號記

為： a ． b =| a || b |cos，"．"念成 dot。

特別的， 0 ． a =| 0 || a |cos=0，因此 0 與任何向量 a 的內積都是 0。

O

A

B

O

A

B

O

A

B

A O B

10 公尺

5 牛頓

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注意： a ． b 是一個實數而非向量，就好像功是一個純量，而沒有方向。

當 a ． b >0 0<夾角<90，當 a ． b <0 90<夾角<180 例：設正三角形 ABC 之邊長為 1，

求(1)AB． AC之值；(2)AB． BC 之值。

(3)內積的另一種看法：

令 a =AB, b =AC，為 a 與 b 的夾角

(a) 當 0<<90

如圖， | b |cos =|AC|cos =AD

a ． b =| a || b |cos= AB．

AD >0

(b)當 90<<180

如圖， | b |cos =|AC|cos = AD

a ． b =| a || b |cos= AB．

AD <0

(c)當 =90 a ． b =0

如圖， | b |cos =0 a ． b =| a || b |cos=0

[例題10] ABC 之三邊長為AB=4，

BC =5，

CA =6，

則求(1)AB．AC=？ (2)AB．BC =？ Ans：(1)272 (2)

52

A(D) B

C

A B

C

D

A

B C

A B

C

D

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(3)向量垂直的定義：

當 a 與 b 之夾角為直角時，我們稱 a 與 b 垂直，記為 a b 。

因為一向量 a 與 0 之夾角可視為任意角，為了方便起見，我們將任何向量與

零向量都視為垂直，於是 a b 表示 a = 0 或 b = 0 或=2，但不管是那一種

情形， a ． b =0。所以規定： a b a ． b =0。 (4)向量內積的坐標表示法：

(1)設 a =(a1,a2)， b =(b1,b2)，我們如何用 a1,a2,b1,b2 表示 a ． b 呢？

a 與 b 不平行：

設OA=(a1,a2)和 OB=(b1,b2)且兩非零向量的夾角為， 根據餘弦定理：

|BA|2=|OA|2+|OB|22|OA||OB| cos 因此

OA． OB=|OA||OB|cos=12(|OA|2+|OB|2 |BA |2)

=12

[(a12+a2

2)+(b12+b2

2)[(a1b1)2+(a2b2)2]]=a1b1+a2b2

故 a ． b = a1b1+a2b2。

a 平行 b ：

可令 a =t b (a1,a2)=t(b1,b2) a1=tb1 且 a2=tb2

a ． b =( t b )． b =t| b |2=t(b12+b2

2) a1b1+a2b2=( tb1)b1+( tb2)b2= t(b1

2+b22)

故 a ． b = a1b1+a2b2。

根據前面的計算， a ． b = a1b1+a2b2。

根據這個結果，可知當我們將 a 、 b 坐標化之後， a ． b 就可以容易由分量

計算出來，此時可以反過來向量的夾角與長度。

結論：設 a =(a1,a2)， b =(b1,b2)

(a) a ． b =| a || b |cos=a1b1+a2b2。

(b) a b a ． b =0 a1b1+a2b2=0 (向量與垂直的關係)

(c)若 a 與 b 皆不為 0 ，則 cos=|||| ba

ba

=

a1b1+a2b2

a12+a2

2 b12+b2

2(向量與角度)

(d) a ． a =| a || a |cos0=| a |2。(向量與長度) 由(c)與(d)可知內積與求角度、長度都有關係，這也是內積重要的地方。

O

B

A

x

y

~3116~

[例題11] (1)設 a =(2,4)、 b =(1,2)，為 a 、 b 的夾角，試求 cos的值。 (2)設ABC 的三頂點為 A(3，2)、B(1,4)、C(6,3)，求內角A 的角度。

Ans：(1)cos=35 (2)135

[例題12] 設 u 、 v 為兩長度為 1 的向量。若 u + v 與 u 的夾角為 75，

則 u 與 v 的內積為 。(化為最簡根式) (2014 學科能力測驗)

[答案]：2

3

[例題13] 設向量 a 與另一向量 b =( 3,1)的夾角是 120°且| a |=8，試求向量 a 。

Ans： a =(0,8)或(4 3,4)

v

u

u + v

~3117~

(練習17) 設 a =(2,0)、 b =(1, 3)，試求：

(1) a ∙ b (2) a 與 b 的夾角。Ans：(1)2 (2)120

(練習18) 設 u =(k,1), v =(2,3),求 k 使：

(1) u 和 v 垂直 (2) u 和 v 平行 (3) u 和 v 的夾角為 60°

Ans：(1)k=32 (2)k=

23 (3)k=8+

13 33

(練習19) 設 A(4，0)，B(0，－3)，動點 P 為直線 x＋y＝0 上之一點。則 PA ． PB

之最小值＝ 。Ans：–49

8

[提示：令 P(t,t)， PA ． PB =(4t,t)∙(t,3+t)=2t27t]

(練習20) 設 A(1,2)、B(0,2)、C(3,4)為ABC 之三頂點，求 sinA=？Ans：5221

(練習21) 設OA=(3,1)， OB =(1,2)，若 OCOB， BC //OA，且OD+OA=OC，

則OD=？ Ans：(11,6)

(5)向量內積的性質： 利用向量內積坐標表示法，可以得出以下的性質：

設 a , b , c 為任意三向量，r 為任意實數，則

(a) a ． b = b ． a (交換性)

(b) a ．( b + c )= a ． b + a ． c (分配性)

(c)r( a ． b )=(r a )． b = a ．(r b )

(d) 0 ． a =0 (注意： 0 ． a =0 而非零向量)

(e)| a |2= a ． a 0， | a |2=0 a = 0 注意： | a |2= a ． a 這個性質可以讓我們在內積與長度之間轉換，是一個簡單但重要的性質。

(f)| a b |2=( a b )．( a b )=| a |22 a ． b +| b |2

令 a =OA， b =OB

BA=OAOB= a b ，

| a b |2=| a |2+| b |22 a ． b 可以寫成：

|BA|2=|OA|2+|OB|22|OA||OB|cos，當 a 與 b 不平行時，上式即為餘弦公式。

O A

B C

~3118~

(g)|m a +n b |2=m2| a |2+n2| b |2+2mn a ∙ b

|m a +n b |2=( m a +n b )∙( m a +n b )= m2| a |2+n2| b |2+2mn a ∙ b

[例題14] 二向量 a , b ，若| a |=3，| b |=4，且| a + b |= 13 ，則

(1) a 與 b 之夾角為何？ (2)|3 a +2 b |=？ Ans：(1)120 (2) 73

[例題15] 設∣ a ∣＝3，∣ b ∣＝5，∣ c ∣＝7，且 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，試求：

(1) a ． b ＝________。(2) a 與 b 之夾角為________。Ans：(1)152 (2)60

[例題16] 設 a =(2,4)， b =(2,1)，設 c = a +t b 且平分 a 與 b 的夾角，

(1)試求 t。 (2)試求平分 a 與 b 夾角的單位向量。

Ans：(1)2 (2)1

2 2(2,2)

[例題17] | a |=3,| b |=1，且 a 與 b 之夾角為，其中 cos=13

，

若 OP = a + b ，OQ =2 a b ，則| PQ |=？ Ans： 17

~3119~

(練習22) 正三角形 ABC 的邊長為 2，M 為BC的中點，試求

(1)(BC +AM)．AC =？ (2)(BCAM)．(AB+AM)=？Ans：(1)5 (2)8

(練習23) 設 a =(1,3)， b =(3,1)，令單位向量 c 平分 a 與 b 的夾角，試求 c 。

Ans：1

2 5(2,4)

(練習24) 設 ─OA＝2， ─OB＝3，OA與 OB之夾角為 60°，試求：

(1)OA． OB。(2)∣2OA＋ OB∣。(3)∣OA－2OB∣。Ans：(1)3(2) 37

(3)2 7

~3120~

y

x

D C

B

AO

綜合練習

(1) 設 a =(3,1), b =(1,2)， c =(2,5)，試求

(a)3 a (2 b + c ) (b)| 3 a (2 b + c )| (c) a ∙( b +2 c ) (d)( a ∙ b ) c

(2) 設 a = (3,1) ， b = (1, 4) ， c =(5,9)，

(a) 若 c =x a +y b ，求 ,x y 之値。

(b) 若 c = a +t b ，且│ c │= 41 ，求 t 之値。

(3) 有一正立方體，其邊長為 1，如果向量 a 的起點與終點都是此正立方體的頂點，

且| a |=1，則共有多少個不相等的向量 a ？ (A)3 (B) 6 (C)12 (D)24 (E)28 。 (86 學科)

(4) 在坐標平面上，A(150,200)、B(146,203)、C(4,3)、O(0,0)，下列敘述何者為真？ (A)四邊形 ABCO 是一個平行四邊形。 (B)四邊形 ABCO 是一個長方形。 (C)四邊形 ABCO 的兩對角線互相垂直。

(D)四邊形 ABCO 的對角線AC長度大於 251。

(E)四邊形 ABCO 的面積為 1250。 (90 學科)

(5) 在坐標平面上有四點 O(0,0),A(3,5),B(6,0),C(x,y)。今有一質點在 O 點沿AO方

向前進AO距離後停在 P，再沿 BP 方向前進 2

BP 距離後停在 Q。假設此質點繼

續沿CQ方向前進 3CQ距離後回到原點 O，則(x,y)= 。

(2009 學科能力測驗)

(6) 如右圖所示，O 為正方形 ABCD 對角線的交點， 且 E、F、G、H 分別為線段 OA，OB，OC，OD 的中點。 試問下列何者為真？

(A)AB +BC =AE + EF + FG +GC (B)AB =2 EF (C)ABBC =DB (D)AB + BF + FE =GC (E) AE BF =0

(7) 在平行四邊形 ABCD 中， AC 為一條對角線，若 BA

=(2, 4)， CA

=(1, 3)，

則 CB

=？

(8) 設 a

= (3,4) ， b

= (1,0) ，若 c

平分 a

與 b

的夾角，且 c

為單位向量，則 c

=？

(9) 如圖：坐標平面上，O 為原點， 8OA ， 4AB ，

2BC ， 1CD ， AOB = ABC = BCD =120， (a)試求 C 點坐標

(b)設 DO

= x AO

+ y BO

，試求 ,x y 之値

B C

A D

O

E H

G F

~3121~

(10) (a) 正ABC 之邊長為 1， AH 為 BC 上的高，求 ( CB

+ HA

)． AC

。

(b) 平行四邊形 ABCD 中， 7AB ， 5BC ，求 CA

． DB

。

(11) 設 a =(k,2)， b =(2,3)

(a)若 a 垂直 b ，求 k 的值。 (b)若 a 平行 b ，求 k 的值。

(12) (a) 設 | a |=1，| b |=2， a 與 b 之夾角為 60，

若 OP =2 a 3 b ，OQ=4 a + b ，則 | QP

|=？

(b) 已知 a

與 b

滿足 | a

+ b

| = 4，| a b

| = 2，求 | a 2 b

| 2 + |2 a b

| 2 =？

(13) 坐標平面中，向量 w 與向量 v =(2, 5)互相垂直且等長。請問下列哪些選項是

正確的？(2011 學科能力測驗)

(1)向量 w 必為( 5,2)或( 5,2)

(2)向量 v + w 與 v w 等長

(3)向量 v + w 與 w 的夾角可能為 135

(4)若向量 u =a v +b w ，其中 a,b 為實數，則向量 u 的長度為 a2+b2

(5)若向量(1,0)=c v +d w ，其中 c,d 為實數，則 c>0。

(14) 坐標平面上，直線 L1 與 L2 的方程式分別為 x+2y=0 與 3x5y=0。為了確定平面

上某一定點 P 的坐標，從 L1 上的一點 Q1 偵測得向量Q1P=(7,9)，再從 L2 上的

一點 Q2 偵測得向量Q2P=(6,8)，則 P 點的坐標為 。(2015 學科能

力測驗)

(15) 令 A ， B 為坐標平面上兩向量。已知 A 的長度為 1， B 的長度為 2 且 A 與

B 之間的夾角為 60。令 u A B ， v x A y B ，其中 ,x y 為實數

且符合 6 8x y 以及 2 0x y ，則內積 u v 的最大值為 。 (2013 學科能力測驗)

(16) 若| b |=2| a |0，且( a + b )( a 25 b )，則 a 與 b 之夾角為何？

(17) 設→■u 、→■v 為兩非零向量，以|→■u |表示→■u 之長度，若|→■u |=2|→■v |=|2→■u +3→■v |，

且表示→■u 與→■v 的夾角，則 cos= 。 (2006 指定甲)

(18) 引擎馬力的計算公式是 P= 175 ( F ． v )，其中 F 是引擎所帶動物體的重量，

單位是 kgw， v 是引擎帶動物體的速度，單位是 m/sec。 現在有一貨車拉動軌道上重 1000 公斤的貨車，而纜線與水平線的夾角是 30，貨車的速度是 15m/sec，求貨車引擎的馬力。

(19) 設 ABCD 是平行四邊形，AB=2，

BC=3，則AC．BD =？

~3122~

A

B

CD

(20) ABC 中，設 A(2,1),B(1,2),C(4,3)，試求ABC 的垂心 H。

(21) 三向量 a , b , c ，若 a + b + c = 0 ，且| a |=2，| b |=3，| c |=4，則

(a) a ． b + b ． c + c ． a =？ (b)求 a 與 b 之夾角，cos=？

(22) 一單位圓之內接ABC，圓心 O，若 4OA+5OB+6OC=→■0 ，

則(a)OA．OB =？ (b)AB =？

(23) 如圖所示，一公路依地形迂迴而建，從 A 地到 B 地，

B 地到 C，C 地到 D 地，距離分別是 4 3、11、6 公里， 而 AB 與 BC，BC 與 CD 間，兩公路的夾角分別是 90、120，試求 A 地到 D 地的直線距離。

進階問題

(24) 設 a 、 b 均非零向量，若 a 在 b 方向的投影量為| b |的 3 倍，而 b 在 a 方

向的投影量為| a |的16倍，則 a 與 b 之夾角為何？

(25) △ABC 中， a ＝OA， b ＝OB， c ＝OC， a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，

a ． b ＝1， b ． c ＝2， c ． a ＝3，則：

(a)∣2 a ＋3 b ＋4 c ∣＝__________。(b)△ABC 之面積為_________。

(26) 若| a |=| b |0， 且| a + b || a b |= 2| a |，求 a ， b 之夾角。

(27) 坐標平面上，A、B、C 三點不共線，若OA+OB+OC= 0 ，|OA|=1，|OB|=2，

|OC|= 2 ，求(a)OA與OB之夾角的正弦值， (b)ABC 的面積。

(c)|OA +2OBOC|=？

(28) 設O 為原點，以 (12, 5)G 為圓心，7為半徑作一圓，再作此圓之一內接正 ABC ，

試求│ AO

+ BO

+ CO

│之値。

~3123~

綜合練習解答 (1)(a) (5,12) (b)13 (c)3 (d) (2,5)

(2)(a) 1, 2x y (b) 1 或31

17

(3)(B) (4)(A)(B)(E) (5)(4,20) (6)(全) (7)(1, 1)

(8)2 5 5

( , )5 5

(9)(a) (9,3 3) (b) 7 3

,8 2

x y

(a ∵) AO

= (8,0) ， BA

= (4cos 60 ,4sin 60 ) = (2,2 3) ，

CB

= (2cos120 , 2sin120 ) = ( 1, 3) ， DC

= (cos180 ,sin180 ) = ( 1,0) ，

CO

= AO

+ BA

+ CB

= (8,0) + (2,2 3) + ( 1, 3) = (9,3 3)

∴ C 點坐標為 (9,3 3)

(b) DO

= AO

+ BA

+ CB

+ DC

= (9,3 3) + ( 1,0) = (8,3 3) ，

又 DO

= x AO

+ y BO

(8,3 3) = x (8,0) + y (10, 2 3) = (8 10 ,2 3 )x y y

8 10 8x y 且 2 3 3 3y 7 3

,8 2

x y

(10)(a)5

4 (b) 24

(11)(a)3 (b)43

(12) (a) 84 (b) 26 (13)(1)(2)(5) (14)(9,1)

[解法]： 依題意，令 Q1(2t,t)、Q2(5s,3s)、P(x,y)

Q1P=(x+2t,yt)=(7,9)

Q2P=(x5s,y3s)=(6,8)

得到

)2(9

)1(72

ty

tx與

)4(83

)3(65

sy

sx

(1)(3)得到 2t+5s=1，(4)(2) 得到 t3s=17 解得 s=3、t=8 故(x,y)=(9,1)，因此 P 點坐標為(9,1)。

(15)31 (16)60

(17) 78

(18)100 3

~3124~

(19)5[提示： AC． BD=(AB+ BC )．(BC +CD)=( BC +AB)．(BCAB)]

(20)(52 ，

32 )

(21) (a)29

2 (b)14

(22) (a)18 (b)

32 [提示： |OA|=|OB|=|OC|=1]

(23)7 7公里

[提示：AD=AB+BC +CD]

(24)45 [提示：→■a 對→■b 方向的投影量為 |→■a |cos ，其中為→■a 與→■b 之夾角]

(25) (a) 15(b)3 11

2

[提示：(a)→■a (→■a +→■b +→■c )=|→■a |2+→■a →■b +→■a →■c =0 |→■a |=2 同理可以求得 |→■b

|= 3 ， |→■c |= 5 ，

再求 |2→■a ＋3→■b ＋4→■c |2 的值。(b)ABC=OAB+OBC+OCA]

(26)30

[提示：可令 a , b 之夾角，因為 | a |=| b |，所以 | a + b |=2| a |cos2.，

| a b |=| a |sin2]

(27)(a)7

4 (b)3 7

4 (c) 22

(28)39