Univerzitet Crne Gore

Kvantitativne metode optimizacije u funkciji naučnog

menadžmenta

Sanja I. Bauk

Podgorica, 2010.

«Neke knjige treba okusiti,

neke druge gutati, a

nekoliko njih gristi i svariti»

Francis Bacon (1561-1626)

Sadržaj

Predgovor Izjava zahvalnosti

1. Uvod 1

1.1. Deterministički i stohastički modeli 2

1.2. Razvoj menadžmenta kao naučne discipline 3

1.3. Naučni menadžment danas 7

1.4. Osnovne pretpostavke naučnog menadžmenta 9

2. Koncept linearnog programiranja 11

2.1. Primjer zadatka linearnog programiranja 13

2.2. Formulaciona faza 15

2.3. Reskaliranje matematičkog modela zadatka linearnog programiranja 16

2.4. Rješavanje zadatka linearnog programiranja grafičkom metodom 17

2.5. Tumačenje rješenja dobijenog grafičkom metodom 21

2.6. Simpleks metod 22

2.7. Prelazak sa jednog na drugo bazično rješenje 26

2.8. Simpleks tabela u identifikaciji ključnog elementa (pivot-a) 29

2.9. Određivanje promjenljive koja izlazi iz baze 33

2.10. Realizacija simpleks metoda putem simpleks tabela 34

2.11. Rješavanje problema linearnog programiranja pomoću rješavača 39

2.12. Lingo rješavač 39

2.13. Excel-ov rješavač 41

3. Analiza senzitivnosti rješenja problema linearnog programiranja 44

3.1. Promjene koeficijenata u funkciji cilja 45

3.2. Promjene desne strane ograničenja 47

3.3. Pojam cijene u sjenci 50

3.4. Analiza senzitivnosti nevezanog ograničenja 52

3.5. Analiza nekih od nestandardnih formi zadataka linearnog

programiranja 54

3.5.1. Minimizacioni problem 54

3.5.2. Slučaj kada neke od promjenljivih ne zadovoljavaju uslov

nenegativnosti 55

3.5.3. Slučaj kada promjenljive imaju nenultu donju granicu 56

4. Dual 58

4.1. Prevođenje primara u dual 58

4.2. Neke primar – dual relacije 60

4.3. Primjer ekonomske interpretacije duala 62

5. Cjelobrojno programiranje 66

5.1. Taksonimija 67

5.2. Grafički metod 69

5.3. Softversko rješenje 72

5.4. Metod grananja i ograničenja 73

6. Primjene linearnog programiranja 76

6.1. Primjeri zadataka linearnog (cjelobrojnog, binarnog) programiranja 78

6.2. Realan primjer matrične igre 79

6.3. Neki realni problemi raspoređivanja 89

6.4. Raspoređivanje tipa (1:1) 89

6.4.1. Raspored zaposlenih na određene poslove 90

6.4.2. Raspored posada na brodove 100

6.5. Raspoređivanje tipa (N:M) 103

6.5.1. Raspored posada na brodske linije 104

6.5.2. Raspored brodova na linije 108

7. Projektni menadžment 111

7.1. Dekompozicija aktivnosti 114

7.2. Relacije između pojedinih aktivnosti 115

7.3. Procjena trajanja aktivnosti 116

7.4. Mrežni dijagram 117

7.5. Predstavljanje aktivnosti 119

7.6. Konstruisanje mrežnog dijagrama prikazom aktivnosti na lukovima 121

7.7. Planiranje i raspoređivanje 123

7.8. Koncept kritičnog puta 123

7.9. Određivanje najranijih i najkasnijih početaka i završetaka aktivnosti 125

7.10. Dijagram rasporeda aktivnosti 127

7.11. Vremensko raspoređivanje aktivnosti prema raspoloživosti radne

snage 129

7.12. Praćenje izvršenja projekta i eventualno replaniranje 130

7.13. Specifičnosti PERT pristupa 132

7.14. Optimalno skraćenje vremena trajanja projekta tehnikom linearnog

programiranja 139

8. Osnove modeliranja redova čekanja 145

8.1. Svojstva redova čekanja 146

8.2. Neki primjeri redova čekanja i njihova svojstva 149

8.3. Uloga eksponencijalne raspodjele kod redova čekanja 151

8.4. Modeli rađanja i umiranja – Veza između eksponencijalne i Poisson-ove

raspodjele 153

8.4.1. Primjeri 157

8.5. Opšti model reda čekanja 160

8.6. Specijalni Poisson-ovi redovi 166

8.6.1. Primjeri 174

8.7. Model redova čekanja sa jednim serverom 175

8.8. Primjer reda čekanja sa više servera 186

9. Analitičan pristup odlučivanju 190

9.1. Donošenje odluka u uslovima neizvjesnosti 193

9.2. Odlučivanje u uslovima postojanja rizika 198

9.2.1. Očekivana isplativost 198

9.2.2. Očekivani oportunitetni troškovi 199

9.2.3. Očekivana vrijednost najbolje informacije 200

9.3. Stabla odlučivanja 202

9.4. Stabla odlučivanja u Excel-u 206

9.5. Razvoj višestepenog stabla odlučivanja 209

9.5.1. Bajesova teorema u analizi vjerovatnoća 212

9.6. Teorija prihvatanja rizika 215

9.6.1. Određivanje krive prihvatanja rizika 217

9.6.2. Stepen prihvatanja rizika kao kriterijum odlučivanja 220

10. Zaključak 223

Literatura

Predgovor

Rukopis «Kvantitativne metode optimizacije u funkciji naučnog menadžmenta»,

nastao je kao rezultat mog istraživačkog interesovanja za ovu naučnu oblast i

višegodišnjeg angažmana prvo kao saradnika u nastavi, a potom kao asistenta i

docenta, na predmetima Operaciona istraživanja I i II, na Fakultetu za pomorstvo

u Kotoru, Univerziteta Crne Gore.

Organizovan je u deset tematskih cjelina, od kojih dvije sadrže uvodna i

zaključna razmatranja. Preostalima su obuhvaćene neke od najčešće korišćenih

metoda kvantitativne optimizacije u funkciji naučnog menadžmenta. Posebna

pažnja je posvećena nekima od odnosnih problema koji nisu iscrpno opisani u

literaturi na našem jeziku.

Rukopis je prevashodno namijenjen studentima redovnih, specijalističkih i

postdiplomskih studija fakulteta na kojima se izučavanju metodi kvantitativne

optimizacije, matematičko modeliranje, matematičko programiranje, operaciona

istraživanja i/ili srodne naučne discipline. Isto tako, namijenjen je istraživačima

i svima onima zainteresovanim za ovu predmetnu oblast. Za očekivati je da će

mnogima poslužiti kao jedna od referenci u sticanju osnovnih ili proširivanju

saznanja u ovom domenu, te da će nekima od čitalaca otvoriti perspektive u

smislu daljih istraživanja.

Autorka

Izjava zahvalnosti

Na početku svoje prethodne knjige, nisam se nikome posebno

zahvalila, ne iz ubjeđenja da je ona isključivo moja, već iz obazrivosti

da nekoga od zaslužnih za njen nastanak, u bilo kom smislu, ne

izostavim.

Ovoga puta ću dozvoliti sebi da budem manje obazriva u tom

pogledu, pa ću izraziti zahvalnost prof. dr Jovanu Petriću i prof. dr

Stevanu Šaranoviću, koji su me svojim iscrpnim i veoma kvalitetnim

predavanjima, još kao studenta uveli u ovu, meni posebno zanimljivu

oblast. Takođe, osjećam potrebu da izrazim zahvalnost prof. dr

Slobodanu Simiću i prof. dr Marku Backoviću, uz koje sam kroz

saradnju u nastavnom procesu na odsjeku Menadžment u pomorstvu,

a kasnije na odsjeku Pomorske nauke, Fakulteta za pomorstvo u

Kotoru, Univerziteta Crne Gore, obogatila svoje znanje iz ove oblasti.

Posebnu zahvalnost, ne samo u nastanku ove knjige, već uopšte zbog

dugogodišnje podrške u smislu usmjeravanja i uobličavanja mojih

naučno-istraživačkih napora, zavređuju prof. dr Slavica M. Perović i

prof. dr Zoran Ž. Avramović.

Neizostavno, zahvalnost dugujem roditeljima, koji su mi stvorili

uslove da steknem najveće formalno obrazovanje i neprestano me

podržavali u mom radu.

Zahvaljujem se recenzentima prof. dr Slobodanu Simiću i prof. dr

Marku Backoviću, kao i lektorki Ruži Danilović.

Uz zahvalnost svima onima koji nisu ovdje pomenuti, ali su nekim

spletom okolnosti, na manje vidljiv način, učestvovali u nastajanju

ove knjige

autorka,

doc. dr Sanja Bauk

1

1. Uvod

Metode kvantitativne optimizacije daju kvantitativnu perspektivu procesu

donošenja odluka. Ukoliko se ova kvantitativna perspektiva doda onoj

kvalitativnoj, do koje se dolazi na osnovu iskustva i/ili intuicije – donijeta odluka

će svakako biti bolja.

Koncept kvantitativne optimizacije, pored optimizacionih tehnika, obuhvata

probleme odlučivanja i probleme matematičkog modeliranja. Problem

odlučivanja zahtijeva donošenje odluke, dok je matematički model -

matematička predstava ovog problema, tj. njegova prihvatljiva aproksimacija.

Transformacija verbalnog opisa problema u matematički model, poznata je kao

formulaciona faza. Formulaciona faza je obično diskutabilna. S jedne strane,

potrebno je da matematički model bude odgovarajuće složenosti, kako bi

ispravno reflektovao realan problem. S druge strane, prisutno je nastojanje da on

bude dovoljno jednostavan, odnosno, matematički traktabilan, kako bi se mogao

analizirati uz pomoć poznatih, dobro strukturiranih, matematičkih metoda.

Donosilac odluke obično nalazi kompromis tako što se zadovoljava činjenicom

da će tačan rezultat dobijen primjenom konvencionalnih kvantitativnih metoda

na matematički model, biti samo aproksimacija rješenja realnog problema.

2

Faze koje slijede nakon formulacione, su: faza analize i faza implementacije. U

toku faze analize, donosilac odluke se koristi matematičkim izračunavanjima

(manualnim ili računarskim) kako bi transformisao matematički model u brojno

rješenje, na kome treba da zasnuje odluku. Implementaciona faza, prevodi brojno

rješenje, ili numerički izlaz, u preporuku za rješenje realnog problema

odlučivanja. Poteškoće u implementacionoj fazi, direktno su proporcionalne

aproksimacijama načinjenim u formulacionoj fazi. Drugim riječima, što je

postignut veći stepen tačnosti u matematičkoj pedstavi realnog problema, utoliko

će biti lakša implementaciona faza.

Može se desiti da preporuka koju daje matematički model ne potvrđuje

očekivanja donosioca odluke. U tom slučaju, potrebno je identifikovati

neosnovane ili pogrešne pretpostavke koje su učinjene u fazi formulacije modela.

Odnosno, model treba da bude revidiran i sve tri faze ponovljene. U protivnom,

donosilac odluke mora da argumentuje valjanost matematičkim modelom

dobijene preporuke, iako ona ne zadovoljava prvobitna očekivanja.

Međutim, kada bi preporuke koje daju kvantitativne metode optimizacije,

primijenjene nad matematičkim modelima problema odlučivanja, uvijek bile

slične očekivanjima donosilaca odluka – tada, u suštini, ne bi ni bile važne.

1.1. Determinističi i stohastički modeli

U principu, razlikuju se dva tipa matematičkih modela: deterministički i

stohastički. Kod determinističkih modela, neizvjesnost je zanemarljivo mala.

Nasuprot tome, kod stohastičkih modela, uvijek je u određenom stepenu prisutna

neizvjesnost. Kao primjere za stohastičke modele, možemo navesti sljedeće

slučajeve:

3

• Kada kupimo polisu osiguranja, postoji neizvjesnost da li će se rizik od

koga se osiguravamo, desiti ili ne. Ovu neizvjesnost svakako prati i

neizvjesnost vezana za sumu novca koju tako možemo izgubiti;

• Kada neka korporacija odluči da uvede novi proizvod na tržište,

neizvjesno je kakav će biti njegov prijem na tržištu i ishod takve odluke;

• Slično, kada modna kuća nabavi novu modnu liniju, neizvjesno je kakva

će biti potražnja za tom novom linijom;

• Kada se naftna kompanija bori da dobije pravo na mjesto za bušotinu,

postoji neizvjesnost u kojoj količini će se na tom mjestu naći nafta,

odnosno, da li će se uopšte tu naći, i slično.

U ovim slučajevima, bilo koju od neizvjesnosti nije ispravno predstaviti jednim

brojem. Naime, neophodna je procjena, koja dobija formu distribucije

vjerovatnoća.

Dakle, kod determinističkih modela, postoji veoma mala neizvjesnost kada su u

pitanju podaci u modelu, pa samim tim i mala neizvjesnost po pitanju posljedica

odluke. S druge strane, kod stohastičkih modela, postoji znatno veća neizvjesnost

u pogledu podataka u modelu, pa stoga i u posljedicama odluke.

1.2. Razvoj menadžmenta kao naučne discipline

Koncepti matematičkog modeliranja i problema odlučivanja su na izvjestan

način usko povezani sa konceptom naučnog menadžmenta.

U poređenju sa matematikom, menadžment je mlada nauka. Mnogi

fundamentalni matematički koncepti i tehnike su stari više vijekova. Tako je,

primjera radi, koncept derivacionog računa razvijen još u sedamnaestom vijeku.

4

Nasuprot ovome, većina koncepata i tehnika naučnog menadžmenta je stara

svega šest ili sedam decenija.

Ilustracije radi, neki od korijena menadžmenta kao nauke, koji se vezuju za rane

1900-te godine, dati su u tabeli 1. Međutim, menadžment se tretira kao naučna

oblast tek od sredine četrdesetih godina dvadesetog vijeka, odnosno, od Drugog

svjetskog rata, istorijski posmatrano.

Godina Utemeljivač Naučni pristup menadžmentu

1900. H. L. Gantt

- Upotreba dijagrama za efikasnu raspodjelu

pojedinih poslova na određene mašine. Ovo je bila

prva primjena podoblasti menadžmenta kao nauke,

poznata kao projektni menadžment.

1915. F. W. Harris

- Derivacija matematičkih formula za

najekonomičniju količinu proizvoda koju treba

naručiti od dobavljača, odnosno, imati je na

zalihama. Ovo je bila prva primjena podoblasti

naučno utemeljenog menadžmenta, poznata kao

modeli zaliha.

1917. A. K. Erlang

- Derivacija matematičkih formula za analizu

problema opsluživanja poziva u automatizovanoj

telefonskoj centrali. Ovo je bila prva primjena

podoblasti menadžmenta, poznata kao teorija

masovnog opsluživanja ili teorija redova čekanja.

Tabela 1. Počeci naučnog pristupa menadžmentu

Ratni uslovi (pred i tokom Drugog svjetskog rata), stvorili su potrebu za

optimalnom alokacijom oskudnih resursa, planiranjem proizvodnje, zaliha,

provjere kvaliteta, transportom ljudi i roba, te snabdijevanjem. U cilju

5

efikasnijeg rješavanja ovih problema, Velika Britanija je ciljno 1937. osnovala

tim naučnika, inženjera, matematičara i vojnih analitičara. Pošto se ovaj tim

bavio istraživanjem (vojnih) operacija, njegove aktivnosti su nazvane

operacionim istraživanjima. Podstaknuti uspjehom Britanaca, u ovoj oblasti,

Amerikanci su osnovali sličan tim operacionih istraživača.

Nakon Drugog svjetskog rata, neki od onih koji su provodili vojna operaciona

istraživanja, primjenjivali su slične pristupe i tehnike na odnosne industrijske

probleme. Drugi su otišli na univerzitete, ili u istraživačke centre, kako bi radili

na novim pristupima i tehnikama.

Godine, 1947. desio se značajan pomak u oblasti operacionih istraživanja.

Radeći za vazduhoplovne snage SAD, George Dantzig je razvio metod za

rješavanje linearnog programa (koji će kasnije biti detaljno objašnjen, kao

najzastupljenija metoda kvantitativne optimizacije, odnosno, operacionih

istraživanja). Dantzig-ov rad je podstakao druge istraživače da prošire, odnosno,

komplementiraju njegov rad, te da ga primijene u drugim, brojnim, oblastima1.

Dakle, George Dantzig se smatra pionirom u oblasti naučnog pristupa

menadžmentu.

Od prve polovine pedesetih godina, dvadesetog vijeka, broj istraživača u oblasti

naučnog menadžmenta se znatno povećao, što je dovelo do osnivanja dva

profesionalna udruženja: Društva operacionih istraživača Amerike (ORSA -

Operation Research Society of America) i Instituta za menadžment (TIMS – The 1 Linearno programiranje (LP) je konceptualno razvio ruski matematičar A. N. Kolmogorov sredinom dvadesetog vijeka. Drugi ruski matematičar, L. Kantorovič, dobio je Nobelovu nagradu za ekonomiju za unapređenje koncepata optimalnog planiranja. Jednu od prvih aplikacija LP razvio je Stigler (1945. godine) i to u oblasti dijetetskih problema. Glavni napredak u oblasti LP, postigao je G. Dantzig (1947. godine), razvojem simpleks algoritma. Kasnije (1984. godine), N. Karmarkar razvio je algoritam koji se pokazao superiornijim u odnosu na simpleks algoritam pri rješavanju LP problema velikih dimenzija.

6

Institute of Management Science). Formiranje TIMS dovelo je do upotrebe

termina naučni menadžment kao sinonima za prethodno korišćeni termin

operaciona istraživanja. Pojavili su se i drugi sinonimi, kao što su sistemska

analiza i nauka o odlučivanju [14].

Do kraja pedesetih godina, prošlog vijeka, razvijena je većina fundamentalnih

alata naučnog menadžmenta. Njegove primjene bile su ograničene na vojne

ustanove i industrijske organizacije tipa naftnih kompanija. Prije početka

intenzivnog korišćenja računara, aplikacije naučnog menadžmenta bile su

ograničene na one koje su se mogle analizirati manuelno. Tek nešto kasnije su

računari omogućili naučnom manadžmentu da koristi svoja znanja i pri

rješavanju mnogo kompleksnijih problema.

Ovakvo stanje se promijenilo ranih šezdesetih godina, sa ustanovljavanjem

formalnih akademskih programa za naučni menadžment. Nakon što su diplomci

iz ove oblasti stupili na pozicije odlučivanja, uveli su (naučni) menadžment u

gotovo sve vrste organizacija.

Krajem šezdesetih godina, brojne organizacije su počele da stvaraju timove ljudi

sa akademskim obrazovanjem u oblasti menadžmenta i poznavanjem korišćenja

računara. Ipak, primijenjeni menadžment se nije tako brzo razvijao kao teorijski.

Primjene naučnog menadžmenta, postaju sve brojnije početkom sedamdesetih

godina, prošlog vijeka. Ali, tada se pojavljuju i strašne priče o tome kako je

menadžment, u brojnim slučajevima, doveo do katastrofalnih rezultata -

posljedica. Jedan od razloga je taj, što su u ranoj fazi, akademski programi

menadžmenta sadržavali samo teorijske aspekte. Pri tome je zanemarivana

važnost praktičnih aspekata; na primjer, nije se pretjerano pažnje poklanjalo

7

tome kako akademski menadžer, mora objasniti, odnosno, interpretirati i biti

ubjedljiv u obrazlaganju preporuke koju daje sam model. Pored toga, nije bilo

dovoljno da akademski menadžer poznaje samo menadžment, a da pritom ne

poznaje neke aspekte tehnike, organizacije, ekonomije, finansija, računovodstva i

drugo.

Naime, za akademske menadžere, menadžeri u praksi su bili matematički

nedovoljno obrazovani i nisu pritom bili voljni da koriste bilo što, što u

potpunosti nisu razumijevali. S druge strane, za menadžere iz prakse, akademski

menadžeri su bili oni koji nude rješenja nepostojećih problema.

Sredinom sedamdesetih godina, prošlog vijeka, menadžment je vraćen na svoj

kolosjek. Akademski menadžeri i menadžeri praktičari, postali su svjesniji

potencijala i ograničenja (naučnog) menadžmenta. Ipak, postoji još uvijek dosta

prostora za poboljšanje komunikacije na relaciji akademski menadžeri –

menadžeri praktičari, s obzirom da je upravo ona najproblematičnija u ovoj

oblasti.

1.3. Naučni menadžment danas

Pošto su nedostaci u oblasti naučnog menadžmenta uočeni i dobrim dijelom

ispravljeni, još ranih sedamdesetih godina prošlog vijeka, on danas ponovo uživa

brz rast. On je gotovo svuda. Na primjer:

• Univerziteti nude kurseve iz menadžmenta u poslovanju, inženjerstvu,

zdravstvu, politici i sl.

• ORSA i TIMS imaju, otprilike, po sedam hiljada članova [14]. ORSA

objavljuje časopise Operations Research i Operations Research Letters.

TIMS objavljuje Management Science i Marketing Science, dok ORSA i

8

TIMS zajedno objavljuju Mathematics of Operations Research,

Interfaces i OR/MS Today. Časopisi ovih udruženja godišnje sadrže oko

pet hiljada stranica izvještaja o novim istraživanjima i primjenama.

ORSA i TIMS su samo vrh ledenog brijega. Druga profesionalna

udruženja, postoje u Kanadi, Engleskoj, Francuskoj, Njemačkoj,

Holandiji, Indiji, Japanu. Zapravo, Međunarodna federacija društava

operacionih istraživača (IFORS – International Federation of Operations

Research Societies, eng.) broji preko trideset udruženja.

• Većina poslovnih organizacija (fabrika, avio-kompanija, banaka), kao i

većina neprofitnih organizacija (vladinih agencija, javnih ustanova – npr.

bolnica) ima grupu svojih zaposlenih, obučenih u domenu naučnog

menadžmenta. Organizacije koje nisu dovoljno velike, da bi mogle da

imaju svoj tim, obično traže savjete i razne usluge od konsultantskih

menadžerskih firmi. U tabeli 2 je dat, okvirno, pregled nekih primjena

naučnog menadžmenta.

Zdravstvo (u bolnicama)

• Raspored osoblja

• Planiranje menija za pacijente

• Kontrola zaliha krvi

• Raspoređivanje i rutiranje vozila hitne pomoći

Vojska

• Traganje i spasavanje

• Analize pouzdanosti složene opreme

• Planiranje rasporeda snaga

Obrazovanje

• Raspored časova (prema raspoloživim učionicama)

• Raspored školskih autobusa

• Postizanje racionalnog balansa u određenoj oblasti obrazovanja, adekvatnim

usmjeravanjem studenata u druge škole

9

• Konsolidacija učenika u manji broj škola

Vlada

• Raspored sudnica

• Određivanje broja i rasporeda vatrogasnih i policijskih stanica

• Raspoređivanje i rutiranje vozila (poštanskih, javnog transporta, uličnih

čistača, čistača snijega i sl.)

• Kontrola zagađenja vode i vazduha

• Analiza tarifiranja (na mostovima, javnim putevima i sl.)

• Alokacija državnih fondova na različite državne institucije i dr.

Tabela 2. Mogućnosti primjene naučnog menadžmenta

1.4. Osnovne pretpostavke naučnog menadžmenta

Pod osnovnim pretpostavkama naučnog menadžmeta2 podrazumijevaju se,

ustvari, određene preporuke, čijim poštovanjem bi trebala da se izbjegne njegova

neprimjenljivost.

U najkraćem:

• Menadžment ne donosi rješenja, on samo pomaže u rješavanju problema,

tj. u odlučivanju;

• Menadžment nije samo skup koncepata i tehnika namijenjenih podršci u

rješavanju problema, on je više od toga;

• Njegove uspješne aplikacije moraju da počivaju na realnim problemima;

2 S obzirom da se razni, bilo kakvi vidovi upravljanja, organizovanja i/ili kontrole, odnosno,

medijacije između različitih hijerarhijskih nivoa upravljanja u organizacijama, danas nazivaju

menadžmentom, a u cilju izbjegavanja takve zamke, u samom nazivu rukopisa i na nekim

mjestima u tekstu, uz riječ menadžment stoji prefiks naučni.

10

• Menadžer ne može riješiti problem u svojoj kancelariji, odnosno, ako se

detaljno, na terenu, ne upozna sa problemom koji rješava i ako ga u

potpunosti ne razumije;

• Preporuke koje daje naučni menadžment, moraju da budu razumljive i

jednostavno primjenljive;

• Krajnji korisnici preporuka, koje daje menadžer, moraju da vjeruju u njih;

• Kada god je to moguće, menadžment ne treba da previdi kvalitativne

preporuke, naprotiv, treba sve dobro da ih prouči prije primjene

odgovarajućih naučnih metoda.

Praćenje ovdje navedenih preporuka ne garantuje uspješnost menadžment

aplikacije, ali zato njihovo neuzimanje u obzir - obično dovodi do neuspjeha.

11

2. Koncept linearnog programiranja Linearno programiranje (LP – Linear Programming, eng.) ima posebnu važnost

na polju menadžmenta. Prije svega, menadžment kao naučna disciplina ne bi ni

postojao, da za to George Dantzig 1947. godine nije dao podsticaj, upravo kroz

razvoj lineranog programiranja. Pored toga, pregledom dosadašnjih istraživanja u

ovoj oblasti, utvrđeno je da se linearno programiranje intenzivno koristi u

poslovanju, industriji, zdravstvu, školstvu, vladi i drugdje. Linearno

programiranje se, dakle, tretira kao najčešće korišćena kvantitativna metoda

optimizacije.

Kada bi George Dantzig danas imao priliku da preimenuje linearno

programiranje, onda bi to najvjerovatnije bilo preimenovanje u linearna

optimizacija. Time bi se izbjegla zabuna da je linearno programiranje usko

povezano sa korišćenjem računarskih programa. Iako se računari koriste pri

rješavanju problema LP, ovi problemi sami po sebi nisu niz programskih

naredbi. Oni su matematički modeli čije rješavanje pruža donosiocu odluka

optimalan plan djelovanja. Atribut «linearno», potiče od korišćenja linearnih

jednačina i nejednačina u formulaciji matematičkog modela.

12

Uprkos različitosti problema koje tretira, svaki problem linearnog programiranja

ima u osnovi tri elementa: skup odluka koje treba da donese, cilj koji treba da se

maksimizira ili minimizira, zavisno od prirode problema koji se rješava i skup

ograničenja, koja uvode određene restrikcije prilikom odlučivanja. U tabeli 3 je

dat prikaz zajedničkih elemenata problema linearnog programiranja, na

primjerima četiri različite aplikacije.

Primjena Odluke Cilj Primjeri ograničenja

Planiranje

proizvodnje

Koliko treba proizvesti

svakog od proizvoda?

Maksimizirati ukupni

profit

Zbog ograničenosti

resursa, njihova ukupna

količina, koja se potroši

u procesu proizvodnje,

ne smije da premaši

raspoloživu.

Planiranje

investicija

Koliko treba investirati

svakog mjeseca u akcije ili

u obveznice?

Maksimizirati godišnji

povraćaj sredstava

(a) Na mjesečnom

nivou, sva investiranja u

akcije i obveznice, ne

smiju da premaše

raspoloživu svotu novca

na mjesečnom nivou;

(b) Svakog mjeseca, u

rizične akcije se ne

smije uložiti više od

30% portfolia (ovo

može da bude vladina ili

bankovna restriktivna

mjera).

Distribucija

proizvoda

Koliko proizvoda i koje

vrste treba distribuirati do

pojedinih potrošača?

Minimizirati ukupne

troškove transporta

(a) Za svaki od

proizvoda, količina koja

se distribuira, ne smije

premašiti raspoloživu;

13

(b) Ukupna potražnja

kupaca mora da bude

zadovoljena;

(c) Ukupna ponuda

distributera mora da

bude iscrpena.

Planiranje

rasporeda

personala

Koliko treba da bude

zaposlenih u svakoj radnoj

smjeni?

Minimizirati ukupne

troškove radne snage

Za svaki period u radnoj

nedjelji, ukupan broj

radnih sati zaposlenih u

svim radnim smjenama,

mora da bude jednak ili

da premašuje

predviđeno opterećenje.

Tabela 3. Pregled zajedničkih elemenata problema linearnog programiranja

Linearno programiranje je, dakle, kvantitativni metod posredstvom koga se

dolazi do optimalnog skupa odluka, tj. odluka koje obezbjeđuju ekstremum

funkcije cilja (maksimalan profit, ili minimalne troškove) u skladu sa

ograničenim resursima.

2.1. Primjer zadatka linearnog programiranja

Pretpostavimo da za potrebe neke mikroračunarske korporacije treba optimizirati

proizvodnju dva tipa računara: dvoprocesorskog desktop tipa (R1) i

jednoprocesorskog notepad tipa (R2). Nakon detaljnog uvida u stanje stvari u

firmi i na tržištu, utvrđeno je da će se ograničenja resursa javiti kada su u pitanju

disk drajvovi i radni sati - kako kada je u pitanju grupni rad, recimo, na montaži;

tako i kada je u pitanju uskospecijalizovani, individualni rad.

14

Raspoloživi resursi su procijenjeni na: 20 000 disk drajv jedinica, 32 000 sati

grupnog rada i 88 000 sati uskospecijalizovanog rada. Potrebe za ovim

ograničenim resursima u materijalnim komponentama i radnim satima, su

sljedeće:

• Proizvodnja jednog računara prvog tipa (R1), zahtijeva 2 disk drajva, 4

sata grupnog rada i 2 sata uskospecijalizovanog rada;

• Proizvodnja jednog računara drugog tipa (R2), zahtijeva 1 disk drajv, 1

sat grupnog rada i 7 sati uskospecijalizovanog rada (potreba za ovolikim

brojem sati uskospecijalizovanog rada potiče od složenosti ovog tipa

računara, prije svega, zbog potrebe obezbjeđivanja prenosivosti).

Na osnovu računovodstvenih podataka o prodajnim cijenama i troškovima

proizvodnje, procijenjeno je da bi svaki računar tipa R1, korporaciji trebao da

donese profit od 900 novčanih jedinica (nj), a svaki računar tipa R2, profit od

600 novčanih jedinica (nj). Odjeljenje za marketing, dotične računarske

korporacije, utvrdilo je da će korporacija prodati sve proizvedene računare, bez

ograničenja.

Zadatak je, dakle, u određivanju optimalne mjesečne proizvodnje, računara R1 i

R2 tipa, s ciljem maksimiziranja profita mikroračunarske korporacije i

nenarušavanja ograničenja koja su direktna posljedica ograničenosti raspoloživih

resursa.

Na osnovu prikupljenih podataka iz same korporacije i sa tržišta, kao i njihove

detaljne analize, dobijeni su numerički podaci, dati u tabeli 4.

15

Potrebni resursi pri izradi računara Resursi

R1 R2 Raspoloživi resursi

Disk drajvovi 2 1 20 000 Grupni rad (montaža) 4 1 32 000

Uskostručan rad 2 7 88 000

Jedinični profit 900 (nj) 600 (nj)

Tabela 4. Podaci od važnosti za formiranje matematičkog modela zadatka

linearnog programiranja

2.2. Formulaciona faza

Svaka primjena zadatka linearnog programiranja započinje formulacionom

fazom. Dakle, verbalni opis problema odlučivanja, treba prevesti (preformulisati,

transformisati) u odgovarajući matematički model.

U konkretnom slučaju, treba donijeti dvije odluke: koliko proizvesti računara

tipa R1 i koliko proizvesti računara tipa R2. Kako bi formirali matematički

model, za početak promjenljive označimo sa x1 i x2, pri čemu:

• x1 - odgovara broju (količini) računara tipa R1, koje treba proizvesti;

• x2 - odgovara broju (količini) računara tipa R2, koje treba proizvesti.

Tako bi, na primjer, proizvodni miks (x1, x2) = (7000, 3000), odgovarao odluci

da treba proizvesti 7000 računara tipa R1 i 3000 računara tipa R2.

Ako sada sve prikupljene podatke uzmemo u obzir i posmatramo kao cjelinu,

nije teško formirati sljedeći matematički model:

16

Maksimum 900x1 + 600x2 (ukupni profit) ←funkcija cilja

pri ograničenjima: 2x1 + 1x2 ≤ 20 000 (disk drajvovi) ←strukturno ograničenje

4x1 + 1x2 ≤ 32 000 (grupni rad) ←strukturno ograničenje

2x1 + 7x2 ≤ 88 000 (uskostručan rad) ←strukturno ograničenje

i

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

←uslov nenegativnosti

Ovo je primjer matematičkog modela zadatka linearnog programiranja sa dvije

promjenljive i tri ograničenja. Posljednje u nizu (četvrto) ograničenje se smatra

prirodnim ograničenjem nenegativnosti promjenljivih.

2.3. Reskaliranje matematičkog modela zadatka linearnog

programiranja

Nekada je preporučljivo, ili češće neophodno, izvršiti reskaliranje zadakta

linearnog programiranja. U konkretnom primjeru koji razmatramo, možemo

pretpostaviti da promjenljive x1 i x2 predstavljaju hiljade računara tipa R1 i R2. U

tom slučaju bi prethodno formiran model imao sljedeći oblik:

Maksimimum 900x1 + 600x2 → 900 000x1 + 600 000x2

pri ograničenjima: 2x1 + 1x2 ≤ 20 000 → 2 000x1 + 1 000x2 ≤ 20 000

4x1 + 1x2 ≤ 32 000 → 4 000x1 + 1 000x2 ≤ 32 000

2x1 + 7x2 ≤ 88 000 → 2 000x1 + 7 000x2 ≤ 88 000

i x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Ovdje smo, u stvari, dodali nule, umjesto da smo ih oduzeli! Međutim, tek sada,

nakon dodavanja, možemo eliminisati sve nule, reskaliranjem funkcije cilja i

17

ograničenja, tj. dijeljenjem koeficijenata u funkciji cilja sa 100 000 i dijeljenjem

koeficijenata sa lijeve i desne strane ograničenja sa 1000. Ovim dijeljenjem,

zapravo, ništa se neće promijeniti u modelu, osim, na kraju, interpretacije

dobijenih rezultata (što je važno imati na umu). Dakle, reskaliran model dobija

formu:

Maksimimum 9x1 + 6x2 (stotine hiljada nj)

pri ograničenjima:

2x1 + 1x2 ≤ 20

(hiljade disk drajvova)

4x1 + 1x2 ≤ 32 (hiljade sati zajedničkog rada)

2x1 + 7x2 ≤ 88 (hiljade sati uskostručnog rada)

i x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (hiljade računara)

Za reskaliranje bi se prije moglo reći da je obavezno, nego poželjno, posebno

zbog potrebe smanjenja greške zaokruživanja kada se za rješavanje zadataka

linearnog programiranja koriste računarski paketi. Takođe, kada se koristi

grafička metoda, reskaliranje je neophodno zbog omogućavanja racionalnog

prikaza koordinata pojedinih karakterističnih tačaka u modelu.

2.4. Rješavanje zadatka linearnog programiranja grafičkim

metodom

U principu, postoje tri osnovna načina rješavanja zadataka linearnog

programiranja: grafički – kada problem ima dvije promjenljive (u 2D ravni), ili

najviše tri promjenljive (u 3D prostoru); ručno – kada problem sadrži svega

nekoliko promjenljivih (obično, najviše pet) i nevelik broj ograničenja, a u tu

svrhu obično se koristi simpleks metod; i uz pomoć računara – kada problem

linearnog programiranja ima veliki broj promjenljivih i strukturnih ograničenja i

18

kada uz pomoć odgovarajućih programa možemo brzo i tačno izvršiti veliki broj

izračunavanja, koja u tom slučaju zahtijeva simpleks metod.

Ovdje će, na primjeru prethodno izloženog problema linearnog programiranja,

biti opisana u najkraćem sva tri načina. Prvo će biti predstavljen grafički metod.

Linearno programiranje je prevashodno namijenjeno rješavanju problema

realnog svijeta, koji se razlikuju od onih pojednostavljenih, kakav je slučaj

prethodno datog primjera. Realni problemi po pravilu sadrže veliki broj

promjenljivih i ograničenja. S toga se postavlja pitanje, zašto uopšte izučavati

grafički metod? Odgovor bi bio, iz razloga što on najbolje odslikava suštinu

problema zadatka linearnog programiranja i olakšava razumijevanje daleko

apstraktnijeg koncepta simpleks metoda.

Grafički metod počinje vezivanjem oblasti dopustivih rješenja za prvi kvadrant,

gdje su svi parovi (x1, x2) ≥ 0, tj. nenegativni. Kako bi se striktno ograničila

oblast dopustivih rješenja (sva ona rješenja koja zadovoljavaju ograničenja, ali

pritom ne daju sva optimalnu vrijednost funkcije cilja), moraju se nacrtati

granične jednačine ograničenja. Ograničenja u modelu je najjednostavnije

predstaviti jednačinama pravih u segmentnom obliku, tj. kao:

Maksimum 9x1 + 6x2

Granične

vrijednosti

ograničenja

Segmentni oblik

ograničenja

pri ograničenjima: 2x1 + 1x2 ≤ 20 → 2x1 + 1x2 = 20 x1/10 + x2/20 = 1 (1)

4x1 + 1x2 ≤ 32 → 4x1 + 1x2 = 32 x1/8 + x2/32 = 1 (2)

2x1 + 7x2 ≤ 88 → 2x1 + 7x2 = 88 x1/44 + x2/12,57 = 1 (3)

i x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

19

Na ovaj način se direktno dobijaju odsječci koje pojedine granične prave (ovdje

duži) ograničenja odsijecaju na apscisi i ordinati prvog kvadranta. Pošto su sva

ograničenja tipa ≤, oblast dopustivih rješenja je u presjeku površina ispod, ili

lijevo od, graničnih pravih (1), (2) i (3), kako je prikazano na slici 1.

Slika 1. Oblast dopustivih rješenja zadatka linearnog programiranja (osjenčeni

poliedar)

Osjenčeni poliedar predstavlja infinitni skup dopustivih rješenja. Pitanje je kako

pronaći optimalno rješenje. Grafički metod daje vrlo jednostavan odgovor. Do

rješenja se dolazi posredstvom tzv. izoprofitnih pravih. Za početak odredimo dva

proizvoljna para tačaka (x1,x2) koja će obezbjeđivati nulti profit. Jedan par je

sigurno (0,0), a drugi možemo jednostavno da odredimo tako što proizvoljno

20

postavimo x1=1, na primjer, pa odredimo x2 iz jednačine koja daje nulti profit. U

konkretnom slučaju za x1=1, 23x 2 −= . Pošto povučemo izoprofitnu liniju kroz

ove dvije odgovarajuće tačke u 2D ravni (isprekidana linija na slici 2), polako je

translatorno pomijeramo ka sjevernom kraju poliedra dopustivih rješenja.

Najsjevernija tačka poliedra dopustivih rješenja, na koju izoprofitna linija naiđe,

je tangentna tačka.

Slika 2. Izoprofitne linije i tangetna tačka poliedra dopustivih rješenja

Na osnovu slike 2, uočava se da je tangentna tačka u presjeku graničnih pravih,

tj. duži, ograničenja (1) i (3). U presjeku ovih dviju ograničenja se nalazi, dakle,

21

optimalno rješenje (x1,x2) =

3111,

314 izraženo u hiljadama (zbog prethodno

izvršenog reskaliranja vrijednosti), pri čemu je vrijednost funkcije cilja 107

stotina hiljada novčanih jedinica.

2.5. Tumačenje rješenja dobijenog grafičkim metodom

Iako je grafičkim metodom riješen dati zadatak linearnog programiranja, još

uvijek nije riješen aktuelan problem mikroračunarske korporacije. Drugim

riječima, optimalno rješenje matematičkog modela je rijetko konačno rješenje

aktuelnog problema odlučivanja.

Optimalno rješenje ovdje razmatranog zadatka linearnog programiranja je (x1,x2)

=

3111,

314 , sa korespondentnom optimalnom vrijednošću funkcije cilja 107.

Ovo implicira optimalni proizvodni miks, da tako kažemo, od 314333 računara

tipa R1 i 3111333 računara tipa R2, koje treba proizvesti, na mjesečnom nivou, uz

optimalan profit od 10,7 miliona novčanih jedinica. Ukoliko bi ovo rješenje bilo

ponuđeno dotičnoj mikroračunarskoj korporaciji, pitanje koje bi svakako

uslijedilo je - kako proizvesti 31 računara? Menadžer ovaj višak može

interpretirati kao rad u progresu, tj. može da kaže da će u naredna 3 mjeseca

korporacija morati da proizvede 130003314333 =×

računara R1, odnosno,

3400033111333 =×

računara R2. Međutim, ovakvo rješenje može biti

neodgovarajuće sa stanovišta korporacije, jer ona, primjera radi, želi da ima

22

zaokruženu mjesečnu proizvodnju računara na 1000 komada. Jednostavnim

zaokruživanjem optimalnog rješenja na (4,11), vrijednost profita bi opala na 102.

Odnosno, procentualno izraženo %67,4%100102

102107=×

− - što bi bilo u

granicama od oko 5% u odnosu na optimalno rješenje. Ovakvo, grubo

zaokruživanje rijetko daje optimalno rješenje. Samo u nekim slučajevima ono

može biti zadovoljavajuće. Mnogo bolja varijanta je primjena jednog drugog

metoda, odnosno, metoda cjelobrojnog programiranja. Naime, primjenom

cjelobrojnog programiranja, novo optimalno rješenje bi bilo (5,10), dok bi greška

aproksimacije, u odnosu na prethodni slučaj, bila daleko manja:

%87,1%100107

105107=×

− . Ovdje je bitno naglasiti da rješavanje problema

cjelobrojnog programiranja, podrazumijeva uvođenje dodatnih ograničenja

cjelobrojnosti, što će se svakako odraziti na smanjenje vrijednosti funkcije cilja.

Drugačije formulisano, dodavanjem dodatnih ograničenja u model, nikada se

neće premašiti vrijednost funkcije cilja relaksacije originalnog problema

linearnog programiranja.

2.6. Simpleks metod

Simpleks metod je algebarski metod koji se koristi pri rješavanju zadataka

linearnog programiranja. Tri ključne karakteristike simpleks metoda se mogu

formulisati na sljedeći način:

1. Simpleks metod se sastoji od tri osnovna koraka, koji se ponavljaju, sve

dok se ne odredi optimalno rješenje. Stoga simpleks metod opisujemo

kao iterativni metod, pri čemu svako ponavljanje ovih koraka, nazivamo

iteracijom.

23

2. Izračunavanja koja prate svaku iteraciju su, u stvari, osnovne

matematičke operacije (+, -, ·, /). Stoga, ako problem linearnog

programiranja sadrži do pet promjenljivih i do pet strukturalnih

ograničenja, otprilike, simpleks metod možemo riješiti i ručno, odnosno,

bez pomoći računara.

3. Kada problem linearnog programiranja sadrži samo dvije promjenljive,

postupak njegovog rješavanja, može se izvesti grafički.

Postupak rješavanja zadatka linearnog programiranja simpleks metodom, biće

ilustrovan na prethodnom primjeru čiji je reskaliran matematički model dat u

sljedećem obliku:

Maksimum 9x1 + 6x2 (stotine hiljada nj)

pri ograničenjima: 2x1 + 1x2 ≤ 20 (hiljade disk drajvova)

4x1 + 1x2 ≤ 32 (hiljade sati zajedničkog rada)

2x1 + 7x2 ≤ 88 (hiljade sati uskostručnog rada)

i x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (hiljade računara)

Sa stanovišta simpleks metoda, važno je uočiti sljedeće:

• Funkcija cilja podrazumijeva maksimizaciju;

• Sva strukturna ograničenja su tipa «≤»;

• Sve promjenljive u modelu moraju da zadovolje prirodan uslov

nenegativnosti.

Dakle, može se zaključiti da se ovdje radi o tzv. standardnom problemu

linearnog programiranja. Detaljni opisi nestandardnih zadataka linearnog

programiranja, čija fukcija cilja podrazumijeva minimizaciju i/ili ograničenja

mješovitog tipa ≤, ≥, =, ili koji nemaju ograničenja u znaku, odnosno,

ograničenja imaju nenultu donju graničnu vrijednost, mogu se naći u

referencama [14;12].

24

Ovdje se postavlja pitanje, kako postići kod linearnog programiranja

korespondenciju između geometrije (grafičkog metoda) i algebre (simpleks

metoda)?

Prije svega, potrebno je obratiti pažnju na strukturna ograničenja u modelu.

Naime, ona moraju biti transformisana u ograničenja tipa jednakosti (jednačine),

posredstvom tzv. izravnavajućih promjenljivih (ovdje promjenljive - S1, S2 i S3):

2x1 + 1x2 + S1 = 20

4x1 + 1x2 + S2 = 32

2x1 + 7x2 + S3 = 88

Iz ovog sistema jednačina, jasno je da u matematičkom modelu postoji više

promjenljivih n (n=5), nego jednačina m (m=3). Rješavanjem ovakvog sistema

jednačina, može se doći do jednog od sljedećih ishoda:

1. Sistem ima jedinstveno (jedno) rješenje;

2. Sistem nema rješenje, ili

3. Sistem ima neograničeno mnogo rješenja.

Pošto je ovdje prisutna težnja da se odredi jedinstveno rješenje, n-m

promjenljivih u svakoj iteraciji moramo proglasiti nebazičnim, odnosno,

jednakim nuli.

Kod simpleks metoda za nebazične promjenljive, u početnom bazičnom planu,

uzimaju se x1 i x2, dok se kao bazične tretiraju izravnavajuće promjenljive, ovdje

S1, S2 i S3. Nešto kasnije ćemo pokazati i zašto.

Pokušajmo ovo da povežemo sa grafičkom interpretacijom problema (slika 3).

Osjenčena oblast dopustivih rješenja, sadrži infinitan broj dopustivih rješenja.

Međutim, treba pokazati da postoji konačan broj bazičnih rješenja. Algebarski, u

sistemu od m jednačina i n promjenljivih, broj bazičnih rješenja je ograničen na

25

broj različitih načina na koje se može izabrati n-m nebazičnih promjenljivih iz

skupa od n promjenljivih, odnosno na broj:

( ) !m!mn!n⋅−

.

U konkretnom slučaju, taj broj je:

( ) 10!3!35

!5=

⋅−.

Na slici 3, ovaj ukupan broj bazičnih rješenja odgovara tačkama A, B, C, D, E, F,

G, H, I i J. Ali, nije svako od ovih bazičnih rješenja i dopustivo. Eksperimentalno

se vrlo jednostavno pokazuje da su dopustiva bazična rješenja u uglovima

poliedra dopustivih rješenja A, B, C, D i E. Ostale iz skupa od deset označenih

tačaka ne predstavljaju dopustiva bazična rješenja.

Slika 3. Grafička interpretacija bazičnih i dopustivih bazičnih rješenja u sistemu

od tri jednačine sa pet promjenljivih

26

Uz pomoć grafika, nije teško ispitati svako od dopustivih bazičnih rješenja i

odabrati optimalno. Međutim, kada se problem ne može predstaviti i riješiti

grafički, zbog broja promjenljivih većeg od tri – potrebno je pribjeći

apstraktnijem konceptu, kakav je simpleks metod. Ovaj metod onoga ko rješava

problem vodi algebarski, iz jednog u drugo bazično dopustivo rješenje, tako da u

svakoj narednoj iteraciji ima bolji rezultat. Treba naglasiti, da simpleks

procedura skraćuje postupak ispitivanja svih dopustivih bazičnih rješenja, u

smislu da ona koja ne daju bolji rezultat, u odnosu na prethodno postignut,

izostavlja, s ciljem bržeg iznalaženja optimalnog rješenja.

2.7. Prelazak sa jednog na drugo bazično rješenje

U tumačenju koncepta simpleks metoda, posebnu važnost imaju tzv. izolovane

promjenljive, odnosno, skup izolovanih promjenljivih. Vratimo se konkretnom

primjeru koji razmatramo. Kako nam je u interesu da nađemo optimalno rješenje,

a imamo tri jednačine sa pet promjenljivih, dvije promjenljive moramo proglasiti

nebazičnim. Time problem svodimo na rješavanje sistema od tri jednačine sa tri

nepoznate. Postavlja se pitanje - koje dvije od ukupno pet promjenljivih odabrati

za nebazične?

Dovoljno je da pogledamo sistem ograničenja, koja smo redom označili sa I, II i

III, pa da nam bude jasno da u početnoj iteraciji za nebazične promjenljive treba

odabrati x1 i x2, jer tako, praktično, ne treba više ništa da računamo, u prvoj

iteraciji, jer je: S1=20, S2=32 i S3=88. To direktno čitamo na osnovu sistema u

kojem su x1 i x2 zamijenjeni nulama:

27

za x1 = x2 = 0:

I 2x1 + 1x2 + S1 = 20 → S1 = 20

II 4x1 + 1x2 + S2 = 32 → S2 = 32

III 2x1 + 7x2 + S3 = 88 → S3 = 88

Dodajmo ovoj konstataciji sljedeće algebarsko uopštenje. U sistemu od m

jednačina i n promjenljivih, pri čemu je m<n:

• Za promjenljivu se kaže da je izolovana promjenljiva, ako je u jednoj od

m jednačina njen koeficijenat jednak 1, a u svim ostalim jednačinama

jednak 0;

• Za skup od m promjenljivih se kaže da je izolovani skup promjenljivih,

ako je svaka od promjenljivih u njemu iz različite od m jednačina.

U konkretnom sistemu ograničenja koji razmatramo: S1 je izolovana

promjenljiva u I ograničenju, S2 u II i S3 u III ograničenju, pri čemu je {S1,S2,S3}

izolovani skup promjenljivih.

Pošto je u osnovi simpleks metoda prelazak sa jednog na sljedeće bazično

dopustivo rješenje, postavlja se pitanje kako iz početnog bazičnog rješenja (tačka

A, na slici 3), preći na naredno (tačka B, na slici 3). Odnosno, kako izolovani

skup promjenljivih {S1,S2,S3}, zamijeniti izolovanim skupom promjenljivih

{S1,x1,S3}, čime praktično, promjenljiva S2 napušta bazu, dok promjenljiva x1

ulazi u bazu. S ciljem odgovora na ovo pitanje, razmatra se skup ograničenja, dat

u razvijenoj formi:

I 2x1 + 1x2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 20

II 4x1 + 1x2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 32

III 2x1 + 7x2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 88

28

Prvo što se zaključuje, na osnovu predhodno izloženog o izolovanim

promjenljivima, jeste da koeficijent uz x1 u drugom ograničenju mora biti jednak

jedinici. To je moguće postići množenjem jednačine II sa 41 :

I 2x1 + 1x2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 20

II41II =′ 1x1 +

41 x2 + 0S1 +

41 S2 + 0S3 = 8

III 2x1 + 7x2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 88

Sljedeće, jednačine I i III treba transformisati tako da koeficijenti uz x1 u njima

budu jednaki 0, što je učinjeno na sljedeći način:

II2II ′−=′ 0x1 + 21 x2 + 1S1 - 2

1 S2 + 0S3 = 4

II41II =′ 1x1 +

41 x2 + 0S1 +

41 S2 + 0S3 = 8

II2IIIIII ′−=′ 0x1 + 2

13 x2 + 0S1 - 21 0S2 + 1S3 = 72

Ovim je praktično opisan prelazak sa jednog na drugo bazično rješenje.

Međutim, time je riješen samo dio problema. Sada se postavlja pitanje - kako

algebarski izvršiti selekciju promjenljive koja će sljedeća ući u bazu, odnosno,

one koja će je napustiti, a da pritom funkcija cilja, pri svakom novom prelasku

ima veću vrijednost, za slučaj maksimuma, koji se ovdje razmatra. Zapravo,

treba odrediti tzv. pivot promjenljivu i pivot jednačinu u skupu ograničenja. U

nastavku će identifikacija pivot elementa biti opisana uz pomoć simpleks tabele.

29

2.8. Simpleks tabela u identifikaciji ključnog elementa (pivot-a)

Na prethodnom primjeru je identifikacija promjenljive koja ulazi u bazu izvršena

uz pomoć grafičkog prikaza LP modela. Dakle, prethodni sistem jednačina

omogućuje neposrednu identifikaciju bazičnih dopustivih rješenja:

(x1,x2,S1,S2,S3) = (8,0,4,0,72)

gdje su nebazične promjenljive x2 i S2, dok su x1, S1 i S3 bazične promjenljive.

Kako bi bio moguć prelazak na naredno dopustivo bazično rješenje koje daje

poboljšanu vrijednost funkcije cilja, treba uraditi sljedeće:

• Selektovati jednu od nebazičnih promjenljivih x2 ili S2, koja će ući u

bazu;

• Selektovati jednu od bazičnih promjenljivih x1, S1 ili S3, koja će izići iz

baze i

• Transformisati sistem jednačina s ciljem adekvatnog pivotiranja.

Pravi izbor nove baze i prateće algebarske transformacije, praktično i sa relativno

malom mogućnošću greške, realizuju se pomoću podataka tabelarno

raspoređenih u simpleks tabeli (ili tablici). U konkretnom slučaju koji se

razmatra, simpleks tabela ima formu kao na slici 4.

U simpleks tabeli na slici 4, u redu cj su koeficijenti uz promjenljive u funkciji

cilja, dok su u koloni cB koeficijenti u funkciji cilja uz bazične promjenljive.

Skraćenica DSO označava kolonu u kojoj su vrijednosti sa desne strane

ograničenja. Vrijednost funkcije cilja je označena sa FC i u konkretnom slučaju

ona iznosi 72.

30

Od odlučujućeg značaja za odgovarajući prelazak na narednu bazu su vrijednosti

koje treba odrediti u redovima zj i cj - zj. Vrijednosti u pretposljednjem i

posljednjem redu simpleks tabele, treba da daju odgovor na pitanja, koliko će se

indirektno smanjiti vrijednost funkcije cilja, ako u bazu uđe promjenljiva x2, a

koliko ako uđe promjenljiva S2, odnosno, kako će ta indirektna smanjenja uticati

na ukupno povećanje vrijednosti funkcije cilja.

cj 9 6 0 0 0 Jednačina

Bazične

promjenljive cB x1 x2 S1 S2 S3 DSO

II2II ′−=′ S1 0 0 21

1 21

− 0 4

( )II4/1II =′ x1 9 1 41

0 41

0 8

II2IIIIII ′−=′ S3 0 0 2

13 0

21

− 1 72

zj

cj - zj

FC=72

Slika 4. Prikaz dijelova simpleks tabele

U nastavku će biti razmotreno što se dešava sa bazičnim promjenljivima, ako x2

uđe u bazu, odnosno, što se dešava ako S2 uđe u bazu (slika 5).

U slučaju ulaska u bazu promjenljive x2, S1 će se smanjiti za 21 , x1 za

41 , a S3 za

213 ; dok će u slučaju ulaska u bazu promjenljive S2, smanjenja bazičnih

31

promjenljivih biti redom: S1 će se smanjiti za

−

21 , x1 za

41 , a S3 za

−

21 .

Sada treba uporediti uočeno sa koeficijentima u kolonama koje odgovaraju

promjenljivima x2 i S2 u simpleks tabeli sa slike 4. Jasno je da su vrijednosti

identične.

0x1 +

21

x2 + 1S1 - 21

S2 + 0S3 = 4

1x1 +

41

x2 + 0S1 + 41

S2 + 0S3 = 8

0x1 +

213

x2 + 0S1 - 21

0S2 + 1S3 = 72

Premiještanje nebazičnih

promjenljivih na desnu stranu

S1 = 4 -

21

x2 -

−

21

S2

x1 = 8 -

41

x2 - 41

S2

S3 = 72 -

213

x2 -

−

21

S2

Slučaj kada u bazu ulazi promjenljiva x2 Slučaj kada u bazu ulazi promjenljiva S2

S1 = 4 - 21

x2 S1 = 4 -

−

21

S2

x1 = 8 - 41

x2 x1 = 8 - 41

S2

S3 = 72 - 2

13x2 S3 = 72 -

−

21

S2

Slika 5. Analiza smanjivanja vrijednosti bazičnih promjenljivih u slučaju ulaska

u bazu promjenljive x2 i u slučaju ulaska u bazu promjenljive S2

32

Ono što sada treba uraditi, jeste odrediti vrijednosti u zj i cj – zj redovima

simpleks tabele sa slike 4. Time se dobija uvid u indirektno smanjenje i ukupno

povećanje vrijednosti funkcije cilja, ako u bazu uđe x2, odnosno, S2. Pođimo od

pretpostavke da u bazu ulazi x2, to će izazvati smanjenje promjenljive x1 za 41 ,

odnosno, indirektno smanjenje funkcije cilja od 49 , a njeno ukupno povećanje

od 6 - 49 =

415 . U slučaju ulaska u bazu promjenljive S2, indirektno smanjenje

funkcije cilja će biti 49 , a pošto ulazak u bazu S2, neće povećati vrijednost

funkcije cilja, tako će ukupno povećanje vrijednosti funkcije cilja biti 0 -

49 =

49

− (slika 6). Dakle, jasno je, odlučujemo se za promjenljivu x2, kao za onu

koja ulazi u bazu. Ostaje da se odredi koja će od promjenljivih morati da iziđe iz

baze i ustupi svoje mjesto novoj bazičnoj promjenljivoj x2.

cj 9 6 0 0 0 Jednačina

Bazične

promjenljive cB x1 x2 S1 S2 S3 DSO

II2II ′−=′ S1 0 0 21

1 21

− 0 4

( )II4/1II =′ x1 9 1 41

0 41

0 8

II2IIIIII ′−=′ S3 0 0 2

13 0

21

− 1 72

zj *

49

* 49

*

cj - zj *

415

* 49

− *

FC=72

Slika 6. Simpleks tabela nakon izračunavanja zj i cj - zj

33

2.9. Određivanje promjenljive koja izlazi iz baze

Pošto je određena promjenljiva koja u sljedećoj iteraciji simpleks postupka ulazi

u bazu, sada treba odrediti promjenljivu koja će izići iz baze.

Ovdje se polazi od konstatacije da se bazične promjenljive smanjuju

proporcionalno sa porastom koeficijenata u koloni simpleks tabele koja odgovara

promjenljivoj x2, koja ulazi u bazu. Pošto su svi koeficijenti u koloni koja

odgovara x2 u simpleks tabeli pozitivni, sve bazične promjenljive se

proporcionalno smanjuju, ka nuli, sa porastom x2. Porast promjenljive x2 mora se

ograničiti, odnosno, zaustaviti prije nego što neka od bazičnih promjenljivih

postane jednaka 0, ili eventualno dobije negativan predznak. Ovo iz sljedećih

razloga:

• Ukoliko bi neka od bazičnih promjenljivih postala jednaka nuli, tada više

ne bi bila bazična, i

• Ukoliko bi neka od bazičnih promjenljivih postala negativna, ne bi

predstavljala fizički rješenje problema, tj. ne bi zadovoljavala uslov

nenegativnosti promjenljivih.

Shodno ovome, promjenljiva koja izlazi iz baze je ona koja se prva smanji na

nulu, sa povećanjem vrijednosti promjenljive koja ulazi u bazu.

Vrijednost promjenljive koja ulazi u bazu, pri kojoj bazična promjenljiva dobija

vrijednost nula, odgovara odnosu trenutne vrijednosti bazične promjenljive i

koeficijenta njenog smanjenja, usljed ulaska u bazu nove promjenljive. Dakle,

tamo gdje je ovaj odnos minimalan, dotična bazična promjenljiva će najprije

dostići nulu i time ona automatski izlazi iz baze. Ovim je, najzad, u potpunosti

opisan postupak određivanja nove baze, kojim je zagarantovan prelazak na bolje

rješenje.

34

Postupak se nastavlja sve do ispunjenja uslova optimalnosti. Uslov optimalnosti

je zadovoljen, kada nova promjena baze ne bi dovela do poboljšanja vrijednosti

funkcije cilja. Sa stanovišta simpleks tabele, nađeno je optimalno rješenje, kada

su sve vrijednosti u posljednjem redu simpleks tabele negativne, što znači da bi

nova promjena baze samo smanjila ukupnu vrijednost funkcije cilja, umjesto da

je poveća, naravno, pod uslovom da se radi o problemu maksimuma.

2.10. Realizacija simpleks metoda putem simpleks tabela

Ovdje će u cjelosti biti realizovan simpleks metod, putem simpleks tabela, na

prethodno datom primjeru problema optimizacije proizvodnje računara tipa R1 i

R2, mikroračunarske korporacije. Model, prilagođen zahtjevima simpleks metoda

je u ovom slučaju sljedeći:

Maksimum 9x1 + 6x2

pri ograničenjima: 2x1 + 1x2 + S1 = 20

4x1 + 1x2 + S2 = 32

2x1 + 7x2 + S3 = 88

i x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0

Izravnavajuće promjenljive u sistemu ograničenja su ujedno i izolovane

promjenljive. Stoga, izravnavajuće promjenljive postaju inicijalne, ili početne

bazične promjenljive. Inicijalno, ili početno dopustivo bazično rješenje je:

(x1,x2,S1,S2,S3) = (0,0,20,32,88)

pri čemu je vrijednost funkcije cilja jednaka nuli. Početna simpleks tabela ima

formu (slika 7):

35

cj 9 6 0 0 0 Jednačina

Bazične

promjenljive cB x1 x2 S1 S2 S3 DSO

I S1 0 2 1 1 0 0 20

II S2 0 4* 1 0 1 0 32

III S3 0 2 7 0 0 1 88

zj 0 0 * * *

cj - zj 9 6 * * * FC=0

Slika 7. Prva simpleks tabela

Iz prve simpleks tabele (slika 7), tj. iz njenog poslednjeg reda, cj - zj, jasno se

vidi da će ulazak promjenljive x1 u novu bazu povećati ukupnu vrijednost

funkcije cilja 9 puta po svakoj svojoj jedinici; dok bi promjenljiva x2, svojim

ulaskom u novu bazu, funkciju cilja ukupno povećala za 6 puta po svakoj svojoj

jedinici. Zaključak je, da je x1 promjenljiva koja sljedeća ulazi u bazu.

Sada treba odrediti pivot promjenljivu, odnosno pivot red. Pivot elemenat (red),

se određuje na principu minimalnog odnosa trenutne vrijednosti bazične

promjenljive i koeficijenta njenog smanjenja, usljed ulaska u bazu nove

promjenljive:

82

88,4

32,220min =

.

Dakle, po principu minimalnog odnosa, promjenljiva koja izlazi iz baze je - S2.

Slijede odgovarajuće transformacije sistema jednačina ograničenja, na način da

x1 postane izolovana promjenljiva, odnosno, da skup {S1,x1,S3} postane izolovan

36

skup promjenljivih. Odgovarajuća transformacija je notirana u prvoj koloni

druge simpleks tabele (slika 8).

cj 9 6 0 0 0 Jednačina

Bazične

promjenljive cB x1 x2 S1 S2 S3 DSO

II2II ′−=′ S1 0 0 21

* 1 21

− 0 4

( )II4/1II =′ x1 9 1 41

0 41

0 8

II2IIIIII ′−=′ S3 0 0 2

13 0

21

− 1 72

zj *

49

* 49

*

cj – zj *

415

* 49

− *

FC=72

Slika 8. Druga simpleks tabela

Postupak transformacije baze je prethodno detaljno opisan, tako da će ovdje biti

samo konstatovano da je promjenljiva koja ovoga puta ulazi u bazu, promjenljiva

x2. Nadalje, po principu minimalnog odnosa:

82/13

72,4/1

8,2/1

4min =

promjenljiva koja izlazi iz baze je S1. Novo bazično rješenje je:

(x1,x2,S1,S2,S3) = (8,0,4,0,72)

37

kome odgovara vrijednost funkcije cilja 72. Odgovarajućim, analognim

transformacijama, dolazi se do simpleks tabela tri i četiri (slike 9 i 10), pri čemu

se svaki put formira nova baza i njoj odgovarajuće rješenje, koje je uvijek bolje u

odnosu na prethodno.

cj 9 6 0 0 0 Jednačina

Bazične

promjenljive cB x1 x2 S1 S2 S3 DSO

I2I ′=′′ x2 6 0 1 2 1− 0 8

( )I4/1IIII ′′−′=′′ x1 9 1 0 21

− 21

0 6

( )I2/13IIIIII ′′−′=′′ S3 0 0 0 13− 6* 1 20

zj * *

215

23

− *

cj - zj * *

215

−23

*

FC=102

Slika 9. Treća simpleks tabela

Na osnovu treće simpleks tabele (slika 9), jasno je da promjenljiva S2, kao

sljedeća, ulazi u bazu. Po principu minimalnog odnosa:

333,3620,

2/16,

18min =

−

promjenljiva S3 izlazi iz baze, u ovoj iteraciji. Nova baze je:

(x1,x2,S1,S2,S3) = (6,8,0,0,20)

38

pri čemu funkcija cilja ima vrijednost 102. Sada se prelazi na narednu iteraciju,

odnosno, na simpleks tabelu četiri (slika 10).

cj 9 6 0 0 0 Jednačina

Bazične

promjenljive cB x1 x2 S1 S2 S3 DSO

IIIII ′′′+′′=′′′ x2 6 0 1 61

− 0 61

3

34

( ) III2/1IIII ′′′−′′=′′′ x1 9 1 0 127

0 121

− 3

13

( ) III6/1III ′′=′′′ S2 0 0 0 6

13− 1

61

3

10

zj * * 4

17 *

41

cj – zj * * 4

17− *

41

−

FC=1

07

Slika 10. Četvrta simpleks tabela

Na osnovu koeficijenata iz posljednjeg reda četvrte simpleks tabele, koji su svi

negativni, jasno je da bi nova promjena baze uslovila ukupno smanjenje funkcije

cilja. Posljedično, zaključuje se da je nađeno optimalno rješenje:

(x1,x2,S1,S2,S3) = (314 ,

3111 ,0,

313 ,0)

pri čemu je optimalna vrijednost funkcije cilja jednaka 107. Ovo rješenje,

očigledno, korespondira sa onim dobijenim grafičkim metodom i odgovara uglu

uz tačku D poliedra dopustivih rješenja sa slike 3.

39

2.11. Rješavanje problema linearnog programiranja pomoću

rješavača

U slučaju ovdje analiziranog LP problema optimizacije proizvodnje dva tipa

računara R1 i R2, sa samo dvije promjenljive, jednostavno se u rješavanju mogao

primijeniti grafički ili simpleks metod. Međutim, u slučajevima kada se radi o

problemima koji su većih dimenzija od dvije promjenljive, nije praktično

moguće grafičko rješavanje problema (izuzetno se problemi ovog tipa sa tri

promjenljive mogu riješiti grafički, u 3D prostoru). Ako se radi o problemima sa

više od pet promjenljivih, otprilike, komplikovano je manuelno sprovoditi i

simpleks proceduru. S toga se u slučajevima LP zadataka sa većim brojem

promjenljivih preporučuje korišćenje softverskih paketa kakvi su: QSB, Simpl,

What's Best (MS Excel), Lindo, Lingo i dr. Putem Interneta je moguće

nerestriktivno preuzeti neke od ovih softvera. Ovdje su za rješavanje problema

koji je prethodno riješen u 2D ravni grafički i simpleks procedurom, uz pomoć

simpleks tabela, korišćena i dva rješavača: Lingo (ver. 7.0), kao i ugrađeni

rješavač (solver) u MS Excel-u. Preferira se Lingo, budući da je uz pomoć njega

moguće riješiti i one probleme LP koji nemaju početnu bazu [6], tj. koji

zahtijevaju tzv. dvofaznu modifikaciju simpleks algoritma. U nastavku slijede

prikazi odziva rješavača u Lingo programu i u Excel-u, u slučaju konkretnog

problema koji se ovdje razmatra.

2.12. Lingo rješavač

Realni problemi linearnog programiranja obično imaju veliki broj promjenljivih i

ograničenja, pa su za određivanje njihovih optimalnih rješenja potrebni

odgovarajući računarski programi (softveri). Komercijalni softveri, namijenjeni

rješavanju realnih problema linearnog programiranja, uglavnom rade na principu

40

simpleks metoda, s tim što neki od ovih softvera mogu da prikažu svaku od

iteracija pojedinačno.

Poslije unosa podataka, odgovarajući, konvencionalan PC softverski paket će

automatski prikazati optimalnu vrijednost funkcije cilja (Objective value: ...,

eng.) i optimalne vrijednosti promjenljivih (Variables: ...; Values: ..., eng).

Većina paketa vrši automatski i analizu senzitivnosti, koja će biti objašnjena

nešto detaljnije u nastavku.

Kako izgleda prikaz rezultata i što znače podaci dobijeni računarskom obradom

problema linearnog programiranja, pokazano je na primjeru, pri čemu je korišćen

Lingo Systems (ver. 7.0) programski paket, u Windows okruženju:

Ulaz max=900*x1+600*x2; 2*x1+1*x2<=20000; 4*x1+1*x2<=32000; 2*x1+7*x2<=88000;

Izlaz Global optimal solution found at step: 3 Objective value: 0.1070000E+08 Variable Value Reduced Cost X1 4333.333 0.0000000 X2 11333.33 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.1070000E+08 1.000000 2 0.0000000 425.0000 3 3333.333 0.0000000 4 0.0000000 25.00000

41

Kolona Reduced Cost predstavlja cijene u sjenci. Elementi ove kolone pokazuju

koliko će se prihod povećati sa jediničnim povećanjem vrijednosti promjenljivih

u modelu (ovdje x1 i x2). Drugo tumačenje elemenata u koloni Reduced Cost,

moglo bi da bude sljedeće: vrijednosti u koloni Reduced Cost ukazuju na to za

koliko je moguće smanjiti koeficijente u funkciji cilja uz promjenljive x1 i x2, a

da se pritom vrijednost same funkcije cilja ne promijeni. Ovo implicitno ukazuje

na eventualnu mogućnost pojeftinjenja usluga. U konkretnom primjeru, ne

postoji takva mogućnost, s obzirom da su elementi u koloni Reduced Cost

jednaki nuli.

Elementi u koloni Slack or Surplus, pokazuju u kojoj mjeri su zadovoljena

(odnosno, nisu zadovoljena) ograničenja u modelu, što nije teško provjeriti

uvrštavanjem optimalnih vrijednosti promjenljivih u svako od ograničenja.

Kada je u pitanju kolona Dual Prices, svakom ograničenju se dodjeljuje brojka

koja predstavlja dualnu cijenu. Dualna cijena se može interpretirati kao

vrijednost za koju će se poboljšati vrijednost funkcije cilja, ako se konstantna

vrijednost na desnoj strani ograničenja poveća za jedan (kada je ograničenje tipa

«≤»), odnosno, ako se konstantna vrijednost sa desne strane ograničenja smanji

za jedan (kada je ograničenje tipa «≥»).

2.13. Excel-ov rješavač

U literaturi se često nalaze primjeri korišćenja Excel-ovog rješavača za

rješavanje LP problema, kao, uostalom, i za rješavanje brojnih drugih problema

operacionih istraživanja ili naučnog menadžmenta [4]. Ovdje je Excel-ov

rješavač upotrijebljen za rješavanje prethodno razmatranog problema

optimizacije proizvodnje dva tipa računara R1 i R2, uz pomoć na odgovarajući

42

način popunjenog Excel-ovog radnog lista i prozora rješavača, kako je to

prikazano na slici 11.

Slika 11. Postupak rješavanja LP problema uz pomoć Excel-ovog rješavača

Ono što je ovdje važno napomenuti, jeste sljedeće, da je u polju, tj. ćeliji ($B$2)

namijenjenom za optimalnu vrijednost funkcije cilja, korišćena Excel-ova

ugrađena funkcija SUMPRODUCT(arrey1, arrey2), ista funkcija je korišćena i

pri izračunavanju lijevih strana ograničenja (LHS - Left Hand Side, eng), koje za

svako dopustivo rješenje moraju da odgovaraju desnim stranama ograničenja

(RHS – Right Hand Side, eng). Vrijednosti promjenljivih x1 i x2 (polja $B$16 i

$C$16) tretiraju se kao nepoznate, odnosno kao one koje se određuju tako da

43

vrijednost funkcije cilja bude maksimalna, pod uslovom da su sva ograničenja u

modelu zadovoljena.

Slika 12. Optimalno rješenje LP problema dobijeno u Excel-u

Aktiviranjem naredbe Riješi, u prozoru rješavača, automatski se dobijaju

optimalne vrijednosti promjenljivih x1 i x2, kao i odgovarajuća (maksimalna)

vrijednost funkcije cilja (slika 12). Dobijena rješenja odgovaraju onima

dobijenim rješavanjem odnosnog LP zadatka grafički, simpleks metodom i/ili

softverski, uz pomoć u prethodnom odjeljku korišćenog Lingo programskog

paketa.

44

3. Analiza senzitivnosti rješenja zadatka linearnog

programiranja Podaci kojima se raspolaže pri formiranju i kasnije rješavanju zadatka linearnog

programiranja (LP) su samo približne numeričke vrijednosti, koje se mogu

naknadno mijenjati, pošto se zadatak riješi. Ukoliko se izmijene ulazni podaci,

optimalno rješenje će se takođe promijeniti, u većini slučajeva.

Ovdje, dakle, treba izanalizirati kako promjene ulaznih parametara utiču na LP

optimalno rješenje. U praksi, gdje je promjena ulaznih podataka obično rutinska,

analiza senzitivnosti je gotovo podjednako važna kao i određivanje optimalnog

rješenja.

Analizu senzitivnosti optimalnog rješenja LP zadatka, najlakše je objasniti i

razumjeti grafički. Stoga se treba vratiti grafičkoj interpretaciji problema koji je

prethodno rješavan, a čiji je model:

45

Maksimum 900x1 + 600x2 (ukupni profit)

pri ograničenjima: 2x1 + 1x2 ≤ 20 000 (disk drajvovi)

4x1 + 1x2 ≤ 32 000 (grupni rad)

2x1 + 7x2 ≤ 88 000 (uskostručan rad)

i x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (prirodno ograničenje nenegativnosti)

gdje x1 i x2, respektivno, predstavljaju broj računara tipa R1 i R2, koji se

proizvode. Optimalno rješenje ovog LP problema je: (x1,x2) =

3111,

314 ,

izraženo u hiljadama, pri čemu je vrijednost funkcije cilja 107 stotina hiljada

novčanih jedinica.

U nastavku će biti razmotreno sljedeće:

• Kako promjene koeficijenata u funkciji cilja utiču na optimalno rješenje, i

• Kako promjene u ograničenjima, tj. promjene desne strane ograničenja

(DSO), utiču na optimalno rješenje.

3.1. Promjene koeficijenata u funkciji cilja

Ovdje se postavlja pitanje kako će se promjene koeficijenata u funkciji cilja

(9x1+ 6x2) odraziti na optimalno rješenje zadatka LP, pri čemu je c1=9, odnosno,

c2=6. Pođimo prvo od pretpostavke da se mijenja jedan, a potom drugi

koeficijent, tj. pokušajmo da odgovorimo na pitanja:

(a) Ukoliko c2 ostane konstantno, tj. jednako 6, u kom opsegu se može mijenjati

c1, a da optimalno rješenje ostane nepromijenjeno?

(b) Ukoliko c1 ostane konstantno, tj. jednako 9, u kom opsegu se može mijenjati

c2, a da optimalno rješenje ostane nepromijenjeno?

46

Sa porastom c1, mijenjaće se koeficijent pravca izoprofitne prave koja

predstavlja funkciju cilja (u slučaju optimalnog rješenja) i ona će se shodno tim

promjenama zakretati u smjeru kazaljke na satu (+ smjer na slici 13) u odnosu na

tačku optimalnog rješenja. Zakretanje je dozvoljeno, sve dok je optimalno

rješenje u istoj tački, tj. donja granica zakretanja je tu gdje izoprofitna linija

napušta liniju ograničenja (1), a gornja se određuje u trenutku njenog poklapanja

s ograničenjem (2). Dakle, donju i gornju granicu promjene koeficijenta c1,

respektivno, analitički možemo odrediti iz graničnog uslova jednakosti novog

koeficijenta pravaca izoprofitne linije i koeficijenata pravaca ograničenja (1) i

(2), u konkretnom slučaju [14].

Slika 13. Grafička interpretacija promjene koeficijenata u funkciji cilja

47

U drugom slučaju, polazi se od pretpostavke da se koeficijent c2 smanjuje, dok je

c1 fiksno, čime će se smanjivati koeficijent pravca izoprofitne prave koja

predstavlja funkciju cilja, pa će se ona shodno tim promjenama zakretati u

smjeru obrnutom od smjera kazaljke na satu (- smjer na slici 13) u odnosnu na

tačku koja predstavlja optimalno rješenje. Zakretanje je dozvoljeno, sve dok je

optimalno rješenje u istoj tački, tj. donja granica zakretanja je tu gdje izoprofitna

linija napušta liniju ograničenja (1), a gornja se određuje u trenutku njenog

poklapanja s ograničenjem (2). Analogno prethodnom slučaju, donju i gornju

granicu promjene koeficijenta c2, respektivno, analitički je moguće odrediti iz

graničnog uslova jednakosti novog koeficijenata pravaca izoprofitne linije i

koeficijenata pravaca ograničenja (1) i (2), na primjeru slučaja koji ovdje

razmatramo [14].

3.2. Promjene desne strane ograničenja

Obratimo sada pažnju na promjene koje mogu nastati kod optimalnog rješenja

usljed promjene vrijednosti sa desne strane jednog od strukturnih ograničenja

(DSO). Neka je to prvo ograničenje u modelu koji razmatramo, a koje je inače

vezano za raspoložive disk drajvove. Pretpostavimo da se broj raspoloživih disk

drajvova poveća (ili smanji) i analizirajmo kako će se to odraziti na optimalno

rješenje.

Da bi se utvrdilo kako će promjena DSO uticati na rješenje, mora se uzeti u obzir

da se optimalno rješenje razmatranog problema nalazi u presjeku prvog i trećeg

ograničenja, te se stoga moraju zajedno posmatrati prilikom analize.

Budući da nije neophodno znati tačnu vrijednost za koju se DSO povećava (ili

smanjuje), uvodi se promjenljiva ∆ (koja može biti pozitivna, ili negativna) i

48

dobija se sljedeća transformacija ograničenja u čijem se presjeku nalazi

optimalno rješenje:

2x1 + x2 = 20 + ∆

2x1 + 7x2 = 88

Ako uz pomoć supstitucije, x1 i x2 izrazimo u funkciji od ∆, dobija se:

(x1,x2) = ( ∆+127

314 , ∆−

61

3111 ),

dok funkcija cilja, u funkciji promjene od ∆, ima oblik:

9x1 + 6x2 = 107 + ∆4

17 .

Budući da je ograničenje (2) isključeno iz prethodnog razmatranja, ove promjene

će se ipak odraziti na izravnavajuću promjenljivu u ovom ograničenju. Tako da

će S2, nakon uvrštavanja x1 i x2 u izmijenjenoj formi, u drugo ograničenje, imati

konačan oblik:

S2 = ∆−6

13313 .

Sada se postavlja pitanje, u kojim granicama se može mijenjati ∆, tako da

optimalno rješenje i dalje ostane u presjeku (1) i (3) ograničenja?

U cilju što jednostavnijeg odgovora na ovo pitanje, treba pogledati sliku 14,

odnosno, što se dešava na grafiku povećanjem i smanjenjem DSO.

49

Slika 14. Grafička interpretacija promjene desne strane ograničenja (DSO) u

modelu

U slučaju kada je ∆ pozitivno, optimalno rješenje se pomjera, tj. klizi, iz tačke A

u tačku C. S druge strane, za negativno ∆, optimalno rješenje se pomjera iz tačke

A u tačku B. Dozvoljena granica pomjeranja, u konkretnom slučaju je, s lijeve

strane tačka u kojoj x1 postaje jednako 0, odnosno, sa desne strane tačka u kojoj

izravnavajuća promjenljiva ograničenja (2) postaje jednaka nuli. Ovim, zapravo,

ograničenje (2) postaje vezano u optimalnom rješenju. Pošto je x1 = ∆+127

314 ,

ako ga izjednačimo sa nulom, dobijamo da je lijeva granica za ∆: ∆ = - 737 . S

druge strane, pošto je S2 = ∆−6

13313 , njegovim izjednačavanjem sa nulom,

50

dobijamo desnu granicu za ∆: ∆ = 1371 . Dobijeni podaci o donjoj i gornjoj

granici promjene DSO, s ciljem da optimalno rješenje ostane nepromijenjeno,

sumarno su prikazani u tabeli 5.

Optimalne vrijednosti

DSO max

∆ min ∆

x1 x2 S1 S2 S3 FC

20 1371 -

737 ∆+

127

314 ∆−

61

3111 0 ∆−

613

313 0 ∆+

417107

Tabela 5. Rezultati sprovedene analize senzitivnosti desne strane ograničenja

3.3. Pojam cijene u sjenci

Najznačajnija aplikacija analize senzitivnosti desne strane ograničenja (DSO), je

u tome što ona omogućava određivanje maksimalne dopustive jedinične cijene

koju treba platiti za svaku dodatnu jedinicu resursa. Pretpostavimo da računarska

korporacija, čiju smo proizvodnju uzeli kao primjer, može da nabavi više od

planiranih 20 hiljada disk drajvova, ali se postavlja pitanje: koliko će za svaku

dodatnu jedinicu resursa, korporacija morati dodatno da plati? Da bismo mogli

da odgovorimo na ovo pitanje, potrebno je prvo da razjasnimo pojam cijene u

sjenci. Jedna od interpretacija je sledeća: cijena u sjenci ograničenja, je

vrijednost poboljšanja funkcije cilja sa jediničnim povećanjem vrijednosti DSO.

Ako se vratimo konkretnom primjeru, izraz za FC u tabeli 5, ukazuje na to da će

se vrijednost funkcije cilja povećati za 4

17 , odnosno za 4,25 sa jediničnim

povećanjem DSO (pri čemu se radi o prvom ograničenju u modelu). Ako

uzmemo u obzir izvršeno reskaliranje, to bi bilo 425 000 (nj), po svakoj novoj

51

hiljadi disk drajvova, odnosno 425 (nj) po svakom pojedinačnom disk drajvu.

Ovo je zapravo, cijena u sjenci.

Postavlja se pitanje što je u ovakvoj situaciji sa neto povećanjem profita? Neto

povećanje profita određuje se tako što se od cijene u sjenci oduzme vrijednost za

koju aktuelna jedinična cijena resursa (konkretno, disk drajva) prevazilazi

planiranu, a već uračunatu u funkciju cilja. Ukoliko je prethodno planirano da će

jedan disk drajv koštati 300 (nj), tada bi neto povećanje profita iznosilo:

Neto povećanje profita = Cijena u sjenci 425 (nj) – Vrijednost za koju aktualna

jedinična cijena disk drajva prevazilazi planiranu od 300 (nj)

Na primjer, neka je računarska korporacija planirala da će jedinična cijena disk

drajvova biti 300 (nj) i to je uzela u obzir prilikom formiranja funkcije cilja, ali

se kasnije desilo da za svaku dodatnu jedinicu mora da plati premijernu cijenu od

650 (nj). Što se tada dešava sa neto porastom profita? Povećaće se za sledeći

iznos:

Neto povećanje profita = Cijena u sjenci 425 (nj) – 650 (nj) - 300 (nj)

Dakle, profit će se povećati ukoliko se za dodatnu jedinicu resursa plati manje od

cijene u sjenci. Na osnovu izraza za neto profit, zaključuje se da je cijena u

sjenci, zapravo, maksimalna jedinična cijena za dodatnu jedinicu nekog od

resursa.

Naravno, analiza osjetljivosti DSO, sa stanovišta cijene u sjenci, može se izvršiti,

na sličan način, i za drugo vezano ograničenja u modelu [14]. U nastavku ćemo

52

razmotriti što se dešava sa optimalnim rješenjem pri promjeni desne strane

nevezanog ograničenja.

3.4. Analiza senzitivnosti nevezanog ograničenja

Ovdje će biti analizirana senzitivnost desne strane nevezanog, drugog

ograničenja u konkretnom modelu, koje se odnosi na raspoložive sate za grupni

rad (rad na montaži). Najjednostavnije je da analizu prvo sprovedemo uz pomoć

grafika na slici 15. Dakle, nevezano ograničenje (2), može usljed promjene desne

strane da klizi prema sjevero-istoku, ako je promjena DSO ∆ - pozitivna,

odnosno prema jugo-zapadu, ako je ∆ - negativno. Sada treba odrediti gornju i

donju granicu promjene DSO nevezanog ograničenja, kako ne bi bilo bitnih

promjena u optimalnom rješenju i kako bi vezana ograničenja (1) i (3) i dalje

ostala vezana.

Ukoliko se drugo ograničenje pomjera udesno, ili sjevero-istočno, neće se desiti

nikakva promjena, ni na poziciji P1, ni na bilo kojoj desno od nje. Optimalno

rješenje će i dalje ostati optimalno, sa jedinom razlikom, što će se S2 povećati.

Dakle, povećanje DSO u ovom slučaju nije ograničeno, te se može konstatovati

da je +∞→∆ . Postavlja se pitanje što je sa donjom, lijevom granicom, odnosno,

do koje granice se DSO može pomjerati jugo-zapadno. Ta granica je određena

pozicijom P2. Kada bismo pomjerali ograničenje (2) više od te granice ulijevo,

tačka optimalnog rješenja A bi bila izvan oblasti dopustivih rješenja. Odnosno,

pomjeranje ograničenja (2) više ulijevo od pravca P2, uslovilo bi sužavanje

oblasti dopustivih rješenja i nepripadanje tačke A toj oblasti. Analitički, u

poziciji P2, koja je donja granica smanjenja DSO (2), izravnavajuća promjenljiva

je jednaka nuli.

53

Slika 15. Grafička interpretacija promjene desne strane nevezanog ograničenja

Pošto, je u izvornom optimalnom rješenju S2 = 313 , S2 će biti jednako nuli, samo

ako je 313−=∆ . Na osnovu izloženog, može se zaključiti da je promjena DSO

ograničenja (2) moguća u rasponu +∞<∆≤−313 . Kolika je cijena u sjenci

nevezanog ograničenja? Ona je jednaka nuli. To nije iznenađujuće, s obzirom da

je optimalno rješenje dobijeno, a da pritom nisu iskorišćeni svi raspoloživi

resursi DSO (2). U opštem slučaju, samo vezana ograničenja imaju nenulte

54

cijene u sjenci. Drugim riječima, ograničenja koja su nevezana u optimalnom

rješenju LP zadatka, imaju uvijek cijenu u sjenci koja je jednaka nuli.

3.5. Analiza nekih od nestandardnih formi zadataka linearnog

programiranja

U kontekstu analize nestandardnih formi zadatka LP, ovdje će biti razmotrene

neke mogućnosti prevazilaženja nestandardnosti u modelu zadatka LP, s ciljem

uspješnog korišćenja programskih paketa, budući da je većina njih prilagođena

rješavanju samo standardnih LP formi.

Do sada smo podrazumijevali da je LP zadatak koga rješavamo standardan, u

smislu da uključuje maksimizaciju funkcije cilja, da su sva strukturna

ograničenja tipa «≤» sa nenegativnim desnim stranama i da sve promjenljive u

modelu ispunjavaju prirodan uslov nenegativnosti. U nastavku će biti izložene

određene modifikacije koje omogućuju rješavanje nestandardnih LP problema,

posredstvom simpleks metoda. Pođimo od zadatka LP koji podrazumijeva

minimizaciju funkcije cilja.

3.5.1. Minimizacioni problem

U ovom slučaju je modifikacija veoma jednostavna. Dovoljno je da se

podsjetimo značenja vrijednosti u poslednjem redu simpleks tabele (cj – zj).

Naime, ove vrijednosti pokazuju za koliko će se povećati vrijednost funkcije cilja

sa jediničnim povećanjem promjenljive koja je potencijalni kandidat za ulazak u

bazu. U slučaju maksimizacije intencija je bila da promjenljivu kojoj odgovara

najveća pozitivna vrijedost u poslednjem redu, uzmemo kao onu koja će sljedeća

55

ući u bazu. Ovdje je slučaj, logično, obrnut. Kao promjenljivu koja ulazi u bazu,

biramo onu koja ima najnegativniju vrijednost u posljednjem redu simpleks

tabele. Dok je u slučaju maksimuma, kriterijum za zaustavljanje simpleks

procedure, bio da su sve vrijednosti u posljednjem redu manje ili jednake nuli,

ovdje je, u slučaju minimuma, obrnuto. Dakle, kriterijum za zaustavljanje

simpleks procedure je da su sve vrijednosti (cj – zj) veće ili jednake nuli, što

znači da dalje nije moguće smanjivati vrijednost funkcije cilja. Ostalo se, bitnije,

ništa ne mijenja u sprovođenju samog simpleks metoda i tumačenju dobijenih

rješenja.

3.5.2. Slučaj kada neke od promjenljivih ne zadovoljavaju uslov

nenegativnosti

Ovo je, takođe, relativno jednostavan slučaj za transformaciju LP zadatka u

standardni oblik. Dovoljno je uvesti dvije nove promjenljive umjesto one koja ne

zadovoljava uslov nenegativnosti i tako riješiti problem. Međutim, većina

softverskih paketa, po automatizmu, uzima da su sve promjenljive nenegativne,

tj. isključuje mogućnost neograničenosti promjenljivih u znaku. Kada se takav

slučaj može javiti u realnom svijetu? Na primjer, kod LP problema finansijskog

planiranja, promjenljiva će predstavljati priliv gotovog novca u slučaju kada je

pozitivna, odnosno, njegov odliv kada je negativna.

U ovakvim slučajevima, za n neograničenih u znaku promjenljivih: x1,x2,...,xn,

uvodimo n+1 novu nenegativnu promjenljivu: y1,y2,...,yn,w, u cilju uvođenja

sljedeće smjene u model:

56

y1 = x1 + w

.

.

.

yn = xn + w

yn, w ≥ 0

Promjenljiva w je jednaka nuli, ako nema negativnih promjenljivih x, odnosno, u

opštem slučaju w ima najmanju vrijednost koja odgovara najnegativnijem x-u,

po apsolutnoj vrijednosti. Pošto se dobiju rješenja, izvrši se ponovo supstitucija i

direktno se odrede vrijednosti izvornih promjenljivih x. Time je problem

neograničenosti promjenljivih u znaku, u potpunosti riješen.

3.5.3. Slučaj kada promjenljive imaju nenultu donju granicu

Programski paketi namijenjeni rješavanju LP zadataka, zbog brzine izvršavanja,

podrazumijevaju da sve promjenljive u modelu imaju nultu donju granicu.

Međutim, u specifičnim situacijama, to ne mora da bude slučaj. Razmotrimo na

konkretnom primjeru, što treba uraditi kako bi se ovaj nedostatak softverskih

paketa prevazišao. Neka je dat model:

Minimizirati 7x1 + 5x2

pri ograničenjima:

x1 + x2 ≥ 1 750

2x1 + 7x2 ≤ 1 900

i x1 ≥ -50, x2 ≥ 800

Potrebno je uvesti dvije nove nenegativne promjenljive:

57

y1 = x1 + 50

y2 = x2 - 800

Nakon smjene, dobija se:

x1 = y1 - 50

x2 = y2 + 800

Uvrštavanjem novih vrijednosti u LP model, dobija se rješenje po y1 i y2, koje se

jednostavnom supstitucijom može na kraju prevesti u rješenje po izvornim

promjenljivima x1 i x2. Ovakvim je riješen i problem nenultog ograničenja s

donje strane promjenljivih u izvornom modelu LP zadatka. Detaljne analize

drugih oblika nestandardnosti zadatka LP, tipa ograničenja «≥», i/ili «=»;

nerješivosti, neograničenosti ili višestrukosti rješenja, mogu se naći u literaturi

[12;14]. Ono što ovdje treba napomenuti, s obzirom da je posredno vezano za

problem duala kojim ćemo se baviti u nastavku, odnosi se na strukturna

ograničenja tipa «≥». U slučaju ograničenja tipa «≥», u cilju prevođenja modela

u standardni oblik, u ograničenja pored izravnavajućih uvodimo i vještačke

promjenljive, koje su bazične u prvoj iteraciji. Uticaj vještačkih promjenljivih na

funkciju cilja, eliminiše se na način što im se u funkciji cilja pridružuju

odgovarajući koeficijenti [3;12;14].

58

4. Dual Svaki zadatak linearnog programiranja ima svoj pridruženi zadatak, tzv. dual.

Originalnu formulaciju zadatka LP nazivamo - primar, a njemu pridružen, na

odgovarajući način modifikovan LP zadatak – dual. Ono što je ovdje

interesantno, je to da simpleks tabela, bilo da je rađena za dual ili za primar,

sadrži rješenja i jednog i drugog modela zadatka. S toga, kad god je to

jednostavnije, koristi se dual umjesto primara.

4.1. Prevođenje primara u dual

Dual je na neki način slika u ogledalu primara i dobija se na osnovu sledećih

opštih pravila:

1. Broj ograničenja i promjenljivih u dualu. Ako primar ima n

nenegativnih promjenljivih i m strukturnih ograničenja tipa «≤», tada će

dual imati m nenegativnih promjenljivih i n strukturnih ograničenja tipa

«≥». Analogno, ako primar ima n nenegativnih promjenljivih i m

strukturnih ograničenja tipa «≥», tada će dual imati m nenegativnih

promjenljivih i n strukturnih ograničenja tipa «≤». Na primjeru

59

transformacije primara u dual, datog na slici 16, jasno se vidi da primar

ima 4 promjenljive i 3 ograničenja, tipa «≥», dok dual ima 3 promjenljive

i 4 ograničenja, tipa «≤».

2. Funkcija cilja duala. Ako funkcija cilja primara podrazumijeva

maksimizaciju, onda funkcija cilja duala podrazumijevati minimizaciju

(slika 16). Obrnuto, ukoliko funkcija cilja primara podrazumijeva

minimizaciju, u tom slučaju funkcija cilja duala podrazumijeva

maksimizaciju.

3. Koeficijenti u funkciji cilja duala. Koeficijenti uz promjenljive u

funkciji cilja duala su redom, vrijednosti sa desne strane strukturnih

ograničenja primara. Prvi koeficijent u funkciji cilja odgovara desnoj

strani prvog ograničenja primara, drugi koeficijent, desnoj strani drugog

ograničenja i tako redom.

4. Desne strane ograničenja duala. Desne strane ograničenja duala,

odgovaraju, redom koeficijentima uz promjenljive u funkciji cilja

primara.

5. Koeficijenti uz promjenljive u ograničenjima duala. Koeficijenti uz

promjenljive u ograničenjima duala, najjednostavnije se dobijaju tako što

se transponuje matrica koeficijenata ograničenja primara i preslika se na

ograničenja duala (slika 16).

Primar Dual

Minimizirati 100x1+40x2+75x3+80x4 Maksimizirati 70y1+90y2+50y3

pri

ograničenjima:

pri

ograničenjima:

3x1-1x2+7x3+5x4≥70 3y1+4y2+6y3≤100

4x1-9x2+10x3+2x4≥90

→

-1y1-9y2+8y3≤40

60

6x1+8x2-12x3-11x4≥50 7y1+10y2-12y3≤75

5y1+2y2-11y3≤80

i i

xi ≥ 0 (i = 1,4)

yj ≥ 0 (j = 1,3)

Slika 16. Formiranje duala

Osnovne prednosti, u smislu lakšeg rješavanja duala u odnosu na primar, veoma

su jasno izražene u situacijama kada primar ima veliki broj promjenljivih, a malo

ograničenja, kao i kada su ograničenja u primaru tipa «≥».

Prevođenjem primara sa gore navedenim svojstvima u dual, dobija se standardni

LP problem, sa manjim brojem promjenljivih u poređenju sa primarom. Još

jedna značajna prednost duala u odnosu na primar, ogleda se u sljedećem: kada u

primaru postoji veliki broj promjenljivih, a samo dva ograničenja, tada se

prevođenjem primara u dual, dual može riješiti grafički, u 2D ravni.

4.2. Primar-dual relacije

Relacije primara i duala, osim onih koje se tiču neposrednog prevođenja jednog

u drugi, najbolje se mogu interpretirati posredstvom simpleks tabela u kojima je

dato rješenje primara i duala u isto vrijeme (slika 17.a i 17.b). Dakle, slike 17.a i

17.b predstavljaju posljednje simpleks tabele dobijene pri rješavanju primara i

duala, problema optimalne proizvodnje mikroračunarske korporacije, koji je u

prethodnim odjeljcima razmatran i rješavan. Ono što je od posebne važnosti, je: i

jedna i druga tabela, posmatrane zasebno sadrže informacije o rješenju primara i

duala. Postoje dva ključa, da tako kažemo, pri nalaženju informacija o primaru i

dualu u jednoj istoj simpleks tabeli:

61

• Funkcija cilja je i u jednom i u drugom slučaju ista;

• Kada su promjenljive u pitanju, odgovor na pitanje, kolike su vrijednosti

promjenljivih iz onog drugog modela, nalazimo u posljednjem (cj – zj)

redu simpleks tabele (slika 18).

Dakle, sa slike 18 se jasno vidi da se vrijednosti promjenljivih u onom drugom

problemu, mogu direktno očitati iz poslednjeg reda simpleks tabele koju

posmatramo.

Rješenje primara

cj 9 6 0 0 0 Bazične

promjenljive cB x1 x2 S1 S2 S3 DSO

x2 6 0 1 61

− 0 61

3

34

x1 9 1 0 127

0 121

−3

13

S2 0 0 0 6

13− 1

61

3

10

zj * * 4

17 *

41

cj – zj * * 4

17− *

41

−

FC=107

Slika 17.a Upoređenje rješenja primara i duala

Jasno je da je vrijednost funkcije cilja (FC), u jednom i u drugom slučaju ista, tj.

107. Dual može da zahtijeva manje napora pri izračunavanju od primara, stoga

eksperti u ovoj oblasti pri odlučivanju koji će model LP koristiti, razmatraju broj

promjenljivih, te broj i prirodu ograničenja, kao i još neke tehničke detalje bitne

za jednostavnije određivanje optimalnog rješenja.

62

Rješenje duala

cj 20 32 88 0 0 0 0 Ba

zičn

e

prom

jenl

jive

cB y1 y2 y3 E1 E2 A1 A2 DSO

y1 20 1 6

11 0

127

−61

127

61

− 4

17

y3 88 0 61

− 1 121

61

− 121

− 61

41

zj * 3

86 *

313

−3

34−

313

3

34

cj – zj * 3

10 *

313

3

34

313

− 3

34−

FC=107

Slika 17.b Upoređenje rješenja primara i duala

4.3. Primjer ekonomske interpretacije duala

Ovdje će biti ukratko izložena ekonomska interpretacija duala, na jednostavnom

primjeru. Naime, neka jedna kompanija koristi primar da optimizira proizvodni

miks četiri proizvoda, pri ograničenim resursima; dotle druga kompanija koristiti

dual da odredi zadovoljavajuće, fer cijene po kojima bi ponudila prvoj kompaniji

otkup svih njenih resursa za potrebe sopstvene proizvodnje.

63

Primar - dual

cj – zj * * 4

17− *

41

− FC=107

Dual - primar

cj – zj * 3

10 * 3

13 3

34 3

13−

334

− FC=107

Slika 18. Određivanje vrijednosti duala iz primara i obrnuto, određivanje

vrijednosti primara iz duala

Neka, dakle, prva kompanija ABC hoće da odredi optimalni proizvodni miks

četiri proizvoda 1, 2, 3 i 4, koji su predstavljeni u modelu promjenljivima x1, x2,

x3 i x4, redom. Detalji su sadržani u sljedećem matematičkom modelu:

Vrijednosti izravnavajućih promjenljivih: S1, S2 i S3; gdje * predstavljaju 0

Vrijednosti promjenljivih x1 i x2, iz primara

Vrijednosti izravnavajućih promjenljivih iz duala; pri čemu * znači da su one jenake nuli

Optimalne vrijednosti promjenljivih iz duala: y1, y2 i y3; * znači da je y2 = 0

64

Primar – ABC kompanija

Maksimizirati 50x1 + 20x2 + 30x3 + 40x4

pri ograničenjima:

3x1 + 11x2 + 9x3 + x4 ≤ 95

10x1 + 7x2 + 4x3 + 8x4 ≤ 72

2x1 + 5x2 + 12x3 + 6x4 ≤ 81

i

xi ≥ 0 (i = 1,4)

S druge strane, kompanija XYZ hoće da po fer cijeni otkupi sve raspoložive

resurse kompanije ABC. Neka promjenljive y1, y2 i y3, predstavljaju jedinične

cijene po kojima je XYZ spremna da otkupi resurse 1, 2 i 3 od kompanije ABC.

Pošto su resursi raspoloživi u iznosima: 95, 72, i 81, redom, funkcija cilja za

XYZ će odražavati minimalnu cijenu plaćanja ovih resursa, tj. treba odrediti:

Minimum 95y1 + 72y2 + 81y3.

Ograničenja u modelu XYZ kompanije su posljedica potrebe da se ABC

kompanija ubijedi u fer ponudu. Ako pogledamo ograničenja u primaru, vidimo

da je za proizvodnju jedne jedinice proizvoda 1, potrebno 3 jedinice prvog

resursa, 10 jedinica drugog resursa i 2 jedinice trećeg resursa, što se matematički

predstavlja u dualu:

3y1 + 10y2 + 2y3.

Kako kompanija ABC po jedinici proizvedenog proizvoda 1 ostvari profit od 50

(nj), ona će insistirati da bude ispunjen uslov:

65

3y1 + 10y2 + 2y3 ≥ 50.

U protivnom, ABC će zaključiti da je prodaja resursa kompaniji XYZ manje

profitabilna od nastavljanja sa proizvodnjom. Stoga, da bi ubijedila ABC u

opravdanost svoje ponude, XYZ mora da prihvati gore navedeno i slična

ograničenja kada su u pitanju proizvodi 2, 3 i 4. Tako da će konačna forma duala,

kojim se rukovodi XYZ pri formiranju adekvatne ponude biti:

Dual – XYZ kompanija

Minimizirati 95y1 + 72y2 + 81y3

pri ograničenjima:

3y1 + 10y2 + 2y3 ≥ 50

11y1 + 7y2 + 5y3 ≥ 20

9y1 + 4y2 + 12y3 ≥ 30

y1 + 8y2 + 6y3 ≥ 40

i

yj ≥ 0 (j = 1,3)

Ovim je, u stvari, ilustrovan sljedeći opšti princip: kada primar ima interpretaciju

LP problema određivanja optimalnog proizvodnog miksa, tada njegov dual, u

ekonomskom smislu, ima interpretaciju određivanja fer cijena za otkup resursa

(iz primara). Pod odrednicom fer, ovdje se podrazumijeva da kompanija koja se

koristi primarom, na osnovu ponude neće zaključiti da je profitabilnije nastaviti

sa proizvodnjom nego prodati raspoložive resurse [14].

66

5. Cjelobrojno linearno programiranje

U slučajevima kada neke ili sve promjenljive u zadatku linearnog programiranja

treba da budu cjelobrojne, radi se o cjelobrojnom linearnom programiranju (ILP

– Integer Linear Programing, eng). Treba istaći, da se mnogi važni problemi

odlučivanja mogu formulisati kao problemi cjelobrojnog linearnog

programiranja, prije svega problemi kapitalnih investicija.

Uspješna primjena cjelobrojnog programiranja, ne zahtijeva samo formulaciju

problema, već i njegovo rješenje. Tokom 60-tih, pa i 70-tih godina prošlog

vijeka, postojao je raskorak između metoda za koje su teoretičari tvrdili da su

efikasne (i konačne) i potreba praktičara, koji su zaključivali, pri pokušajima da

riješe realne probleme, da ovi metodi nisu dovoljno dobri. Treba reći da računari,

koji su tada stajali na raspolaganju praktičarima, nisu bili dovoljno moćni da

iziđu uvijek u susret realnim potrebama. Kasnije je poboljšanjem performansi

računara i razvijanjem novih metoda za rješavanje konkretnih problema iz

prakse, dobrim dijelom, prevaziđen ovaj problem.

Dok je formulisanje zadatka cjelobrojnog programiranja, iste složenosti kao i

formulisanje zadatka linearnog programiranja, određivanje optimalnog rješenja

67

ILP je mnogo složenije, čak i kada se radi o istom broju promjenljivih i

ograničenja u modelu.

Računari, pomoću odgovarajućih softvera, uspješno rješavanju LP probleme sa

nekoliko 10-tina hiljada promjenljivih i ograničenja, dok se kod ILP problema

obično kalkuliše sa oko 100 promjenljivih i/ili ograničenja. Međutim, ova

tehnička ograničenja u rješavanju ILP ne umanjuju njegovu potrebu i značaj kao

optimizacionog alata. U nekim slučajevima, kada je ILP problem suviše velikih

dimenzija da bi se riješio optimalno, koriste se razne heuristike, koje ne

garantuju da će rješenje koje daju biti optimalno, ali će ono svakako biti

vrijedno, odnosno, blizu optimalnom. Ono što je još važnije, rješenje dobijeno

primjenom neke od heuristika biće bolje od onog donijetog samo na osnovu

intuicije.

5.1. Taksonimija

U diskusijama po osnovu cjelobrojnog linearnog programiranja koriste se

određeni termini. Tako je promjenljiva koja treba da zadovolji uslov

cjelobrojnosti – cjelobrojna promjenljiva. Promjenljiva koja ne mora da

zadovolji ovaj uslov je – kontinualna promjenljiva. U opštem slučaju cjelobrojna

promjenljiva podrazumijeva bilo koju cjelobrojnu vrijednost koja je u skladu sa

ILP strukturnim ograničenjima, kao i prirodnim ograničenjima nenegativnosti.

Međutim, kao što ćemo na realnim primjerima koji slijede vidjeti, poželjna je

restrikcija cjelobrojnih promjenljivih ILP na samo dvije vrijednosti: 0 i 1. Ova

vrsta promljenljivih kod ILP zadataka su tzv. binarne promjenljive.

Shodno prethodno navedenom, ILP problemi se mogu klasifikovati na sljedeći

način:

68

• Čisti, nasuprot mješovitim problemima ILP;

• Binarni, nasuprot opštim problemima ILP.

U prvom slučaju čistog ILP, sve promjenljive su cjelobrojne, dok je kod

mješovitog ILP, određeni podskup promjenljivih cjelobrojan, a ostatak

promjenljivih je kontinualan.

U drugom slučaju kod binarnih ILP problema, sve cjelobrojne promjenljive su

binarne, dok kod opštih ILP problema makar jedna od promjenljivih nije binarna.

Shodno ovim svojstvima ILP problema, razlikuju se četiri kategorije istih, koje

se međusobno isključuju: čisti-binarni, čisti-opšti, mješoviti-binarni i mješoviti-

opšti ILP problemi. U tabeli 6 je dat prikaz odnosne taksonimije. Primjeri nekih

realnih ILP problema, koji su dati u nastavku, su tzv. čisti-binarni ILP problemi.

Binarni Opšti

Čisti Sve promjenljive su binarne. Sve promjenljive su cjelobrojne, ali

najmanje jedna od njih nije binarna.

Mješoviti

Određeni podskup promjenljivih

je podskup binarnih

promjenljivih. Ostale

promjenljive u modelu su

kontinualne (tj. necjelobrojne).

Specificirani podskup promjenljivih je

cjelobrojan, ali najmanje jedna iz ovog

podskupa promjenljivih nije binarna,

ostale su kontinualne promjenljive.

Tabela 6. Taksonimija cjelobrojnog linearnog programiranja

69

5.2. Grafički metod

Kada se u problemu cjelobrojnog linearnog programiranja izostave, ili

jednostavno izbrišu, ograničenja cjelobrojnosti, dobija se LP relaksacija.

Rješenje LP relaksacije može biti od pomoći pri određivanju optimalnog rješenja

ILP. U cilju ilustracije odnosa između LP relaksacije i vezanog ILP, razmotrimo

sljedeći primjer.

Jedna avio-kompanija treba da kupi određeni broj novih aviona dva tipa: A1 i A2.

Neka su promjenljive koje odgovaraju avionima tipa A1 i A2, respektivno x1 i x2.

Podaci od važnosti prilikom kupovine aviona, dati su u tabeli 7.

Stavke A1 A2 Ograničenja

Neto godišnji profit (u hiljadama nj.) 900 700

Kupovna cijena (u milionima nj.) 20 10 100

Godišnja potreba za održavanjem (sati) 400 500 4000

Tabela 7. Podaci od važnosti pri povećanju flote jedne avio-kompanije

Na osnovu podataka iz tabele 7, nije teško formulisati ILP matematički model:

Maksimum 900x1 + 700x2

pri ograničenjima: 20x1 + 10x2 ≤ 100 (1)

400x1 + 500x2 ≤ 4 000 (2)

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

i x1, x2 – cjelobrojne vrijednosti

70

Za početak treba riješiti LP relaksaciju ovog ILP problema. S obzirom da

zadatak ima samo dvije promjenljive, nije ga problem riješiti grafički, tj.

ograničenja (1) i (2) predstaviti pravima u segmentnom obliku, te se poslužiti

izoprofitnom linijom pri određivanju optimalnog rješenja (slika 19).

Slika 19. Grafičko rješenje LP relaksacije i određivanje ILP rješenja

Sa slike 19, može se zaključiti da je optimalno rješenje LP relaksacije u tački

(x1,x2) =

326,

321 , pri čemu je optimala vrijednost funkcije cilja, tj. maksimalna

vrijednost profita koji će avio kompanija imati od eksploatacije novih aviona, na

71

godišnjem nivou, 326166 hiljada novčanih jedinica. Međutim, ILP i njegova LP

relaksacija nemaju isto optimalno rješenje, odnosno, ILP će uvijek imati lošije

rješenje, od rješenja LP relaksacije.

U ovom slučaju, kada imamo pojednostavljen problem, sa svega dvije

promjenljive, na osnovu grafičkog rješenja nije teško zaključiti, koja od četiri

cjelobrojne tačke (kvadrat oivičen isprekidanim linijama na slici 19) je najbolja

sa stanovišta ILP-a. Kada kažemo najbolja, mislimo da daje najbolje moguće

rješenje za funkciju cilja. U konkretnom slučaju, to je tačka (x1,x2) = (2,6), pri

čemu profit iznosi 6 miliona novčanih jedinica. Dobijeno rješenje se može

interpretirati na način da je za avio-kompaniju optimalno da kupi 2 nova aviona

tipa A1, odnosno, 6 novih aviona tipa A2, kako bi ostvareni profit na godišnjem

nivou bio maksimalan, a sva ograničenja u modelu zadovoljena.

Problem se javlja, naravno kod problema većih dimenzija, gdje je potreban jedan

apstraktniji pristup problemu. Jednostavno zaokruživanje, može da pruži rješenje

koje je blisko optimalnom, sa zadovoljavajućim nivoom greške zaokruživanja,

ali to nije metod koji se preporučuje u opštem slučaju.

Metod koji je preporučljiv u rješavanju složenijih primjera ILP od prethodno

rješavanog, je metod odsijecajućih ravni (Cutting Planes Method, eng.) ili

Gomory-ev metod. Kod ovog metoda u model LP se uvode dodatna ograničenja

(koja se formiraju po posebno definisanim pravilima), kojima se sužava oblast

dopustivih rješenja i tako se postiže približavanje cjelobrojnom optimalnom

rješenju. Međutim, ovaj metod može da bude zahtjevan, u smislu velikog broja

iteracija (u njegovoj osnovi je simpleks metod), a i ne garantuje konačnost [12].

U neku ruku, preporučljiviji metod, koji je obično u «pozadini» softverskih

72

paketa, je metod grananja i ograničenja (B&BM – Brunch and Bound Method,

eng), [19].

5.3. Softversko rješenje

Pošto su u prethodnom odjeljku pomenute metode ILP prilično nepraktične za

manuelna izračunavanja, u nastavku je data odgovarajuća formulacija i

softversko rješenje, prethodno grafičkom metodom riješenog problema

cjelobrojnog linearnog programiranja. Problem se, dakle, odnosi na kupovinu

dva nova tipa aviona za potrebe jedne avio-kompanije. Kao i u slučaju LP,

korišćen je programski paket Lingo (ver. 7.0).

Rješenje ILP problema avio-kompanije dobijeno pomoću odgovarajućeg

softvera, je sljedeće:

Funkcija cilja

max=900*x1+700*x2; Ograničenja 20*x1+10*x2<=100; 400*x1+500*x2<=4000; @gin(x1); @gin(x2);

Rješenje

Global optimal solution found at step: 2 Objective value: 6000.000

73

Branch count: 1 Variable Value Reduced Cost X1 2.000000 0.0000000 X2 6.000000 -250.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 6000.000 0.0000000 2 0.0000000 45.00000 3 200.0000 0.0000000

Na osnovu dobijenog rješenja, vidi se da najbolje rješenje odgovara paru: (x1,x2)

= (2,6), pri čemu reskaliran optimalan profit iznosi 6 miliona novčanih jedinica.

Po analogiji, vrlo jednostavno, uz pomoć odgovarajućeg softvera, mogao bi se

riješiti bilo koji ILP problem većih dimenzija.

5.4. Metod grananja i ograničenja

U osnovi prethodno korišćenog softverskog paketa Lingo, u rješavanju

optimizacionog problema kupovine novih aviona dva različita tipa (A1 i A2)

jedne avio-kompanije, je metod grananja i ograničenja. Stoga će ovdje biti dat

okvirni pristup realizaciji ovog ILP metoda (B&BM – Brunch and Bound

Method, eng). Detaljan opis metoda, uz ilustracije na odgovarajućim primjerima,

može se naći u literaturi [7;14;19].

Osnovna pretpostavka B&B metoda je raspolaganje rješenjem LP relaksacije ILP

problema, da bi se potom proizvoljno odabrala neka od necjelobrojnih

promjenljivih od koje će se dalje vršiti grananje u cilju postizanja uslova

cjelobrojnosti. Na primjer, ako je u optimalnom rješenju LP relaksacije x2 =

74

37292 , tada se u ILP model (ako se x2 uzme za promjenljivu po kojoj se vrši

grananje) uvode dva nova ograničenja, jedno: x2 ≤ 2 i drugo x2 ≥ 3. Potom se

pristupa rješavanju LP relaksacije proširenog problema. Postupak se nastavlja

sve dok se ne postigne ispunjenje uslova cjelobrojnosti, uz što je moguće bolju

vrijednost funkcije cilja (odnosno, u slučaju maksimuma – što veću, a u slučaju

minimuma – što manju vrijednost). Tokom sprovođenja ovog postupka, neke

grane ostaju odsječene, jer ne daju dopustiva rješenja. U nastavku slijedi

numerički primjer.

Neka je model ILP problema, koji se rješava B&B metodom, dat u sljedećem

obliku:

Maksimimum 120x1 + 96x2

pri ograničenjima: 6x1 + 13x2 ≤ 67

8x1 + 5x2 ≤ 55

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

i x1, x2 – cjelobrojne vrijednosti

Optimalno rješenje LP relaksacije je: (x1,x2) =

37292,

3755 , dok funkcija cilja

ima vrijednost 3717883 . Alternativno rješenje problema, dobijeno grubim

zaokruživanjem bilo bi (x1,x2) = (5,2), pri čemu bi vrijednost funkcije cilja

iznosila: 120⋅(5)+96⋅(2)=792. U ovom slučaju, maksimalna vrijednost,

procentualno izražene greške zaokruživanja, može se odrediti po obrascu:

75

%35,10%100

3717883

7923717883

%100.relakLPFCVrijednost

.relakLPFCvrijednost.Zaokr.relakLPFCVrijednostgreškaalnprocentuaalnMaksima

=×−

=

=×−

=

Greška aproksimacije LP relaksacije, od 10,35%, je obično neprihvatljiva, te se

proces rješavanja ILP problema nastavlja B&B metodom. U konkretnom

primjeru, s obzirom na to da su obje promjenljive x1 i x2 necjelobrojne,

promjenljivu x2 proizvoljno odabiramo kao onu po kojoj će se vršiti grananje u

prvoj iteraciji B&B metoda.

S obzirom da je x2 = 37292 , u ILP model se uvode dva nova ograničenja: x2 ≤ 2 i

x2 ≥ 3. Potom se rješava LP relaksacija proširenog problema. Na ovaj način je

izvorni zadatak podijeljen na dva nova zadatka, u jednom, kao dodatno

ograničenje u izvornom modelu postoji x2 ≤ 2, dok se u drugom kao novo,

dodato ograničenje, javlja x2 ≥ 3. Rješavanjem ova dva novoformirana zadatka,

veća vrijednost funkcije cilja dobija se za slučaj novog LP modela u kome je

2x 2 ≤ dodatno ograničenje. U novodobijenom rješenju promjenljiva x1 je

necjelobrojna, pa se u sljedećoj iteraciji B&B, grananje nastavlja po toj liniji, uz

stalno praćenje vrijednosti funkcije cilja i opredjeljivanje u hodu za onu granu

koja daje njenu veću vrijednost. Grananje se nastavlja, sve dok se ne dobije ili

nemoguće rješenje, ili ono koje je cjelobrojno i pritom daje grešku aproksimacije

jednaku nuli. Detaljan postupak rješavanja primjera, koji je ovdje naveden kao

ilustracioni, sa detaljnim praćenjem vrijednosti promjenljivih i funkcija cilja u

postupku grananja i ograničenja, može se naći u referenci [14].

76

6. Primjene linearnog programiranja

Linearno, odnosno, linearno cjelobrojno i/ili binarno programiranje ima(ju) širok

spektar primjena. U nastavku će biti prezentirani neki karakteristični primjeri:

• Problem tipa proizvedi ili kupi: ovo je karakterističan problem sa kojim

se susreće proizvođač kada ne može da odgovori zahtjevima kupaca i

kada mora da upotpuni asortiman proizvoda, proširivanjem sopstvene

proizvodnje ili naručivanjem dodatnih proizvoda od drugih proizvođača;

• Problem planiranja proizvodnje i zaliha: ovo je problem sa kojim se

suočava proizvođač, kada na osnovu očekivane potražnje, planira

proizvodnju i nivo zaliha, najčešće za nekoliko mjeseci unaprijed;

• Problem finansijskog planiranja: koji nastaje u situacijama kada firma

koristi različite mogućnosti investiranja, kako bi ostvarila pozitivan

bilans u određenom vremenskom periodu;

• Problem transporta, ili transportni problem: gdje proizvođač mora da

planira transport svojih proizvoda (npr. od fabrike do nekoliko geografski

udaljenih skladišta);

77

• Problem raspoređivanja personala (osoblja): problem sa kojim se,

primjera radi, suočava administrator u bolnici, koji mora optimalno da

rasporedi osoblje u različite radne smjene;

• Problem rješavanja složenih matričnih igara (obično većih dimenzija): u

kojima učestvuju dva igrača, pri čemu jedan ima cilj da maksimizira

dobitak, a drugi da minimizira gubitak, s tim da igra mora da bude fer, tj.

sa nultim zbirom. To praktično znači da koliko jedan igrač dobija, toliko

drugi gubi. Poenta je u određivanju optimalnih strategija jednog i drugog

igrača. Optimalne strategije podrazumijevaju određene vrijednosti

vjerovatnoća sa kojima igrači treba da odigraju pojedine strategije, uz

ostvarivanje optimalne vrijednosti igre. Detaljni prikazi odgovarajućih

verbalnih modela, njihove matematičke formulacije, postupci rješavanja i

tumačenja dobijenih rješenja, mogu se naći u literaturi [3;12;14].

Ono što je u ovom kontekstu važno, je:

• U slučaju problema transporta, koji je u osnovi problem linearnog

programiranja, postoji niz razvijenih efikasnijih metoda za njegovo

rješavanje: bilo da se radi o određivanju početnog bazičnog plana, gdje se

mogu koristiti metod sjevero-zapadnog ugla, metod minimalnih troškova,

ili Vogelov aproksimativni metod; bilo da se radi o metodama ispitivanja

optimalnosti dobijenog rješenja (metod potencijala čvorova); ili pak, o

poboljšanju dopustivog bazičnog plana (metod skakanja sa kamena na

kamen – stepping stone method, eng). Dakle, transportni zadatak koristi

posebno razvijene metode, koje imaju za cilj brže rješavanje problema.

Budući da su one iscrpno opisne u literaturi na našem jeziku [3;9;12;15],

ovdje neće biti posebno opisivane.

• Za rješavanje problema rasporeda personala, ili uopšte bilo kog

problema ove vrste, tj. asignacije, postoje takođe posebno razvijene

78

metode. Jedna od dobro poznatih je Mađarska ili Konig-ova metoda

[3;19]. Naravno, problemi asignacije se mogu riješiti i različitim

metodama binarnog programiranja (eksplicitne ili implicitne enumeracije,

metodom grananja i ograničenja), te raznim heuristikama.

• Za rješavanje tzv. prostih matričnih igara, ili igara sa sedlom, češće nego

linearno programiranje, koristi se min/max i max/min Von-Neuman-ov

princip, kojim se vrlo jednostavno i jednoznačno određuju optimalne

strategije jednog i dugog igrača, uz zagarantovanu optimalnu vrijednost

igre. U slučaju tzv. mješovite ili složene matrične igre, u kojoj makar

jedan od igrača ima na raspolaganju samo dvije strategije, koristi se

grafički metod [3;12].

U nastavku slijedi nekoliko primjera optimizacije posredstvom linearnog

(cjelobrojnog, binarnog) programiranja.

6.1. Primjeri zadataka linearnog (cjelobrojnog, binarnog)

programiranja

U cilju predstavljanja mogućnosti realne primjene linearnog, cjelobrojnog,

odnosno, binarnog programiranja, u ovom poglavlju su dati sljedeći primjeri:

(a) - Primjer matrične igre, koja odslikava konfrontaciju interesa poslodavaca i

zaposlenih u savremenim uslovima lučkog, globalno orijentisanog poslovanja

[5]. Nakon subjektivne procjene matrice koeficijenata cijene igre, ista je

predstavljena dualnim matematičkim modelom linearnog programiranja i

riješena pomoću odgovarajućeg softvera;

79

(b) - Primjeri problema raspoređivanja tipa (1:1) riješeni ne samo kao problemi

linearnog-binarnog programiranja, već i eksplicitnom enumeracijom i

Mađarskim ili Konig-ovim metodom. Jedan od primjera se odnosi na

optimizaciju rasporeda zaposlenih na određene poslove, dok se drugi odnosi na

određivanje optimalnog rasporeda posada na linijske brodove;

(c) - Primjeri problema raspoređivanja tipa (N:M), riješeni softverski kao

problemi 0-1 linearnog-binarnog programiranja, uz pomoć Lingo softvera. Prvi

od razmatranih problema odnosi se na raspored više posada jedne pomorske

(linijske) kompanije na određeni broj linija koje ta kompanija pokriva svakog

dana, dok se drugi se odnosi na raspored određenog broja brodova na nekoliko

linija.

6.2. Realan primjer matrične igre

Matrična igra, kao segment skupa problema linearnog programiranja, ovdje je

analizirana na realnom primjeru iz domena pomorstva. Naime, konfrontirani su

pozitivni efekti zapošljavanja u lukama, sa stanovišta poslodavca (Ei, i=1,6) i

elementi humanog razvoja, sa stanovišta zaposlenih (Hj, j=1,5). Konfrontacija je

izvršena u skladu sa aktuelnim preporukama za vlasničko-organizaciono

prestrukturiranje luka, u uslovima globalizacije tržišta lučkih usluga [5].

Strategije koje stoje na raspolaganju poslodavcima (Ei, i=1,6) i zaposlenima (Hj,

j=1,5), date su u tabeli 7.

80

Strategije na strani poslodavca Strategije na strani zaposlenih

E1 – Intenzivniji rad H1 – Motivisanost za rad

E2 – Plaćanje prema rezultatima H2 – Permanentno povećanje plata

E3 – Strogo poštovanje radne discipline H3 – Uživanje socijalnih beneficija

E4 – Pre(do)kvalifikacija zaposlenih H4 – Briga o profesionalnom zdravlju

E5 – Smanjenje garancija za stalno zaposlenje

E6 – Ukidanje socijalnih beneficija H5 – Rodno senzitivna politika zapošljavanja

Tabela 7. Strategije na strani poslodavaca i na strani zaposlenih

U cilju određivanja optimalnog para strategija, kao i optimalne vrijednosti igre,

potrebno je subjektivno odrediti matricu cijene igre. Predlog je dat u tabeli 8, a

detaljno je obrazložen u nastavku.

E/H H1 H2 H3 H4 H5

E1 2 -1 - 2 -2 -1

E2 -2 -2 -1 -1 1

E3 1 -2 -1 1 2

E4 -2 -2 -1 1 0

E5 -2 0 2 3 3

E6 3 2 3 3 3

Tabela 8. Matrica cijene igre dvaju suprotstavljenih efekata pri

zapošljavanju

Ukoliko su vrijednosti u matrici cijena igre pozitivne, to znači da poslodavac

dobija, dok je aspekat humane dimenzije zapošljavanja na gubitku. Obrnuto, ako

je neka vrijednost u matrici cijena igre negativna, to znači da poslodavac (obično

81

samo kratkoročno posmatrano) gubi, dok zaposleni dobija, u smislu da se bolje

tretira pri zapošljavanju i kasnije tokom rada.

Kako bi matrica cijene igre bila prilagođena kasnijem transformisanju i

rješavanju ovog problema metodom linearnog programiranja, sve njene

negativne koeficijente treba linearno povećati, tako da budu pozitivni, odnosno,

da najnegativnija vrijednost u matrici bude svedena na nulu, jedinicu ili na svoj

pozitivan antipod [12]. U razmatranom primjeru, sve vrijednosti u izvornoj

matrici (tabela 8) uvećane su za vrijednost 3d =+ , u cilju izbjegavanja

operiranja sa negativnim koeficijentima (tabela 9).

E/H H1 H2 H3 H4 H5

E1 5 2 1 1 2

E2 1 1 2 2 4

E3 4 1 2 4 5

E4 1 1 2 4 3

E5 1 3 5 6 6

E6 6 5 6 6 6

Tablica 9. Transformisana matrica cijene igre

U nastavku je dato moguće tumačenje subjektivno dodijeljenih vrijednosti cijena

igre, odabranih na skali od ±1 do ±3, u originalnoj verziji (tabela 8).

Najjednostavnije je sve suprotstavljene strategije uporediti, svaku sa svakom, po

parovima.

82

Dakle, jedno od tumačenja subjektivno određenih vrijednosti (koeficijenata)

cijena igre, moglo bi da bude sljedeće:

(E1,H1): (2) – Poslodavac ima direktnu korist od povećanja radnog učinka, ostvarenog

intenzivnijim radom ili produženjem radnog vremena, dok to obično ide na uštrb motivisanosti

zaposlenih za rad;

(E1,H2): (-1) – Uprkos dužem radnom vremenu i/ili većem učinku zaposlenih, poslodavac je na

gubitku, dok su zaposleni svakako na dobitku, zbog srednjeročnog ili dugoročnog povećanja

plata, iako ne velikom, budući da duže/više rade. Pri ovome treba imati na umu i inflatorne

efekte;

(E1,H3): (-2) – Poslodavac je na gubitku, iako zaposleni duže/više rade, jer se brine o njihovim

socijalnim beneficijama, dok su zaposleni na dobitku, iako ne najvećem, s obzirom da duže rade;

(E1,H4): (-2) – Kao i u prethodnom slučaju, poslodavac je na gubitku, iako zaposleni duže/više

rade, jer vodi računa o njihovom profesionalnom zdravlju, što podrazumijeva razumno

produženje/intenziviranje rada, dok su zaposleni na dobitku, iako ne najvećem mogućem,

ponovo, zbog dužeg/intenzivnijeg rada;

(E1,H5): (-1) – U ovoj kombinaciji, žene koje žele da se zaposle dobijaju, u smislu da imaju

određene privilegije zbog rodno biasirane politike zapošljavanja, dok poslodavci gube, budući da

moraju da računaju na eventualna porodiljska bolovanja i kasnija odsustvovanja sa posla, te kraći

radni staž za žene i sl. U svakom slučaju rodno biasirana politika zapošljavanja u lukama, i

uopšte, ima pozitivne implikacije na humanu dimenziju;

(E2,H1): (-2) – Plaćanje prema rezultatima utiče pozitivno na motivisanost zaposlenih na rad, dok

poslodavcu donosi veće obaveze, u smislu ekstra plaćanja onih koji ulažu dodatan napor i postižu

bolje rezultate;

(E2,H2): (-2) – Plaćanje prema rezultatima svakako ima pozitivan uticaj na zaposlene i implicira

povećanje zarada onih koji se posebno trude, posmatrano ne samo trenutno, nego i

83

srednjeročno/dugoročno. Naravno, treba računati i na one koji se manje angažuju, a kojima

poslodavac, takođe treba da obezbijediti određeno povećanje zarada;

(E2,H3): (-1) – Plaćanje prema rezultatima i permanentno povećanje plata, često povlače manje

ulaganje u smislu obezbjeđivanja socijalnih beneficija zaposlenima. Sa većim primanjima,

zaposleni će moći sami da pokriju dio socijalnih potreba, dok jedan dio, ipak, ostaje na

poslodavcu;

(E2,H4): (-1) – Plaćanje prema rezultatima, uslovno posmatrano, obezbjeđuje zaposlenima,

posebno onima koji se dodatno angažuju, da se više na određeni način brinu o svom zdravlju,

mada to može biti predmet diskusije. Naime, često je teško naći pravu mjeru kada je s jedne

strane u pitanju radna angažovanost, a s druge vođenje brige o profesionalnom zdravlju. Zbog

pretjerane angažovanosti i pored obezbijeđenih uslova, zaposleni često ne poklanjaju potrebnu

pažnju svom zdravlju;

(E2,H5): (1) – Plaćanje prema rezultatima može da ima negativan uticaj na neke zaposlene, ovdje,

konkretno, na žene, jer u određenim situacijama, usljed opravdanog odsustvovanja sa posla,

učinak im može biti manji, pa shodno tome i primanja.

(E3,H1): (1) – Strogo poštovanje radne discipline, samo donekle, može imati pozitivne

implikacije na učinak, odnosno, ići u prilog poslodavcu, ali se obično negativno odražava na

motivisanost zaposlenih za rad;

(E3,H2): (-2) – Strogo poštovanje radne discipline, može da rezultira većim učinkom, a

posledično i većim platama. Što se tiče poslodavca, obaveza povećanja plata, obično mu

predstavlja dodatno finansijsko opterećenje;

(E3,H3): (-1) – Strogo poštovanje radne discipline, obično praćeno povećanjem učinka, može

pozitivno da se odrazi i na socijalne beneficije zaposlenih, ali i da predstavlja određeno

finansijsko opterećenje za poslodavca;

(E3,H4): (1) – Strogo poštovanje radne discipline obično obezbjeđuje direktnu korist poslodavcu,

ali često ima negativne posledice po psiho-somatsko zdravlje zaposlenih;

84

(E3,H5): (2) – Strogo poštovanje radne discipline, često se loše odražava na žene zaposlene u

posmatranom poslovnom (uslužnom) sistemu;

(E4,H1): (-2) – Pre(do)kvalifikacija zaposlenih u cilju povećanja njihove stručnosti, ima

kratkoročno posmatrano negativne efekte po poslodavca, u finansijskom smislu, pod

pretpostavkom da je on obezbjeđuje, ali s druge strane, trebalo bi da ima pozitivne efekte na

(dodatnu) motivisanost zaposlenih za rad;

(E4,H2): (-2) – Pre(do)kvalifikacija zaposlenih, s razlogom bi trebalo pozitivno da se odrazi na

povećanje primanja u perspektivi. Što s druge strane, ima negativne implikacije po poslodavca, u

finansijskom smislu;

(E4,H3): (-1) – Pre(do)kvalifikacija zaposlenih, bi trebalo da se pozitivno odrazi na socijalne

beneficije zaposlenih. Ali s druge strane, ona opet ima određene negativne implikacije po

poslodavca, uglavnom u finansijskom smislu;

(E4,H4): (1) – Pre(do)kvalifikacija može nekada negativno da se odrazi na zdravlje zaposlenih,

budući da može dodatno da ih optereti;

(E4,H5): (0) – Pre(do)kvalifikacija i rodno biasirana politika zapošljavanja, makar naizgled,

nemaju direktnih uzročno-posledičmih veza;

(E5,H1): (-2) – Smanjenje garancija kada je u pitanju stalno zaposlenje, može donekle pozitivno

da se odrazi na motivisanost, pogotovu ako su opšti uslovi zapošljavanja u okruženju restriktivni.

(E5,H2): (0) – Smanjenje garancija kada je u pitanju stalan posao i permanentno povećanje

primanja nisu u direktnoj relaciji;

(E5,H3): (2) – Smanjenje garancija po pitanju stalnog zaposlenja smanjuje obaveze poslodavca po

osnovu staranja o socijalnim beneficijama zaposlenih;

(E5,H4): (3) – Slično prethodnom, smanjenje garancija po pitanju stalnog zaposlenja smanjuje

obaveze poslodavca po osnovu staranja o profesionalnom zdravlju zaposlenih;

85

(E5,H5): (3) – Smanjenje garancija po pitanju stalnog zaposlenja otvara prostor poslodavcu za

diskriminaciju žena, naročito ako su u reproduktivnom dobu (otpuštanje umjesto porodiljskog

odsustva i sl.);

(E6,H1/H5): (3/2) – Gubitak socijalnih beneficija ide u prilog poslodavcu, ali se negativno

odražava na motivisanost zaposlenih, zatim ima direktne negativne implikacije na njihov

socijalni status i zdravlje, posebno kada su u pitanju žene (subjektivna ocjena: (3)). Iako, na prvi

pogled nije uočljivo, gubitak socijalnih beneficija se implicitno negativno odražava na primanja

zaposlenih u dužem vremenskom periodu (subjektivna ocjena: (2)).

Ovaj primjer je dat ilustracije radi opšteg pristupa modeliranju matrice cijena

matrične igre. U nastavku je prikazan transformisan problem matrične igre dvaju

suprotstavljenih efekata pri zapošljavanju radnika u luci (ili, uopšteno

posmatrano, u bilo kom drugom poslovnom sistemu) u problem linearnog

programiranja, preciznije, u njegovu dualnu formu [12]. Odgovarajući

matematički model (dualnog) zadatka LP, realizovan pomoću Lingo softvera,

ima oblik: Funkcija cilja min=-1*Y1-1*Y2-1*Y3-1*Y4-1*Y5-0*(Y6+Y7+Y8+Y9+Y10+Y11); Ograničenja 5*Y1+2*Y2+1*Y3+1*Y4+2*Y5+Y6<=1; 1*Y1+1*Y2+2*Y3+2*Y4+4*Y5+Y7<=1; 4*Y1+1*Y2+2*Y3+4*Y4+5*Y5+Y8<=1; 1*Y1+1*Y2+2*Y3+4*Y4+3*Y5+Y9<=1; 1*Y1+3*Y2+5*Y3+6*Y4+6*Y5+Y10<=1; 6*Y1+5*Y2+6*Y3+6*Y4+6*Y5+Y11<=1;

86

Optimalno rješenje Global optimal solution found at step: 1 Objective value: -0.2000000 Variable Value Reduced Cost Y1 0.0000000 0.2000000 Y2 0.2000000 0.0000000 Y3 0.0000000 0.2000000 Y4 0.0000000 0.2000000 Y5 0.0000000 0.2000000 Y6 0.0000000 0.0000000 Y7 0.0000000 0.0000000 Y8 0.0000000 0.0000000 Y9 0.0000000 0.0000000 Y10 0.0000000 0.0000000 Y11 0.0000000 0.2000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 -0.2000000 1.000000 2 0.6000000 0.0000000 – X1 3 0.8000000 0.0000000 – X2 4 0.8000000 0.0000000 – X3 5 0.8000000 0.0000000 – X4 6 0.4000000 0.0000000 – X5 7 0.0000000 0.2000000 – X6

Na osnovu softverski dobijenih rezultata, uočava se da je vrijednost funkcije cilja

5/1V/1 ' = , odakle slijedi da je 5V' = , [12]. Pošto su sve vrijednosti u matrici

cijene igre prethodno uvećane za iznos 3d =+ , kako bi svi koeficijenti u matrici

cijena bili pozitivni, jer je to jedan od preduslova pri transformaciji modela

matrične igre u dualni model linearnog programiranja, stvarna vrijednost igre je

235dVV ' =−=−= + . Vektor optimalnih rješenja P - vjerovatnoća koje se

87

odnose na pojedine kategorije efekata zapošljavanja (Ei), je P* = (0,0,0,0,0,1). S

druge strane, vektor optimalnih rješenja Q – vjerovatnoća koje se odnose na

pojedine segmente humanih efekata (Hj), je Q* = (0,1,0,0,0).

Ovo praktično znači da su apsolutno dominantne - šesta po redu strategija, kada

su u pitanju efekti zapošljavanja, odnosno, druga strategija, kada su u pitanju

određeni humani elementi. Praktično, radi se o prostoj matričnoj igri sa

sedlastom tačkom, koja odgovara numerički vrijednosti igre V=2. Do ovog

zaključka smo ovdje došli posredno, putem analize softverski dobijenog rješenja.

Međutim, način određivanja sedlaste tačke kod prostih matričnih igara,

uglavnom se bazira na primjeni Von-Neuman-ove strategije min/max i max/min,

po principu shematski prikazanom u tabeli 10.

E/H H1 H2 H3 H4 H5 min max

E1 5 2 1 1 2 1

E2 1 1 2 2 4 1

E3 4 1 2 4 5 1

E4 1 1 2 4 3 1

E5 1 3 5 6 6 1

E6 6 5 6 6 6 5

5

max 6 5 6 6 6

min 5

Tabela 10. Postupak određivanja sedlaste tačke

Dakle, u skladu sa Von-Neuman-ovom strategijom, prvi igrač, koji ovdje ima na

raspolaganju šest strategija Ei (i=1,6) teži da maksimizira dobitak, odnosno, traži

maksimalan među zagarantovanim minimalnim dobitcima, po svakoj od

88

strategija. Suprotno prvom igraču, drugi igrač, koji raspolaže skupom od pet

strategija Hj (j=1,5) nastoji da minimizira svoj gubitak, tj. traži minimalan od

najvećih mogućih gubitaka po svakoj od raspoloživih strategija. U presjeku

optimalnih strategija jednog i drugog igrača, nalazi se tzv. sedlasta tačka, koja

odgovara optimalnoj vrijednosti igre. Ukoliko je vrijednost igre pozitivna,

dobitnik je prvi igrač, u suprotnom, tj. ako je vrijednost igre negativna, dobitnik

je drugi igrač. U principu, matrične igre su igre sa nultim zbirom – koliko jedan

igrač dobija, toliko drugi gubi. Jedino pod ovim uslovom, igra je fer.

Kao tehnički detalj, važan pri rješavanju matričnih igara, treba napomenuti da

matrica cijene igre (npr. tabele 8 i 9) često ostavlja prostor za redukciju

nedominantnih strategija, međutim, taj postupak ovdje nije obrazlagan, budući da

se detaljni opisi istog mogu naći u literaturi na našem jeziku [3;12]. Inače,

redukcijom nedominantnih strategija, pojednostavljuje se postupak rješavanja

igre, ili se ona, u najpovoljnijem slučaju, svodi na igru dimenzija nx2 ili 2xm,

kada se može riješiti grafički, u 2D ravni.

U slučaju problema koji je ovdje razmatran i rješavan, sa stanovišta efektivnog

zapošljavanja u lukama, za poslodavca je optimalno da smanji ili sasvim ukine

socijalne povlastice zaposlenima (pravo na stan, putne troškove, dječje dodatke i

sl.), dok je sa stanovišta zaposlenih optimalno da imaju srednjeročno i dugoročno

posmatrano, permanentno povećanje primanja. Naravno, za neku drugu,

subjektivno određenu, matricu cijene igre i optimalna rješenja bi u principu bila

drugačija.

89

6.3. Neki realni problemi raspoređivanja

U okviru ovog poglavlja opisano je i riješeno nekoliko realnih problema

raspoređivanja, u domenu pomorstva, mada se veoma slični problemi susreću i u

drugim sferama poslovanja. Razmatrani primjeri su tipa jedan-na-jedan (1:1) i

više-na-više (N:M). U prvom slučaju su analizirani i riješeni problemi

raspoređivanja zaposlenih na određene poslove, odnosno, rasporeda posada na

brodove. U drugom slučaju, analizirani su i riješeni problemi raspoređivanja više

posada na nekoliko linija, odnosno, raspoređivanja više brodova na više linija.

Iako se u principu radi o linearnim (binarnim) problemima, ovdje su kao

svojevrstan saplement data i neka rješenja dobijena kombinatornom

optimizacijom, metodom koja se, inače, koristi za rješavanje transportnih

zadataka i Mađarskom metodom.

6.4. Raspoređivanje tipa (1:1)

Problem raspoređivanja – dodjeljivanja, asignacije (assignment problem, eng.)

svodi se na matematički model kojim se određuje optimalan jedan-na-jedan

raspored personala (zaposlenih) na pojedine poslovne zadatke. Kada bismo

pravili osvrt na moguće primjene problema ovog tipa, primjera radi, u

pomorstvu, tada bi oni mogli naći mjesto u brodarskim kompanijama, lukama,

pomorskim agencijama i drugim poslovnim, uslužnim i/ili proizvodnim

sistemima koji su u vezi sa pomorstvom, bez posebnih izuzetaka u odnosu na

opštu primjenu. Raspoređivanje ove vrste, radi se obično s ciljem da se

minimiziraju ukupni troškovi rada, mada je moguće i da se maksimiziraju

pozitivni efekti rada. U tabelarnoj formi problema, redovi uglavnom simbolički

predstavljaju zaposlene, dok kolone predstavljaju poslove, tj. radne zadatke na

koje zaposleni treba da budu optimalno raspoređeni. Vrijednosti u tabeli su

90

obično troškovi povezani sa svakim od mogućih pojedinačno posmatranih

rasporeda. Ako je broj redova jednak broju kolona, tj. ako je matrica troškova

dimenzija nxn, tada se radi o tzv. izbalansiranom problemu raspoređivanja.

Problem raspoređivanja se može riješiti na više načina. Jedan je iz domena

kombinatorne optimizacije, u smislu da se eksplicitno izlistaju i ispitaju svi

mogući jedan-na-jedan rasporedi. Međutim, sa porastom dimenzija problema,

ovaj metod postaje neefikasan. Na primjer, kod modela dimenzija 8x8, postoji 8!

ili 40 320 potencijalnih rješenja. Dakle, za probleme ovog tipa, pogotovu ako su

većih dimenzija, metod eksplicitne enumeracije [7] se ne preporučuje. Drugi

način je da se problem riješi kao transportni zadatak, odnosno, da se modeluje

kao odgovarajući LP problem i riješi softverski. Treći način je, rješenje

Mađarskim ili Konig-ovim metodom. Sva tri pomenuta načina biće ilustrovana

na primjeru koji slijedi.

6.4.1. Raspored zaposlenih na određene poslove

Tri osobe zaposlene, recimo, u jednoj luci, treba optimalno rasporediti na tri

poslovna zadatka. Zavisno od sposobnosti i stručnosti zaposlenih, formirana je

troškovna matrica i data je u tabeli 11. Vrijednosti u tabeli su date u

odgovarajućim novčanim jedinicama (€, npr).

Zaposleni/Posao Posao 1 – (1) Posao 2 – (2) Posao 3 – (3)

Zaposleni 1 – (A) 11 14 6

Zaposleni 2 – (B) 8 10 11

Zaposleni 3 – (C) 9 12 7

Tabela 11. Procjena potencijalnih troškova rada

91

(a) - Rješenje problema eksplicitnom enumeracijom. U ovom slučaju treba

navesti sve moguće jedan-na-jedan rasporede i odabrati onaj koji daje najmanje

ukupne troškove (tabela 12).

Poslovi

1 2 3 Troškovi Ukupni troškovi

A B C 11 + 10 + 7 = 28

A C B 11 + 12 + 11 = 34

B A C 8 + 14 + 7 = 29

B C A 8 + 12 + 6 = 26

C A B 9 + 14 + 11 = 34

C B A 9 + 10 + 6 = 25

Tabela 12. Varijante i troškovi

Na osnovu proračuna iz tabele 12, vidi se da su minimalni ukupni troškovi od 25

nj. ostvareni u slučaju kada je treći od zaposlenih - (C) raspoređen na prvi posao

- (1), drugi zaposleni - (B) na drugi posao - (2), a prvi zaposleni - (A) na treći

posao - (3). U svim ostalim slučajevima troškovi su veći. Ovakav raspored

(osjenčeni, poslednji, red u tabeli 12) je, dakle, optimalan.

Budući da se ovdje radi o problemu raspoređivanja relativno malih dimenzija

(3x3), nije problem proći sve potencijalne mogućnosti i odrediti optimalnu.

Međutim, za slučaj problema većih dimenzija, preporučuje se rješavanje

problema kao transportnog problema, uz pomoć LP metoda.

92

(b) - Rješenje problema kao transportnog zadatka (problema). Ovdje je

problem raspoređivanja tretiran kao transportni problem. U tom smislu, neka je:

xij – «tok» na luku od «čvora» koji simbolički predstavlja zaposlenog - i, ka

«čvoru» koji simbolički predstavlja posao - j. Vrijednost promjenljive xij će biti 1

ako je zaposleni - i angažovan na poslu - j, a 0 u protivnom.

Ovdje je, dakle:

i – simbolički: A (za prvog zaposlenog), B (za drugog zaposlenog) ili C (za

trećeg zaposlenog);

j – simbolički: 1 (za prvi posao), 2 (za drugi posao) ili 3 (za treći posao).

Pri ovome, funkcija cilja, na osnovu vrijednosti troškova iz tabele 11, ima oblik:

Min F(x) = 11xA1+14xA2+6xA3+8xB1+10xB2+11xB3+9xC1+12xC2+7xC3.

Ograničenja u modelu, kao kod klasičnog transportnog zadatka, koji se rješava

LP metodom [4], sastoje se od tri ograničenja za čvorove na strani «ponude»

(zaposleni) i tri ograničenja za čvorove na strani «potražnje» (poslovi):

-xA1-xA2-xA3 = -1 (raspoloživost prvog zaposlenog – A)

-xB1-xB2-xB3 = -1 (raspoloživost drugog zaposlenog – B)

-xC1-xC2-xC3 = -1 (raspoloživost trećeg zaposlenog – C)

xA1+xB1+xC1 = 1 (zahtjev prvog posla – 1)

xA2+xB2+xC2 = 1 (zahtjev drugog posla – 2)

xA3+xB3+xC3 = 1 (zahtjev trećeg posla – 3)

93

U transportnom modelu, količine koje treba «dostaviti», obično se notiraju sa

negativnim predznakom, tj. predstavljaju se kao «negativne količine». «Tokovi»

za svaki od «čvorova» u modelu, formiraju se po sljedećem principu:

Na strani ponude:

Mrežni tok u «čvoru» A = (Ukupni tok ka A) - (Ukupni tok iz A) = (0) –

(xA1+xA2+xA3) =

-xA1-xA2-xA3 = -1

Na strani potražnje:

Mrežni tok u «čvoru» 1 = (Ukupni tok ka 1) - (Ukupni tok iz 1) = (xA1+xB1+xC1)

– (0) = xA1+xB1+xC1 = 1

Grafički model problema se može predstaviti mrežnim dijagramom kao na slici

20. Na dijagramu su čvorovi A, B i C, na strani ponude (zaposleni), dok su

čvorovi 1,2 i 3, na strani potražnje (poslovi).

Zaposleni 3

Zaposleni 2

Zaposleni 1

Posao 3

Posao 2

Posao 1

-1 1

Slika 20. Mrežni model

94

Prethodno opisan model problema raspoređivanja, sveden na transportni

problem, može se formulisati na radnom listu Excel-a i riješiti uz pomoć

ugrađenog Excel-ovog rješavača, kako je ilustrovano na slici 21.

Prilikom rješavanja ovog problema u Excel-u, rješavaču treba jasno definisati

uslove tipa jedan-na-jedan, tj. da svaki zaposleni može biti raspoređen na tačno

jedan posao (SUM(B5:D5), SUM(B6:D6) i SUM(B7:D7)...= 1), odnosno, da na

svaki posao može biti raspoređen tačno jedan zaposleni (SUM(B5:B7),

SUM(C5:C7) i SUM(D5:D7)...= 1). Optimalna vrijednost funkcije cilja treba da

se dobije u ćeliji $B$16 po formuli: SUMPRODUCT(B12:D14,B5:D7), gdje se

mijenja 0-1 matrica (B5:D7) u cilju postizanja optimalne vrijednosti. U ovakvoj

formulaciji problema (radni list na slici 21), prva matrica je 0-1 matrica

potencijalnih jedan-na-jedan rasporeda zaposlenih na pojedine poslove, dok je

druga matrica, matrica troškova svih potencijalnih rasporeda.

Ograničenja u modelu se odnose na balans ulazno-izlaznih tokova, koji po

analogiji sa transportnim problemom, simbolizuju «ponudu» (raspoloživi rad

zaposlenih), odnosno, «potražnju» (zahtjevi poslova). U konkretnom slučaju:

$J$5:$J$10 = $L$5:$L$10.

Rješavač daje optimalnu vrijednost funkcije cilja u označenoj ćeliji ($B$16) i

optimalnu shemu nula i jedinica u 0-1 matrici (B5:D7), za koju se dobijaju

minimalni troškovi rada tri zaposlena, optimalno raspoređena na tri posla.

95

Slika 21. Prikaz radnog lista i rješavača problema asignacije u Excel-u

Prema prikazu sa slike 21, optimalna, tj.minimalna vrijednost funkcije cilja je 25

nj, dok je optimalan raspored zaposlenih i poslova sljedeći: prvog zaposlenog -

(A) treba rasporediti na treći posao - (3), drugog zaposlenog - (B) na drugi posao

- (2), dok trećeg zaposlenog - (C) treba rasporediti na prvi posao - (1).

(c) - Rješenje problema uz pomoć klasičnog LP modela, tačnije, čisto-

binarnog cjelobrojnog LP problema (ILP). Slično prethodnom slučaju, u kome je

problem raspoređivanja sveden na transportni problem, moguće ga je svesti i na

čisto-binarni ILP model i riješiti ga uz pomoć Lingo softvera, na način kako je to

prikazano u nastavku:

96

Funkcija cilja min=11*XA1+14*XA2+6*XA3+8*XB1+10*XB2+11*XB3+9*XC1+12*XC2+7*XC3; Ograničenja XA1+XA2+XA3=1; XB1+XB2+XB3=1; XC1+XC2+XC3=1; XA1+XB1+XC1=1; XA2+XB2+XC2=1; XA3+XB3+XC3=1; @BIN(XA1); @BIN(XA2); @BIN(XA3); @BIN(XB1); @BIN(XB2); @BIN(XB3); @BIN(XC1); @BIN(XC2); @BIN(XC3);

Dobijeno softversko rješenje (Lingo) je:

Global optimal solution found at step: 0 Objective value: 25.00000 Branch count: 0 Variable Value Reduced Cost XA1 0.0000000 11.00000 XA2 0.0000000 14.00000 XA3 1.000000 6.000000 XB1 0.0000000 8.000000 XB2 1.000000 10.00000 XB3 0.0000000 11.00000

97

XC1 1.000000 9.000000 XC2 0.0000000 12.00000 XC3 0.0000000 7.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 25.00000 0.0000000 2 0.0000000 0.0000000 3 0.0000000 0.0000000 4 0.0000000 0.0000000 5 0.0000000 0.0000000 6 0.0000000 0.0000000 7 0.0000000 0.0000000

Na osnovu softverski dobijenog rješenja, zaključujemo, da je optimalno prvog

zaposlenog - (A) rasporediti na treći zadatak - (3), promjenljiva xA3; drugog

zaposlenog - (B) na drugi posao - (2), promjenljiva xB2; dok je trećeg zaposlenog

- (C), optimalno rasporediti na prvi posao - (1), promjenljiva xC1; pri čemu se

postižu minimalni troškovi rada od 25 nj.

(d) - Rješenje problema Mađarskim ili Konig-ovim metodom [3]. Ovaj način

rješavanja problema raspoređivanja zasniva se na zahtjevu minimizacije

oportunitetnih troškova, ili troškova propuštenih prilika, koji nastaju ukoliko se

za obavljanje određenog posla ne angažuje najefikasniji od zaposlenih.

Proces rješavanja problema raspoređivanja započinje određivanjem matrice

troškova rada zaposlenih na izvršenju pojedinih poslova. U konkretnom slučaju,

matrica troškova je data u tabeli 11.

U cilju određivanja oportunitetnih troškova od elemenata svakog od redova

matrice iz tabele 11, koji predstavljaju troškove rada, oduzima se minimalni

elemenat, pri čemu se dobija sledeća matrica.

98

Zaposleni/Posao Posao 1 – (1) Posao 2 – (2) Posao 3 – (3)

Zaposleni 1 – (A) 5 8 0

Zaposleni 2 – (B) 0 2 3

Zaposleni 3 – (C) 2 5 0

U narednom koraku, za svaku od kolona matrice, identifikuje se minimalni

elemenat i oduzima se od svih elemenata te kolone. Nakon ovoga dobija se

matrica koja slijedi.

Zaposleni/Posao Posao 1 – (1) Posao 2 – (2) Posao 3 – (3)

Zaposleni 1 – (A) 5 6 0

Zaposleni 2 – (B) 0 0 3

Zaposleni 3 – (C) 2 3 0

Sada, pošto postoji najmanje po jedna nula u svakom redu i koloni matrice,

pristupa se identifikaciji tzv. nezavisnih nula. Proces započinje proglašavanjem

nezavisnima onih nula koje su jedine u redu/koloni. Ako ih ima više od jedne,

tada proizvoljno odabiramo nezavisnu (polja precrtana kosim crtama u

prethodnoj tabeli). Nakon ovoga, minimalnim brojem horizonatalnih i vertikalnih

linija (ovdje će to umjesto linija biti osjenčeni redovi/kolone), precrtavaju se sva

polja matrice koja sadrže nulu. Broj ovih linija (tj. osjenčenih površina) uvijek je

jednak broju nezavisnih nula.

Zaposleni/Posao Posao 1 – (1) Posao 2 – (2) Posao 3 – (3)

Zaposleni 1 – (A) 5 6 0

Zaposleni 2 – (B) 0 0 3

Zaposleni 3 – (C) 2 3 0

99

Ukoliko je broj linija (osjenčenih redova/kolona) sa kojima se precrtavaju sve

nule u matrici manji od ukupnog broja redova (kolona) matrice - nije nađeno

optimalno rješenje i postupak se nastavlja. Identifikuje se minimalni od

neprecrtanih elemenata matrice i oduzima se od svih neprecrtanih elemenata, a

dodaje se onim elementima koji su u presjeku dvije linije (osjenčene površine).

Zaposleni/Posao Posao 1 – (1) Posao 2 – (2) Posao 3 – (3)

Zaposleni 1 – (A) 3 4 0

Zaposleni 2 – (B) 0 0 5

Zaposleni 3 – (C) 0 1 0

Pošto su identifikovane nezavisne nule, sva polja u matrici koja sadrže nule

precrtavaju se sa što je moguće manje horizontalnih i vertikalnih linija (ovdje

osjenčenih redova i kolona).

Zaposleni/Posao Posao 1 – (1) Posao 2 – (2) Posao 3 – (3)

Zaposleni 1 – (A) 3 4 0

Zaposleni 2 – (B) 0 0 5

Zaposleni 3 – (C) 0 1 0

Pošto je broj horizontalnih i vertikalnih linija (tj. osjenčenih površina) kojima su

precrtane (prekrivene) sve nule u matrici jednak broju redova (kolona) matrice,

da se zaključiti da je nađeno optimalno rješenje, predstavljeno shematski

osjenčenim poljima u sljedećoj matrici.

Zaposleni/Posao Posao 1 – (1) Posao 2 – (2) Posao 3 – (3)

Zaposleni 1 – (A) 3 4 0

Zaposleni 2 – (B) 0 0 5

Zaposleni 3 – (C) 0 1 0

100

Prema rasporedu osjenčenih polja, koja simbolički predstavljaju optimalno

rješenje, zaključuje se da prvog zaposlenog treba rasporediti na treći zadatak,

drugog na drugi, a trećeg na prvi zadatak, pri čemu se postižu minimalni troškovi

rada od 25 nj, kao i u slučajevima prethodno korišćenih načina rješavanja ovog

problema.

U nastavku je dat još jedan primjer problema raspoređivanja tipa (1:1). Dato je

njegovo rješenje dobijeno uz pomoć Excel-ovog LP rješavača, tako što je tretiran

kao transportni problem. Takođe je dato i rješenje dobijeno pomoću Mađarskog

ili Konig-ovog metoda.

6.4.2. Raspored posada na brodove

Prateći prethodno detaljno opisane procedure rješavanja problema asignacije,

kao transportnog problema, pomoću LP rješavača u Excel-u i uz pomoć Konig-

ovog metoda, treba optimalno rasporediti četiri posade na četiri broda. Pritom

troškovi posada treba da budu minimalni. Matrica troškova svih potencijalnih

rasporeda posada na brodove, data je u hiljadama novčanih jedinica (tabela 13).

Posada/Brod Brod 1 Brod 2 Brod 3 Brod 4

Posada 1 22 12 16 15

Posada 2 20 12 24 20

Posada 3 30 16 22 30

Posada 4 8 12 10 8

Tabela 13. Potencijalni troškovi posada

101

Problem se, po uzoru na prethodni primjer, može matematički modelirati kao

transportni zadatak i riješiti uz pomoć Lingo ili nekog drugog odgovarajućeg

softvera. Ovdje je, međutim, kao najjednostavnija solucija, korišćen u Excel-u

ugrađen rješavač.

Korišćenjem, dakle, na odgovarajući način Excel-ovog rješavača [4], dobijeno je

optimalno rješenje problema, prikazano na slici 22.

Optimalan raspored posada na brodove dat je 0-1 matricom u ćelijama B5:E8

odnosnog Excel-ovog radnog lista. Optimalna vrijednost funkcije cilja, odnosno,

minimalni troškovi posada su 57 hiljada nj. (ćelija $B$19).

Slika 22. Optimalno rješenje dobijeno u Excel-u

102

Postupak rješavanja problema Konig-ovim metodom, prikazan je u tabelama

koje slijede (I-VI), a po analogiji sa u prethodnom primjeru opisanom

procedurom.

(I)

Posada/Brod Brod 1 Brod 2 Brod 3 Brod 4

Posada 1 10 0 4 3

Posada 2 8 0 12 8

Posada 3 14 0 6 14

Posada 4 0 4 2 0

(II)

Posada/Brod Brod 1 Brod 2 Brod 3 Brod 4

Posada 1 10 0 2 3

Posada 2 8 0 10 8

Posada 3 14 0 4 14

Posada 4 0 4 0 0

(III)

Posada/Brod Brod 1 Brod 2 Brod 3 Brod 4

Posada 1 8 0 0 1

Posada 2 6 0 8 6

Posada 3 12 0 2 12

Posada 4 0 6 0 0

(IV)

Posada/Brod Brod 1 Brod 2 Brod 3 Brod 4

Posada 1 7 0 0 0

Posada 2 5 0 8 5

Posada 3 11 0 2 11

Posada 4 0 7 1 0

103

(V)

Posada/Brod Brod 1 Brod 2 Brod 3 Brod 4

Posada 1 7 2 0 0

Posada 2 3 0 6 3

Posada 3 9 0 0 9

Posada 4 0 9 0 0

(VI)

Posada/Brod Brod 1 Brod 2 Brod 3 Brod 4

Posada 1 7 2 0 0

Posada 2 3 0 6 3

Posada 3 9 0 0 9

Posada 4 0 9 0 0

Na osnovu realizovane procedure, tj. Konig-ovog metoda, određene su četiri

nezavisne nule, tačno po jedna, u svakom redu i koloni matrice, te je tako

dobijeno i optimalno rješenje. Osjenčena polja u posljednjoj tabeli (VI),

predstavljaju optimalnu shemu rasporeda posada na brodove, prema kojoj treba:

prvu posadu rasporediti na četvrti brod, drugu na drugi, treću na treći, a četvrtu

posadu na prvi brod. Povratkom u izvornu troškovnu matricu, zahvaljujući

dobijenom optimalnom 0-1 rasporedu posada na brodove, jednostavno se

određuju minimalni troškovi od 57 hiljada nj, a koji su identični onima

prethodno dobijenim uz pomoć Excel-ovog rješavača.

6.5. Raspoređivanje tipa (N:M)

U nastavku su data dva u suštini slična primjera raspoređivanja tipa (N:M), i to:

raspored N posada na M linija i raspored N brodova na M linija. Oba ova

104

problema su riješena uz pomoć Lingo softvera, kao problemi linearnog –

binarnog programiranja.

6.5.1. Raspoređivanje posada na brodske linije

Jedna pomorska kompanija treba da rasporedi posade na sve svoje linije.

Usmjerimo se na raspored tri posade locirane u San Francisku. Inače, kompanija

ima dvanaest posada i dvanaest mogućih rasporeda tih posada. Treba izabrati tri

posade, tako da budu pokrivene sve linije. Dozvoljeno je da više od jedne posade

bude na jednoj liniji, gdje ekstra posada putuje u svojstvu putnika, ali prema

ugovoru, mora biti plaćena kao da radi. Reskalirani troškovi pojedinih posada (u

hiljadama nj.) dati su u posljednjem redu tabele 14. Funkcija cilja se odnosi na

minimizaciju ukupnih troškova tri posade koje pokrivaju sve linije [8].

Mogući rasporedi posada na pojedinim linijama

Linije 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1. San Francisko-Los Anđeles 1 1 1 1

2. San Francisko-Tokio 1 1 1 1

3. San Francisko-Manila 1 1 1 1

4. Los Anđeles-Fremantle 2 2 3 2 3

5. Los Anđeles-San Francisko 2 3 5 5

6. Fremantle-Tokio 3 3 4

7. Fremantle-Manila 3 3 3 3 4

8. Tokio-San Francisko 2 4 4 5

9. Tokio-Fremantle 2 2 2

10. Manila-San Francisko 2 4 4 5

11. Manila-Los Anđeles 2 2 4 4 2

Troškovi posada 2 3 4 6 7 5 7 8 9 9 8 9

Tabela 14. Raspored posada na pojedine linije

105

U tabeli 14 dati su svi potencijalni rasporedi posada, pri čemu svaka posada mora

da se vrati u San Francisko, odakle je i krenula. Svaka kolona u tabeli 14

predstavlja redosljed putovanja jedne određene posade.

Matematički model, shodno prethodno verbalno opisanom i tabelarno

predstavljenom problemu, ima sljedeću formu, datu u Lingo programu:

Funkcija cilja min=2*X1+3*X2+4*X3+6*X4+7*X5+5*X6+7*X7+8*X8+9*X9+9*X10+8*X11+9*X12;

Ograničenja X1+X4+X7+X10>=1; X2+X5+X8+X11>=1; X3+X6+X9+X12>=1; X4+X7+X9+X10+X12>=1; X1+X6+X10+X11>=1; X4+X5+X9>=1; X7+X8+X10+X11>=1; X2+X4+X5+X9>=1; X5+X8+X11>=1; X3+X7+X8+X12>=1; X6+X9+X10+X11+X12>=1; X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12=3; @BIN(X1); @BIN(X2); @BIN(X3); @BIN(X4); @BIN(X5); @BIN(X6); @BIN(X7); @BIN(X8);

106

@BIN(X9); @BIN(X10); @BIN(X11); @BIN(X12);

Dobijeno softversko rješenje (Lingo) je:

Global optimal solution found at step: 8 Objective value: 18.00000 Branch count: 0 Variable Value Reduced Cost X1 0.0000000 0.0000000 X2 0.0000000 0.0000000 X3 1.000000 0.0000000 X4 1.000000 0.0000000 X5 0.0000000 1.000000 X6 0.0000000 0.0000000 X7 0.0000000 0.0000000 X8 0.0000000 1.000000 X9 0.0000000 0.0000000 X10 0.0000000 1.000000 X11 1.000000 0.0000000 X12 0.0000000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 18.00000 0.0000000 2 0.0000000 0.0000000 3 0.0000000 -2.000000 4 0.0000000 -3.000000 5 0.0000000 -5.000000 6 0.0000000 -1.000000 7 0.0000000 0.0000000 8 0.0000000 -1.000000 9 0.0000000 0.0000000 10 0.0000000 -3.000000 11 0.0000000 0.0000000

107

12 0.0000000 0.0000000 13 0.0000000 -1.000000 Optimalno rješenje, odnosno, minimalni troškovi tri posade su 18 hiljada nj, što

je ostvareno pri rasporedima posada 3, 4 i 11, koji su u modelu predstavljeni

promjenljivima x3, x4 i x11 - na svih 11 linija. Optimalno rješenje je shematski

prikazano u tabeli 15, osjenčenim poljima.

Mogući rasporedi posada na pojedinim linijama

Linije 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1. San Francisko-Los Anđeles 1 1 1 1

2. San Francisko-Tokio 1 1 1 1

3. San Francisko-Manila 1 1 1 1

4. Los Anđeles-Fremantle 2 2 3 2 3

5. Los Anđeles-San Francisko 2 3 5 5

6. Fremantle-Tokio 3 3 4

7. Fremantle-Manila 3 3 3 3 4

8. Tokio-San Francisko 2 4 4 5

9. Tokio-Fremantle 2 2 2

10. Manila-San Francisko 2 4 4 5

11. Manila-Los Anđeles 2 2 4 4 2

Troškovi posada 2 3 4 6 7 5 7 8 9 9 8 9

Tabela 15. Optimalan raspored posada na pojedine linije

Rješenje je relativno jednostavno dobijeno korišćenjem Lingo softverskog

paketa. U protivnom, zadatak sa ovolikim brojem promjenljivih, bilo bi jako

teško, gotovo neizvodljivo, riješiti manuelno.

108

6.5.2. Raspoređivanje brodova na linije

U skladu sa pravilima linearnog – binarnog programiranja treba definisati

matematički model za raspored tri broda na šest linija, pri čemu svaki od brodova

treba da opsluži najmanje jednu liniju, a na jednoj liniji ne mogu biti dva ili više

brodova istovremeno. Pritom, treba ostvariti najveći mogući prihod od

transporta, prema cijenama datim u hiljadama novčanih jedinica, u tabeli 16.

B/L L1 L2 L3 L4 L5 L6

B1 2 3 4 5 1 8

B2 9 2 1 3 4 2

B3 1 1 3 9 10 11

Tabela 16. Troškovi pokrivanja pojedinih linija

Slijedi postupak rješavanja problema pomoću Lingo softverskog paketa. Treba

napomenuti da je pri indeksiranju promjenljivih xij, korišćena takva indeksacija

da i – simbolički predstavlja brod (i=1,3), dok j – predstavlja liniju (j=1,6).

Matematički model i rješenje imaju formu: Funkcija cilja max=2*X11+3*X12+4*X13+5*X14+1*X15+8*X16+9*X21+2*X22+1*X23+3*X24+4*X25+2*X26+1*X31+1*X32+3*X33+9*X34+10*X35+11*X36; X11+X12+X13+X14+X15+X16>=1; X21+X22+X23+X24+X25+X26>=1; X31+X32+X33+X34+X35+X36>=1; Ograničenja X11+X21+X31<=1; X12+X22+X32<=1;

109

X13+X23+X33<=1; X14+X24+X34<=1; X15+X25+X35<=1; X16+X26+X36<=1; @BIN(X11); @BIN(X12); @BIN(X13); @BIN(X14); @BIN(X15); @BIN(X16); @BIN(X21); @BIN(X22); @BIN(X23); @BIN(X24); @BIN(X25); @BIN(X26); @BIN(X31); @BIN(X32); @BIN(X33); @BIN(X34); @BIN(X35); @BIN(X36);

Rješenje Global optimal solution found at step: 0 Objective value: 46.00000 Branch count: 0 Variable Value Reduced Cost X11 0.0000000 -2.000000 X12 1.000000 -3.000000 X13 1.000000 -4.000000 X14 0.0000000 -5.000000 X15 0.0000000 -1.000000 X16 0.0000000 -8.000000 X21 1.000000 -9.000000 X22 0.0000000 -2.000000 X23 0.0000000 -1.000000

110

X24 0.0000000 -3.000000 X25 0.0000000 -4.000000 X26 0.0000000 -2.000000 X31 0.0000000 -1.000000 X32 0.0000000 -1.000000 X33 0.0000000 -3.000000 X34 1.000000 -9.000000 X35 1.000000 -10.00000 X36 1.000000 -11.00000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 46.00000 0.0000000 2 1.000000 0.0000000 3 0.0000000 0.0000000 4 2.000000 0.0000000 5 0.0000000 0.0000000 6 0.0000000 0.0000000 7 0.0000000 0.0000000 8 0.0000000 0.0000000 9 0.0000000 0.0000000 10 0.0000000 0.0000000

Rješenje dobijeno uz pomoć Lingo rješavača, može biti interpretirano na sljedeći

način: prvi od tri broda treba rasporediti na drugu, pa zatim na treću liniju; drugi

brod treba rasporediti na prvu liniju; a treći brod treba rasporediti redom na

četvrtu, petu, pa na šestu liniju. Maksimalni prihod koji se ostvaruje ovakvim

rasporedom brodova na linije, iznosi 46 000 (nj).

Dakle, u ovom odjeljku su dati matematički modeli linearnog – binarnog

programiranja i interpretirana softverski dobijena rješenja dva (N:M) problema

raspoređivanja iz oblasti pomorskog transporta. Inače, problemi ovog tipa, u

različitim formama i dimenzijama, često se javljaju u raznim poslovnim,

proizvodnim i/ili uslužnim sistemima.

111

7. Projektni menadžment Menadžeri često treba da planiraju i sprovode projekte koji uključuju veliki broj

različitih i međusobno zavisnih i/ili nezavisnih aktivnosti. U pitanju mogu biti:

izgradnja (renoviranje) fabrike, gradnja (remont) broda, istraživački ili razvojni

napori vezani za neku novu proizvodnu liniju, projektovanje, realizacija,

održavanje i/ili razvoj složenog softverskog paketa i sl. Složeni projekti, gotovo

uvijek, zahtijevaju značajne resurse: u novcu, radu, opremi, znanju, potrošnom

materijalu i drugom. Posledično, uspješan projektni menadžment je osnovni

preduslov za uspješnu realizaciju projekata.

Projektni menadžment, u principu, treba da da odgovore na sledeća pitanja:

• Koliko je procijenjeno vrijeme trajanja projekta?

• Gdje su takozvana uska grla u izvršenju projekta? Odnosno, koje

aktivnosti mogu da potraju duže i zbog čega? - Cilj je, naravno, da se ova

uska grla na vrijeme otklone, ili da im se posveti posebna pažnja tokom

same realizacije projekta.

• Kakav će biti raspored početaka i završetaka aktivnosti na projektu?

• Kako će raspored aktivnosti uticati na raspoloživost resursa?

112

• S obzirom da projekat nikada ne teče sasvim po planu, kako menadžer,

odnosno, menadžerski tim - može brzo da prepozna i reaguje na

neočekivane događaje, koji bi mogli da štete projektu?

Krajem 50-tih godina prošlog vijeka, za potrebe američke industrije, razvijene su

dvije tehnike u cilju pružanja odgovora na ova pitanja: PERT – Program

Evaluation and Review Technique, eng. i CPM – Critical Path Method, eng. (tzv.

metod kritičnog puta).

U čemu je osnovna razlika između ove dvije tehnike? - PERT zahtijeva od

projektnog menadžera da specificira opseg trajanja svake od aktivnosti, te da

shodno tome, svakoj od njih pridruži odgovarajuću vjerovatnoću realizacije.

CPM zahtijeva od projektnog menadžera da odredi funkcionalnu zavisnost

između dužine trajanja aktivnosti i raspoloživih resursa za njeno izvršenje.

Metode PERT i CPM, dakle, različito tretiraju trajanje aktivnosti:

• PERT tretira trajanje svake od aktivnosti kao neizvjesno i u neku ruku

nekontrolabilno;

• CPM podrazumijeva određivanje kontrolabilne funkcionalne zavisnosti

između trajanja svake od aktivnosti i raspoloživih resursa, u cilju njihove

optimalne alokacije.

Iako tradicionalisti u ovoj oblasti prave razliku između ova dva metoda, ovdje će

u dijelu konceptualnog razmatranja projektnog menadžmenta biti korišćen

jedinstveni akronim PERT/CPM, te će biti razmotren osnovni PERT/CPM

model, u suštini sličan originalnim konceptima PERT i CPM posmatranim

zasebno. U drugom dijelu će, dodatno, biti razmotrene neke od specifičnosti

PERT pristupa u odnosu na CPM.

Aplikacije PERT/CPM su brojne i različite. One obuhvataju, ali pritom nisu

ograničene na:

113

• Projektovanje i renoviranje fabrika, poslovnih i rezidencijalnih

kompleksa, autoputeva, aerodroma, luka, stadiona;

• Izmiještanje važnih objekata;

• Proizvodnju, održavanje i/ili popravku nekog složenog uređaja – sistema

(aviona, broda, nuklearnog reaktora i dr);

• Uvođenje (instaliranje) novog računovodstvenog sistema ili menadžment

informacionog sistema;

• Sklapanje finansijskih aranžmana pri započinjanju novog poslovnog

poduhvata;

• Prikupljanje sredstava za povećanje humanitarnih fondova;

• Pripremanje složenih medicinskih operacija;

• Pripreme za lansiranje raketa i dr.

Nisu sve PERT/CPM aplikacije uvijek uspješne. Analizom neuspjelih planiranja

projekata, pokazalo se da razlozi ne leže u samoj metodologiji, već u njenoj lošoj

ili pogrešnoj primjeni. U tabeli 17 su okvirno predstavljene faze i koraci

uključeni u primjenu PERT/CPM modela planiranja projekta.

U cilju što potpunije ilustracije modela projektnog planiranja, u nastavku će biti

razmotren sledeći primjer, [14]:

Firma koja se bavi genetskim inženjeringom, treba da bude premještena u novu

zgradu. Ta prilika se koristi i za uvođenje novog računarskog sistema, s obzirom

da postojeći decentralizovani sistem ne zadovoljava ni tekuće, a posebno ne

razvojne potrebe firme.

114

7.1. Dekompozicija aktivnosti

Prvo što projektni menadžer treba da uradi, pošto je pronašao odgovarajuću

zgradu, jeste da izvrši dekompoziciju aktivnosti. Pregled dekomponovanih

aktivnosti dat je u tabeli 18. Aktivnosti B, C, F, G, H, I, K, M i N, su vezane za

renoviranje zgrade, dok su aktivnosti A, D, E, J i L vezane za formiranje novog

računarskog centra (odjeljenja).

Faze Koraci Opis

1 Dekompozicija projekta na aktivnosti

2 Specifikacija relacija između aktivnosti

3 Procjena trajanja aktivnosti

I

Formulaciona faza

4 Konstrukcija mrežnog dijagrama

5 Određivanje najranijeg početka i završetka svake aktivnosti

6 Određivanje najkasnijeg početka i završetka svake aktivnosti

7 Određivanje vremenskih rezervi i identifikacija kritičnog puta

II

Planiranje i raspoređivanje

8 Raspoređivanje izvršenja aktivnosti

9 Praćenje izvršenja aktivnosti III

Praćenje i replaniranje 10 Eventualno replaniranje preostalog dijela projekta

Tabela 17. Faze i koraci u PERT/CPM modelu

S obzirom da je projekat prilično složen, projektnom menadžeru treba

savjetodavni tim, sastavljen od ljudi zaduženih za realizaciju pojedinih poslova.

115

Savjetodavni tim ne samo da treba da daje projektnom menadžeru korisne

savjete, već i da stvara zdravu radnu atmosferu, s ciljem uspješnog sprovođenja

PERT/CMP modela, odnosno, realizacije samog projekta.

7.2. Relacije između pojedinih aktivnosti

Nakon izvršene dekompozicije, projektni menadžer mora da specificira relacije u

kojima su pojedine aktivnosti. U smislu, koja aktivnost kojoj prethodi, odnosno,

koja aktivnost ne može da bude započeta prije nego što neka druga aktivnost ne

bude završena.

Na primjer, aktivnost koja prethodi aktivnosti X, je ona, koja mora u cjelosti biti

završena prije početka aktivnosti X. Iz tabele 18, jasno je da su aktivnosti A, B, i

C nezavisne, jer nemaju aktivnosti koje im prethode. Međutim, aktivnost K, ima

aktivnosti koje joj prethode: F, G i H (sasvim je jasno da oblaganje zidova i

tavanica ne može početi prije nego što se završe radovi na električnoj,

grejnoj/rashladnoj i vodovodnoj mreži). Slično aktivnosti K, aktivnost N ima

aktivnosti koje joj prethode: C i I (tj. uređivanje okoline ne može da počne dok

se ne završe radovi na parkingu i spoljni radovi na samoj zgradi).

Da bi se izbjegla ponavljanja (preklapanja) pri definisanju međuzavisnosti

aktivnosti, pošto A prethodi E, a E prethodi J - podrazumijeva se da A prethodi i

J, tako da to nije eksplicitno naznačeno u tabeli 18. Dobre računarske aplikacije

PERT/CPM automatski uklanjaju ovakve redundantnosti u određivanju relacija

između pojedinih aktivnosti.

116

Aktivnost Opis aktivnosti Procijenjeno vrijeme trajanja aktivnosti

(u danima)

Aktivnost koja prethodi posmatranoj

aktivnosti

A Zapošljavanje menadžera za potrebe računarskog centra

10 -

B Strukturne modifikacije 19 -

C Proširivanje i izmjena parkinga 13 -

D Zapošljavanje izvršilaca u računarskom centru 8 A

E Naručivanje i prijem računara 14 A

F Modifikacije električnih instalacija 4 B

G Modifikacije sistema za grijanje i hlađenje 1 B

H Modifikacije vodovodnog sistema 3 B

I Spoljašnji radovi (radovi na fasadi) 5 B

J Instaliranje računara 4 E, F, G

K Oblaganje zidova i tavanica 6 F, G, H

L Obuka zaposlenih u računarskom centru 8 D, J

M Unutrašnji radovi (molerski i dekorativni) 9 K

N Uređivanje okoline (dvorišta) 7 C, I

Tabela 18. Dekompozicija aktivnosti

7.3. Procjena trajanja aktivnosti

Važan korak u postupku planiranja projekta je pažljiva procjena trajanja svake

od aktivnosti, tj. procjena vremena koje će proteći od početka do završetka svake

117

aktivnosti (treća kolona u tabeli 18). Procjenjivanje trajanja aktivnosti - samo

jednim brojem, može biti otežano iz sledećih razloga:

• Trajanje aktivnosti može biti uslovljeno nekontrolabilnim slučajnim

varijacijama. Na primjer, trajanje aktivnosti na spoljnim radovima (C, I i

N) može biti uslovljeno vremenskim nepogodnostima (neprilikama). Isto

tako, trajanje aktivnosti A i D može da zavisi od broja i kvalifikacija

prijavljenih kandidata. Stoga, da bi jednim brojem odredio trajanje

aktivnosti, projektni menadžer mora da uzme u obzir srednju vrijednost,

medijanu, ili modu slučajne veličine koja predstavlja trajanje aktivnosti.

• Trajanje aktivnosti može biti uslovljeno i kontrolabilnim varijacijama. Na

primjer, trajanje aktivnosti B na strukturnim modifikacijama, može

dobrim dijelom da zavisi od raspoloživosti radne snage. Kako bi trajanje

ove aktivnosti odredio sa jednim brojem, projektni menadžer mora dobro

da ispita raspoloživost i strukturu radne snage, te kakve to sve implikacije

može da ima na dužinu trajanja aktivnosti.

7.4. Mrežni dijagram

Nakon završetka dekompozicije, tj. određivanja međuzavisnosti pojedinih

aktivnosti i procjene vremena njihovog trajanja, projektni menadžer treba da

pristupi konstruisanju mrežnog dijagrama. Na slici 23 je dat prikaz mrežnog

dijagrama konkretnog projekta. Krugovi predstavljaju aktivnosti (čvorove), dok

strelice (lukovi) predstavljaju relacije između njih. Broj unutar čvora, predstavlja

procijenjeno trajanje aktivnosti.

Prilikom konstruisanja mrežnog dijagrama, menadžer treba da se rukovodi

sljedećim:

118

• Svaka aktivnost ima korespondentan čvor u mrežnom dijagramu. Osim

toga, mrežni dijagram mora da sadrži čvorove koji predstavljaju početnu

aktivnost, ili početak (P) i završnu aktivnost, ili završetak (Z) projekta.

• Za svaku (direktnu) relaciju između aktivnosti, postoji odgovarajuća

strelica (luk) mrežnog dijagrama. Na primjer, ako aktivnost A prethodi

aktivnostima D i E, onda će u mrežnom dijagramu postojati strelica,

odgovarajuće orjentacije, koja povezuje A sa D i E. Isto tako, od čvora P

(početak), ići će strelice ka nezavisnim aktivnostima A, B i C, a od

aktivnosti koje ni direktno ni indirektno ne prethode nekoj drugoj

aktivnosti, ići će strelice ka čvoru Z (završetak).

Prednost mrežnog predstavljanja projekta je u tome, što projektni menadžer

(menadžerski tim) ima jasan vizuelan pregled aktivnosti i njihovih

međuzavisnosti, te tako može jednostavnije da otkloni eventualne nepravilnosti

tokom izvršenja projekta. Pored toga, mrežni dijagram služi kao svojevrstan

podsjetnik, jer se na njemu različitim bojama mogu označi aktivnosti koje su

završene, one koje su u progresu, ili one koje su tek započete.

Slika 23. Osnova mrežnog dijagrama projekta

119

7.5. Predstavljanje aktivnosti

Na mrežnom dijagramu, aktivnosti mogu biti predstavljene u čvorovima (AON –

Activities on Nodes, eng.) i na lukovima (AOA – Activities on Arcs, eng).

Slijedi upoređenje ova dva načina formiranja dijagrama projekta, na

odgovarajućim primjerima (slika 24).

Slika 24. Upoređenja AON i AOA tehnika predstavljanja aktivnosti

Na osnovu uporednog prikaza AON i AOA, može se zaključiti da je prva tehnika

jednostavnija za konstruisanje dijagrama, s obzirom da ne iziskuje uključivanje

fiktivnih aktivnosti (predstavljenih isprekidanim lukovima na slici 24) u cilju

premošćavanja eventualnih poteškoća u prikazu međuzavisnosti aktivnosti.

120

Međutim, kada je u pitanju analiza vremena, tada druga tehnika pruža bolji

pregled projekta. Opšta preporuka, u smislu koju od ovih tehnika koristiti - ne

postoji, tako da je na menadžerima da sami naprave izbor po ovom pitanju.

Na slici 25 je dat prikaz mrežnog dijagrama sa slike 23, baziran na AOA tehnici.

Jasno se vidi da ovaj dijagram uključuje fiktivne aktivnosti (d1, d2, d3), te stoga

može biti manje praktičan pri konstruisanju samog dijagrama, ali je zato daleko

podesniji kod analize vremena.

Slika 25. Osnova mrežnog dijagrama projekta (sa slike 23) konstruisana AOA

tehnikom

U nastavku će biti navedena neka opšta pravila pri konstruisanju mrežnog

dijagrama AOA tehnikom, budući da se ova tehnika koristi u analizi projekta

koji se ovdje razmatra, kao primjer.

121

7.6. Konstruisanju mrežnog dijagrama prikazom aktivnosti na

lukovima

Prilikom konstruisanja mrežnih dijagrama složenih projekata, mogu se pojaviti

problemi, posebno u smislu preglednosti dijagrama, tj. mogućnosti praćenja

redosleda izvršenja aktivnosti. Kako bi se izbjegle eventualne poteškoće, u

nastavku će biti navedeni osnovni principi konstruisanja mrežnog dijagrama,

bazirani na teoriji grafova, odnosno, na iskustvima iz prakse. Neka od pravila

kojih se treba pridržavati pri konstruisanju mrežnog dijagrama AOA tehnikom,

bila bi sljedeća:

• Svaka aktivnost mora da započne događajem i da se završi događajem;

• Ukoliko završetak jedne aktivnosti predstavlja preduslov za početak

druge aktivnosti, tada se one moraju postaviti po redosledu realizacije;

• Ukoliko se više aktivnosti mora završiti da bi naredna aktivnost bila

započeta, onda se one završavaju u početnom događaju te aktivnosti;

• Ukoliko realizacija više aktivnosti može započeti pošto je prethodna

aktivnost realizovana, onda početni događaj ovih aktivnosti predstavlja

završni događaj prethodne aktivnosti;

• U aktivnosti se može uključiti i proizvoljan broj fiktivnih ili prividnih

aktivnosti. Ovo pravilo se koristi pri rastavljanju mrežnog dijagrama u

podmreže, ali je pritom broj fiktivnih aktivnosti (radi preglednosti) bolje

svesti na minimum;

• Nijedan događaj ne može sam sebi da prethodi, tj. mrežni dijagram mora

biti vremenski orjentisan i ne može da sadrži zatvorene cikluse, odnosno,

petlje. U protivnom, proces je u vremenu nerazrešiv i ukazuje na grešku u

konstruisanju mrežnog dijagrama;

122

• Česti su slučajevi kada realizacija neke od sljedećih aktivnosti može

početi prije potpunog završetka posmatrane aktivnosti. Tada se

posmatrana aktivnost može podijeliti na više podaktivnosti;

• U pravilno konstruisanom mrežnom dijagramu, dvije ili više aktivnosti

ne mogu da počinju i završavaju istim događajima. Ipak, pojava ovakvih

paralelnih aktivnosti u praksi je česta i premošćuje se uvođenjem

fiktivnih (prividnih) aktivnosti. Pritom nema značaja da li će fiktivna

aktivnost biti uključena prije ili poslije stvarnog događaja;

• Treba napomenuti da se fiktivne aktivnosti često koriste u pravilnom

razrješavanju prikaza zavisnih i nezavisnih aktivnosti. Na primjer,

aktivnosti A i B prethode aktivnostima C i D, s tim što aktivnost C zavisi

od A i B, dok D zavisi samo od B. Tada se događaji koji predstavljaju

završetak aktivnosi B i početak aktivnosti C, povezuju fiktivnom

aktivnošću;

• Složeni mrežni dijagrami, velikih projekata, prikazuju se pomoću

takozvanih grubih mrežnih dijagrama, uz pomoć agregatnih aktivnosti,

koje se kasnije raščlanjuju na potreban broj podaktivnosti;

• Na poslijetku, prije početka realizacije projekta obično treba obaviti čitav

niz pripremnih radnji. U cilju grafičkog prikazivanja istih, koriste se

pripremne aktivnosti, simbolički predstavljene talasastom usmjerenom

linijom.

Detaljan opis ovdje navedenih pravila za ispravno konstruisanje mrežnih

dijagrama, sa odgovarajućim grafičkim prikazima, može se pronaći u

referencama [3;12;14].

123

7.7. Planiranje i raspoređivanje

Primarni ciljevi druge faze planiranja projekta (planiranje i raspoređivanje

aktivnosti) sadrže se u odgovorima na sljedeća pitanja:

• Koje je najkraće moguće vrijeme trajanja projekta?

• U cilju postizanja što je moguće kraćeg vremena trajanja projekta, koje

aktivnosti su kritične u smislu da se njihovo planirano trajanje ne može

produžiti, a da se pritom ukupno vrijeme izvršenja projekta ne produži?

• Kakav će biti raspored početaka i završetaka pojedinih aktivnosti?

Prije konkretnih odgovora na ova pitanja, treba se upoznati sa terminologijom i

nekim osnovnim postavkama planiranja i raspoređivanja aktivnosti.

7.8. Koncept kritičnog puta

Put u mrežnom dijagramu je skup čvorova povezanih lukovima, od početnog (P)

do završnog (Z) čvora. Svi potencijalni putevi u mrežnom dijagramu projekta

koji se ovdje razmatra, su sledeći:

Put Dužina trajanja (dani)

P→A→D→L→Z

10 + 8 + 8 = 26

P→A→E→J→L→Z 10 + 14 + 4 + 8 = 36

P→B→F→J→L→Z 19 + 4 + 4 + 8 = 35

P→B→G→J→L→Z 19 + 1 + 4 + 8 = 32

P→B→F→K→M→Z 19 + 4 + 6 + 9 = 38

P→B→G→K→M→Z 19 + 1 + 6 + 9 = 35

124

Put Dužina trajanja (dani)

P→B→H→K→M→Z 19 + 3 + 6 + 9 = 37

P→B→I→N→Z 19 + 5 + 7 = 31

P→C→N→Z 13 + 7 = 20

Kod PERT/CPM modela, kritični put je najduži put u mrežnom dijagramu. Sve

aktivnosti koje su na kritičnom putu, su kritične aktivnosti, a one koje nisu na

njemu, su nekritične aktivnosti. Kritičan put je od posebne važnosti za

projektnog menadžera, budući da ga direktno informiše o dužini trajanja

projekta. U konkretnom slučaju, to je 38 dana. Ukoliko projektni menadžer

zauzme čvrst stav da se ovaj rok ne smije produžiti, onda mora dobro da razmotri

sve kritične aktivnosti, kako bi bio siguran da neće doći do produženja vremena

trajanja neke od njih, što bi se direktno odrazilo na produženje izvršenja čitavog

projekta. Međutim, ni aktivnosti koje nisu kritične ne smiju biti isključene iz

razmatranja, jer i one mogu biti od važnosti. Uzmimo kao primjer aktivnost H.

Radi se o aktivnosti koja nije na kritičnom putu i koja je uključena u samo jedan

put u mrežnom dijagramu:

P→B→H→K→M→Z.

Dužina ovog puta je 37 dana. Ukoliko se trajanje aktivnosti H poveća za samo 2

dana, ovaj put će imati dužinu trajanja od 39 dana. Tako da će postati automatski

novi kritičan put. Dakle, aktivnost H je skoro kritična i zaslužuje u ovom slučaju

pažnju projektnog menadžera.

Identifikacija kritičnog puta je relativno jednostavna za slučaj ovog projekta.

Problem se javlja kod složenijih projekata, koji imaju daleko veći broj aktivnosti.

125

Stoga će u nastavku biti izložena efikasna procedura za određivanje kritičnog

puta u opštem slučaju.

7.9. Određivanje najranijih i najkasnijih početaka i završetaka

aktivnosti

Kritičan put u mrežnom dijagramu, u opštem slučaju, određuje se tako što se

prethodno odrede najraniji i najkasniji počeci i završeci svih aktivnosti. Kako se

određuju prvo najraniji, a potom najkasniji počeci i završeci aktivnosti biće

pokazano uz pomoć mrežnog dijagrama na slici 26.

Slika 26. Određivanje kritičnog puta

126

Na osnovu slike 26, jasno je da je ovdje korišćena tehnika prikaza aktivnosti i

njihovog trajanja na lukovima (AOA). Postupak određivanja kritičnog puta

započinje određivanjem najranijih početaka i završetaka aktivnosti naznačenih u

lijevom dijelu kruga koji predstavlja početak (završetak) aktivnosti. Do ovog

vremena dolazimo jednostavno tako što saberemo vrijeme najranijeg početka

prve aktivnosti (koje je uvijek 0) sa njenim trajanjem i tu vrijednost upišemo u

lijevi dio kruga njenog završnog događaja (u AOA pristupu krugovi predstavljaju

početne i završne događaje aktivnosti). Potom, ovaj postupak nastavljamo i kada

su u pitanju preostale aktivnosti. U slučaju da više aktivnosti ima isti završni

događaj, opredjeljujemo se za onaj zbir koji je najveći, odnosno, za maksimum

(pogledati zajednički završetak aktivnosti H i d3, ili aktivnosti D i J). Jasno je da

se uvijek opredjeljujemo za veću vrijednost u zbiru, jer tako obezbjeđujemo

zagarantovano vrijeme najranijeg početka (završetka) aktivnosti. Kada se

određuju najkasnija vremena početaka pojedinih aktivnosti, koristi se načelo

minimuma razlike najkasnijeg završetka aktivnosti i njenog trajanja. Postupak

ovdje, dakle, počinje od kraja dijagrama. Aktivnosti kod kojih nema razlike

između najranijeg i najkasnijeg početka (završetka), odnosno, kod kojih nema

takozvane vremenske rezerve, su kritične aktivnosti koje formiraju kritični

put. Na slici 26, taj put čine aktivnosti: B, F, K i M, pri čemu je dužina kritičnog

puta 38 dana. Sve one aktivnosti koje nisu na kritičnom putu, imaju manju ili

veću vremensku rezervu, te se mogu skraćivati, ali najčešće uz posledično

povećanje troškova projekta. Detaljan opis vremenskih rezervi i njihovo učešće

u skraćivanju trajanja projekta, uz prateće srazmjerno povećanje troškova može

se naći u literaturi [3;12].

127

7.10. Dijagram rasporeda aktivnosti

Prije početka projekta, projektni menadžer mora da rasporedi aktivnosti, tj. mora

da odredi vremena početaka i završetaka svake aktivnosti. Određivanjem

najranijeg i najkasnijeg početka i završetka svake aktivnosti, dobijaju se dva

ekstremna vremenska rasporeda aktivnosti: najraniji (NR) i najkasniji (NK).

Podesan način da se prikaže raspored aktivnosti na vremenskoj osi je dijagram

rasporeda aktivnosti. Na slikama 27 i 28, dati su ekstremni vremenski rasporedi

aktivnosti, tj. NR i NK sheme. Međutim, postoje brojni mogući hibridni

vremenski dijagrami rasporeda, koji obezbjeđuju završetak projekta u

planiranom roku. Jedan od takvih hibridnih rasporeda je dat na slici 29.

Slika 27. Najraniji (NR) vremenski rasporedi aktivnosti

Aktivnosti koje su na kritičnom putu (ovdje - B, F, K i M) uvijek su na istoj

osnovnoj pravoj, tj. kod NR, NK i kod hibridnog rasporeda aktivnosti. Ove

aktivnosti su praktično fiksirane, iz razloga što kod njihove realizacije nema

128

vremenskih rezervi. Na primjeru hibridnog rasporeda (slika 29), aktivnosti A, D i

G su prikazane prema NR shemi, dok su aktivnosti E, H, J i L prikazane u skladu

sa NK shemom. Preostale aktivnosti koje nisu na kritičnom putu C, I i N, počinju

nakon NR početaka, ali završavaju prije NK završetaka. Izvodljivost ovakvog

rasporeda potvrđuje činjenica da nijedna od aktivnosti ne počinje prije završetka

aktivnosti koje joj prethode.

Slika 28. Najkasniji (NK) vremenski rasporedi aktivnosti

Slika 29. Jedan od mogućih hibridnih vremenskih rasporeda aktivnosti -

formiran na osnovu ekstremnih rasporeda (NR i NK)

129

Pored prikazanih (slike 27, 28 i 29), postoji još čitav niz mogućih vremenskih

rasporeda aktivnosti koje nisu na kritičnom putu. Za koji od potencijalnih

rasporeda će se menadžer opredijeliti, zavisi od više faktora. Najčešće je za izbor

određenog vremenskog rasporeda aktivnosti presudan faktor raspoloživosti radne

snage za (iz)vršenje pojedinih aktivnosti.

7.11. Vremensko raspoređivanje aktivnosti prema raspoloživosti

radne snage

Ovdje se postavlja pitanje na koji način će projekti menadžer odabrati optimalan

vremenski raspored aktivnosti iz čitavog spektra mogućih rasporeda.

Projektni menadžer se u principu rukovodi potrebom za radnom snagom za

izvršenje određenih aktivnosti, pri čemu vodi računa o raspoloživosti iste u

svakoj od etapa realizacije projekta.

Tako, brojevi u uglastim zagradama uz oznake aktivnosti, na slikama 27, 28 i 29,

predstavljaju potreban broj radnika za izvođenje, tj. realizaciju svake od

aktivnosti. Potrebe za radnom snagom, po svakoj od projektnih aktivnosti,

preglednosti radi, ovdje su dodatno date u tabelarnoj formi (tabela 19).

Aktivnosti A B C D E F G H I J K L M N

Dnevne potrebe za

radnom snagom

(broj radnika)

4 1 4 4 2 3 4 1 3 2 2 1 3 3

Tabela 19. Dnevne potrebe za radnom snagom na projektu

130

Na osnovu kumulativnih potreba za radnom snagom svakog dana na projektu,

projektni menadžer pravi ekstremne i hibridne rasporede radne snage (slike 30,

31 i 32). Ovdje se postavlja pitanje: Čime se u izboru optimalnog hibridnog

rasporeda radne snage menadžer rukovodi? – Prije svega, menadžer nastoji da

smanji pikove, što je moguće više. Takođe, teži nivelisanju ili postizanju što više

ujednačenog rasporeda radne snage tokom cjelokupnog trajanja projekta. Ovo

može da radi ručno, uz pomoć folija sa iscrtanim različitim vremenskim

rasporedima aktivnosti, čijim preklapanjem može da eksperimentiše, tj. ispituje

različite varijante rasporeda, ili pak, računarski uz pomoć odgovarajućeg

softvera.

Slika 30. Raspored radne snage u skladu sa najranijim (NR) vremenskim

rasporedom aktivnosti (prema sl. 27)

7.12. Praćenje izvršenja projekta i eventualno replaniranje

S obzirom da se projektne aktivnosti često ne realizuju po planu, projektni

menadžer mora stalno da prati izvršenje projekta, kao i da pristupi

odgovarajućem replaniranju, ukoliko je ono potrebno.

131

Neplanirani događaji koji mogu da produže trajanje projekta su, na primjer:

vremenske neprilike, štrajk radnika, nepredviđeni nedostatak potrebnih resursa,

neplanirane komplikacije pri strukturnoj modifikaciji projekta i slično. Dodatno,

jedan određeni raspored aktivnosti može biti odgovarajući za jednu vrstu resursa,

a neodgovarajući za drugu. Znači, obično se zahtijeva takav raspored koji

simultano odgovara raspoloživosti više različitih vrsta resursa.

Slika 31. Raspored radne snage u skladu sa najkasnijim (NK) vremenskim

rasporedom aktivnosti (prema sl. 28)

Slika 32. Alternativni raspored radne snage prema hibridnom vremenskom

dijagramu aktivnosti (prema sl. 29)

132

Pri replaniranju projekta, kada je ono neophodno, često dolazi do produženja

vremena trajanja projekta. Ukoliko je ono prihvatljivo, ne vrše se nikakve

dodatne izmjene u strukturi projekta. Međutim, ako vrijeme produžetka projekta

izlazi iz okvira prihvatljivosti, potrebno je uključivanje dodatnih resursa.

Za praćenje i eventualno replaniranje projekata, menadžerima na raspolaganju

stoji veliki broj softvera koji rade sa hiljadama aktivnosti i sa više desetina

različitih resursa uključenih u realizaciju projekta. Ovi softveri automatski

generišu odgovarajuće izvještaje i grafove, te automatski detektuju prekoračenja

kada su u pitanju troškovi (Microsoft Project, QSB i dr).

7.13. Specifičnosti PERT pristupa

Određivanjem najranijih i najkasnijih početaka/završetaka aktivnosti, kao i

određivanjem kritičnog puta, realizuje se CPM pristup projektnom planiranju,

kod koga su vremena trajanja aktivnosti poznata, tj. konstantna. Međutim, u

praksi su česti slučajevi da vremena trajanja pojedinih aktivnosti i te kako

variraju u zavisnosti od različitih faktora. U takvim uslovima prisustva

vremenske varijabilnosti, treba analizirati uticaje promjenljivosti vremena

izvršenja pojedinih aktivnosti na vrijeme završetka čitavog projekta.

Ugrađivanjem ublaživača (ili buffer-a, eng.) u projektni plan, od primjera radi

20%, a priori se tolerišu određeni produžeci fiksnog vremena planiranog za

izvršenje određene aktivnosti, odnosno, čitavog projekta. Ovo ima i negativnu

stranu, budući da se realizatori (izvođači) određene aktivnosti kojoj je pridružen

buffer, mogu opustiti i (pod)svjesno nepotrebno produžiti trajanje aktivnosti.

133

Ukoliko se projektni menadžer ne opredijeli za ugradnju buffer-a ili korišćenje

računarskih simulacija za analizu vremena trajanja pojedinih aktivnosti i čitavog

projekta, tada se obično koristi PERT analizama vremena trajanja i troškova

projekta, baziranim na teoriji vjerovatnoće. PERT je, dakle, probabilistička

tehnika, za razliku od CPM-a koja je deterministička.

PERT analize se zasnivaju na tri različite procjene vremena trajanja svake od

projektnih aktivnosti:

(a) – Optimističko vrijeme trajanja aktivnosti (sve ide po planu,

vjerovatnoća da će aktivnost biti realizovana u granicama optimističkog

vremena ili vremena manjeg od optimističkog je jako mala, npr. 0,01);

(b) – Pesimističko vrijeme trajanja aktivnosti (u prisustvu neželjenih

okolnosti, ništa ne ide po planu, vjerovatnoća da će vrijeme trajanja

aktivnosti biti pesimističko je takođe veoma mala, npr. 0,01);

(m) – Najvjerovatnije vrijeme (najrealnije vrijeme potrebno za realizaciju

određene aktivnosti).

Sada se postavlja logično pitanje: kako kalkulisati sa ove tri različite vremenske

procjene? – Pokazalo se da je beta raspodjela (slika 33) podesna za

aproksimiranje distribucije vremena trajanja aktivnosti, okaraterisane sa tri

nezavisna parametra (a, b i m). Naime, u skladu sa beta raspodjelom, očekivano

vrijeme trajanja aktivnosti je:

( ) 6/bm4at +⋅+= .

Očekivano vrijeme trajanja aktivnosti se koristi u projektnom planu za

izračunavanje svih najranijih i najkasnijih vremena početaka/završetaka

aktivnosti. Za određivanje varijacije vremena izvršenja aktivnosti, koristi se

formula:

134

( )( )26/abv −= .

Standardna devijacija vremena realizacije aktivnosti, određuje se po obrascu:

( ) 6/abv −==σ .

Treba napomenuti da je ovaj obrazac zasnovan na statističkom konceptu da

između krajnjih tačaka b i a krive beta raspodjele ima 6 standardnih devijacija (±

3 od srednje vrijednosti).

U nastavku će na primjeru biti pokazano kako se PERT tehnikom mogu

analizirati vremena realizacije pojedinih aktivnosti na projektu. Primjer na kome

je izvršena PERT analiza vremena, odnosi se na instaliranje kompleksnog

sistema za kontrolu zagađenja vazduha. Aktivnosti na ovom projektu, njihov

opis, međusobne zavisnosti i očekivana vremena trajanja, dati su u tabeli 20.

Slika 33. Beta raspodjela sa tri vremenske procjene trajanja aktivnosti

135

Aktivnost Opis

Prethodi

joj

aktivnost

Očekivano

vrijeme

završetka

(u sedmicama)

A Izrada unutrašnjih konstrukcija - 2

B Modifikacije krova i poda - 3

C Konstruisanje dimnog kolektora (dimnjaka) A 2

D Izrada betonske konstrukcije i instalacionog

okvira A, B 4

E Izrada visoko-temperaturnog gorionika C 4

F Instaliranje sistema za kontrolu zagađenja C 3

G Instaliranje uređaja za prečišćavanje vazduha D, E 5

H Testiranje F, G 2

Ukupno vrijeme (u sedmiciama): 25

Tabela 20. Aktivnosti i očekivana vremena trajanja

Preglednosti radi, u nastavku je dat mrežni dijagram projekta u skladu sa CPM

pristupom, da bi kasnije vrijeme realizacije projekta i troškovi bili analizirani

PERT tehnikom (slika 34).

Slika 34. Dijagram projekta

136

Na osnovu mrežnog dijagrama projekta, jasno se vidi da je očekivano vrijeme

trajanja projekta 15 sedmica. Kako su pri ovome raspoređena vremena realizacije

pojedinih aktivnosti u skladu sa PERT tehnikom, vidi se sa prikaza radnog lista

Excel-ovog rješavača na slici 35.

Određivanjem kritičnog puta na osnovu mrežnog dijagrama projekta (slika 34),

jasno je da očekivano vrijeme završetka projekta iznosi 15 sedmica. Međutim, u

skladu sa PERT pristupom, treba uzeti u obzir varijacije vremena izvršenja

pojedinih aktivnosti, pogotovo onih na kritičnom putu (A, C, E, G i H). Te

varijacije mogu lako dovesti do kašnjenja u realizaciji projekta i zato ih treba

pažljivo izanalizirati.

Slika 35. PERT analiza vremena

137

U tom pravcu, prije svega treba odrediti projektnu varijaciju, ili ukupnu

varijaciju vremena izvršenja kritičnih aktivnosti. Na konkretnom primjeru,

projektna varijacija je zbir varijacija kritičnih aktivnosti:

11,311,078,100,111,011,0vP =++++= .

Projektna standardna devijacija se može odrediti na osnovu projektne varijacije

prema obrascu:

76,111,3vPP ===σ .

PERT metoda koristi pretpostavke da varijacije vremena realizacije pojedinih

aktivnosti prate beta raspodjelu, dok se vrijeme realizacije čitavog projekta

uklapa u normalnu raspodjelu (slika 36). U skladu s tim, ako je očekivano

vrijeme trajanja projekta 15 sedmica, to praktično znači da vjerovatnoća da će

projekat biti završen za kraće vrijeme od 15 sedmica, iznosi 50%. S druge strane,

ista je tolika vjerovatnoća (50%) da će se realizacija projekta produžiti i nakon

isteka 15 sedmica. Ova pretpostavka da se vrijeme realizacije čitavog projekta

uklapa u normalnu raspodjelu, može poslužiti u dobijanju odgovora na pitanje: sa

kojom vjerovatnoćom se projekat može realizovati u željenom roku? -

Pretpostavimo da u slučaju konkretnog primjera planiranja projekta, koji se

ovdje razmatra, agencija za zaštitu životne cjeline, nameće imperativ izvođačima

projekta instaliranja složenog sistema za kontrolu zagađenja vazduha, da za

najviše 16 sedmica završe projekat. Postavlja se pitanje koja vjerovatnoća

odgovara završetku projekta u zahtijevanom vremenskom okviru od 16 nedjelja?

– Ta vjerovatnoća se može odrediti pomoću obrasca:

138

Z = (Zahtijevano vrijeme završetka projekta – Očekivano vrijeme završetka

projekta)/σP = (16 sedmica – 15 sedmica)/1,76 = 0,57

Ovdje Z predstavlja broj standardnih devijacija od srednje vrijednosti (slika 37).

Pomoću odgovarajuće tablice za normalnu raspodjelu vjerovatnoća [4, dodatak

C], na osnovu vrijednosti Z direktno se određuje vjerovatnoća od 71,57% sa

kojom će se projekat završiti u roku 16 sedmica, kako to u ovom slučaju

zahtijeva agencija za zaštitu životne sredine.

Slika 36. Vjerovatnoća da će projekat biti završen za očekivano vrijeme od 15

sedmica

Ovdje je pokazano kako PERT tehnika omogućuje da varijacije vremena trajanja

pojedinih aktivnosti i čitavog projekta budu stavljene u odgovarajuće

probabilističke okvire. Međutim, često se javlja potreba za znatnim skraćenjem

vremena trajanja projekta, što za posledicu ima potrebu za smanjenjem vremena

trajanja pojedinih aktivnosti. Kako bi određene aktivnosti bilo moguće

realizovati za kraće vrijeme od planiranog, obično je potrebno angažovati

139

dodatne resurse (u materijalu, opremi, radnoj snazi i sl.), a sve to logično povlači

i veće troškove, te se stoga postavlja pitanje određivanja optimalnog balansa

između skraćenja vremena trajanja aktivnosti, odnosno, čitavog projekta i

posledičnog porasta troškova. – U rješavanju ovog problema može poslužiti

odgovarajući matematički model linearnog programiranja, na način kako je to

pokazano u nastavku.

Slika 37. Vjerovatnoća da će projekat biti završen u zahtijevanom roku od 16

sedmica

7.14. Optimalno skraćenje vremena trajanja projekta tehnikom

linearnog programiranja

Postupak izbalansiranog skraćenja vremena trajanja projekta je relativno

jednostavan kada su u pitanju projekti sa manjim brojem aktivnosti (recimo -

osam, kao u prethodnom primjeru). Međutim, ovaj postupak se jako usložnjava

kada su u pitanju projekti sa većim brojem aktivnosti. U tom slučaju je linearno

140

programiranje odličan metod za određivanje optimalnog balansa između

vremena skraćenja projekta i posljedičnog povećanja troškova.

Kako bi bilo moguće pristupiti rješavanju ovog problema LP tehnikom, potrebno

je imati na raspolaganju podatke o očekivanom trajanju pojedinih aktivnosti na

projektu i zahtijevanom skraćenju trajanja istih. Takođe, potrebno je znati

normalne troškove pri očekivanom vremenu trajanja aktivnosti, kao i usiljene

troškove u uslovima skraćenog vremena trajanja aktivnosti. Shodno tome,

troškovi skraćenja neke aktivnosti za određeni period vremena (ovdje je taj

period – sedmica), mogu se izračunati po obrascu:

Troškovi skraćenja (po sedmici) = (Usiljeni troškovi – Normalni

troškovi)/(Normalno vrijeme trajanja – Usiljeno vrijeme trajanja).

Rezultati primjene ovog obrasca na prethodno razmatran primjer ugradnje

složenog sistema za kontrolu zagađenja vazduha, dati su u tabeli 21.

Vrijeme (u sedmicama) Troškovi (nj.)

Aktivnost Normalno Usiljeno Normalni Usiljeni

Troškovi

skraćenja

(po sedmici,

u nj.)

A 2 1 22 000 22 750 750

B 3 1 30 000 34 000 2 000

C 2 1 26 000 27 000 1 000

D 4 3 48 000 49 000 1 000

E 4 2 56 000 58 000 1 000

F 3 2 30 000 30 500 500

G 5 2 80 000 84 500 1 500

H 2 1 16 000 19 000 3 000

Tabela 21. Normalna i usiljena vremena (troškovi) projekta

141

Pošto su na raspolaganju svi relevantni podaci, može se pristupiti rješavanju

problema optimalnog skraćenja vremena trajanja projekta tehnikom linearnog

programiranja [4].

Promjenljive u modelu su: Ti – vrijeme početka aktivnosti (i) i Ci – broj

vremenskih jedinica (sedmica) za koje se skraćuje vrijeme trajanja aktivnosti (i).

Funkcija cilja u skladu sa podacima iz tabele 21, ima sljedeću formu:

Minimizacija ukupnih troškova skraćenja projekta =

= 750⋅CA+2000⋅CB+1000⋅CC+1000⋅CD+1000⋅CE+500⋅CF+1500⋅CG+3000⋅CH.

Ograničenja vezana za redosljed izvršenja pojedinih aktivnosti, mogu biti

opisana na primjeru aktivnosti C. Naime, aktivnost C ne može početi prije

završetka aktivnosti A koja joj prethodi, a koja traje dvije sedmice i u ovom

slučaju se skraćuje za vremenski period CA, tako da će vremensko ograničenje za

aktivnost C biti:

( )AAC C2TT −+≥ (A prethodi C)

Po analogiji, mogu se odrediti vremenska ograničenja i za preostale zavisne

aktivnosti, tj. aktivnosti čijem početku prethodi završetak jedne ili više

aktivnosti:

( )AAD C2TT −+≥ (A prethodi D)

( )BBD C3TT −+≥ (B prethodi D)

142

( )CCE C2TT −+≥ (C prethodi E)

( )CCF C2TT −+≥ (C prethodi F)

( )DDG C4TT −+≥ (D prethodi G)

( )EEG C4TT −+≥ (E prethodi G)

( )FFH C3TT −+≥ (F prethodi H)

( )GGH C5TT −+≥ (G prethodi H)

Važna su i ograničenja skraćenja trajanja pojedinih aktivnosti. U konkretnom

slučaju (tabela 21), ova ograničenja su redom:

CA≤1 CB≤2 CC≤1 CD≤1

CE≤2 CF≤1 CG≤3 CH≤1

Konačno, ovdje je prisutno i ograničenje da čitav projekat mora biti završen za

13 sedmica, ili čak prije:

13C2T HH ≤−+ .

Takođe, prisutan je i prirodan uslov nenegativnosti svih promjenljivih Ti i Ci u

modelu: ( ) 0CT ii ≥∧∀ .

143

Ovako definisan matematički model zadatka linearnog programiranja može se

riješiti uz pomoć Excel-ovog rješavača. Prikaz radnog lista Excel-a prilagođenog

rješavanju odnosnog problema dat je na slici 38.

Slika 38. Prikaz radnog lista sa LP rješenjima u Excel-u

Iz priloženog prikaza rješenja dobijenog pomoću Excel-ovog ugrađenog

rješavača (slika 38), vidi se da su optimalni troškovi projekta čije je trajanje

skraćeno - 2 250 novčanij jedinica (ćelija $R$6), pri čemu su trajanja aktivnosti

A i G skraćena za po jednu sedmicu. U ćelijama B5:I5 pokazana su revidirana

vremena početaka aktivnosti. Za određivanje optimalne vrijednosti funkcije cilja

korišćenja je funkcija SUMPRODUCT(B6:Q6,$B$5:$Q$5). Slično, u svakom

144

redu koji predstavlja ograničenje sa lijeve strane (LHS), u ćelijama R8:R25

korišćene su funkcije SUMPRODUCT i to počev od SUMPRODUCT(B8:Q8,

$B$5:$Q$5), pa do SUMPRODUCT(B25:Q25, $B$5:$Q$5). Analogno, mogli bi

se riješiti i optimizacioni problemi nisko-troškovnog skraćenja vremena trajanja

projekata većih dimenzija.

U okvirima ovog poglavlja, dakle, izloženi su osnovni principi CPM i PERT

tehnika. Pokazano je kako se projekat može predstaviti mrežnim dijagramom.

Korišćen je metod dvostrukog prolaza, kojom se utvrđuje vremenski raspored

početaka/završetaka aktivnosti, kao i kritičan put. Ukazano je na to kako se mogu

vršiti intervencije u vremenskom rasporedu aktivnosti u skladu sa raspoloživim

resursima (radnom snagom) neophodnim za izvršenje pojedinih aktivnosti,

odnosno, čitavog projekta.

Posebno je razmotrena PERT tehnika, kao probabilistička, koja podržava tri

vremenske procjene za svaku aktivnost, te omogućuje određivanje očekivanog

vremena trajanja projekta i projektne varijanse. Pokazano je kako se pomoću

ovih parametara može odrediti vjerovatnoća završetka projekta u zahtijevanom

roku.

Najzad, razmotreno je i kako se tehnike projektnog menadžmenta mogu koristiti

u planiranju, odnosno, kontrolisanju troškova projekta. U tu svrhu primijenjen je

odgovarajući Excel-ov LP model, u cilju postizanja optimalnog balansa između

skraćenja vremena trajanja projekta i posljedičnog porasta troškova.

145

8. Osnove modeliranja redova čekanja

Suština teorije (analize) redova čekanja je u tome da se klijentima koji čekaju, u

razumnim vremenskim okvirima, pruže usluge. Za razliku od drugih metoda

kvantitativne optimizacije, teorija redova čekanja nije, u stvari, optimizaciona

tehnika. Ona prije svega određuje mjere izvršenja (performanse) sistema, tipa

prosječnog vremena čekanja u redu, produktivnosti servera, odnosno, onoga ko

pruža uslugu i sl. Mjere izvršenja uslužnog sistema, obično se koriste prilikom

njegovog (re)dizajniranja [16].

Vremena između dolazaka klijenata u uslužni sistem, kao i vremena njihove

opsluge, mogu biti po svojoj prirodi deterministička ili probabilistička. Ukoliko

su probabilistička, što je češće slučaj, treba poznavati osnove probabilističke

teorije, ili teorije vjerovatnoća, koja je u osnovi parametara redova čekanja.

Dvije nezaobilazne raspodjele vjerovatnoća u ovom kontekstu su

eksponencijalna i Poisson-ova raspodjela.

Dobijanje relevantnih rezultata u analizi redova čekanja uključuje rješavanje

kompleksnih izraza, te se stoga preporučuje korišćenje odgovarajućih softverskih

alata (QSB, ExcelPoissonQ.xls, TORA, MatLab, MathCad, Mathematica i dr).

146

8.1. Svojstva redova čekanja

Čekanje u redu je dio naše svakodnevnice (samoposluga, restoran, banka, pošta i

sl). Međutim, čekanje u redu nije svojstveno samo ljudima. Naime, razni poslovi

čekaju da budu izvršeni na određenim mašinama, avioni kruže iznad piste prije

nego što dobiju dozvolu od kontrole leta da mogu sletjeti, automobili čekaju na

semaforu, itd.

Redovi se u principu ne mogu eliminisati bez dodatnih ulaganja u sistem sa

svojstvom čekanja. Stoga se ovdje, u principu, traži balans između vremena

čekanja i troškova pružanja usluge na određeni (zahtijevani, željeni) način.

Veličine sa kojima se pri tome najčešće računa su: prosječna dužina (veličina)

reda, prosječno vrijeme čekanja u redu i prosječno vrijeme opsluge.

Pošto je troškove funkcionisanja uslužnog sistema, a posebno troškove čekanja u

redu, teško egzaktno odrediti, oni se obično određuju aproksimativno,

eksperimentalnim putem. Na slici 39 je dat troškovni model reda čekanja. Sa

slike se jasno vidi da troškovi pružanja usluge rastu, kako troškovi čekanja u

redu opadaju. Ukupni troškovi se određuju kao zbir ovih dvaju troškova i najniži

su kod optimalnog nivoa usluge.

Troškovi čekanja klijenata u redu, mogu se smanjiti povećanjem broja servera

(koji pružaju uslugu), ali to ima za posljedicu manju efikasnost zaposlenih i

povećanje troškova poslovanja.

Razmotrimo sada sistem sa svojstvom reda čekanja, na primjeru, recimo, jednog

McBurger restorana [16].

147

Slika 39. Model troškova reda čekanja

Naime, menadžer u McBurger restoranu treba da sprovede istraživanje po

osnovu žalbi korisnika na sporu uslugu. Istraživanjem je došao do sljedećih

rezultata (tabela 22):

Broj prodavaca 1 2 3 4 5 6 7

Prosječno vrijeme čekanja klijenata (min) 16,2 10,3 6,9 4,8 2,9 1,9 1,3

Tabela 22. Prosječno vrijeme čekanja klijenata u McBurger restoranu u

zavisnosti od broja prodavaca

Na osnovu rezultata istraživanja (tabela 22), vidi se da je prosječno vrijeme

čekanja kad radi 5 prodavaca oko 3 minuta, što je sa stanovišta anketiranih

korisnika optimalno vrijeme.

148

Menadžer je nastavio svoje istraživanje u pravcu da je ispitivao posredno (preko

neuposlenosti) koliko su procentualno uposleni prodavci u toku radnog vremena,

tj. kolika im je radna efikasnost. Rezultati ovog dodatnog istraživanja, dati su u

tabeli 23.

Broj prodavaca 1 2 3 4 5 6 7

Neuposlenost prodavaca (%) 0 8 12 18 29 36 42

Tabela 23. Neuposlenost prodavaca McBurger restorana (u %) u funkciji

njihovog broja

Na osnovu rezultata istraživanja koje je sproveo menadžer, nameće se niz

pitanja. Dva jednostavna pitanja bi mogla da glase:

(a) - Kolika je produktivnost (izražena u % vremena koje je prodavac zauzet) u

slučaju kada je broj zaposlenih 5? – Odgovor je jednostavan i glasi: 71%.

(b) - Ukoliko menadžer želi da prosječno vrijeme čekanja u redu bude 3 minuta,

a da u isto vrijeme zadrži efikasnost usluge na 90%, da li je to moguće postići

istovremeno? – Odgovor je: da, ali pod uslovom da 4 zaposlena prodavca brže

rade, odnosno, da im se radna efikasnost poveća sa 82% na 90%. Drugim

riječima, neuposlenost, u slučaju kada rade 4 prodavca, treba da bude smanjena

sa 18% na 10%.

Ovakva i slična pitanja mogu se postaviti u većini sistema sa svojstvom čekanja.

Pitanje je samo načina na koji će se sistem analizirati i kako će se naći balans

između troškova čekanja i pružanja usluge. Pri tome je posebno teško

149

kvantitativno izraziti troškove vremena čekanja korisnika u redu, budući da oni

uključuju više različitih humanih faktora, koje je teško kvantifikovati po nekom

uniformnom obrascu.

8.2. Neki primjeri redova čekanja i njihova svojstva

U principu svi redovi čekanja imaju sledeća svojstva: konačnu ili beskonačnu

populaciju, pri čemu se kod populacije misli na prirodu zahtjeva korisnika za

uslugom; način pristizanja klijenata (individualno ili grupno); vrijeme između

dolazaka klijenata (determinističko ili probabilističko); kapacitet reda (konačan

ili beskonačan); te, određenu disciplinu reda (FCFS – First Come First Served,

eng. – prvi došao prvi opslužen; LCFS – Last Come First Served, eng. –

poslednji došao prvi opslužen; SIRO – Served in Random Order, eng. – usluga

po principu slučaja).

U nastavku, u tabeli 24, dat je pregledni prikaz svojstava nekih, prilično

heterogenih, redova čekanja:

(a) – Avioni koji čekaju red na slijetanje na aerodromsku pistu (skr. Avioni);

(b) – Taksi služba koja prima pozive korisnika za opslugu – vožnju (skr.

Taksi);

(c) – Pošta koja prima zahtjeve korisnika za slanje raznih poruka, odnosno,

pošiljki (skr. Pošta);

(d) – Sud koji prima i kasnije procesuira tužbe klijenata (skr. Sud);

(e) – Čekiranje kupljenih namirnica u samoposluzi (skr. Samoposluga);

(f) – Naplata parkinga (skr. Parking).

150

Svojstvo / Red čekanja

Avi

oni

Tak

si

Pošt

a

Sud

Sam

opos

luga

Park

ing

Populacija: konačna (K) ili

beskonačna (B) K B B B B B

Način pristizanja klijenata:

individualno (I) ili grupno (G) I I ili G I ili G I I ili G I

Vrijeme između dolazaka

klijenata: determinističko (D)

ili probabilističko (P)

D P P P P P

Vrijeme trajanja usluge:

determinističko (D) ili

probabilističko (P)

D P P P P P

Kapacitet reda: konačan (K)

ili beskonačan (B) K K B K B K

Disciplina reda: FCFS, LCFS

ili SIRO FCFS FCFS SIRO SIRO FCFS FCFS

Tabela 24. Karakteristična svojstva nekih redova čekanja

Vrijednosti dodijeljene pojedinim svojstvima posmatranih redova čekanja (tabela

24), treba uzeti sa dozom rezerve, jer se u nekim realnim sitacijama, kao rezultat

dogovora, može desiti da one budu drugačije. U svakom slučaju, primjer ilustruje

karakteristične vrijednosti pojedinih svojstava nekoliko tipičnih redova čekanja.

151

8.3. Uloga eksponencijalne raspodjele kod redova čekanja

Kod većine redova čekanja, korisnici dolaze u sistem na sasvim slučajan način.

Slučajnost znači da dolazak korisnika (ili nastupanje događaja) ne zavise od

dužine vremena koje je proteklo od prethodnog dolaska, odnosno, događaja.

Slučajni intervali između dolazaka klijenata i slučajna vremena trajanja usluge, u

teoriji redova čekanja, kvantitativno se izražavanju posredstvom eksponencijalne

raspodjele, na sljedeći način:

( ) 0t,etf t >⋅λ= λ− .

Iz prethodno navedenog obrasca slijedi da je:

{ } TT

0

t e1dteTtP λ−λ−∫ −=⋅λ=≤ .

Odnosno,

{ } { } TT ee11TtP1TtP λ−λ− =+−=≤−=> .

Gdje je:

t – aktuelni trenutak vremena u kome se određuje vjerovatnoća;

T – vremenski interval za koji se određuje vjerovatnoća dolaska klijenta, tj.

nastupanja događaja i

λ - intenzitet (brzina) dolazaka klijenata (nastupanja događaja) u jedinici

vremena (koja mora da bude u skladu sa T).

Za eksponecijalnu raspodjelu je karakteristično svojstvo odsustva pamćenja. Ovo

svojstvo je najjednostavnije objasniti na primjeru: Ako je trenutno 8:20 [h] a.m.,

a prethodni dolazak korisnika u sistem se desio u 8:02 [h] a.m., vjerovatnoća da

će se naredni dolazak desiti u 8:29 [h] a.m., je funkcija intervala od 8:20 do 8:29

152

[h] a.m. i u potpunosti je nezavisna od intervala koji je protekao od 8:02 do 8:20

[h] a.m. Ovo se matematički može notirati na sljedeći način:

{ } { }TtPSt|STtP >=>+> ,

a jednostavno se može dokazati u skladu sa pravilom uslovne vjerovatnoće:

{ }{ }

( ){ }TtPe

ee

StPSt|STtP T

S

ST>===

>>+> λ−

λ−

+λ−.

Ovim je zapravo dokazano svojstvo odsustva pamćenja (memorije)

eksponencijalne raspodjele vremena dolazaka korisnika u sistem.

Ilustrujmo svojstvo odsustva pamćenja eksponencijalne raspodjele još na jednom

primjeru: Jedna uslužna mašina se u prosjeku kvari svakih 5 časova. Radnik koji

radi na toj mašini, tvrdi «da ona ima običaj» da se pokvari svako veče oko 8:30

[h] p.m. - Ispitajmo njegovu tvrdnju.

Intenzitet otkaza mašine je u ovom slučaju 2,051==λ po času. Tako da

eksponencijalna raspodjela vremena nastupanja kvara, ima oblik:

( ) 0t,e2,0tf t2,0 >⋅= ⋅− .

Čak i površno posmatrano, jasno je da tvrdnja radnika nije tačna. Vrijeme

između otkaza je raspoređeno po eksponencijalnom zakonu i shodno tome je

sasvim slučajno, odnosno, zavisi prvenstveno od trenutka u kome određujemo

vjerovatnoću nastupanja otkaza. Naime, ako je trenutno 8:20 [h] p.m.,

vjerovatnoća da će se otkaz desiti kako je radnik rekao u 8:30 [h] p.m., je:

03278,0e16010tP 60

102,0=−=

≤

⋅−.

Međutim, ako je trenutno 1:00 [h] p.m., vjerovatnoća da će se otkaz mašine

desiti u 8:30 [h] p.m., je:

153

{ } 777,0e15,7tP 5,72,0 =−=≤ ⋅− ,

što ekstremno odstupa od prethodno dobijene vrijednosti vjerovatnoće i u

potpunosti demantuje tvrdnju radnika.

8.4. Modeli rađanja i umiranja - Veza između eksponencijalne i

Poisson-ove raspodjele

Ovdje će biti razmotreni modeli redova koji imaju čisto svojstvo rađanja

(jedinke isključivo dolaze u sistem) ili čisto svojstvo umiranja (jedinke

isključivo odlaze iz sistema). Slikovit primjer modela rađanja može biti

porodilište, dok primjer modela umiranja može biti prodavnica iz koje se

povlače artikli kojima je istekao rok trajanja.

Eksponencijalna raspodjela se koristi da opiše vremenske intervale između

nastupanja događaja, dok se Poisson-ova koristi pri određivanju broja događaja,

kod oba ova modela. Razvojem ova dva modela dolazi se do zaključka o uskoj

povezanosti eksponencijalne i Poisson-ove raspodjele, u smislu da jedna od ove

dvije raspodjele automatski određuje onu drugu.

Dakle, ako je vrijeme između dolazaka (odlazaka) jedinki u (iz) sistem(a)

raspoređeno po eksponencijalnom zakonu, sa srednjom vrijednošću λ1 , tada je

broj dolazaka (odlazaka) jedinki u (iz) sistem(a) u skladu sa Poisson-ovim

zakonom vjerovatnoće, sa srednjom vrijednošću tλ . Važi i obrnuto.

Postupci dokazivanja uske povezanosti eksponencijalnog i Poisson-ovog zakona

raspodjele vjerovatnoća, kako za redove sa svojstvom rađanja, tako i za one sa

svojstvom umiranja, dati su u više izvora na našem i stranom jeziku [12;16;18].

154

U slučaju reda sa isključivim svojstvom rađanja, Poisson-ov zakon vjerovatnoće

kojim je određen broj dolazaka jedinki u sistem, ima oblik:

( ) ( ) ,...2,1,0n,!neTTP

Tn

n =λ

=λ−

Gdje je:

n – broj dolazaka u sistem u toku posmatranog intervala;

T – vremenski interval za koji se određuje vjerovatnoća dolaska jedinki, tj.

nastupanja događaja i

λ - intenzitet (brzina) dolazaka jedinki u sistem sa svojstvom rađanja (tj. brzina

nastupanja događaja), u jedinici vremena (koja mora da bude u skladu sa T).

U slučaju da se radi o redu sa isključivim svojstvom umiranja, Poissono-va

raspodjela broja odlazaka jedinki iz sistema (tj. broja napuštanja sistema), pri

čemu nisu dopušteni dolasci u sistem, ima oblik:

( ) ( )( ) N,...,2,1n,

!nNeTTP

TnN

nN =−

µ=

µ−−

− , odnosno,

( ) ( )tP1TPN

1nn0 ∑

−−= .

Gdje je:

N – broj jedinki u sistemu u početku posmatranja (u nultom trenutku);

T – vremenski interval za koji se određuje vjerovatnoća odlazaka jedinki iz

sistema i

µ - intenzitet (brzina) odlazaka jedinki iz sistema sa svojstvom umiranja, u

jedinici vremena (koja mora da bude u skladu sa T).

Razmotrimo sada primjere za slučaj reda sa svojstvom rađanja i za slučaj reda sa

svojstvom umiranja.

155

Primjer reda sa isključivim svojstvom rađanja [16]: Pretpostavimo da se u

nekoj državi svakih 12 minuta rodi po jedno novorođenče i da se odmah po

rođenju izdaju krštenice. Vremena između rađanja, raspoređena su po

eksponencijalnom zakonu. Treba odrediti sljedeće:

(a) Prosječan broj rođenja u toku jedne godine u toj državi;

(b) Vjerovatnoću da u jednom danu neće biti nijednog rođenja;

(c) Vjerovatnoću da će se izdati 50 krštenica u roku od 3 časa, pod

pretpostavkom da je od 50, 40 krštenica izdato u prva 2 od ta 3 časa.

Dakle, intenzitet (brzina) rađanja na dan je:

12012

6024=

⋅=λ rođenja/danu

Shodno ovome, broj rođenja na godišnjem nivou je:

43800365120tn =⋅=⋅λ= rođenja/godini

Vjerovatnoća da neće biti niti jednog rođenja u toku jednog dana, u skladu sa

Poisson-ovim zakonom, može se odrediti na sledeći način:

( ) ( ) 0e!0

e11201P 12011200

0 ==⋅⋅

= −⋅−

.

Drugi način na koji se može izračunati ova vjerovatnoća, baziran je na

pretpostavci da je vrijeme između dva rođenja duže od jednog dana, pri čemu se

dobija:

{ } 0e1tP 120 ==> − .

Kod izračunavanja vjerovatnoće izdavanja 50 krštenica u toku 3 časa, pod

uslovom da ih je 40 izdato za prva dva časa (= 50 – 40 = 10 krštenica, za = 3 – 2

= 1 čas), intenzitet (brzina) izdavanja krštenica je:

51260

==λ , tj. pet krštenica/času,

156

dok je, u skladu sa Poisson-ovim zakonom, vjerovatnoća da će za 1 čas biti

izdato 10 krštenica, sljedeća:

( ) ( ) 01813,0!10e151P

1510

10 =⋅⋅

=⋅−

.

Primjer reda sa isključivim svojstvom umiranja [16]: Na početku svake

sedmice cvjećara dobije 18 buketa ruža. U prosjeku dnevno se prodaju tri buketa.

Kada zalihe buketa padnu na 5 (ili manje), naručuje se nova porudžbina od 18

buketa za početak naredne sedmice. Svi buketi koji preostanu na kraju sedmice,

povlače se iz prodaje.

(a) Treba odrediti vjerovatnoću naručivanja nove porudžbine, za svaki dan u

sedmici.

(b) Takođe, treba odrediti i prosječan broj buketa koji će biti povučeni iz

prodaje na kraju sedmice.

S obzirom da se u toku jednog dana u prosjeku prodaju 3 buketa, 3=µ

buketa/danu, a vjerovatnoća da će na zalihama ostati 5 (ili manje buketa), po

Poisson-ovom zakonu, je:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) 7,...,2,1t,

!n18et3tP

tP...tPtPtP5

1n

t3n18

0

5105n

=−⋅⋅

+=

=+++=

∑=

⋅−−≤

.

Uz pomoć MathCad-a dobijeni su sljedeći rezultati (tabela 25).

157

t (dani) 1 2 3 4 5 6 7

t⋅µ 3 6 9 12 15 18 21

( )tP 5n≤ 0,0000 0,0088 0,1242 0,4240 0,7324 0,9083 0,9755

Tabela 25. Vjerovatnoće naručivanja nove porudžbine za svaki dan u sedmici

Prosječan broj buketa koji će na kraju sedmice biti povučeni iz prodaje, u skladu

sa matematičkim očekivanjem, može se odrediti prema obrascu:

( ) 664,07Pn18

0nn =⋅∑

=,

a što aproksimativno odgovara jednom buketu koji će biti povučen iz prodaje na

kraju sedmice.

8.4.1. Primjeri

1. Objasniti odnos između brzine dolazaka λ jedinki u sistem i srednjeg

vremena između dolazaka t. U kojim jedinicama se izražavanju ove

promjenjive? (tn

=λ , gdje je n – broj jedinki koje dolaze u sistem; λ je

najčešće neimenovan broj, dok se t izražava u jedinicama za vrijeme:

minut, čas, sedmica i sl.)

2. Za svaki od narednih slučajeva odrediti srednju brzinu dolazaka u sistem

λ i srednje vrijeme između dolazaka:

(i) Jedan dolazak se desi svakih 10 minuta;

(ii) Dva dolaska se dese svakih 6 minuta;

(iii) Broj dolazaka u sistem u toku 30 minuta je 10;

(iv) Srednje vrijeme između sukcesivnih dolazaka je 0,5 časa.

158

3. Za sljedeće slučajeve odrediti srednju brzinu usluge u toku časa, µ , kao i

srednje vrijeme usluge u časovima:

(i) Jedna usluga se završi svakih 12 minuta;

(ii) Dva odlaska se dese svakih 15 minuta;

(iii) Broj opsluženih korisnika za 30 minuta je 5;

(iv) Srednje vrijeme opsluge je 0,3 časa.

4. Mašina koja pruža servis korisnicima, kvari se u prosjeku svakih 5

časova. Treba odrediti sljedeće:

(i) Srednji broj kvarova (otkaza) u toku jedne sedmice, pod

pretpostavkom da se usluge pružaju 24 časa dnevno, 7 dana u

sedmici ( 3772451tn ≅⋅⋅=λ= kvarova/sedmici);

(ii) Vjerovatnoću da će se najmanje jedan kvar desiti u toku

dvočasovnog perioda

( ( ) ( ) ( ) 268,0e52

!1

e251

1P!netnP 5

22

511

tn=⋅=

⋅

⋅

=⇒⋅λ

=−

⋅−

λ−);

(iii) Vjerovatnoću da se naredni otkaz neće desiti u roku od 3 časa

( { } 549,0e3tP 53

==>−

);

(iv) Ako se nijedan otkaz nije desio u roku od 3 časa, nakon posljednjeg

otkaza, koja je vjerovatnoća da vrijeme između otkaza bude 4 časa?

( { } { }StPSt|STtP >=>+> , odnosno, { } 819,0e1tP 51

==>−

).

159

5. Vrijeme između dolazaka poreskih obveznika u poresku upravu,

raspoređeno je po eksponencijalnom zakonu, sa srednjom vrijednošću

0,05 časa. Uprava počinje da radi u 8:00 [h] a.m.

(i) Treba napisati izraz za eksponencijalnu raspodjelu koja opisuje

vremena između dolazaka obveznika u upravu

( ( ) 0t,etf t >⋅λ= λ− );

(ii) Odrediti vjerovatnoću da nijedan obveznik neće doći u upravu do

8:15 [h] a.m. Koja je vjerovatnoća da će sljedeći doći u 8:35 [h]

a.m.?

( 2005,01=λ⇒=

λ obveznika/času,

006738,0...e6015tP 60

1520===

>

⋅−;

999,0...e16020tP 60

2020==−=

≤

⋅−);

(iii) Pretpostavimo da je posljednji obveznik došao u upravu u 8:26 [h]

a.m. Koja je vjerovatnoća da će sljedeći doći u 8:38 [h] a.m.? Koja

je vjerovatnoća da nijedan obveznik neće doći do 8:40 [h] a.m.?

( 982,0...e16012tP 60

1220==−=

≤

⋅−;

513,0...e602tP 60

220===

>

⋅−), [16].

160

8.5. Opšti model reda čekanja

Opšti model reda čekanja, zasniva se na kombinaciji Poisson-ovih dolazaka i

odlazaka jedinki u (iz) sistem(a) i eksponencijalne raspodjele vremena između

dolazaka (odlazaka), kao i vremena trajanja opsluge jedinke u sistemu.

Ovdje će biti analiziran opšti model reda čekanja pod pretpostavkom da sistem

radi već izvjesno vrijeme i da se nalazi u stabilnom funkcionalnom stanju.

Drugim riječima, polazi se od pretpostavke da postoji neka logična korelacija

između dolazaka i odlazaka jedinki (klijenata) u/iz sistema.

Pojednostavljeno, ako više klijenata dolazi u sistem, biće povećan broj servera

koji im pružaju usluge. Ili, na primjer, u sistemu sa određenim brojem mašina,

smanjenje broja otkaza biće praćeno porastom broja mašina koje su u kvaru

(budući da jedino kod mašina koje rade može nastati novi kvar) i sl.

U cilju dalje analize opšteg modela reda čekanja, neka je:

n – broj jedinki (korisnika) u sistemu (u redu čekanja i na opsluzi);

nλ - brzina (intenzitet) dolazaka jedinki (korisnika) u sistem koji je u stanju n, tj.

kada se u njemu nalazi n jedinki (korisnika);

nµ - brzina (intenzitet) odlazaka jedinki iz sistema koji je u stanju n, tj. kada se u

njemu nalazi n jedinki;

np - vjerovatnoća stabilnog stanja, tj. stanja u kome se u sistemu nalazi n

jedinki.

161

Pri ovome se Poisson-ov model prelaznih stanja može predstaviti shematski kao

na slici 40.

Slika 40. Poisson-ov model prelaznih stanja sistema sa svojstvom opšteg reda

čekanja

U opštem modelu reda čekanja, vjerovatnoća np se određuje kao funkcija nλ i

nµ . Ova vjerovatnoća se kasnije koristi u određivanju mjere izvršenja

(efikasnosti) sistema, posredstvom parametara tipa: srednje dužine reda čekanja,

srednjeg vremena čekanja u redu, srednjeg vremena trajanja opsluge, srednjeg

vremena provedenog u sistemu (tj. u redu čekanja i na opsluzi) i sl.

Vjerovatnoća np se određuje na osnovu dijagrama prelaznih stanja sa slike 40.

Red čekanja je u n-tom stanju kada je broj jedinki (korisnika, klijenata) u sistemu

jednak n. Vjerovatnoća da će se više od jednog dolaska desiti u veoma kratkom

vremenskom intervalu h, teži nuli, kada 0h → . Ovo znači da se za 0n > , stanje

reda iz stanja n može promijeniti jedino u dva druga stanja: 1n − (kada jedinke

odlaze iz sistema brzinom nµ ) i 1n + (kada jedinke dolaze u sistem brzinom

nλ ). Stanje sistema 0, se jedino može promijeniti u stanje 1, kada se dolazak

dešava brzinom 0λ . Brzina 0µ nije definisana, jer nema jedinke u sistemu koja

bi iz njega mogla otići, ako je on prazan. Pod uslovom da je sistem u stabilnom

162

stanju, za 0n > , očekivane brzine (intenziteti) toka jedinki (korisnika, klijenata)

u i iz stanja n, moraju biti jednake (ili makar usklađene).

Polazeći od pretpostavke da stanje n sistema može biti promijenjeno jedino u

stanje 1n − ili u stanje 1n + , dobija se sljedeće:

Očekivana brzina (intenzitet) toka u sistem kada je on u stanju n =

1n1n1n1n pp ++−− µ+λ .

Slično prethodnom,

Očekivana brzina (intenzitet) toka iz sistema kada je on u stanju n =

( ) nnn pµ+λ .

Izjednačavanjem ova dva toka, dobija se jednačina balansa ulazno-izlaznih

tokova:

( ) ,...2,1n,ppp nnn1n1n1n1n =µ+λ=µ+λ ++−− .

U slučaju kada je 0n = , jednačina balansa ima sljedeću formu:

1100 pp µ=λ , odakle se dobija da je 01

01 pp

µλ

= .

Dalje, za 1n = , slijedi da je:

( ) 1112200 ppp µ+λ=µ+λ .

Zamjenom 01

01 pp

µλ

= u prethodnu jednačinu, dobija se da je:

012

012 pp

µµλλ

= .

U opštem slučaju, važi da je:

163

,...2,1n,pp 011nn

02n1nn =

µµµλλλ

=−

−−

L

L, ili skraćeno,

,...2,1n,pp 01n

0i 1i

in =⋅

µλ

= ∏−

= +,

gdje se vjerovatnoća 0p određuje iz uslova:

1p0n

n =∑∞

=.

Razmotrimo sada opšti model reda čekanja na primjeru «K&B» samoposluge,

koja ima tri naplatna punkta. Menadžer koristi shemu (tabela 26) da bi odredio

optimalan broj naplatnih punktova (kasa) koji rade, zavisno od broja kupaca (tj.

onih koji žele da plate).

Broj kupaca koji žele da plate Broj naplatnih punktova

1 do 3 1

4 do 6 2

više od 6 3

Tabela 26. Uposlenost naplatnih punktova u zavisnosti od broja kupaca

Kupci dolaze u zonu naplatnih punktova u skladu sa Poisson-ovim zakonom,

srednjom brzinom (intenzitetom) od 10 kupaca/času. Srednje vrijeme naplate

odgovara eksponencijalnom zakonu i iznosi 12 minuta/kupcu. Treba odrediti

vjerovatnoće stabilnih stanja sistema np , tj. vjerovatnoću da će n kupaca biti u

zoni naplatnih punktova (za ...2,1,0n = ).

Treba, dakle, u slučaju analiziranog sistema, redom odrediti nλ , nµ , kao i np :

164

10n =λ=λ kupaca/času, za ...2,1,0n =

==×

==×

==

=µ

,...8,7nčasu/kupaca1512603

6,5,4nčasu/kupaca1012602

3,2,1,0nčasu/kupaca51260

n .

Vjerovatnoće stabilnih stanja sistema određuju se po principu:

001 p2p5

10p =⋅

= ;

00

2

2 p4p5

10p =⋅

= ;

00

3

3 p8p5

10p =⋅

= ;

00

3

4 p8p1010

510p =⋅

⋅

= ;

00

23

5 p8p1010

510p =⋅

⋅

= ;

00

33

6 p8p1010

510p =⋅

⋅

= ;

0

6n

0

6n33

7n p328p

1510

1010

510p ⋅

=⋅

⋅

⋅

=

−−

≥ .

Vrijednost vjerovatnoće 0p može se odrediti na osnovu izraza:

1...328

328

328888842pp

32

00 =

+

+

+

+++++++ , ili

165

1...32

32

32831pp

32

00 =

+

+

+

++ ,

ako pritom uzmemo u obzir da je suma geometrijskog reda:

1x,x1

1x0i

i <−

=∑∞

=,

dobija se izraz:

1

321

1831p0 =

−+ ,

odakle slijedi da je 551p0 = .

Na osnovu izračunate vrijednosti 0p , može se odrediti vjerovatnoća da će u

«K&B» samoposluzi raditi samo jedan naplatni punkt:

( ) 255,0551842ppp 321 ≅⋅++=++

Takođe, može se odrediti mjera izvršenja (efikasnosti) samoposluge, u smislu

određivanja prosječnog broja neuposlenih naplatnih punktova:

( ) ( ) ( ) 1...pp0ppp1ppp2p3 876543210 ≅+++++++++ .

Ovdje je taj broj jedan, što znači da u prosjeku jedan punkt neće raditi, shodno

odnosu broja punktova i broja kupaca koji žele da plate (tj. onih koji su u zoni

naplatnih punktova), a kojm se menadžer koristio u svojim analizama.

Analogan model se može, primjera radi, primijeniti u analizi lučkog sistema

opsluge brodova koji dolaze u zonu operativne obale, a opslužuje ih, u smislu

166

izvršenja iskrcajno/ukrcajno operacija, određeni broj prekrcajnih kranova na

obali [5]. Kao drugi primjer iz domena pomorskog transporta, sličan prethodno

opisanom modelu reda čekanja sa opštim svojstvom, može se uzeti sistem

dolazaka brodova u zonu sidrišta, gdje se na raspolaganju nalazi određeni broj

slobodnih sidrišta na kojima brodovi čekaju na svoj turnus opsluge na

operativnoj obali i sl.

8.6. Specijalni Poisson-ovi redovi

Na slici 41, shematski je prikazan specijalan Poisson-ov red sa c-servera.

Selektovani korisnik (klijent, jedinka u sistemu) iz reda, pristupa prvom

slobodnom serveru. Brzina pristizanja korisnika je λ u jedinici vremena. Svi

serveri u sistemu, koji rade paralelno, identični su, što znači da je brzina opsluge

svakog od njih µ korisnika po jedinici vremena. Broj korisnika u sistemu,

uključuje one koji su trenutno na opsluzi, kao i one koji čekaju u redu na

opslugu.

Konvencionalna notacija za sumiranje karakteristika reda sa slike 41, data je u

sledećoj formi:

(a/b/c):(d/e/f)

gdje je:

a – raspodjela (distribucija) dolazaka;

b – raspodjela (distribucija) odlazaka, tj. vremena pružanja usluge;

c – broj servera koji paralelno rade;

d – disciplina reda;

e – maksimalan broj korisnika u sistemu;

f – veličina populacije, odnosno, izvora korisnika (konačna ili beskonačna).

167

Detaljnije posmatrano, standardna notacija za predstavljanje distribucije

dolazaka i odlazaka korisnika (simboli a i b) je:

• M – Markovljeva (ili Poisson-ova) raspodjela (distribucija) dolazaka

i/ili odlazaka;

• D – Konstantno (determinističko) vrijeme;

• Ek – Erlangova ili gama raspodjela vremena (ili, ekvivalentna suma

nezavisnih eksponencijalnih raspodjela);

• GI – Opšta (generalna) raspodjela vremena između dolazaka i/ili

odlazaka korisnika;

• G – Opšta (generalna) raspodjela vremena opsluge.

Nadalje, disciplina reda (simbol d) određena je kao:

• FCFS (First Come First Served, eng.) – prvi došao, prvi opslužen;

• LCFS (Last Come First Served, eng.) – poslednji došao, prvi

opslužen;

• SIRO (Service in Random Order, eng.) – opsluga na slučajan način;

• GD (General Discipline, eng.) – opšta ili generalna disciplina reda,

koja uključuje sve prethodno navedene discipline.

168

Slika 41. Shematski prikaz specijalnog Poisson-ovog reda sa više servera

Ilustracije radi, za red (M/D/10):(GD/20/∞) važi sljedeće: red ima Markovljev

(ili Poisson-ov) broj dolazaka (M), odnosno, eksponencijalno raspoređene

vremenske intervale između dolazaka, konstantno vrijeme opsluge (D), 10

paralelnih servera, disciplina mu je opšta (GD), najviše 20 korisnika može biti u

sistemu, pri čemu je veličina izvora (populacije) neograničena (∞).

Ovu notaciju su razvili D.G. Kendall, 1953. (a/b/c) i A.M. Lee 1966/1968.

(d/e/f).

U nastavku će biti pokazano kako se mogu izraziti performanse (tj. mjere

izvršnosti, ili izvršenja) sistema u funkciji vjerovatnoće stabilnih stanja sistema

np .

169

Najčešće korišćene mjere izvršnosti (efikasnosti) sistema sa svojstvom čekanja

su:

sL - očekivani broj korisnika u sistemu;

qL - očekivani broj korisnika u redu čekanja;

sW - očekivano vrijeme provedeno u sistemu;

qW - očekivano vrijeme čekanja u redu;

c - očekivani broj zauzetih servera.

Sistem sa svojstvom čekanja, dakle, uključuje red i servere. U nastavku će biti

pokazano kako se mjere izvršnosti sistema mogu predstaviti (direktno ili

indirektno) preko vjerovatnoće np :

∑∞

=⋅=

1nns pnL , dok je ( ) n

1cnq pcnL ⋅−= ∑

∞

+=.

Relacija između sL i sW , kao i relacija između qL i qW , određuju se na

osnovu Little-ove formule:

seffs WL ⋅λ= i qeffq WL ⋅λ= .

Kod Little-ove formule effλ je efektivna brzina dolazaka u sistem, odnosno,

normalna ili regularna brzina λ , pri kojoj se svi dolazeći korisnici mogu

pridružiti sistemu. U protivnom, ako se svi korisnici, koji to žele, ne mogu

pridružiti sistemu, tada je λ<λeff .

Takođe, postoji direktna veza između sW i qW :

170

µ+=

1WW qs ,

gdje su:

sW - očekivano vrijeme provedeno u sistemu;

qW - očekivano vrijeme čekanja u redu;

dok je µ1 očekivano vrijeme trajanja opsluge.

U skladu sa Little-ovom formulom može se naći veza između očekivanog broja

korisnika u sistemu sL i očekivanog broja korisnika u redu qL :

µλ

+= effqs LL .

Razlika između očekivanog (srednjeg) broja korisnika u sistemu i onih u redu

čekanja, treba da odgovara broju zauzetih servera:

µλ

==− effqs cLL ,

pri čemu je faktor iskorišćenja sistema: cc .

Razmotrimo sada odgovarajući primjer: Parking ima, pretpostavimo, 5 parking

mjesta. Automobili dolaze po Poisson-ovom zakonu, sa srednjom brzinom

(intenzitetom) dolazaka od 6 automobila na čas. Vrijeme parkiranja je

raspoređeno po eksponencijalnom zakonu, sa srednjim vremenom od 30 minuta.

Korisnici, posmatrajmo ih ovdje uslovno kao automobile, koji ne mogu pronaći

slobodno mjesto za parkiranje, mogu da čekaju na još 3 mjesta namijenjena toj

svrsi u krugu parkinga. Ostali, koji ne mogu dobiti ni jedno od ta 3 mjesta za

privremeno zaustavljanje dok se neko od parking mjesta ne oslobodi, moraju da

napuste sistem.

171

Treba odrediti sljedeće parametre sistema:

(a) Vjerovatnoću np , tj. da je n automobila u krugu parkinga;

(b) Efektivnu brzinu dolazaka automobila (pri tome se misli na one

automobile koji ulaze u krug parkinga);

(c) Prosječan broj automobila na parkingu;

(d) Prosječno vrijeme koje automobili čekaju na parking mjesto u krugu

parkinga;

(e) Prosječan broj zauzetih parking mjesta;

(f) Srednju iskorišćenost parkinga.

Prvo što se zaključuje, jeste da parking igra ulogu servera. Odnosno da sistem

ima 5 paralelnih servera. Maksimalan kapacitet sistema je 5+3=8 automobila

koje može da primi.

Vjerovatnoća np se može odrediti kao specijalan slučaj opšteg modela reda

čekanja, opisanog u prethodnom poglavlju. Međutim, prvo treba odrediti srednju

(efektivnu) brzinu dolazaka automobila u krug parkinga: 8,...,2,0n,6n ==λ

automobila/času, kao i intenzitet (brzinu) opsluge, koja zavisi od broja

automobila u krugu parkinga i srednjeg vremena njihovog zadržavanja na

parkingu, koje je definisano u postavci zadatka kao 30 minutno:

=⋅

=⋅=µ

− 8,7,6n,p5!53

5,4,3,2,1n,p!n

3

05n

n

0

n

n .

Vjerovatnoća 0p , određuje se jednostavno na osnovu uslova da je:

1pppp 8210 =++++ L , odnosno, na osnovu istog uslova datog u razvijenoj

formi:

172

15!5

35!5

35!5

3!5

3!4

3!3

3!2

3!13pp 3

8

2

765432

00 =

++++++++ .

Iz prethodnog obrasca slijedi da je vrijednost 04812,0p0 = . Na osnovu 0p ,

mogu se odrediti ostale 8,1n,pn = vjerovatnoće (tabela 27).

n 1 2 3 4 5 6 7 8

np 0,14436 0,21654 0,21654 0,16240 0,09744 0,05847 0,03508 0,02105

Tabela 27. Vrijednosti vjerovatnoća 8,1n,pn =

Srednja brzina ili intenzitet dolazaka automobila u krug parkinga λ , određuje se

na osnovu obrasca:

losteff λ+λ=λ .

Postavlja se pitanje: kako se određuje lostλ ? – Naime, automobili uopšte neće

moći da uđu na parking, ako je u njegovom krugu već 8 automobila. Što znači da

je broj automobila koji neće moći uopšte da uđu u parking prostor,

proporcionalan vjerovatnoći da je na parkingu 8 automobila:

1263,002105,06p8lost =⋅=⋅λ=λ automobila/času

Na osnovu ovoga, jednostavno određujemo efektivnu (normalnu ili realnu)

brzinu kojom automobili dolaze na parking, kao:

873,51263,06losteff =−=λ−λ=λ automobila/času

173

Shematski prikaz odnosa λ , effλ i lostλ dat je na slici 42.

Slika 42. Shematski prikaz odnosa λ , effλ i lostλ

Očekivani broj automobila u sistemu, uključujući one parkirane i one koji čekaju

da se neko parking mjesto oslobodi, u skladu sa matematičkim očekivanjem, je:

1286,3p8p2p1p0L 8210s =⋅++⋅+⋅+⋅= L automobila.

Očekivano vrijeme koje će automobili, u principu, provesti u sistemu, je u skladu

sa Little-ovom formulom:

53265,0L

Weff

ss =

λ= časova,

dok je vrijeme koje automobili provedu u redu:

03265,02153265,01WW sq =−=

µ−= časova.

174

Srednji broj zauzetih parking mjesta, određuje se po obrascu:

9368,22

8737,5LLc effqs ==

µλ

=−= mjesta.

Faktor iskorišćenja parkinga je: 58736,05

9368.2cc

== , [16].

8.6.1. Primjeri

1. Za slučaj prethodnog primjera (parkinga), na osnovu datih parametara sistema:

(i) Izračunati qL direktno iz izraza: ( ) 8,7,6n,pcnL n1cn

q =⋅−= ∑∞

+=.

( ( ) ( ) ( ) 192,0...p58p57p56L 876q ==−+−+−= )

(ii) Izračunati sW na osnovu qL . ( 533,0...L1W1W

eff

qqs ==

λ+

µ=+

µ= )

(iii) Odrediti srednji broj automobila koji neće moći da uđu na parking za

vrijeme od 8 časova. ( 101,181263,0tn lostlost ≅=⋅=⋅λ= automobil)

(iv) Pokazati da je ( )qs LLc −− , srednji broj praznih mjesta na parkingu,

jednak ( )pnc1c

0n∑−

=− .

( pccc =− ; ( ) p43210n4

0nc063,2...p1p2p3p4p5pn5 ===++++=−∑

=)

2. Za slučaj prethodnog primjera (parkinga) odrediti sve relevantne parametre

sistema, koristeći sljedeće podatke: broj parking mjesta je 6, broj mjesta na

parkingu za privremeno zaustavljanje i čekanje da se neko od parking mjesta

175

oslobodi je 4, 10=λ automobila/času, dok je srednje vrijeme zadržavanja na

parkingu 45 minuta.

8.7. Modeli redova čekanja sa jednim serverom

U okviru ovog poglavlja, biće opisana dva modela redova čekanja sa jednim

serverom ( 1c = ). U prvom slučaju nema ograničenja kada je u pitanju broj

jedinki (korisnika) koje mogu doći u sistem, dok je u drugom slučaju njihov broj

ograničen. Korisnici u sistem dolaze brzinom λ , dok je brzina opsluge µ , u

odgovarajućim jedinicama vremena.

Ova dva modela imaju određene specifičnosti u odnosu na generalni ili opšti

model redova čekanja. U cilju simboličkog predstavljanja tih specifičnosti, biće

korišćena Kendall-ova notacija. Pošto derivacija vjerovatnoća np i ostalih

relevantnih parametara sistema ne zavisi od discipline reda, u oba slučaja ona će

biti generička ili opšta (GD).

Razmotrimo prvo (M/M/1):(GD/∞/∞) sistem, tj. sistem sa Markovljevim (ili

Poisson-ovim) dolascima i odlascima, sa jednim serverom, sa opštom

disciplinom reda, neograničenim brojem korisnika i neograničenim izvorom.

U nastavku će biti izvedeni ili jednostavno dati obrasci za neke relevantne

parametre ovog sistema. Pođimo, dakle, od pretpostavki:

,...2,1,0n,n

n =

µ=µλ=λ

,

176

isto tako, λ=λeff i 0lost =λ , jer nema ograničenja broja korisnika koji mogu

pristupiti sistemu. Ako je µλ

=ρ , izraz za vjerovatnoću stabilnih stanja np , iz

opšteg modela reda čekanja, može se svesti na:

,...2,1,0n,pp 0n

n =⋅ρ= .

U cilju određivanja vjerovatnoće 0p , koristi se izraz:

( ) 11p 20 =+ρ+ρ+ L .

Pod pretpostavkom da je 1<ρ , odnosni geometrijski red će imati konačnu

vrijednost ρ−1

1 , tako da je:

1,1p0 <ρρ−= , odnosno, ( ) n

0nn 1p ρρ−= ∑

∞

=.

Prilikom određivanja vjerovatnoće np , polazi se od pretpostavke da je 1<ρ ,

odnosno, da je µ<λ . U protivnom, ako je µ≥λ , pripadni geometrijski red neće

konvergirati, pa stabilna stanja (kao i odgovarajuće vjerovatnoće) neće postojati.

Ovo ima smisla ukoliko bi brzina dolazaka bila veća od brzine odlazaka, tj. red

bi stalno rastao i ne bi se moglo postići stabilno stanje sistema.

Broj jedinki (korisnika) u sistemu, može se odrediti na sljedeći način:

( )

( )

( )

.1

11

dd1

dd1

1npnL

0n

n

0n

n

0nns

ρ−ρ

=

=

ρ−ρ

ρρ−=

=ρρ

ρρ−=

=ρρ−=⋅=

∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

177

S obzirom da je λ=λeff , parametri sistema - sW , qW i qL , određuju se na

sledeći način:

λ−µ==

λ=

1...L

W ss ;

( )ρ−µρ

==µ

−=1

...1WW sq ;

ρ−ρ

==λ=1

...WL2

qq .

Zauzetost servera c (budući da postoji samo jedan), može se odrediti pomoću

obrasca:

ρ==−= ...LLc qs .

Razmotrimo sada, specijalan Poisson-ov red sa prethodno određenim

svojstvima, na konkretnom primjeru: Automat za pranje automobila radi sa

samo jednom komorom za pranje. Automobili dolaze po Poisson-ovom

zakonu i to u prosjeku 4 automobila na čas, a ako je komora zauzeta mogu

pričekati na parkingu namijenjenom toj svrsi. Vrijeme pranja i čišćenja

automobila je raspoređeno po eksponencijalnom zakonu, sa srednjom

vrijednošću 10 minuta po automobilu. Automobili koji se ne mogu parkirati na

parkingu, zaustavljaju se ili parkiraju u ulici koja je do automata za pranje,

čime je praktično broj korisnika koji mogu doći u sistem neograničen.

Međutim, menadžer firme u čijem je vlasništvu automat, hoće da odredi

odgovarajuću veličinu parkinga uz automat.

U ovom slučaju znamo da je 4=λ automobila/času i da je 61060

==µ

automobila/času. Pošto je µ<λ , odnosno, 1<ρ , dati su takvi početni uslovi

178

da sistem može da funkcioniše u stabilnom stanju. Opšte karakteristike

sistema, date su u tabeli 28.

λ µ c Kapacitet sistema Veličina izvora

4 6 1 Neograničen Neograničena

Tabela 28. Opšte karakteristike posmatranog sistema

Na osnovu poznatog parametra ρ , jednostavno je odrediti da je srednji broj

automobila koji čekaju na uslugu 333,1Lq = . Ipak, nije preporučljivo koristiti

ovaj pokazatelj u projektovanju parkinga odgovarajuće veličine, jer bi se u tu

svrhu trebalo prije rukovoditi maksimalnim brojem korisnika u redu, nego

srednjim. S toga je prikladnije projektovati veličinu parkinga pod pretpostavkom

da će svaki novi korisnik (automobil) koji dođe u sistem, sa vjerovatnoćom

većom od 90% pronaći parking. Neka u tu svrhu S predstavlja broj parking

mjesta. Obezbjeđivanje S parking mjesta odgovara broju od S+1 korisnika

(automobila) u sistemu (jedan od njih je u komori za pranje). Dakle, svaki

automobil koji dođe u sistem, moći će sa vjerovatnoćom većom od 90% da

pronađe parking mjesto, ako u sistemu ima S parking mjesta. Ovaj uslov je

ekvivalentan izrazu:

9,0ppp S10 ≥+++ L .

Simulacijom u MathCad-u je dobijeno, da je kumulativna vjerovatnoća za 5S = ,

jednaka 912208,0P5 = , što znači da je uslov da će pristigli automobil sa

vjerovatnoćom većom od 90% pronaći slobodno parking mjesto, taj da je broj

parking mjesta veći od 5, tj. 5S ≥ .

179

Kako se ovaj problem može riješiti uz pomoć QSB solvera, odnosno njegovog

dijela koji se odnosi na teoriju redova čekanja, biće pokazano u nastavku.

Kod unosa podataka, QSB solveru je potrebno obezbijediti sljedeće podatke,

prema zahtjevima koje automatski postavlja:

1. Vremenska jedinica analize karakteristika reda (minut, čas i sl.)? čas

2. Brzina dolazaka klijenata, tj. automobila, po času? 4

3. Koliko sistem ima servera (kanala usluživanja)? 1

4. Brzina usluživanja (opsluge) klijenata, po času? 6

5. Raspoložive raspodjele vremena opsluge su:

1. Eksponencijalna

2. Konstantna

3. Opšta

Koja je raspodjela vremena opsluge aktuelna u konkretnom slučaju? 1

6. Da li je red konačan (Y/N)? N

7. Da li je populacija korisnika konačna (Y/N)? N

8. Po povratku u glavni meni, treba izabrati opciju za rješavanje problema

9. Specificirati broj korisnika (n) za koje se određuju vjerovatnoće np ? 25, npr.

10. Rješenje:

- Brzina dolazaka klijenata u sistem (λ ): 4=λ ;

- Efektivna (normalana, realna) brzina kojom korisnici dolaze u sistem

( effλ ): 4eff =λ ;

- Faktor iskorišćenja sistema (ρ ) po serveru: 666666,0=ρ ;

- Srednji broj korisnika u sistemu ( sL ): 2Ls = ;

- Srednji broj korisnika u redu ( qL ): 333333,1Lq = ;

- Srednje vrijeme koje korisnici provedu u sistemu ( sW ): 500000,0Ws = ;

180

- Srednje vrijeme koje korisnici provedu u redu ( qW ): 3333333,0Wq = ;

- Vjerovatnoća da će sljedeći korisnik koji dođe u sistem čekati ( wp ):

666666,0pw = ;

- Vjerovatnoće da će n korisnika biti u sistemu ( np ), kao i kumulativne

vjerovatnoće, date su u tabeli 29.

n np Kumulativna vjerovatnoća n np Kumulativna

vjerovatnoća

0 0,33333 0,33333 13 0,00171 0,99657 1 0,22222 0,55556 14 0,00114 0,99772 2 0,14815 0,70370 15 0,00076 0,99848 3 0,09877 0,80247 16 0,00051 0,99899 4 0,06584 0,86831 17 0,00034 0,99932 5 0,04390 0,91221 18 0,00023 0,99955 6 0,02926 0,94147 19 0,00015 0,99970 7 0,01951 0,96098 20 0,00010 0,99980 8 0,01301 0,97399 21 0,00007 0,99987 9 0,00867 0,98266 22 0,00004 0,99991

10 0,00578 0,98844 23 0,00003 0,99994 11 0,00385 0,99229 24 0,00002 0,99996 12 0,00257 0,99486 25 0,00001 0,99997

Tabela 29. Rješenje problema pomoću QSB-a ( np , za 25n = i kumulativne

vjerovatnoće)

Neki od zadataka koji se mogu formulisati na bazi prethodno analitički i

softverski razmatranog modela, dati su nastavku:

(i) Odrediti procenat iskorišćenosti komore za pranje automobila.

( ⇒=ρ 666666,0 stepen iskorišćenosti je približno 67%; rješenja u

ovom primjeru su, takođe, dobijena uz pomoć QSB rješavača)

(ii) Odrediti vjerovatnoću da će automobil koji dođe morati da čeka na

parkingu. ( 666666,0pw = , jer je 333333,0p0 = )

181

(iii) U slučaju da na parkingu ima 7 parking mjesta, odrediti vjerovatnoću

sa kojom bi automobil koji dođe našao slododno mjesto.

( 97399,0pP8

0ii8 == ∑

=)

(iv) Koliko bi parking trebao da ima mjesta, da bi vjerovatnoća sa kojom

bi pristigli automobil pronašao slobodno mjesto bila 99%?

(deset, jer je %9999229,0pP11

0ii11 ≅== ∑

=)

Analizirajmo sada specijalan slučaj reda, koji je Kendall-ovom notacijom

simbolički opisan kao (M/M/1):(GD/N/∝). Dakle, odlasci i dolasci u sistem su

Markovljevi, odnosno, Poisson-ovi. U sistemu postoji jedan server. Disciplina

reda je opšta. Maksimalan broj korisnika u sistemu je N, dok je izvor

neograničen. Primjer ovakvog sistema može biti neka proizvodna mašina sa

ograničenom buffer zonom, recimo. Ili primjer automata za pranje automobila, sa

jednom komorom za pranje i sa ograničenim brojem parking mjesta, za razliku

od primjera koji smo prethodno razmatrali, a gdje je broj parking mjesta,

praktično, bio neograničen.

Specifičnost ovog reda je, u odnosu na prethodno razmatrani, ta da kada broj

korisnika sistema dostigne N, tada nije dozvoljeno vise dolazaka.

U slučaju ovakvog reda, važi sljedeće:

+=−=λ

=λ1N,Nn,0

1N,...,1,0n,n .

182

Ukoliko je µλ

=ρ , na osnovu opšteg modela reda čekanja, dobija se opšti izraz za

vjerovatnoće stabilnih stanja sistema:

>≤ρ=

Nn,0Nn,pp 0

n

n .

Vjerovatnoća da nema korisnika u sistemu - 0p , dobija se na osnovu izraza koji

važi za kumulativnu vjerovatnoću stabilnih stanja:

∑=

=N

0nn 1p .

Odnosno,

( ) 11p N20 =ρ++ρ+ρ+ L .

Ako se uzme u obzir činjenica da se 0p u prethodnom izrazu množi, ustvari sa

geometrijskim nizom, dobija se:

=ρ+

≠ρρ−

ρ−

=+

1,1N

1

1,1

1

p1N

0 , N,...,1,0n = .

Na osnovu obrazaca za 0p , jednostavno se dobijaju obrasci za np :

( )

=ρ+

≠ρρ−

ρρ−

=+

1,1N

1

1,1

1

p 1N

n

n , N,...,1,0n = .

U slučaju ovog reda ne mora biti zadovoljen uslov da je 1<ρ , jer je broj

dolazaka korisnika u sistem ograničen brojem N. Parametar lostλ , ovdje se

računa po obrascu:

nlost p⋅λ=λ ,

dok je, shodno tome, effλ jednako:

183

( )nlosteff p1−λ=λ−λ=λ .

Očekivani broj korisnika u sistemu, može se odrediti prema obrascu:

( )

( )[ ]( )( ) .1,

11N1N1

11

dd

11

n1

1

npL

1N

1Nn

1N

1N

N

0

n1N

N

1nns

≠ρρ−ρ−

ρ+ρ+−ρ=

=

ρ−ρ−

ρρ−

ρρ−=

=ρρ−

ρ−=

==

+

+

+

+

+

=

∑

∑

Uz pomoć namjenskih softvera TORA i ExcelPoissonQ, mogu se jednostavno,

po analogiji, odrediti ostali relevantni parametri sistema: sW , qW i qL , [16].

Kao konkretan primjer, možemo uzeti već razmatran sistem s automatom za

pranje automobila, ali pod uslovom da je broj dolazaka korisnika u sistem

ograničen sa 4 parking mjesta, tj. automobili se u ovom slučaju ne smiju

parkirati u susjednoj ulici (što je u prethodno analiziranom primjeru bilo

moguće). Dakle, granični broj korisnika (automobila) u sistemu je N+1

(automobili na parkingu + automobil u komori za pranje), odnosno, 4+1=5. U

tabeli 30, dati su relevantni (ulazni) parametri ovog sistema.

λ µ c Kapacitet sistema Veličina izvora

4 6 1 5 Neograničena

Tabela 30. Opšte karakteristike posmatranog sistema

184

Uz pomoć QSB rješavača, dobijeni su sljedeći pokazatelji performansi

posmatranog sistema:

- Brzina dolazaka klijenata u sistem (λ ): 4=λ ;

- Efektivna (normalana, realna) brzina kojom korisnici dolaze u sistem

( effλ ): 80752,3eff =λ ;

- Faktor iskorišćenja sistema (ρ ) po serveru: 666666,0=ρ ;

- Srednji broj korisnika u sistemu ( sL ): 42256,1Ls = ;

- Srednji broj korisnika u redu ( qL ): 78797,0Lq = ;

- Srednje vrijeme koje korisnici provedu u sistemu ( sW ): 37362,0Ws = ;

- Srednje vrijeme koje korisnici provedu u redu ( qW ): 20695,0Wq = ;

- Vjerovatnoća da će sljedeći korisnik koji dođe u sistem čekati ( wp ):

666666,0pw = i

- Vjerovatnoće da će n korisnika biti u sistemu ( np ), kao i kumulativne

vjerovatnoće (tabela 31).

n np Kumulativna vjerovatnoća -

np n np

Kumulativna vjerovatnoća -

np

0 0,36541 0,36541 3 0,10827 0,87970

1 0,24361 0,60902 4 0,07218 0,95188

2 0,16241 0,77143 5 0,04812 1,00000

Tabela 31. Rješenje problema pomoću QSB-a ( np , za 5n = i kumulativne

vjerovatnoće)

Menadžer, ipak, želi da odredi optimalan broj parking mjesta, kako bi što

manje automobila, ili u najboljem slučaju nijedan, odlazili ka drugim

185

automatima. Budući da je ograničenje broja korisnika u sistemu N=5,

vjerovatnoća da je u njemu 5 automobila je 048120,0p5 = , odakle slijedi da

je gubitak klijenata, odnosno, broj odlazaka automobila u toku dana (24 časa):

62,424p5 ≅××λ , što znači da će otprilike 5 automobila na dan napustiti

automat zbog nedostatka parkinga. Na osnovu ovog podatka, može se

zaključiti da bi povećanjem broja parking mjesta za 5 bio riješen problem

gubitka klijenata. Ovo je i pokazano na osnovu izračunavanja realizovanih uz

pomoć jednostavnog koda u MatLab-u: format long e N=10 lambda=4 mi=6

ro=lambda/mi S0=(1-ro)/(1-ro^(N+1)) sum=0;

for i=1:N P(i)=(1-ro)/(1-ro^(N+1))*ro^i; sum=sum+P(i); end

P(i) sum+S0 lambda*P(i)*24

Dakle, programski je određena vjerovatnoća da je u sistemu 10 automobila,

005848,0p10 = , pri čemu je kumulativna vjerovatnoća stabilnih stanja jednaka

jedinici. Ova vjerovatnoća ( 10p ) odgovara gubitku klijenata, određenog prema

obrascu: 561,024005848,0424p10 =××=××λ , što znači da pod uslovom da je

u sistemu najmanje 9 parking mjesta, praktično niti jedan automobil neće

napustiti sistem i otići da opslugu potraži na drugom mjestu.

U nastavku slijede neki primjeri zadataka kojima bi se mogao, na određeni način,

nadgraditi prethodno analiziran problem:

(i) Odrediti vjerovatnoću da će automobil koji dođe u sistem automatski

moći da uđe u komoru za pranje. ( 3654135,0p0 = )

186

(ii) Oderediti očekivano vrijeme čekanja od trenutka ulaska u sistem do

početka usluge.

( 634586,0...pp5

1iiw === ∑

=, dakle, isključujući vjerovatnoću 0p )

(iii) Odrediti očekivani broj praznih parking mjesta.

( 634657,07879701,0422557,1LL qs =−=− )

(iv) Odrediti vjerovatnoću da su sva parking mjesta zauzeta.

( 04812.0pp 5full == )

8.8. Primjer reda čekanja sa više servera

Detaljan opis modela redova čekanja sa više servera (kanala usluživanja) tipa

(M/M/c):(GD/∞/∞) može se naći u referenci [16, pp. 582], stoga će ovdje biti dat

samo odgovarajući primjer sa rješenjem, dobijenim pomoću QSB rješavača.

Dakle, dvije transportne službe opslužuju jedan rejon. Svaka služba ima po dva

vozila i ravnopravno učestvuje na tržištu. U obje službe pozivi stižu u prosjeku

brzinom od 8 poziva po času. Prosječno vrijeme vožnje je 12 minuta. Broj vožnji

raspoređen je po Poisson-ovom zakonu, dok su vremena vožnji raspoređena po

eksponencijalnom. Investitor koji je odlučio da kupi ove dvije službe,

zainteresovan je za njihovu konsolidaciju (tabela 32), kojom bi obezbijedio bolju

uslugu korisnicima. Kako se u ovom slučaju poboljšanje nivoa usluga koje se

pružaju korisnicima, može pokazati primjenom teorije redova čekanja,

vidjećemo direktno na primjeru rješenja odnosnog problema, dobijenog QSB

rješavačem.

187

c λ µ Kapacitet sistema Veličina izvora

2 8 5 Neograničen Neograničena

4 16 5 Neograničen Neograničena

Tabela 32. Opis sistema sa svojstvom čekanja, prije i poslije konsolidacije

Rješenje za slučaj kada službe rade nezavisno (sistem sa 2 servera):

- Faktor iskorišćenja sistema (ρ ) po serveru: 110,0=ρ ;

- Srednji broj korisnika u sistemu ( sL ): 444,4Ls = ;

- Srednji broj korisnika u redu ( qL ): 844,2Lq = ;

- Srednje vrijeme koje korisnici provedu u sistemu ( sW ): 556,0Ws = i

- Srednje vrijeme koje korisnici provedu u redu ( qW ): 356,0Wq = .

Rješenje za slučaj kada su službe spojene u jednu, tj. konsolidovane (sistem sa 4

servera):

- Faktor iskorišćenja sistema (ρ ) po serveru: 027,0=ρ ;

- Srednji broj korisnika u sistemu ( sL ): 586,5Ls = ;

- Srednji broj korisnika u redu ( qL ): 386,2Lq = ;

- Srednje vrijeme koje korisnici provedu u sistemu ( sW ): 349,0Ws = i

- Srednje vrijeme koje korisnici provedu u redu ( qW ): 149,0Wq = .

Parametar koji je relevantan sa stanovišta analize ovih sistema jeste srednje

vrijeme koje korisnici provedu u redu čekanja na vožnju, qW . U slučaju prvog

188

scenarija, odnosno, kada službe rade odvojeno, ono je 356,0Wq = časa, što je

približno 21 minut. U slučaju drugog scenarija, ostvarenog konsolidovanjem

službi, 149,0Wq = časa, što je približno 9 minuta. Dakle, značajna ušteda, od

više od 50%, kada je u pitanju vrijeme koje korisnici čekaju na uslugu, tj. vožnju,

postignuta je spajanjem službi u jednu. Ovim je i kvantitativno pokazano da je

konsolidacija službi u potpunosti opravdana.

Dodatnim analizama konsolidovanog sistema, uz pomoć TORA programa [16,

pp. 588], pokazalo se da će se novo srednje vrijeme čekanja korisnika na vožnju

149,0Wq = , smanjiti na 075,0Wq = , tj. za dodatnih 50%, ako se u sistem

uvede dodatno ograničenje. Ovo dodatno ograničenje podrazumijeva sljedeće:

ako je u sistemu 10 korisnika (4 koja se trenutno opslužuju i 6 koji čekaju) onda

svakog novog korisnika treba uputiti da potraži uslugu kod druge službe, tj. van

posmatranog sistema. Tako će se sistem relaksirati, a korisnici će imati

kvalitetniju uslugu. Teorijski posmatrano, sistem je u ovom slučaju moguće

simbolički predstaviti kao (M/M/4):(GD/10/∞) sistem. Ono što je negativna

strana uvođenja ovog ograničenja, je potencijalni gubitak korisnika od oko 3.6%,

jer je 03574,0p10 = (tabela 33).

Scenario: (M/M/4):(GD/10/∞) 33.a) Relevantni parametri sistema

189

λ 16,00000 µ 5,00000

effλ 15,42815 c/ρ 0,80000

sL 4,23984 qL 1,15421

sW 0,27481 qW 0,07481

33.b) Vjerovatnoće np , za 10n = i kumulativne vjerovatnoće

n np Kumulativna vjerovatnoća -

np n np

Kumulativna vjerovatnoća -

np

0 0,03121 0,03121 6 0,08726 0,79393

1 0,09986 0,13106 7 0,06981 0,86374

2 0,15977 0,29084 8 0,05584 0,91958

3 0,17043 0,46126 9 0,04468 0,96426

4 0,13634 0,59760 10 0,03574 1,00000

Tabela 33. Slučaj ograničenja broja korisnika u sistemu (M/M/4):(GD/10/∞) -

TORA rješenje

Detaljan opis još nekih specijalnih redova čekanja, višekanalnog ili multi-

serverskog tipa, bilo da se mogu analizirati analitički, ili samo simulacijama

zbog složenosti i analitičke netraktabilnosti, sa velikim brojem realnih primjera,

može se naći u referenci [16].

190

9. Analitičan pristup odlučivanju

Sistematičan i analitičan pristup odlučivanju, usmjeren je na razvoj i primjenu

odgovarajućih modela i tehnika odlučivanja baziranih na logici, korišćenju svih

bitnih (raspoloživih) informacija i generisanju (svih) mogućih ishoda pojedinih

odluka.

Ovdje se, na neki način, prosto nameće pitanje razlike između dobrih i loših

odluka? - Odluke su rezultat procesa odlučivanja. Stoga, ako je proces

odlučivanja baziran na prethodno navedenom, tj. logici, prikupljanju i

analiziranju svih raspoloživih, relevantnih, informacija, razmatranju

potencijalnih alternativa i korišćenju odgovarajućih metoda i tehnika odlučivanja

– onda je on dobar, i obrnuto. Posledično, donijeta odluka će biti dobra, ili loša.

U nekim slučajevima, može se desiti da budući, neplanirani događaji, poremete

ishod odluke. Međutim, iako se nekada desi da dobra odluka rezultira lošim

ishodom, posmatrano na duže staze, korišćenje logičnog, sistematičnog i

analitičnog pristupa u odlučivanju, u krajnjem, uvijek ima pozitivan ishod.

Koji su to osnovi koraci kojih bi se trebalo pridržavati u procesu donošenja

odluka? – Kao potencijalne, treba navesti, ali se pritom ne treba ograničiti na

sljedeće:

191

• Prije svega treba jasno definisati problem;

• Uzeti u obzir sve moguće alternative;

• Identifikovati moguće ishode svake od tih alternativa;

• Identifikovati prednosti (koristi) i nedostatke (troškove) za svaku od

alternativa, odnosno, njihovih potencijalnih ishoda;

• Odabrati neku od tehnika odlučivanja i dosljedno je primijeniti.

Proces donošenja odluka, u principu, trebao bi da prati model odlučivanja

predstavljen blok dijagramom na slici 43.

Vrste odluka koje menadžeri donose zavise od odnosnog predznanja i

informacija kojima raspolažu u procesu odlučivanja. U tom smislu, postoje tri

vida odlučivanja, vezana za različite uslove u kojima se odlučuje:

a) Odlučivanje u uslovima izvjesnosti;

b) Odlučivanje u uslovima neizvjesnosti, i

c) Odlučivanje u uslovima postojanja rizika.

a) Kod odlučivanja u uslovima izvjesnosti, polazi se od pretpostavke da

donosilac odluke, ili menadžer, raspolaže svim potrebnim informacijama, u

smislu da može nedvosmisleno odrediti ishod svake od potencijalnih alternativa.

Odnosno, određena alternativa ima samo jedan mogući ishod u datim

okolnostima. U praksi su ovakvi slučajevi rijetki, mada ih pokriva jedna široka

paleta tehnika matematičkog modeliranja i programiranja (linearno, cjelobrojno,

binarno, mješovito, ciljno, nelinearno i dr).

192

b) Kod odlučivanja u uslovima neizvjesnosti, menadžer ne raspolaže gotovo

nikakvim informacijama o mogućim ishodima potencijalnih odluka. Odnosno, ne

može da procijeni vjerovatnoće sa kojima će se desiti određeni ishodi.

Definisanje problema

Razvoj modela

Prikupljanje podataka

Rješavanje

Analiza rezultata

Primjena

Testiranje rezultata

INTERPRETACIJA

RJEŠENJE

FORMULACIJA

Slika 43. Blok dijagram modela odlučivanja

193

c) Kod odlučivanja u uslovima rizika, donosilac odluka ima određena saznanja

po pitanju vjerovatnoća sa kojima će se ostvariti pojedini ishodi. U zavisnosti od

toga kako je odredio te vjerovatnoće i kolike su one, nastojaće da identifikuje

optimalnu alternativu. Ovakvi uslovi odlučivanja su česti u poslovnom svijetu,

pri čemu se u procesu donošenja odluka kao glavni ciljni kriterijumi koriste:

maksimizacija očekivane dobiti, ili minimizacija očekivanih oportunitetnih

troškova.

Pošto su u prethodnim poglavljima uglavnom razmatrane metode i tehnike

vezane za odlučivanje u uslovima izvjesnosti, u nastavku će biti prikazane neke

od tehnika koje se odnose na odlučivanje u uslovima neizvjesnosti i postojanja

rizika.

9.1. Donošenje odluka u uslovima neizvjesnosti

Odlučivanje u uslovima neizvjesnosti, prisutno je u situacijama kada menadžer

ne može da procijeni vjerovatnoće pojedinih ishoda odluke sa izvjesnošću, ili

kada virtualno nema nikakvih podataka na osnovu kojih bi se mogle odrediti te

vjerovatnoće. Ovdje će biti opisano pet različitih kriterijuma za donošenje odluka

u ovakvim uslovima:

1. maksimaks (maximax, eng.);

2. maksimin (maximin, eng.);

3. realističan kriterijum (criterion of realism, eng.);

4. kriterijum jednakih mogućnosti (equally likely, eng.) i

5. minimaks kriterijum žaljenja (minimax regret, eng).

Prilikom analize svakog od navedenih kriterijuma, kao osnovnim pokazateljem

valjanosti (ispravnosti) odluke, najčešće se koristimo isplativošću odnosnog

projekta. Isplativosti se pritom, pridružuju odgovarajući koeficijenti: (1) - ako se

194

isplativost izražava profitom, odnosno, (-1) - ako se ona izražava, indirektno, tj.

posredstvom troškova. Naime, ako se isplativost neke odluke ili nekog

projektnog rješenja, mjeri profitom: onda će veći profit praktično značiti veću

isplativost. Ukoliko se isplativost mjeri, indirektno, troškovima: tada će veći

troškovi, logično, značiti manju isplativost. Kako bi se izbjegla eventualna

konfuzija, uvođenjem odgovarajućih koeficijenata, (1) i (-1), profit i troškovi se

respektivno, automatski transformišu u isplativost.

Navedene kriterijume odlučivanja u uslovima neizvjesnosti najjednostavnije je

ilustrovati na konkretnom brojnom primjeru. Pođimo, dakle, od pretpostavke da

menadžer treba da donese odluku po pitanju izgradnje pogona za proizvodnju

nove vrste proizvoda namijenjenog širokoj potrošnji. Podaci koji mu pritom stoje

na raspolaganju dati su u tabeli 34. U skladu sa maksimaks kriterijumom, jasno

je da se najveća isplativost pojekta postiže izgradnjom velikog postrojenja, uz

optimističku pretpostavku da će potražnja za novim proizvodom biti velika.

Ishodi

Alternative Velika

potražnja

Srednja

potražnja

Mala

potražnja Kriterijum odlučivanja

Veliki pogon 200 000 € 100 000 € -120 000 € 200 000 € → Maksimaks

Mali pogon 90 000 € 50 000 € - 20 000 € 90 000 €

Bez pogona 0 € 0 € 0 € 0 €

Tabela 34. Primjer korišćenja maksimaks kriterijuma pri odlučivanju u uslovima

neizvjesnosti

Ovakva odluka je hipotetična, jer se radi, kako je već rečeno, o odlučivanju u

uslovima neizvjesnosti, u kojima menadžer ne raspolaže pouzdanim

vjerovatnoćama vezanim za obim potražnje.

195

U uslovima korišćenja maksimin kriterijuma, menadžer se rukovodi izborom

maksimalne od minimalnih isplativosti po svakoj od alternativa, a za svaki od

mogućih obima potražnje. Rezultat je prikazan u tabeli 35.

Ishodi

Alternative Velika

potražnja

Srednja

potražnja

Mala

potražnja Kriterijum odlučivanja

Veliki pogon 200 000 € 100 000 € -120 000 € -120 000 €

Mali pogon 90 000 € 50 000 € - 20 000 € - 20 000 €

Bez pogona 0 € 0 € 0 € 0 € → Maksimin

Tabela 35. Primjer korišćenja maksimin kriterijuma pri odlučivanju u uslovima

neizvjesnosti

Budući da su menadžeri rijetko ekstremni optimisti ili ekstremni pesimisti, oni se

često koriste tzv. Hurwicz-ovim ili realističnim kriterijumom. Ovaj kriterijum

podrazumijeva uvođenje koeficijenta realističnosti (α) prilikom izračunavanja

realistične isplativosti alternativa, po principu:

Realistična isplativost alternative = α x (Maksimum isplativosti alternative) +

+ (1-α) x (Minimum isplativosti alternative).

Realistična isplativost neke od alternativa je, dakle, ponderisana srednja

vrijednost maksimalne i minimalne isplativosti iste. Stoga se ovaj kriterijum

nerijetko naziva i kriterijum ponderisane sredine. Ako u konkretnom brojnom

primjeru koji ovdje koristimo za ilustraciju pojedinih kriterijuma odlučivanja u

uslovima neizvjesnosti, uvedemo koeficijent α=0,45, dobijamo rezultat prikazan

u tabeli 36. U ovom slučaju, možemo reći da je menadžer blago pesimističan,

budući da jedino koeficijent α=0,5, ukazuje na neutralnu osobu.

196

Ishodi

Alternative Velika

potražnja

Srednja

potražnja

Mala

potražnja Kriterijum odlučivanja

Veliki pogon 200 000 € 100 000 € -120 000 € 24 000 €

Mali pogon 90 000 € 50 000 € - 20 000 € 29 500 € → Realizam

Bez pogona 0 € 0 € 0 € 0 €

Tabela 36. Primjer korišćenja realističnog kriterijuma pri odlučivanju u

uslovima neizvjesnosti

Dakle, najveća vrijednost realističnog kriterijuma (0,45 x 90 000 € + 0,55x(- 20

000 €)=29 500 €) dobijena u slučaju druge alternative, tj. izgradnje malog

pogona. Tako se ova alternativa, prema uslovima Hurwicz-ovog kriterijuma,

prihvata kao optimalna.

U slučaju kriterijuma jednakih mogućnosti, sve tri alternative koje su menadžeru

na raspolaganju, imaju jednake mogućnosti da budu odabrane. Ono čime se

menadžer rukovodi u procesu donošenja odluke je najveća srednja vrijednost

isplativosti po svakoj od alternativa (varijanti). U konkretnom primjeru, to je

postignuto kod prve varijante, koja podrazumijeva izgradnju velikog pogona za

proizvodnju novog proizvoda (tabela 37).

U slučaju minimaks kriterijuma žaljenja, ili tzv. Lambert-ovog kriterijuma, po

svakoj od alternativa traži se minimum od maksimalnih oportunitetnih troškova

za sva ti moguća obima potražnje. Do odgovarajućih oportunitetnih troškova se

dolazi tako što se od najveće isplativosti oduzme stvarna isplativost (prethodno

ponderisana odgovarajućim koeficijentom). Konačni rezultati su prikazani u

tabeli 38.

197

U cilju jednostavnijeg korišćenja svakog ovih kriterijuma, pojedinačno, mogu se

koristiti Excel-ove ugrađene funkcije: MIN, MAX i/ili AVERAGE [16, pp. 364].

Ishodi

Alternative Velika

potražnja

Srednja

potražnja

Mala

potražnja Kriterijum odlučivanja

Veliki pogon 200 000 € 100 000 € -120 000 € 60 000 € → Jed. mog.

Mali pogon 90 000 € 50 000 € - 20 000 € 40 000 €

Bez pogona 0 € 0 € 0 € 0 €

Tabela 37. Primjer korišćenja kriterijuma jednakih mogućnosti pri odlučivanju u

uslovima neizvjesnosti

Ishodi

Alternative Velika

potražnja

Srednja

potražnja

Mala

potražnja Kriterijum odlučivanja

Veliki pogon 0 € 0 € 120 000 € 120 000 €

Mali pogon 110 000 € 50 000 € 20 000 € 110 000 € → Minimax

Bez pogona 200 000 € 100 000 € 0 € 200 000 €

Tabela 38. Primjer korišćenja minimaks kriterijuma žaljenja pri odlučivanju u

uslovima neizvjesnosti

198

9.2. Odlučivanje u uslovima postojanja rizika

U većini realnih situacija, menadžer ima predstavu o tome s kojom

vjerovatnoćom, makar aproksimativnom, će se desiti neki od mogućih ishoda

odluke. Ove vjerovatnoće mogu biti procijenjene na osnovu mišljenja

menadžera, na osnovu rezultata snimanja kretanja na tržištu, na osnovu

očekivanja eksperata i sl. Kako je već rečeno, kada se postave vjerovatnoće

pojedinih ishoda, tada se proces donošenja odluka odvija u uslovima postojanja

ili prisustva rizika. Najčešće korišćene tehnike odlučivanja u ovakvim uslovima

bazirane su na određivanju očekivane isplativosti, očekivanih oportunitetnih

troškova, ili očekivane vrijednosti najbolje informacije. U nastavku će ukratko

biti opisane ove tehnike.

9.2.1. Očekivana isplativost

U slučaju odlučivanja u uslovima prisustva rizika, kada se menadžer rukovodi

očekivanom isplativošću, koristi se sledeća tehnika: prvo se postave vjerovatnoće

sa kojima će se ostvariti pojedini ishodi (u konkretnom slučaju, ishodi su vezani

za obim potražnje), a potom se, na osnovu prethodno procijenjenih isplativosti,

odredi matematičko očekivanje, ili srednja isplativost po svakoj od raspoloživih

alternativa (tabela 39) u dužem vremenskom periodu. Dakle, za svaku od

alternativa, menadžer se koristi izračunavanjima po principu:

Očekivana isplativost svake od alternativa = Isplativost prvog ishoda x Vjerovatnoća da

će se ostvariti prvi ishod + Isplativost drugog ishoda x Vjerovatnoća da će se ostvariti

drugi ishod + Isplativost trećeg ishoda x Vjerovatnoća da će se ostvariti treći ishod.

199

Na osnovu rezultata dobijenih u poslednjoj koloni tabele 39, jasno je da se

najveća očekivana isplativost od projekta dobija u slučaju prve alternative (tj. u

slučaju postizanja isplativosti od 86 000 €). Treba istaći da se ovdje radi o

očekivanoj isplativosti u dužem vremenskom periodu i da ovakav model

odlučivanja, nakon isteka određenog vremena, treba podvrći reviziji, u smislu da

može doći do određenih promjena na tržištu, bilo da su u pitanju isplativosti po

pojedinim alternativama i ishodima, ili odnosne, pridružene, vjerovatnoće

ishoda.

Ishodi

Alternative Velika

potražnja

Srednja

potražnja

Mala

potražnja Očekivana isplativost

Veliki pogon 200 000 € 100 000 € -120 000 €

200 000 € x 0,3 +

+ 100 000 € x 0,5 +

+ (-120 000 €) x 0,2 = 86 000 €

Mali pogon 90 000 € 50 000 € - 20 000 €

90 000 € x 0,3 +

+ 50 000 € x 0,5 +

+ (-20 000 €) x 0,2 = 48 000 €

Bez pogona 0 € 0 € 0 €

0 € x 0,3 +

+ 0 € x 0,5 +

+ 0 € x 0,2 = 0 €

Vjerovatnoća 0,3 0,5 0,2

Tabela 39. Određivanje očekivane isplativosti za svaku od alternativa

9.2.2. Očekivani oportunitetni troškovi

Kod ovog metoda odlučivanja pri riziku, potrebno je prije svega odrediti

oportunitetne troškove za svaku od alternativa, po svakom od mogućih ishoda.

Oportunitetni troškovi, u slučaju koji ovdje analiziramo, imaju vrijednosti date u

200

tabeli 40. Na osnovu rezultata dobijenih izračunavanjem ovih troškova, jasno je

da su najniži troškovi propuštene prilike u slučaju prve alternative, tj. u slučaju

izgradnje, a kasnije eksploatacije velikog pogona. Kao i u prethodnom primjeru,

radi se optimalnom izboru za duži vremenski period, što ne isključuje potrebu

revizije polaznih podataka, nakon isteka određenog vremenskog perioda i/ili

nakon nekih bitnijih promjena na tržištu.

Ishodi

Alternative Velika

potražnja

Srednja

potražnja Mala potražnja Očekivana isplativost

Veliki pogon

200 000 € -

- 200 000 € =

=0 €

100 000 € -

- 100 000 € =

= 0 €

0 € -

-(-120 000 €) =

= 120 000 €

0 € x 0,3 + 0 € x 0,5 +

+ 120 000 € x 0,2 =

= 24 000 €

Mali pogon

200 000 € -

- 90 000 € =

=110 000 €

100 000 € -

- 50 000 € =

= 50 000 €

0 € -

-(-20 000 €)=

= 20 000 €

110 000 € x 0,3 +

+ 50 000 € x 0,5 +

+ 20 000 € x 0,2 = 62 000 €

Bez pogona

200 000 € -

- 0 € =

= 200 000 €

100 000 € -

- 0 € =

= 100 000 €

0 €

200 000 € x 0,3 +

+ 100 000 € x 0,5 +

+ 0 € x 0,2 = 110 000 €

Vjerovatnoća 0,3 0,5 0,2

Tabela 40. Određivanje očekivanih oportunitetnih troškova za svaku od

alternativa

9.2.3. Očekivana vrijednost najbolje informacije

U ovom slučaju, polazi se od pretpostavke da se menadžeru nudi podrška u

odlučivanju, u smislu da po određenoj cijeni može da dobije savjet od neke

renomirane marketinške firme, ili firme za istraživanje tržišta. Pitanje koje se

nameće je sledeće: da li je po cijeni koju je odredila firma za istraživanje tržišta,

201

isplativo koristiti takvu informaciju? – Da bi došao do odgovora na ovo pitanje,

menadžer mora da sprovede sledeću analizu. Naime, potrebno je da prethodno

utvrdi vrijednost «najbolje» informacije, pa da je potom konfrontira ponudi koju

je dobio od marketinške firme. U tom pravcu, menadžer prvo treba da odrediti

očekivanu vrijednost projekta, pod pretpostavkom da već raspolaže «najboljom»

informacijom:

Očekivana vrijednost dobijena pomoću «najbolje» informacije =

= Najveća vrijednost prvog ishoda x Vjerovatnoća nastupanja prvog ishoda +

+ Najveća vrijednost drugog ishoda x Vjerovatnoća nastupanja drugog ishoda +

+ Najveća vrijednost trećeg ishoda x Vjerovatnoća nastupanja trećeg ishoda.

Rezultat izračunavanja po ovom principu, za slučaj prethodno razmatranog

primjera, je sljedeći:

Očekivana vrijednost dobijena pomoću «najbolje» informacije = 200 000 € x 0,3 +

+ 100 000 € x 0,5 + 0 € x 0.2 = 110 000 €.

Nakon izračunavanja očekivane vrijednosti dobijene pomoću «savršene» ili

«najbolje» informacije (110 000 €), menadžer može, uz pomoć srednje

očekivane novčane vrijednosti projekta, ili njegove isplativosti da odredi i

očekivanu vrijednost same «najbolje» informacije:

Očekivana vrijednost «najbolje» informacije = Očekivana vrijednost dobijena pomoću

«najbolje» informacije – Maksimum očekivane isplativosti projekta.

Na osnovu prethodno dobijenih rezultata (tabela 39), očigledno je maksimalna

vrijednost očekivane isplativosti projekta 86 000 €, te je:

202

Očekivana vrijednost «najbolje» informacije = 110 000 € - 86 000 € = 24 000 €.

Dakle, ukoliko bi firma za ispitivanje kretanja na tržištu tražila za svoju

«najbolju», «savršenu» ili «idealnu» informaciju, više od 24 000 €, to bi bilo

neisplativo, odnosno, neprihvatljivo. U protivnom, menadžer bi trebao da

prihvati konsultantsku podršku ovog tipa.

U slučajevima kada menadžeru na raspolaganju stoji veći broj alternativa i

ishoda, u odnosu na ovdje razmatran primjer, bilo da se rukovodi očekivanom

vrijednošću, očekivanim oportunitetnim troškovima ili očekivanom vrijednošću

«najbolje» informacije, preporučuje se korišćenje softverske podrške (npr. Excel-

ovih ugrađenih funkcija tipa MIN, MAX, AVERAGE, IF, SUMPRODUCT i

dr).

9.3. Stabla odlučivanja

Problem koji se može predstaviti tabelom odlučivanja (tabele 34-40), takođe se

može predstaviti grafički, pomoću stabla odlučivanja. Stablo odlučivanja se

sastoji od čvorova i lukova, slično mrežnom dijagramu. Ono predstavlja

alternative i potencijalne ishode svake od alternativa. Specifično je po tome da

sadrži dvije vrste čvorova: čvorove odlučivanja i čvorove ishoda. Čvorovi se

obično predstavljaju sledećim simbolima:

= čvor odlučivanja (lukovi koji polaze iz ovog čvora, simbolički

predstavljaju alternative koje stoje na raspolaganju donosiocu odluke

ili menadžeru; pri čemu on treba da odabere samo jednu alternativu,

kao optimalnu u datim okolnostima);

203

= čvor ishoda (lukovi koji polaze iz ovog čvora, simbolički

predstavljaju sve moguće ishode neke od alternativa; međutim, treba

napomenuti da će se samo jedan od mogućih ishoda i ostvariti).

Iako je teorijski moguće da stablo odlučivanja počinje čvorom ishoda, ipak,

uobičajeno je da ono počinje čvorom odlučivanja.

Postavlja se pitanje kako bismo u prethodnim odjeljcima razmatran problem

izgradnje pogona optimalne veličine za proizvodnju novog proizvoda na tržištu

sa potencijalno malom, srednjom ili velikom potražnjom, mogli predstaviti

stablom odlučivanja? - U slučaju da se odlučivanje realizuje u uslovima

neizvjesnosti, tj. u uslovima virtualnog nepostojanja vjerovatnoća ostvarivanja

pojedinih ishoda, odnosno, obima potražnje, stablo odlučivanja bi izgledalo kao

na slici 44.

Slika 44. Stablo odlučivanja u uslovima neizvjesnosti

204

Na krajnjoj lijevoj strani stabla (slika 44) je početni čvor odlučivanja iz koga

polaze lukovi koji simbolički predstavljaju potencijalne odluke: izgradnju

velikog ili malog pogona, ili pak nepostojanje nikakvog pogona. Nakon ovog

dijela stabla, slijede čvorovi i lukovi ishoda. Iz čvorova 1 i 2 ishoda polaze po tri

luka koji simbolički predstavljaju malu, srednju i veliku potražnju. Čvor ishoda 3

ima samo jedan izlazni luk, koji predstavlja bilo koji obim potražnje, budući da u

uslovima nepostojanja pogona za proizvodnju, nije praktično ni važan obim

potražnje. Na kraju desne strane stabla, date su isplativosti svih mogućih ishoda

odluke, u odgovarajućim novčanim jedinicama.

Na stablo sa slike 44, mogu se primijeniti bilo koji od prethodno opisanih

kriterijuma odlučivanja u uslovima neizvjesnosti: maksimaks, maksimin,

realističan kriterijum (Hurwicz-ov kriterijum), kriterijum jednakih mogućnosti

i/ili kriterijum minimaks žaljenja (Lambert-ov kriterijum).

Slika 45. Stablo odlučivanja u uslovima postojanja rizika

205

Pogledajmo, sada, kako izgleda stablo odlučivanja u prisustvu rizika (slika 45).

Naime, uslovi odlučivanja pri riziku podrazumijevaju da menadžer raspolaže

saznanjem o vrijednostima, makar aproksimativnim, vjerovatnoća sa kojima će

se ostvariti pojedini ishodi. U skladu sa postupkom određivanja očekivane

vrijednosti (isplativosti) projekta, menadžer, u konkretnom slučaju, dolazi do

zaključka predstavljenog simbolički stablom odlučivanja na slici 46.

Slika 46. Očekivane vrijednosti isplativosti projekta za različite obime potražnje

Naime, kod odlučivanja u prisustvu rizika, polazi se od pretpostavke da su

vjerovatnoće obima potražnje na tržištu makar orjentaciono poznate i da ih

donosilac odluke može upotrijebiti u procesu odlučivanja. Način koji se najčešće

koristi u ovakvim uslovima, jeste određivanje očekivane vrijednosti projekta, do

koje se dolazi upoređivanjem očekivanih vrijednosti svake od potencijalnih

alternativa. Pritom se donosilac odluke opredjeljuje za onu alternativu koja

obezbjeđuje najveću vrijednost. Do očekivanih vrijednosti pojedinih alternativa,

dolazi se sumiranjem proizvoda vjerovatnoća pojedinih ishoda (ovdje vezanih za

206

obim potražnje) sa odgovarajućim, prethodno procijenjenim isplativostima

određene alternative, za svaki od potencijalnih ishoda. Na analogan način, ovaj

proces se može primijeniti i kod složenih, više-etapnih ili višestepenih stabala

odlučivanja [14, pp. 377]. Kod problema većih dimenzija, kao i u slučajevima

potrebe za više-etapnom analizom, preporučuje se korišćenje odgovarajućih

softverskih alata.

9.4. Stabla odlučivanja u Excel-u

U slučaju korišćenja stabala odlučivanja većih dimenzija, radi pojednostavljenja

postupka i smanjenja mogućnosti donošenja pogrešnog zaključka, preporučuje se

korišćenje odgovarajuće softverske podrške. Tako je moguće koristiti Excel-ov

poseban alat tzv. TreePlan. Pomoću ovog alata, automatski se kreira novo stablo

(slika 47), sa odgovarajućim grafičkim prikazom, unose se i prikazuju ulazni

podaci, te se određuje, po osnovu odabranog kriterijuma, optimalan izlaz,

odnosno, identifikuje se ispravna odluka.

Slika 47. Okvir za kreiranje novog stabla u Excel-ovom TreePlan programu

207

Slika 48. Određivanje strukture i parametara stabla odlučivnja u TreePlan

programu

Izborom (tj. selektovanjem) čvora odlučivanja otvara se prozor TreePan

programa koji omogućuje širenje i definisanje strukture stabla i njegovih

parametara (slika 48), prije svega potencijalnih ishoda. Isto tako, selektovanjem

neke od grana stabla odlučivanja, moguće je definisati čvorove ishoda ili otvoriti

(strukturno i parametarski) prostor za više-etapne ili višestepene analize.

Postavljanjem vjerovatnoća ostvarivanja pojedinih ishoda, kao i procijenjenih

vrijednosti isplativosti svakog od ishoda, automatski, uključivanjem opcije za

208

izračunavanje očekivane novčane vrijednosti projekta, dobija se informacija o

optimalnoj odluci (slika 49).

Slika 49. Izračunavanje očekivane vrijednosti projekta uz pomoć TreePlan

Excel-ovog rješavača

Prednost ovdje ukratko prezentiranog TreePlan programa u odnosu na korišćenje

odgovarajućih kombinacija standardnih Excel-ovih funkcija, je u tome što ovaj

program obezbjeđuje grafički prikaz stabla, automatski. Takođe, njime je

omogućeno jednostavno variranje parametara u modelu i brzo upoređivanje

pratećih promjena izlaza. Na slici 50 su prikazane neke od opcija koje

menadžeru stoje na raspolaganju u procesu donošenja odluke, a koje se uključuju

pozicioniranjem kursora na određeni čvor (ili luk) i aktiviranjem kombinacije

tastera Ctrl+T.

209

Slika 50. Određivanje parametra stabla odlučivanja u procesu analize odluka

Dakle, donosiocu odluke koji se služi ovim alatom u analizi stabla odlučivanja,

stoji na raspolaganju čitava paleta potprogramskih opcija kojima definiše

pojedine ćelije, tj. objekte (čvorove i lukove), kao i kolone numeričkih podataka

koji se direktno odnose na isplativost pojedinih alternativa.

9.5. Razvoj višestepenog stabla odlučivanja

U kratkom opisu Excel-ovog rješavača problema razvoja, modifikacije i završne

analize stabala odlučivanja (TreePlan), datom u prethodnom poglavlju, rečeno je

da ovaj alat ima mogućnosti za rad sa višestepenim stablima odlučivanja.

Postavlja se pitanje kada se ovakva stabla javljaju u praksi? – Ona se javljaju u

210

situacijama kada menadžer odluči da koristi usluge neke konsultatnske firme

(odnosno, specijalizovane marketinške firme, ili firme koja se bavi analizama

tržišta), pri čemu je spreman da plati informaciju koju dobije. U potpoglavlju

(9.2.3) je pokazano kako menadžer može da odredi vrijednost «najbolje» ili

«idealne» informacije. Međutim, ovdje ćemo poći od pretpostavke da menadžer

nije spreman da plati toliku cijenu, pa će se shodno tome zadovoljiti

nesavršenom informacijom, koju može dobiti od konsultanta po znatno nižoj

cijeni. Pretpostavimo da je cijena nesavršene informacije za slučaj višestepenog

stabla koje ćemo ovdje analizirati, 4 000 €. Shodno tome, sve procijenjene

isplativosti pojedinih alternativa, po svakom od mogućih ishoda u modelu, biće

umanjene, upravo, za taj iznos od 4 000 €. Naravno, menadžer će na kraju

izvršiti konfrontaciju procesa odlučivanja u slučaju kada ne raspolaže nikakvom,

da kažemo dodatnom informacijom o kretanjima na tržištu, i procesa odlučivanja

kada mu na raspolaganju stoji nesavršena informacija koju je dobio od

konsultantske firme (slika 51).

Ovdje se postavlja pitanje u čemu je razlika između dijela stabla bez dodatnih

informacija i onog dijela stabla koje je razvijeno uzimajući u obzir nesavršene

informacije dobijene od konsultanta (ili konsultanata). Suštinska razlika je u

tome da konsultanti po pravilu raspolažu sa više homogenih istorijskih podataka

koji se tiču obima i strukture tražnje na tržištu, tako da je za očekivati da će

informacije koje daju menadžeru, biti pouzdanije od onih do kojih je on sam

došao. Tako su konsultanti u primjeru koji se ovdje analizira, zaključili na

osnovu opsežnih ispitivanja prethodnih kretanja na tržištu, da je vjerovatnoća

ostvarivanja pozitivnih uslova na tržištu 0,57, a negativnih 0,43. Po kom principu

su odredili ostale vjerovatnoće uključene u dio stabla oplemenjenog dodatnim

nesavršenim informacijama, saznaćemo na osnovu objašnjenja koje slijedi.

211

Slika 51. Primjer višestepenog stabla odlučivanja

212

9.5.1. Bajesova teorema u analizi vjerovatnoća

Na osnovu prikaza višestepenog stabla odlučivanja na slici 51, jasno je da su

očekivane isplativosti pojedinih alternativa određene na osnovu matematičkog

očekivanja, te da je kao optimalna, na kraju, izabrana ona alternativa koja

obezbjeđuje veću isplativost. Međutim, postavlja se pitanje kako su određene

vjerovatnoće realizacije pojedinih ishoda po svakoj od alternativa? – U tu svrhu

su korištene uslovne vjerovatnoće, a prateća izračunavanja su izvršena u skladu

sa Bajesovom (Bayes) teoremom.

U konkretnom slučaju, angažovana konsultantska firma je na osnovu

raspoloživih statistika odredila relevantne uslovne vjerovatnoće ostvarivanja

pojedinih obima potražnje u slučajevima prisustva pozitivnih i negativnih opštih

uslova na tržištu. Rezultati odnosnih analiza, dati su u tabeli 41.

Rezultati ispitivanja opštih uslova na tržištu

Ishodi Pozitivni uslovi (PU) Negativni uslovi (NU)

Velike potražnje (VP) P(PU|VP)=29/30=0,967 P(NU|VP)=1/30=0,033 Srednje potražnje (SP) P(PU|SP)=8/15=0,533 P(NU|SP)=7/15=0,467

Mala potražnja (MP) P(PU|MP)=2/30=0,067 P(NU|MP)=28/30=0,933

Tabela 41. Uslovne vjerovatnoće ostvarivanja pojedinih ishoda

Do rezultata, tj. vrijednosti pojedinih uslovnih vjerovatnoća, datih u tabeli 41,

analitičari iz konsultantske firme su došli na osnovu statistika koje predstavljaju

rezultate njihovog rada u proteklom periodu. U cilju detaljnijeg opisa podataka

prezentiranih u tabeli 41, treba reći da su analitičari u 29 od 30 slučajeva imali

situaciju da se zaista ostvarila velika potražnja, u 8 od 15 srednja, a u 2 od 30

mala, pošto su uslovi na tržištu procijenjeni kao pozitivni. Za slučaj negativnih

213

uslova na tržištu, u 1 od 30 slučajeva se desila velika potražnja, u 7 od 15

srednja, a čak u 28 od 30 slučajeva desilo se da je potražnja bila mala. Na osnovu

svog, da kažemo, bogatog iskustva, analitičari su u poziciji da u skladu sa

Bajesovom teoremom, daju preciznije procjene vjerovatnoća sa kojima će se

ostvariti pojedini ishodi, kako u pozitivnim, tako i u negativnim uslovima na

tržištu.

U cilju rafiniranja ili finog prepodešavanja uslovnih vjerovatnoća pojedinih

ishoda određenih pri pozitivnim i negativnim uslovima na tržištu, podsjetimo se

opšte forme Bajesove teoreme uslovne vjerovatnoće ostvarivanja događaja A,

pod uslovom da se desio događaj B. U opštem slučaju je:

( ) ( )( )BPABPBAP =| .

Na osnovu ove opšte forme, može se pokazati da je:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )APABPAPABP

APABPBAP|+|

|=| ,

gdje je A - komplement događaja A.

Ako se sada vratimo rafiniranju, ili poboljšanju procjene uslovnih vjerovatnoća

u konkretnom slučaju koji razmatramo (tabela 41), revidirana uslovna

vjerovatnoća da će se ostvariti velika potražnja u slučaju pozitivnih uslova na

tržištu, a u odnosu na onu prvobitno procijenjenu od strane menadžera, je:

214

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

509,0570,0290,0

20,0067,050,0533,030,0967,030,0967,0

MPPMPPUPSPPSPPUPVPPVPPUPVPPVPPUPPUVPP

==×+×+×

×=

=|+|+|

|=|

.

Po analogiji se određuju preostale uslovne vjerovatnoće pojedinih ishoda, za

različite obime potražnje, za pozitivne (tabela 42), odnosno, negativne (tabela

43) opšte uslove na tržištu [4]. Iako je ovakav pristup reviziji primarno

procijenjenih vjerovatnoća realizacije pojedinih ishoda, jako popularan, da tako

kažemo, u praksi se često dešava da vjerovatnoće koje dobijemo kao rezultat

ovakvog izračunavanja, nisu tačne u onoj mjeri u kojoj bismo to željeli. Ipak,

ono što je izvjesno, revizija prvobitne procjene menadžera će generalno

posmatrano, dovesti do boljeg rješenja, odnosno, odluke. U krajnjem, otvoriće se

prostor za dodatnu raspravu, prikupljanje dodatnih informacija, eventualnu

ponovnu procjenu, i sl. Drugim riječima, proces odlučivanja će biti cjelovitiji i

rafiniraniji.

Ishod Uslovna

vjerovatnoća

Primarno

procijenjena

vjerovatnoća

Pridružena

vjerovatnoća

Revidirana vjerovatnoća

(Bajesova teorema)

Velika

potražnja 0,967 x 0,30

= 0,290

0,290/0,57=0,509

Srednja

potražnja 0,533 x 0,50 = 0,267 0,267/0,57=0,468

Mala

potražnja 0,067 x 0,20 = 0,013 0,013/0,57=0,023

P(PU) = 0,570 1,000

Tabela 42. Revidirane uslovne vjerovatnoće pri pozitivnim uslovima na tržištu

215

Ishod Uslovna

vjerovatnoća

Primarno

procijenjena

vjerovatnoća

Pridružena

vjerovatnoća

Revidirana vjerovatnoća

(Bajesova teorema)

Velika

potražnja 0,033 x 0,30 = 0,010 0,010/0,43=0,023

Srednja

potražnja 0,467 x 0,50 = 0,233 0,233/0,43=0,543

Mala

potražnja 0,933 x 0,20 = 0,187 0,187/0,43=0,434

P(NU) = 0,430 1,000

Tabela 43. Revidirane uslovne vjerovatnoće pri negativnim uslovima na tržištu

9.6. Teorija prihvatanja rizika

Očekivana novčana vrijednos (ONV) ili isplativost nekog projektnog rješenja, sa

kojima smo do sada kalkulisali, ne mora uvijek da bude najbolji pokazatelj,

odnosno, kriterijum odlučivanja. Objašnjenje nalazimo u činjenici da različiti

ljudi, u različitim periodima, različito vrednuju novac. Primjera radi,

pretpostavimo da je u datom trenutku, 100 € za jednog studenta veliki novac.

Međutim, ako taj isti student, nakon nekoliko godina postane uspješan

preduzetnik, tada će za njega, 100 € biti relativno nebitan iznos. Što implicira,

da ako neko nije spreman, danas, da uloži 100 € u neki rizičan poduhvat, da će

biti više nego spreman da to učini kroz nekoliko godina, recimo, ako postane

imućan. Shodno tome, kada kao kriterijum valjanosti odluke uzimamo očekivanu

novčanu vrijednost (ONV), odnosno, isplativost, zanemarujemo percepciju rizika

onoga ko odlučuje. Naime, postoje osobe koje izbjegavaju rizik, osobe koje su na

njega indiferentne i one koje prosto traže rizične situacije, tj. rizik im predstavlja

216

vid izazova. Shematski prikaz različitih odnosa prema riziku, u zavisnosti od

novčanog iznosa koji je u pitanju, dat je na slici 52.

Slika 52. Različiti vidovi prihvatanja rizika

Za slučajeve izbjegavanja rizika i njegovog prihvaranja kao izazova, važi

eksponencijalna zavisnost, koja se može predstaviti formom:

( ) RX

e1XU−

−= ,

gdje je:

X – novčana vrijednost;

R – nivo rizika.

Nivo rizika (R) je, zapravo, parametar koji kontroliše oblik krive prihvatanja

rizika. Ako donosilac odluke izbjegava rizik, odnosna kriva će opadati, a ukoliko

donosilac odluke preferira rizične situacije, ona će rasti.

217

9.6.1. Određivanje krive prihvatanja rizika

U cilju određivanja (aproksimacije) krive prihvatanja rizika, potrebno je odrediti

nivoe (tj. stepene) pihvatanja rizika od strane donosioca odluke, na skali od 0 do

1, u zavisnosti od novčanog iznosa koji je u pitanju. Način na koji se to može

učiniti, najjednostavnije je objasniti na konkretnom primjeru.

Naime, pretpostavimo da donosilac odluke ima mogućnost da se opredijeli za

jednu od dvije ponuđene alternative. Prva uključuje rizik, tako da postoji jednaka

mogućnost dobijanja 0 € ili 50 000 € (slika 53). U slučaju druge, ostavljen je

prostor za dogovor oko vrijednosti koju donosilac odluke prihvata kao

zagarantovan dobitak, pod uslovom da će ona, u svakom slučaju biti manja, od

maksimalnog očekivanog iznosa u uslovima postojanja rizika.

Slika 53. Pitanje prihvatljivog ekvivalenta izvjesnosti za donosioca odluke

218

U ovakvim situacijama uvijek je potrebno znati donju i gornju granicu dobitka u

uslovima postojanja rizika, kao i tzv. prihvatljivi ekvivalent izvjesnosti, tj. iznos

kojim će se donosilac odluke zadovoljiti u cilju izbjegavanja rizika.

Donja granica

isplativosti u

uslovima rizika

Gornja granica

isplativosti u

uslovima rizika

Očekivana novčana

vrijednost u

uslovima rizika

Prihvatljivi

ekvivalent

izvjesnosti

Nivo

prihvatanja

rizika

0 € 15 000 € 7 500 € 6 000 € 0,25

0 € 50 000 € 25 000 € 15 000 € 0,5

15 000 € 50 000 € 32 500 € 27 000 € 0,75

27 000 € 50 000 € 38 500 € 36 000 € 0, 875

Tabela 44. Nivoi prihvatanja rizika u funkciji prihvatljivog ekvivalenta

izvjesnosti za donosioca odluke

U određivanju nivoa prihvatanja rizika (tabela 44), polazi se od toga da je isti u

slučaju minimalnog dobitka (0 €) jednak 0, tj. U(0)=0, dok je u slučaju

maksimalnog dobitka (50 000 € ) jednak 1, tj. U(50 000)=1. Pritom se

korespodencija između prihvatljivog ekvivalenta izvijesnosti i nivoa rizika,

određuje po sljedećem principu (slika 53, tabela 44):

U(15 000) = U(0)x0,5 + U(50 000)x0,5 = 0x0,5 + 1x0,5 = 0,50;

U(6 000) = U(0)x0,5 + U(15 000)x0,5 = 0x0,5 + 0,5x0,5 = 0,25;

U(27 000) = U(15 000)x0,5 + U(50 000)x0,5 = 0,25x0,5 + 1x0,5 = 0,75;

U(36 000) = U(27 000)x0,5 + U(50 000)x0,5 = 0,75x0,5 + 1x0,5 = 0,875.

219

Dakle, potrebno je odrediti donju i gornju granicu nivoa prihvatljivosti rizika, a

onda u skladu sa dogovorenom vrijednošću prihvatljivog ekvivalenta izvijesnosti

za donosioca odluke, odrediti nivo prihvatanja rizika. Jasno je da se radi o

aproksimativnoj metodi, čiji je grafički ishod, u ovdje razmatranom slučaju, dat

na slici 54.

Slika 54. Kriva prihvatanja rizika od strane donosioca odluke koji izbjegava rizik

Na osnovu krive sa slike 54, može se zaključiti da je u pitanju donosilac odluke

koji izbjegava rizik. Naime, sa povećanjem novčanog iznosa koji je pod rizikom,

primjećuje se blago opadanje rasta nivoa prihvatljivosti rizika.

220

9.6.2. Stepen prihvatanja rizika kao kriterijum odlučivanja

Od toga u kom stepenu je donosilac odluke spreman da prihvati rizik, zavisiće

izbor određene alternative kao optimalne, odnosno, konačan ishod procesa

odlučivanja. Naravno, ovo važi u slučajevima kada se kao kriterijum odlučivanja

koristi stepen prihvatanja rizika. Često se dešava da je ishod u ovakvim uslovima

odlučivanja suprotan od onoga koji je posledica odlučivanja u uslovima

korišćenja očekivane novčane isplativosti kao osnovnog indikatora valjanosti

odluke. Razmotrimo ovo na primjeru.

Pretpostavimo da donosilac odluke stoji pred izazovom: da li da investira u

visoko rizičan poslovni poduhvat ili ne? – Procjene sa kojima pritom raspolaže

kada su u pitanju isplativosti pojedinih ishoda i očekivana novčana vrijednost,

ako investira u poduhvat, prikazane su odgovarajućim stablom odlučivanja na

slici 55.

Slika 55. Očekivana novčana vrijednost (ONV) od ne/ulaganja u rizičan

poslovni poduhvat

221

Ukoliko bi se kao kriterijumom odlučivanja rukovodio očekivanom novčanom

vrijednošću (ONV), donosilac odluke bi odustao od investiranja. Međutim, ako

bi isti problem sagledao iz perspektive nekoga ko je sklon rizičnim ulaganjima,

došao bi do suprotne odluke. Metodom aproksimativne procjene nivoa

prihvatanja rizika za određene prihvatljive ekvivalente izvijesnosti, tj. za

predefinisane donje i gornje granice intervala novčanog dobitka/gubitka pod

rizikom, donosilac odluke je u konkretnom slučaju, došao do krive prikazane na

slici 56.

Slika 56. Kriva prihvatanja rizika od strane donosioca odluke za koga je rizik

izazov

222

Na osnovu krive prihvatanja rizika sa slike 56, mogu se jednostavno odrediti

parametri stabla odlučivanja bazirani na stepenima prihvatanja rizika (slika 57).

Slika 57. Stablo odlučivanja iz perspektive nivoa prihvatanja rizika

Korišćenjem stepena prihvatanja rizika, umjesto očekivane novčane vrijednosti

(ONV), dolazi se do zaključka da je stepen spremnosti za prihvatanje rizika veći

u čvoru 1 (0,29), nego u čvoru 2 (0,15). Dakle, donosilac odluke će shodno

preporuci ovako odabranog kriterijuma, odlučiti da investira u visoko-rizičan

poslovni poduhvat. Na osnovu ovog ilustrativnog primjera, pokazuje se

mogućnost da analize odlučivanja bazirane na novčanoj vrijednosi i na stepenu

prihvatanja rizika, dovedu do oprečnih odluka. Pritom, treba naglasiti da se u

ovom slučaju radi o donosiocu odluke koji preferira rizik u odnosu na izvjesnost.

223

10. Zaključak

Rukopisom «Kvantitativne metode optimizacije u funkciji naučnog menadžme-

nta», obuhvaćene su sljedeće cjeline:

1. Uvod;

2. Koncept linearnog programiranja;

3. Analiza senzitivnosti rješenja zadatka linearnog programiranja;

4. Koncept i ekonomska interpretacija duala;

5. Cjelobrojno (binarno) programiranje;

6. Karakteristični (realni) primjeri korišćenja linearnog (cjelobrojnog,

binarnog) programiranja;

7. Projektno planiranje ili projektni menadžment;

8. Osnovni modeli redova čekanja, kao i

9. Analitičan pristup odlučivanju u uslovima neizvjesnosti i u prisustvu

rizika.

Uvodni dio je posvećen upoznavanju čitalaca sa determinističkim i stohastičkim

matematičkim modelima realnih problema odlučivanja; zatim, sa mogućnošću

izbora odgovarajuće optimizacione tehnike primjenljive na određeni model, a sve

s ciljem dobijanja kvantitativnog rješenja problema, kao važne dimenzije procesa

224

odlučivanja. Takođe, hronološki je propraćen razvoj menadžmenta u naučnu

disciplinu; date su neke od njegovih aktuelnih primjena, kao i preporuke za

njegovo uspješnije korišćenje.

Drugi dio rukopisa je posvećen konceptu linearnog programiranja, te prikazu

zajedničkih odrednica različitih problema ovog tipa. Na realnom primjeru je

pokazano modelovanje zadatka linearnog programiranja, reskaliranje vrijednosti

koeficijenata, odnosno, promjenljivih u modelu i postupak grafičkog rješavanja

problema u 2D ravni. Potom je opisan simpleks algoritam (tabelarna forma), na

način da je poentirana veza između grafičkog i analitičkog (simpleks) metoda.

Detaljno je opisana procedura prelaska sa jednog na drugo bazično rješenje, u

cilju postizanja optimalnog. Ovdje razmatran, realan problem je takođe riješen

pomoću odgovarajućih Lingo i Excel softverskih alata, te su interpretirana

automatski dobijena rješenja.

U trećem dijelu je sprovedena analiza senzitivnosti rješenja zadatka linearnog

programiranja na promjene vrijednosti koeficijenata u funkciji cilja, kao i na

promjene desne strane ograničenja u modelu. Razmotren je pojam i ekonomsko

značenje cijene u sjenci, kao maksimalno dopustive jedinične cijene koju treba

platiti za svaku dodatnu jedinicu resursa, u svrhu objektivnog povećanja

vrijednosti funkcije cilja. U ovom dijelu je ispitana i senzitivnost nevezanog

ograničenja u modelu, te su analizirane neke nestandardne forme zadataka

linearnog programiranja (minimizacioni problem, slučaj kada neke od

promjenljivih ne zadovoljavaju uslov nenegativnosti, kao i slučaj kada neke od

promjenljivih nemaju donju granicu).

Četvrti dio opisuje primar-dual relacije, u smislu prevođenja primara u dual i

obrnuto, u smislu prevođenja rješenja duala u rješenje primara. Na primjeru su

225

pokazane prednosti ovih transformacija. U ovom kontekstu, naglašena je i jedna

od ključnih prednosti duala u odnosu na primar, sadržana u sljedećem: kada u

primaru postoji veliki broj promjenljivih, a samo dva ograničenja, tada se

prevođenjem primara u dual, dual može riješiti jednostavno grafički, u 2D ravni.

Peto poglavlje se odnosi na cjelobrojno (binarno, odnosno, mješovito)

programiranje. Konceptualno su razmotrene neke od tehnika rješavanja ovih

specijalnih, da kažemo, zadataka linearnog programiranja (grafički metod, metod

odsijecajućih ravni, te metod grananja i ograničenja). S obzirom da su ove

tehnike nepraktične za manuelna izračunavanja, pogotovo ako se radi o

problemima većih dimenzija, neki problemi iz ovog domena su riješeni pomoću

Lingo softvera, te je interpretiran fizički smisao dobijenih rješenja. Pri tome su

za predstavljanje uslova cjelobrojnosti promjenljivih u modelu, korišćene

naredbe @gin(promjenljiva), odnosno, @bin(promjenljiva).

U šestom poglavlju su dati neki karakteristični (realni) primjeri primjene

linearnog programiranja: problem matrične igre (sveden na problem linearnog

programiranja), te nekoliko problema raspoređivanja ili asignacije tipa (1:1) i

(N:M).

Sedmo poglavlje je posvećeno projektnom menadžmentu, ili projektnom

planiranju. U tom kontekstu je prvo korišćen CPM/PERT kompozitni pristup, a

potom su razmotrene neke CPM i PERT specifičnosti. Na primjeru je

predstavljena dekompozicija aktivnosti, razvijen je odgovarajući mrežni

dijagram na kome su metodom dvostrukog prolaza određeni najraniji i najkasniji

počeci i završeci aktivnosti, te je određen kritičan put, sastavljen od aktivnosti sa

nultom vremenskom rezervom. Realizovan je odgovarajući (hibridni) raspored

aktivnosti shodno raspoloživim resursima, te su u skladu sa specifičnostima

226

PERT tehnike analizirana vremena i odnosni troškovi realizacije pojedinih

aktivnosti i projekta u cjelosti. Na poslijetku je metodom linearnog

programiranja određen optimalan balans između troškova i vremena realizacije

projekta.

U osmom poglavlju je dat osvrt na opšta svojstva nekih karakterističnih redova

čekanja. Posebna pažnja je posvećena korelaciji eksponencijalne i Poisson-ove

raspodjele kod procesa rađanja i umiranja, te je na osnovu toga prikazano

razvijanje opšteg modela reda čekanja. Manuelno i/ili softverski su određeni

karakteristični pokazatelji izvršnosti nekoliko jednokanalnih i višekanalnih

redova čekanja. Pritom je korišćen analitički, a ne simulacioni pristup, budući da

su analizirani probabilistički traktabilni redovi.

Deveto poglavlje predstavlja osvrt na analitičan, a u isto vrijeme logičan i

sistematičan pristup odlučivanju u uslovima neizvjesnosti i u uslovima prisustva

rizika. U prvom slučaju, tj. prilikom odlučivanja u uslovima neizvjesnosti, kao

kriterijum procjene valjanosti odluke korišćena je isplativost projektnog rješenja,

odnosno, oportunitetni troškovi. U drugom slučaju, tj. kod odlučivanja u

prisustvu rizika, kao kriterijum odlučivanja korišćen je stepen prihvatljivosti

rizika za donosioca odluke, a u zavisnosti od veličine novčanog iznosa koji je

pod rizikom. Pokazalo se da različiti kriterijumi odlučivanja, pod određenim

uslovima, mogu da daju različita rješenja istog problema.

Sve razmatrane tehnike i još čitav niz drugih čine naučni menadžment ili

operaciona istraživanja. Pa, kako na kraju odgovoriti na pitanje: Što je naučni

menadžment, odnosno, što su operaciona istraživanja?

227

Naučni menadžment (operaciona istraživanja) je (su) disciplina koja se koristi

naprednim analitičkim metodama u cilju poboljšanja procesa odlučivanja,

odnosno, donošenja bolje odluke u datim okolnostima. Korišćenjem tehnika

matematičkog modeliranja i analize kompleksnih situacija, operacioni istraživači

(menadžeri), daju izvršiocima određenu snagu prilikom donošenja efektnih

odluka i kreiranju produktivnih sistema. U te svrhe obezbjeđuju: cjelovitiji skup

relevantnih podataka, razmatraju sve raspoložive opcije, pažljivo predviđaju

ishode i procjenjuju rizike, predlažu alate i tehnike za donošenje konačne odluke

i sl. Naučni menadžment, odnosno, operacioni istraživači se koriste:

a) Optimizacijom – kojom sužavaju izbor i svode ga na optimum u situacijama

kada na raspolaganju stoji virtualno neprebrojivo mnogo mogućih rješenja i

kada je njihovo upoređivanje jako teško, gotovo neizvodljivo;

b) Vjerovatnoćom i statistikom – pomažući donosiocima odluka da procijene

rizik, da pronađu bitne veze između određenih podataka (informacija), da

testiraju potencijalna rješenja, te da daju pouzdane prognoze;

c) Simulacijama – putem kojih omogućuju virtualnu realizaciju potencijalnih

ishoda, omogućujući tako testiranje određenih ideja i pristupa rješavanju

konkretnog, realnog problema.

Zahvaljujući širokoj paleti naučno i empirijski utemeljenih pristupa kojima se

koristi, naučni menadžment ima spektar primjena, počev od rasporeda posada na

pojedine avio (brodske) linije, pa do kreiranja optimalnih modela redova čekanja

posjetilaca u Disney parkovima1. Profesionalci u oblasti naučnog menadžmenta

koriste specijalizovane, namjenski razvijene alate i tehnike, kako bi pružili

odgovarajuću podršku organizacijama i/ili pojedincima u procesu odlučivanja i

donošenju konačne, efektne odluke.

1 Preuzeto sa sajta: www.scienceofbetter.org (17. maja 2010. godine)

228

Literatura

1. Backović M., et al., Ekonomsko matematički metodi i modeli – Zbirka

zadataka, Ekonomski fakultet, Beograd, 2004.

2. Backović M., et al., Ekonomsko matematički metodi i modeli, Ekonomski

fakultet, Beograd, 2004.

3. Backović M., Vuleta J., Operaciona istraživanja, Ekonomski fakultet,

Podgorica, 2001.

4. Balakrishnan N., Render B., Stair R.M., Managerial Decision Modeling with

Spreadsheets, 2nd edition, Prentice-Hall Inc., New Jersey, 2007.

5. Bauk S., Konjević N., Harmonizacija lučkih operacija, s osvrtom na luku

Kotor, Fakultet za pomorstvo, Kotor, 2009.

6. Cvetković D., et al., Kombinatorna optimizacija, Društvo operacionih

istraživača Jugoslavije - DOPIS, Beograd, 1996.

7. Cvetković D., Simić S., Diskretna matematika, Naučna knjiga, Beograd,

1990.

8. Hiller F. S., Liberman G. J., et al., Introduction to Operations Research, 8th

edition, McGraw-Hall Companies Inc., New York, 2005.

9. Martić Lj., Primjena matematičkih modela na ekonomske analize, 8. izdanje,

Narodne novine, Zagreb, 1990.

229

10. Petrić J., et al., Operaciona istraživanja – Zbirka rešenih zadataka I, Naučna

knjiga, Beograd, 1996.

11. Petrić J., et al., Operaciona istraživanja – Zbirka rešenih zadataka II, Naučna

knjiga, Beograd, 1996.

12. Petrić J., Operaciona istraživanja, Naučna knjiga, Beograd, 1989.

13. Rakočević S., Backović M., Operaciona istraživanja, Ekonomski fakultet,

Podgorica, 2003.

14. Shogan A. W., Management Science, University of California, Berkeley,

Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1988.

15. Šaranović S., Matematički modeli u transportu, Fakultet za pomorstvo,

Kotor, 1988.

16. Taha H. A., Operations Research: An Introduction, 8th edition, University of

Arkansas, Fayetteville, Prentice-Hall Inc., New Jersey, 2007.

17. Vujošević M., Stanojević M., Mladenović N., Metode optimizacije – Mrežni,

lokacijski i višekriterijumski modeli, Društvo operacionih istraživača

Jugoslavije - DOPIS, Beograd, 1996.

18. Vujošević M., Operaciona istraživanja – Izabrana poglavlja, Fakultet

organizacionih nauka, Beograd, 1999.

19. Vukadinović S., Cvejić S., Matematičko programiranje, Univerzitet u

Prištini, 1995.

20. Winston W. L., Operations Research – Applications and Algorithms, 3rd

edition, International Thomson Publishing, Duxbury Press, Belmont,

California, 1993.