São Carlos, v.11 n. 51 2009 · ... as técnicas para caracterização dos polímeros ... (Canevarolo, 2004). O objetivo ... no Laboratório de Ensino da Área de Polímeros e no

São Carlos, v.11 n. 51 2009

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

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São Carlos, v.11 n. 51 2009

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SSUUMMÁÁRRIIOO Estudo do polietileno de alta densidade reciclado para uso em elementos estruturais Lívia Matheus Candian & Antônio Alves Dias 1 Avaliação de formulações do MEC na mecânica da fratura linear e coesiva Daniane Franciesca Vicentini & Wilson Sergio Venturini 17 Reforço à flexão de vigas de concreto armado com manta de Polímero Reforçado com Fibras de Carbono (PRFC) aderido a substrato de transição constituído por compósito cimentício de alto desempenho Vladimir José Ferrari & João Bento de Hanai 37 Estudo de cálice de fundação com ênfase nos esforços nas paredes transversais do colarinho Vinicius César Pereira Nunes & Mounir Khalil El Debs 57 Análise numérica da aderência em modelos de viga com concretos auto-adensáveis e concretos convencionais Fernando Menezes de Almeida Filho & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs 77 Análise termo-estrutural de pilares de aço em situação de incêndio Érica Fernanda Aiko Kimura & Jorge Munaiar Neto 93 Método dos Elementos Finitos Posicional aplicado à não linearidade geométrica de sólidos Daniel Nelson Maciel & Humberto Breves Coda 111 Elementos finitos híbridos e híbrido-mistos de tensão com enriquecimento nodal Wesley Góis & Sergio Persival Baroncini Proença 131 Estratégia baseada em domínio de falha composto aplicada para análise de confiabilidade em grelhas de concreto armado Rodrigo de Azevedo Neves & Wilson Sérgio Venturini 161

ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 11, n. 51, p. 1-16, 2009

ESTUDO DO POLIETILENO DE ALTA DENSIDADE RECICLADO PARA USO EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS

Lívia Matheus Candian1 & Antônio Alves Dias2

R e s u m o O alto consumo de energia para a produção de metais e de cimento, a pressão em relação à utilização de madeira tropical e a abundância de material plástico vêm contribuindo para o desenvolvimento de pesquisas e a aplicação dos termoplásticos na construção civil em elementos estruturais. Neste trabalho, foi feita a caracterização do polietileno de alta densidade (PEAD) reciclado, por ser um dos materiais poliméricos rígidos mais disponíveis para reciclagem. Foi determinada a composição de amostras do material polimérico (PEAD) reciclado, obtidas no mercado, por meio dos ensaios termoanalíticos: calorimetria exploratória diferencial e análise termogravimétrica. Os resultados mostraram que o material fornecido pela empresa de reciclagem é isento dos contaminantes comumente encontrados nos materiais reciclados e apresenta um grau de pureza bastante significativo. A determinação das propriedades mecânicas por meio dos ensaios de tração, de compressão, de flexão e de impacto Izod finalizou o estudo do material analisado. Nesses ensaios, a resistência obtida foi próxima dos valores encontrados na literatura, para o PEAD puro, e pouco inferior à do concreto e à da madeira. Entretanto, a rigidez do PEAD reciclado foi bem menor que a dos materiais de construção tradicionais, sendo essa sua maior deficiência. De acordo com os resultados, o PEAD reciclado pode ser aplicado como elemento estrutural, desde que sejam estudadas possíveis formas de controlar essa deficiência, como a incorporação de nervuras, a utilização de blendas poliméricas e adição de cargas minerais e de fibras de elevado módulo de elasticidade e resistência. Palavras-chave: Polímeros reciclados. Elementos estruturais. Polietileno de alta densidade reciclado. Resistência. Rigidez.

RECYCLED HIGH DENSITY POLYETHYLENE CHARACTERIZATION FOR USE IN STRUCTURAL MEMBERS

A b s t r a c t The use of thermoplastics in civil engineering has been increasing considerably in the last decades. The latter is due to large amount of plastic material and high cost on a production of metals and cement for reinforced concrete, besides the lack of wood. Recycled high density polyethylene (HDPE) was chosen due to the fact that it is one of the most rigid recycled polymers available on the recycling industry. In this study, recycled polymer has been characterized in order to determinate the recycled material composition available in the market. The characterization of recycled HDPE samples was made by thermo gravimetric analysis and differential scanning calorimetry. Consequently, mechanical properties were determinated by tensile test, compression test, flexural test and impact Izod. The results of thermal analysis showed that the recycled material is exempt from possible contaminants and has a significant pureness degree. Under tension, compression, bending and impact conditions, the strength was around the pure polymer and little smaller of the concrete and wood. In contrast, the stiffness was much lower in comparison to traditional materials, their worst characteristic. These problems could be overcome through the study of polymeric blends, adding high modulus and strength fibers and charges and adding ribs. Then the recycled polymer could be applied as a structural element. Keywords: Recycled polymers. Structural members. Recycled high density polyethylene. Strength. Stiffness.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected]

Lívia Matheus Candian & Antônio Alves Dias


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1 INTRODUÇÃO E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Atualmente, projetistas e engenheiros trabalham com os plásticos porque eles oferecem combinações de vantagens não encontradas em outros materiais, tais como baixo peso específico, resiliência, resistência à deterioração por decomposição e ataque de microorganismos, resistência à corrosão, resistência mecânica, transparência, facilidade de processamento e baixo custo de manutenção.

A utilização dos polímeros na construção civil existe há bastante tempo, porém é mais usual em elementos não estruturais, como, por exemplo, nas tubulações de água e de esgoto, telhas plásticas, calhas, esquadrias, etc. Entretanto, o alto consumo de energia na produção de metais e de cimento, a pressão contra a utilização da madeira tropical e o baixo custo do plástico reciclado estimularam sua inserção na construção civil, em estruturas que antigamente eram constituídas apenas de madeira, de aço ou de concreto.

Os plásticos mais utilizados para reciclagem são constituídos basicamente por termoplásticos, que por sua vez são os empregados na Engenharia. Segundo Spinacé et al. (2005), dentre os termoplásticos, o PEAD e o PP apresentaram um aumento significativo de volume e de taxa de crescimento, quando comparado com o aumento do PEBD e do PS, e em relação ao PVC, que apresentou uma diminuição nesses valores, no período de 1982 a 2002. O PE e o PP são os termoplásticos mais procurados pelas empresas que atuam nesse setor, elas reciclam de 20 a 50 t/mês, em média.

Por meio de ensaios específicos é possível determinar as propriedades, a composição e o desempenho dos materiais poliméricos. Com a diversificação dos plásticos em aplicações de engenharia, as técnicas para caracterização dos polímeros tiveram um grande avanço nos últimos 15 anos.

A calorimetria exploratória diferencial, DSC, também conhecida por calorimetria diferencial de varredura, é uma das técnicas de análise térmica que têm sido largamente empregadas na caracterização de diversos tipos de materiais.

A análise termogravimétrica, TG, no campo de materiais poliméricos, vêm sendo largamente empregada desde a década de 60, no desenvolvimento de diversos tipos de estudos, relacionados à variação de massa, em função do tempo ou da temperatura (Canevarolo, 2004).

O objetivo principal desta pesquisa foi determinar as propriedades mecânicas de resistência e de rigidez de um material polimérico reciclado, constituído basicamente de polietileno de alta densidade (PEAD).

2 MATERIAIS E MÉTODOS

Para a realização dos ensaios, bem como confecção dos corpos de prova, foram utilizados os procedimentos da ASTM. Os ensaios foram realizados no Centro de Caracterização e Desenvolvimento de Materiais – CCDM, no Laboratório de Ensino da Área de Polímeros e no Laboratório de Análises Térmicas do Departamento de Engenharia de Materiais – DEMa, da Universidade Federal de São Carlos – UFSCar, e no Laboratório do Departamento de Materiais, Aeronáutica e Automobilística – SMM, da EESC – USP.

2.1 Materiais utilizados

Para estudar o polietileno de alta densidade reciclado disponível no mercado, adquiriram-se quatro amostras de cores distintas de péletes de PEAD reciclado, provenientes de embalagens

Estudo do polietileno de alta densidade reciclado para uso em elementos estruturais


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moldadas a sopro. As amostras foram ensaiadas quanto à presença de possíveis contaminantes (Ensaio de Beilstein e Ensaio de DSC). Com base no grau de cristalinidade, obtido no ensaio de DSC, foram escolhidas as amostras que mais se afastam do PEAD puro (branca e verde), para se ter uma idéia da composição dos materiais reciclados disponíveis no mercado.

Figura 1 – Péletes de PEAD: vermelho, azul, branco, verde.

2.2 Calorimetria exploratória diferencial

Para determinar a temperatura e a entalpia de fusão e de cristalização, foram utilizadas, em conjunto, as seguintes normas da ASTM: D 3417 (99) Standard Test Method for Enthalpies of Fusion and Crystallization of Polymers by Differential Scanning Calorimetry (DSC) e D 3418 (99) Standard Test Method for Transition Temperatures of Polymers by Differential Scanning Calorimetry. Este ensaio foi realizado no DEMa.

O equipamento utilizado para realização deste ensaio foi o Perkin-Elmer Modelo DSC 7, com faixa de temperatura de 150ºC, configuração de fluxo de calor. Os parâmetros utilizados para realização do ensaio de DSC estão listados na tabela 1.

Tabela 1 – Característica das amostras

Faixa de Temperatura (ºC) Data do ensaio Amostra

Peso da amostra

(mg)

Taxa de Aquecimento

(ºC/min) Início Fim

Vazão (N)

19-05-2006 Branca 8,06 18-05-2006 Azul 6,83 19-05-2006 Vermelha 8,11 19-05-2006 Marrom 7,55 19-05-2006 Verde 7,67

10

25 280

15

2.3 Termogravimetria

As curvas termogravimétricas (TG) e termogravimétricas derivadas (DTG) foram obtidas em um módulo termogravimétrico Hi-RES TG 2950, acoplado a um analisador térmico TA2000. A massa da amostra, antes e durante a realização do ensaio, foi constantemente monitorada por uma termobalança. Este ensaio foi realizado no Centro de Caracterização e Desenvolvimento de Materiais,



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CCDM, da UFSCar. Os parâmetros utilizados para realização do ensaio de TG estão listados na Tabela 2.

Tabela 2 – Característica da amostra verde, ensaio de TG

Faixa de Temperatura (ºC)Data do

ensaio Amostra Peso da amostra

(mg)

Taxa de Aquecimento

(ºC/min) Início Fim

Vazão (mL/min)

07-06-2006 Verde 14,0940 18-06-2007 Branco 10,9043

10 25 600 50

2.4 Ensaio mecânicos

Para a fabricação dos corpos de prova, foi escolhida a extrusão. Após a extrusão, os corpos-de-prova foram usinados, para obter as dimensões prescritas pelos padrões da ASTM, procedimentos realizados com cuidado para não alterar as propriedades do material em estudo.

2.4.1 Confecção dos corpos de prova Foi utilizada a extrusora monorrosca para termoplásticos reciclados, com capacidade de

produção 120 kg/h. Foram confeccionados três matrizes de calibração e três calibradores, devido às dimensões dos corpos de prova. Para os corpos de prova de tração e de impacto, utilizou-se o mesmo perfil, pois eles possuem a mesma espessura.

O equipamento utilizado para a usinagem do estreitamento da parte central do corpos de prova de tração foi a Frezadora Universal AZERF ASA/79 1.

Os corpos de prova de impacto foram obtidos a partir dos corpos de prova de tração, reduzindo a largura com a mesma frezadora. Para a execução do entalhe, utilizou-se a fresa entalhadora para usinagem de corpos de prova de impacto do tipo Izod/Charpy, marca CEAST, modelo Notchvis. A entalhadora é motorizada, com entalhes padronizados segundo a norma ASTM D 256-04.

2.4.2 Ensaio de tração O ensaio de tração foi realizado de acordo com o procedimento da ASTM D 638 (03) Standard

Test Method for Tensile Properties of Plastics. As dimensões do corpos de prova, como mostrado na figura 2, estão de acordo com o tipo I da norma referida.

Figura 2 – Corpo de prova tipo I (dimensões em mm). Fonte: ASTM D 638 – 03.

Os ensaios de tração nos corpos de prova de PEAD foram realizados no Laboratório do Núcleo de Ensaios de Materiais e Análise de Falhas (NEMAT), SMM. O equipamento utilizado foi a máquina de ensaio



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universal EMIC™, modelo DL 10000, com célula de carga com capacidade de 1000 N interligada ao software Tesc – versão 1.13, que registrava valores de deslocamento e de força.

2.4.3 Ensaio de compressão O ensaio de compressão foi realizado de acordo com o procedimento da ASTM D 695 2(a)

Standard Test Method for Compressive Properties of Rigid Plastics. O corpo de prova utilizado no ensaio de compressão possui seção cilíndrica, com altura equivalente ao dobro do diâmetro (figura 3).

Figura 3 – Corpo de prova submetidos à compressão.

O ensaio de compressão foi realizado no Laboratório do Núcleo de Ensaios de Materiais e Análise de Falhas (NEMAT) do SMM. O equipamento utilizado foi à máquina de ensaio universal EMIC™, modelo DL 10000, com célula de carga com capacidade de 1000 N interligada ao software Tesc – versão 1.13, que registrava valores de deslocamento e de força.

2.4.4 Ensaio de flexão O ensaio de flexão foi realizado de acordo com o procedimento da ASTM D 790 (03) Standard

Test Method for Flexural Properties of Unreinforced and Reinforced Plastics and Electrical Insulating Materials.

Para a realização deste ensaio, adotou-se o procedimento A, pois é o método utilizado quando se deseja obter propriedades de flexão, mesmo prevendo que o material suportaria grandes deslocamentos durante o ensaio, situação em que é mais indicado o procedimento B.

De acordo com a tabela 3 da ASTM D 790 (03), foram definidos os seguintes parâmetros para o corpo-de-prova de flexão.

Tabela 3 – Característica dos corpos de prova de flexão

L/d = 16

Largura (mm)

Comprimento(mm)

Distância entre apoios

(mm) Vão da carga

(mm) Altura

6,4 mm

12,7 127 102 51



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Figura 4 – Corpo de prova mais usual para o ensaio de flexão (dimensões em mm). Fonte: ASTM D 790 – 03.

O ensaio de flexão foi realizado no Laboratório do Núcleo de Ensaios de Materiais e Análise de Falhas (NEMAT) do SMM. O equipamento utilizado foi à máquina de ensaio universal EMIC™, modelo DL 10000, com célula de carga com capacidade de 1000 N interligada ao software Tesc – versão 1.13, que registrava valores de deslocamento e de força.

2.4.5 Ensaio de impacto O ensaio de impacto Izod foi realizado de acordo com o procedimento da ASTM D 256-04

Standard Test Method for Determining the Izod Pendulum Impact Resistence of Plastics, que se refere aos corpos de prova providos de entalhe. A energia de ruptura dos polímeros ao impacto pode ser quantificada em termos de joule por metro (J/m) e/ou kilojoule por metro quadrado (J/m2).

Figura 5 – Corpo de prova provido de entalhe (dimensões em mm). Fonte: ASTM D 256 – 04.

Após 24 horas da execução do entalhe, tempo de condicionamento, foram realizados os ensaios de Impacto Izod nos corpos de prova de PEAD, no Laboratório do DEMa. O equipamento utilizado foi a máquina de impacto instrumentada, marca CEAST, modelo RESIL 25R, provida de um martelo que liberou uma energia de 2 J. A perda de energia do pêndulo por atrito corresponde a 0,024 J. O método de ensaio escolhido foi o tipo A da norma consultada.

3 DESENVOLVIMENTO

Primeiramente, realizou-se o ensaio de identificação de halogênio (Beilstein), para evitar possíveis danos aos equipamentos durante a realização dos ensaios termoanalíticos e detectar a possível contaminação com poli (cloreto de vinila). Ele foi complementado pelo ensaio termoanalítico DSC, a fim de verificar se havia a presença de possíveis contaminantes, nas amostras de PEAD reciclado. Logo após, foram escolhidas as amostras que mais se afastavam do polietileno de alta densidade puro, com base no grau de cristalinidade, e realizada a TG, para se ter uma idéia da composição dos materiais reciclados disponíveis no mercado. Para essas amostras, foram determinadas as propriedades mecânicas do PEAD reciclado, por meio dos ensaios de: tração, compressão, flexão estática e impacto.



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3.1 Ensaios termoanalíticos

No ensaio de DSC, as amostras foram submetidas a uma atmosfera de gás nitrogênio super seco, para manter constante a composição da atmosfera do forno. A vazão contínua foi mensurada por meio da pressão obtida por um manômetro, por isso ela foi fornecida em Newton (N), já que o equipamento utilizado não era provido de fluxômetro. Entretanto, na maioria dos equipamentos de DSC, a vazão varia entre 10 a 50mL/min.

Os resultados dos ensaios: temperatura de fusão cristalina (TM), entalpia de fusão (ΔH), temperatura no início da fusão (Tonset) e grau de cristalinidade (χ), bem como as curvas de DSC, foram fornecidos por um software acoplado ao calorímetro diferencial de varredura.

Antes de realizar o ensaio de TG, o equipamento foi calibrado com uma amostra de alumínio, como referência. A calibração do equipamento é feita por meio da temperatura correspondente ao início da fusão (Tonset), que é em torno de 645ºC, e é obtida pela tangente ao pico da temperatura de decomposição da curva DTG.

3.2 Ensaios mecânicos

Os ensaios mecânicos foram realizados em ambiente climatizado com temperatura em torno de 23ºC e umidade de 50%, seguindo os padrões normativos. Foram ensaiados 10 corpos de prova, para cada tipo de ensaio, tração, compressão, flexão e impacto, e para cada tipo de coloração de pélete: verde e branco.

3.2.1 Ensaio de tração Metade dos corpos de prova (cinco fabricados com o pélete verde e cinco com o branco) foram

ensaiados com velocidade de deslocamento de 5 mm/min, apenas para medir o módulo de elasticidade. O deslocamento foi quantificado por meio de um extensômetro eletrônico EMIC, modelo EEPA, com base de medida de 50 mm, posicionado na região central do corpo de prova. O resultado obtido corresponde à tensão e à deformação nos pontos 0,05% e 0,25% de deformação, segundo a ISO 527-1.

Os demais corpos de prova foram submetidos a uma velocidade de deslocamento de 50 mm/min para determinação da tensão e da deformação no escoamento, tensão e deformação na ruptura e alongamento na ruptura. O deslocamento foi obtido com a utilização de um transdutor indutivo de deslocamento, acoplado á máquina. O ensaio foi conduzido dessa maneira, pois a ASTM D 638 – 03 exige que o módulo seja obtido à velocidade de 5 mm/min, já para os demais parâmetros não há essa exigência, e sim que a duração dos ensaios esteja entre ½ e 5 minutos.

3.2.2 Ensaio de compressão Todos os corpos de prova de PEAD, dez de coloração verde e dez de coloração branca, foram

submetidos a uma velocidade de deslocamento de 1,3 mm/min. Os deslocamentos foram obtidos com a utilização de um transdutor de deslocamento acoplado à máquina de ensaio universal EMIC™.

Devido às dificuldades encontradas durante o processo de moldagem, obtiveram-se corpos de prova de compressão com seções transversais diferentes das dimensões prescritas pela ASTM D 695 2(a), 12,7mm de diâmetro. Por esse motivo, utilizou-se um estéreo microscópio Carlzeiss, modelo Citoval II, acoplado a um aquisitor digital de imagem, para obter as seções transversais dos corpos de prova, que foram quantificadas com a utilização de um software de analisador de imagem digital, Image Pró Pluss – versão 4.5.



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3.2.3 Ensaio de flexão A velocidade de ensaio e o deslocamento máximo, para todos os corpos de prova de PEAD, dez de

coloração verde e dez de coloração branca, foi 2,8 mm/min e 3,55 mm respectivamente. Esses parâmetros foram obtidos por meio das equações 1 e 2 da ASTM 790-03, admitindo a deformação máxima permitida de 5%, e a taxa de deformação de 0,01 mm/mm/min, na superfície oposta ao carregamento.

O raio das superfícies em contato com o corpo de prova foi de 3,42 mm, dentro do limite permitido pela norma referida.

O deslocamento máximo foi obtido com a utilização de um transdutor de deslocamento, acoplado à máquina de ensaio universal EMIC™.

3.2.4 Ensaio de impacto Foram ensaiados dez corpos de prova fabricados com o pélete de cor verde e dez fabricados

com o pélete de cor branca. A energia de impacto, expressa em J/m e/ou kJ/m2, foi obtida por meio da energia utilizada para romper o corpo de prova. Ela foi registrada no mostrador eletrônico da máquina de impacto instrumentada CEAST.

4 RESULTADOS OBTIDOS E ANÁLISE

4.1 Ensaio de Beilstein

O ensaio de Beilstein não detectou vestígio de contaminação com poli (cloreto de vinila) (PVC) em todas as amostras: branca, azul, vermelha, marrom e verde. Isto pode ser comprovado pela permanência da coloração amarela da chama.

4.2 Calorimetria exploratória diferencial

As curvas de DSC, obtidas para as cinco amostras de PEAD, estão ilustradas na Figura 6. A tabela 4 apresenta os resultados obtidos para todas as amostras, isto é, temperatura de

fusão cristalina (TM), entalpia de fusão (ΔH), temperatura no início da fusão (Tonset) e o grau de cristalinidade (χ).

As curvas de DSC obtidas para todas as amostras apresentam apenas um pico de fusão, que varia entre 129,8 ºC (amostra marrom) e 135,5 ºC (amostra branca). A presença de um único pico de fusão na temperatura de fusão do PEAD, em torno de 137ºC Sichieri (1996 apud, Silva 2003), comprova a isenção de possíveis contaminantes, como PET e PP. O formato do pico de fusão está bem definido para todas as curvas de DSC, comprovando que o material fornecido pela Reciclagem Nova Ribeirão é bastante uniforme, mesmo apresentando variação na coloração.

Devido à uniformidade das amostras, escolheu-se apenas o PEAD verde e o branco para determinar a composição por meio do TG e realizar os ensaios mecânicos. Esta escolha se deu por eles apresentarem um grau de cristalinidade mais distante do PEAD puro, entre 75 a 95 % (Canevarolo, 2004), isto é, foram utilizados os materiais reciclados de pior qualidade, com o intuito de não obter características de resistência superiores às dos materiais disponíveis no mercado.



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(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 6 – Curvas obtidas nos ensaios de DSC das amostras de PEAD das cores: (a) branca, (b) azul, (c) marrom, (d) verde e (e) vermelha.

Tabela 4 – Resultados do ensaio de DSC

Amostra TM (ºC) ΔH (J/g) Tonset (ºC) χ (%) Branca 135,5 160,7 123,9 55

Azul 130,9 182,4 122,4 62 Vermelha 130,6 172,8 122,3 59 Marrom 129,8 170,5 122,6 58 Verde 131,4 148,2 123,5 51



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4.3 Termogravimetria

O resultado desta análise térmica é mostrado sob a forma de um gráfico relacionando a massa residual com a temperatura, figura 7.

(a)

(b)

Figura 7 – Curvas TG (_ _ _) e DTG (_____): (a) amostra PEAD verde sob atmosfera dinâmica de N2. Massa da amostra 14,0940 mg, vazão de gás 50 ml/min, suporte da amostra de alumina, razão de aquecimento 10ºC/min;

(b) amostra PEAD branca sob atmosfera dinâmica de N2. Massa da amostra 10,9043 mg, vazão de gás 50 ml/min, suporte da amostra de alumina, razão de aquecimento 10ºC/min.

As amostras de PEAD verde e branco apresentaram comportamentos semelhantes. Por isso, os resultados serão apresentados simultaneamente. A amostra verde (e a branca) não apresenta mudança em sua massa até a temperatura de 290ºC (e 320 ºC). A partir dessa temperatura, observa-se uma diminuição acentuada de sua massa inicial, até por volta de 510ºC (520ºC). Nesse intervalo de temperatura, a amostra perde 98,23% (97%) de sua massa inicial, devido à decomposição/degradação do polímero. A temperatura de decomposição do polímero, medida no pico da curva DTG, é de 480,8ºC (481ºC). Entre 510ºC e 600ºC (520ºC e 600ºC), a curva TG exibe um patamar, onde não há perda significativa de massa. O teor de resíduos estáveis a 600ºC é de 1,77 % (3%), que equivale a 0,25 mg (0,33mg) da amostra utilizada.

Essa pequena porcentagem de resíduos, tanto na amostra de PEAD de coloração verde quanto na amostra de coloração branca, pode corresponder à pigmentação inorgânica ou a um aditivo lubrificante. Elas não são significativas, pois em uma resina virgem, sua pigmentação pode corresponder a até 3% da massa.

4.4 Extrusão

Os corpos de prova obtidos da extrusão apresentaram alguns defeitos como “rechupes” e bolhas. Esses defeitos ocorreram devido às dificuldades encontradas durante a extrusão do PEAD reciclado. Segundo Osorio3 (2007), as principais dificuldades encontrada podem ter sido decorrentes de (informação verbal):

• Utilização de polietileno não adequado. Foi empregado PEAD para moldagem a sopro, que é mais apropriado para a extrusão de perfis vazados com paredes finas ou perfis de pequena espessura, como no caso dos corpos de prova de tração.

3 Informação fornecida por Luciano Souza Osorio, em São Carlos, em 2007.



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• A porosidade apresentada nas faces cortadas dos corpos de prova pode ser proveniente de umidade; provavelmente, este aspecto poderia ser melhorado aquecendo o material no aglutinador, antes de ser colocado no silo de alimentação;

• A rosca utilizada não possui características propícias ao material empregado. Deveria possuir diâmetro menor, em torno de 30 mm, para se conseguir maior produção. O aumento da produção corresponde a um menor tempo de material no canhão, aquecendo menos e resfriando mais rápido, ao entrar no sistema de resfriamento;

• Outra característica da rosca que dificultou a extrusão do polietileno foi o diâmetro interno constante, isto é, a taxa de compressão utilizada foi de 1 para 1. O ideal seria possuir taxa de compressão em torno de 3,5 para 1. Nesse caso, haveria maior compactação do material, diminuindo-se a porosidade, já que os gases gerados no aquecimento voltariam à entrada da extrusora, evitando a formação de bolhas.

4.5 Ensaios mecânicos

A Tabela 5 apresenta uma compilação de todos os resultados obtidos em ensaios mecânicos, tais como: tração, compressão, flexão em três pontos e impacto. Todos os valores médios com seus respectivos desvios padrões se referem a 10 corpos de provas ensaiados em sua respectiva condição.

Tabela 5 – Propriedades mecânicas das amostras de PEAD branca e verde

Resultados Parâmetros mecânicos

PEAD - Branco PEAD - Verde

TRAÇÃO Tensão no escoamento (MPa)* 21,85 ± 0,37 22,24 ± 0,66 Deformação no escoamento (mm/mm) 0,168 ± 0,008 0,170 ± 0,009 Tensão na ruptura (MPa) 14,15 ± 0,28 ** 15,36 ± 0,92 Deformação na ruptura (mm/mm) > 6,54 ± 0,15 4,38 ± 2,95 Alongamento na ruptura (%) > 654 ± 15 438 ± 295 Módulo de elasticidade tangente (MPa) 598 ± 8 547 ± 11

COMPRESSÃO Resistência (MPa)*** 26,20 ± 1,19 28,72 ± 2,72 Tensão no escoamento (MPa) 14,11 ± 0,63 14,25 ± 0,87 Deformação no escoamento (mm/mm) 0,041 ±0,003 0,049 ± 0,007 Tensão de escoamento deslocada (MPa) 16,84 ± 0,52 16,69 ± 0,71 Módulo de elasticidade (MPa) 300 ± 20 245 ± 34 Resistência (MPa) 26,20 ± 1,19 28,72 ± 2,72

FLEXÃO Força máxima correspondente a 5% de deformação (N) 48 ± 2 72 ± 2

Módulo de Elasticidade Tangente (MPa) 805 ± 25 719 ± 23 Resistência correspondente a 5% de deformação (MPa) 17,64 ± 0,35 18,73 ± 0,37

IMPACTO Resistência (J/m) 137,3 8,3 Resistência (kJ/m2) 13,2 0,8 * A tensão máxima ocorreu no escoamento. ** Ensaio foi interrompido, pois foi atingido o final do cursor da máquina. *** Tensão máxima

Em relação aos parâmetros obtidos nos ensaios de tração, ressalta-se que o PEAD reciclado

possui um comportamento dúctil, devido aos valores elevados de deformação e/ou alongamento antes



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da ruptura dos corpos de prova. A estricção inicia-se quando é atingida a tensão máxima, e prolonga-se por toda a extensão do corpo de prova, com seção reduzida, pois o material apresenta comportamento de estiramento a frio. Segundo Agnelli (2005) no PEAD, geralmente a tensão na ruptura é superior à tensão no escoamento, proveniente de uma orientação molecular intensa, informação verbal. Esse comportamento evidencia que a orientação molecular não é tão intensa para o PEAD testado.

Os corpos de prova de tração de PEAD branco apresentaram um comportamento bastante uniforme, pois atingiram o alongamento conforme a norma ASTM D638-03, deformando até o final do cursor da máquina universal de ensaios. Entretanto, os corpos de prova de coloração verde apresentaram valores de alongamento na ruptura bastante distintos, fato este corroborado pelo elevado valor do desvio padrão.

Os resultados obtidos em ensaios de compressão apresentam que o módulo de elasticidade da amostra branca foi maior que o da verde, devido a primeira ter maior grau de cristalinidade.

Os ensaios de flexão a 3 pontos foram concluídos para a deformação máxima de 5%, posto que a ruptura não ocorreu antes dessa deformação.

Considerando o desvio padrão, o PEAD de coloração branca apresentou menor valor de energia de impacto, conforme esperado, pois a resistência de impacto diminui com o aumento do grau de cristalinidade, indicado na Tabela 4. O PEAD reciclado apresentou resistência ao impacto Izod muito próximo do valor encontrado para o PEAD puro comprovando que a resistência ao impacto não foi influenciada pelas inúmeras variáveis que geralmente interferem no ensaio de impacto como grau de cristalinidade, temperatura de moldagem, velocidade de ensaio, etc.

Todos os corpos de prova ensaiados resultaram em ruptura completa. A resistência ao impacto Izod não deve ser considerada separadamente para quantificar a resistência mecânica do material, pois existem polímeros que são sensíveis ao entalhe, porém possuem elevadas propriedades mecânicas como, por exemplo, o nylon e o poliacetal, Dalfré (2007).

Para comparação de propriedades do PEAD, foram escolhidos o concreto e a madeira (Tabela 6). O primeiro por ser o material estrutural mais empregado na construção civil, e a madeira, por ser o material tradicionalmente usado em aplicações para as quais se pretende utilizar os polímeros reciclados, tais como mourões, cruzetas, dormentes, etc.

Tabela 6 – Valores médios do PEAD, do concreto e da madeira

Material Resistência à compressão(Mpa)

Módulo de Elasticidade (MPa)

PEAD virgem 17 (i) 1040 (ii)

PEAD reciclado branco 26,20 805

Concreto 32 (iii) 23800 (iv) Madeira Eucalyptus

grandis 40,3 12813 (v)

(i) Fonte: www.planetaplastico.com.br/litera/prop_fisicas. (ii) Módulo de elasticidade à flexão. Fonte: http://www.ipq.com.br/index.php ?secao=catalogo&resina=pead&processo= 9&produto=10. (iii) Concreto Classe C25 e desvio padrão de 4 MPa. Fonte: NBR 12655 (1996).

(iv) Módulo de elasticidade secante (Ec = 0,85 x 5600 fck1/2). Fonte: NBR 6118 (2003).

(v) Módulo de elasticidade à compressão. Fonte: NBR 7190 (1997).



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Considerando que a resistência à compressão do PEAD reciclado corresponde a 82% do concreto e a 65% da madeira, uma possível aplicação do PEAD reciclado seria em elementos estruturais robustos submetidos à compressão, como coluna para marinas. Porém, em relação ao módulo de elasticidade, o PEAD reciclado representa uma porcentagem muito pequena com relação ao concreto e à madeira, e, portanto, sua rigidez precisa ser majorada.

Nos materiais poliméricos, o módulo de elasticidade à compressão gira em torno de 1,1 vezes o módulo de elasticidade à flexão, (Nielsen, 1994). Utilizou-se o módulo de elasticidade à flexão do PEAD reciclado para comparar com o concreto e com a madeira, devido ao ensaio de compressão ter sido prejudicado pelas dimensões dos corpos de prova.

Essa deficiência pode ser aprimorada pela adição de cargas minerais e fibras de elevado módulo e resistência mecânica ou com a utilização de blendas poliméricas. Conforme apresentado na Tabela 7, os materiais reforçados com fibras de vidro apresentam um módulo de elasticidade muito superior, quando comparados com os materiais sem reforço. Aumentando assim a rigidez e a resistência à tração e à compressão na ruptura, o PEAD pode ser equiparado com os materiais estruturais empregados na construção civil. Na Tabela 8, pode-se perceber também que a resistência à tração e à compressão é bastante maior para os materiais com reforço. Além disto, a incorporação de fibras poliméricas e cargas na matriz também promovem o aumento da estabilidade dimensional.

Tabela 7 – Módulo de elasticidade típico (à temperatura ambiente) [7]

Material Módulo de Elasticidade (GPa)

Compostos grafite-epóxi 280 Aço 210 Alumínio 70 Epóxi reforçado com fibra de vidro 40 Poliéster reforçado com fibra de vidro 14 Nylons reforçado com 30% de fibra de vidro 10 Acrílicos 3,5 Resinas epóxi 3,1 Acetal copolímero 2,9 Polietileno de alto peso molecular 0,7

Tabela 8 – Valores médios de propriedades mecânicas de alguns materiais [3]

Material Tensão à tração na ruptura (MPa)

Tensão à compressão na ruptura (MPa)

Aço para construção civil ≥ 370 370 Concreto 1,5 – 3,5 20 – 40

Plástico rígido não reforçado 10 – 150 7 – 200 Plásticos reforçados 200 –1000 150 – 500 A incorporação de nervuras ou costelas de reforço é uma alternativa que pode contribuir no

aumento da rigidez e da resistência mecânica do PEAD, (Dalfré, 2007). Porém deve-se ter cuidado com as espessuras das costelas de reforço, pois, conforme discutido anteriormente, a extrusão do PEAD é indicada apenas para perfis de paredes finas, por ele ter baixa rigidez e um processo de resfriamento muito lento.



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5 CONCLUSÕES

Constatou-se que os materiais reciclados não diferem muito entre si, mesmo possuindo coloração bastante distinta, pois todas as amostras são isentas dos contaminantes comumente encontrados nos materiais reciclados, como PVC, PET e PP.

Pode-se comprovar também, por meio do ensaio de TG, que o PEAD reciclado é praticamente puro. A porcentagem de resíduos inorgânicos, que não é significativa, pode corresponder à pigmentação inorgânica ou algum aditivo.

As dificuldades encontradas no processamento do PEAD foram as principais responsáveis pelas diferenças das propriedades mecânicas entre o PEAD puro e o reciclado. Portanto, com material e equipamento apropriado, além de diminuir a porosidade, poderia ser utilizada menor temperatura durante o processamento dos corpos-de-prova, resfriando mais rápido e evitando a ocorrência de bolhas e “rechupes”, obtendo também maior produção.

O PEAD reciclado possui um comportamento dúctil quando submetido à tração e à compressão. Devido a esse comportamento quando ensaiado à tração, ele apresenta características típicas do material virgem, baixo módulo de elasticidade, baixa tensão de escoamento, porém elevada elongação. Além disso, apresenta o comportamento de estiramento a frio. Porém a tensão à tração na ruptura do corpo de prova é inferior à tensão à tração no escoamento, devido a sua orientação molecular não ser intensa.

Como o material não rompeu até a deformação máxima permitida, 5%, no ensaio de flexão, a resistência obtida corresponde a essa deformação.

O PEAD reciclado apresentou resistência ao impacto Izod muito próximo ao valor obtido na referência, para o PEAD puro. Comprovando que a resistência ao impacto não foi influenciada pelas inúmeras variáveis que geralmente interferem no ensaio de impacto. Todos os corpos-de-prova ensaiados resultaram em ruptura completa.

O módulo de elasticidade do PEAD branco foi maior que o verde, para os ensaios de tração, de compressão e de flexão, pois nesses ensaios o módulo aumenta com o grau de cristalinidade. Entretanto, a resistência ao impacto tem o comportamento oposto, por isso que o PEAD branco apresentou menor valor de energia de impacto quando comparado ao PEAD verde, considerando o desvio padrão.

Conforme previsto para os materiais termoplásticos, o módulo de elasticidade de flexão foi maior que o módulo de elasticidade de tração. Entretanto, o módulo de elasticidade de compressão fugiu dos padrões, pois foi menor que o módulo de flexão e até mesmo que o módulo de tração. Entretanto, ambos os módulos de elasticidade, à tração e à compressão, comparados com o módulo à flexão, estão distantes da referência bibliográfica (Nielsen; Landel, 1994). Entretanto, diferença do módulo à tração, quando comparado ao módulo à flexão, é muito pequena, em torno de 7% para os corpos-de-prova brancos. Já para os corpos-de-prova submetidos à compressão, essa diferença é significativa, fato que pode ter ocorrido devido às dimensões dos corpos-de-prova de compressão estarem distantes das prescrições normativas, além da presença de bolhas e de “rechupes”.

A resistência à compressão do PEAD reciclado não é muito pequena, quando comparada com a resistência do concreto e da madeira. Por isso, uma possível aplicação do PEAD seria em elementos estruturais robustos, submetidos à compressão. Porém, em relação à rigidez, o PEAD reciclado apresenta resultados muito pequenos, quando comparados aos materiais estruturais geralmente empregados na construção civil. Essa deficiência pode ser minorada pela adição de cargas minerais e fibras de elevado módulo e resistência ou com a utilização de blendas poliméricas. Além de aumentar também a resistência à tração e à compressão.



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6 AGRADECIMENTOS

Ao CNPq, pela concessão da bolsa de Mestrado concedida à primeira autora, à FAPESP, pelo auxílio financeiro que propiciou o desenvolvimento da pesquisa, ao professor Libânio Miranda Pinheiro que junto com a empresa IPEX, de São Carlos, confeccionaram os corpos-de-prova e aos professores, José augusto Marcondes Agnelli e Dirceu Spinelli, que cederam os laboratórios, DEMa – UFSCar e SMM – EESC/USP, viabilizando a execução dos ensaios experimentais.

7 REFERÊNCIAS

AGNELLI, J. A. M. Introdução a materiais poliméricos. São Carlos: Engenharia de Materiais/ DEMa/ UFSCar, 2005. (Notas de aula).

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AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D3418-99: Standard Test Method for Transition Temperatures of Polymers by Differential Scanning Calorimetry, 1999.

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D695-02a: Standard Test Method for Compressive Properties of Rigid Plastics, 2002.

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D638-03: Standard Test Method for Tensile Properties of Plastics, 2003.

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D790-03: Standard Test Methods for Flexural Properties of Unreinforced and Reinforced Plastics and Electrical Insulating Materials, 2003.

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. D256-04: Standard Test Methods for Determining the Izod Pendulum Impact Resistance of Plastics, 2004.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 12655: Concreto – Preparo, controle e recebimento. Rio de Janeiro, 1996.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7190: Projeto de Estruturas de Madeira. Rio de Janeiro, 1997.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NB 6118: Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003.



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BERNAL, C.; BOLDARINI, A.; BREVIGLIERI, S. T.; CAVALHEIRO, E. T. G. Influência de alguns parâmetros experimentais nos resultados de análises calorimétricas diferenciais – DSC. Química Nova, v. 25, n. 5, p. 849-855, 2002. Disponível em: <http://www.quimicanova.sbq.org.br/qnol/2002/vol25n5/22.pdf>. Acesso em 16 mar 2006.

CANDIAN, L. M. Estudo do polietileno de alta densidade reciclado para uso em elementos estruturais. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2007.

CANEVAROLO JR., S. V. Técnicas de caracterização de polímeros. São Paulo: Editora Artliber ABPol, 2004.

DALFRÉ, G. M. Cruzetas de polímeros reciclados: caracterização dos materiais, análise numérica e ensaios de modelos reduzidos. 2007. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2007.

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ISSN 1809-5860


AVALIAÇÃO DE FORMULAÇÕES DO MEC NA MECÂNICA DA FRATURA LINEAR E COESIVA

Daniane Franciesca Vicentini1 & Wilson Sergio Venturini2

R e s u m o No contexto do método dos elementos de contorno, este trabalho apresenta comparativamente três formulações em distintos aspectos. Visando a análise de sólidos bidimensionais no campo da mecânica da fratura, primeiramente é estudada a equação singular ou em deslocamentos. Em seguida, a formulação hiper-singular ou em forças de superfície é avaliada. Por último, a formulação dual, que emprega ambas equações é analisada. Para esta análise, elementos contínuos e descontínuos são empregados, equações numéricas e analíticas com ponto fonte dentro e fora do contorno são testadas, usando aproximação linear. A formulação é inicialmente empregada a problemas da mecânica da fratura elástica linear e em seguida extendida a problemas não-lineares, especialmente o modelo coesivo. Exemplos numéricos diversos averiguam as formulações, comparando com resultados analíticos ou disponíveis na literatura. Palavras-chave: Fratura. Método dos Elementos de Contorno. Modelo dual. Mecânica da Fratura Elástica Linear. Modelo coesivo.

BOUNDARY ELEMENT FORMULATIONS APPLIED TO FRACTURE

MECHANICS

A b s t r a c t In this work three boundary element formulations applied to fracture mechanics are studied. Aiming the analysis of two-dimensional solids with emphasis on the crack problem, the first considered method is the one based on using displacement equations only (singular formulation). The second scheme discussed in this work is a formulation based on the use of traction equations (hyper-singular formulation). Finally the dual boundary element method that uses singular and hyper-singular equations is considered. The numerical schemes have been implemented using continuous and discontinuous linear boundary and crack elements. The boundary and crack integral were all carried out by using analytical expressions, therefore increasing the accuracy of the algebraic system obtained for each one of the studied schemes. The developed numerical programs were applied initially to elastic fracture mechanics and then extended to analyze cohesive cracks. Several numerical examples were solved to verify the accuracy of each one of the studied models, comparing the results with the analytical solutions avaliable in the literature. Keywords: Fracture. Boundary Element Method. Dual boundary element method. Linear Elastic Fracture Mechanics. Cohesive crack model.

1 INTRODUÇÃO

Na nossa história são mundialmente conhecidas algumas catástrofes, como a que ocorreu com o Titanic ou com os navios “Liberties”, da Segunda Guerra Mundial, ou ainda com o avião a jato britânico Comet, em 1954, entre outras. Estas impulsionaram o estudo do comportamento de materiais da indústria naval e bélica, melhorando o entendimento do comportamento de certos materiais, como 1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Daniane Franciesca Vicentini & Wilson Sergio Venturini


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o aço, que a baixas temperaturas assume um comportamento frágil. Os estudos avançaram nesse sentido, dando origem ao estudo da ciência hoje conhecida por Mecânica da Fratura. O Método dos Elementos de Contorno (MEC), ferramenta numérica alternativa ao Método dos Elementos Finitos (MEF), é bastante eficiente em problemas que apresentam concentrações de tensões. Especialmente no caso da fratura, o emprego de soluções singulares como ponderadora consegue simular a presença de singularidades na ponta da fissura com maior precisão. Visando o uso do MEC no estudo de sólidos bidimensionais em presença de fissura, estudou-se possíveis formulações, com o objetivo de obter melhorias tanto na qualidade das representações obtidas, particularmente no caso de problemas não-lineares.

2 METODOLOGIA

Neste trabalho, buscou-se melhorar uma ferramenta numérica para o estudo de formação e crescimento de fissuras. Optou-se por utilizar o método da colocação onde a equação de equilíbrio em sua forma integral é escrita para um ponto. Essa formulação é mais simples que outras alternativas, que acabam necessitando de integração dupla para originar matrizes simétricas. No contexto dos métodos de colocação utilizaram-se representações integrais singulares e hiper-singulares, isto é, a representação dos deslocamentos, sua derivada e, posteriormente, se empregou estas equações numa mesma análise em problemas de fratura, constituindo o MECD (Método dos Elementos de Contorno Dual), buscando assim melhorar a precisão do sistema de equações principalmente em problemas não-lineares, e mais especificamente o da fratura coesiva.

3 DESENVOLVIMENTO

Objetivando um estudo das formulações do MEC para a análise do problema de fratura de meios contínuos planos, inicialmente implementou-se a formulação singular, hiper-singular e a dual do método (que emprega as equações singular e hiper-singular). Para a confrontação dos resultados e análise da eficiência de cada um desses procedimentos as equações algébricas dessas formulações foram obtidas com o emprego de integrações analíticas dos elementos da fissura. As formulações, inicialmente escritas para a Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL) foram extendidas à análise com a inclusão do modelo coesivo (cohesive crack model).

3.1 O Método dos Elementos de Contorno (MEC)

A equação diferencial de um problema elástico definido no dominio Ω , com contorno Γ é representada pela equação de equilíbrio:

, 0ij j ibσ + = (1)

onde ijσ representa a componente do tensor de tensões e ib as componentes de forças volumétricas.

No contorno 1 2Γ = Γ + Γ tem-se os seguintes valores prescritos: em 1Γ os deslocamentos

i iu u= e em 2Γ as forças de superfície i ip p= .

A Equação (1) pode ser resolvida analiticamente para um domínio infinito e carga unitária em um ponto qualquer “s”. A solução em termos de deslocamento para esse caso calculada em um ponto “q” qualquer do domínio (solução fundamental) é:

Avaliação de formulações do MEC na mecânica da fratura linear e coesiva


19

( ) ( ) ( )*, ,

1 3 4 ln8 1ij ij i ju r r r

Gν δ

π ν⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦−

(2)

A partir dessa solução pode-se encontrar os demais valores fundamentais do problema: *ilkε ,

*ilkσ e *

ip (componentes de deformação, tensão e força de superfície relativa à superfície Γ ).

A formulação das representações integrais para chegar-se ao MEC pode ser obtida diretamente do teorema da reciprocidade de Betti:

* *ilk lk ilk lkd dσ ε σ ε

Ω Ω

Ω = Ω∫ ∫ (3)

onde os termos com (*) referem-se à solução fundamental e os demais representam um problema real. Integrando esta equação por partes e após várias operações, chega-se à representação integral dos deslocamentos:

* * *ik k ik k ik k ik kc u u p d p u d u b d

Γ Γ Ω

= Γ − Γ + Ω∫ ∫ ∫ (4)

onde ikc é um termo dependente apenas da geometria do contorno (para pontos internos por

exemplo, ik ikc δ= - delta de Kronecker, para pontos externos 0ikc = , etc.)

Essa equação integral pode ser utilizada para representar uma fissura. Para isto basta que o contorno Γ seja composto da parte externa CΓ mais a parte correspondente às faces da fratura. FΓ ,

com C FΓ = Γ + Γ .

Diferenciando-se a Eq. (4), a fim de obter a representação das deformações, utilizando-se a lei de Hooke para a obtenção da equação em tensões, levando-se o ponto fonte para o contorno e aplicando-se a fórmula de Cauchy, chega-se à equação integral de forças de superfície para um ponto de contorno:

12 i j ij j kij k j kij kp n n S u d n D p dσ

Γ Γ

= = − Γ + Γ∫ ∫ (5)

Discretizando-se as Eq. (4) ou Eq. (5), aproximando-se os valores do contorno e da fratura, chega-se ao seguinte sistema algébrico (as variáveis são nodais, tanto dos deslocamentos quanto das forças de superfície):

U U U UCC CF CC CF

C CU U U UFC FF FC FF

F FP P P PFC FF FC FF

H H G GU P

H H G GU P

H H G G

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(6)

onde o índice C é referente ao contorno e o F à fratura. O primeiro índice refere-se ao ponto de colocação e o segundo à variável. Tanto a equação singular em deslocamentos (que é a usual em elementos de contorno, aplicada em diversos problemas elásticos) – Eq. (4), quanto a equação em forças de superfície – Eq.



20

(5), podem ser utilizadas separadamente para escrever as relações algébricas da Eq. (6), porém dentro de determinados limites. Por exemplo, se as faces da fissura estão muito próximas, ou seja, a abertura da fissura tendendo a zero, a equação integral escrita para pontos opostos das faces serão idênticas e, portanto o sistema de equações algébricas correspondentes é singular. Assim é necessário manter um espaçamento mínimo entre as faces da fratura. Uma maneira simples, porém limitada, para uso dessa equação é para o caso particular de fratura na linha de simetria. Esta utilização apresenta grandes limitações de uso, não sendo aplicável ao estudo de propagação. O modelo dual, Portela et al. (1993), propõe a utilização das Eq. (4) e Eq. (5) simultaneamente, cada uma aplicada aos pontos singulares de uma das faces da fissura. Nos pontos de colocação do contorno qualquer uma poderia ser utilizada. Entretanto em problemas usuais verifica-se que a Eq. (4) leva a melhores resultados.

3.2 Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL)

A MFEL tem ampla aplicação em materiais de comportamento frágil, onde praticamente não ocorre deformação plástica antes e durante o processo de surgimento de fissuras. Um sólido com uma fratura pode apresentar um ou mais dos seguintes modos de deformação:

Figura 1 – Modos de deformação.

Quando o sólido apresenta um ou mais destes modos básicos, diz-se que apresenta modo misto de deformação. Considere a Figura 2 abaixo:



21

Figura 2 – Obtenção dos fatores de intensidade de tensão e do ângulo de propagação.

A distribuição de tensões em um elemento infinitesimal próximo à ponta da fissura (Broek, 1984) é dada por:

),(2

),( θπ

θσ rfr

Kr ijij = , 2,1, =ji

(7)

onde r é a distância do elemento infinitesimal (distância muito pequena; esse é o primeiro termo da série de Taylor utilizada para a expansão da solução exata) à ponta da fissura e θ o ângulo indicado na Figura 2. ),( θrf ij são funções trigonométricas conhecidas e K é a constante conhecida por Fator

de Intensidade de Tensão (FIT), e é obtida pela relação:

ayK πσ= (8)

onde y é uma função que depende da geometria do corpo, lugar da fissura e carregamento. Vários trabalhos propõem métodos para obtenção dos fatores de intensidade de tensão e ângulo de propagação da fratura. Para os fatores de intensidade de tensão, a integral J é um dos mais consolidados, consistindo na integração ao redor da fissura, quantificando a taxa de energia disponibilizada para o fraturamento. Anderson (1995), Blandford et al. (1981), Fett e Munz (1997), Martinez e Dominguez (1984) apresentam algumas das técnicas existentes para extração dos Fatores de Intensidade de Tensão. Por simplicidade, neste trabalho optou-se por utilizar os procedimentos que serão descritos nos próximos itens.

3.2.1 Fator de intensidade de tensão De acordo com Aliabadi e Rooke (1992), o campo de deslocamentos nas superfícies da fissura pode ser representado por:



22

πκπθπθ

21)()( 22

rKG

uuCOD I+

=−=−== (9)

O lado esquerdo desta equação é chamado COD (Crack Opening Displacement) e indicará a dimensão da abertura total equivalente ao modo I de abertura (Figura 2). Analogamente, há o termo que caracteriza o deslocamento das faces por modo II, quando ocorre o deslizamento ou cisalhamento entre as faces. Este termo é chamado CSD (Crack Sliding Displacement):

πκπθπθ

21)()( 11

rKG

uuCSD II+

=−=−== (10)

onde

)1()3(

ννκ

+−

= e )43( νκ −=

(11)

para Estado Plano de Tensão (EPT) e de Deformação (EPD), respectivamente.

Após algumas operações algébricas, é possível obter os fatores de intensidade de tensão, KI e KII. Para o EPT tem-se:

rECODK I

π28

= e r

ECSDK IIπ2

8=

(12)

Enquanto que para o EPD tem-se:

rGCODK I

πν

2)1(4 −

= e r

GCSDK IIπ

ν2

)1(4 −=

(13)

Estes valores podem ser calculados para um r coincidente com alguns nós da fissura. Outra técnica bastante simples, apresentada em París e Cañas (1997), baseada nas tensões em frente à fissura, foi também empregada. Neste trabalho será apresentado um procedimento análogo, mas para os COD obtidos nos nós ao longo da fissura. Partindo da Eq. (12), para o modo I, a técnica propõe a aplicação da função logarítmica a ambos os lados desta equação e o agrupamento dos valores constantes:

( ) ( )8ln ln 0,5ln2 ICOD K r

E π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(14)

Os valores de (COD), obtidos pelo MEC em diversos nós são plotados em um gráfico em função da distância (r) à ponta da fissura, onde se observa que nos pontos localizados muito próximos à ponta ocorre um erro numérico, devido à presença da singularidade. Fazendo um gráfico (ln COD) por (ln r), selecionou-se uma região com os pontos onde a resposta era admissível (comparada com a analítica). A Equação (14) pode assim ser reescrita:

ln lnCOD b m r= + (15)



23

Portanto, utilizando-se os valores obtidos para vários pontos pode-se determinar a reta que melhor representa a Eq. (15) e assim pode-se ajustar uma linha de tendência. O valor de m é obtido pela inclinação da reta e a partir dessa aproximação uma resposta estimada para o fator de intensidade de tensão pode ser obtida.

3.2.2 Direção de propagação O Critério da Máxima Tensão Principal (CMTP), adotado neste trabalho, postula (Erdogan e Sih, 1963) que a propagação ocorrerá na direção perpendicular à máxima tensão principal. Desta forma, é gerado automaticamente um conjunto de pontos ao redor da fissura e a cada um destes é avaliado o estado tensional girado em seus respectivos ângulos, obtendo-se assim a tensão principal em cada um (equivalente à tensão circunferencial, em coordenadas polares), como mostra a Figura 2. Após este processo, a posição do ponto com a máxima tensão principal indicará a direção ou ângulo θ de propagação. O raio ( r ) será o tamanho do incremento ( aΔ ).

Pela MFEL a propagação ocorrerá se o valor estimado de IK superar um valor crítico, ICK

(EPD) e CK (EPT).

Para o modelo coesivo a propagação ocorrerá se a tensão obtida pelo CMTP ultrapassar a tensão resistente do material em tração, 'tf .

3.3 Modelo coesivo

O modelo coesivo, que originou-se inicialmente dos clássicos trabalhos de Barenblatt (1962), Dugdale (1960) e Hillerborg et al. (1976) é um modelo não-linear de fraturamento que estabelece que a zona de processo de fratura pode ser modelada como um prolongamento adequado da fissura dentro da qual ocorrem forças coesivas ou fictícias que relacionam-se com a abertura da fratura através do amolecimento do material.

Figura 3 – Modelo de fissura fictícia (SALEH e ALIABADI; 1995).

Δu > Δuc

Δu > Δuc

ft' Forças coesivas

Δuc

Zona de fratura

Fissura real

cuΔ

(b)

σ

'tf

uΔ

cG

(a)



24

Neste modelo, a fissura se propaga quando as tensões na ponta superaram a tensão crítica 'tf . Imediatamente quando a fissura abre, a tensão na ponta não é igual a zero, mas sofre uma

redução à medida que aumenta essa abertura até atingir seu valor crítico, cuΔ . Na parte onde

cu uΔ < Δ a ¨fissura¨ em realidade corresponde a uma zona microfissurada com alguns ligamentos de tensão residual sendo transferidos. O modelo coesivo ou da fissura fictícia é assim chamado para ressaltar o fato de que na região em frente à ponta da fissura ainda existem forças resistentes que não permitem a separação completa do material, e que este fenômeno ocorre gradualmente, de acordo com a Figura 3.

A área sob a curva, cG é chamada de energia de fratura específica e uΔ é o COD.

3.3.1 Algoritmo proposto O algoritmo incremental proposto, baseado no modelo coesivo, é a seguir apresentado. O processo iterativo está implementado somente para problemas em modo I de fraturamento. Neste trabalho foram desprezadas as forças tangenciais na face da fissura, somente sendo consideradas as forças normais à mesma.

3.3.1.1 Geração de nova fratura (propagação)

O modelo para a propagação ou geração de novos elementos de fratura aplica-se ao primeiro ou a qualquer outro elemento de uma fratura já existente. Conhecido um ponto de partida, que tanto pode ser um nó escolhido, pesquisado ou gerado; ou ainda no caso de já ser um elemento de fratura a ponta do último elemento, calculam-se as tensões em pontos internos quaisquer distantes 1 4 do tamanho admitido para um elemento de fratura ( 4fa LΔ = , onde fL será o tamanho da nova fratura gerada). São definidos pontos num arco de

circunferência que começa a partir do vetor normal à fratura e termina depois de percorrer 180º no sentido anti-horário. Calcula-se para cada um dos pontos gerados o estado de tensão (todos os incrementos devem ser considerados; o valor da tensão nos novos pontos é calculado a partir dos valores acumulados) com suas respectivas componentes normais relativas às retas que unem a ponta da fissura e os pontos da semi-circunferência. O ponto que definirá o novo elemento de fratura corresponde ao que apresentar a máxima tensão de tração na direção normal à fissura (CMTP), se essa tensão ultrapassar o valor do critério para uma abertura zero ( 0 'v

tu fσΔ = ∴ = ).

Para a definição do elemento criam-se dois pontos (nós). O primeiro foi o que definiu a direção da fissura (direção em que irá propagar-se) e está localizado a 4fa LΔ = da ponta do último

elemento de fratura ou do nó selecionado e o segundo ponto dista 3 4fL . Analogamente ao primeiro,

de tensão normal elástica 1eσ , calculam-se as tensões normais 2

eσ para o segundo ponto.

Com os novos elementos de fratura sendo gerados automaticamente, as equações ou matrizes H e G terão suas dimensões aumentadas conforme indicado na Figura 4, onde a parte em amarelo delimita os termos obtidos com o ponto fonte no contorno integrando elemento no próprio contorno (sempre será o mesmo) e as partes indicadas em laranja e rosa mostram o sentido da expansão das matrizes globais H e G:



25

Figura 4 – Expansão das matrizes H e G.

3.3.1.2 Modelo incremental

Para melhor entendimento do processo incremental e iterativo, considere um problema elástico, em princípio íntegro, como o da Figura 5. São indicados pelo usuário (mas poderiam ser pesquisados, gerados automaticamente, etc.) os dois primeiros nós onde começará a fraturar, neste caso foram escolhidos os nós 14 e 15 (deverão obrigatoriamente ser duplos).

Figura 5 – Corpo íntegro com os pontos internos indicados.

Ao redor dos pontos escolhidos, é gerada uma série de pontos internos, cujas tensões giradas serão calculadas (pontos representados em azul). Neste caso, qualquer tensão interna será igual a

yσ , mas após rotacionar, será verificada qual delas possui a máxima tensão principal (em seu sistema

local). Se superar o critério ( 'tf ), o ponto de maior tensão principal será o primeiro Ponto Fonte (PF1) do elemento novo de fratura fictícia, e por esta razão também é calculada a tensão para um segundo ponto fonte (PF2), na mesma direção do primeiro, como indica a Figura 6. Essas tensões são as chamadas tensões elásticas, assim:

1 1e

PFσ σ= e 2 2e

PFσ σ=

Verifica-se o critério do modelo: se 1 'etfσ > , as tensões são extrapoladas para os extremos

dos elementos, gerando novo elemento de fratura e começa o processo iterativo. Caso contrário, acrescenta-se novo incremento de carga ou deslocamento até ultrapassar (pois ainda está na fase elástica).

σy

σy 1 2 3 4

5

6 7

8

9 10 11 12

13

14

15

16 1 2

3

4

5 6

7

8

Nós duplos estabelecidos para início do fraturamento

y

x



26

Começa a iteração zerando as variáveis: 1 0ku −Δ = , onde uΔ é a abertura da fratura e Vσ é a

tensão verdadeira, dada por: 10' 1 'v

k t tc

f fu

σ −

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

no início do processo iterativo.

Figura 6 – Geração dos PF.

Em outras palavras, quando os esforços externos aplicados produzem uma tensão elástica local que supera o 'tf do material, é introduzida uma descontinuidade ao problema, chamada fratura fictícia ou coesiva, que segue o comportamento da Figura 3.b e onde as forças aplicadas em sua superfície são destinadas a manter a coesão do material, representando um certo ligamento existente entre as partículas da região.

Figura 7 – Forças de superfície aplicadas nas faces da fissura.

(XS18,YS18)

Nó 18

(XS17,YS17)

Nó 17

(XS19,YS19) Nó 19 (XS20,YS20) Nó 20

Γ

Γ

1P 2P

2P 1P

PF1

Nó 17 e 20

PF2

4fa LΔ = L /4

Nó 18 e 19

Elementos que serão gerados

fL



27

O processo iterativo é bastante simples, seguindo sempre os mesmos passos descritos na seqüência:

- Calcula-se a tensão verdadeira com a Lei Coesiva: ' 1vt

c

ufu

σ⎛ ⎞Δ

= −⎜ ⎟Δ⎝ ⎠, onde cuΔ é a abertura crítica

(quando cu uΔ > Δ , 0vσ = );

- Após transformar estas tensões para o sistema global, calculam-se as forças de superfície, usando a fórmula de Cauchy: v v

y xy x yp n nτ σ= + ;

- Aplicam-se estas forças como indicado na Figura 7.

- Testa-se a convergência do processo: Se ( )1k ku u TOL−Δ − Δ > , volta para nova iteração; se

( )1k ku u TOL−Δ − Δ < significa que convergiu e em seguida verifica se necessita a adição de novo

incremento ou fratura. TOL é uma certa tolerância estipulada e os vetores acumulados durante o processo incremental são utilizados para o cálculo dos novos pontos internos.

4 RESULTADOS NUMÉRICOS

Para a análise dos exemplos de MFEL as três formulações do MEC (singular, hipersingular e MEC Dual - MECD) são utilizadas, todas com o ponto fonte pertencendo ao contorno e com integrais analíticas sobre os elementos de contorno e de fratura. Analisa-se um problema de fratura central, caracterizado pelo modo I e apresentado na Figura 8a. Adotou-se 200W cm= , 5a cm= , 210p KN cmσ= = , 23000 /=E KN cm , 0ν = e EPT.

Resolvendo este problema com a equação singular, a malha foi modelada usando simetria de 1 4 do problema da Figura 8a. O problema foi discretizado usando 118 elementos no contorno e 20 na fratura, sem refinamento e 36 pontos internos.

O FIT foi extraído com base no procedimento apresentado. Fazendo um gráfico ln r x ln COD (com o valor de r sendo dado pela distância entre o nó do elemento e a ponta da fissura e os COD obtidos com os deslocamentos nodais), pode-se determinar a reta que melhor ajusta a função e assim determinar uma linha de tendência. Os resultados obtidos no primeiro elemento (o da ponta) e os elementos mais distantes à ponta foram desprezados para a obtenção de um intervalo de dados aceitáveis, de acordo com a linha de tendência.

Assim, o valor obtido ( 3 240,55 .IK KN cm−= ) apresentou um erro de somente 2,4% com

relação à resposta analítica ( 3 239,6 .IK KN cm−= ) para uma chapa infinita, dada por:

IK aσ π= (16)

Resolvendo o mesmo problema com a equação hiper-singular, utilizando uma malha idêntica ao problema com a equação singular, mas somente com nós duplos, a resposta obtida apresentou um erro de 1,84% comparada com a solução analítica do problema. Para obtenção do intervalo de interesse, foram desprezadas as respostas obtidas para os dois elementos mais próximos à ponta, evidentemente os mais distantes também e assim o valor do FIT estimado foi:



28

3 240,33 .IK KN cm−= (17)

Apesar da resposta aqui obtida ter sido melhor do que usando a equação singular, o intervalo de dados de interesse para o ajuste da linha de tendência foi menor.

Figura 8 – Problema em (a) modo puro I e (b) modo puro II.

Usando o MECD, o problema foi discretizado com simetria de 1 2 da Figura 8a. Utilizou-se 160 elementos de contorno e 44 na fissura, solução analítica para o contorno, numérica com sub-elementação para os pontos internos. Foi feito um pequeno refinamento da malha na região de interesse para aproximar melhor a resposta. Os resultados no primeiro elemento da ponta foram desprezados para a obtenção do intervalo de interesse.

O valor obtido para IK neste caso, foi:

3 239,24 .IK KN cm−= (18)

apresentando um erro de menos de 1% com a resposta analítica do problema. Considere agora uma chapa em modo puro II, também utilizando o MECD. Adotando-se

24h = , 3ha = , 3000E = , 0,3ν = , 10σ = em unidades coerentes, foi utilizada uma malha de 8

elementos no contorno e 4 na fratura somente, com 12 pontos internos. A Figura 8b mostra o problema estudado. Neste exemplo foi feita somente a análise de propagação de uma fratura. Os resultados para o ângulo de propagação foram comparados à Figura 9, que apresenta um gráfico mostrando a relação do ângulo formado entre a inclinação da fissura e a direção de carregamento, em diferentes critérios de propagação.

Na Figura 9, β é o ângulo formado entre a inclinação da fissura e a direção de aplicação do carregamento.

(a) (b)



29

Figura 9 – Direção de propagação (Carpinteri; 1986).

Para este exemplo o ângulo β é zero e, de acordo com o gráfico, a direção de propagação será dada entre 70º e 90º (eixo local na ponta da fissura), dependendo do critério adotado. No modelo, o ângulo inicial de propagação obtido apresentou um erro de 2,85% de acordo com o CMTP. Está, portanto, na faixa aceitável pelo critério da mínima densidade de energia de deformação e um erro de 20% com o critério de Griffith (Figura 9). Na Figura 10 ilustra-se uma representação com os ângulos de propagação obtidos, respectivamente para problemas de modo puro II e I:

Figura 10 – Direção de propagação para (a) modo puro II e (b) modo puro I.

Pela Figura 10 (a) nota-se que num primeiro instante atua o modo II puro, até que esta fissura esteja a aproximadamente 90º da original, onde começa a atuar (localmente) o modo puro I, fazendo com que a fissura prossiga nesta mesma direção até a ruptura total. No modo I, Figura 10 (b), a fissura propagará sempre no seu próprio eixo, perpendicularmente à máxima tensão principal. O procedimento de propagação é feito de maneira bastante simples, apenas adicionando os novos elementos gerados que formarão o prolongamento da fissura anterior. Ainda com o MECD, foi feito um exemplo de aplicação do Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE), válido para a MFEL (Bažant e Planas; 1998), com o objetivo de averiguar as equações integrais. O PSE postula que o estado de tensões, deformações e deslocamentos (consequentemente

Criterio da Máxima Tensão Principal Critério da Mínima Densidade de Energia de Deformação, 0 0,3ν< < Critério de Griffith



30

os FIT também) em um sólido pode ser decomposto na soma de outros estados, com aplicações em diversos tipos de problemas. Seja o problema da Figura 11: Figura 11 – Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE). (a) Problema inicial, obtido pela adição dos problemas

(b) e (c).

De acordo com o PSE, o problema a) pode ser obtido pela soma dos problemas b) e c). O primeiro, corpo íntegro elástico submetido a esforços no contorno de tração e o segundo, problema com fissura central e esforços aplicados nas faces da mesma.

Este exemplo foi feito utilizando 10pσ = = , uma chapa de dimensões 100 50x e a fissura medindo 10 , em unidades coerentes. Valendo-se da simetria, os resultados obtidos no problema a) foram exatamente iguais aos resultados dos problemas b) e c) somados, para tensões internas e deslocamentos nos nós do contorno. Este problema ratifica a qualidade das integrais obtidas, comprovando sua precisão. Para o modelo coesivo proposto, considere o problema da Figura 12. Foi utilizada uma malha bastante simples, com somente 6 elementos no contorno e a fratura gerada automaticamente com dois elementos (um em cada face). O problema começa sem nenhuma fissura e a posição escolhida para o início do fraturamento está indicada. Adotou-se 1L = , 1E = , 0ν = , 100000cuΔ = , ' 0,333tf = ,

0,0125aΔ = e o deslocamento aplicado 1δ = dividido em 10 incrementos em unidades coerentes.

Figura 12 – Chapa com deslocamento (δ ) aplicado.

Com cuΔ → ∞ , o exemplo escolhido em realidade é o modelo de Dugdale, sendo as forças

aplicadas na fissura sempre constantes e iguais à 'tf . As tensões internas e os deslocamentos podem ser facilmente averiguados pela solução elástica para este problema, ainda quando o sólido

(a)

=

(b)

+

(c)

σ σ

σ

σ σ

σ

δ

δ

2L

Posição escolhida para o início do fraturamento

L



31

está íntegro. Ao superar o 'tf , a tensão verdadeira a ser calculada pelo critério

' 1vt

c

ufu

σ⎡ ⎤⎛ ⎞Δ

= −⎢ ⎥⎜ ⎟Δ → ∞⎝ ⎠⎣ ⎦ será sempre 'v

tfσ = . Devido a essas condições, a abertura da fissura final

será constante e igual a 0,067 .

Neste caso a fissura será toda coesiva, já que o programa não está preparado para continuar incrementando carga/deslocamento após a ponta da fissura ter atingido o contorno. Observando o comportamento do modelo apresentado na Figura 13, onde são plotados os valores das forças ( P ) x deslocamentos (δ ) nodais para o ponto no canto superior direito da Figura 12, verifica-se que o modelo está coerente. As forças variam pouco à medida em que são gerados novos elementos de fratura, em seguida tendendo a permanecer na força equivalente à da tensão máxima de tração do material.

Força x Deslocamento nodal

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Ux

Px

Figura 13 – Curva do comportamento da chapa.

Na Figura 13 a linha contínua representa a resposta obtida através do algoritmo e a linha tracejada mostra o aumento do deslocamento do ponto para uma mesma força. Como o programa não permite que se continue adicionando carga/deslocamento após a ponta da fissura ter atingido o contorno (ainda não representando a ruptura total do material portanto, afinal o processo ainda se encontra na zona coesiva) a resposta só pôde ser obtida até a linha contínua apresentada. Na Figura 14 é apresentada a deformada final do problema, onde os pontos em azul são os nós do contorno e fratura. A zona coesiva, que ainda mantém um certo ligamento entre as partículas da região, é também representada nesta figura.

Figura 14 – Deformada final do problema mostrando a zona coesiva.



32

Suponhamos agora a viga bi-apoiada da Figura 15, submetida a esforços em 3 pontos:

Figura 15 – Viga bi-apoiada com carga ou deslocamento central aplicado.

As propriedades do material analisado são: 1386100,106E = , 0,15ν = , ' 230tf = ,

0,00276555cuΔ = , 0,0625aΔ = e 0,006δ = , de Lopes (1996). O número de incrementos foi variado, justamente para poder comparar as possibilidades entre si. A malha foi composta por 50 elementos de contorno.

A Figura 16 apresenta o diagrama tensão verdadeira vσ por abertura da fissura uΔ , onde observa-se que obedece à lei do modelo coesivo, sendo que a tensão verdadeira para aberturas maiores que a crítica é zero. A curva obtida para este problema variando o número de incrementos na aplicação de carga/deslocamento, é apresentada na Figura 17. Observa-se que após superar o trecho elástico-linear o modelo proposto apresentou resposta mais rígida que a referência, na primeira parte do gráfico. Acredita-se que isto acontece devido à simplificação do modelo proposto, que apenas verifica a geração de novo elemento de fratura depois que a fratura anterior convergiu ou estabilizou.

Tensão Verdadeira x Abertura

0

50

100

150

200

250

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004

Du

Sv

Figura 16 – Modelo coesivo - Diagrama vσ x uΔ .

Observa-se que utilizando somente 10 incrementos a resposta não apresentou-se adequada, já para incrementos de 50 até 500 a resposta apresentou ínfima variação. Isto se deve à robustez do método, que mesmo para discretizações pobres e poucos incrementos, é capaz de captar a curva do comportamento. Ainda nos incrementos entre 50 a 500, nota-se uma certa defasagem no ramo descendente com relação à curva de Lopes, o que é perfeitamente aceitável, tendo em vista que ao se

,P δ

Posição escolhida para o início do fraturamento

10L =

2,5d =



33

aproximar o momento da ruptura do material, praticamente não há tensão residual resistindo e a ruptura se dá abruptamente.

Força x Deslocamento nodal

020406080

100120140160180

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007Uy

Py

Lopes (1996)10 incr50 incr100 incr200 incr300 incr500 incr

Figura 17 – Curva obtida com o modelo proposto.

Manzoli e Venturini (2004) e outros autores (Saleh e Aliabadi; 1995), apresentam a resposta esperada do comportamento para um problema similar, viga bi-apoiada com deslocamento central aplicado, mas de espessura 5t = e diferentes propriedades de material. Usando o MEC, MEF e análise experimental, o gráfico do comportamento que apresentam estes autores mostra um intervalo aceitável para a curva do modelo, conforme Figura 18.

Figura 18 – Comportamento do modelo.

Na Figura 19 visualiza-se a deformada para 8 elementos de fratura, no incremento 69, aumentada 100 vezes com a representação da zona coesiva:



34

Figura 19 – Deformada da viga.

Nesta representação pode-se verificar que a direção de propagação está correta e que nesta iteração e incremento de carga (100 incrementos) apenas o primeiro elemento de fratura abriu, sendo os demais pertencentes à zona coesiva.

5 CONCLUSÕES

Neste trabalho diversos aspectos da formulação do MEC na análise de problemas, especialmente de fratura puderam ser avaliados. Na literatura, não encontram-se facilmente modelos com integrais analíticas que tratem de problemas de fratura. Ainda que utilizando aproximação linear, pode-se afirmar que de maneira geral o MEC é uma excelente ferramenta numérica para analisar fratura e problemas envolvendo singularidades. Observa-se que o estudo da propagação pelo MECD é realmente bastante simples, sem a necessidade de remodelar a malha do contorno, e os resultados são confiáveis, mesmo com pouca discretização. Também neste caso, notou-se uma grande sensibilidade quanto à discretização da malha, havendo uma relação entre a malha do contorno e a da fissura. Refinar certa região de interesse, por exemplo, produz uma resposta muito melhor do que se utilizar elementos de tamanho constante. Nesse contexto, parece ser de fundamental importância um estudo de malha, tal como o modelo adaptativo, para a geração da malha do problema inicial, pois se verificou uma existência de certa relação entre a discretização do contorno (dimensão dos elementos, se constantes ou com refinamento) e da fissura, no cálculo do FIT. Para a propagação, entretanto, verificou-se que a discretização da malha é pouco afetada. Porém, observou-se também que a escolha do tamanho dos elementos de fratura gerados pode interferir na propagação, pois o CMTP identifica melhor a direção de propagação para pontos mais próximos à ponta, onde as tensões são infinitas. Com base neste estudo, recomenda-se portanto usar um comprimento de geração de pontos internos/tamanho da fissura de até 0,2. Tanto os modelos que utilizam apenas a equação singular ou a hiper-singular podem ser usados para análise de problemas de fratura. Apesar do modelo hiper-singular ter obtido melhor resultado, as respostas variaram muito durante sua análise, apresentando uma sensibilidade muito maior quando comparada à solução fornecida pela equação singular somente, que é mais estável. Portanto, fatores como geometria, refinamento, distância do ponto de colocação influem muito mais no modelo que utiliza a equação hiper-singular que no modelo que usa a singular. Ambas equações, quando usadas em uma mesma análise em problemas de fratura (MECD), mostraram-se muito eficientes. Para a análise do fraturamento não-linear com o modelo coesivo as respostas obtidas foram satisfatórias, ainda que a uma análise por enquanto restrita a problemas somente em modo I.



35

Inicialmente, o corpo está íntegro e escolhe-se o ponto onde iniciará a fratura, mas este procedimento poderia ser otimizado, gerando automaticamente uma ou varias fissuras em pontos onde ocorresse a máxima tensão. O modelo aqui proposto para a fratura coesiva não se presta a captar a extensão ou tamanho da zona coesiva, uma das importantes respostas de interesse nesta área. Devido a que é gerado um novo elemento de fratura somente após o anterior ter convergido, nem sempre esta zona poderá ser prevista corretamente. Com esta simplificação não é possível portanto precisar a dimensão da zona coesiva, mas pretende-se corrigir este problema em desenvolvimentos futuros. O gráfico de comportamento para a viga bi-apoiada obtido, mostrou maior rigidez em seu trecho ascendente quando comparado com a referencia, no entanto esta resposta pode ser considerada satisfatória. O fato de o ramo descendente final da curva não seguir constante com o deslocamento crescente, deve-se à limitação que o programa apresenta de não permitir adição de cargas ou iterações ao atingir o contorno. O caminho de propagação poderia ter sido estabelecido desde o principio, como é apresentado na maioria da literatura; entretando preferiu-se testar o CMTP gerando automaticamente a fratura e o seu avanço para posteriormente ter maior liberdade de aplicação em problemas, inclusive em modos mistos de fraturamento, ou em problemas mais complexos, onde não se conhece a priori o caminho da propagação. De maneira geral, pode-se notar a potencialidade do MEC usado como ferramenta numérica na aplicação em problemas elásticos e da Mecânica da Fratura, seja linear ou não linear. As soluções são precisas mesmo usando pouca discretização, incrementos e com aproximação linear, confirmando a eficácia do método.

6 AGRADECIMENTOS

Os autores gostariam de expressar seus agradecimentos à CAPES, à FAPESP e ao programa ALFA - ELBENet pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada.

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ISSN 1809-5860


REFORÇO À FLEXÃO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO COM MANTA DE POLÍMERO REFORÇADO COM FIBRAS DE CARBONO (PRFC) ADERIDO A

SUBSTRATO DE TRANSIÇÃO CONSTITUÍDO POR COMPÓSITO CIMENTÍCIO DE ALTO DESEMPENHO

Vladimir José Ferrari1 & João Bento de Hanai2

R e s u m o A colagem de polímeros reforçados com fibras de carbono (PRFC) em elementos estruturais de concreto vem sendo aplicada com sucesso no reforço de estruturas. Assim, nesta pesquisa propõe-se uma inovação construtiva fundamentada no desenvolvimento de um compósito de alto desempenho à base de cimento Portland e fibras de aço (macro + microfibras), destinado a constituir o que está sendo preliminarmente chamado de “substrato de transição”. A finalidade desse substrato é controlar melhor a fissuração do concreto da viga e retardar o desprendimento prematuro do reforço. Foi realizado um estudo preliminar em vigotas moldadas com fibras de aço e reforçadas com manta de PRFC, pelo qual se verificou que a concepção do substrato de transição é válida. Partiu-se então para a realização de ensaios visando à obtenção de um compósito cimentício com características apropriadas para o substrato de transição. Os resultados mostram que foi possível desenvolver um material de elevado desempenho com significativos ganhos de resistência e tenacidade ao fraturamento. A aplicação do reforço sobre a superfície do substrato de transição, formado a partir da reconstituição do banzo tracionado da viga com o compósito cimentício, mostrou melhorar significativamente os níveis de desempenho da peça reforçada. Comprovou-se a eficiência da técnica de reforço proposta, além de reunir uma série de informações que podem ser exploradas para se tornarem úteis como critérios de projeto de estruturas recuperadas e reforçadas. Palavras-chave: Reforço. Fibras de carbono. Concreto com fibras de aço. Mecânica da Fratura. Reabilitação.

FLEXURAL STRENGTHENING OF REINFORCED CONCRETE BEAMS WITH CARBON FIBERS REINFORCED POLYMER (CFRP) SHEET BONDED TO A

TRANSITION LAYER OF HIGH PERFORMANCE CEMENT-BASED COMPOSITE

A b s t r a c t The bond of the carbon fibers reinforced polymer (CFRP) in structural elements of concrete comes being applied successfully in the strengthening of structures. The objective of this research is to develop an innovate strengthening method for RC beams, based on a high performance cement-based composite of steel fibers (macro + microfibers) to be applied in a transition layer. The purpose of this transition layer is to better control the cracking of concrete and to be late or until avoid the premature detachment of strengthening. Due to lack of similar research here the proposal, was carried through a preliminary study in short beams molded with steel fibers and strengthened with CFRP sheet, where if it verified that the conception of the transition layer is valid. Tests were developed to get a cement-based composite with characteristics to constitute the layer transition. The results shown that were possible to develop a material of high performance with a pseudo strain-hardening behavior, high strength and fracture toughness. The application of the strengthened about the layer transition surface showed significantly to improve the levels of performance of the strengthening beam. Of the carried through study it was possible to prove the efficiency of the new strengthened technique and describe various information that can be explored to become useful as criteria of project of repaired and strengthened structures. Keywords: Strengthened. Carbon fibers. Steel fibers concrete. Fracture Mechanic. Rehabilitation. 1 Doutor em Engenharia de Estruturas – EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Vladimir José Ferrari & João Bento de Hanai


38

1 INTRODUÇÃO

O reforço de vigas de concreto armado com manta de PRFC aumenta a rigidez e a capacidade resistente das peças. Entretanto, é susceptível ao surgimento de uma ruína frágil e extremamente indesejável, pois impossibilita o total aproveitamento das propriedades resistentes à tração do polímero. Trabalhos como os de Juvandes (1999), Ferrari (2002), Beber (2003), entre outros, alertam sobre a existência de modos de ruína frágeis da ligação reforço-concreto.

Neste trabalho, é proposto o desenvolvimento de um compósito de alto desempenho à base de cimento Portland com fibras e microfibras de aço, destinado a constituir um substrato de transição (Figura 1). Imagina-se retirar uma parte do banzo tracionado das vigas a serem reforçadas – frequentemente danificado (Figura 2) - para reconstituí-lo com o compósito cimentício. Para tanto, supõe-se que a parte reconstituída do banzo venha a formar um substrato de transição, cujas características seriam mais apropriadas para aplicação do reforço polimérico.

controlar fissuração"substrato de transição" pode

ao concreto da viga e às armaduras"substrato de transição" ligado

"bulbo de ancoragem"

longitudinal e transversal

colado ao substrato de transiçãoreforço com PRFC

Figura 1 – Esquema de reforço com manta de PRFC e substrato de transição.

Figura 2 – Banzo tracionado de vigas danificado por ações mecânicas ou de corrosão.

Reis (2003) analisou vigas reforçadas pela adição de armadura ao banzo tracionado, o qual foi

reconstituído com argamassa reforçada com fibras de aço. Foi verificado que a argamassa com fibras agiu na transferência de esforços entre o substrato e a armadura de reforço. Pôde-se constatar então, que o uso de um compósito cimentício apropriado na reconstituição do banzo tracionado faz sentido.

O mesmo conceito – com as devidas alterações – pode ser aplicado ao caso de reforço com manta de PRFC. Obviamente, os materiais utilizados e os mecanismos de transferência têm as suas diferenças. No entanto, a idéia geral do trabalho é propor, como uma inovação construtiva o desenvolvimento de uma técnica de reforço à flexão de vigas, a qual compreende um processo de prévia recuperação da estrutura pela aplicação de um compósito cimentício de alto desempenho, destinado a constituir o que está sendo chamado de substrato de transição.

Reforço à flexão de vigas de concreto armado com manta de Polímero Reforçado com Fibras de Carbono (PRFC)


39

2 COMPÓSITO CIMENTÍCIO DE ALTO DESEMPENHO (CCAD)

Como se sabe, as modificações decorrentes da adição de fibras de aço ao concreto, em taxa relativamente baixas (no máximo 2%), restringem-se apenas à fase de pós-pico do histórico de carregamento. Assim, com o objetivo de melhorar o comportamento do compósito cimentício na fase pré-pico de resistência, estuda-se o efeito da incorporação de microfibras de aço às fibras de aço convencionais, numa tentativa de modificar o compósito em sua microestrutura e consequentemente melhorar o processo de transferência de tensões da matriz para as fibras.

2.1 Configuração do ensaio

Para avaliar o comportamento à tração na flexão dos CCAD foram realizados ensaios de flexão em três pontos em corpos-de-prova prismáticos seguindo as recomendações da RILEM TC 162-TDF (2002a). Na Figura 3 é possível observar o aspecto geral da configuração do ensaio. Os ensaios foram conduzidos sob o controle dos deslocamentos de abertura da entrada do entalhe (CMOD), utilizando-se para tanto um extensômetro elétrico do tipo clip gauge.

45

7,5

15

2,5

"YOKE"7,5

2,515

esfera de aço

barra metálica

"YOKE" fixado ao cp e alinhado ao cutelo

cutelo

transdutor

clip gauge

50

P P

Figura 3 – Configuração geral do ensaio.

2.2 Compósitos analisados

Foram analisados um conjunto de treze compósitos formados a partir da variação do volume e do tipo de fibras de aço. Eles foram divididos em grupos formados por três prismas (15x15x50 cm3) moldados com as mesmas características.

Na Tabela 1 apresentam-se os diferentes compósitos analisados. Esses foram divididos em duas etapas conforme o tipo de matriz cimentícia utilizada. A fibra de aço aqui especificada simplesmente por “A”, tem nome comercial FS8-Wirand, foi fornecida pela empresa Maccaferri – América Latina, possui um comprimento de 25 mm com ganchos nas extremidades e um diâmetro de 0,75 mm, o que resulta num fator de forma igual a 33. Já a fibra “C”, que foi fornecida pelo mesmo fabricante da fibra A, tem um comprimento de apenas 13mm, com ganchos nas extremidades e um diâmetro de 0,75mm.



40

Tabela 1 – Compósitos analisados

Etapa Grupo Compósitos Taxa de fibra Tipo fibra Material Idade 1 CPA 0% - argamassa 29 dias 2 CPA1A 1% A argamassa 29 dias 3 CPA1.5A 1,5% A argamassa 29 dias 4 CPA2A 2% A argamassa 29 dias 5 CPA1.5A0.5C 1.5%+0,5% A+C argamassa 28 dias 6 CPA1.5A1.5C 1.5%+1.5% A+C argamassa 28 dias 7 CPA1.5A2.5C 1,5%+2.5% A+C argamassa 28 dias

Arg

amas

sa

I

8 CPA1.5A3.5C 1.5%+3.5% A+C argamassa 28 dias 9 CPM 0% - microconcreto 28 dias 10 CPM1A 1% A microconcreto 28 dias 11 CPM1A1C 1%+1% A+C microconcreto 28 dias 12 CPM1A2C 1%+2% A+C microconcreto 28 dias

Mic

roco

ncre

to II

13 CPM1A2.5C 1%+2.5% A+C microconcreto 28 dias

2.3 Resultados dos ensaios de flexão em três pontos

2.3.1 Forças e resistências A determinação da tenacidade flexional dos CCAD foi feita seguindo-se as recomendações

prescritas pelo grupo de trabalho TC 162-TDF da RILEM. Na Tabela 2 apresentam-se os valores de forças e resistência calculados com base nas recomendações da RILEM.

Tabela 2 – Forças e resistências conforme RILEM (2002a)

Para os CCAD de argamassa a adição de fibras sempre aumentou o valor da resistência (ffct,L)

assim, pode-se dizer que para esses compósitos a contribuição da matriz em termos de resistência foi incrementada com a incorporação de fibras de aço. Os compósitos híbridos com adição de microfibras de aço do tipo C às fibras do tipo A, foram os que apresentaram maiores valores de resistência (ffct,L) entre todos os CCAD de argamassa analisados.

Forças (kN) Resistências (MPa) Compósito FL FM FR,1 FR,4 ffct,L feq,2 feq,3 fR,1 fR,4

CPA 8,00 8,00 1,26 - 2,33 - - 0,37 - CPA1A 13,41 13,41 12,46 5,22 3,87 3,31 2,58 3,60 1,51

CPA1.5A 13,15 16,10 16,01 6,10 3,73 4,58 3,16 4,54 1,73 CPA2A 14,50 17,59 17,35 7,59 4,56 5,53 4,20 5,45 2,38

CPA1.5A0.5C 16,41 17,78 17,23 9,32 4,58 4,94 3,98 4,79 2,61 CPA1.5A1.5C 16,01 20,95 20,91 9,42 4,79 6,46 4,80 6,25 2,81 CPA1.5A2.5C 22,12 23,68 23,49 12,79 6,13 6,49 4,97 6,51 3,55 CPA1.5A3.5C 20,03 21,42 20,79 6,08 5,52 5,66 3,75 5,73 1,68

CPM 14,19 14,19 1,25 - 4,04 - - 0,36 - CPM1A 12,05 12,05 7,53 3,69 3,32 1,97 1,58 2,07 1,02

CPM1A1C 17,63 18,53 16,92 7,47 5,17 5,06 3,73 4,96 2,19 CPM1A2C 19,37 21,94 19,73 8,04 5,54 5,73 4,13 5,65 2,30

CPM1A2.5C 10,03 10,03 6,34 2,26 2,95 1,54 1,07 1,86 0,66 FL – força máxima de offset dentro do intervalo de deslocamento vertical (δ) igual a 0,05mm; FM – força máxima do compósito; FR,1 e FR,4 – forças residuais correspondentes aos deslocamentos δR1=0,46 mm e δR4=3,00 mm; ffct,L- tensão correspondente à FL; feq,2 e feq,3 – resistências flexionais equivalentes; fR,1 e fR,4 – resistências residuais



41

Para os CCAD de microconcreto o valor da resistência (ffct,L) do compósito CPM1A diminuiu em relação ao compósito CPM. Isso mostra que a presença isolada da fibra A não melhorou a contribuição da matriz de microconcreto em termos dessa resistência. Entretanto, com a incorporação das microfibras de aço às fibras do tipo A, verificou-se aumento no valor da resistência ffct,L. Essa tendência foi verificada nos compósitos CPM1A1C e CPM1A2C, nos quais, a resistência foi respectivamente, de 28% e 37% maior do que a do CPM.

Os valores das resistências feq,2 e feq,3, caracterizam o comportamento dos compósitos em relação ao desempenho das fibras. Logo, destaca-se entre os CCAD de argamassa, o desempenho dos compósitos CPA1.5A, CPA2A, CPA1.5A0.5C, CPA1.5A1.5C e CPA1.5A2.5C e, entre os CCAD de microconcreto, somente o compósito CPM1A2C. Nesses compósitos, a ação das fibras de aço elevou o nível de resistência do material de forma que a resistência flexional equivalente (feq,2) superou o valor de resistência dado pela contribuição apenas da matriz (ffct,L).

2.3.2 Curvas P-CMOD Para representar o comportamento de cada compósito, selecionou-se dentre as três curvas

obtidas por grupo, a curva “média”, que é aquela de comportamento intermediário que possa ser representativo das outras duas curvas do grupo.

Nos compósitos CPA1.5A2.5C, CPA1.5A3.5C e CPM1A1C, por conta do desempenho distinto entre as três curvas de cada grupo, selecionou-se ao invés da curva “média”, a curva de “maior potencial” para representação desses compósitos. A curva “potencial” é aquela que representa o comportamento do exemplar do grupo que demonstrou maior ductilidade e resistência.

Na Figura 4 reúnem-se as curvas “médias” P-CMOD dos CCAD de argamassa e de microconcreto, respectivamente.

02468

1012141618202224

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1CMOD (mm)

P (k

N)

CPACPA1ACPA1.5ACPA2ACPA1.5A0.5CCPA1.5A1.5CCPA1.5A2.5CCPA1.5A3.5C

02468

1012141618202224

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1

CMOD (mm)

P (k

N)

CPMCPM1ACPM1A1CCPM1A2CCPM1A2.5C

(a) CCAD de argamassa (b) CCAD de microconcreto

Figura 4 – Curvas P-CMOD dos compósitos cimentícios.

2.3.3 Curvas de resistência ao fraturamento As curvas de resistência obtidas para os CCAD de argamassa CPA1.5A1.5C e CPA1.5A2.5C

são comparadas com a do microconcreto CPM1A2C na Figura 5, onde KR é a resistência ao fraturamento e α é a profundidade da fissura (a) normalizada relativamente à altura (W) do corpo-de-prova prismático, ou seja, α = a/W. Na figura são representadas também as curvas de resistência da matriz de argamassa e de microconcreto sem fibras juntamente com os históricos de carregamento ao longo do processo de ruptura.

Como mostra a figura, a partir do ponto em que se inicia o processo de crescimento de fissuras na matriz dos compósitos CPA1.5A1.5C, CPA1.5A2.5C e CPM1A2C, observa-se um aumento eminente da resistência ao fraturamento desses materiais. Por exemplo, analisando-se a



42

ponta da fissura a 70% da altura da seção, infere-se que a resistência ao fraturamento alcança valores até quatro vezes superiores àqueles verificados à 1/3 da altura da seção.

O extraordinário ganho de resistência desses três compósitos foram aproximadamente iguais, com ligeira superioridade para o compósito de argamassa CPA1.5A2.5C, seguido pelo de microconcreto CPM1A2C e pelo CPA1.5A1.5C.

É importante destacar que a evolução do ganho de resistência ao fraturamento ocorreu para cada compósito segundo dois estágios bem definidos: o estágio inicial da fissuração (antes da linha tracejada em amarelo), onde se verificou um aumento de tenacidade ao fraturamento um pouco mais suave, e o estágio final do processo de fissuração (após a linha tracejada em amarelo), onde a resistência ao fraturamento aumentou de maneira mais acentuada.

No estágio inicial é onde se inicia o processo de tracionamento das fibras e microfibras de aço e a transmissão de tensões entre as faces da fissura por meio dessas fibras. Nesse estágio, em que ocorre a formação das faces das fissuras, nota-se que uma característica é o fato da fissura mais evoluir do que o material ganhar resistência ao fraturamento.

No estágio final do processo de fissuração é onde se verifica um aumento considerável da resistência ao fraturamento do compósito por conta do arrancamento das fibras, que se encontram ancoradas à matriz cimentícia. Nesse estágio, a eficiência das fibras em relação à contribuição para o acréscimo de tenacidade ao fraturamento é refletida notavelmente.

CPM

CPA

Curva P-CPA1.5A2.5C

Curva P-CPM1A2C

α

αCPA1.5A2.5C

CPM1A2C

600

500

400

300

200

100

00,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

(daN

.cm

); P

x 4

(daN

)R

K

α

CPA1.5A1.5Cα

CPA1.5A1.5CCurva P-

crescimento da fissura

ponto A

Figura 5 – Esquematização do desempenho dos compósitos.

3 RECONSTITUIÇÃO E REFORÇO DO BANZO TRACIONADO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

3.1 Características das vigas

Foram confeccionadas três vigas de concreto armado de seção transversal retangular de 17x35 cm2, comprimento total de 360 cm e vão livre de 320 cm. A armadura longitudinal inferior das vigas foi composta por duas barras de aço CA50, com 12,5 mm de diâmetro. A armadura superior foi composta por duas barras de aço CA50, com 6,3 mm de diâmetro. A armadura transversal foi formada por estribos com barras de aço CA50 de 6,3 mm de diâmetro, espaçados uniformemente a cada 12 cm. As características de cada viga estão descritas na Tabela 3.



43

Tabela 3 – Características das vigas

Vigas Característica V1A Viga de referência, sem reforço V1C Viga reforçada com três camadas de manta de fibra de carbono

V2C Viga em que o banzo tracionado foi demolido e reconstituído integralmente com o compósito cimentício. Após a cura do compósito a viga foi reforçada

com três camadas de manta de fibra de carbono

A viga sem reforço V1A é a viga de referência para as demais que foram reforçadas. A partir da viga V1A foram estabelecidas considerações com relação ao incremento de resistência e rigidez proporcionadas pelo reforço. Essa viga foi dimensionada com reduzida taxa de armadura longitudinal de modo que o seu estado limite último fosse caracterizado pela deformação excessiva da armadura sem ruptura no concreto comprimido.

A viga V1C foi reforçada pela aplicação de três camadas de manta de fibras de carbono. O reforço foi projetado para que fosse possível detectar o seu desprendimento prematuro. A viga V2C foi projetada para que o seu desempenho fosse comparado diretamente ao da viga de concreto armado reforçada. Tal comparação visa detectar contribuições do substrato de transição frente ao desprendimento e sobre o desempenho do reforço. Para tanto, o banzo tracionado da viga V2C foi demolido e em seguida reconstituído aplicando-se compósito cimentício de alto desempenho CPM1A2C (Figura 6).

P/2 P/2

A

A20 20 280 20 20

VIGA V2C

reforço com manta3 camadas

substrato de transiçãocompósito cimentício: CPM1A2C

Figura 6 – Viga V2C.

3.2 Reconstituição do banzo tracionado e reforço das vigas

Os procedimentos para a retirada do concreto, reconstituição e reforço do banzo tracionado da viga V2C (Figura 7) foram iniciados quando o concreto tinha a idade de 23 dias. A remoção do concreto foi feita mecanicamente com martelete elétrico rompedor. A metodologia geral e os cuidados essenciais para a aplicação do reforço com mantas de fibras de carbono estão detalhados no trabalho de doutorado do presente autor. O adesivo epóxi utilizado foi o Sikadur 330 e a manta foi a SikaWrap 300C, ambos, fornecidos pela Sika.



44

Figura 7 – Remoldagem do banzo tracionado e aplicação do reforço externo.

3.3 Configuração do ensaio e instrumentação

As vigas de concreto armado foram solicitadas à flexão simples em quatro pontos, por meio de ensaio monotônico, ou seja, carregamento crescente até a ruína. O comportamento estrutural das vigas foi observado e monitorado durante todo o ensaio, registrando-se a força aplicada, os correspondentes deslocamentos verticais e as deformações do concreto, aço e reforço.

O esquema de ensaio para cada viga foi montado na estrutura de reação do LE – Laboratório de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos, como ilustrado por meio da Figura 8. A força necessária para solicitar cada viga à flexão foi introduzida por meio de um atuador servo-hidráulico da marca Instron com capacidade nominal de 500 kN, capaz de controlar a intensidade e a velocidade de aplicação das forças e deslocamentos.

Os ensaios foram conduzidos sob controle de deslocamento do pistão do atuador com a imposição de uma taxa de 0,007 mm/s. O atuador permaneceu preso a uma viga metálica de grande rigidez, parte de um pórtico de reação no centro da viga.

Para o monitoramento das deformações específicas da armadura e do reforço foram utilizados extensômetros elétricos de resistência da marca Vishay Micro-Measurements com resistência de 120.0 OHMS e 12 mm de comprimento. A nomenclatura e o esquema de posicionamento da instrumentação das vigas estão indicados na Figura 9.

Figura 8 – Esquema geral do ensaio de flexão nas vigas.



45

ext.1 e 2

ext.3 e 4

Posicionamento dos extensômetros:

Extensômetros no concreto e armadura

0,0 cm1 2

160 160 16016043

2255

11 12277 269 249261

14139 10289 285293297

87

Extensômetros no reforço

apoio A

23715 18 19

181,8 160203,42251716

número do extensômetroreferência

referência número do extensômetroapoio A0,0 cm 160160

2120

apoio A apoio B

ext.6ext.5

transd.1 transd.7

transd.3 transd.4 transd.5transd.2 transd.6

6297

2295 35

23

ext.23ext.21ext.20ext.19ext.22

169 8

15 14 13 7101112ext.17ext.18

transd. = transdutorext. = extensômetro elétrico

Figura 9 – Nomenclatura e posicionamento dos extensômetros e LVDT´S.

4 VIGAS REFORÇADAS COM MANTA DE PRFC: APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS

4.1 Modos de ruína

Como se esperava, o modo de ruína da viga V1A foi de deformação excessiva da armadura longitudinal, seguida por deformações elevadas no concreto comprimido, configuração compatível com o domínio 2 de deformações para a qual a viga foi dimensionada.

A ruína da viga V1C (Figura 10-a) deu-se a partir do surgimento de uma fissura na extremidade do reforço (P=117 kN). Essa fissura propagou-se na direção horizontal e culminou com o desprendimento do reforço juntamente com toda a camada de concreto do cobrimento da armadura ao longo do vão de cisalhamento.

(a) Desprendimento do reforço da viga V1C (b) Ruína da viga V2C

Figura 10 – Modo de ruína das vigas V1C e V2C.



46

O modo de ruína da viga V2C (Figura 10-b) foi diferente do observado na viga V1C. Embora tenha surgido uma fissura na extremidade do reforço quando a força aplicada era de 141 kN, ela não se propagou na horizontal e o processo de desprendimento do reforço por ruptura da camada de concreto junto à armadura foi evitado.

Na viga V2C a ruína teve origem numa seção localizada no vão de cisalhamento e próximo da aplicação da força concentrada. O surgimento de uma fissura de flexão/cisalhamento e a evolução de sua abertura com o acréscimo do carregamento, provocaram o destacamento do reforço através da interface do compósito cimentício com o adesivo epóxi até a sua extremidade mais próxima. Uma fina camada de microconcreto permaneceu aderida à manta.

4.2 Forças

Na Tabela 4 são reunidos os valores de força de fissuração (Pf), de escoamento da armadura longitudinal (Py) e de ruína (Pu) das vigas. A presença do reforço aumentou a força de primeira fissura das vigas reforçadas. O acréscimo foi de 19,8% para a viga de concreto armado reforçada e de 66,2% na viga reconstituída e reforçada.entre 10,3% e 66,2%. Em relação à viga V1C, a força de fissuração da viga V2C foi incrementada em 38,8%.

A presença do reforço também aumentou a força necessária para o escoamento da armadura longitudinal. Isso ocorre porque o reforço auxilia o aço a resistir aos esforços de tração. Na viga V1C o aumento foi de 48,4%. Já na viga o aumento chegou a 67,1%.

Com relação à força última, destaca-se a resposta da viga V2C. Um incremento significativo de 120% foi observado em relação à viga de referência, enquanto que, a viga V1C apresentou um incremento limitado a 65,1%. Em relação à própria viga de concreto armado reforçada, a capacidade resistente da viga V2C foi 33,2% superior.

Tabela 4 – Forças e modos de ruína das vigas

Incrementos (%) Vigas Pf (kN) Py (kN) Pu (kN) Modo de ruína

Pf Py Pu

V1A 21,01 79,80 89,27 Deformação excessiva da armadura - - -

V1C 25,16 118,45 147,37 Desprendimento do reforço 19,8 48,4 65,1

V2C 34,92 133,37 196,35 Destacamento na

interface compósito cimentício-reforço

66,2 67,1 120,0

4.3 Deslocamentos verticais

Na Figura 11 são comparados por meio das curvas P-δ os comportamentos das vigas V1A, V1C e V2C. Verifica-se que até a força de fissuração a resposta das vigas é semelhante. Após a fissuração do concreto, é nítido o aumento da rigidez nas vigas reforçadas em relação à viga sem reforço. Ressalta-se o efeito da presença do substrato de transição nas resposta da viga V2C – reconstituída e reforçada. Maior rigidez e capacidade de carga foram verificadas para essa viga em relação principalmente à viga de concreto armado V1C, reforçada com a mesma área de reforço.

Na viga V1A observa-se que nenhum acréscimo de força após o escoamento da armadura longitudinal foi obtido. Já nas vigas reforçadas vê-se claramente que ocorre acréscimo de força após o escoamento da armadura longitudinal. Nesse sentido, a maior extensão do trecho final da curva da viga V2C indica que o reforço foi mais solicitado nessa viga do que na viga V1C.



47

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36

Deslocamento δ (mm)

Forç

a P

(kN

)

Viga V1AViga V1CViga V2C

Figura 11 – Curvas P-δ das vigas V1A, V1C e V2C.

Na Tabela 5 apresenta-se uma comparação entre os deslocamentos verticais das vigas no meio do vão para um carregamento igual a 90% da força de ruína da viga V1A. Os valores mostram que as vigas reforçadas apresentaram-se mais rígidas do que a viga de referência. A flecha da viga V1A foi 47% maior do que a flecha da viga V1C. A viga V2C apresentou uma flecha ainda menos pronunciada do que a viga sem reforço. A flecha da viga V1A foi 67% superior à da viga V2C. Logo, a inovação proposta no presente trabalho, reconstituição e reforço do banzo tracionado da viga, não somente é eficaz em termos de capacidade de carga, como também em termos de rigidez.

Tabela 5 – Comparativo das flechas das vigas no meio do vão

Vigas Flecha (mm) Comparativo

V1A 12,79 1,00 V1C 8,73 1,47 V2C 7,68 1,67

4.4 Tensões e deformações do reforço

A resposta do reforço frente à solicitação das vigas é aqui avaliada por meio da distribuição de deformações específicas ao longo de toda a sua extensão. Associando as propriedades geométricas e mecânicas do reforço aos valores de deformações é possível obter a distribuição de tensões longitudinais e tangenciais ao longo do reforço.

De acordo com Beber (2003) e Leung (2006) é possível calcular as tensões tangenciais no reforço, entre os pontos instrumentados, fazendo-se uso da eq. (1).

rr)i()1i(

)i(r)1i(rr tE

ss

εετ ⋅⋅

−

−=

+

+ (1)

Em que:



48

τr = é a tensão tangencial; εr = é a deformação específica no reforço; si = posição relativa do extensômetro; Er = módulo de elasticidade do reforço; tr = espessura do reforço.

Nas Figuras 12 e 13 são apresentados os perfis de tensões normais e tangenciais ao longo do reforço das vigas V1C e V2C para carregamentos referentes a 25%, 50%, 75% e 100% da força última. Da análise geral dessas figuras é possível constatar que os máximos valores das tensões normais foram registrados na região central das vigas. Nas vigas V1C e V2C o valor máximo das tensões normais ocorreu a 21,3 cm do meio do vão e foi registrado por meio do extensômetro 18.

Já um exame geral das tensões tangenciais aponta que os valores máximos ocorreram na região do vão de cisalhamento. Com o aumento da força aplicada às vigas, verifica-se que os máximos valores das tensões tangenciais tendem a deslocar-se em direção à extremidade do reforço. Na viga V2C, até 50% da força de ruptura, o máximo valor da tensão tangencial localiza-se a 31 cm da extremidade do reforço. Para a viga V1C essa posição deu-se a 23 cm da extremidade do reforço.

Para 100% da força aplicada às vigas, o valor máximo da tensão tangencial na viga V2C ocorreu a 23 cm da extremidade do reforço. Para a viga V1C esse tipo de análise ficou prejudicado devido a problemas na aquisição dos dados de extensometria dos pontos localizados na extremidade do reforço.

A distribuição de tensões normais e tangenciais ao longo do reforço da viga V1C pode ser visualizada graficamente na Figura 12. A máxima tensão normal, 123,9kN/cm2, foi registrada por meio do extensômetro 18, ou seja, a 21,8 cm da seção do meio do vão. Esse valor de tensão equivale a uma deformação no reforço igual a 5,30‰. Do perfil de tensões verificam-se valores significativos de tensões normais (da ordem de 45 kN/cm2) e a concentração dos maiores valores de tensões tangenciais na extremidade do reforço para 75% e 100% da força última.

104,1112,8

51,2

83,7

92,5 95,6

123,9122,8

0

15

30

45

60

75

90

105

120

135

0 20 40 60 80 100 120 140

Distância a partir da extremidade (cm)

Tens

ões n

orm

ais (

kN/c

m2 )

25%50%75%100%

0,000,020,040,060,080,100,120,140,160,180,200,22

0 20 40 60 80 100 120 140


Tens

ões t

ange

ncia

is (k

N/c

m2 ) 25%50%75%100%

(a) Tensões normais (b) Tensões tangenciais

Figura 12 – Distribuição de tensões normais e tangenciais na viga V1C.

Na viga V2C a distribuição de tensões normais e tangenciais ao longo do reforço (Figura 13)

indica valores máximos de 189,1 kN/cm2 e 0,20 kN/cm2, respectivamente. A tensão normal máxima, que equivale a uma deformação do reforço de 8,08‰, foi registrada pelo extensômetro 18 e a tensão tangencial máxima foi dada pelo extensômetro 11.

Para visualizar a interação entre as tensões normais e tangenciais no reforço das vigas V1C e V2C, na Figura 14 são mostrados os diagramas normalizados dessas tensões. Para a viga V2C, os valores de tensões nessa figura referem-se à força última, enquanto que para a viga V1C referem-se a 75% da força última.



49

Pelas figuras observa-se que as tensões normais na ruína evoluem a partir da extremidade do reforço para o meio do vão, enquanto que os maiores valores das tensões tangenciais tendem a se localizar próximos à extremidade do reforço. É importante comentar que os valores de tensões tangenciais variam de acordo com a inclinação da reta que une dois pontos adjacentes de tensões normais. Os picos nas curvas de tensões tangenciais estão associados a maiores variações nas deformações específicas normais.

104,7

129,7

189,1

176,1183,9181,8

158,1

168,7

72,7

48,633,2

0153045607590

105120135150165180195210

0 20 40 60 80 100 120 140


Tens

ões n

orm

ais (

kN/c

m2 )

25%50%75%100%

0,000,020,040,060,080,100,120,140,160,180,200,22

0 20 40 60 80 100 120 140

Distância a partir da extremidade (cm)Te

nsõe

s tan

genc

iais

(kN

/cm2 )

25%50%75%100%

(a) Tensões normais (b) Tensões tangenciais

Figura 13 – Distribuição de tensões normais e tangenciais na viga V2C.

Para 75% da força última, a resposta da viga V1C em termos de distribuição de tensões na extremidade do reforço, mostra um acentuado aumento da tensão tangencial e uma variação significativa das tensões normais nessa região. Esse nível de carregamento, que equivale a um P = 110,5 kN é pouco inferior ao valor da força (117kN) na qual se observou o surgimento da fissura na extremidade do reforço.

A concentração de tensões tangenciais e de valores não desprezíveis de tensões normais na extremidade do reforço, condiz com o modo de ruína observado na viga V1C, ou seja, surgimento e propagação de uma fissura na extremidade do reforço.

Na ruína da viga V2C a distribuição de tensões foi diferente da constatada na viga V1C. De uma maneira geral, as tensões na extremidade do reforço na ruína da viga V2C foram menores do que as tensões observadas na ruína da viga V1C: as tensões normais atingiram valores de no máximo 50% dos registrados na viga V1C e os maiores valores de tensões tangenciais deram-se um pouco mais afastados da extremidade do reforço.

Nota-se então que, mesmo com o surgimento da fissura na extremidade do reforço da viga V2C, não se alterou a distribuição de tensões nessa região. Esse fato é totalmente diferente do constatado com a viga V1C e é uma conseqüência da presença do substrato de transição na viga V2C.

Na Figura 15 distribuição de tensões normais ao longo do reforço das vigas é comparada para um mesmo nível de carregamento aplicado. Vê-se que até a força de 90 kN, a configuração de tensões no reforço das duas vigas é bem semelhante e nenhuma diferença significativa é notada.

Para a força de 130 kN, as tensões no reforço da viga de concreto armado (extensômetros 17, 18 e 19 – os três mais distantes da extremidade do reforço) passam a ser mais elevadas do que no reforço da viga que foi reconstituída e reforçada. Já para a força de 140 kN, a diferença nos valores das tensões é aumentada e prolongada agora até o extensômetro 13 (localizado na distância de 40 cm). A comparação entre as tensões na extremidade do reforço ficou prejudicada, pois, a leitura de deformações no reforço da viga V1C a partir da força de 113 kN ficou prejudicada.



50

0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

0 20 40 60 80 100 120 140Distância a partir da extremidade (cm)

Tens

ões n

orm

aliz

adas

NormaisTangenciais

0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,0

0 20 40 60 80 100 120 140


Tens

ões n

orm

aliz

adas

NormaisTangenciais

(a) Viga V1C (b) Viga V2C

Figura 14 – Comparativo entre tensões normalizadas.

Como exposto, a diferença nos valores de tensões no reforço das vigas V1C e V2C aumenta

com o aumento do carregamento. Tal fato mostra que, o efeito do substrato de transição é mais acentuado com o avanço da fissuração na viga reforçada.

Figura 15 – Comparação da distribuição de tensões normais no reforço.

4.5 Análise numérica

4.6.1 Modelo numérico bidimensional não-linear

Os comportamentos das vigas V1A, V1C e V2C foram simulados de maneira não-linear utilizando-se o programa computacional de elementos finitos Diana versão 9.1, o qual vem sendo desenvolvido por engenheiros civis da TNO Building and Construction Research, na Holanda, desde 1972.

Na Figura 16 apresenta-se a malha de elementos finitos bidimensional juntamente com a disposição das armaduras na discretização das vigas. A malha foi elaborada utilizando-se elementos quadráticos de oito nós do tipo CQ16M. As barras longitudinais e transversais da armadura das vigas

50kN

90kN

130kN

140kN

0

15

30

45

60

75

90

105

120

0 20 40 60 80 100 120 140


Tens

ão n

orm

al (k

N/c

m2 )

V1C

V2C



51

foram modeladas discretamente através de elementos especiais denominados embedded reinforcement.

Na Figura 17 mostra-se a aplicação do carregamento, o apoio, a presença do reforço externo e a condição de simetria do modelo. A aderência entre a armadura e o concreto foi considerada perfeita, eliminando-se a possibilidade de ruptura por escorregamento das barras. Os nós dos elementos finitos representativos do reforço externo foram conectados aos nós adjacentes dos elementos de concreto simulando uma aderência perfeita entre os materiais. O carregamento foi estabelecido pela imposição de uma força concentrada do tipo displace.

Figura 16 – Malha de elementos finitos e disposição das armaduras.

Figura 17 – Condições de contorno e força concentrada.

Os parâmetros considerados no programa Diana e as propriedades mecânicas do concreto e da armadura inferior utilizadas na análise não-linear das vigas principais V1A, V1C e V2C estão representadas na Tabela 6.

Tabela 6 – Materiais e parâmetros do modelo numérico das vigas V1A, V1C e V2C

Vigas Parâmetros V1A V1C V2C

Módulo de elasticidade 30.034 MPa 26.553 MPa 29.380 MPa Coeficiente de Poisson 0,20 0,20 0,20

Resistência à tração 2,04 MPa 1,93 MPa 2,06 MPa Energia de fratura 0,151 N/mm 0,123 N/mm 0,155 N/mm

Largura da banda de fissuração 19,61 mm 20,12 mm 20,03 mm Resistência à compressão 37,84 MPa 33,95 MPa 38,68 MPa

Con

cret

o

Comportamento à tração Modelo exponencial Módulo de elasticidade 210.921 MPa 199.677 MPa 210.921 MPa Tensão de escoamento 547,99 MPa 532,44 MPa 547,99 MPa A

ço

Comportamento após escoamento Modelo de plasticidade sem encruamento

reforço

seção central

apoio do 1ºgrau

carregamento



52

Os valores de resistência à tração (tensile strength) considerados para o concreto, foram os obtidos segundo o ACI 318M (89) por meio da equação: 0,332⋅(fc)1/2. Os valores da largura da banda de fissuração (crack bandwidth) foram tomados considerando-se a raiz quadrada da área do elemento finito, conforme recomendação existente no manual do próprio Diana (Diana User`s Manual).

A presença do substrato de transição na viga V2C foi estabelecida por meio de uma superfície plana localizada no banzo tracionado do modelo. A aderência entre o substrato de transição e a superfície representativa do concreto adjacente foi considerada perfeita. As propriedades mecânicas do substrato de transição da viga V2C foram tomadas a partir dos valores da caracterização do compósito cimentício e estão indicadas na Tabela 7.

Tabela 7 – Materiais e parâmetros referentes ao substrato de transição da viga V2C

Modelo numérico V2C - Compósito cimentício CPM1A2C Linear Elasticity: Isotropic, Young´s modulus = 28.700 MPa, Poisson´s ratio = 0,20 Static Nonlinearity: Concrete and Brittle Materials, Total Strain Rotating Crack, Direct Input, Exponential Softening in Tension, Ideal in compression, Tensile strength = 2,24 MPa, Mode-I tensile fracture energy = 0,526 N.mm/mm2 , Crack bandwidth = (área do elemento finito)0,5 = 20,03 mm, Compressive strength = 28,07 MPa.

Os valores de Tensile strength aqui assumidos para a resistência à tração do compósito cimentício foram obtidos por meio da RILEM TC 162-TDF (2002b) através da equação: 0,6⋅ffct,L. O comportamento pós-pico do compósito cimentício foi representado por um diagrama do tipo Exponential softening in tension, tendo no elevado valor atribuído a energia de fraturamento, a indicação da presença das fibras e microfibras de aço. A energia de fratura foi calculada até um deslocamento vertical do corpo-de-prova prismático igual a δ = 2,65 mm.

4.6.2 Resultados da análise numérica Na Figura 18 as curvas força versus deslocamento vertical no meio do vão, obtidas

numericamente são comparadas com os resultados experimentais. Da Figura 19-a nota-se que na fase elástica, a curva numérica da viga de referência é idêntica à experimental e após a fissuração do concreto, a numérica mostra-se mais rígida. Já na fase de plastificação da armadura, ambas as curvas voltam a se aproximar.

Para a viga de referência, a força de primeira fissura obtida via MEF é de 24,60kN, a qual é 17% mais elevada do que a força de 21,01 kN, de primeira fissura, extraída dos resultados experimentais. Para a força de 85,3 kN ocorre o escoamento da armadura, representado pela queda acentuada da rigidez da curva numérica. Esse valor supera o obtido experimentalmente (79,80 kN) em apenas 6,89%.

Da Figura 18-b observa-se que o comportamento das curvas, numérica e experimental, é bem semelhante. Após a fissuração do concreto e até a força de 75 kN, a curva numérica apresenta-se um pouco mais rígida do que a experimental. Após esse valor de força as curvas voltam a evoluir de maneira bem semelhante até aproximadamente 128,62 kN, a partir daí então, e até a ruína, a curva numérica evolui com uma rigidez menor do que a da curva experimental.

A primeira fissura do concreto obtida via MEF ocorreu com P = 26,96 kN, sendo esse valor 7,15% superior ao obtido experimentalmente. O escoamento da armadura de acordo com o modelo numérico deu-se para uma força de 122,4 kN, ou seja, apenas 3,33% acima do valor experimental que é de 118,45 kN. Já o valor da força correspondente a ruína apontada pelo modelo numérico é de 134,34 kN, enquanto que a experimental é de 147,37 kN.



53

Da Figura 18-c verifica-se que até o escoamento da armadura, a curva numérica mostra maior rigidez do que a curva experimental. Após o escoamento da armadura, a curva numérica passa a apresentar maiores valores de deslocamentos verticais do que a curva experimental, dentro de um mesmo nível de carregamento.

O surgimento da primeira fissura de acordo com os resultados experimentais deu-se para uma força de 34,92 kN, enquanto que pelo modelo numéricos, deu-se para uma força de 32,16 kN. O escoamento da armadura conforme os resultados experimentais ocorreu para uma força de 133,37 kN, ao passo que o modelo numérico indicou escoamento para uma força de 129,64 kN. Esse valor é 2,88% inferior ao obtido experimentalmente. Quanto à ruína da viga V2C, o modelo numérico indicou um valor de força de 182,9 kN, ao passo que o valor de força experimental foi de 196,35 kN.

De um modo geral, as curvas numéricas de força versus deslocamento vertical no meio do vão da viga de referência e das vigas reforçadas apresentaram boa concordância com as curvas experimentais. Na fase elástica o comportamento das vigas foi praticamente idêntico, com exceção da curva do modelo V2C-Num, que se mostrou um pouco mais rígida que a curva experimental, mesmo nessa fase de carregamento.

Até o escoamento da armadura as curvas numéricas mostraram-se mais rígidas que as curvas experimentais. Já após o escoamento da armadura, os deslocamentos verticais representados pelos modelos das vigas reforçadas foram mais acentuados do que os resultados experimentais.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35Deslocamento vertical (mm)

Forç

a P

(kN

)

V1A - ExpV1A - Num

0

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

0 5 10 15 20 25

Deslocamento vertical (mm)

Forç

a P

(kN

) V1C - ExpV1C - Num

(a) Viga V1A

(b) Viga V1C

0153045607590

105120135150165180195210

0 5 10 15 20 25 30 35

Deslocamento vertical (mm)

Forç

a P

(kN

) V2C-ExpV2C - Num

(c) Viga V2C

Figura 18 – Comparação entre curvas P-δ numéricas e experimentais.



54

Na Figura 19 são estabelecidas comparações da evolução das deformações no reforço obtidas experimentalmente com os resultados extraídos da análise numérica. Os valores de deformações referem-se à seção central da viga.

Para a viga V1C, os valores de deformações numéricas do reforço no meio do vão correlacionam-se muito bem com os valores experimentais. Mesmo após a fissuração do concreto e o escoamento da armadura, a evolução das deformações numéricas representa satisfatoriamente os valores experimentais. Nota-se que até o escoamento da armadura, a curva numérica apresenta-se ligeiramente mais inclinada do que as experimentais. Após o escoamento da armadura, as deformações numéricas do reforço evoluem mais pronunciadamente e a ruína ocorre logo em seguida.

Da Figura 19-b, nota-se que o modelo numérico representa bem a evolução das deformações experimentais no reforço da viga V2C. Antes do escoamento da armadura, a curva numérica apresenta-se mais inclinada do que a curva experimental. Mesmo após o escoamento da armadura, a curva numérica evoluiu semelhantemente às deformações experimentais.

0153045607590

105120135150

0 1 2 3 4 5 6Deformação (‰)

Forç

a P

(kN

)

ext19ext20ext21Numérico

02040

6080

100120140

160180200

0 1 2 3 4 5 6 7 8Deformação (‰)

Forç

a P

(kN

)ext.19ext.20Numérico

(a) Viga V1C (b) Viga V2C

Figura 19 – Deformações numéricas e experimentais no meio do reforço.

5 CONCLUSÕES

A pesquisa realizada teve como objetivo geral propor e examinar uma técnica construtiva inovadora para reforço à flexão de vigas de concreto armado. Essa técnica compreende um processo de prévia recuperação das vigas com um compósito de alto desempenho à base de cimento Portland e fibras curtas de aço, destinado a constituir o aqui chamado “substrato de transição”.

Após a realização de diversas etapas de análise experimental e teórica, pode-se concluir que a técnica proposta – ainda que passível de novos aperfeiçoamentos, como qualquer outra técnica – mostra-se eficiente tanto na reconstituição do banzo tracionado de vigas de concreto armado como na melhoria do desempenho da viga como um todo, em particular na exploração mais eficaz das propriedades resistentes do reforço com mantas de PRFC.

O desenvolvimento da pesquisa não se limitou ao simples teste e comparação de vigas reforçadas e não-reforçadas, mas procurou abranger diversos fundamentos e avaliações científicas que focalizaram o problema em questão. Da análise conjunta de todos os resultados obtidos, é que se pôde concluir que o objetivo pretendido foi alcançado. Por fim, destaca-se uma síntese das conclusões parciais e comentários complementares sobre cada estudo específico elaborado:

• a adição das microfibras de aço às fibras convencionais, potencializa uma maior contribuição da matriz para a resistência do compósito e a melhoria do mecanismo de transferência de tensões da matriz para as fibras;



55

• com a fissuração da matriz, a transferência de tensões foi facilitada pelas microfibras de aço que, em grande quantidade na matriz, condicionaram o avanço das fissuras à elevação do nível de carregamento;

• tanto compósitos de argamassa quanto de microconcreto podem ser dosados para obtenção de propriedades satisfatórias para reconstituição do banzo tracionado das vigas de concreto armado. No entanto, a presença de agregados graúdos, em geral, é uma característica vantajosa para o compósito de microconcreto em relação ao de argamassa. O agregado graúdo melhora a aderência da manta de PRFC ao substrato da viga;

• o reforço à flexão de vigas por meio da colagem externa de manta de PRFC a um substrato de transição constitui uma estratégia eficiente e de aplicação prática na Engenharia;

• apesar de se ter analisado, nas últimas etapas experimentais da pesquisa, um único caso (viga V2C), ficou demonstrado que a reconstituição prévia do banzo tracionado com um compósito cimentício de alto desempenho à base de macro e microfibras de aço evita a rápida propagação de fissura crítica na extremidade do reforço e retarda o desprendimento prematuro da manta. Com a presença de um material de maior resistência ao fraturamento no banzo tracionado da viga, as fissuras são mais distribuídas e de menor abertura ao longo da extensão do reforço;

• além de expressivo incremento na resistência, a colagem da manta de PRFC a um substrato de transição leva a significativo aumento da rigidez da viga em relação a uma viga sem substrato de transição;

6 AGRADECIMENTOS

Agradecemos à FAPESP e à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada. Agradecemos também à Maccaferri – América Latina pela produção das microfibras de aço.

7 REFERÊNCIAS

BEBER, A. J. Comportamento estrutural de vigas de concreto armado reforçadas com compósitos de fibra de carbono. 2003. Tese (Doutorado) – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2003.

DIANA – Finite Element Analysis - User`s Manual release 9. Delft, The Netherlands.

FERRARI, V. J. Reforço à flexão em vigas de concreto armado com manta de fibra de carbono: mecanismos de incremento de ancoragem. 2002. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2002.

JUVANDES, L. Reforço e reabilitação de estruturas de betão usando materiais compósitos de “CFRP”. 1999. Tese (Doutoramento) – Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP), Departamento de Engenharia Civil, Porto, 1999.

LEUNG, C.K.Y. FRP debonding from a concrete substrate: Some recent findings against conventional belief. Cement & Concrete Composites, v. 28, p. 742-748, June, 2006.



56

REIS, A. P. A. Reforço de vigas de concreto armado submetidas a pré-carregamento e ações de longa duração com aplicação de concretos de alta resistência e concretos com fibras de aço. 2003. Tese (Doutorado) – Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de São Carlos, 2003.

RILEM TC 162-TDF. Test and design methods for steel fibre reinforced concrete. Bending test. Materials and Structures/Matériaux et Constructions, v. 35, p. 579-582, Nov., 2002a.

RILEM TC 162-TDF. Test and design methods for steel fibre reinforced concrete. Design of steel fibre reinforced concrete using the σ-w method: principles and applications. Materials and Structures/Matériaux et Constructions, v. 35, p. 262-278, June, 2002b.

ISSN 1809-5860


ESTUDO DE CÁLICE DE FUNDAÇÃO COM ÊNFASE NOS ESFORÇOS NAS PAREDES TRANSVERSAIS DO COLARINHO

Vinicius César Pereira Nunes1 & Mounir Khalil El Debs2

R e s u m o Este trabalho apresenta uma análise da ligação pilar-fundação por meio de cálice em estruturas de concreto pré-moldado, focando os esforços nas paredes transversais do colarinho. No programa experimental foram ensaiados dois protótipos submetidos à flexão com grande excentricidade: um com interface pilar-colarinho lisa e o outro com interface rugosa por meio de chaves de cisalhamento. Foi adotado um detalhamento diferenciado para as armaduras verticais principais concentrando as mesmas próximas aos cantos, bem como foi adotada, para o colarinho, uma espessura inferior à recomendada pela literatura técnica. Com os resultados experimentais foi possível analisar a resistência dos protótipos, as deformações das armaduras e os deslocamentos das paredes. Foi realizada uma análise dos resultados experimentais com um modelo de cálculo da literatura técnica, no que diz respeito às forças resultantes nas armaduras verticais principais e nas armaduras horizontais principais situadas nas paredes transversais do colarinho, considerando duas situações distintas de comportamento para as paredes transversais: flexo-tração e tração. Em função dos resultados foi verificado que as armaduras verticais situadas próximo aos cantos contribuíram efetivamente para a resistência do protótipo com interface lisa. Comprovou-se que as paredes transversais foram submetidas a uma flexo-tração e que o modelo teórico aplicado considerando 15% de flexão e 85% de tração apresenta os melhores resultados, se comparados com os valores obtidos experimentalmente. Palavras-chave: Concreto pré-moldado. Cálice de fundação. Colarinho. Paredes transversais. Chave de cisalhamento.

STUDY OF THE SOCKET BASE FOUNDATION WITH EMPHASIS ON THE EFFORTS OF TRANSVERSE WALLS

A b s t r a c t This research presents an analysis of socket base connections of precast concrete structures, with emphasis on the efforts of transverse walls. In the experimental program were tested two prototypes subjected to bending with great eccentricity: one with smooth interface, and other with rough interface through shear keys. It adopted a different detail for main vertical reinforcement, concentrating them around the corner, and was adopted for the socket, a thickness small than that recommended by the technical literature. Based on experimental results were performed the analysis of the strength of prototypes, the deformations of the reinforcement, and the deflection of the walls. It was performed an analysis of experimental results with a design model of the technical literature regarding to the forces resulting in main vertical and horizontal reinforcement located on the transverse walls of socket, considering two different situations of behavior to transverse walls: bending-tension and tension. Analyzing the results, it was verified that the vertical reinforcement located near the corners effectively contributed to the strength of the prototype with smooth interface. It has been proved that the walls were subjected to a bending tension and that the theoretical model applied with 15% of bending and 85% of tension gives the best results, when compared with the values obtained experimentally. Keywords: Precast concrete. Socket foundation. Pedestal walls. Transverse walls. Shear key.

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected], [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Vinicius César Pereira Nunes & Mounir Khalil El Debs


58

1 INTRODUÇÃO

Com o avanço da tecnologia, a busca pela otimização dos processos construtivos assume fundamental importância. O sistema estrutural em concreto pré-moldado é uma opção bastante interessante quando se busca racionalização da construção. Em relação ao comportamento estrutural, as ligações entre os elementos de concreto pré-moldado são de fundamental importância para o bom funcionamento dessas estruturas, já que possuem grande influência na rigidez das mesmas. A ligação pilar fundação por meio de cálice é uma alternativa bastante utilizada no Brasil e em todo o mundo, pois apresenta uma série de vantagens, dentre as quais podemos destacar a facilidade e rapidez na montagem, boa capacidade de transmissão de esforços, entre outras. A ligação por meio de cálice é feita embutindo certo trecho do pilar em um nicho no elemento estrutural de fundação, que possibilite a acomodação do pilar. São utilizados dispositivos de centralização para possibilitar o correto posicionamento, em planta e em nível, do pilar. O prumo e a fixação temporária são garantidos utilizando cunhas de madeira, por exemplo. Posteriormente, a ligação é efetivada preenchendo-se o espaço vazio entre o pilar e o cálice com graute ou concreto. A seguir, na Figura 1, são apresentadas as variantes do cálice de fundação. Nesta pesquisa foi adotada a variante do cálice de fundação com colarinho externo sobre sapata.

Figura 1 – Formas do cálice de fundação - EL DEBS (2000) - adaptada de CANHA(2004).

O objetivo principal desta pesquisa consiste em dar continuidade ao estudo da ligação pilar-fundação por meio de cálice, em estruturas de concreto pré-moldado, iniciado por Canha (2004) na Escola de Engenharia de São Carlos - EESC USP, avançando no conhecimento a respeito deste tipo de ligação. Para isto foram realizados ensaios em modelos físicos buscando analisar o comportamento experimental da ligação.

Estudo de cálice de fundação com ênfase nos esforços nas paredes transversais do colarinho


59

Mais especificamente foi analisado o comportamento da ligação no que se refere às paredes transversais ao sentido da solicitação, bem como se avaliou o comportamento das armaduras verticais situadas nas proximidades da intersecção entre as paredes transversais e longitudinais. Confrontaram-se os resultados experimentais das resultantes nas armaduras verticais principais e horizontais principais com os valores calculados pelo modelo de projeto proposto por Canha (2004). Também foi realizada a análise da transmissão das tensões de compressão nas paredes transversais do cálice com interface pilar colarinho-rugosa.

2 MODELOS ANALISADOS EXPERIMENTALMENTE

Para este trabalho, optou-se por construir um modelo com interface pilar-colarinho lisa (IL5) e comprimento de embutimento igual a 2,0h, e outro com interface rugosa (IR4) e comprimento de embutimento igual a 1,6h. A mudança em termos de geometria do cálice, deveu-se à redução da espessura da parede do colarinho (hc = hint/3,5 = 15cm) ao contrário do valor mínimo recomendado por Leonhardt & Mönnig (1977) (hc = hint/3 = 17cm). A Tabela 1 e a Figura 2 apresentam, respectivamente, um resumo das características geométricas e a nomenclatura da geometria dos modelos físicos contemplados, inclusive os ensaiados por Canha (2004) e Jaguaribe Jr. (2005).

Tabela 1 – Características geométricas dos modelos ensaiados

Modelo Interface e (cm)

l emb

(cm) hc

(cm) ach

(graus) hch

(cm) l ch

(cm) e’ch (cm)

IL1 Lisa 185 80 17 - - -

IL2 Lisa 185 80 17 - - -

IL3 Lisa 120 80 17 - - -

IL4 Lisa 120 64 17 - - -

IL5 Lisa 120 80 15 - - -

IR1 Rugosa 120 64 17 45 1 6 4

IR2 Rugosa 120 64 17 45 1 3 1

IR3 Rugosa 120 48 17 45 1 6 4

IR4 Rugosa 120 64 15 45 1 6 4

A geometria dos modelos foi definida a partir de um pilar de seção transversal quadrada, de seção 40x40 cm. Os comprimentos de embutimento adotados foram os mínimos recomendados pela NBR 9062 (1985); 2,0h para interface lisa e 1,6h para interface rugosa, bem como a espessura da parede do colarinho (hc), foi adotada como sendo hc = hint /3,5 = 15cm. O dimensionamento das armaduras do colarinho foi realizado segundo recomendações de Leonhardt & Mönnig (1977) e NBR 9062 (1985). Em relação à excentricidade, adotou-se o valor de 1,20 m nos modelos IL5 e IR4. Em relação à adesão na interface pilar colarinho, resolveu-se retirá-la, com a aplicação de desmoldante na face interna do colarinho e face externa do pilar, na região de embutimento. Esse procedimento é perfeitamente plausível, pois não se garante uma perfeita adesão entre os elementos estruturais no caso de uma situação real de projeto. Portanto, com a retirada da adesão, apenas a parcela do atrito é mobilizada na interface pilar-colarinho.



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Figura 2 – Nomenclatura das dimensões adotadas para os modelos físicos.

As dimensões das chaves de cisalhamento do modelo rugoso foram adotadas como sendo as mínimas recomendadas pela NBR 9062 (1985) (1cm a cada 10cm de junta).

2.1 Características dos protótipos analisados

A seguir são apresentadas as principais propriedades dos modelos físicos ensaiados, bem como são destacadas as modificações em relação ao detalhamento e instrumentação dos mesmos.

2.1.1 Dimensionamento das armaduras O dimensionamento das armaduras do colarinho dos protótipos foi realizado com base no modelo de Leonhardt & Mönnig (1977), que é o mais utilizado na prática atual de projetos, bem como seguiu-se as recomendações da NBR 9062 (1985) e El Debs (2000).



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Com o objetivo de analisar o comportamento da região dos vértices das paredes do colarinho, a armadura vertical secundária foi posicionada próximo a esta região, de maneira que a mesma funcione como armadura vertical principal. Com o objetivo de facilitar a montagem e instrumentação dos Modelos, utilizou-se o mesmo detalhamento das armaduras horizontais adotado por Jaguaribe Jr. (2005), no qual é disposta uma armadura perimetral externa, complementada por quatro barras internas em forma de “U”, por camada. As armaduras do pilar foram dimensionadas para uma solicitação à flexão normal composta, com grande excentricidade, considerando a máxima capacidade do atuador, e a excentricidade de 1,85m. Portanto adotou-se o mesmo detalhamento e armaduras utilizados por Canha (2004).

2.1.2 Instrumentação das armaduras Com o objetivo de analisar o comportamento do cálice do protótipo IL5, foram dispostos extensômetros apenas nas armaduras principais do colarinho. Portanto, dispuseram-se extensômetros nas armaduras verticais principais, na posição de ligação colarinho-base da fundação, de maneira a avaliar o funcionamento dessas armaduras. De modo a avaliar o comportamento das armaduras verticais secundárias, foram posicionados extensômetros na mesma posição referente às armaduras verticais principais, inclusive nas que se situam próximo aos vértices. Com relação às armaduras horizontais, foram instrumentadas tanto as armaduras situadas nas paredes transversais, para verificar a flexão dessas paredes, como as situadas nas paredes longitudinais do protótipo IL5, para obtenção da força máxima transmitida por esta armadura. Como na pesquisa realizada por Canha (2004), verificou-se a presença de esforços de flexo-tração significativos na parede transversal frontal, resolveu-se aumentar o número de pontos de instrumentação das armaduras horizontais principais. A mesma precaução foi tomada em relação às armaduras horizontais principais da parede transversal posterior, embora para os protótipos com interface lisa a flexão desta parede não seja significativa. Os transdutores de deslocamento foram posicionados de maneira a avaliar a deformabilidade dos protótipos como um todo. Utilizou-se a mesma quantidade em relação aos modelos analisados por Jaguaribe Jr. (2005), todavia o posicionamento da segunda camada foi alterado, passando a se localizar na metade do comprimento de embutimento. Com o objetivo de avaliar a forma de dissipação das tensões de compressão das paredes transversais do colarinho para a base da fundação do protótipos com interface rugosa, foram dispostos extensômetros em três níveis, nas armaduras verticais principais e nas armaduras verticais secundárias centrais das paredes transversais do colarinho. Devido à limitação de pontos de leitura do sistema de aquisição de dados (aproximadamente 70 pontos), foi possível apenas instrumentar a camada inferior da armadura vertical secundária de uma das paredes longitudinais do colarinho. Também por esse motivo, não objetivou-se analisar o comportamento das armaduras verticais secundárias, situadas próximo aos vértices do cálice. Com relação às armaduras horizontais do protótipo IR4, foi instrumentada apenas uma camada das armaduras horizontais principais, visto que na pesquisa realizada por Canha (2004), comprovou-se que as deformações nos níveis superior e inferior dessa armadura não variam significativamente. Com o objetivo de avaliar a flexão das paredes transversais nos níveis inferiores do comprimento de embutimento, foi instrumentada uma camada da armadura horizontal secundária. Como na pesquisa realizada por Canha (2004) verificou-se a presença de esforços de flexo-tração significativos nas duas paredes transversais, resolveu-se aumentar o número de pontos de instrumentação das armaduras horizontais principais.



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2.2 Dispositivos, equipamentos e instrumentos utilizados no ensaio dos protótipos

Na Figura 3 apresenta-se o detalhamento do ensaio dos modelos físicos. Devido à limitação da altura de içamento, foi necessário tomar um cuidado especial quanto ao projeto das alças para içar os modelos no que diz respeito à altura desta, visto que, qualquer erro nesta altura poderia comprometer o posicionamento dos Modelos na base metálica de reação

Figura 3 – Detalhamento do esquema de ensaio dos modelos físicos - Canha (2004).

Na Tabela 2 são apresentadas as características dos equipamentos e extensômetros utilizados no ensaio dos Modelos. As especificações dos transdutores de deslocamento são apresentadas na Tabela 3.



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Tabela 2 – Especificações dos equipamentos e instrumentos utilizados

Equipamento/ instrumento Marca Modelo Características Finalidade

Sistema de aquisição de dados de extensometria

Vishay Measurements

Group inc. SYSTEM 500 - Aquisição automática de dados

Atuador servo-hidráulico INSTRON A1981Y-101

Controle de deslocamento do

pistão

Aplicação do carregamento dos modelos

Máquina de ensaio servo-hidráulica INSTRON 8506

Controle de deslocamento do

pistão

Caracterização do concreto à compressão e das armaduras e

chumbadores

Máquina hidráulica automática ELE Autotest2000 Controle de força

Caracterização do concreto à tração por comp. diametral e na

flexão Extensômetros

elétricos de resistência

KYOWA KFG-5-120-C1-11 GF=2,12 Medição das deformações do

aço

Extensômetro removível MSI - Base de medida

=20cm

Medição do deslocamento do concreto para determinação do

módulo de deformação

Tabela 3 – Especificação dos transdutores de deslocamento utilizados

Marca Finalidade Tipo Base (mm)

Resolução (mm)

KYOWA Medição dos deslocamentos

DT10-D DT10-D DT10-D

10 20

100

0,003 0,005 0,02

3 RESULTADOS EXPERIMENTAIS

A seguir, são apresentados os resultados obtidos a partir da investigação experimental dos protótipos.

3.1 Caracterização dos materiais

Nas Tabelas 4 a 7 são apresentados os valores médios dos resultados obtidos nos ensaios de caracterização dos materiais utilizados nos protótipos. A idade do concreto refere-se ao tempo decorrido entre a moldagem do concreto e a data do ensaio. Vale salientar que os valores das propriedades mecânicas do concreto do pilar são referentes ao utilizado no protótipo IR4. A razão disso é o fato dos pilares terem sido moldados com o mesmo concreto, bem como os mesmos possuíam importância secundária nesta pesquisa.

Tabela 4 – Propriedades mecânicas das armaduras

F fym(MPa) eym(‰) fstm(MPa)

6.3 592 2,82 719 8.0 585 2,78 711



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Tabela 5 – Propriedades mecânicas do concreto do cálice

Protótipo fcm (MPa)

fctm (MPa)

Ecm (GPa)

Idade (dias)

IL5 35,5 3,13 30,02 118

IR4 41,5 3,30 32,5 189

Tabela 6 – Propriedades mecânicas do concreto da junta de preenchimento


fctm (MPa)

Ecm (GPa)

Idade (dias)

IL5 59,9 4,10 39,1 118

IR4 64,5 4,15 40,5 189

Tabela 7 – Propriedades mecânicas do concreto do pilar


fctm (MPa)

Ecm (GPa)

Idade (dias)

IR4 46,64 7,10 40,5 189

3.2 Resultados dos ensaios dos protótipos

Em relação à capacidade de transmissão de esforços, como o pilar foi dimensionado para a capacidade máxima do atuador (de tal maneira que a ruptura ocorresse no cálice), a resistência dos dois Modelos foi determinada pela força última absorvida pelo cálice de fundação, com predominância do escoamento das armaduras verticais principal e secundária, situadas na parede 2 e nas paredes longitudinais 3 e 4, como será explicitado mais adiante.

3.2.1 Resistência e ruptura da ligação A Tabela 8 apresenta os resultados experimentais da força normal última e momento fletor último dos protótipos ensaiados. Como esperado, o Modelo IR4 apresentou uma maior capacidade resistente em relação ao Modelo IL5. Tabela 8 – Resistência experimental dos protótipos

Modelo e (cm) Nu (kN) Mu (kN.m)

IL5 1,2 287,6 345,1

IR4 1,2 388,9 466,7

As Figuras 4 e 5 apresentam, respectivamente, a curva força normal versus deformação média na primeira camada da armadura horizontal principal, situada no terço superior da parede transversal 1 e o descolamento da junta entre os elementos do Modelo IL5. Analisando as Figuras 4 e 5, constata-se que a ruptura do concreto da junta ocorreu com aproximadamente 70% do valor da força normal última alcançada(pois a partir desse instante ocorre mobilização significativa da armadura analisada), ao contrário do que se esperava, já que foi aplicado



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desmoldante entre a junta e os elementos(cálice e pilar). Em relação ao Modelo IR4, a ruptura ocorreu com aproximadamente 77% do valor da força normal última alcançada.

Figura 4 – Curva força aplicada versus deformação na primeira camada da armadura horizontal principal -

Modelo IL5.

3.2.2 Comportamento da armadura horizontal principal transversal Apresenta-se na Figura 6 a curva força aplicada versus deformação, para as armaduras horizontais principais situadas na região superior da parede transversal 1, do Modelo IL5.

Figura 5 – Descolamento da junta entre os elementos constituintes da ligação do Modelo IL5.

Como esperado, essas armaduras foram efetivamente solicitadas a partir do momento em que ocorreu uma pequena fissura na região da junta de preenchimento e conseqüentemente o



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deslizamento do pilar na região de embutimento, caracterizando a ruptura da adesão existente entre os elementos. A partir deste momento ocorre a mobilização efetiva da resultante de pressões Hsup no topo da parede transversal 1. Como esperado, os dois ramos das armaduras horizontais principais foram tracionados. Além disso, como pode ser observado, no momento em que ocorre o deslizamento do pilar na região de embutimento (força de aproximadamente 105kN), os extensômetros HST4 e HST11 sofreram deformações negativas, indicando que a região interna da parede transversal 1 estava comprimida, caracterizando portanto uma flexo-tração dessa parede.

Figura 6 – Curva força aplicada versus deformação na armadura horizontal principal transversal - Modelo IL5.

Figura 7 – Curva força aplicada versus deformações medidas nas paredes transversais - Modelo IR4.

Como mostrado anteriormente, ocorreu apenas um pequeno destacamento da interface pilar-colarinho, indicando que embora se tenha tentado retirar a adesão entre o concreto da junta e dos



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elementos, a mesma contribuiu para que as deformações das armaduras horizontais principais fossem pequenas. Isso confirma a hipótese que a ligação apresenta um comportamento muito próximo do monolítico até o momento em que ocorre a perda de adesão entre o concreto da junta e dos elementos. Na Figura 7 apresenta-se a curva força aplicada versus deformação na armadura horizontal principal do Modelo IR4. Como esperado, essas armaduras foram pouco solicitadas na maior parte do ensaio, pois, com a presença das chaves de cisalhamento, a ligação apresenta um comportamento muito próximo ao de uma ligação monolítica.

3.2.3 Comportamento das armaduras verticais principais e secundárias A Figura 8 apresenta a curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais principais e secundárias situadas nas paredes transversal 2 e longitudinais. Verifica-se que ocorreu o escoamento de todos os ramos das armaduras verticais principais. Esse comportamento já havia sido observado por Canha (2004), entretanto como já dito anteriormente, para este trabalho utilizou-se um detalhamento diferente para as armaduras verticais. Esta diferença consiste na concentração das armaduras verticais secundárias próximo aos cantos, mais precisamente na união com as paredes 3 e 4. Analisando a Figura 8, observa-se que essas armaduras contribuíram para a resistência da ligação, inclusive os ramos presentes nas paredes longitudinais (T7 e T8).

Figura 8 – Curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais principais e secundárias - Modelo

IL5.

A Figura 9 apresenta a curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais secundárias situadas nas paredes 2, 3 e 4. Observa-se que os ramos situados na parede transversal 2 foram bastante solicitados, atingindo o escoamento e plastificação. Verifica-se que as armaduras verticais situadas nas paredes longitudinais 3 e 4 foram realmente mobilizadas no momento da ruptura da adesão existente entre a junta e os elementos. Observa-se que apenas um dos ramos dessa armadura atingiu o escoamento(CL2).



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Figura 9 – Curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais secundárias - Modelo IL5.

Apresenta-se na Figura 10 a curva força aplicada versus deformação média nas armaduras verticais secundárias situadas nas paredes 2 e 4. Observa-se que as armaduras situadas na parede 2 foram significativamente solicitadas, contribuindo para a resistência da ligação. As armaduras situadas nas paredes longitudinais 3 e 4 não foram efetivamente solicitadas até o momento em que houve o rompimento da adesão existente entre os elementos, onde a partir deste momento ocorreu uma redistribuição de esforços e conseqüentemente alteração da rigidez, atingindo uma deformação máxima de 2,5 ‰

Figura 10 – Curva força aplicada versus deformação média nas armaduras verticais secundárias situadas nas

paredes 2 e 4 - Modelo IL5.



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3.3 Análise das forças resultantes nas armaduras principais dos protótipos

A seguir, são apresentados os resultados referentes as forças atuantes nas armaduras verticais principais e horizontais principais dos protótipos analisados experimentalmente.

3.3.1 Obtenção das resultantes experimentais na armadura vertical principal e nas armaduras horizontais principais da parede transversal 1 - Modelo IL5 As Tabelas 9 e 10 apresentam a comparação entre os resultados teóricos e experimentais considerando flexo-tração e tração, respectivamente, para os ramos interno e externo das armaduras horizontais principais situadas no topo da parede transversal 1 do Modelos IL5:

Tabela 9 – Forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 1 supondo um comportamento à flexo-tração - Modelo IL5

Protótipo Modelo Ramo externo (kN) Ramo interno (kN)

IL5 CANHA 86,9 21,5

Experimental 86,4 14,7

Tabela 10 – Forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 1 supondo um comportamento à tração - Modelo IL5


IL5 CANHA 63,8 63,8


Analisando a Tabela 9, constata-se uma aproximação razoável comparando os resultados experimentais com os obtidos teoricamente, ficando as diferenças em torno de 0,5% para o ramo externo e em torno de 49% para o ramo interno da armadura horizontal principal. Comparando os valores da Tabela 10 constata-se uma discrepância maior dos resultados, mostrando que o modelo de cálculo proposto por Canha (2004), considerando o comportamento à flexo-tração, é mais coerente com os resultados experimentais.

3.3.2 Obtenção da resultante experimental de pressões no topo das paredes transversais - Modelo IR4 A Tabela 11 apresenta os esforços obtidos experimentalmente nos ramos internos e externo da armadura horizontal principal situada no topo das paredes transversais 1 e 2 do protótipo IR4.

Tabela 11 – Esforços atuantes no topo das paredes 1 e 2 - Modelo IR4 (esforços em kN)

Parede 1 Parede 2 Rshmt1,e 54,43 Rshmt2,e 54,43 Rshmt1,i 5,12 Rshmt2,i 5,12

H1 915 H2 915 Htop1 549 Htop2 549



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Com o objetivo de realizar uma análise comparativa entre resultados teóricos e experimentais, foi aplicado o modelo de Canha (2004) para obtenção das resultantes nos ramos interno e externo da armadura horizontal principal das paredes transversais 1 e 2 do Modelo IR4, considerando primeiramente um comportamento à flexo-tração e posteriormente um comportamento à tração para essas paredes. A Tabela 12 apresenta a comparação entre as forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 1 do Modelo IR4, considerando um comportamento à flexo-tração para esta parede. A Tabela 13 apresenta a comparação entre as forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 2 do Modelo IR4, considerando um comportamento à flexo-tração.

Tabela 12 – Forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 1, supondo um comportamento à flexo-tração - Modelo IR4


IR4 CANHA 187,1 46,3


Tabela 13 – Forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 2,supondo um comportamento à flexo-tração - Modelo IR4


IR4 CANHA 179,3 44,5


De posse dos resultados experimentais, verifica-se que a parede 2 é mais solicitada, se comparada com a parede 1. Observa-se também que o modelo teórico fornece melhores resultados para os esforços atuantes na parede 2. Verifica-se que os ramos externos da armadura horizontal principal situada na parede 1, foram mais solicitados que os ramos internos. O mesmo não é válido para a parede 2, onde observa-se um maior valor para o ramo interno. Entretanto essa diferença não parece significativa, em virtude das condições de ensaio.

Tabela 14 – Forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 1 - Tração - Modelo IR4


IR4 CANHA 137,25 44,5


Tabela 15 – Forças atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal da parede 2 - Tração - Modelo IR4


IR4 CANHA 63,8 63,8




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Nas Tabelas 14 e 15 são apresentados os esforços finais obtidos experimental e teoricamente para os ramos externo e interno das armaduras horizontais principais situadas nas paredes 1 e 2, respectivamente, considerando apenas esforços de tração para essas paredes. Observando as Tabelas 14 e 15, percebe-se uma incoerência nos resultados obtidos segundo o cálculo teórico, pois verifica-se que, como esperado a parede 2 apresentou uma maior intensidade de esforços de tração. De acordo com o modelo teórico, os esforços na parede 1 são mais intensos em relação aos que atuam na parede 2. Observa-se que ocorreu uma discrepância significativa dos resultados experimentais dos ramos interno e externo da parede transversal 1. Isso pode ser explicado como um provável problema com a aquisição dos dados. Observa-se também que os ramos internos da parede transversal 2 foram mais solicitados que os ramos externos, entretanto essa diferença não é significativa, dada a diversidade de variáveis existentes em ensaios experimentais.

3.4 Análise da distribuição de tensões nas paredes transversais ao longo do comprimento de embutimento - Modelo IR4

As Figuras 11 e 12 apresentam, respectivamente, as curvas força aplicada versus deformação nas armaduras verticais principais e secundárias situadas na parede transversal 1, ao longo do comprimento de embutimento, do Modelo IR4.

Figura 11 – Curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais principais - Parede 1 - Modelo IR4.

Observa-se que, com exceção do extensômetro T-4, os ramos das armaduras verticais principais foram pouco solicitados até o momento onde ocorreu a ruptura da junta, situada na interface entre o pilar e o colarinho. A partir deste momento ocorre uma mobilização das armaduras, indicando que a região mais comprimida desta parede situa-se na porção inferior do comprimento de embutimento. À medida que o ramo da armadura vertical se aproxima do topo do comprimento de embutimento, este vai sendo menos solicitado a compressão, indicando coerência na hipótese de que as bielas comprimidas possuem uma menor inclinação em relação à direção horizontal na região superior do colarinho. Analisando a Figura 12 observa-se que, com exceção do extensômetro CT-11, as armaduras verticais secundárias situadas na parede transversal 1 foram comprimidas, com tendência de



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diminuição de intensidade á medida que os ramos se aproximam da região superior do comprimento de embutimento.

Figura 12 – Curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais secundárias - Parede 1 - Modelo

IR4.

As Figuras 13 e 14 apresentam a curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais principais e secundárias situadas na parede transversal 2, ao longo do comprimento de embutimento, do Modelo IR4.

Figura 13 – Curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais principais Parede 2 - Modelo IR4.

Analisando as Figuras 13 e 14 verifica-se que a partir do momento onde há a ruptura da junta, ocorre uma mobilização das armaduras verticais, indicando que a região inferior da parede 2 é mais solicitada à tração. À medida que os ramos das armaduras verticais se aproximam do topo da parede transversal 2, os mesmos são menos solicitados, mostrando que ocorre uma tendência das bielas comprimidas, formadas pelas chaves de cisalhamento, terem uma menor inclinação em relação à direção horizontal no topo da parede 2 do colarinho.



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Figura 14 – Curva força aplicada versus deformação nas armaduras verticais secundárias - Parede 2 - Modelo

IR4.

Da análise da Figura 14, constata-se que a região inferior do ramo da armadura vertical secundária, situada na parede 2 do Modelo IR4, foi bastante tracionada, alcançando o escoamento. O mesmo não se observa á medida que o ramo se aproxima da região superior do comprimento de embutimento.

4 CONCLUSÕES

O Modelo IL5 apresentou um comportamento semelhante ao de uma ligação monolítica até o momento em que ocorreu a ruptura da adesão existente entre a junta e os elementos da ligação (pilar e cálice). A partir deste momento as armaduras horizontais principais foram efetivamente solicitadas, tracionando os ramos externo e interno desta armadura. Foi constatada a presença de valores negativos para as deformações dos ramos internos desta armadura, caracterizando um comportamento à flexo-tração para a região que compreende o terço superior do comprimento de embutimento, comprovando que a consideração desta região para o dimensionamento e detalhamento das armaduras horizontais principais é bastante coerente. Foi constatado o escoamento das armaduras verticais principais quando da ruptura da ligação. Este escoamento foi constatado tanto nas armaduras verticais situadas no encontro da parede 2 com as paredes longitudinais 3 e 4, quanto nas armaduras verticais situadas nas proximidades dos cantos, indicando que não apenas a região de intersecção, mas uma faixa que se estende para a parede 2 e para as paredes longitudinais, contribui para a resistência da ligação. Verificou-se também o escoamento da armadura vertical secundária situada no centro da parede transversal 2. Verificou-se que o modelo de cálculo proposto por CANHA (2004) forneceu bons resultados para o valor das resultantes de força atuantes nos ramos externo e interno da armadura horizontal principal situada no topo da parede transversal 1. As discrepâncias foram menores quando da consideração de um comportamento à flexo-tração, para essa parede, ficando as diferenças em torno de 0.5% e 49% para os ramos externo e interno, respectivamente. Para o Modelo IR4 também foi constatado um comportamento semelhante ao de uma ligação monolítica até o momento em que ocorreu a ruptura da adesão existente entre a junta e os elementos da ligação. A partir deste momento as armaduras horizontais principais foram efetivamente solicitadas, acarretando tração nos ramos externo e interno. Foi constatado que o topo da parede transversal 2 é mais solicitado se comparado com os resultados obtidos para a parede 1.



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Foi observado que o modelo teórico proposto por CANHA (2004) fornece resultados mais próximos aos experimentais para a parede 2. Constata-se que o modelo teórico aplicado na análise da parede transversal 2 apresentou resultados mais próximos aos experimentais supondo um comportamento à tração para esta parede, ficando as diferenças em torno de 57% e 83% para os ramos externo e interno, respectivamente. Constatou-se que os ramos das armaduras verticais principais da parede 1 foram pouco solicitados até o momento onde ocorre a ruptura da junta entre os elementos constituintes da ligação. A partir desse momento essas armaduras são efetivamente mobilizadas, ficando a região inferior do colarinho comprimida. À medida que o ramo da armadura vertical se aproxima da região superior do colarinho, este vai sendo menos solicitado à compressão, indicando coerência na hipótese de que na região superior do colarinho ocorre uma diminuição no ângulo formado entre as bielas e a direção horizontal. Este mesmo comportamento foi observado para as armaduras verticais secundárias. Para as armaduras verticais principais situadas na parede 2, foi constatado que a região inferior do colarinho foi mais solicitada à tração. À medida que o ramo da armadura vertical principal se aproxima da região superior do colarinho, essa vai sendo menos solicitada à tração, indicando coerência na hipótese de que as bielas diminuem de inclinação em relação à direção horizontal à medida que se aproximam da região superior do colarinho.

5 AGRADECIMENTOS

Agradecemos a CAPES e à FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada.

6 REFERÊNCIAS

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CANHA, R. M. F. et al. Analysis of the behaviour of transverse walls of socket base connections. Engineering Structures. 34p. 2004. (Artigo aguardando publicação).

CANHA, R. M. F. et al. Behaviour of socket base connections emphasizing on pedestal walls. ACI Structural Journal. (Artigo submetido).

CANHA, R. M. F. Estudo teórico-experimental da ligação pilar-fundação por meio de cálice em estruturas de concreto pré-moldado. 2004. 279p. Tese (Doutorado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2004.

CALIL JR., C.; CHEUNG, A. B. Silos: pressões, fluxo, recomendações para o projeto e exemplos de cálculo. São Carlos: EESC-USP, 2007. 240p. ISBN: 978-85-85205-71-3.



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EL DEBS, M. K. Concreto pré-moldado: fundamentos e aplicações. São Carlos: EESC-USP, 2000. 441p. ISBN: 8585205350.

LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de concreto: Princípios básicos sobre armação de estruturas de concreto armado. Rio de Janeiro: Interciência, 1977-1979. v.3.

NUNES, V. C. P. Estudo de cálice de fundação com ênfase nos esforços nas paredes transversais do colarinho. 2009. 132p. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2009.

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ISSN 1809-5860


ANÁLISE NUMÉRICA DA ADERÊNCIA EM MODELOS DE VIGA COM CONCRETOS AUTO-ADENSÁVEIS E CONCRETOS CONVENCIONAIS

Fernando Menezes de Almeida Filho1 & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs2

R e s u m o O concreto auto-adensável surgiu da necessidade de se dispensar o difícil e oneroso trabalho de vibração do concreto, sendo definido como um material capaz de fluir dentro de uma fôrma, passando pelas armaduras e preenchendo a mesma, sem o uso de equipamentos de vibração. Esta pesquisa caracteriza-se como um estudo numérico da aderência aço-concreto, utilizando concreto do tipo auto-adensável, mediante ensaios monotônicos de flexão em vigas seguindo o modelo padrão do Rilem-Ceb-Fip (1973). O estudo considerou como parâmetros fundamentais o tipo de concreto (auto-adensável e convencional) e o diâmetro da barra (10 e 16 mm). De acordo com os resultados, o comportamento dos modelos de viga, tanto numérico quanto experimental, para ambos os concretos foi similar, mostrando que o concreto auto-adensável possui características semelhantes ao concreto convencional, com as vantagens da trabalhabilidade no estado fresco. Ainda, a utilização de elementos de contato possibilitou uma boa aproximação do comportamento experimental mostrando a provável distribuição da tensão de aderência na superfície de contato, embora não se tenham dados experimentais para comprovar essa distribuição. Palavras-chave: Aderência. Concreto auto-adensável. Concreto convencional. Simulação numérica. Método dos Elementos Finitos. Vigas. Contato. A b s t r a c t The self-compacting concrete (SCC) appeared to release the difficult and onerous work of the concrete vibration, being defined as a material capable to flow inside of a formwork, going through the reinforcement and filling out the same, without the use of any vibration equipments. This research is characterized as a numeric study of the bond between steel and concrete, using SCC and conventional concrete (CC), in beam tests following the standard model of Rilem-Ceb-Fip (1973). The study considered as fundamental parameters the concrete type (SCC and CC) and the bar diameter (10 and 16 mm). According to the results, the behavior of the beam models, as the numeric as experimental, for both concretes it was similar, showing that the SCC possesses similar characteristics to the conventional concrete, with the advantages of the workability in fresh state. Still, the use of contact elements made possible a good approach of the experimental behavior showing a probable distribution of the bond stress in the contact surface was similar to the theoretical approach, although experimental data could not prove that distribution. Keywords: Bond. Self-compacting concrete. Conventional concrete. Numerical simulation. FEM. Beams. Contact.

1 INTRODUÇÃO

Desde o início da utilização do concreto armado, a aderência entre aço e concreto tem sido objeto de estudo de diversos pesquisadores. Essa interação entre os materiais é o mecanismo que caracteriza o concreto armado, pois a condição de que haja aderência entre a superfície da barra de aço e o concreto adjacente define o comportamento das estruturas obtidas. A aderência depende, além das características da barra de aço, das propriedades do concreto e, portanto, seu estudo passa pelo conhecimento dos materiais envolvidos na sua produção.

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professora do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Fernando Menezes de Almeida Filho & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs


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Com o passar dos anos, houve um grande desenvolvimento tecnológico dos materiais empregados na construção civil, dando origem aos concretos de alto desempenho e do tipo auto-adensável, que dispensa a etapa de vibração no canteiro de obras. No estudo da aderência, entretanto, pouco foi observado com relação ao comportamento dessa ligação com a utilização de concretos auto-adensáveis. Atualmente, o concreto auto-adensável, ou CAA, pode ser classificado como um material de construção avançado. Sua composição inclui materiais inorgânicos de granulação fina, oferecendo a possibilidade de se utilizar pó de agregado, extremamente fino, o qual é considerado rejeito, sem qualquer aplicação na indústria e que demanda custo para seu descarte. Este concreto teve origem no Japão onde surgiu da necessidade de se dispensar o difícil e oneroso trabalho de vibração do concreto lançado às fôrmas, o que mostra que as principais causas de sua origem foram a economia de mão-de-obra (insumo que gera altos gastos em uma obra) e a durabilidade das estruturas. De acordo com Okamura (1997), um adensamento adequado do concreto por operários treinados era importante para obter estruturas duráveis; entretanto, tais operários seriam extremamente dispendiosos, pois, fora o correto treinamento, ainda haveria o custo da utilização de tal serviço. Segundo Okamura (1997), o CAA é uma mistura que pode ser adensada em qualquer local na fôrma, apenas por meio da acomodação devida ao seu peso próprio e sem necessidade de vibração. Do mesmo modo, pode ser definido como um concreto capaz de fluir dentro de uma fôrma, passando pelas armaduras e preenchendo a mesma, sem o uso de equipamentos de vibração. Assim, o uso do CAA aumenta a produtividade, reduz a mão de obra exigida e melhora o ambiente de trabalho (Gomes, 2002). O objetivo principal desta pesquisa é buscar uma representação numérica do comportamento da aderência aço-concreto mediante ensaios de vigas submetidas à flexão, utilizando concreto auto-adensável e convencional (vibrado mecanicamente). O estudo da aderência entre o aço e o concreto envolve uma grande quantidade de variáveis, sendo que algumas delas ainda não têm sua influência completamente estabelecida. Dentre algumas das demandas existentes, destacam-se a necessidade de maiores informações a respeito do comportamento da aderência em vigas submetidas à flexão, verificação do comportamento da aderência mediante utilização de modelos numéricos e, por haver ausência de dados a respeito, da tecnologia de concretos auto-adensáveis no país e de sua influência no comportamento da aderência aço-concreto. A busca dessas informações motivou este projeto, do qual se esperam subsídios à futura normatização de ensaios de flexão e para a utilização do concreto auto-adensável na construção civil.

2 SIMULAÇÃO NUMÉRICA

Na análise numérica da aderência, pode-se facilmente confundir o esgotamento dos diferentes mecanismos de aderência com outros tipos de ruptura. Assim, para que a aderência seja representada, o contato deve conter, pelo menos (Lundgren et al., 2002): atrito, habilidade de causar tensões normais no deslizamento, adesão e possibilidade de ruptura do concreto entre as nervuras. Segundo Kutsovos & Pavlovic (1995), a interação aço-concreto depende de dois aspectos, sendo eles a aderência e a rigidez na tração (tension stiffening). A aderência perfeita foi a primeira simplificação assumida com o objetivo de se estabelecer uma lei que representasse o comportamento da ligação aço-concreto. Porém, como essas leis se baseiam em resultados experimentais geralmente escassos, limitados e com resultados não muito confiáveis (Kutsovos & Pavlovic, 1995), sua aplicação é restrita. Quanto à hipótese de aderência perfeita em si, embora seja uma simplificação, é compatível com o modelo de fissura no cobrimento (smeared-crack model), sendo com isso evitada a descrição detalhada de efeitos locais. A perda de aderência entre o aço e o concreto próximo de uma fissura não contradiz a hipótese de aderência perfeita, desde que a fissura do cobrimento propague o efeito de fissuração como uma extensão dos pontos de integração nos elementos de barra. De acordo com Bangash (1989), existem duas aproximações para se determinar o deslizamento entre o aço e o concreto. A primeira utiliza um elemento de ligação para a aderência proposta por Ngo & Scordelis (1967), onde o elemento conecta um nó do elemento finito de concreto com outro nó do elemento finito do aço; desse modo, esse elemento não possui dimensão física, e os nós dos elementos de aço e concreto possuem as mesmas coordenadas. A segunda aproximação

Análise numérica da aderência em modelos de viga com concretos auto-adensáveis e concretos convencionais


79

considera uma zona de aderência proposta por Groot et al. (1981), onde o comportamento da superfície de contato entre o aço e o concreto, e o comportamento do concreto adjacente são descritos por uma lei constitutiva o qual considera propriedades especiais para a zona aderente. Segundo as observações do estudo dos referidos autores, o modelo proposto tem a possibilidade de considerar o efeito do deslizamento em elementos de viga. A solução não-linear baseada no equilíbrio de cada nó do aço e a compatibilidade entre o aço e o concreto é determinada em sua ligação. A eficiência e a confiabilidade do modelo proposto foram comprovadas através de correlações entre análises experimentais e analíticas. Para se avaliar a ruptura da interface aço-concreto, pode-se utilizar o modelo combinado da hipótese friccional de Coulomb com um limite para a tensão máxima (Figura 1), que pode resultar em dois modos de ruptura distintos, sendo eles a ruptura por deslizamento e a ruptura por separação (Nielsen, 1998). A ruptura por deslizamento é admitida quando em uma seção a tensão de cisalhamento excede a resistência ao deslizamento, que pode ser determinada por dois parâmetros, sendo eles a coesão (c) e o coeficiente de atrito (μ). A ruptura por separação ocorre quando, em uma seção, a tensão de tração excede a resistência à separação (fA). Assim, esses dois modos de ruptura podem ser combinados em um e este pode ser chamado de Mohr-Coulomb Modificado.

Ruptura pordeslizamento

Ruptura porseparação

ϕ

ϕ

τ

σ

c

c

Ruptura pordeslizamento

Círculo de Mohr

Material de Coulombmodificado

1σ2σσ3

Figura 1 – Material de Mohr-Coulomb modificado (Nielsen, 1998).

2.1 Materiais

Para a simulação numérica da aderência aço-concreto muitas abordagens foram desenvolvidas, envolvendo sempre as leis constitutivas dos materiais, sejam experimentais ou numéricas. Estas leis sempre procuram representar o comportamento dos materiais separadamente. Neste caso em particular, pode-se dizer que a simulação numérica conta com a presença de três materiais, sendo eles: o concreto, o aço e a zona de contato. Em vista disso, foi realizada uma ampla investigação bibliográfica para se avaliar os modelos de materiais constitutivos aplicados nas simulações numéricas desenvolvidas hoje em dia e, fica claro que o desenvolvimento de elementos finitos (unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais) que representam essa interface está cada vez mais eficaz (Désir et al., 1999; Kwak & Kim, 2001; Salari & Spacone, 2001; Kwak & Filippou, 1997; Yankelevsky, 1997; Neto & Assan, 2003; Girard & Bastien, 2002; Kotsovos & Pavlovic, 1995; etc). Entretanto, ainda são necessárias maiores investigações, tanto experimentais quanto numéricas, para melhorar o entendimento deste assunto, uma vez que a quantidade de fatores que influenciam seu comportamento é elevada. A seguir, são mostradas sucintamente as considerações com relação aos materiais utilizados na simulação numérica desta pesquisa, que, no caso, envolvem o modelo de arrancamento do Rilem-Ceb-Fip (1973).

2.1.1 Concreto A simulação numérica do concreto pode ser realizada considerando modelos uniaxiais, biaxiais e triaxiais.



80

A resposta de uma estrutura submetida a um tipo de carregamento depende das relações tensão vs. deformação dos materiais constituintes e da magnitude da tensão. Desse modo, o concreto possui uma excelente característica de resistência à compressão, mas uma baixa resistência à tração, fazendo com que essa resistência à compressão seja o alvo primário para a utilização na construção civil. Com isso, diversos modelos matemáticos com o objetivo de simular o diagrama de tensão vs. deformação do concreto foram propostos, conforme o modelo de Scott et al. (1982). Esse modelo, de grande facilidade para uso computacional, apresenta para o comportamento monotônico o diagrama tensão vs. deformação do concreto submetido à compressão dividido em três regiões. Para o caso do concreto submetido à tração, esse modelo assume que o concreto apresenta comportamento linear elástico até o limite estabelecido para a resistência à tração do concreto (ft’), com a inclinação igual a Eb1 função do módulo de elasticidade longitudinal (Ec), e a inclinação Eb2, em função do módulo de elasticidade transversal (G).

2.1.2 Aço A armadura de aço pode ser considerada com comportamento linear, para reduzir o custo computacional com a consideração do escoamento, visto que o comportamento de elementos estruturais de concreto armado é fortemente influenciado pelo escoamento da armadura (Kwak & Kim, 2001).

2.1.3 Interface aço-concreto A interface aço-concreto consiste de uma superfície descontínua de um corpo, composto de dois materiais, entre duas superfícies paralelas de materiais adjacentes que pode ser considerada infinitesimal, se levarmos em consideração o volume total do elemento estrutural. O comportamento da superfície depende dos materiais constituintes, que neste caso é composto de barra de aço com nervuras, agregados e argamassa (Désir et al., 1999); no caso da presente pesquisa, será considerada a barra lisa, conforme o esquema na Figur(b), com características adequadas para representar a barra real. Assim, diversas leis constitutivas para simular a interface aço-concreto têm sido desenvolvidas utilizando diagramas de comportamento bilinear ou trilinear associados a elementos uniaxiais, biaxiais e triaxiais (Désir et al., 1999; Kwak & Kim, 2001; Salari & Spacone, 2001; Kwak & Filippou, 1997; Yankelevsky, 1997; Bangash, 1989; Abrishami & Mitchell, 1996; Feenstra & De Borst, 1995). Foram realizadas pesquisas utilizando elementos de ligação do tipo mola para representar o deslizamento entre a barra de aço e o concreto adjacente, conforme a Figura 2. O modelo associado a esse elemento utiliza um processo minimizador de energia capaz de mostrar a influência da aderência na abertura de fissuras da interface (Chen & Baker, 2004).

(a) (b)

Figura 2 – (a) Modelo de aderência na direção axial (Chen & Baker, 2004) e (b) Modelo de material de Mohr-Coulomb modificado adotado pelo software Ansys®.

Para a presente pesquisa, a interface aço-concreto utilizou o modelo de Mohr-Coulomb modificado do software Ansys®, representado na Figurb. Pode-se ver que, ao contrário dos demais modelos constitutivos (Kwak & Kim, 2001; Yankelevsky, 1997), este modelo adota um diagrama bilinear para representar o escorregamento ou separação dos materiais, onde o escorregamento da



81

barra ocorre depois que a tensão de coesão dos materiais seja ultrapassada. Depois de atingida a tensão de coesão, o escorregamento progride de acordo com o coeficiente de atrito, conforme ilustrado na Figurb. Quando a tensão atinge o valor referente à tensão TAUMAX, de acordo com os manuais do software, ocorre o descolamento ou separação dos materiais. No entanto, de acordo com alguns trabalhos publicados, é possível obter uma resposta numérica mais representativa do comportamento experimental utilizando leis constitutivas da interface que considerem a adesão (Girard & Bastien, 2002) e a perda progressiva de rigidez da interface antes de atingida a resistência da coesão entre os materiais (Kwak & Kim, 2001; Yankelevsky, 1997).

2.2 Elementos utilizados

Os elementos utilizados foram os disponibilizados pela biblioteca de elementos do software Ansys®. Todos os elementos a seguir mostrados foram utilizados em ambos os modelos numéricos de arrancamento e de viga. O elemento finito SOLID65 é utilizado para a modelagem tridimensional de corpos sólidos como o concreto com ou sem armadura. Esse elemento permite fissuração na tração, esmagamento na compressão, deformação plástica e fluência. É definido por oito nós com três graus de liberdade cada um: translações nas direções x, y e z. O elemento finito SOLID45 é utilizado para a modelagem tridimensional de corpos sólidos. É definido por oito nós com três graus de liberdade cada um: translações nas direções x, y e z. Esse elemento permite plasticidade, fluência, dilatação térmica, rigidez à tração, grandes deslocamentos e deformações. O elemento finito TARGE170 é utilizado para representar o contato e o deslizamento entre a superfície “rígida” e a superfície deformável definida. Possui três graus de liberdade em cada nó, correspondendo às translações nas direções nodais x, y e z. As características geométricas desse elemento são as mesmas da face do elemento sólido ao qual está ligado. O elemento finito CONTA174 é utilizado para representar várias superfícies “rígidas” bidimensionais associadas com elementos de contato (CONTA174 ou CONTA173). Os elementos de contato revestem os elementos sólidos descrevendo o contorno do corpo deformável e estão potencialmente ligados à superfície “rígida”. Tal superfície é discretizada por uma série de elementos TARGE170, formando um par com a superfície de contato associada através de uma mesma constante. Este elemento possui três graus de liberdade em cada nó, correspondendo às translações nas direções nodais x, y e z. Vale salientar que as direções dos vetores normais às superfícies dos elementos TARGE170 e CONTA174 devem estar em sentido contrário.

2.3 Geometria dos modelos

A Tabela 1 ilustra a geometria do modelo viga e suas dimensões para cada diâmetro de barra.

Tabela 1 – Geometria do modelo de viga

Dimensão φ<16 mm φ≥16 mm A (cm) 37,5 56,0 B (cm) 65,0 110,0 C (cm) 18,0 24,0

Zona

A

aderenteLVDT

10 5B

φ

Rótula

φ

C

Atuador Perfil metálico



82

A Figura 3 mostra a malha em elementos finitos utilizada. Por causa da simetria da viga de concreto, utilizou-se ¼ do modelo.

Modelo de viga com barra de 10 mm

(a) Seção transversal (b) Elementos de concreto (c) Modelo completo

Modelo de viga com barra de 16 mm

(a) Seção transversal (b) Elementos de concreto (c) Modelo completo

Figura 3 – Malha em elementos finitos para os modelos de viga.

Os elementos utilizados foram os mesmos adotados na simulação numérica dos modelos de arrancamento, que foram o Solid65, Solid45, Conta174 e Targe170 (Ansys, 2002). A quantidade de elementos por modelo de viga é visto na Tabela 2.

Tabela 2 – Quantidade de elementos utilizados para cada modelo de viga

Elemento Viga10 Viga16 Solid65 14330 16315 Solid45 2030 2390 Conta174 80 128 Targe170 80 128 A Figura 4 mostra o layout do ensaio e as restrições do modelo numérico.



83

LVDT LVDT

Atuador

VigaPerfil metálico

Direção do carregamento

Barra de aço

Viga

Barra

Rótula

δ

de aço

Layout do ensaio Modelo numérico

Figura 4 – Layout do ensaio e modelo numérico.

A aplicação do deslocamento no modelo foi correspondente ao deslocamento do pistão, para se validar os resultados de acordo com o ensaio de viga. A Figura 5 mostra o comportamento dos concretos e das barras de aço utilizados nos ensaios de viga.

-1 0 1 2 3 4 5-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Ec (CAA) = 27,24 GPaEc (CC) = 27,87 GPa

Série 1

Res

istê

ncia

(MPa

)

Deformação (‰)

CC CAA Popovics (1973)

0 2 4 6 8 100

100

200

300

400

500

600

700

Es (10 mm) = 207,05 GPaEs (16 mm) = 209,18 GPa

Res

istê

ncia

(MPa

)

Deformação (‰)

Barra de 10 mm Barra de 16 mm

Figura 5 – Comportamento do concreto (CAA e CC) e das barras de aço.

A Tabela 3 mostra os valores obtidos dos ensaios de viga e adotados nas simulações numéricas e utilizados para comparação.

Tabela 3 – Resultados dos ensaios dos modelos de viga

Modelo Pu (kN)

δ (mm)

τu (MPa)

su (mm) FKN FKT D

(mm)V-CAA-B10 32,66 3,97 13,00 0,398 3 1 12,0 V-CAA-B16 61,99 6,59 11,57 0,938 40 1 18,0 V-CC-B10 33,49 3,82 13,33 0,295 3 1 12,0 V-CC-B16 70,77 7,32 13,20 0,758 40 1 18,0

Onde, CAA e CC correspondem ao tipo de concreto utilizado e B10 e B16 correspondem ao diâmetro da barra de aço de 10 e de 16 mm, respectivamente. A Figura 6 mostra os resultados para a simulação numérica do modelo de viga utilizando o modelo Bonded com barra de 10 e de 16 mm.



84

0 2 4 6 8 10 12 140

5

10

15

20

25

30

35

40

Forç

a (k

N)

Flecha (mm)

V-CAA-B10 V-CC-B10 Numérico FKT = 1

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30

35

40

Forç

a (k

N)

Deslizamento (mm)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

50

60

70

80

Forç

a (k

N)

Flecha (mm)


0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

60

70

80

Forç

a (k

N)

Deslizamento (mm)


Figura 6 – Comparação entre o resultado numérico e o experimental para os modelos de viga em CAA e em CC

para o com barra de 10 e 16 mm.

De acordo com os modelos experimentais com barra de 10 mm, foi visto que o comportamento do modelo em CAA e em CC foi semelhante. Os modelos com barra de 16 mm foram bem representados, da mesma forma que no caso dos modelos com barra de 10 mm apenas para o comportamento força vs. flecha, não apresentando uma aproximação adequada para o deslizamento.

3 ANÁLISE DOS RESULTADOS

O modelo numérico desenvolvido teve como parâmetros semelhantes o módulo de elasticidade e o carregamento aplicado e por isso, foi desenvolvido apenas um modelo numérico para cada diâmetro de barra.

Vigaδ

P3P2P1

P1P11 P6P1P17 P9

Barra de 10 mmBarra de 16 mm

5φ

Pontos naBarra de aço

Pontos no concretono comprimento deancoragem para a:

Figura 7 – Pontos de medição para os modelos de viga.



85

Vale salientar que nos casos de verificação da superfície de contato, isto é, avaliação da distribuição e intensidade da resistência ao deslizamento do modelo numérico, tiveram como resultado para comparação o valor das deformações medidas no início e fim do comprimento de ancoragem e no meio da barra, ficando assim esses resultados como uma estimativa de como seria o comportamento da resistência ao deslizamento nessa superfície. A Figura 7 mostra os pontos de medição para cada modelo de viga, que serão adotados como pontos de verificação das tensões na barra de aço e de resistência de aderência. A Figura 8 ilustra a variação da resistência na superfície de contato durante o passo de carga da maior força de ruptura do modelo com barra de 10 mm.

0 2 4 6 8 10 12-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Elementos de concreto Elementos de contato

Pontos de medição

Tens

ão (c

oncr

eto)

(MPa

)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Tens

ão (c

onta

to) (

MPa

)

Figura 8 – Tensão na superfície de contato para os modelos de viga com barra de 10 mm no passo de carga de

força máxima aplicada.

Pode-se ver na Figura 8, que as tensões existentes em ambos os elementos (concreto e contato) são de tração, ao contrário do modelo de arrancamento que possuía elementos de concreto comprimidos. A distribuição das tensões foi satisfatória, denotando a maior resistência ao deslizamento nos pontos iniciais com uma redução da resistência a partir do ponto 6 (centro do trecho aderente).

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Elementos de concreto

Tens

ão (M

Pa)

Deslizamento (mm)

Ponto 1 Ponto 9 Ponto 17

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Deslizamento (mm)

Elementos de contato

Tens

ão (M

Pa)


Figura 9 – Variação das tensões nos elementos de concreto e elementos de contato.

A Figura 9 mostra a variação das tensões na superfície de contato e no concreto adjacente à barra de aço, no passo de carga de maior força de ruptura.



86

Direção Z – Completo Direção Y – Completo

Direção X – Completo

Figura 10 – Tensões principais quando se atinge o passo de carga correspondente a força máxima de viga.

A Figura 10 ilustra as tensões principais dos modelos numéricos de viga com barra de 10 mm quando do passo de carga correspondente à força de ruptura do modelo.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

100

200

300

400

500

600

700

Tens

ão (M

Pa)

Deformação (‰)

Ponto 1 - V-CAA-B10 Ponto 2 - V-CAA-B10 Ponto 3 - V-CAA-B10 Ponto 1 - Numérico Ponto 2 - Numérico Ponto 3 - Numérico

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

100

200

300

400

500

600

700

Tens

ão (M

Pa)

Deformação (‰)

Ponto 1 - V-CC-B10 Ponto 2 - V-CC-B10 Ponto 3 - V-CC-B10 Ponto 1 - Numérico Ponto 2 - Numérico Ponto 3 - Numérico


De acordo com a Figura 9, pode-se ver que o comportamento das tensões nos elementos de concreto e de contato foi semelhante, pois ambos permaneceram submetidos à tração. Ainda, os pontos 1 e 6 apresentaram comportamento similar enquanto o ponto 11 apresentou uma diferença significativa em seu comportamento, mostrando que os elementos de concreto possuem uma



87

transferência gradual para as tensões, pois as tensões do ponto 6 são maiores que as do ponto 11. Já os elementos de contato apresentaram um comportamento diferente, pois as tensões no ponto 11 foram iguais à zero, e, portanto, inferiores as tensões do ponto 6. A Figura 11 ilustra a comparação entre as tensões provenientes dos resultados das deformações dos extensômetros elétricos de resistência do modelo experimental e as tensões do modelo numérico.

A Figura 12 mostra a diferença entre os resultados obtidos para tensão na barra de aço.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5Fa

tor B

ias

(λ)

Ponto 1 - V-CC-B10 Ponto 2 - V-CC-B10 Ponto 3 - V-CC-B10 Ponto 1 - V-CAA-B10 Ponto 2 - V-CAA-B10 Ponto 3 - V-CAA-B10

Figura 12 – Diferença entre as tensões na barra de aço do modelo experimental e numérico.

De acordo com a Figura 12, pode-se ver que o modelo numérico foi menos rígido que o modelo experimental, apresentando um comportamento satisfatório na representação das tensões nos pontos 2 e 3. Já a deformação no ponto 1 apresentou muita diferença uma vez que no modelo numérico houve pouca transferência de esforços para esta região da barra (σy máximo do ensaio no ponto 1 foi de 24,5 MPa, para o modelo em CAA e 98,66 MPa para o modelo em CC) e por isso, se encontram fora de escala, conforme a Figura 12. Com relação aos modelos com barra de 16 mm, a Figura 13 ilustra a variação da resistência na superfície de contato durante o passo de carga da maior força de ruptura.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-30

-25

-20

-15

-10

-5

Elementos de concreto Elementos de contato

Pontos de medição

Tens

ão (c

oncr

eto)

(MPa

)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

Tens

ão (c

onta

to) (

MPa

)

Figura 13 – Tensão na superfície de contato para os modelos de viga com barra de 16 mm no passo de carga de

força máxima aplicada.

Pode-se ver na Figura 13, que as tensões existentes em ambos os elementos (concreto e contato) são de tração, ao contrário do modelo de arrancamento que possuía elementos de contato comprimidos. A distribuição das tensões foi satisfatória, denotando a maior resistência ao



88

deslizamento nos pontos iniciais com uma redução da resistência a partir do ponto 8 (centro do trecho aderente). A Figura 14 mostra a variação das tensões na superfície de contato e no concreto adjacente à barra de aço.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Elementos de concreto

Tens

ão (M

Pa)

Deslizamento (mm)


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Elementos de contato

Tens

ão (M

Pa)

Deslizamento (mm)


Figura 14 – Variação das tensões nos elementos de concreto e elementos de contato.

A Figura 15 ilustra as tensões principais dos modelos numéricos de viga com barra de 16 mm quando do passo de carga correspondente à força de ruptura do modelo.

Direção Z – Completo Direção Y – Completo

Direção X – Completo




89

De acordo com a Figura 15, pode-se ver que o comportamento das tensões nos elementos de concreto e de contato foi semelhante, pois ambos permaneceram submetidos à tração. Ainda, o ponto 1 apresentou comportamento similar enquanto os pontos 9 e 17 apresentaram uma diferença significativa em seu comportamento, mostrando que os elementos de concreto possuem uma transferência gradual para as tensões, pois as tensões do ponto 8 são maiores que as do ponto 17. Já os elementos de contato apresentaram um comportamento diferente, pois as tensões no ponto 17 foram maiores que as do ponto 8. A Figura 16 ilustra a comparação entre as tensões provenientes dos resultados das deformações dos extensômetros elétricos de resistência do modelo experimental e as tensões do modelo numérico.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

100

200

300

400

500

600

700

Tens

ão (M

Pa)

Deformação (‰)

Ponto 1 - V-CAA-B16 Ponto 2 - V-CAA-B16 Ponto 3 - V-CAA-B16 Ponto 1 - Numérico Ponto 2 - Numérico Ponto 3 - Numérico

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

100

200

300

400

500

600

700

Tens

ão (M

Pa)

Deformação (‰)

Ponto 1 - V-CC-B16 Ponto 2 - V-CC-B16 Ponto 3 - V-CC-B16 Ponto 1 - Numérico Ponto 2 - Numérico Ponto 3 - Numérico


A Figura 17 mostra a diferença entre os resultados obtidos para tensão na barra de aço.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Fato

r Bia

s (λ)

Ponto 1 - V-CAA-B16 Ponto 2 - V-CAA-B16 Ponto 3 - V-CAA-B16 Ponto 1 - V-CC-B16 Ponto 2 - V-CC-B16 Ponto 3 - V-CC-B16

Figura 17 – Diferença entre as tensões na barra de aço do modelo experimental e numérico.

De acordo com a Figura 17, pode-se ver que o modelo numérico foi mais deformável que o modelo experimental, entretanto o comportamento foi satisfatório na representação das tensões no ponto 2, pois foi possível se estimar as tensões na barra de aço com uma diferença máxima de 17% para o modelo em CAA, e em 0,7% para o modelo em CC, entretanto o ponto 3 se mostrou muito deformável e a aproximação do modelo em CAA ficou em 28% e a aproximação para o modelo em CC ficou em 39%. A deformação no ponto 1 apresentou muita diferença uma vez que no modelo numérico houve pouca transferência de esforços para esta região da barra (σy máximo do ensaio no ponto 1 foi de 30 MPa) e por isso, se encontram fora de escala na Figura 17.



90

4 CONCLUSÕES

Neste trabalho o objetivo principal foi a de propor um modelo numérico consistente para a representação dos ensaios estudados, de forma a permitir uma análise paramétrica mais abrangente do fenômeno estudado. De acordo com os resultados da simulação numérica, pode-se concluir que: i. Os resultados das simulações apresentaram uma previsão satisfatória da força de ruptura do ensaio. ii. Os modelos com barra de 16 mm apresentaram comportamentos satisfatórios, entretanto, a aproximação destes modelos foi menor que os modelos com barra de 10 mm. Isso pode ser explicado pelo tamanho da superfície de contato existente, que provavelmente, necessitaria uma maior discretização para uma melhor aproximação dos resultados. iii. Foi verificado que, à medida que se aumenta o diâmetro da barra de aço, o comportamento do modelo numérico tendia para o linear. Isso significa que, são necessárias mais investigações com relação ao nível de discretização da malha do contato e com relação aos parâmetros que influenciam o comportamento da interface, para uma melhor representação da tensão de aderência quando da utilização de barras de diâmetro de 16 mm. iv. Com relação à representação da tensão de aderência e das tensões nas barras de aço, embora não existissem dados para corroborar os resultados numéricos, a representação da superfície de contato pode dar uma idéia do comportamento e da variação da tensão de aderência; já as tensões nas barras de aço apresentaram uma aproximação satisfatória mostrando que os pontos de maior concentração de tensões foram bem representados e, somente o ponto 1, que representa o ponto após o comprimento de ancoragem, que possuía pouca transferência de tensões, se mostrou muito flexível em relação ao modelo experimental. Assim, o modelo numérico proposto se mostrou adequado para representar a força de ruptura e a flecha do ensaio, bem como uma boa aproximação do deslizamento existente na barra. Entretanto, os modelos de viga com barra de 16 mm necessitam uma melhor discretização de modo a ser aumentar sua aproximação com o resultado experimental.

5 NOTAÇÃO

Pu Força de ruptura do modelo de viga, em kN; δ Flecha do ensaio no instante da força de ruptura, em mm; su Deslizamento no instante da força de ruptura Pu, em mm; τu Tensão de aderência no instante da força de ruptura Pu, em MPa; D Deslizamento aplicado pelo pistão da máquina de ensaios no modelo de viga, em mm; FKN Fator de resistência normal ao deslizamento (normal contact stiffness factor), adimensional; FKT Fator de resistência tangente ao deslizamento (tangent contact stiffness factor), adimensional;

6 AGRADECIMENTOS

Os autores gostariam de expressar seu profundo agradecimento ao CNPq e a CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada. A FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa de São Paulo) pelo auxílio financeiro para os ensaios, às empresas Holdercim, Brasil Minas S.A., Elken e Grace Brasil pela doação de material para a pesquisa e aos técnicos do Laboratório de Estruturas.

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ISSN 1809-5860


ANÁLISE TERMO-ESTRUTURAL DE PILARES DE AÇO EM SITUAÇÃO DE INCÊNDIO

Érica Fernanda Aiko Kimura1 & Jorge Munaiar Neto2

R e s u m o

O presente trabalho tem como objetivo analisar numericamente o comportamento de pilares de aço em situação de incêndio, considerando condições de compartimentação do ambiente em chamas. A investigação utiliza o código ANSYS v9.0 por meio de análise transiente do gradiente térmico nos elementos estruturais. Foram elaborados modelos tridimensionais para obtenção do gradiente de temperatura e para a análise termoestrutural, que levam em conta as não-linearidades do material e geométrica. Os resultados foram comparados aos métodos propostos pela ABNT NBR 14323:1999 e EC3-1.2, nas quais se utilizam o parâmetro chamado fator de massividade (F), para a determinação da temperatura máxima do elemento estrutural e, conseqüentemente, para o dimensionamento em temperaturas elevadas. De acordo com os resultados apresentados, para as situações em que ocorra distribuição não-uniforme da temperatura, o fator de massividade pode conduzir a valores de temperatura que não condizem satisfatoriamente com a real situação de interesse na análise. Palavras-chave: Estruturas de aço. Incêndio. Análise térmica. Análise termoestrutural.

COUPLED THERMAL AND STRUCTURAL ANALYSIS OF STEEL COLUMNS

UNDER FIRE CONDITION

A b s t r a c t The objective of the presented work is to develop steel columns numerical analysis considering its behavior under fire situation, including compartment condition of the room. The thermal and coupled thermal structural numerical analyses were carried out using the computational code ANSYS v9.0. Three-dimensional models taking account coupled thermal and structural analysis, considering material and geometric non-linearity were showed. The results were compared with method proposed by standard ABNT NBR: 14323-1999 and EC3-1.2, in which are used the section factor in order to determine the maximum structural element temperature and, consequently, the design in elevated temperature with respect to the collapse load. As the numerical results shows, for situations where non-uniform heating conditions occurs, the section factor (F), can carry out to an unsatisfactory response if compared with a real fire situation. Keywords: Steel structures. Steel columns. Fire condition. Thermal. Structural analysis.

1 INTRODUÇÃO

O objetivo do presente estudo se voltou para a análise, em caráter puramente numérico, do comportamento de pilares de aço constituídos de perfis pesados (soldados ou laminados) em situação de incêndio, com ênfase a compartimentação do ambiente proporcionado pela interação desses com paredes de alvenaria. Neste trabalho, também foi considerada a influência das imperfeições geométricas iniciais do modo global sobre o tempo de resistência ao fogo (TRF).

O método simplificado de cálculo adotado por algumas normas nacionais, como a ABNT NBR 14323:1999 [1], utiliza o parâmetro denominado fator de massividade para determinar a temperatura máxima do elemento exposto à ação térmica com base numa curva de incêndio (padronizada por

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Érica Fernanda Aiko Kimura & Jorge Munaiar Neto


94

normas técnicas) após um determinado tempo. Para barras prismáticas, o fator de massividade é dado pela relação entre o perímetro exposto ao fogo (u) e a área total da seção transversal (Ag).

A aplicação do fator de massividade por meio do método simplificado foi proposta para situações em que o aquecimento seja simétrico e uniforme. Nas situações em que não haja simetria ou uniformidade na propagação do calor no elemento estrutural, este método pode conduzir a resultados que podem não estar em concordância com aqueles que de fato venham a ocorrer na prática.

No contexto deste trabalho, para a análise acoplada termo-estrutural, foram elaborados modelos tridimensionais, inicialmente para fins de obtenção e validação do campo térmico. Posteriormente, foram construídos modelos estruturais 3-D compatíveis com os térmicos para os quais foram transferidos os campos térmicos com distribuição não-uniforme de temperatura. Nos mesmos elementos também é aplicado um carregamento estático juntamente com a consideração de imperfeição geométrica global, obtida por meio de “análise de autovalor” com vistas a determinar os esforços resistentes de pilares de aço submetidos à ação térmica em ambientes compartimentados. As análises numéricas foram realizadas com base nas seguintes simplificações: a força de compressão é aplicada de forma centrada; o gradiente de temperatura é uniforme ao longo do comprimento; as vinculações em ambas as extremidades são do tipo apoio fixo na base e apoio móvel no topo.

2 ANÁLISE PURAMENTE TÉRMICA

A temperatura dos gases aquecidos variou conforme a curva de incêndio-padrão proposta pela norma internacional ISO 834 [2]. Essa curva de temperatura dos gases é adotada tanto pela ABNT NBR14323:1999 como pelo EC3-1.2 [3] e, de acordo com sua formulação, a temperatura média do forno deverá ser monitorada e controlada de acordo com a equação 1.

( )gθ (t)=345log 8t+1 +20 (1)

A ação térmica na estrutura é descrita pelo fluxo de calor provocado pela diferença de temperatura entre os gases quentes do ambiente e os componentes da estrutura. O aumento da temperatura nos elementos estruturais, em conseqüência da ação térmica, causa redução da resistência, da rigidez e o aparecimento dos esforços solicitantes adicionais nas estruturas hiperestáticas. Na maioria das vezes, pode haver um colapso prematuro de um dado elemento estrutural (ou mesmo da estrutura), o que pode não garantir a desocupação total da edificação com o mínimo de segurança.

A análise térmica realizada é do tipo transiente, a qual, por definição, é aquela que determina temperatura e outras grandezas térmicas em função do tempo, conforme citado em Regobello (2007) [4]. As propriedades térmicas fornecidas na estratégia numérica elaborada utilizando o código computacional ANSYS v9.0 e seus respectivos valores são citados: Constante de Stefan-Boltzmann: σ = 5,67 x 10-8 W/(m2K4) Emissividade: ε = 5,67·10-8 Coeficiente de transferência de calor por convecção: αc = 25W/m2K (valor adotado pelo EC3-1.2 e pela ABNT-NBR 14323:1999). O valor de αc pode variar dependendo de fatores como a geometria e rugosidade da superfície, além da natureza do fluxo. Condutividade térmica: segue a variação em função da temperatura descrita pela equação 2.

aa

a

θλ =54-300

λ =27,3 para

≤ θ

≤ θa

a

20°C 800°C800°C 1200°C

(2)

Alongamento térmico: valores conforme conjunto de equações 3.

Análise termo-estrutural de pilares de aço em situação de incêndio


95

− − −

−

− −

Δ= θ + θ −

Δ=

Δ= θ −

5 8 4a a

2

5 3a

l 1,2.10 0,4.10 . 2,416.10ll 1,1.10

ll 2.10 6,2.10

l

para

θ ≤

θ ≤

θ ≤

a

a

a

20°C< 750°C

750°C< 860°C

860°C< 1200°C

(3)

Calor específico: valores conforme conjunto de equações 4.

− − −= + θ − θ + θ

= +− θ

= +θ −

=

3 2 6 3a a a a

aa

aa

a

c 425 0,773 1,69.10 2,22.1013002c 666

73817820c 545

731c 650

para

° ≤ θ ≤ °

° < θ ≤ °

° < θ ≤ °

° < θ ≤ °

a

a

a

a

20 C 600 C

600 C 735 C

735 C 900 C

900 C 1200 C

(4)

Densidade do aço: ρ: 7850kg/m3.

y

z

(a) Z

X

Y (b)

Z

X

Y

(c) Figura 1 – Nomenclaturas adotadas para os exemplos de pilares analisados: (a) P - UC 203 x 203 x 46 – I, (b) P -

UC 203 x 203 x 46 – C_[+e] e (c) P - UC 203 x 203 x 46 – C_[-e].

Tabela 1 – Nomenclatura adotada para os exemplos ilustrados nas figuras 1 e 2

Pilar constituído pelo perfil UC 203 x 203 x 46, com as seguintes configurações: P - UC 203 x 203 x 46 – I Isolado, submetido à ação térmica por todos os lados;

P - UC 203 x 203 x 46 – C_ [+e] Pilar externo de canto submetido ao aquecimento pelo lado menos exposto e imperfeição geométrica no sentido oposto;

P - UC 203 x 203 x 46 – C_ [-e] Pilar externo de canto submetido ao aquecimento pelo lado menos exposto e imperfeição geométrica no mesmo sentido;

P - UC 203 x 203 x 46 – A Pilar externo com paredes em contato pela alma, submetido ao aquecimento nas proximidades da mesa inferior;

P - UC 203 x 203 x 46 – M_[+e] Pilar externo com paredes em contato com ambas as mesas, submetido ao aquecimento pelo lado oposto ao da imperfeição geométrica inicial;

P - UC 203 x 203 x 46 – M_[-e] Pilar externo com paredes em contato pela mesa, submetido ao aquecimento pelo lado correspondente ao sentido da imperfeição geométrica inicial;

O elemento finito do ANSYS utilizado para construção do modelo térmico tridimensional foi o SOLID70. O campo térmico foi obtido considerando-se quatro diferentes configurações de disposição de paredes em contato com o pilar, proporcionando a condição de compartimentação. Para o pilar, tomou-se como exemplo a seção transversal da série inglesa UC203 x 203 x 46 com comprimento efetivo de 3170mm. Os resultados do campo térmico obtidos via ANSYS foram comparados com



96

valores obtidos via código SuperTempCalc (STC), cujos resultados foram gentilmente cedidos por Valdir Pignatta e Silva, atualmente professor da Escola Politécnica da USP. Outro exemplo é tomado com base na edificação pertencente ao Instituto Fábrica do Milênio – EESC/USP. As tabelas 1 e 2, bem como as figuras 1, 2 e 3 descrevem as configurações aqui analisadas.

Tabela 2 – Nomenclatura adotada para o exemplo ilustrado na figura 3

Perfis analisados com base no Instituto Fábrica do Milênio:

P – W310 x 38,7 L3811 mm Pilar externo de canto submetido ao aquecimento pelo lado mais exposto à ação térmica;

y

z

(a) Z

X

Y (b) Z

X

Y (c) Figura 2 – Nomenclaturas adotadas para os exemplos de pilares analisados: (a) P - UC 203 x 203 x 46 – A, (b) P

- UC 203 x 203 x 46 – M_[+e] e (c) P - UC 203 x 203 x 46 – M_[-e].

Figura 3 – Nomenclaturas adotadas para os exemplos de pilares analisados: P – W310 x 38,7 L3811 mm.

(a) (b) Figura 4 – Campo térmico (em oC) do perfil UC 203 x 203 x 46 –I: (a) via SuperTempcalc e (b) via ANSYS, para

um TRF igual a 60 minutos.



97

As figuras 4, 5, 6, 7 e 8 ilustram situações de campos térmicos obtidos para as configurações aqui analisadas.

(a) (b)

Figura 5 – Campo térmico (em oC) do perfil P - UC 203 x 203 x 46 – C, para um TRF igual a 60 minutos obtido: (a) via SuperTempcalc e (b) via ANSYS.

(a) (b)

Figura 6 – Campo térmico (em oC) do perfil P - UC 203 x 203 x 46 – A, para um TRF de 60 minutos, via: (a) SuperTempcalc e (b) via ANSYS.

(a) (b) Figura 7 – Campo térmico (em oC) do perfil P - UC 203 x 203 x 46 – M obtido: (a) via STC e (b) via ANSYS para

um TRF igual a 60 minutos.



98

Figura 8 – Campo térmico (em oC) do perfil P – W310 x 38,7-L3811 mm obtido pelo código ANSYS para um TRF igual a 60 minutos.

3 ANÁLISE ESTRUTURAL EM TEMPERATURA AMBIENTE

Para o desenvolvimento da análise estrutural em temperatura ambiente, já visando o acoplamento com o modelo térmico para análise termo-estrutural, optou-se pela modelagem utilizando o elemento finito SOLID45. A barra (pilar de aço) é inicialmente considerada com imperfeição geométrica inicial do tipo global. A configuração deslocada é obtida a partir de uma perturbação na sua geometria introduzida por meio de uma análise de flambagem por autovalor, como descrito em Almeida (2007) [5]. Por definição, essa analise prevê a resistência teórica à flambagem (o ponto de bifurcação) de uma estrutura, considerando a fase elástica linear.

3.1 Relação constitutiva

O perfil de aço segue o critério de plastificação de von Mises para materiais isotrópicos elasto-plásticos com encruamento, representada por uma curva multilinear. A figura 9 informa o valor da resistência de escoamento dos exemplos em questão, bem como as relações constitutivas do aço utilizadas pelo EUROCODE 3-1.2 e introduzida como dado de entrada na análise numérica via ANSYS. A figura 10 ilustra a redução das propriedades do material, expressas como a relação entre a resistência e a rigidez a uma determinada temperatura θ e em temperatura ambiente, respectivamente para o módulo de elasticidade, tensão de escoamento e tensão de plastificação, em função da temperatura.

Pilar fy [kN/cm2]

UC 203 x 203 x 46 L=3170 mm 27,5

W 310 x 38,1 L=3811 mm 25

(a) (b)

Figura 9 – (a) Tensão de escoamento dos exemplos analisados e (b) a relação constitutiva do aço-carbono em função da temperatura θ, fornecida ao ANSYS com base no EC3-1.2.



99

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Temperatura

Fato

r de

red

ução

kE,θ = Eθ/ Eaky,θ = fy,θ/fykp,θ = fp,θ/fy

Figura 10 – Redução das propriedades mecânicas do aço, em função da temperatura (em oC).

3.2 Condições de contorno

As condições de contorno nas extremidades adotaram o modelo de rotula cilíndrica, fixo na base e móvel no topo, com as restrições impostas na linha paralela ao eixo y (de menor inércia). Para evitar o deslocamento relativo entre os nós pertencentes a essa linha na direção axial, estes foram acoplados em relação à mesma direção.

3.3 Aplicação do carregamento estático

O método de resolução seguiu a estratégia incremental-iterativa ou estratégia de Newton-Raphson. No caso da análise estrutural em temperatura ambiente, optou-se por controlar o tamanho do deslocamento incremental, o qual é aplicado no nó de menor numeração entre os nós acoplados.

A máxima reação de apoio (em módulo), fornecida pela curva reação x deslocamento, corresponde à força de colapso do pilar a ser considerada como valor de referência para fins de comparação com aquelas a serem obtidas quando das análises termo-estruturais. A tabela 3 ilustra os valores de força nominal obtidas pela análise numérica e por meio dos procedimentos normativos da ABNT NBR 8800:2008 [6], ANSI/AISC:2005 [7]e EC3-1.1 [8], bem como os valores de cálculo obtidos pelas mesmas normas.

Tabela 3 – Força máxima obtidas pela análise numérica e pelos códigos normativos, em kN

Pilar Análise numérica ABNT-NBR 8800:2008 / ANSI/AISC:2005 Eurocode 3 part 1

UC 203 x 203 x 46 -L=3170 mm 1215 1292 1255

W 310 x 38,1 - L=3811 mm 675 734 738

W 310 x 38,1 - L=3890 mm 661 718 718

4 ANÁLISE ACOPLADA TERMO-ESTRUTURAL

Na análise termo-estrutural, além da influência da disposição de paredes na determinação do campo térmico, procurou-se observar o sentido da imperfeição geométrica inicial em relação à localização da fonte de calor. A aplicação dos esforços solicitantes tomou a seguinte ordem:



100

Inicialmente são aplicadas forças estáticas nodais em todos os nós no topo da alma, para obter as respostas estruturais. Sobre cada exemplo, foram realizadas nove análises acopladas termo-estruturais, em que os níveis de carregamento aplicados respeitaram o intervalo de 10% a 90% da força de colapso do pilar, considerando múltiplos de 10; Em seguida, já processada a parte estrutural, é aplicada a ação térmica de forma transiente, por meio do acoplamento com o modelo térmico. Para isso, faz-se a chamada do arquivo de respostas da análise térmica. As respostas finais têm influência da parcela estrutural inicialmente imposta e da parte térmica.

A chapa de topo (extremidades) não recebe ação térmica. A ela são atribuídas apenas as propriedades físicas em regime elástico e em temperatura ambiente. Para os pilares com menor superfície em contato com o campo térmico, o tempo crítico (TRF) ultrapassava 150 minutos.

4.1 Influência do sentido da imperfeição geométrica global

No presente trabalho foi observado se o sentido do deslocamento inicial interfere no tempo crítico do pilar exposto ao incêndio, para situações de gradiente térmico assimétrico. O estudo sobre os exemplos apresentados mostrou que, situações onde o campo térmico atua no sentido oposto do deslocamento inicial apresentaram ligeira vantagem no TRF (tempo de resistência ao fogo), em razão de o lado do pilar exposto à situação de incêndio apresentar deformação de compressão no mesmo lado, em decorrência da força de compressão aplicada e do sentido do deslocamento inicial.

Na presença da ação térmica, esse lado tende a apresentar deformações provocadas pela dilatação térmica no sentido oposto ao da compressão. A deformação axial decorrente da dilatação térmica é inicialmente nula e cresce com o aumento da temperatura. Em uma determinada temperatura, a deformação por dilatação anulará e, posteriormente, superará a deformação por compressão.

Quando o pilar se encontra com imperfeição global e em situação de incêndio no mesmo sentido, este já tem o lado com deformação de tração em contato com a ação térmica. Logo, a deformação por dilatação térmica será somada a essa deformação de tração ocasionada pelo deslocamento inicial. Assim sendo, o TRF tende a ser mais baixo quando comparado a ambos atuando em sentidos opostos. O pilar se deforma por efeito da ação térmica até que este apresente uma temperatura tal que suas propriedades de rigidez e resistência não sejam mais suficientes para suportar o carregamento estático imposto.

Na seqüência, são apresentados os gráficos relativos aos deslocamentos axial e lateral para os níveis de força externa aplicada entre 10% e 90% daquela força de colapso obtida em temperatura ambiente. Por último, é apresentado o fator de redução em função do tempo (Nfi/N), definido pela relação entre o carregamento imposto na análise em situação de incêndio e o carregamento máximo alcançado pela estrutura em temperatura ambiente.

Exemplo 1: P - UC 203 x 203 x 46 – I

(a) (b)

Figura 11 – Deslocamento (a) axial e (b) lateral em situação de incêndio para uma força aplicada igual 727,7 kN, para TRF igual a 8 minutos.



101

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25 30

Tempo [minuto]

Des

loca

men

to a

xial

[mm

]

121 kN 243 kN 364 kN

488 kN 603 kN 728 kN

850 kN 973 kN 1093 kN

0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Deslocamento lateral [mm]

Tem

po [m

inut

os]

124,490 kN242,890 kN364,400 kN488,421 kN603,303 kN727,720 kN850,180 kN972,560 kN1093,300 kN

(a) (b)

Figura 12 – Deslocamentos (a) axial e (b) lateral para os níveis de força aplicados correspondentes de 0,1·N a 0,9·N.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 10 20 30 40 50 60

Tempo [minutos]

Nfi/

N

TCD ANSYS NBR14323 EC 3 - 2

y

z

Figura 13 – Fator de redução para a força axial de plastificação em relação ao TRF, obtido pelo ANSYS, TCD e

pelos métodos simplificados da ANBT NBR 14323 e do EC3-1.2.

Exemplo 2: P - UC 203 x 203 x 46 – C_[+e]

(a)

(b)

Figura 14 – Deslocamentos (a) axial e (b) lateral do pilar submetido a força axial de 728 kN, para um TRF igual a 42 minutos, considerando imperfeição global no sentido em que foi aplicada a ação térmica.



102

-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minuto]

Des

loca

men

to a

xial

[mm

]

121 kN 243 kN 364 kN 488 kN 603 kN 728 kN 850 kN 973 kN

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minutos]

Des

loca

men

to la

tera

l da

alm

a [m

m]

121 kN 243 kN 364 kN 488 kN 603 kN 728 kN 850 kN 973 kN 1093 kN (a) (b)

Figura 15 – Deslocamentos (a) axial e (b) lateral do pilar para níveis força aplicados entre 0,1·N e 0,9·N, com múltiplos de 0,1.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minuto]

Nfi/

N

TCD ANSYS NBR 14323 EC 3 - 1.2

Z

X

Y


pelos métodos simplificados da ANBT-NBR14323 e do EC3-1.2.

Exemplo 3: P - UC 203 x 203 x 46 – C_[-e]

(a) (b)

Figura 17 – Configuração deformada (a) axial e (b) lateral para força aplicada igual a 728 kN, considerando imperfeição global no mesmo sentido em que foi aplicada a ação térmica.



103

-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minutos]

Des

loca

men

to a

xial

[mm

]

121 kN 243 kN 364 kN 488 kN 603 kN 728 kN 850 kN 973 kN 1093 kN -55

-45

-35

-25

-15

-5

5

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minuto]

Des

loca

men

to la

tera

l da

alm

a [m

m]

243 kN 364 kN 488 kN 728 kN 850 kN 973 kN 1093 kN (a) (b)

Figura 18 – Deslocamentos (a) axial e (b) lateral do pilar obtido para níveis de força aplicada variando entre 0,1N e 0,9N, com múltiplos de 0,1.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minuto]

Nfi,

pl/N

pl

TCD ANSYS NBR 14323 EC 3 - 1.2

Z

X

Y

Figura 19 – Comparação entre o TCD, o ANSYS e os métodos simplificados da ABNT NBR14323:1999 e EC3-

1.2, relativo ao fator de redução da força em relação ao TRF.

Para o pilar de canto, considerando forças aplicadas variando entre 0,2·N e 0,5·N, o tempo obtido com campo térmico e imperfeição global aplicados no mesmo sentido resultou num TRF menor se comparado a imperfeição no lado oposto. O inverso aconteceu para forças aplicadas correspondentes a 0,6·N e 0,7·N.

Exemplo 4: P - UC 203 x 203 x 46 – A

(a)

(b)

Figura 20 – Deslocamentos (a) axial e (b) do pilar submetido à força de compressão igual a 728 kN para TRF igual a 14 minutos, correspondente ao tempo critico.



104

-5

0

5

10

15

20

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minuto]

Des

loca

men

to a

xial

[mm

]

121 kN 243 kN 364 kN 488 kN 603 kN 728 kN 850 kN 973 kN 1093 kN

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minuto]

Des

loca

men

to la

tral

na

alm

a [m

m]


Figura 21 – Deslocamento (a) axial e (b) lateral do pilar para os nove níveis de força aplicados.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minuto]

Nfi/

N

TCD ANSYS NBR14323 EC3 - 1.2

y

z


pelos métodos simplificados da ANBT NBR14323 e do EC3-1.2.

Exemplo 5: P - UC 203 x 203 x 46 – M_[+e]

(a)

(b)

Figura 23 – Configuração deformada (a) axial e (b) lateral para uma força aplicada equivalente a 0,5N, ou seja, 603 kN e TRF igual a 16 minutos.



105

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 50 60 70

Tempo [minuto]

Des

loca

men

to a

xial

[mm

]


-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0 10 20 30 40 50 60 70

Tempo [minuto]

Des

loca

men

to la

tera

l [m

m]


Figura 24 – Deslocamentos (a) axial e (b) do pilar para os nove níveis de força aplicados.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minutos]

Nfi/

N

TCD ANSYS NBR 14323 EC3 - 1.2

Z

X

Y

Figura 25 – Comparação entre o TCD, ANSYS e os métodos simplificados da ABNT NBR14323:1999 e EC3-1.2

relativo ao fator de redução da força em relação ao TRF.

Exemplo 6: P - UC 203 x 203 x 46 – M_[-e]

(a) (b)

Figura 26 – Configuração deformada (a) axial e (b) lateral para uma força aplicada equivalente a 0,5·N, ou seja, 603kN e TRF igual a 14 minutos.



106

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 50 60 70

Tempo [minuto]

Des

loca

men

to a

xial

[mm

]


-60

-50

-40

-30

-20

-10

00 10 20 30 40 50 60 70

Tempo [minuto]

Des

loca

men

to la

tera

l da

alm

a [m

m]

121,5 kN 242,3 kN 364,4 kN 488,4 kN 603,3 kN 727,7 kN 850,2 kN 927,7 kN 1093,3 kN (a) (b)

Figura 27 – Deslocamentos (a) axial e (b) lateral do pilar para os nove níveis de força aplicados.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minuto]

Nfi/

N

ANSYS TCD NBR 14323 EC 3 - 1.2

Z

X

Y

Figura 28 – Comparação entre o TCD, ANSYS e métodos simplificados da ABNT NBR14323:1999 e EC3-1.2,

relativo ao fator de redução da força em relação ao TRF.

Para os pilares mais expostos ao campo térmico, como no presente caso, com paredes de alvenaria em contato com a mesa do perfil, para níveis mais baixos de força aplicada (entre 10% e 20% de N) e pequenos valores de deslocamento lateral, não foi registrada diferença significativa no valor do tempo crítico para ambas as configurações.

A partir de valores de compressão aplicada equivalentes a 0,3·N até 0,9·N, o pilar submetido ao campo térmico e imperfeição global inicial no mesmo sentido apresenta TRF mais baixo.

Exemplo 7: P – W310 x 38,7 L3811 mm

(a) (b) Figura 29 – Configuração deformada (a) axial e (b) lateral para uma força aplicada equivalente a 0,5N, ou seja,

337kN e TRF igual a 7,5.



107

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tempo[minutos]

Des

loca

men

to a

xial

[mm

]

68 kN 135 kN 203 kN 270 kN 338 kN 403 kN 473 kN 540 kN 608 kN -60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tempo [minuto]

Des

loca

men

to la

tera

l [m

m]


Figura 30 – Deslocamentos (a) axial e (b) lateral do pilar para os nove níveis de força aplicados.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 10 20 30 40 50 60

Tempo [minuto]

Nfi/

N

ANSYS TCD EC 3 -1.2 NBR 14323 Figura 31 – Comparação entre o fator de redução obtido via ANSYS, SuperTempcalc, métodos simplificados do

Eurocode 3-2 e da ABNT-NBR14323:1999.

Os gráficos das figuras 32 e 33 comparam as curvas dos fatores de redução obtidas para cada exemplo analisado, por meio das análises numéricas e dos métodos simplificados propostos pelos códigos normativos considerados.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minuto]

Nfi/

N

P - UC 203 x 203 x 46 – I

P - UC 203 x 203 x 46 – C_+e

P - UC 203 x 203 x 46 – C_-e

P - UC 203 x 203 x 46 – A

P - UC 203 x 203 x 46 – M_+e

P - UC 203 x 203 x 46 – M_-e

P – W310 x 38,7 L3811 mm

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140

Tempo [minuto]

Nfi/

N

P - UC 203 x 203 x 46 – IP - UC 203 x 203 x 46 – CP - UC 203 x 203 x 46 – AP - UC 203 x 203 x 46 – MP – W310 x 38,7 L3811 mm

(a) (b)

Figura 32 – Fatores de redução dos exemplos estudados obtidos por meio do código computacional (a) ANSYS v9.0 e (b) TCD.



108

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 10 20 30 40 50 60

Tempo [minuto]

Nfi/

N

P - UC 203 x 203 x 46 – I

P - UC 203 x 203 x 46 – C

P - UC 203 x 203 x 46 – A

P - UC 203 x 203 x 46 – M

P – W310 x 38,7 L3811 mm

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 10 20 30 40 50 60

Tempo [minuto]

Nfi/

N

P - UC 203 x 203 x 46 – I

P - UC 203 x 203 x 46 – C

P - UC 203 x 203 x 46 – A

P - UC 203 x 203 x 46 – M

P – W310 x 38,7 L3811 mm

(a) (b)

Figura 33 – Fatores de redução obtidos por meio do método simplificado (a) ABNT-NBR14323:1999 e (b) Eurocode 3-1.2.

5 CONCLUSÕES

Com relação às análises puramente térmicas aqui realizadas, a semelhança dos resultados do ANSYS quando comparados àqueles obtidos pelo TCD, tanto para perfis isolados como para aqueles em contato com as paredes, comprovam a eficiência da estratégia apresentada no presente trabalho, possibilitando o acoplamento com o modelo estrutural em análises posteriores.

As características relacionadas às imperfeições geométricas iniciais mostraram ter influência na determinação do tempo crítico de resistência ao fogo (TRF). Em condições assimétricas ou monossimétricas em que ambos, ação térmica e imperfeição global, respeitam o mesmo eixo de simetria, a imperfeição global na mesma direção e sentido em que ocorre o incêndio pode resultar num valor diferente de TRF quando comparado a ambos atuando em sentidos opostos.

Nos pilares de canto dos exemplos 2 e 3, com exposição ao incêndio e imperfeição global inicial segundo o mesmo eixo de simetria, para os níveis mais baixos de compressão aplicada, o deslocamento inicial na mesma direção e sentido em que está aplicada a ação térmica resultou em menores valores de TRF quando comparado a ambos aplicados em sentidos opostos. No entanto, para os valores de força aplicada mais altos, houve uma inversão e essa configuração resultou em maior TRF.

Os mesmos exemplos sugerem que, para um nível de força mais baixo, o pilar tende a apresentar maior deformação por dilatação antes que a redução da resistência e rigidez, proveniente do aumento de temperatura, seja suficiente para que ocorra o colapso. Dessa forma, pilares que apresentam imperfeição inicial global no mesmo sentido onde ocorre a ação térmica têm somado ao deslocamento inicial, aquele provocado pela dilatação. Em contrapartida, quando a compressão aplicada é de maior magnitude, o pilar pode atingir o colapso, devido a redução de fy e E, para baixos valores de deformação térmica.

Nos exemplos 5 e 6 (paredes em contato com ambas as mesas), pode-se concluir que a configuração menos favorável é aquela em que a face tracionada se encontra em contato com a ação térmica de incêndio, pois resultou em menor TRF. Observa-se que o caso apresentado nos exemplos 5 e 6 apresenta superfície exposta a ação térmica maior que aquela dos exemplos 2 e 3.

A comparação entre a magnitude dos TRFs resultantes das duas configurações implica em conhecer o carregamento externo imposto e o gradiente de temperatura que ocorre no pilar. Os resultados apresentados deixam clara a necessidade de se explorar de maneira mais aprofundada a questão das imperfeições geométrica iniciais, tanto locais quanto globais, em magnitude e sentido, em estruturas onde se tem somado o fator temperatura.

Para as análises apresentadas, foram obtidas também a curva de redução “Nfi/N x tempo” e comparadas com as curvas obtidas pelo pacote computacional SupertempCalc (STC), e com os métodos simplificados da NBR14323:1999 e EC3-1.2. Embora a análise numérica do ANSYS indique diferentes valores de TRF para os exemplos P - UC 203 x 203 x 46 – A e P - UC 203 x 203 x 46 – M, o resultado obtido por meio dos métodos simplificados tanto do EC3-1.2 e NBR14323:1999 não mostra distinção entre ambas as configurações na resposta estrutural. Isso se deve ao fato de ambas



109

apresentarem o mesmo valor de fator de massividade. Nestes métodos não são considerados fatores a exemplo da forma de incidência da ação térmica sobre o elemento.

Exceto para o exemplo P - UC 203 x 203 x 46 – I, os fatores de redução obtidos pelo ANSYS resultaram menores que aqueles obtidos via SupertempCalc, e bem diferentes das curvas obtidas por meio dos procedimentos simplificados nos códigos normativos. Tal fato está relacionado à maior precisão do ANSYS, que permite levar em conta as condições de vinculação, bem como os modos e amplitudes de imperfeições geométricas iniciais.

6 AGRADECIMENTOS

Ao CNPq, à FAPESP e ao Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo.

7 REFERÊNCIAS

ALMEIDA, S. J. C. Análise numérica de perfis de aço formados a frio comprimidos considerando as imperfeições geométricas iniciais. 2007. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 2007.

AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION. ANSI/AISC 360-05 – Specifications for structural steel buildings. Chicago, 2005.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT-NBR 8800 – Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios. Rio de Janeiro, 2008.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT-NBR 14323 – Dimensionamento de estruturas de aço de edifícios em situação de incêndio – Procedimento. Rio de Janeiro, 1999.

EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. EN 1993-1-2:2005 Eurocode 3 – Design of Steel Structures. Part 1-2: General rules – Structural Fire Design. Brussels, 2005.

EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION. EN 1993-1-1:2005 Eurocode 3 – Design of steel structures. Part 1-1: General rules and rules for buildings. Stage 34 draft. Brussels, 2005.

INTERNATIONAL STANDARD. Fire-resistance tests — Elements of building construction — Part 1: General requirements. ISO 834-1:1999. 1999.

KIMURA, E. F. A. Análise termo-estrutural de pilares de aço em situação de incêndio. 2009. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 2009.

REGOBELLO, R. Análise numérica de seções transversais e de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto em situação de incêndio. 2007. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 2007.

110

ISSN 1809-5860


MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS POSICIONAL APLICADO À NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA DE SÓLIDOS

Daniel Nelson Maciel1 & Humberto Breves Coda2

Resumo Neste trabalho uma formulação não linear geométrica alternativa do método dos elementos finitos é apresentada. É chamada de elementos finitos posicional por conta que as variáveis nodais são posições, ao invés de deslocamentos. Outra novidade da formulação proposta é a aplicação da medida de deformação de engenharia, facilitando a compreensão do problema não linear em face das aplicações na engenharia. Elementos tetraédricos isoparamétricos de ordem cúbica são empregados evitando assim o fenômeno de travamento. Vários exemplos são mostrados a fim de se validar a formulação aqui proposta. Palavras-chave: Não linearidade geométrica. Sólidos. Elementos finitos.

POSITIONAL FINITE ELEMENT METHOD APPLIED TO GEOMETRIC

NONLINEAR TRIDIMENSIONAL PROBLEMS

Abstract An alternative nonlinear finite element approach is presented herein in this work. It called positional finite element method because it is considered nodal positions as variables of the non linear system instead of displacements. Moreover, the proposed approach applies the engineering strain measure which turns the nonlinear problem familiar with linear engineering problems. Isoparametric tetrahedral finite elements with cubic polynomial interpolation of positions and stresses are applied in order to avoid locking. Many examples are shown and compared with results obtained in the specialized literature.

Keywords: Nonlinear geometric. Solids. Finite Elements.

1 INTRODUCTION

The good numerical representation of solids exhibiting large displacement and large strain is a continuous activity of a considerable number of research works. It is well known (SIMO & ARMERO, 1992) that a lot off effort has been invested in the development of low order finite elements to obtain robust and non-locking three and two-dimensional elements to solve geometrically and physically non-linear problems of solid mechanics. To solve the so called locking, related to low order finite elements, strategies based on mixed stress and strain formulations have been proposed as one can see in SIMO et al (1985), SIMO & TAYLOR (1985), SUSSMAN & BATHE (1987), BRINK & STEIN (1996), ZIENKIEWICZ & TAYLOR (2000) and SANSOUR & KOLLMANN (2000) for example. Hopefully, works as the ones proposed by DÜSTER et al (2003) and RANK et al (2003) revels that high order finite elements are locking free and less sensible to mesh geometry distortion, desirable properties for geometrically non-linear and large strain analysis. As mentioned by these authors, SURI (1996) and SZABOO & BABUSKA (1991) have shown that, for small strains, high order elements are locking free. High order polynomials elements have been successfully used for hyper-elastic material modeling in the works of DÜSTER et al (2003) and RANK et al (2002).

1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]

Daniel Nelson Maciel & Humberto Breves Coda


112

This study intends to contribute with the overall research effort dedicated to geometrically non-linear analysis investigating the use of the non-linear engineering strain measure as in CODA & GRECO (2004) to simulate three-dimensional solids subjected to large displacements. A constitutive relation for compressive materials is proposed for the engineering strain measure. Moderated high order finite elements are used avoiding locking and taking advantage of mesh generation packages. For three-dimensional problems an isoperimetric tetrahedron with cubic approximation element is adopted. The positional formulation i.e., nodal parameters are positions instead of displacements, will be proposed here for solid analysis. To solve large systems of equations the MA27 solver is used, resulting in a robust method able to consider thin solids and to solve complicated geometries by using any structured or non-structured mesh generation for hexahedral finite elements. Some examples are explored to show the versatility and accuracy of the proposed procedure.

2 STRAIN MEASURE

In this section both vector and index notations are used. The first is used to clarify the illustrations and the second is preferred to be used in computational implementations. The strain measure to be adopted in this study is called engineering strain due to its relation with the so called "strain gates" used at laboratory to study deformed specimen. This strain measure is the first object of study of almost all structural engineering courses. It is important to mention that the strain measure adopted in text books of linear elasticity is not the engineering strain, but its primary description. At undergraduate curses for example, before the linear simplifications, it is exactly the engineering strain concept, see HIGDON et al (1978), for instance. However, the primary concept is not enough to develop the proposed formulation. In order to do so its mathematical description, given for example in OGDEN (1984), should be resumed. Figure 1 describes two infinitesimal vectors dx and dy fixed in the initial and actual continuum

configurations, respectively. Vector dx can be written as a function of its modulus and direction, called u , as follows:

dx u dx udx= = (1a)

or for index notation:

i i j j idx u dx dx u dx= = (1b)

The same can be done for dy , as:

dy v dy vdy= = (2a)

i i j j idy v dy dy v dy= = (2b)

where v is a unit vector.

x

e1

e2

x0

B

y0

e3RB

xΔ f ( x ) Δy

y

B0

B1

Figure 1 – Engineering strain definition.

Método dos Elementos Finitos Posicional aplicado à não linearidade geométrica de sólidos


113

The vector dy is the vector dx after the configuration change, represented by the vector

function f . This change of configuration is usually called deformation function; this name is avoided here due to misunderstandings generated among Latin speakers. As it can be seen at figure 1 letter x is used to represent coordinates of initial configuration and letter y to represent coordinates of actual configuration. Relation among these infinitesimal vectors is done directly by the gradient of the change of configuration function, represented by letter A, given as follows:

A Grad( f )= (3a)

iij

j

fAdp∂

= (3b)

Where capital letter indicates Lagrangean operation. dy Adx= (4a)

i ij jdy A dx= (4b) substituting equations (1) and (2) into equation (4) one writes:

dyv dxAu= (5a)

i ij jdyv dxA u= (5b) Making the internal product of equation (5) by itself, one writes:

2 2 t tdy dx u A Au= (6a) 2 2

k ki ij jdy dx u A A u= (6b)

where the index t means transpose. It should be mentioned that tC A A= is usually called the right Cauchy-Green stretch tensor and it is positive definite. From equation (6) one achieves the stretch at any point of any fiber following a general direction u in the initial configuration, as:

1/ 2t tdy( u ) u A Au

dxλ = = (7a)

( ) 1/ 2

k ki ij jdyu u A A udx

λ = = (7b)

It is important to remember that expression (7) does not mean derivative, but the relation between two infinitesimal lengths, and that ( u )λ is a strictly positive quantity. For more detailed description one can see OGDEN (1984). The Lagrangean longitudinal engineering strain at a point, following direction u , is defined as:

1/ 2t tdy dx( u ) u A Au 1 ( u ) 1

dxε λ−

= = − = − (8a)

( ) ( )1/ 2

k ki ij jdy dxu u A A u 1 u 1

dxε λ−

= = − = − (8b)

For the sake of completeness, one can make the same for an Eulerian representation: 1dx A dy−= (9a) t

i ij jdx B dy= (9b) 2 2 t 1t 1dx dy v A A v− −= (10a) 2 2 1t

k ki ij jdx dy v A A v−= (10b)

1/ 2t 1t 1dx 1( v ) v A A v

dyλ

λ− −′ = = = (11a)

( ) 1/ 2

k ki ji jdxv v B B vdy

λ′ = = (11b)



114

Where ( v )λ′ is the stretch of a fiber initially in direction u and finally in direction v , related to the final position, i.e., Eulerian stretch. In equations (9) and (11) the tensor tB is the inverse of A . The Eulerian engineering strain is therefore:

dy dx( v ) 1 ( v )dy

ε λ−′ ′= = −)( u

11λ

−= (12)

To complete the engineering strain components it is necessary to define distortion. The Lagrangean engineering distortion is the difference between the final angle defined by two fibers θ and the initial angle defined by them, / 2π , see figure 2.

( 1 ) ( 2 )u u 2πγ θ= − (13)

Figure 2 – Definition of distortion.

The angle θ is easily calculated by the internal product of the final vectors, as:

( 1 ) ( 2 )cos( ) v vθ = (14a)

( 1 )i ( 2 )icos( ) v vθ = (14b) Using equation (5), these final vectors are given by:

( 1 )( 1 )

( 1 )

Auv

( u )λ= ; ( 2 )

( 2 )( 2 )

Auv

( u )λ= (15a)

ij ( 1 ) j( 1 )i

( 1 )

A uv

( u )λ= ; ij ( 2 ) j

( 2 )i( 2 )

A uv

( u )λ= (15b)

From equations (14) and (15) one achieves:

2)u()u(uAAucosa

21

1tt

2uu 21

πλλ

γ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (16a)

( 1 ) ( 2 )

( 2 )k ki ij ( 1 ) ju u

( 1 ) ( 2 )

u A A ua cos

( u ) ( u ) 2πγ

λ λ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(16b)

It is simple to write a similar expression for Eulerian distortion, however the relation among nominal stress and true stress (Cauchy) will be done following the principal directions (polar decomposition theorem) avoiding this calculation. For a three dimensional representation one needs six independent strain components to complete its physical representation. They are calculated choosing 1 1u e= , 2 2u e= and 3 3u e= , where

( )1 2 3e ,e ,e is the orthonormal Cartesian base. From these considerations one finds 1ε , 2ε , 3ε ,

12 21γ γ= , 13 31γ γ= and 32 23γ γ= .



115

For the sake of completeness it is necessary to recall that tC A A= or kj ki ijC A A= is the right Cauchy-Green stretch tensor. It is positive definite, symmetric and has six independent values, OGDEN (1984). Any strain measure written as a function of the Cauchy-Green stretch is objective, i.e., invariant regarding rotations and translations and complete, see CAMPELLO et al (2003) and GREEN & NAGHDI (1979) for instance. To simplify notation, in the next developments, it is interesting to call distortion ( ijγ ) for i j≠ and

longitudinal strain, for i j= , simply by ijε . It is important to mention that ijε does not respect usual tensor rotation; it is necessary to apply it over the Cauchy-Green stretch and, after that, calculates expressions (8) and (16). The value ijε is then called pseudo-tensor of engineering strain.

3 THE SPECIFIC STRAIN ENERGY AND NOMINAL STRESS

From this section to the end of the paper, only index notation will be employed. As described by various references like OGDEN (1984), MALVERN (1969), CIARLET (1993) etc., a general hyper-elastic material can be fully described by a specific strain energy potential eu written as a function of any objective strain measure. A classical strain energy potential for hyperelastic material will be discussed in the appropriate section. In our case we choose the engineering strain and write the specific energy potential as follows.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 32e kl ( a )klij ij kl ( b )klij ij kl ( c )klij ij kl ( d )klij ij

1u ( ) C b C c C d C ....2

ε ε ε ε ε ε ε ε ε= + + + + (17)

The letters (a), (b), (c), (d),… are coefficients that can be calculated via inverse analyses to adequate the specific energy strain to the physical behavior of the body. The values Cα are second order tensors that establish the interdependence of strains for a specific material. As it will be seen later, ( )C α establishes the relation between nominal stress and engineering strain. The simplest material, the one to be implemented here, is the linear elastic one and, as a consequence, equation (17) reduces to:

e kl ( a )klij ij1u ( ) C2

ε ε ε= (20)

where ( a )C is the simple Hokes' Law tensor for isotropic materials given by:

a

K(1 ) K K 0 0 0K K(1 ) K 0 0 0K K K(1 ) 0 0 0

C0 0 0 G 0 00 0 0 0 G 00 0 0 0 0 G

ν ν νν ν νν ν ν

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(21)

where ν is the Poisson ratio and the other constants are given by, EG

2(1 )ν=

+ (22)

EK(1 )(1 2 )ν ν

=+ −

(23)

with E being the well known Young modulus. The bulk modulus is then achieved by K Kν= . It is easy to observe that the proposed strain measure has much more meaning to the ones accustomed to linear elasticity than any other proposed in literature to solve non-linear problems. To find the energy conjugate stress of the engineering strain measure, i.e., the nominal stress, one needs only to differentiate equation (20) regarding each strain component, i.e.:



116

kl ( a )klij ijCσ ε= (24)

The pseudo-tensor klσ is called nominal engineering stress. By a simple comparison between equation (24) and the Hokes' Law for linear elasticity one concludes that each component of the nominal engineering stress has exactly the same physical meaning of the True Stress, Cauchy Stress, but referred to the initial configuration. This is the reason it is called nominal engineering stress. This stress measure and the engineering strain are physical quantities that can be easily evaluated at any laboratory of material characterization.

4 POLAR DECOMPOSITION THEOREM AND TRUE STRESS

If 1u , 2u and 3u are the principal directions of the Cauchy-Green stretch at the initial configuration, then, from equation (16), one concludes that 12 13 23 0γ γ γ= = = . By the Polar

Decomposition Theorem one knows that the corresponding directions for 1u , 2u and 3u in the actual

configuration ( )1 2 3v ,v ,v are also orthogonal and are the principal directions of true strain and true

stress, see for example OGDEN (1984). The relation between the principal nominal stress and the principal true stress is captured directly by the initial and final areas relation, i.e.:

true ii

j k

σσλ λ

= (25)

where i,j,k follow cyclic permutation rule. Expression (25) informs that the area initially orthogonal to a principal direction at initial configuration remains orthogonal to the 'new' principal direction at the actual configuration. It also informs that the ratio between nominal principal stress and principal true stress is the inverse to the ratio between initial and actual principal areas. This is an important property of the nominal stress and it brings an easy physical meaning to this Lagrangean quantity. To confirm the assumed relation one writes the strain energy for initial and final configurations as a function of principal stress and strain as follows:

1 2 3

0 0 0

0e 1 1 0 2 2 0 3 3 00 0 0

V V V

U d dV d dV d dVε ε ε

σ ε σ ε σ ε⎧ ⎫⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (26)

true true true1 1 1true true true true true true true

e 1 1 2 2 3 30 0 0V V V

U d dV d dV d dVε ε ε

σ ε σ ε σ ε⎧ ⎫⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (27)

where 0eU and true

eU are, respectively, the strain energy written for Lagrangian and Eulerian descriptions. For the principal axes the Jacobian of the change of configuration is easily written, resulting

0 1 2 3 0dV JdV dVλ λ λ= = (29) For any conservative mechanical system, the elastic energy should be the same despite the adopted material description, so:

0 truee eU U= (30)

Considering that the strain energy is arbitrary, using equations (25) trough (30) one achieves the differential relation among principal engineering and true strain, i.e:

true ii

( i )

dd εελ

= (31)

For a Lagrangian referential one can integrate equation (31) achieving truei iln( )ε λ= .

This expression corresponds exactly to the true longitudinal strain definition mentioned, for example, in OGDEN (1984) and CRISFIELD (1991).



117

5 KINEMATICAL APPROXIMATION AND POSITIONAL MAPPING

To build the positional finite element method the engineering strain should be calculated for approximated configurations. Lets' define a general solid finite element. For initial configuration any point position belonging to this element can be calculated by the following usual mapping, see figure 3.

0i i 1 2 3 i 1 2 3 if x ( , , ,X ) ( , , )Xξ ξ ξ φ ξ ξ ξ= = (40)

where ix is the ith coordinate of the desired point, iX is the ith coordinate of node , φ is the shape function associated with node and 1 2 3( , , )ξ ξ ξ are non-dimensional Gauss coordinates. The vector

function 0f can be understood as a fictitious change of configuration from the non-dimensional space to the initial one. For actual configuration a similar expression is written, changing x by y, i.e.:

1i i 1 2 3 i 1 2 3 if y ( , , ,X ) ( , , )Yξ ξ ξ φ ξ ξ ξ= = (41)

The vector function 1f can be understood as a fictitious change of configuration from the non-dimensional space to the actual one.

ξ1

ξ2 B 0 B1

A0 A1

Figure 3 – Positional mapping.

The real mapping ( f ), from initial configuration to the actual one is given by:

1 0 1f f ( f )−= (42)

where the symbol means that function 1f is applied over the image of 0 1( f )− . The domain of the

total function is 0B and its image is 1B . Function f is the change of configuration described in the previous section, applied here to the adopted FEM approximation. Its gradient is easily computed as follows. 1 0 1A A ( A )−= (43) where

j j j1 1 1

1 2 3jj j j

j ji2 2 2ik i ,k

1 2 3 kj j j

3 3 3

1 2 3

f f f

ff f fA f

f f f

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥ ∂∂ ∂ ∂

= = =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

(44)

In equation (44) j means initial or actual (0 or 1) i means direction, k means one of the non-dimensional variables and comma means partial differentiation. Equation (44) can be written from equations (40) and (41) as follows: 0 0

ik i ,k ,k 1 2 3 iA f ( , , )Xφ ξ ξ ξ= = (45)



118

1 1ik i ,k ,k 1 2 3 iA f ( , , )Yφ ξ ξ ξ= = (46)

It is important to mention that equation (43) is calculated numerically for each Gauss station. As a consequence, it is possible to calculate trials (for arbitrary actual positions) for the engineering strain components using equations (8) and (16).

6 THE NUMERICAL POSITIONAL PROCEDURE

In this section the simplicity of the technique will become clear, as no additional considerations regarding kinematics needs to be done to solve the geometrical non-linear problem. The principle of minimum potential energy can be written, for a conservative elastostatic problem, using position considerations (not displacements) as follows:

eUΠ Ρ= − (47) Where Π is the total potential energy, eU is the strain energy and Ρ is the potential energy of the applied forces.

Figure 4 – Total potential energy written for a body in two different positions.

Adopting linear constitutive relation for elastic materials, the specific strain energy is the one shown in equation (20) and, as it is a Lagrangean quantity, the whole strain energy stored in the body is written for the reference volume V0 as:

0 0

e e 0 kl ( a )klij ij 0V V

1U u dV C dV2

ε ε= =∫ ∫ (48)

The potential energy of conservative applied forces is written as

k kP Y F= (49)

In equation (41) kY is the actual position occupied by all points of the body, and kF is its corresponding force. It is interesting to note that the potential energy of the applied forces may not be zero in the reference configuration. The total potential energy is written as

0

kl ( a )klij ij 0 k kV

1 C dV F Y2

Π ε ε= −∫ (50)

From equations (45), (46), (8) and (16) it is possible to write equation (50) as a function of actual positions and applied external forces. From this reasoning the problem of achieving the equilibrium of the elastic system is the determination of the minimum of total potential energy regarding positions. It is



119

done by deriving equation (50) regarding positions and making it equal to zero. These steps are done as follows,

( )0

j kl ( a )k lim im 0 jj jV

1g C dV FY 2 YΠ ε ε∂ ∂

= = −∂ ∂∫ (51)

In equation (51) ig is a vector which for an exact situation assume null value. Splitting the derivative of the specific strain energy, one writes:

( ) ( )kl k lim im kl k lim im im imj j j j

1 1C C C2 Y 2 Y Y Y

αβ αβ αβαβ αβ

αβ

ε ε εε ε ε ε ε σ

ε∂ ∂ ∂∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(52)

Substituting equation (52) into equation (51), results

0

intj im im 0 j j j

jV

g C dV F F F 0Y

αβαβ

εε

∂= − = − =

∂∫ (53)

where intjF is the first gradient vector of the strain energy potential, understood as internal force.

Equation (53) means that if the internal force vector is equal to the applied one the solid is at equilibrium. If not, vector jg can be understood as the unbalanced force of the mechanical system.

It is important to remember that in this study the applied forces are conservative. Non-conservative forces can be introduced directly in equation (53) if desired. As mentioned before the actual position is the unknown of the problem, so it is necessary to solve equation (53). As the vector function jg ( (Y ))αβε is non-linear regarding nodal parameters it is necessary to expand it from an

initial trial solution, called here 0Y , as follows:

0

0 2

( )

( ) ( ) 0jj j k j

k Y

gg Y g Y Y O

Y∂

= + Δ + =∂

(54)

Remembering that forces are conservative one concludes that

=∂

∂=

∂

∂

)Y(k

intj

)Y(k

j

00 YF

Yg

00

0im im 0 kj

k jV Y

C dV HY Y

αβαβ

εε

⎛ ⎞∂∂=⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫ (55)

where the matrix 0kjH is the Hessian matrix of the total potential energy.

The derivative inside the integral term of equation (55) is written as: 2

imim im im im im

k j k j j k

C C CY Y Y Y Y Y

αβ αβ αβαβ αβ αβ

ε ε εεε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂∂

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (56)

Neglecting higher order errors ( 2iO ) equation (54) is rewritten as:

( ) ( ) ( ))Y(FFH)Y(gHY 0intjj

10kj

0j

10kjk −=−=

−−Δ (57)

resulting into the Newton-Rapson procedure to solve non-linear system of equations.

The Newton-Rapson procedure is summarized as: One chooses a trial position 0Y and

calculates the unbalanced force vector )Y(g 0j according to equation (51). By applying equation (57)

one finds the variation of position kYΔ to correct 0Y . With this new position vector, one repeats the

procedure until kYΔ or )Y(g 0j becomes small. The error, that is, the final unbalanced force

(residuum) is applied into the next load step if the analyzed problem is divided into load steps, if not the problem is solved.



120

To finalize the technique description the derivative of strain regarding actual nodal positions should be done. To be short it will be shown the derivative of the Cauchy-Green stretch tensor and the rest of arithmetic operations are left for the reader. Recalling that the Cauchy-Green stretch tensor is given by:

AAC t= (58) and omitting, for simplicity, extra indices, one applies the positional FEM mapping and writes:

0 t 1 1 t 1 0 1i iC [( A ) ] ( A ) (Y )A (Y )( A )− −= (59)

Remembering that 0A is constant regarding the actual position, the desired derivative is performed as: 1 t 1

0 t 1 1 1 0 t 1 1 t 0 1i ii 0 i

j j j

( A ) (Y ) A (Y )C [( A ) ] A (Y )( A ) [( A ) ] ( A ) (Y ) ( A )Y Y Y

− − − −∂ ∂∂= +

∂ ∂ ∂ (60)

and, from equation (46), one has:

j)i(321k,j

i321k,i321k,

jj

1 ),,(YY),,()Y),,((

YYA δξξξφξξξφξξξφ =

∂∂

=∂∂

=∂∂

(61)

where the Kronecker delta j)i(δ assumes one if the global degree of freedom j is equal to the local (to the finite element) degree of freedom i and zero otherwise. The variable is the element node and i is the degree of freedom. It is important to mention that the present technique can be applied to any strain measure that is based on the Cauchy-Green stretch.

Equation (61) indicates that the proposed procedure can be operated by means of creating Hessian matrix and internal forces for finite elements and composing the global matrix and internal force vector by summation of coincident degrees of freedom, as it is done for usual FEM procedures. One should remember that all operations are done in the global system of equation avoiding the use of rotations.

7 NUMERICAL EXAMPLES

The proposed formulation is tested mainly regarding its ability of representing large displacement situations, using the engineering strain measure together with the positional mapping. One example is also provided to show the possibilities of the technique regarding hyperelastic materials.

7.1 Cantilever beam subject to a transversal load applied at free end

The structure is discretized into 48 finite elements, totalizing 319 nodes or 957 degrees of freedom. The analytical solution achieved by reference MATTIASSON (1981) is used to compare results at figure 4. In the numerical analysis the load is divided into 100 steps, in order to show the results at different load levels. This example is similar to the one proposed by SURI (1996) and solved using high order finite elements by DÜSTER et al (2003). The beam has a square cross section of 1x1m and a length of 10m. The adopted Young modulus is 71.27 10E x Pa= and Poison Ratio 0.0ν = .

Following the convention of Fig. 5, in Fig. 6 and 7 the responses UX, UY are compared with the analytical solution. In Fig. 7 two deformed shapes for selected load levels are presented.



121

Figure 5 – Loading, discretization and convention.

0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Tip

Dis

plac

emen

t U

y/L

Load Parameter PL2/EI

Numerical Result Mattiasson

Figure 6 – Comparison of results for vertical displacements.

0 2 4 6 8 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Numerical Result Mattiasson

Tip

Dis

plac

emen

t U

x/L

Load Parameter PL2/EI Figure 7 – Comparison of results for horizontal displacements.



122

As one can see the results are in perfect agreement, showing that the formulation is able to describe large displacements for this simple structure. It is interesting to mention that the adopted constitutive relation is the linear engineering one, (expression (20)).

2 4 6 10 Figure 8 – Some selected configurations for reference load 2 /PL EI (no scaling).

7.2 Clamped column

This example is introduced to show the ability of the proposed formulation to capture instability configuration and its corresponding critical load. A clamped column subjected to a growing compressive load is analyzed, see figure 9. The adopted discretization uses sixty tetrahedral finite elements, as depicted in figure 10. The length of the column is L 2m= . The cross section is square with sides a 0.13m= . An initial lateral eccentricity of L/100 is assumed at the top of the column. The adopted material properties are: E 210GPa= and 0ν = .

P

2 m

Figure 9 – Analyzed column.

Figure 10 – Finite element discretization.



123

The lateral displacements for the loaded point is depicted in figure 11 and compared with results obtained using 10 cubic frame elements based on Reissner kinematics.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.80

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

FEM 3D Reissner Kinematics Pcr - First Mode

P (kN)

Lateral displacement (m) Figure 11 – Lateral displacement versus applied load.

From figure 11 it is possible to identify the larger flexibility of the 3D model when compared with the 2D Reissner kinematics formulation. The first critical load is depicted in figure 11 and shows the accuracy of the proposed technique in capturing the instability of the system. At figure 12, for completeness, some configurations for specific load steps are depicted.

Figure 12 – Some deformed configurations (no scaling).

7.3 Lateral instability of a clamped beam

This example shows the ability of the formulation on reproducing coupled instability modes. In this example the lateral instability of a clamped beam is studied, see figure 13. The critical load for this problem has analytical solution ( 24.013 /crP EIGJ L= ), given by TIMOSHENKO & GERE (1961). It is

important to mention that 3I bh / 12= and 3J hb / 3= . For this example it has been adopted: E 100000= , G 50000= , L 100= , b 1= and h 10= , where b and h are, respectively, the thickness and the height of the beam. Applying the analytical solution one achieves crP 47.3= . This value is depicted in figure 14 as a reference value for the numerical response. To run this problem 74



124

finite elements (543 nodes) are employed and an initial defect for torsion angle, 0.16radϕ = , is adopted.

Figure 13 – geometry of the analyzed problem.

The z direction is along the beam axis and y direction is the vertical one. As it can be seen, the discretized structure behaves as expected passing trough the critical load region with more flexibility.

0 10 20 30 40 500

20

40

60

80

100

Load

Displacement

-UY -UZ UX PCR

Figure 14 – Displacements versus applied force for the free end of the bar.

At figure 15 one can see some one selected configuration for the analyzed problem.

x

y

z

Figure 15 – Selected deformed configuration (no scaling)



125

7.4 Ringed-plate

This example is introduced to test the formulation regarding locking when leading with thin structures. This benchmark is used by PETCHSASITHON & GOSLING (2005) and other cited therein to investigate the performance of finite rotation formulations for shell structures. The ring plate is clamped at one edge and loaded at the other, where these edges are divided by cutting (or splitting) a circular (doughnut) plate (e.g. along the line AB in figure 16). The geometry, loading and material properties of the plate are also given in figure 16. The adopted discretization is depicted in figure 17 and the deformed shape of the ringed plate subjected to a load factor of 80 is illustrated in figure 18. The number of finite elements and nodes are: 420 and 2803, respectively. The relationship between the incremented load (load factor) and de displacement at points A, B and C (defined in figure 15) are plotted and compared with those obtained by PETCHSASITHON & GOSLING (2005) at Fig. 19. From solutions, it is inferred that the proposed formulation is more flexible than the presented by PETCHSASITHON & GOSLING (2005) revealing the absence of locking for this example.

Figure 16 – Geometry, physical parameters and loading [33].

Figure 17 – Discretization.



126

Figure 18 – Deformed configuration for load factor 80 (no scaling).

0 20 40 60 80-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Vert

ical

Dis

plac

emen

t

Load Factor

Present Work: Point A Point B Point C

Reference No.[23]: Point A Point B Point C

Figure 19 – Displacement versus load factor.

7.5 Pinched cylinder with rigid diaphragms

A more complex thin shell is solved this time. A cylinder with rigid diaphragms is pinched by concentrated loads at two opposite points at its top and bottom, see figure 20. Two discretizations are employed to run this problem (figure 20). Taking advantage of symmetry only an octant of the cylinder is discretized. The adopted constants are: R 100= , h 1= , 4E 3x10= , L 200= and 0υ = . At figure 21 the results are compared with reference SANSOUR & KOLLMANN (2000) that employed an enhanced strain based shell finite element.



127

Figure 20 – Pinched cylinder geometry, loading and discretizations for 7092 DOF and 19893 DOF respectively.

For completeness, at figure 22 two deformed configurations are depicted.

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

2000

4000

6000

8000

10000

12000

Load

Displacement

Present Work: Node A (7092 DOF) Node B (7072 DOF) Node A (19893 DOF) Node B (19893 DOF)

Reference [32]: Node A Node B

Figure 21 – Displacements for points A and B.

Figure 22 – Selected configurations (Intermediates and Final Load) no scaling.



128

From the results one understands that a more fine mesh is required and also a better distribution of it, especially by refining where big curvatures occur during deformation.

8 CONCLUSIONS

The positional FEM for geometrical non-linear analysis of solids has been presented and successfully implemented. The theory is simple and consistent. The engineering strain measure, based on the Cauchy Stretch Tensor, is objective and complete. The nominal stress measure is the conjugate of the proposed engineering strain, it is symmetric and posses an understandable physical meaning. Six examples demonstrate the good behavior of the formulation. In particular, the ringed plate example demonstrates the ability of the formulation on treating thin solids. However, the pinched cylinder case presents a result that, even being better than expected, shows the limitation of using solids to simulate shells exhibiting complicated deformations. Very good convergence for the iterative process has been achieved and the stress profile is reliable. Some interesting features of the formulation should be detached. As it is a strain based formulation it can be directly used for non-linear constitutive relations. The adopted stress-strain conjugate is precisely the one used at engineering laboratories, making easy the necessary calibration of constitutive relations for any material. A rubber-like constitutive relation has been implemented to demonstrate the possibilities of the formulation for future applications. Further developments as position control and arch length control are required to achieve good solutions at unstable bifurcations, snaps troughs and snap backs. The positional formulation deserves further studies and developments to incorporate shell elements.

9 AKNOWLEDGEMENTS

The Authors would like to thank CAPES and CNPq for the financial support.

10 REFERENCES

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129

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ISSN 1809-5860


ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS E HÍBRIDO-MISTOS DE TENSÃO COM ENRIQUECIMENTO NODAL

Wesley Góis1 & Sergio Persival Baroncini Proença2

R e s u m o Trata-se do desenvolvimento de variantes não-convencionais do Método dos Elementos Finitos (MEF), para a elasticidade plana, tendo-se como base a combinação das Formulações Híbrida (FHT) e Híbrida-Mista de Tensão (FHMT) com a técnica de enriquecimento nodal de partições da unidade. Elementos planos quadrilaterais de quatro nós e triangulares de três nós foram implementados para avaliação numérica destas duas variantes formuladas. Ainda entre os desenvolvimentos realizados, destaca-se o estudo das condições necessárias e suficientes para convergência de soluções aproximadas para a classe de problemas lineares considerada. Finalmente, alguns exemplos numéricos são apresentados para ilustrar o desempenho de ambas as abordagens, especialmente quando a técnica de enriquecimento nodal é aplicada. Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos. Método dos Elementos Finitos Generalizado. Formulação híbrida de tensão. Formulação híbrido-mista de tensão. Estabilidade do Método dos Elementos Finitos.

STRESS HYBRID AND HYBRID-MIXED FINITE ELEMENTS WITH NODAL ENRICHMENT

A b s t r a c t This work address the development of non-conventional variants of the finite element method for plane elasticity based on the combination of Stress Hybrid Formulation (SHF) and Stress Hybrid-Mixed Formulation (SHMF) with the technique of nodal enrichment of a partition of unity. Plane four-node quadrilateral and triangular three-node elements were implemented aiming numerical evaluation of the two variants formulated. Also among the developments conduced, a study on the necessary and sufficient conditions for the convergence of the approximate solutions to the class of linear problems considered is highlighted. Finally, some numerical examples are presented to illustrate the performance of both approaches, especially when the nodal enrichment technique is explored. Keywords: Finite Element Method. Generalized Finite Element Method. Stress hybrid formulation. Stress hybrid-mixed formulation. Finite Element Method Stability.

1 INTRODUÇÃO

O trabalho proposto tem por objetivo oferecer contribuições para o desenvolvimento e implementação computacional de duas formulações não-convencionais do Método dos Elementos Finitos (MEF), denominadas de Formulação Híbrida de Tensão (FHT) e Formulação Híbrido-Mista de Tensão.

O tema tem origem na idéia de aplicação da técnica de enriquecimento nodal de aproximações para a formulação Híbrido-mista de Tensão (FHMT), proposto em Pimenta, Proença e Freitas (2002) e Góis (2004). Os estudos incluindo a FHT com enriquecimento nodal tiveram continuidade em Góis e Proença (2005, 2006a, 2006b, 2007a, 2007b, 2007c).


Wesley Góis & Sergio Persival Baroncini Proença


132

Vale ressaltar que na FHMT, três campos são aproximados de forma independente: tensões e deslocamentos no domínio e deslocamentos no contorno. Já para a FHT, dois campos são independentemente aproximados: as tensões no domínio e os deslocamentos no contorno.

O enriquecimento nodal pode ser definido como a ampliação das bases aproximativas envolvidas, sem a necessidade de introduzir novos nós na discretização. Essa estratégia difere, portanto, do processo p-adaptativo do MEF clássico, onde, para certa classe de elementos finitos, exige-se a inserção de pontos nodais extras nos elementos em correspondência ao aumento do grau de interpolação, Duarte e Oden (1995, 1996).

A análise numérica da FHMT e FHT com enriquecimento nodal foi desenvolvida utilizando-se dois elementos planos: o elemento quadrilateral de quatro nós e o triangular de três nós. Nas aproximações envolvidas na FHMT, aplica-se o conceito da partição da unidade (PU), para garantir continuidade em todos os campos da FHMT. O conceito da PU também é aplicado aos deslocamentos no contorno da FHT para, igualmente aos elementos da FHMT, garantir continuidade dos deslocamentos entre elementos do contorno. As aproximações das tensões no domínio da FHT não estão atreladas a nós e não contemplam o conceito da PU.

Para enriquecer nodalmente as aproximações envolvidas na FHMT foram utilizadas funções polinomiais. Como as aproximações das tensões no domínio para a FHT não estão vinculadas aos nós do domínio, desenvolveu-se uma metodologia original que possibilita o enriquecimento nodal das aproximações das tensões no domínio da FHT que originalmente não estão atreladas a nós. Na FHT ambos os campos foram também enriquecidos com funções polinomiais.

Mas um questionamento pode ser levantado no tocante à aplicação dessas formas não-convencionais do MEF: elas sempre possibilitarão soluções convergentes?

Assim, o estudo detalhado das condições necessárias e suficientes para convergência das soluções obtidas com as FHT e FHMT com enriquecimento nodal é um aspecto complementar abordado neste trabalho.

Dessa forma, a análise dos aspectos matemáticos relacionados às condições necessárias e suficientes para estabilidade e convergência das soluções obtidas para a FHT e FHMT com enriquecimento nodal, fundamenta-se na implementação numérica da condição de Babuška-Brezzi (Babuška,1971,1973; Brezzi, 1974).

2 FORMULAÇÃO HÍBRIDA E HÍBRIDO-MISTA DE TENSÃO PARA ELASTICIDADE

Baseando-se em Freitas, Almeida e Pereira (1996), com oportuna escolha de funções peso, realizam-se as seguintes ponderações de Galerkin das equações de compatibilidade, equilíbrio e da condição de contorno de Neumann:

( )T T

Ωδσ L u fσ dΩ 0− =∫ (1)

( )T

Ωδu Lσ b dΩ 0+ =∫ (2)

( )t

t

TΓΓ

δu t Nσ dΓ 0− =∫ (3)

Nas Eq. (1), (2) e (3) Ω é um domínio de contorno Γ e tΓ é a parte do contorno Γ onde são impostas as forças de superfícies.

Da Eq.(1), com u u 0− = , em uΓ (parte do Γ onde são impostos os deslocamentos) e com o auxílio do teorema do Divergente, vem:

( ) ( )T TT

Ω Ω Γδσ fσdΩ Lδσ udΩ Nδσ udΓ 0+ − =∫ ∫ ∫ (4)

Elementos finitos híbridos e híbrido-mistos de tensão com enriquecimento nodal


133

O contorno Γ para as formas híbridas é por definição i u tΓ = Γ Γ Γ+ + e considerando a nulidade dos deslocamentos prescritos no contorno uΓ , a Eq.(4) assume a seguinte forma:

( ) ( ) ( )t i

t i

T T TTΓ ΓΩ Ω Γ Γ

δσ fσdΩ Lδσ udΩ Nδσ u dΓ Nδσ u dΓ 0+ − − =∫ ∫ ∫ ∫ (5)

onde e u tΓ =Γ Γ+ é o contorno externo e iΓ é definido como contorno interno entre elementos, quando se introduz uma discretização do domínio Ω em elementos finitos.

Aqui será admitida a continuidade dos deslocamentos iΓ

u entre as fronteiras iΓ , e assim, estas serão interpretadas como fronteiras estáticas.

Dessa forma, é necessário estender a ponderação de Galerkin da equação de equilíbrio Eq.(3) para incluir a fronteira iΓ . Com a consideração que não existem forças de superfícies t aplicadas no

contorno interno iΓ , soma-se à eq.(3) a parcela ( )i

i

TΓ

Γ

δu Nσ dΓ∫ referente ao equilíbrio na fronteira iΓ ,

assim:

( ) ( ) ( )t i t

t i t

T T TΓ Γ ΓΓ Γ Γ

δu Nσ dΓ δu Nσ dΓ δu t dΓ 0+ − =∫ ∫ ∫ (6)

As Eq.(2), (5) e (6) governam o Modelo Híbrido-Misto de Tensão e envolvem três campos independentes: as tensões σ e deslocamentos u incompatíveis definidas no domínio Ω e os deslocamentos

tΓu e

iΓu sobre o contorno. Nas Eq.(2), (5) e (6) assume-se que: N é a matriz

constituída com as componentes do vetor normal tanto para o contorno interno iΓ quanto para o contorno externo eΓ , f representa a matriz de flexibilidade para materiais elásticos lineares isótropos,

t é o vetor de forças superficiais aplicadas na parte tΓ do contorno externo e b é o vetor de forças volúmicas. Ainda nas Eq.(2), (5) e (6), por simplificação, admite-se a seguinte consideração: deslocamentos no contorno uΓ prescritos com valor nulo.

As seguintes aproximações para os campos de tensão σ e deslocamento u no domínio Ω e deslocamentos

tΓu e

iΓu nos contornos tΓ e iΓ , respectivamente, podem ser introduzidas:

%Ω Ωσ S s= (7)

Ω Ωu U q=% (8)

t t tΓ Γ Γu U q=% (9)

i i iΓ Γ Γu U q=% (10)

Onde ΩS , ΩU , tΓ

U e iΓ

U são, respectivamente, matrizes que guardam aproximações das

tensões e deslocamentos no domínio, deslocamentos no contorno de Neumann e interno. Já Ωs , Ωq ,

tΓq e

iΓq são, respectivamente, vetores que guardam os pesos das aproximações das tensões e

deslocamentos no domínio, deslocamentos no contorno de Neumann e interno. Vale ressaltar que todas as aproximações envolvidas na FHMT são construídas pela técnica

do MEF e consequentemente estão atreladas a nós, no caso da utilização de uma malha de cobertura em elementos finitos.

Aplicando-se as aproximações das Eq. (7) a (10) nas Eq.(2), (5) e (6), gera-se o sistema de equações lineares que governa a FHMT:



134

t i

t tt

ii

Ω Γ Γ ΩT

Ω ΩΩT

Γ ΓΓ

TΓΓ

F A A A s 0q QA 0 0 0q QA 0 0 0q 0A 0 0 0

− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ −− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ⎩ ⎭⎩ ⎭⎣ ⎦

(11)

Na Eq.(11) foram introduzidas as seguintes matrizes:

TΩ ΩΩ

F S fS= ∫ (12)

( )T

Ω Ω ΩΩA LS U dΩ= ∫ (13)

( )t t

t

T

Γ Ω ΓΓA NS U dΓ= ∫ (14)

( )i i

i

T

Γ Ω ΓΓA NS U dΓ= ∫ (15)

T

Ω Ω ΩQ U bdΩ= ∫ (16)

t tt

TΓ ΓΓ

Q U tdΓ= ∫ (17)

Especificamente para a FHT, as funções aproximativas das tensões no domínio ΩS devem satisfazer localmente a equação de equilíbrio, ou seja, as aproximações das tensões são auto-equilibradas. Considerando-se que a equação de equilíbrio correspondente é identicamente satisfeita na hipótese de forças volúmicas nulas, tem-se:

ΩLS 0= (18)

Nessa condição, as matrizes ΩA e ΩQ se anulam e a Eq.(11) se simplifica e assume a seguinte forma:

t i

t t t

i i

Γ Γ ΩTΓ Γ Γ

TΓ Γ

F A A s 0A 0 0 q Q

A 0 0 q 0

⎡ ⎤ ⎧ ⎫− − ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪− = −⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(19)

3 ELEMENTOS FINITOS HÍBRIDOS E HÍBRIDO-MISTOS DE TENSÃO COM ENRIQUECIMENTO NODAL

Como na FHMT e FHT há aproximações definidas no domínio e contorno dos elementos, para aplicação do Método dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) definem-se suportes ou nuvens associadas tanto ao domínio quanto ao contorno do elemento. Assim, considere-se uma malha de elementos finitos como apresenta a Figura 1.



135

Figura 1 – Nuvens de influência para as malhas de cobertura: domínio (bidimensional) e contorno (unidimensional).

A malha de cobertura é utilizada para definir as nuvens de domínio jω e as nuvens de

contorno Γj

ω . As nuvens de domínio e contorno em destaque na Figura 1 são formadas,

respectivamente, por elementos eΩ e iΓ que possuem nós em comum de domínio jx e contorno Γj

x .

Nesta pesquisa os elementos quadrilaterais de quatro nós (ver Figura 2) e os triangulares de três nós (ver Figura 3) são os elementos utilizados para composição das nuvens de domínio da FHT e da FHMT. Os elementos das nuvens de contorno são definidos nos lados de cada um dos elementos quadrilaterais e triangulares de domínio.

Em ambas as formulações a geometria do elemento quadrilateral (ver Figura 2) é construída com a utilização de funções bilineares Lagrangianas convencionais, definidas nas Eq.(20) a Eq.(23).

Figura 2 – Elemento quadrilateral de quatro nós.

( )( )11φ ξ 1 η 14

= − − (20)



136

( )( )21φ ξ 1 η 14

= − + − (21)

( )( )31φ ξ 1 η 14

= + + (22)

( )( )41φ ξ 1 η 14

= − − + (23)

onde ξ e η são as coordenadas adimensionais entre -1 e 1.

Para a construção da geometria do elemento triangular (ver Figura 3) é comum a utilização das coordenadas triangulares normalizadas, como mostram as Eq.(24) a Eq.(26).

Figura 3 – Elemento triangular de três nós.

11

e

AξA

= (24)

22

e

AξA

= (25)

33

e

AξA

= (26)

onde 1A , 2A e 3A são as áreas identificadas na Figura 3 e eA é a área total do triângulo desta mesma figura.

A geometria dos elementos de contorno da FHT/FHMT é desenvolvida com as funções lineares Lagrangianas clássicas. Para os elementos do contorno nos lados dos elementos quadrilaterais, escreve-se:

( )11ψ ξ 12

= − − (27)



137

( )21ψ ξ 12

= + (28)

Já para os elementos do contorno nos lados dos elementos triangulares, tem-se:

( )1ψ 1 ξ= − (29)

2ψ ξ= (30)

onde ξ para as Eq.(27) e (28) varia entre -1 e 1 e nas Eq.(29) e (30) varia entre 0 e 1.

Para aproximações das variáveis de tensão e deslocamentos no domínio e deslocamentos no contorno dos elementos quadrilateral e triangular da FHMT serão adotadas as mesmas funções utilizadas na aproximação da geometria destes elementos, Eq.(20) a Eq.(30). Assim, as matrizes aproximativas definidas nas Eq.(12) a Eq.(17), são agora tomadas para os domínios eΩ e contorno Γ (

eΓttΓ ou

eΓiiΓ ) dos elementos.

O enriquecimento dos campos de domínio Ω da FHMT, que estão atreladas aos nós de uma malha de cobertura, pode ser conduzido com auxílio de funções polinomiais

ejnh , j 1,...,N= e

( )en 1,...,I j= . Aqui Né o número total de nós no domínio Ω e ( )I j é o contador para o número de funções adicionadas a cada nó de índice j . Assim, escreve-se a família de funções típicas do MEFG para as tensões no domínio:

( ) j j e

N N2N Ω Ω jn ej 1 j 1

S S h : j 1,...,N;n 1,...,I j= =

ℑ = ∪ = = (31)

utilizada para construir a seguinte aproximação:

e

j j

nN

Ω Ω ji jij 1 i 1

σ S s h b= =

⎧ ⎫= +⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ ∑ (32)

onde jΩS são as aproximações das tensões atreladas ao nó j ,

jΩs são os graus de liberdade de

tensões associadas às funções de forma originais e jib são os novos parâmetros nodais correspondentes a cada uma das parcelas de enriquecimento.

No que diz respeito ao enriquecimento dos campos de deslocamentos no domínio e contorno, aplica-se um procedimento análogo ao enriquecimento das tensões no domínio.

Assim, considerando especificamente o elemento quadrilateral de quatro nós, as matrizes de aproximação das tensões e deslocamentos no domínio são representadas, respectivamente, da seguinte forma:

[ ]eΩ 1 1 2 2 3 3 4 4S φ Δ φ Δ φ Δ φ Δ= (33)

[ ]eΩ 1 1 2 2 3 3 4 4U φ Δ φ Δ φ Δ φ Δ= (34)

onde jφ , j 1,...,4= são as funções bilineares Lagrangianas clássicas atrelada ao nó j de domínio. A

matriz de interpolação dos deslocamentos no contorno tΓ e iΓ é dada por:

i t 1 2Γ Γ 1 Γ 2 ΓU ou U ψ Δ ψ Δ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (35)



138

onde Γj Γψ , j 1,2= são as funções lineares Lagrangianas clássicas atrelada ao nó Γj da malha de

contorno.

Nas Eq.(33) a (35), jΔ e jΓΓ

Δ são as matrizes de enriquecimento polinomial atreladas,

respectivamente, ao nó de domínio j e ao nó de contorno Γj .

Considere-se agora que as matrizes de enriquecimento polinomial sejam dadas por:

ej 3 11 3 jk 3 jn 3Δ I h I h I h I⎡ ⎤= ⎣ ⎦K K (36)

quando do enriquecimento do campo de tensões no domínio;

ej 2 11 2 jk 2 jn 2Δ I h I h I h I⎡ ⎤= ⎣ ⎦K K (37)

quando do enriquecimento do campo de deslocamentos no domínio; e

j Γ Γ eΓ ΓΓ 2 11 2 j k 2 j n 2Δ I h I h I h I⎡ ⎤= ⎣ ⎦K K (38)

quando do enriquecimento do campo de deslocamentos no contorno.

Nas Eq.(36) a (38), 2I e 3I são as matrizes identidades de segunda e terceira ordem respectivamente, uma vez que em cada nó são definidos três graus de liberdade de tensão no domínio e dois de deslocamentos de domínio e contorno.

Claramente, se as funções ejnh e

eΓjnh são nulas, preserva-se, com as matrizes 2I e 3I , a

estrutura convencional do MEF.

Formas habituais para as funções bolhas ejnh e

eΓjnh (expressas em coordenadas naturais)

são: • x

( ) ( )ejn 1 1 2 2 3 3 4 4 jh ξ,η φ x φ x φ x φ x x= + + + − (39)

• y

( ) ( )ejn 1 1 2 2 3 3 4 4 jh ξ,η φ y φ y φ y φ y y= + + + − (40)

• xy

( ) ( ) ( )ejn 1 1 2 2 3 3 4 4 j 1 1 2 2 3 3 4 4 jh ξ,η φ x φ x φ x φ x x φ y φ y φ y φ y y⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + − + + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (41)

• 2x

( ) ( )e

2

jn 1 1 2 2 3 3 4 4 jh ξ,η φ x φ x φ x φ x x⎡ ⎤= + + + −⎣ ⎦ (42)

• 2y



139

( ) ( )e

2

jn 1 1 2 2 3 3 4 4 jh ξ,η φ y φ y φ y φ y y⎡ ⎤= + + + −⎣ ⎦ (43)

• x

( ) ( )e ΓΓ

jn 1 1 2 2 jh ξ,η ψ x ψ x x= + − (44)

• y

( ) ( )

e ΓΓjn 1 1 2 2 jh ξ,η ψ y ψ y y= + − (45)

Considerando agora o elemento triangular de três nós, as matrizes que guardam as

aproximações dos campos da FHMT podem ser escritas da seguinte forma:

[ ]eΩ 1 1 2 2 3 3S ξ Δ ξ Δ ξ Δ= (46)

[ ]eΩ 1 1 2 2 3 3U ξ Δ ξ Δ ξ Δ= (47)

i t 1 2Γ Γ 1 Γ 2 ΓU ou U ψ Δ ψ Δ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (48)

onde Γj Γξ , j 1,...,3= e

Γj Γψ , j 1,2= são as funções lineares atreladas, respectivamente, ao nó j da

malha de domínio e ao nó Γj da malha de contorno.

Como já pontuado, as aproximações do campo de tensões para a FHT devem ser auto-equilibradas. No trabalho são utilizadas funções polinomiais para aproximação dos campos de tensões nos elementos planos quadrilaterais e triangulares que compõem as nuvens de domínio.

Para garantir que o conjunto de funções polinomiais empregadas são auto-equilibradas, foram adotadas convenientes funções de Airy ( )( )A x,y . Dessa forma, podem-se definir vários níveis de

aproximações das tensões eΩ

S nos elementos triangulares e quadrilaterais, como por exemplo:

Aproximação constante no elemento

eΩ

1 0 0S 0 1 0

0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(49)

Aproximação linear no elemento

eΩ

1 0 0 y x 0 0S 0 1 0 0 0 y x

0 0 1 0 y x 0=

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

M

M

(50)

Aproximação quadrática no elemento

e

2 2

2 2Ω

2 2

1 0 0 y x 0 0 y 2xy x 0 0S 0 1 0 0 0 y x 0 0 y 2xy x

0 0 1 0 y x 0 0 y 2xy x 0=

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

M M

M M

M M

(51)



140

A matriz de interpolação do campo de deslocamentos no contorno dos elementos (eΓt

tΓ ou eΓiiΓ )

é dada por:

[ ]1 2 2 2ψ I ψ I (52)

onde γψ , γ 1,2= são Partições da Unidade (PU) lineares apresentadas nas Eq.(27) a (30) e 2I é a matriz de identidade de segunda ordem, uma vez que em cada nó definem-se dois graus de liberdade de deslocamento.

Diferentemente das funções aproximativas para o campo de deslocamentos no contorno que estão atreladas a nós, as aproximações das tensões na FHT não estão atrelados a pontos nodais. Então, como aplicar a técnica de enriquecimento nodal às aproximações do campo de tensão, se elas não são interpoladas nodalmente?

Seja a função de Airy dada por:

3A g h= (53)

onde ( )g x,y tem suporte compacto dado pela malha de elementos finitos da malha de cobertura e h é uma função enriquecedora polinomial ou não. Assim:

22 2 22 3

x 2 2 2A g g g h hσ 3gh 2 g 6g g

y y y y y y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = + + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(54)

22 2 22 3

y 2 2 2A g g g h hσ 3gh 2 g 6g g

x x x x x x⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = + + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(55)

2 2 22 3

xyA g g g g h g h hτ 3gh 2 g 3g g

x y x y x y x y y x x y⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − = − + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (56)

Como no trabalho as força volúmicas foram consideradas nulas, logo

3 3xyx

2 2

3 3xy y

2 2

τσ A Ax y x y x y 0τ σ 0A A

x y x yx y

∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦− ++⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(57)

Assim, os diferentes níveis de aproximações do campo de tensões nos elementos finitos

eΩS dadas pelas Eq.(49) a (51) podem ser ampliadas da seguinte forma:

e eΩ Ω 1 2 3 4S S Σ Σ Σ Σ∗ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , para o elemento quadrilateral (58)

ou

e eΩ Ω 1 2 3S S Σ Σ Σ∗ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ , para o elemento triangular (59)

onde eΩ

S∗ é a matriz de interpolação das tensões enriquecidas e



141

( )

( )

2 2 22 3α α α α α

α α α α α2 2

2 2 22 3α α α α α

α α α α α α2 2α 1,...,4

ouα 1,...,3 2

2α α α α αα α α α

g g g h h3g h 2 g 6g gy y y y y

g g g h hΣ 3g h 2 g 6g gx x x x x

g g g g h3g h 2 g 3gx y x y x

=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

23α α α

αg h hg

y y x x y

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥+ −⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(60)

reúne as interpolações de suporte compacto com x,y centrados nos nós α ( ( )α 1,...4= - para o

elemento quadrilateral e ( )α 1,...3= - para o elemento triangular) da malha de elementos finitos

triangulares ou quadrilaterais. Nota-se que eΩ

S∗ também é auto-equilibrada.

4 ESTUDO DAS CONDIÇÕES DE CONVERGÊNCIA DA FHT E FHMT COM ENRIQUECIMENTO NODAL

Neste item a ênfase é inicialmente dada à solvabilidade dos sistemas de equações lineares, representados nas Eq.(11) e (19), como condição necessária para a convergência de soluções da FHT e FHMT com enriquecimento nodal. Essencialmente, adapta-se a técnica definida no trabalho de Zienkiewicz et al. (1986) que propõe condição algébrica simples para garantir a solvibilidade dos sistemas de equações de formulações mistas convencionais. Em seguida, um estudo numérico é proposto para avaliação da condição de Babuška-Brezzi (inf-sup), que se caracteriza como condição suficiente para a convergência de soluções numéricas.

4.1 O ‘Teste por Inspeção’ aplicado à FHMT e FHT com enriquecimento nodal

Para aplicar os conceitos fundamentais do trabalho de Zienkiewicz et al. (1986) à FHT e FHMT sem enriquecimento nodal, considere-se o sistema de equações dado pelas Eq.(11) - FHMT e (19) - FHT. Assim, definem-se as seguintes condições algébricas necessárias para existência de uma solução numérica.

Ω Ωs q≥ (61)

tΩ Γs q≥ ou iΩ Γs q≥ (62)

As Eq.(61) e (62) são aplicadas a FHMT e para a FHT só a Eq.(62) faz sentido. Quando se considera o enriquecimento dos campos de tensão e deslocamento no domínio e

contorno do elemento, respectivamente, o ‘Teste por Inspeção’ é ampliado pela inclusão dos novos parâmetros de tensões no domínio jib (FHMT) e jb (FHT), deslocamentos no domínio jic (FHMT) e

deslocamentos no contorno jid (FHMT) e jld (FHT).

Assim as Eq.(61) e (62) passam a ser escritas da seguinte forma:

Ω ij Ω jis b q c+ ≥ + , para a FHMT (63)

tΩ ij Γ jis b q d+ ≥ + ou iΩ ij Γ jis b q d+ ≥ + , para a FHMT (64)

tΩ j Γ jls b q d+ ≥ + ou iΩ j Γ jls b q d+ ≥ + , para a FHT (65)



142

Deste modo, escolhidas as discretizações do problema, investigam-se as condições dadas nas Eq.(63) a (65) para essas malhas de elementos finitos. Vale ressaltar que esse teste é uma condição necessária, mas não suficiente para garantia da solvibilidade das Eq.(11) e (19). A condição suficiente para solvibilidade do sistema discreto da FHT e FHMT com enriquecimento é observada pela análise do significado físico dos autovalores da matriz dos coeficientes das Eq.(11) e (19).

4.2 Estudo da condição de Babuška-Brezzi (inf-sup) aplicada à FHT e FHMT

A condição de Babuška-Brezzi ou inf-sup, Babuška (1971, 1973) e Brezzi (1974), é condição necessária e suficiente para garantir convergência de aproximações numéricas, obtida com o MEF, de toda uma classe de problemas caracterizada por certo operador linear. Baseado em Babuška (1996) and Chapelle e Bathe (1993), desenvolve-se uma avaliação numérica desta condição aplicada a FHT e FHMT com enriquecimento nodal.

A condição de Babuška-Brezzi (inf-sup)

Seja um problema variacional geral caracterizado por uma forma bilinear ( )B φ,ψ definida em W W× , onde W é um espaço de Hilbert (um espaço vetorial, munido de um produto interno, e completo em relação à norma definida com esse produto interno, Bathe (1996), Schwab (1998) e Brezzi e Fortin (1991)).

O primeiro argumento da forma bilinear ( )B ,⋅ ⋅ é denominado função admissível ou solução e o segundo função peso ou teste.

Além disso, admita-se que para a classe de problemas a ser considerada, defina-se o espaço de Hilbert como:

( ) ( )2 2u

j

uW u u L Ω ; L Ω , j 1,2,3;u 0 em Γx

⎧ ⎫∂⎪ ⎪= ∈ ∈ = =⎨ ⎬∂⎪ ⎪⎩ ⎭ (66)

onde ( )2L Ω é o espaço das funções quadrado integráveis no domínio Ω do corpo considerado e se

assume que a condição de contorno de Dirichlet é zero em uΓ . Formalmente, representa-se o espaço

( )2L Ω como:

( ) ( )2

22 2L Ω

Ω

L Ω w w é definido em Ω e w dΩ w⎧ ⎫

= = < +∞⎨ ⎬⎩ ⎭

∫ (67)

Isto posto, dado um funcional linear contínuo ( )F ψ : W → , um problema de valor de contorno pode ser representado na seguinte forma:

Determinar φ W∈ tal que

( ) ( )B φ,ψ F ψ= ∀ ψ W∈ (68)

Admitindo-se que a abordagem adotada para gerar uma aproximação para a forma bilinear seja tipo Galerkin, então o espaço das funções admissíveis é igual ao espaço das funções peso. Além disso, o emprego do método dos elementos finitos para a geração das aproximações acaba por atribuir uma dimensão finita ao espaço solução.

Assim sendo, pode-se introduzir o subespaço de W , de dimensão finita, como:



143

( ) ( ) ( )( )m2 2nn n n n n n u

j

uW u u L Ω ; L Ω , j 1,2,3;u Q Ω ;u 0 em Γx

⎧ ⎫∂⎪ ⎪= ∈ ∈ = ∈ =⎨ ⎬∂⎪ ⎪⎩ ⎭ (69)

onde ( )( )mnQ Ω indica o caráter polinomial de grau “n ” da aproximação global un quando restrita ao

elemento m do domínio discretizado. Nessas condições, tem-se que a solução por Elementos Finitos da Eq. (68) é obtida resolvendo-se o seguinte problema:

Encontrar n nφ W∈ tal que

( ) ( )n n nB φ ,ψ F ψ= ∀ n nψ W∈ (70)

Para medir a qualidade da aproximação por Elementos Finitos, no sentido de erro em relação à solução exata, é necessário introduzir normas, representadas por:

S⋅ e

T⋅ nos espaços das

funções admissíveis e teste, respectivamente. Assim, como o auxílio das normas no espaço das funções admissíveis podem ser introduzidas as seguintes relações:

( )n Sφ φ− (71)

e

( )n n

n Sη Winf φ η∈

− , com n nη W∈ (72)

A norma representada pela Eq.(71) mede o erro entre a solução exata φ e uma solução aproximada nφ . Tal norma pode ser empregada como uma medida de convergência de uma

seqüência de soluções se: n Sφ φ 0 p / n− → →∞ .

Já a norma da Eq.(72) mede o menor erro possível entre todas as possíveis aproximações nη do espaço discretizado nW . Um aspecto importante que se pode demonstrar é que a solução por Elementos Finitos é aquela que apresenta o menor erro de aproximação. Assim sendo, uma vez adotado o MEF, a convergência passa a depender da ordem do espaço de aproximação adotado e da própria solução exata, isto é:

( )h h

nh Sη W

inf φ η Φ φ 0 para n∈

− = → →∞ (73)

Ao se aplicar uma alternativa numérica como o MEF a expectativa é que a metodologia de geração de aproximações produza soluções convergentes não somente em relação à certa solução exata, mas para todo conjunto de soluções exatas de uma classe de problemas. Assim sendo, a análise de convergência deve assumir um sentido mais amplo, passando a depender da capacidade de aproximação do espaço de funções escolhido e, também, da densidade da forma bilinear que rege a classe de problemas. Nesse sentido, Bathe (1996), Brezzi e Bathe (1990) e Brezzi e Fortin (1991), levam em conta a forma bilinear na definição da norma e demonstram a seguinte expressão que relaciona as medidas de convergência (71) e (72) mencionadas, envolvendo uma constante relacionada à classe de problemas:

n n

mn nS Sη W

kφ φ 1 inf φ ηλ ∈

⎛ ⎞− ≤ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(74)

onde mk vem da condição de continuidade da forma bilinear, que pode ser expressa por:



144

( ) m S TB η,ψ k η ψ≤ ∀ η,ψ W∈ (75)

Aliás, um requisito mínimo sobre ( )B η,ψ e F(ψ) , para que a Eq.(70) tenha sentido, é a sua continuidade.

Ainda na Eq.(74), a constante λ é obtida da condição de Babuška-Brezzi (inf-sup), e se apresentar um valor positivo aponta para a densidade da forma bilinear. Para espaços de dimensão finita a condição inf-sup passa a ser definida por:

( )h h h h

h h

η W ψ W h hS T

B η ,ψinf sup λ 0

η ψ∈ ∈= > (76)

Claramente o valor de λ está associado à forma bilinear que rege a classe de problemas. Pode-se mostrar, ainda, que as Eq.(75) (continuidade) e Eq.(76) (condição inf-sup) implicam

na Eq.(74). Assim, se a Eq.(76) é atendida, conclui-se pela Eq.(74) que as soluções por elementos finitos apresentam-se convergentes pra toda solução exata da classe de problemas governada pela forma bilinear.

Ao contrário, se λ 0+→ a análise da Eq.(74) mostra que haverá convergência somente para

soluções em relação às quais ( )nΦ φ tenda a zero mais rapidamente do que o multiplicador mk1λ

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

tender ao infinito. Isto não é sempre garantido, podendo haver ao menos uma solução φda classe de problemas para a qual essa situação se inverta e a solução por elementos finitos não apresente convergência.

Em termos do emprego prático das condições anteriores, numa primeira situação se a condição de Babuška-Brezzi indicar ( λ 0> ) para certa solução aproximada de um dado problema então a eq.(74) fornece uma medida do erro de aproximação. Numa segunda etapa a constatação de λ 0→ para sucessivas aproximações mais refinadas indica que pode haver problemas de convergência em relação à solução exata daquele problema.

Numa situação mais geral, pode-se, em última análise, comprovar, ou não, a robustez de determinado elemento finito, avaliando pela eq.(76) a evolução das constantes de estabilidade para as seqüências de soluções, de todos os problemas de uma classe, obtidas por discretizações realizadas com aquele elemento. Esta situação é, porém, impraticável, podendo ser conduzida parcialmente em termos operacionais, mas ainda assim em grau suficiente para oferecer um indicativo de robustez, conforme se mostra no capítulo de aplicações.

4.2.2 Determinação numérica de λ Babuška (1996) apresenta um desenvolvimento matemático provando que a determinação

numérica de λ corresponde à raiz quadrada do menor autovalor positivo do seguinte problema de autovalor:

T 1B T Bη μSη− = (77)

Na Eq.(77) S e T são matrizes simétricas positivo-definidas obtidas das normas

( )2 Tn Sη η Sη= e ( )2 T

n Tψ ψ Tψ= e a matriz B pode ser obtida da parte bilinear da Eq.(70), escrita da

seguinte forma:

( ) Tn nB η ,ψ ψ Bη= (78)

onde η e ψ são vetores que reúnem os valores nodais de nη e nψ .



145

4.2.3 O teste numérico da condição de Babuška-Brezzi (inf-sup) aplicado à FHMT e FHT com enriquecimento nodal

Sejam as equações que governam a FHMT escritas da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )t i

t i u

T T T T TΓ ΓΩ Ω Γ Γ Γ

δσ fσdΩ u Lδσ dΩ u Nδσ dΓ u Nδσ dΓ u Nδσ dΓ+ − − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (79)

( )T T

Ω Ωδu Lσ dΩ δu bdΩ= −∫ ∫ (80)

( )t t

t t

T TΓ ΓΓ Γ

δu Nσ dΓ δu tdΓ=∫ ∫ (81)

( ) ( )i i

i i

T TΓ ΓΓ Γ

δu N σ dΓ δu Nσ dΓ 0+ + =∫ ∫ (82)

Baseado em Schwab (1998), para a FHMT, pode-se definir para as Eq.(79) a Eq.(82) uma forma bilinear B(.,.) e um funcional linear F(.) , como segue abaixo:

( ) ( )t

t

T T TΓΩ Ω Γ

B(η,ψ) δσ fσdΩ u Lδσ dΩ u Nδσ dΓ= + − +∫ ∫ ∫ L

( ) ( ) ( )t i

t i

T T TΓ ΓΩ Γ Γ

δu Lσ dΩ δu Nσ dΓ u Nδσ dΓ+ + − +∫ ∫ ∫L L (83)

( ) ( )i i

i i

T TΓ ΓΓ Γ

δu N σ dΓ δu Nσ dΓ++ +∫ ∫L

( ) ( )t

u t

T T TΓΓ Ω Γ

F ψ u Nδσ dΓ δu bdΩ δu tdΓ= − +∫ ∫ ∫ (84)

onde ( )t iΓ Γη σ,u,u ,u= e ( )t iΓ Γψ δσ,δu,δu ,δu= são definidos em de S × T com:

( ) ( ) ( ) t i t i

2 2Γ Γ Γ ΓS σ,u,u ,u :σ,u L Ω ;u ,u L Γ= ∈ ∈ (85)

( ) ( ) ( ) t i t i

2 2Γ Γ Γ ΓT δσ,δu,δu ,δu : δσ,δu L Ω ;δu ,δu L Γ= ∈ ∈ (86)

Pode-se, ainda, definir as seguintes normas:

( )t i t it i

22 2 2 2 2Γ Γ Γ ΓS Ω Ω Γ ΓS

η σ,u,u ,u σ dΩ u dΩ u dΓ u dΓ= = + + +∫ ∫ ∫ ∫ (87)

( )t i t it i

22 2 2 2 2Γ Γ Γ ΓS Ω Ω Γ ΓT

ψ δσ,δu,δu ,δu δσ dΩ δu dΩ δu dΓ δu dΓ= = + + +∫ ∫ ∫ ∫ (88)

Para aplicação do “teste inf-sup” a certa malha de cobertura com elementos finitos quadrilaterais de quatro nós e triangulares de três nós da FHMT com enriquecimento é preciso determinar todas as matrizes envolvidas na Eq.(77). Para isso, consideram-se as mesmas bases aproximativas para os campos de tensão e deslocamento no domínio e deslocamento no contorno, apresentadas no capítulo 3.

A matriz de coeficientes da Eq.(11) é a matriz B da Eq.(77). As matrizes S e T são obtidas com auxílio das normas dadas nas Eq.(87) e (88). Assim, estão definidos todos os parâmetros da Eq.(77) necessários para o cálculo de nλ . Agora, para a determinação de S= T e B dentro das várias



146

condições de enriquecimento basta ampliar da forma desejada as bases aproximativas iniciais dos campos de tensão e deslocamento no domínio e deslocamento no contorno.

Como a aplicação da condição inf-sup para avaliar a robustez dos elementos é impraticável, opta-se por verificar a estabilidade das soluções obtidas em cada um dos diferentes problemas, de uma mesma classe, abordados no capítulo de exemplos; nesse sentido, realiza-se uma espécie de “teste inf-sup”. Para tanto, a metodologia adotada é similar à sugerida no trabalho de Chapelle e Bathe (1993), isto é: em problema da FHMT com enriquecimento nodal será considerada uma seqüência de malhas com elementos quadrilaterais e triangulares. Para cada malha o valor de n minλ μ= será

calculado. Se os minμ não tenderem a zero, o elemento quadrilateral e triangular da FHMT com enriquecimento nodal será considerado estável.

A estabilidade em todos os problemas testados, se constatada pode ser interpretada como um bom indicativo da robustez dos elementos.

Para aplicar o “teste inf-sup” à FHT segue a mesma metodologia descrita anteriormente para a FHMT, com a consideração dada pela Eq.(18).

5 O TESTE “INF-SUP” APLICADO À FHT/FHMT COM ENRIQUECIMENTO NODAL: RESULTADOS NUMÉRICOS

5.1 Introdução

A aplicação do teste “inf-sup” exige a consideração de variações sobre as condições de contorno e seqüência de malhas utilizadas na discretização de uma classe de problemas. Isto implica que se os elementos finitos quadrilaterais e triangulares da FHT/FHMT com enriquecimento nodal satisfaz o teste “inf-sup” para certo conjunto de malhas, não é possível garantir que esses mesmos elementos finitos satisfaçam aquela condição para qualquer problema da classe discretizado com outras seqüências de malhas.

O teste “inf-sup” é, portanto, de difícil aplicação. No entanto, entende-se que é possível aplicá-lo para obter indicativos de desempenho dos elementos da FHT/FHMT avaliados aqui nesta pesquisa, considerando-se um número limitado de testes.

Por isso, para a análise da estabilidade do elemento quadrilateral e triangular da FHT/FHMT com o teste “inf-sup”, selecionaram-se dois casos:

O primeiro é uma chapa quadrada com a borda vertical esquerda engastada ( )x yu 0,u 0= = e

bordas horizontais com deslocamentos verticais nulos ( )yu 0= , ver Figura 4.

Figura 4 – Chapa tracionada.



147

O segundo modelo é uma chapa retangular com fenda central, como mostra a Figura 5. Devido à dupla simetria do problema, para efeitos do estudo do ‘Teste por Inspeção’, será analisado apenas ( )1

4 desta chapa (Figura 6).

Figura 5 – Chapa tracionada com fenda central.

Figura 6 – Simetria da chapa tracionada com fenda central.

Nos dois exemplos propostos, adota-se E 1000= para o módulo de Young, ν 0,3= para o coeficiente de Poisson e ainda regime de comportamento elástico-linear. Ambas as chapas são tracionadas por p 10= unidades de força distribuída por unidade de comprimento. Vale lembrar que para o teste “inf-sup” a carga p não tem influência alguma.

Figura 7 – Malhas quadrilaterais regulares – chapa tracionada.



148

Figura 8 – Malhas triangulares regulares – chapa tracionada.

Chapelle e Bathe (1993) sugerem que um elemento seja avaliado com o teste “inf-sup” utilizando-se malhas com refinamentos sucessivos. Ao menos três refinamentos são recomendados para prever se nλ será limitado inferiormente por uma constante positiva. Seguindo as recomendações daquele trabalho, para aplicação do teste “inf-sup” na FHT/FHMT com enriquecimento nodal considera-se em cada um dos problemas uma seqüência de malhas de elementos quadrilaterais e triangulares.

As malhas apresentadas nas Figuras 7 e 8 ( 1 1× , 2 2× , 4 4× , 8 8× e 16 16× ) serão utilizada na avaliação da chapa tracionada. Já para o problema da chapa com fenda adotam-se as malhas das Figuras 9 e 10 ( 3 3× ,6 6× , 12 12× e 24 24× ).

Figura 9 – Malhas quadrilaterais regulares – chapa tracionada com fenda central.

Primeiramente, considerou-se nos dois problemas a situação sem enriquecimento.

Posteriormente, as condições de enriquecimento sobre os campos envolvidos na FHT/FHMT com funções polinomiais foram avaliadas.



149

Figura 10 – Malhas triangulares regulares – chapa tracionada com fenda central.

Para cada uma das malhas regulares apresentadas (com ou sem enriquecimento) as matrizes S T= e B foram montadas e o valor de nλ (inf-sup) calculado. Os resultados obtidos estão aqui

plotados na forma de gráficos ( )log 1 N × ( )nlog λ (N é a soma do número total de parâmetros de

tensão e de graus de liberdade em deslocamentos). Se a curva ( )log 1 N × ( )nlog λ converge

assimptoticamente para um determinado valor nλ 0> , conclui-se que os elementos quadrilaterais e triangulares da FHT/FHMT satisfazem o teste “inf-sup”, indicando para a convergência da solução. Vale ressaltar que todas as combinações de enriquecimento utilizadas no teste “inf-sup” satisfazem as Eq.(63) a (65).

5.2 Chapa tracionada

Os resultados do teste “inf-sup” para o conjunto de malhas regulares quadrilaterais da FHT/FHMT sem enriquecimento, utilizadas na discretização deste problema, são apresentados nas Figuras 11 e 12.

-3,20

-3,15

-3,10

-3,05

-3,00

-2,95-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Sem Enriquecimento

Figura 11 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHT sem enriquecimento.



150

Na Figura 11, verifica-se que o elemento quadrático da FHT sem enriquecimento (em todos os níveis da aproximação das tensões no domínio) satisfaz o teste “inf-sup” com nλ 0> . Com o elemento quadrilateral da FHMT, igualmente ao da FHT, consegue-se claramente nλ 0> , ver Figura 12.

O elemento quadrilateral da FHT enriquecido, nos três níveis de aproximação do campo de tensão, satisfez o teste “inf-sup” para o problema da chapa tracionada, pois todas as curvas apresentam tendência de convergência para um nλ 0> , ver Figura 13. Ressalta-se que para este problema, os enriquecimentos foram realizados na totalidade dos nós de domínio e em todos os nós de contorno que não possuam condição de contorno essencial prescrita.

-6

-5,5

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHMT-Sem Enriquecimento

Figura 12 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHMT sem enriquecimento.

-3,20

-3,15

-3,10

-3,05

-3,00

-2,95-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 13 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHT com enriquecimento.

Com a seleção de algumas combinações de enriquecimento aplicada ao elemento quadrilateral da FHMT, manteve-se a tendência de nλ 0> apresentada por este mesmo elemento sem enriquecimento, como mostra a Figura 14.



151

-3,18

-3,16

-3,14

-3,12

-3,1

-3,08

-3,06

-3,04

-3,02

-3

-2,98-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHMT-Sem EnriquecimentoFHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)FHMT-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 14 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHMT com enriquecimento.

-3,20

-3,15

-3,10

-3,05

-3,00

-2,95-4,4 -4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0

log(

inf-

sup)

log(1/N)


Figura 15 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHT sem enriquecimento.

-6

-5,5

-5

-4,5

-4

-3,5

-3

-2,5

-2-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1

log(

inf-

sup)

log(1/N)


Figura 16 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHMT sem enriquecimento.



152

A Figura 15 mostra que, mesmo sem enriquecimento algum sobre as bases aproximativas do elemento triangular da FHT, é possível convergir nλ 0> para uma constante positiva.

Com o elemento triangular da FHMT sem enriquecimento também foi possível obter nλ 0> , como destaca a Figura 16.

O enriquecimento polinomial exclusivo sobre os deslocamentos no contorno ou simultâneo sobre as tensões no domínio e deslocamentos no contorno do elemento quadrilateral da FHT conduziu a resultados satisfatórios, nλ 0> , nos casos da aproximação constante, linear e quadrática do campo de tensão, ver Figura 17.

-3,20

-3,15

-3,10

-3,05

-3,00-4,4 -4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 -1,2 -0,8

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 17 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHT com enriquecimento.

-3,16

-3,14

-3,12

-3,1

-3,08

-3,06

-3,04

-3,02

-3

-2,98-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1

log(

inf-

sup)

log(1/N)


FHMT-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)

FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 18 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHMT com enriquecimento.



153

A Figura 18 destaca que as condições de enriquecimento testadas para ampliar os campos de tensão e deslocamento no domínio e deslocamento no contorno do elemento triangular da FHMT foram suficientes para alcançar nλ 0> .

5.3 Chapa tracionada com fenda central

Neste exemplo, com relação à análise do teste “inf-sup”, são aplicados enriquecimentos seletivos sobre os campos envolvidos na FHT/FHMT. Os nós escolhidos para o enriquecimento seletivo deste exemplo são os nós sem condição de contorno essencial prescrita em torno da ponta da fenda.

A aproximação constante das tensões no domínio sem enriquecimento gerou resposta nλ 0→ . Nos demais níveis de aproximação do campo de tensão no domínio observaram-se

convergência assintótica do nλ para um valor positivo, ver Figura 19.

-3,2

-3,15

-3,1

-3,05

-3

-2,95-4,2 -3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6

log(

inf-

sup)

log(1/N)


Figura 19 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHT sem enriquecimento.

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0-4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6

log(

inf-

sup)

log(1/N)


Figura 20 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHMT sem enriquecimento.

A Figura 20 indica que o elemento quadrilateral da FHMT sem enriquecimento satisfaz o teste “inf-sup”, pois nλ tende para um valor positivo.



154

-3,20

-3,15

-3,10

-3,05

-3,00-4,4 -4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 -1,2

log(

inf-

sup)

log(1/N)


Figura 21 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHT sem enriquecimento.

O elemento triangular da FHT (todas as bases aproximativas das tensões no domínio) sem enriquecimento satisfaz o teste “inf-sup” com nλ tendendo para uma constante positiva, como mostra a Figura 21.

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0-4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6

log(

inf-

sup)

log(1/N)


Figura 22 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHMT sem enriquecimento.

Com o elemento triangular da FHMT sem enriquecimento claramente se alcança nλ 0> , ver Figura 22.

Como apresenta a Figura 23, para todas as combinações de enriquecimentos testados no elemento triangular da FHMT é possível à convergência para nλ 0> .

O elemento quadrilateral enriquecido da FHMT apresentou o mesmo comportamento do elemento triangular enriquecido da mesma formulação (Figura 23), ou seja, foi possível convergir nλ para uma constante positiva, ver Figura 24.



155

-3,18

-3,16

-3,14

-3,12

-3,1

-3,08

-3,06

-3,04

-3,02

-3

-2,98-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHMT-Sem EnriquecimentoFHMT-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²+x²+y+x+xy) e Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 23 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHMT com enriquecimento.

-3,18

-3,16

-3,14

-3,12

-3,1

-3,08

-3,06

-3,04

-3,02

-3

-2,98-3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4

log(

inf-

sup)

log(1/N)


FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²) e Deslocamentos no Contorno (x)

FHMT-Enriquecimento das Tensões e Deslocamentos no Domínio (y²+x²+y+x+xy) e Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 24 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHMT com enriquecimento.

As Figuras 25 e 26 indicam que os elementos quadrilateral e triangular da FHT enriquecidos foram muito eficientes, pois em todas as possibilidades de enriquecimento testadas, conseguiu-se convergência para nλ 0> .



156

-3,2

-3,15

-3,1

-3,05

-3

-2,95-4,2 -3,8 -3,4 -3 -2,6 -2,2 -1,8 -1,4 -1 -0,6

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²)FHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 25 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento quadrilateral – FHT com enriquecimento.

-3,20

-3,15

-3,10

-3,05

-3,00-4,4 -4 -3,6 -3,2 -2,8 -2,4 -2 -1,6 -1,2

log(

inf-

sup)

log(1/N)

FHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Sem EnriquecimentoFHT-Aproximação Constante das Tensões no Domínio-Enriquecimento das Tensões no Domínio (y²) e Deslocmentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Linear das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)FHT-Aproximação Quadrática das Tensões no Domínio-Enriquecimento dos Deslocamentos no Contorno (x)

Figura 26 – Resultados do teste “inf-sup” – elemento triangular – FHT com enriquecimento.

6 CONCLUSÕES

Os estudos realizados constituem uma contribuição ao desenvolvimento das formulações não-convencionais em elementos finitos, em particular aquelas fundamentadas em formulações Híbridas (FHT) e Híbrido-Mistas de Tensão (FHMT).

A aplicação do MEFG a FHT/FHMT foi constituído pela utilização de malhas formadas por elementos quadrilaterais de quatro nós e triangulares de três nós aliada à técnica de enriquecimento nodal. Especificamente para os elementos da FHT, as aproximações dos campos de tensão no domínio são auto-equilibradas e não estão atreladas a nós. Já as aproximações para o deslocamento no contorno são obtidas por interpolação de valores nodais, tanto na FHT como na FHMT. As aproximações dos deslocamentos no domínio (exclusivo da FHMT) também são obtidas por interpolação de valores nodais.



157

Uma contribuição original do trabalho foi a inserção de uma estratégia de enriquecimento para as aproximações das tensões no domínio atreladas a malhas formadas da FHT. A metodologia de enriquecimento proposta possibilita a ampliação das aproximações do campo de tensão da FHT tendo por referência os nós da malha, já que originalmente estas não são atreladas a nós.

Todas as bases aproximativas envolvidas nas FHT/FHMT foram ampliadas via enriquecimento nodal por meio de funções polinomiais. A combinação dos elementos quadrilaterais de quatro nós e triangulares de três nós da FHT/FHMT com a técnica de enriquecimento nodal apresentou grande potencial para a solução, com precisão numérica e baixo custo computacional, dos problemas tratados neste trabalho, mesmo sob forte distorção de malha.

Por outro lado, objetivando garantir eficiência no processo de enriquecimento das aproximações dos campos envolvidos na FHT/FHMT, iniciou-se um estudo sobre as condições necessárias e suficientes para convergência de soluções aproximadas obtidas com os métodos propostos.

Primeiramente estas condições foram avaliadas com auxílio do ‘Teste por Inspeção’ consistindo, basicamente, em verificar se o vetor incógnito do sistema de equações lineares satisfaz as Eq.(63) a (65). Observou-se claramente que este teste é somente condição necessária para convergência, mesmo assim, o ‘Teste por Inspeção’ foi de grande valia na escolha de combinações de enriquecimento dos campos envolvidos na FHT/FHMT.

Finalmente, desenvolveu-se um teste numérico, baseado no trabalho de Chapelle e Bathe (1993), para análise da estabilidade do elemento quadrilateral e triangular da FHT/FHMT com enriquecimento nodal. Esse teste é outra contribuição original do trabalho. Desta contribuição original, conclui-se que os elementos quadrilateral e triangular da FHMT com enriquecimento nodal são estáveis. Já para a FHT, somente o elemento quadrilateral com enriquecimento nodal, mostrou-se estável.

7 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem à CAPES pelo apoio financeiro concedido.

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160

ISSN 1809-5860


ESTRATÉGIA BASEADA EM DOMÍNIO DE FALHA COMPOSTO APLICADA PARA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE EM GRELHAS DE CONCRETO

ARMADO

Rodrigo de Azevedo Neves1 & Wilson Sérgio Venturini2

R e s u m o Os métodos probabilísticos desenvolvem-se cada vez mais e tendem a servir de referência para a avaliação da segurança nos projetos e verificações de estruturas. Como exemplo, os métodos de simulação têm sido largamente utilizados para prever a segurança estrutural, o que é possível hoje graças à capacidade dos atuais computadores. Porém, mesmo com o enorme progresso da informática, os tempos de processamento ainda são altos, já que as simulações requerem grande quantidade de cálculos. Para ultrapassar estas barreiras surgiram os métodos aproximados de confiabilidade. Dentre eles destaca-se o método da superfície de resposta, que permite realizar eficientes análises de confiabilidade. Na maioria de suas aplicações busca-se o ponto de projeto, que define o ponto de falha mais provável da estrutura. Com a crescente demanda por análises probabilísticas, as aplicações cresceram e hoje se realizam cálculos de confiabilidade de sistemas complexos como a grelha de concreto armado. Nelas os projetistas objetivam otimizar os consumos de material a fim de reduzir custos, levando a uma situação em que vários pontos da grelha tornam-se pontos potenciais de falha, podendo aumento o tempo computacional. Assim, apresenta-se neste trabalho uma proposta de determinação da probabilidade global de falha de uma grelha de concreto armado que considera vários modos de falha possíveis. Um domínio de falha composto foi usado para melhor determinar as probabilidades de falha e reduzir o tempo de cálculo. Palavras-chave: Confiabilidade estrutural. Múltiplos modos de falha. Concreto armado. Análise não-linear.

MULTI-PART FAILURE DOMAIN STRATEGY APPLIED TO REINFORCED CONCRETE GRIDS RELIABILITY ANALYSIS

A b s t r a c t Probabilistic methods have been experiencing a great development and they tend to become reference methods in projecting and verifying civil structures. As an example, we can see the huge expansion of simulation methods to predict structural safety. This growth is only possible due to the great development of the personal computers, seeing that the methods require extensive iterative calculation. However, even with the large computational evolution, the wasted time in processing refined Finite Element Models is still high. To go beyond these difficulties, approximated reliability methods emerged, and between them, we can draw attention to response surface method (RSM), which allows formulating very efficient reliability analysis. In its essence, the main idea of RSM is to search for the most probable failure point. This assumption has shown great results, but, with the increasing exigency for refined structural analysis, models are getting bigger and models like reinforced concrete grids have been widely used. Here, structural engineers seek to optimize concrete and steel weight, searching for the optimum cost. This evidence leads to the failure possibility in several system components, which can once more increase computing time. So, in this work, a new approach of reinforced concrete grid reliability analysis is proposed, accounting many critical cross-section failure probabilities. To reach this goal, a multi-part failure domain was adopted to improve failure probability accuracy and reduce computing time. Keywords: Structural reliability analysis. Multiple failure modes. Reinforced concrete. Non-linear analysis.


Rodrigo de Azevedo Neves & Wilson Sérgio Venturini


162

1 INTRODUÇÃO

Há muito tempo os profissionais da área de Engenharia vêm buscando fornecer uma solução precisa para o problema da segurança de suas estruturas. O uso de modelos não lineares, já bastante difundidos na literatura para representar melhor o comportamento das estruturas, levou a um melhor conhecimento do comportamento estrutural. A principal característica do uso desses modelos é que com a redistribuição dos esforços e danificação dos materiais, certas seções ou elementos respondem de maneira não linear às solicitações externas. Essa redistribuição é verificada nas estruturas hiperestáticas, que constituem a maioria das estruturas correntes de engenharia. Devido ao caráter não linear dos modelos constitutivos dos materiais, eles passam a perder rigidez em certo nível de carga à medida que aumentam as tensões a que estão submetidos. Dependendo do modelo escolhido e do material estrutural, as perdas de rigidez podem começar mesmo com baixas tensões. Tudo isso forma um conjunto de cuidados que devem ser tomados nas fases de projeto e verificação, pois após as devidas tensões de pico os materiais tendem a se deformar muito rapidamente e os colapsos estruturais, da mesma maneira, são bruscos. Assim, com a crescente evolução dos materiais e também a ousadia dos projetistas, os sistemas estruturais projetados e verificados atualmente apresentam uma tendência de se aproximar cada vez mais de seus próprios limites. Tudo isso torna necessário que os níveis de segurança sejam bem conhecidos, o que não é permitido com o uso dos atuais métodos que fazem uso de coeficientes parciais. Não existem ainda códigos que permitam projeto e/ou verificações estruturais baseados em métodos totalmente probabilísticos, o que leva ao desconhecimento dos valores das probabilidades de falha das estruturas correntemente projetadas. Buscando esse melhor conhecimento da segurança, o meio científico encontrou na teoria da confiabilidade uma maneira para tentar diminuir as incertezas com relação às probabilidades de ocorrência de colapsos. Com esta abordagem tenta-se modelar as incertezas das variáveis de projeto por meio de distribuições estatísticas que levem em conta informações disponíveis sobre as variáveis. Enfim, fazendo-se uso de procedimentos matemáticos convenientes são determinadas as probabilidades de falhas dos elementos, seções ou sistemas. Nesse cenário, as aplicações da confiabilidade aplicadas à segurança de estruturas tiveram grandes avanços. Hoje, o assunto é tema de pesquisa prioritário em diversos centros de pesquisa em países desenvolvidos. Historicamente, desde o trabalho de Freudenthal (1947), vêm sendo aperfeiçoados inúmeros estudos no campo da segurança estrutural através da adaptação de técnicas estatísticas. Esse autor tentou desenvolver um estudo onde um coeficiente pudesse comparar dois sistemas distintos. No artigo publicado por Ang & Amin (1968) já foi apresentado um estimador da probabilidade de falha de um sistema através da combinação das probabilidades de seus elementos. Mas, foi no trabalho de Hasofer & Lind (1974) que foram estabelecidas as bases da teoria da confiabilidade da maneira que ela vem sendo estudada e desenvolvida até os dias atuais. Mohamed & Lemaire (1995) expuseram uma análise de confiabilidade de um modelo mecânico complexo com o uso de estados limites e modelos constitutivos lineares ou com trechos linearizados. Lin & Frangopol (1996) publicaram um dos primeiros trabalhos a utilizar a confiabilidade como base para uma otimização de elementos de concreto armado. Nos trabalhos de Imaib & Frangopol (2000) e Frangopol & Imaib (2000) várias contribuições foram concretizadas: eles mostraram o estudo de confiabilidade de estruturas com não-linearidade geométrica utilizando formulação lagrangeana total, e ainda utilizaram acoplamento entre elementos finitos (MEF) e o método de superfícies de resposta (RSM) para determinar a superfície de falha com métodos numéricos para o cálculo das probabilidades de falha. Introduziram ainda dificuldades matemáticas de simulação, como a correlação entre os carregamentos, a correlação entre as resistências e o comportamento frágil e/ou dúctil dos materiais. Soares et al. (2002) realizaram análises de confiabilidade de pórticos de concreto armado com acoplamento MEF-RSM, mostrando resultados do índice de confiabilidade para o modo de falha mais provável. Uma comparação entre técnicas de simulação e as de superfícies de resposta pode ser vista em Neves et al. (2004). Já a tese de Neves (2004) mostrou avanços na tentativa de determinar a probabilidade de falha de um sistema,

Estratégia baseada em domínio de falha composto aplicada para análise de confiabilidade em grelhas de concreto...


163

considerando-se outros modos de ruptura diferentes do modo mais provável. Existem ainda inúmeros textos propondo e descrevendo diversas abordagens e formulações para o estudo de confiabilidade estrutural, dentre os quais os trabalhos Mohamed et al. (2001) e Soares (2001) se destacam por tratar de assuntos como calibração de coeficientes parciais de segurança, consideração de correlação estatística, influência da seqüência de aplicação do carregamento, introdução de aleatoriedade no carregamento, otimização baseada em confiabilidade, acoplamento MEF-RSM, técnicas de simulação, redução de variância, dentre outros. Efetuando-se uma simples leitura nos artigos técnicos publicados citados anteriormente ou mesmo em outros nos periódicos relevantes no contexto internacional, pode-se perceber que a comunidade científica trilha um caminho possivelmente irreversível no sentido de abandonar as verificações de segurança baseadas em coeficientes parciais. Conforme já comprovado por renomados pesquisadores, esta prática conduz a índices de confiabilidade não uniformes e geralmente desconhecidos, podendo haver situações anti-econômicas de dimensionamento ou, ao contrário, casos com baixa confiabilidade. Este último fato por si só já constitui motivação suficiente para a realização de pesquisas no assunto. Além disso, ainda não existe uma abordagem definitiva que considere os múltiplos modos de falha estruturais presentes num sistema hiperestático otimizado. Quando o sistema (aqui o sistema é a grelha de concreto armado) tem sua geometria otimizada, numerosas seções tornam-se pontos potenciais de falha e esses modos potenciais de ruptura não devem ser negligenciados, pois a soma de suas probabilidade de falha pode até ser maior do que a probabilidade isolada do modo principal. Neste trabalho foi usado um modelo físico não-linear para representar o comportamento estrutural da grelha de concreto armado. Para a obtenção dos resultados mecânicos da estrutura, traduzidos no coeficiente de carga crítica, utilizou-se o método dos elementos finitos. Um elemento finito de barra usual com função de forma do terceiro grau descrevendo os deslocamentos ao longo do eixo de cada barra foi adotado. O comportamento não-linear dos elementos de concreto armado foi simulado através da introdução de diferentes modelos representativos das respostas dos materiais submetidos à tração e à compressão. Para a solução do sistema não-linear de equações, utilizou-se método do tipo Newton modificado, com matriz secante.

2 METODOLOGIA

A adoção do modelo de grelha para a modelagem de pisos de concreto armado conduz a modelos de sistemas estruturais suficientemente precisos, embora modelagens melhores possam ser obtidas considerando-se os efeitos conjuntos de elementos de barra e placa ao mesmo tempo. Na grelha otimizada os modelos estruturais são caracterizados por um grande número de pontos prováveis de falha em várias seções transversais. Elementos unidimensionais estruturais de concreto armado, tais como vigas, são largamente empregados na prática corrente da Engenharia Civil. Nas últimas três décadas, os modelos para concreto armado progrediram bastante, o que permitiu que os Engenheiros e pesquisadores conseguissem simular melhor o seu comportamento. Numerosos livros e trabalhos técnicos apresentam estudos aprofundados sobre o seu comportamento teórico e modelagem numérica, e os processos usuais de dimensionamento de sistemas e elementos estruturais estão amplamente difundidos. Entretanto, mesmo com a grande quantidade disponível de informações e estudos sobre o seu comportamento mecânico, a modelagem do concreto armado ainda hoje consiste em um campo de pesquisa bastante ativo, tal é a complexidade física e a heterogeneidade do material. Ele apresenta um conhecido comportamento não-linear frente às solicitações a que é submetido; comportamento este governado pelos diferentes fenômenos relacionados aos seus materiais e interação entre eles. Até mesmo em uma modelagem simplificada, assumindo hipóteses simplistas, uma determinação precisa de deslocamentos, deformações e fissuras em estruturas submetidas às ações correntes deve levar em consideração, no mínimo os efeitos de plastificação, perdas de rigidez e contribuição do



164

concreto não fissurado. Modelos mais elaborados podem levar em conta os efeitos de aderência na interface aço-concreto (Rossello & Elices, 2004), amolecimento do concreto, interação mecânica entre os agregados, etc.. Essas considerações podem ainda se estender às ações cíclicas, por exemplo, os sismos, introduzindo outros problemas relacionados à degradação do concreto e aos efeitos do carregamento e descarregamento (Kratzig & Polling, 2004). Respostas ainda mais complexas e precisas podem ser baseadas em modelos fundamentados na mecânica da fratura ou na mecânica do dano contínuo. Conforme pode ser verificado na literatura, estes últimas teorias trazem previsões acuradas do comportamento do concreto (Bazant, 2002) e (Scotta et al, 2001). Modelos como o de Ghali & Favre (1986) e Debernardi (1989) provaram ser precisos o suficiente para representar o material. O uso de modelos separados para os dois materiais tem se mostrado como a melhor saída para o problema. Modelos baseados em mecânica do dano, tais como os de Lemaitre (1992) e Lemaitre & Chaboche (1994) são viáveis para descrever com mais precisão a lei constitutiva do concreto (Figura 1). Paralelamente, modelos elastoplásticos com encruamento vem sendo utilizados com sucesso para representar o comportamento do aço (Figura 2). Neste trabalho, o comportamento do concreto no ramo comprimido foi simulado com o modelo publicado no CEB-90, enquanto que o ramo tracionado foi representado com o modelo de Figueiras (1983), por ter a capacidade de simular os efeitos globais de enrijecimento do elemento devidos à contribuição do concreto intacto entre fissuras. Para as barras de armadura de aço, o comportamento foi assumido elasto-plástico com encruamento.

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Strain ‰

Stre

ss(M

pa)

Figura 1 – Diagrama tensão-deformação para diferentes concretos.

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Strain ‰

Stre

ss(M

pa)

Figura 2 – Diagrama tensão-deformação para diferentes aços.



165

Depois da escolha do modelo não-linear para os materiais, os esforços resistentes podem ser determinados com precisão através da integração das tensões no domínio da seção transversal. Para a solução desse problema não-linear, o equilíbrio é encontrado iterativamente através de algoritmos conhecidos, do tipo previsão e correção. O procedimento baseado em matrizes secantes assegura a estabilidade da solução frente aos problemas de descontinuidades de tangentes, que existem em razão da presença de inflexões e de funções não-contínuas nos modelos constitutivos adotados para os materiais. O comportamento do material perante às componentes de cisalhamento e torção foi considerado linear, apenas para a manutenção do equilíbrio, o que quer dizer, portanto, que não há aplicação de correção não linear nas direções correspondentes às solicitações tangenciais. Assim, o comportamento do concreto é governado por um critério uniaxial de ruptura baseado na máxima tensão normal presente na seção. Dessa maneira são importantes apenas os cálculos das curvaturas e da posição da linha neutra em uma seção transversal para que se determine unicamente o estado de tensões nessa seção. Esta distribuição de tensões é determinada assumindo-se a hipótese de Bernoulli. Hoje, a técnica mais comum usada para realizar análises de concreto armado é o acoplamento de modelos materiais com o método dos elementos finitos. Um dos aspectos mecânicos mais importantes é a redistribuição de momentos fletores devida à adoção de modelos materiais não-lineares. Modelar corretamente as perdas de rigidez é importante para estimar o comportamento dos elementos. Em relação ao material concreto, um ponto importante é a heterogeneidade de suas propriedades mecânicas, que muito embora sejam assumidas como valores determinísticos, fisicamente não respeitam essa condição de não-variabilidade. Assim, devem-se considerá-las como aleatórias e, portanto, uma análise probabilística deve ser realizada para avaliar a probabilidade de violação de um estado limite qualquer. Na grelha, a principal conseqüência dessa aleatoriedade é a presença de várias seções capazes de se transformar no ponto mais frágil da estrutura. Daí conclui-se que o comportamento intrínseco da grelha de concreto armado leva, por si só, à definição de inúmeros modos potenciais de falha. A abordagem confiabilística proposta no presente trabalho requer a determinação da carga crítica da estrutura, representada pela mínima carga que leva o sistema a atingir um estado limite. A carga encontrada é dividida pelo carregamento aplicado PAPL, de onde se obtém um coeficiente adimensional de carga crítica λ. Seja por exemplo uma seção genérica “i” de um elemento de concreto armado, cuja curvatura é 1/r e a posição da linha neutra define as deformações no concreto e no aço εC (i) e εS (i), conforme mostra a Figura 3:

εs

LN(i)

1r

εc(i)

i

Figura 3 – Seção de concreto armado representativa de um nó qualquer da grelha.

O procedimento para a determinação da carga crítica é executado dividindo-se o carregamento por um fator real η e aplicando-se essas parcelas de carga em incrementos sucessivos, até que seja superada uma deformação limite em uma seção qualquer “i” da estrutura. O fator η pode inclusive ser subdividido para aumento da precisão na deformação última, já que ela é extremamente sensível aos incrementos de carga na região próxima ao seu limite. A carga crítica fica então definida da seguinte maneira:



166

ULT APL

c cULT s sULT

P Ponde / (i) (i) ou (i) (i)

= λ×λ ∈ℜ ε = ε ε = ε

(1)

onde as deformações limite são escolhidas para todas as “i” seções conforme segue:

cULTSeções

sULT

(i) 0,35%i 1, N

(i) 1,00%ε = − ⎫

=⎬ε = ⎭ (2)

Depois de esquematizados os principais pontos do modelo mecânico usado, na seção seguinte apresenta-se a teoria para cálculo da probabilidade de falha da grelha de concreto armado com a utilização da técnica proposta.

3 DESENVOLVIMENTO

3.1 Generalidades sobre confiabilidade estrutural

O trabalho dos pesquisadores que buscam as modelagens com métodos baseados em teoria da confiabilidade é árduo: de um lado eles necessitam de numerosas chamadas aos modelos de elementos finitos para a aplicação de suas técnicas; do outro existem estudantes, engenheiros, profissionais e também pesquisadores tentando modelar estruturas cada vez maiores e mais complexas, com milhares de graus de liberdade, buscando simular da maneira mais fiel possível os fenômenos naturais através de seus softwares, tornando cada vez mais lenta a determinação computacional de uma resposta estrutural. O que se constata, porém, é que mesmo com as dificuldades adicionais geradas para o uso de métodos confiabilísticos, o embasamento matemático e a quantidade de benefícios aportados pela confiabilidade são tais, que a previsão da segurança estrutural por meio do acoplamento de métodos numéricos com essas devidas técnicas se faz cada vez mais presente no meio técnico e científico. A confiabilidade estrutural é definida estritamente como a probabilidade que uma estrutura tem de desempenhar a função para a qual foi designada, ao longo de toda a sua vida útil. A sua definição matemática é:

fR 1 P= − (3)

onde Pf denota uma probabilidade de falha durante a vida útil, caracterizada por uma situação onde se atinge algum estado limite pré-estabelecido. Portanto, estatisticamente, a confiabilidade é o evento complementar à probabilidade de falha. Como geralmente os valores da confiabilidade são grandes, usa-se trabalhar com a probabilidade de falha, que nos casos de estruturas civis é um valor normalmente compreendido entre 10-7 e 10-3. Inúmeros fatores contribuem para o desempenho de uma estrutura, como por exemplo, a geometria, as ações, a quantidade e o posicionamento de armaduras, etc. Essas são normalmente as variáveis de projeto. O que o estudo da confiabilidade vai dizer é qual a chance de existir uma combinação dessas variáveis de projeto que conduz o sistema a uma situação de estado limite. Para isso deve-se iniciar posicionando todas as variáveis de projeto em um espaço cartesiano, onde se sabe que uma região desse espaço concentra pontos que atendem todas as exigências do projeto. Nessa região a estrutura está segura. Na região complementar a essa, nem todos aqueles requisitos são atendidos, o que acontece em virtude das incertezas inerentes às variáveis de projeto. Somando-se as regiões do espaço que não atendem aos requisitos de projeto, virá a definição matemática da probabilidade de falha. Atribuindo-se distribuições estatísticas convenientes para as variáveis de projeto, denotam-se por Xi i=1,2...n essas “n” variáveis para as quais deveremos



167

considerar as incertezas. Uma situação qualquer (evento probabilístico) ou realização será denominada de xi. A associação de uma variável a uma distribuição estatística pode ser feita através de estudos estatísticos, de observações físicas, de análises de laboratório, ou apenas através da opinião de especialistas. Cabe observar, porém, que a qualidade da informação disponível e da aproximação escolhida reflete diretamente na precisão dos resultados. Em seguida, desenvolve-se o método da seguinte forma: se existem duas regiões complementares, existe então uma função G(xi), desconhecida a priori, que mede a resposta estrutural do sistema e determina se a realização xi pertence ou não ao conjunto de pontos que satisfazem os requisitos de segurança. Ela é chamada de função de desempenho e divide o espaço das variáveis de projeto nessas duas partes: uma dessas regiões, onde G(xi)>0, convencionou-se chamar de domínio seguro. Já a zona onde a equação G(xi)<0 é satisfeita é chamada de domínio de falha, simbolizado por ΩF. Todos os pontos xi que pertencem a esta região conduzem a estrutura a um estado limite. A fronteira entre estas duas regiões contém os pontos que satisfazem à relação G(xi)=0. Essa fronteira é chamada de função de estado limite. Essa definição constitui um importante conceito no estudo de confiabilidade, e constitui a função citada no início do parágrafo. Na definição do modelo estatístico assume-se ainda a hipótese já mencionada de representar as variáveis cujas incertezas desejam-se considerar, por meio de distribuições estatísticas convenientes. A modelagem ideal é o uso de uma função conjunta de distribuição de freqüências que possa representar todas as variáveis de projeto ao mesmo. A probabilidade de falha será calculada somando-se os pontos sob esta curva que não satisfizerem todas as restrições de projeto:

( )( )1 2 n

F

f X ,X ,...,X 1 2 n 1 2 nP f x , x ,..., x dx ,dx ,..., dxΩ

= ∫ (4)

em que ( )1 2 nX ,X ,...,X 1 2 nf x , x ,..., x é a função conjunta de densidade de probabilidades.

Uma das maiores dificuldades da abordagem estatística da segurança é justamente o cálculo da integral acima, pois em geral não existe informação suficiente disponível sobre a função conjunta das variáveis de projeto. Além disso, o valor resultante de Pf em geral é muito pequeno, o que às vezes torna os métodos de simulação pouco eficientes. Assim, vários métodos aproximados foram propostos com o intuito de fornecer um índice de confiabilidade para obter um estimador adequado de Pf. Este índice avalia o nível de segurança da estrutura, além de estar diretamente relacionado com a probabilidade de falha e permite uma comparação entre níveis de segurança de sistemas totalmente diferentes, dado o seu caráter adimensional.

3.2 Métodos confiabilísticos

Os métodos disponíveis para a análise de confiabilidade podem ser classificados em três grupos: analíticos, de simulação e aproximados. O primeiro grupo de métodos é capaz de solucionar poucas situações e tem caráter estritamente acadêmico, sendo normalmente usados para a compreensão de conceitos gerais. O segundo grupo refere-se aos métodos de simulação, que podem englobar métodos tais como Monte Carlo, Algoritmos genéticos e outros. Na teoria, esse conjunto de métodos permite o cálculo da probabilidade de falha de qualquer problema, com quaisquer hipóteses ou complexidade de função de estado limite, porém, apresentando uma convergência lenta em problemas com valores baixos de Pf, ou grande número de variáveis de projeto. Normalmente são feitas muitas chamadas ao modelo de elementos finitos, inviabilizando a solução de muitos problemas reais. Entretanto, em razão de sua forte robustez, traduzida pela capacidade de conduzir ao mesmo resultado independentemente da complexidade do problema, esse conjunto de métodos ainda é muito utilizado. Além disso, as perspectivas do meio técnico apontam para um uso cada vez maior de simulações, sempre no sentido de calibrar métodos numéricos aproximados. Os métodos do terceiro grupo são largamente empregados atualmente, com o intuito de transpor as dificuldades



168

computacionais impostas pelos cada vez mais refinados modelos mecânicos. Dentre esses métodos, conforme já mencionado, destaca-se o método da superfície de resposta (RSM), que fornece rápida e eficiente aproximação de Pf. Na grande maioria dos casos a falha de um sistema estrutural não pode ser escrita em termos de uma função explícita das variáveis aleatórias, sendo que apenas uma definição implícita da função de estado limite é possível. Mesmo em casos mais simples, onde a representação da superfície é possível, a aproximação numérica implícita pode ser mais conveniente pelo caráter generalista que fornece ao procedimento. A solução pode ser obtida com a construção da superfície de resposta baseada em um certo número de realizações do modelo mecânico, aproximando a função de estado limite na vizinhança do ponto de projeto. Constata-se facilmente na literatura especializada que o uso de superfícies de resposta em confiabilidade não é recente, mas fica claro que mais estudos são necessários para contribuir com os avanços em termos de eficiência, performance, e generalidade da técnica. A grande vantagem do RSM é permitir a construção rápida de uma função de estado limite e a determinação do ponto de projeto, ambos desconhecidos a priori. Isso é feito por meio da substituição da função de estado limite real por hipersuperfícies aproximadoras em torno da vizinhança do ponto de projeto em um processo iterativo. Este procedimento torna a busca do ponto de projeto bastante simples, rápida e eficiente, já que a superfície real é substituída por um simples polinômio. Faz-se uso de uma transformação isoprobabilística, como indicada na Figura 4, para a definição do ponto de projeto como o ponto P*, situado no espaço de variáveis transformadas, onde a ocorrência de uma falha é mais provável. Nessa abordagem, esse ponto define que a probabilidade de falha do sistema é igual à probabilidade do seu ponto mais frágil. Aqui, os outros modos de falha são negligenciados em favor da probabilidade obtida com o ponto de projeto.

x2

0

Domínio de falha

10

2

P *i( ) = 0

x1

i( ) = 0x

( )xf

Domínio de falha

i

( )ui

Figura 4 – Transformação isoprobabilística do espaço físico para o espaço normalizado.

A definição de um índice adimensional para medir a segurança foi introduzida por Hasofer & Lind (1974), que propuseram trabalhar no espaço de variáveis gaussianas independentes, ao invés de fazê-lo no espaço das variáveis físicas. Com esta transformação, o trabalho em questão mostrou que o índice é invariável e vem sendo utilizado com sucesso até hoje, o que para os autores indica que o índice de Hasofer & Lind deverá realmente se firmar como uma unanimidade na comunidade internacional. A transformação isoprobabilística do espaço físico Xi para o espaço normalizado Ui dá-se por meio da expressão:

( )i i iU T X= (5)

No novo espaço, a função de desempenho tem a seguinte forma:



169

( ) ( )( ) ( )1i i i iG X G T U H U 0−= ≡ = (6)

Para traçar as superfícies de resposta, é necessário que se lance mão da análise da estrutura em um conjunto de situações pré-definidas, que é denominado de plano de experiência (PE), conceito que não é recente e é advindo da teoria de planejamento de experimentos. Esse conjunto é o principal fundamento do RSM. Cada ponto do plano será responsável por uma resposta mecânica do modelo de elementos finitos. Tendo-se em mãos o conjunto de pontos e as devidas respostas mecânicas, constrói-se a superfície de resposta, calculando-se os coeficientes de seu polinômio por meio de técnicas de aproximação de pontos a superfícies. Adotou-se a técnica dos mínimos quadrados. A superfície é escrita em função das variáveis de projeto e dos coeficientes obtidos nesta regressão.

O índice de confiabilidade β pode então ser definido como a mínima distância entre a origem e o domínio de falha no espaço normalizado. Esta distância, bem como a sua direção define o ponto P*, mostrado na Figura 4, que é o chamado ponto de projeto, onde ocorre a maior probabilidade de falha. De acordo com essa representação física, o índice de confiabilidade β é calculado através da solução do seguinte problema de otimização restrita:

( )

( )

2i

i

i

min u

Sujeito a G u 0

β =

≤

∑ (7)

Para a solução deste problema um dos algoritmos mais conhecidos no campo da confiabilidade é o algoritmo de Rackwitz & Fiessler (1978). Este método não é sempre aplicável, pois é falho em alguns casos que dependem da forma da superfície de resposta e da continuidade de suas derivadas. No presente estudo não existem problemas deste tipo. Embora o algoritmo requeira o cálculo das derivadas parciais da função de falha, o que poderia elevar o tempo computacional, ele apresenta rápida convergência, pois se utiliza de polinômios simples e conhecidos. Depois de determinado o ponto de projeto P*, deve-se calcular a probabilidade de falha Pf. Para esta operação utilizam-se também métodos aproximados. A chamada aproximação em primeira ordem para Pf é obtida substituindo-se a função de estado limite no ponto P* por um hiper-plano tangente. Na literatura, essa aproximação é chamada de First Order Reliability Method (FORM). A probabilidade Pf é aproximada por:

( )fP ≈ Φ −β (8)

onde Φ(•) é a função de distribuição normal cumulativa. A precisão da aproximação FORM depende da curvatura da função de estado limite na vizinhança de Pf. Aproximações melhores podem ser obtidas levando-se em conta essa curvatura, hipótese básica do Second Order Reliability Method (SORM). O erro na aproximação FORM e sua relação com a segurança da aproximação dependem da concavidade da superfície de ruína. Se esta for côncava, a aproximação é a favor da segurança e vice-versa. Normalmente uma aproximação desse tipo é suficiente se a curvatura da superfície de ruína e a probabilidade de ruína têm valores pequenos. Como na prática geralmente ocorrem casos como esses, a aproximação FORM é bem aceita e correntemente utilizada. A idéia do RSM é construir uma aproximação polinomial da função de estado limite, seja no espaço físico G(xi) ou no espaço normalizado H(ui). A escolha de uma superfície de grau dois é aconselhável porque ela permite o cálculo de curvaturas e evita as oscilações inerentes aos polinômios de ordem mais elevada. Por simplificação escolheu-se construir a aproximação diretamente no espaço normalizado. A aproximação para a superfície H(ui) é dada por um polinômio completo do tipo:



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N N N

i i i ij i ji 1 i 1 j i

H(u ) c b u a u u= = =

= + +∑ ∑∑ (9)

onde c, bi e aij são constantes a serem determinadas. H(ui) é definida por pelo menos [(N+1)(N+2)/2] pontos, mas normalmente um grande número de pontos é tomado e a aproximação é obtida por mínimos quadrados. Dois passos são considerados essenciais: A escolha de um modelo mecânico adequado para representar a resposta estrutural, já descrito no item 2, e a seleção do PE conveniente que forneça uma representação precisa das variações do comportamento mecânico. A convergência do algoritmo de busca é diretamente relacionada à qualidade do PE selecionado. Recomenda-se também o uso de um procedimento iterativo para aumentar a precisão na busca do ponto de projeto. Na literatura técnica podem ser encontradas numerosas propostas de PE. Cabe observar que o uso de um único PE para qualquer modelo estrutural é praticamente impossível, devendo-se analisar a melhor opção de PE em cada caso. A Figura 5 mostra os PE usados no presente estudo. O PE estrela é obtido calculando-se duas respostas mecânicas simétricas para cada variável. O PE hiper-cubo apresenta dois níveis para cada variável. O PE fatorial completo tem três níveis de mapeamento para cada variável. O PE mínimo corresponde ao número mínimo de pontos obtidos na resposta numérica que permite definir unicamente os coeficientes de um polinômio quadrático completo. O PE composto é obtido a partir de uma fusão do PE estrela com o PE hiper-cubo, permitindo cinco níveis diferentes de experimentação para cada variável.

Estrela Hiper-Cubo Fatorial Completo

Mínimo Composto

Figura 5 – Planos de experiência para 3 variáveis aleatórias.

O procedimento assim se sucede: na iteração “k”, constrói-se a superfície de resposta aproximando-a pelo número de respostas requeridas pelo PE escolhido para representar H(ui). A equação H(ui)=0 permite a determinação de um β(k), além de um ponto de projeto ui*(k) com o uso do algoritmo de Rackwitz-Fiesler. Em seguida constrói-se um novo polinômio na iteração “k+1” a partir da determinação da função implícita situada na vizinhança de ui*(k).Várias iterações permitem que seja obtida uma aproximação do índice de confiabilidade e do ponto de projeto. O problema geral de análise de confiabilidade utilizando o RSM, conforme descrito na Figura 6, resume-se em três passos: Inicialmente é escolhido o conjunto de pontos do plano de experiência e obtém-se uma reposta estrutural para cada um dos pontos, assumindo-se uma distribuição estatística para cada variável estrutural. Em cada resposta mecânica, encontra-se um ponto no espaço físico ou normalizado. O conjunto desses vários pontos permite a construção da superfície de reposta. O segundo passo consiste em aplicar o algoritmo de otimização no espaço normalizado para encontrar o



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ponto P*. A distância deste ponto à origem é o índice de confiabilidade β. Depois de determiná-lo, o passo final é resolver a integral da Eq. (4). Uma boa aproximação pode ser obtida com um dos métodos FORM/SORM. Outras dificuldades podem ser encontradas se as correlações estatísticas entre as variáveis de projeto forem consideradas ou se distribuições não gaussianas forem adotadas. É possível que surjam dificuldades adicionais relacionadas à forma da função de estado limite, como por exemplo, o caso onde ela se aproxima de uma hiper-esfera, onde todos os pontos são mínimos.

Elementos Finitos

Plano de Experiência

Superfície de Resposta+

Algoritmo de Otimização

+

Form / Sorm

+

Ponto ui

Índice βProbabilidade

de falha

Figura 6 – Procedimento geral para análise de confiabilidade com RSM.

No presente caso, a definição da resposta mecânica é feita de acordo com as expressões descritas em Eq. (1) e Eq. (2). Como foi imposta uma variação estatística para as variáveis de projeto, a resposta estrutural passa a depender dos pontos do PE. A carga crítica é dada pela Eq. (1) modificada:

ULT i APLP (x ) P= λ × (10)

A função de estado limite, necessária para definir os domínios de falha e segurança, pode ser escrita tanto no espaço físico como no espaço normalizado:

i ULT i APL i APL APLG(x ) P (x ) P (x ) P P 0= − = λ × − = (11)

i iH(u ) (u ) 1 0= λ − = (12)

3.3 Múltiplos estados limites

No presente estudo, a consideração de múltiplos modos de ruptura foi realizada a partir da introdução de várias funções de estado limite, formando um domínio de falha composto de sub-áreas. Cada uma das curvas de estado limite corresponde a um modo de falha. Estas curvas são construídas de maneira independente, a partir da imposição de se atingir a deformação limite apenas nos modos escolhidos. Computacionalmente o processo é feito negligenciando-se as deformações limite atingidas nos modos diferentes do desejado e com o conjunto dessas funções constrói-se o domínio composto. Obviamente este domínio não corresponde ao domínio exato de falha, mas, sem dúvida, é uma aproximação melhor do que aquelas obtidas com métodos FORM/SORM, visto que ele define uma região mais precisa. Propõe-se neste trabalho que a probabilidade final de falha seja calculada através de métodos de simulação sobre esse domínio composto. O tempo ganho é significante na maioria dos casos, já que as simulações são testadas com polinômios simples, contrapondo-se às custosas simulações feitas diretamente com o uso de refinados modelos de elementos finitos.



172

Uma outra observação importante é que o índice de confiabilidade pode ser calculado separadamente para medir a importância de cada modo de falha de maneira isolada. Este procedimento permite a seleção dos modos de falha importantes para a simulação, já que apenas as “n” primeiras funções de estado limite são consideradas. O valor de quantos “n” modos deve-se escolher, fica a determinar, conforme a importância dos modos secundários, o que introduz certa subjetividade à análise, pois esse número depende da sensibilidade do analista. Os autores sugerem que sejam feitos testes para medir a sensibilidade do modelo ao tamanho dessa amostra. Além disso, sabe-se que as probabilidades decrescem muito rapidamente com a distância da origem do espaço normalizado e por isso a escolha criteriosa de “n” pode evitar simulações desnecessárias. Um critério razoável, sugerido pelos autores, é descartar os modos secundários cujos índices de confiabilidade conduzam a probabilidades menores do que 10-3 vezes a probabilidade obtida com o primeiro modo. Na próxima seção, pode-se observar um exemplo simples mostrando o uso da confiabilidade para a determinação da probabilidade de falha de um sistema.

4 RESULTADOS OBTIDOS

4.1 Viga com dois modos de falha

Para demonstrar uma aplicação do uso de estados limites múltiplos em um sistema simples, uma viga como a da Figura 7 foi utilizada. Por simplificação não se discretizou a viga ao longo do comprimento. Assim, o modelo apresenta somente um elemento finito cujo carregamento consiste em dois momentos fletores concentrados em suas extremidades. Para possibilitar o traçado dos diagramas, foram consideradas apenas duas variáveis aleatórias, o que permite construir e visualizar em duas dimensões as funções de estado limite. Admitiu-se que a viga apresenta um concreto com distribuição estatística gaussiana igual em todo o seu comprimento, com uma média denotada por fC e um desvio padrão σC. Da mesma maneira, a armadura também foi considerada constante e igual ao longo do comprimento, com distribuição gaussiana de média fY e desvio padrão σY. Os coeficientes de variação do concreto e do aço foram tomados como de 18% e 12% respectivamente. Dois modos de falha foram considerados: o esmagamento do concreto e o escoamento do aço. Nesse exemplo a superfície de reposta foi traçada a partir de planos de experiência e para isso um PE composto foi escolhido. Os dados adicionais utilizados no exemplo estão descritos na Tabela 1:

Aço

ConcretoL

MM

Figura 7 – Viga do exemplo.

A análise mecânica da viga indicou falha ocorrendo nos dois modos de ruptura escolhidos. Dependendo das resistências do aço e do concreto fornecidas pelos pontos do plano de experiência, a redistribuição de esforços internos conduziu a diferentes seqüências de falha, ora por escoamento da armadura, ora por esmagamento do concreto.



173

Tabela 1 – Dados do exemplo

Parâmetro Parâmetro

L 1.000,0 mm As Sup 17 φ10mm

f y 500,0 N/mm2 d 875,0 mm

f c 30,0 N/mm2 ε slim 0,0100

E y 210.000,0 N/mm2 ε clim -0,0035

b 120,0 mm σ y 60,0 N/mm2

h 1.000,0 mm σ c 5,4 N/mm2

M 250.000.000,0 N.mm Grau 2

Valor Valor

Inicialmente foi realizada a análise sem considerar os múltiplos estados limites. Isso foi realizado para permitir a realização de uma comparação entre as duas abordagens, pois, devido ao grau de dificuldade dos modelos mais refinados, não foram realizadas comparações com maior complexidade. O ponto de projeto foi encontrado com onze chamadas ao modelo de elementos finitos. Como o plano de experiência escolhido necessita de nove respostas mecânicas iniciais, conclui-se que durante o algoritmo dois pontos foram substituídos por pontos mais próximos à função. As linhas de isovalores da função de desempenho adimensional H(ui) podem ser vistas na Figura 8, traçadas no espaço normal padrão. A variável u1 corresponde ao concreto e a variável u2 ao aço. Nomeou-se a curva onde H(ui) = 0 de função de estado limite envoltória, já que a probabilidade obtida é a do modo preponderante.

Figura 8 – Isolinhas da superfície de resposta no espaço normalizado.



174

O cálculo do índice de confiabilidade foi efetuado através do algoritmo de Rackwitz & Fiessler. Com esse algoritmo é possível também determinar as coordenadas do ponto de projeto indicado acima, que corresponde à mínima distância da curva H(ui) = 0 à origem. A Tabela 2 indica as coordenadas do ponto de projeto P* e o valor do índice de confiabilidade:

Tabela 2 – Resultados da análise de confiabilidade

Índice β 4,423

u 1 = -1,515

u 2 = 4,155Coordenadas do ponto de projeto

O índice de confiabilidade encontrado foi de aproximadamente 4,423, correspondente a Pf = 0,00000487 para uma aproximação FORM. As coordenadas do ponto de projeto mostram que a segurança da estrutura é mais sensível às variações na resistência do aço, pois a variação do índice de confiabilidade é maior com relação à variável u2. Esse fenômeno é também devido à redistribuição de esforços, já que os valores da carga última do sistema são mais sensíveis às variações no valor da resistência do aço, interferindo na forma da função de estado limite. A interpretação física da probabilidade de falha é o significado concreto de toda análise probabilística. Além da sensibilidade já contida nas informações dos co-senos diretores do ponto de projeto, o número obtido nos informa que aproximadamente 487 em cada 100.000.000 de combinações possíveis para o par formado pela resistência do concreto e resistência do aço conduzirão a estrutura a uma situação de falha.

Figura 9 – Funções de estado limite dos múltiplos modos de falha.



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Depois da realização da análise com um estado limite único, deseja-se determinar qual a diferença na confiabilidade se vários estados limites forem considerados. Assim, realizou-se em seguida a abordagem proposta no presente trabalho, onde se consideram os múltiplos estados limites. Nesse exemplo, a determinação das curvas foi realizada com o emprego da imposição de ruptura segundo um determinado modo com o uso de planos de experiência, conforme descrito na tese de Neves (2004). Isso leva à construção de uma função de estado limite para cada um dos modos, conforme pode ser visto na Figura 9. As superfícies são adimensionais. As equações das três funções foram estabelecidas conforme a Eq. (13):

2 2Env 2 2 1 1 2 1

2 2Y 2 2 1 1 2 1

2 2C 2 2 1 1 2 1

H 0.7142 - 0.1746u - 0.0054u -0.0059u -0.0160u u - 0.0056u 0

H 0.7687 0.1741u - 0.0011u -0.0130u -0.0054u u +0.0018u 0

H 0.7123 0.1733u +0.0066u -0.0054u -0.0171u u +0.0059u 0

= =

= + =

= + =

(13)

onde as funções HEnv, HC e HY representam, respectivamente, as funções de estado limite envoltória, do concreto e do aço. Fica evidente ao observar-se a Figura 9 que o domínio de falha definido pelas curvas de estado limite do aço e do concreto é mais preciso do que aquele determinado pela envoltória dos modos. A função de estado limite envoltória não consegue contemplar a área destacada com hachuras inclinadas, ao passo que o domínio composto é capaz de fazê-lo. Em seguida, em uma segunda fase de simulações, foram processadas 108 realizações, gerando-se pontos aleatoriamente no espaço das variáveis normalizadas, levando-se em conta o domínio de falha limitado pelas funções HC e HY. O valor calculado para a probabilidade de falha final da viga foi de Pf = 1,683x10-5, que é cerca de 3,5 vezes maior do que o valor obtido com a aproximação FORM. Conforme mencionado anteriormente, o tempo computacional dispensado é uma das barreiras no estudo da confiabilidade de modelos mais complexos. No presente exemplo, o tempo gasto na obtenção das curvas de estado limite individuais é aproximadamente o produto do tempo de gasto para o traçado de um estado limite pelo número de curvas a ser considerado. Isso quer dizer que em relação à análise com um estado limite, o algoritmo demanda mais tempo. Porém, na segunda fase da simulação, onde foram realizadas as 108 realizações no domínio composto, o ganho de tempo é extraordinário. Isso porque que cada reposta mecânica proveniente do modelo de elementos finitos deste exemplo consome em média três segundos e com isso o tempo consumido para realizar as simulações da segunda fase através de um modelo baseado em elementos finitos seria extremamente alto, enquanto que a segunda fase de simulações da presente proposta foi realizada em um tempo de apenas três horas. Além desse ganho de tempo a precisão obtida na determinação do domínio de falha foi melhor e a possibilidade de processamento de modelos mais complexos torna-se mais factível.

5 CONCLUSÕES

O uso da teoria da confiabilidade aplicada às estruturas consiste em uma tentativa de se considerar as incertezas presentes nas variáveis envolvidas no projeto. Há hoje uma grande tendência para a diversificação das aplicações de confiabilidade em vários ramos da ciência e a Engenharia de Estruturas, em particular, inicia no uso de modelos baseados em confiabilidade para realizar a previsão das probabilidades de falha de seus sistemas. Além disso, existe também uma forte tendência à realização do acoplamento de processos de otimização com índices de confiabilidade para a realização de projetos e verificações otimizadas, ambos submetidos a índices de confiabilidade pré-estabelecidos.



176

Na abordagem com um estado limite único, o ponto de projeto denominado de P* é o ponto de falha mais provável e a sua falha representa a falha do sistema. Em estudos anteriores verificou-se que o estado limite único representa uma envoltória dos estados limites dos modos de falha secundários e por isso não permite que as probabilidades desses modos sejam levadas em consideração. Esse método é bastante utilizado e fornece boas aproximações do índice de confiabilidade, como visto na literatura. Para as grelhas (ou outras estruturas otimizadas), no entanto, o inconveniente maior da técnica é que uma perturbação em qualquer das variáveis modifica o cenário de falha, isto é, a seção e o tipo de ruína. Isso ocorre principalmente em razão da otimização de seções e armaduras feitas por projetistas. Já na presente abordagem, o uso de estados múltiplos conduziu a uma obtenção mais precisa da probabilidade de falha, pois o domínio de falha foi definido de uma maneira mais refinada do que com o emprego de aproximações em primeira ou segunda ordem. A técnica aqui utilizada para o cálculo da confiabilidade permitiu a seleção dos modos de falha mais importantes e conduziu a resultados coerentes da probabilidade de falha do sistema. Além disso, seleção realizada acarretou um grande ganho de tempo de processamento, uns dos maiores entraves dos métodos de simulação hoje. A vantagem da simulação feita no presente trabalho em relação ao Monte Carlo puro é que ela é realizada apenas sobre polinômios e não sobre modelos mecânicos complexos, o que permite o processamento de exemplos maiores. Mais ainda, o procedimento mostrou-se bom do ponto de vista da generalização da técnica, pois forneceu resultados coerentes mesmo com elevado número de variáveis aleatórias, conforme pode ser constatado na tese de Neves (2004). Pode-se afirmar ainda que essa abordagem permite uma extensão para a determinação de probabilidades de falha de sistemas de modo global, podendo-se avaliar as probabilidades globais de colapso (isso não foi realizado neste trabalho). Acredita-se que essa contribuição pode ser rapidamente incorporada definindo-se as regiões cujas intersecções conduzem a estrutura a essa situação. A rigor, como a teoria da confiabilidade se constitui em uma ferramenta estritamente matemática, ela pode ser acoplada a qualquer modelo mecânico baseado em qualquer hipótese cinemática e em problemas dependentes ou não de sua variação no tempo. Por todo o exposto, pode-se concluir que a consideração de incertezas através das devidas associações estatísticas para o cálculo da confiabilidade consiste em um tema atual, relevante e está se tornando uma das linhas de pesquisa mais procuradas nos grandes centros de pesquisa mundiais, e deverá em breve fazer parte de procedimentos usuais do meio técnico.

6 AGRADECIMENTOS

Agradecemos à FAPESP pelo apoio financeiro durante o Doutorado no Brasil, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada, e ao CNPq, pelo fomento da bolsa de doutorado-sanduíche na França.

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