Sau Predavanje 5

7/26/2019 Sau Predavanje 5

1/28

UVOD U DISKRETNE SISTEME

ezdesetih godina ovoga veka automatika se uglavnom bazirala na analognoj raunarskojtehnici iz prostog razloga to je na tritu raunara dominirao analogni raunar kao osnovnosredstvo za simulaciju, dok je sa druge strane postojao iroki spektar analognih komponenti za

projektovanje i kompenzaciju sistema. Analogne komponente koje su uestvovale u oblastiupravljanja sistemima su uglavnom po svojoj prirodi bile mehanike, pneumateske i elektronske.Meutim, tih ezdesetih godina situacija poinje dramatino da se menja sa naglim razvojemdigitalnih raunara i mikroelektronike. Digitalni raunari se za poeak koriste kao delovi u sloenimsistemima za upravljanje procesima. Meutim, zbog njihove male dimenzije i niske cene digitalniraunari polako postaju regulatori u zasebnim upravljakim petljama, tako da su do dananjeg danadigitalni raunari u nekoliko oblasti potpuno potisnuli svoje analogne konkurente.

Digitalni raunari su se istovremeno razvijali i kao alat za analizu i projektovanje sistemaupravljanja. Inenjeri automatike danas imaju mnogo moniji alat nego to su to imali u prolosti.Pojavom VLSI tehnologije otvorile su se dalje mogunosti razvoja digitalnih raunara. Iz svih ovih

razloga pristup analizi projektovanju i primeni upravljakih sistema se umnogome promenio. Upoetku je to bilo prosto prevoenje metoda i rezona iz analogne u digitalnu sferu, meutim, nasreu, proteklih trideset godina se teorija i praksa projektovanja digitalnih sistema u toj meri razvilada se potpuno otrgla okvirima u kojima je nekada postojala. Kao potpuno nova tehnologija i nainrada u poetku je prihvaena samo u avio industriji i nekim specifinim procesima, da bi polakonala mesto i u ostalim granama industrije i tehnike.

Digitalni sistem, grubo reeno, predstavlja rednu vezu A/D konvertora, sistema kojirealizuje algoritam, D/A konvertora i procesa, pri emu su prva tri elementa pod sinhronizacijom

jednog istog sata ('clock-a'). Povratna sprega se zatvara sa izlaza procesa na ulaz A/D konvertora.Digitalni sistem upravljanja dakle u sebi sadri dva tipa signala, kontinualne i semplovane ilisignale diskretne u vremenu. Otuda se za ovakav sistem osim naziva digitalni sistem upravljanja(computer controlled system) esto kao sinonim koristi i naziv sistem sa semplovanim podacima( sampled data system ).

Ideja da se digitalni raunar ukljui u upravljanje sistemima ponikla je pedesetih godina. Zapoetak je ova ideja realizovana u sistemima za upravljanje raketama i vazduhoplovima. Vrlo sebrzo ispostavilo da za ovako specifine namene nije zgodno upotrebiti digitalni raunar optenamene, pa se stoga pristuplilo projektovanju specijalizovanog digitalnog raunara nazvanog'digital differential analyzer' ( DDA ).

Glavni razvoj je digitalno upravljanje doivelo u procesnoj industriji. Prvi ozbiljniji rad natu temu odigrao se 1955. godine kada je amerika firma za preradu polimera u okviru rafinerije

TRW konsultovala proizvoaa digitalnih ra

unara Texaco u cilju projektovanja ra

unarskogsistema za njihove potrebe. Rezultat ove saradnje bio je digitalni upravljaki sistem koji je

jednovremeno regulisao 26 protoka tenosti, 72 temperature, 3 pritiska i 3 koncentracije [3]. Glavnafunkcija koju je ovakav digitalni regulator realizovao bila je da se minimizira pritisak u reaktoru, dase optimalno rasporedi napajanje na 5 reaktora i da se upravlja dotokom vrele vode na osnovukatalitike aktivnosti. Pionirski rad firmi TRW i Texaco pobudio je veliko interesovanje u industriji.Meutim, bilo je mnogo problema koje je trebalo reiti. Naime, tadanji raunarski sistemi su se

bazirali na elektronskim cevima. Standardno vreme sabiranja tih raunara iznosilo je 1ms amnoenja 20msi srednje vreme izmeu dva otkaza centralnog procesora 50 do 100 sati. Zbog svihovih nedostataka, digitalni raunar se koristio tako to je on tampao poruke operatoru na papirnatojtraci ili je ispisivao vrednosti veliina koje je trebalo podeavati. Na taj nain se, radi dodatne

zatite, ovek-operater ukljuivao kao supervizor u upravljaku petlju. Ovakvi sistemi su se nazivalioperatorski voenim sistemima ( operator guide control ) ili sistemi sa upravljanjem radne take( set-point control ).


2/28

Sledei vaan korak u primeni digitalnih raunara dogodio se 1962. godine kada je britanskahemijska industrija Imperial Chemical Industries kompletnu analognu instrumentaciju zaupravljanje procesom zamenila jednim digitalnim raunarom koji je merio 224 promenljive iupravljao sa 129 ventila istovremeno. Vete 1962. godine raunar je sabirao dva broja za 100 samnoio ih za 1ms. Srednje vreme izmeu dva otkaza centralnog procesora iznosilo je 1000 sati [3].

Cena je bila glavni razlog zamene analogne komponente digitalnim raunarom. Dok se uanalognoj tehnologiji cena poveavala linearno sa poveanjem broja upravljakih petlji, dotle se udigitalnoj tehnologiji visoka cena plaala samo u poetku prilikom kupovine digitalnog raunara,dok se sa poveanjem broj petlji cena plaala jedino u sluaju kupovine merne opreme.Fleksibilnost je bila druga znaajna prednost digitalne tehnologije nad analognom. Jednom kupljendigitalni raunar i instaliran za upravljanje jednog industrijskog procesa se bilo kog trenutka mogao

prebaciti i reprogramirati za upravljanje nekim drugim procesom.

Dalji razvoj je bio uslovljen pojavom minikompjutera i mikrokompjutera koji su osim malihdimenzija bili okarakterisani velikom brzinom rada ( i mnoenje i sabiranje su postali redamikrosekunda ), velika pouzdanost ( srednje vreme otkaza se meri desetinama hiljada sati ), jakegrafike mogunosti ( CGA, EGA, VGA grafiki adapteri ) i t.d.

Meutim, paralelno sa razvojem tehnike koja e se iskoristiti u digitalnim sistemimaupravljanja, razvijala se i teorija. Prvi takvi koraci dogodili su se tokom i posle drugog svetskograta, a uglavnom vezano za radarsku tehniku. Ovi su sistemi prirodno diskretni u vremenu sobzirom na rotaciju radarske antene. Kako je sva teorija vezana za transformaciju signala bilaorijetnisana prema kontinualnim signalima bilo je neophodno razviti slinu teoriju koja e tretiratisignale diskretne u vremenu. Prvi takav korak nainio je Hurewicz 1947. godine uvodeitransformaciju nad sekvencom. Ova je transformacija 1952. godine nazvana zed transformacijomod strane Ragazzini-ja i Zadeh-a. Transformacija je potpuno nezavisno izvedena u SjedinjimDravama, Sovjetskom Savezu i Velikoj Britaniji. Naime, Tsypkin je 1950. godine ovutransformaciju nazvao diskretnom Laplasovom transformacijom i uveo je kao alat za analizu

takozvanih impuslnih sistema, dok je 1952. godine Barker u Engleskoj doao do slinih rezultata.Ova transformacija je dalje razvijena i izuene su njene osobine u doktroskoj disertaciji ElioheJury-ja na Univerzitetu Columbia u Sjedinjenim Dravama. Jury je razvio alat za analizu i

projektovanje. Jo je pokazao da digitalni sistem moe da poseduje bolje osobine od svogkontinualnog ekvivalenta. Naime, stacionarno stanje se kod kontinaulaniih sistema moe dostiisamo u beskonanosti, dok se kod digitalnih sistema ono moe ostvariti posle konanog broja

perioda odabiranja. U svojim kasnijim radovima on je jo pokazao da odabiranje moe izazvatiskraivanje nula i polova i doprineo je razjanjavanju pojmova opservabilnosti i dohvatljivosti.

Ogranienje zed transformaije se sastoji u tome da ona daje informacije o signalu iskljuivou trenucima odabiranja. Ponaanje signala i sistema izmeu ovih trenutaka nije samo stvarakademske diskusije jer sistemi esto ukazuju na postojanje takozvanih skrivenih oscilacija. Oveoscilacije u trenucima odabiranja imaju vrednost nula, te ih zed transformacija ne vidi.

Neto drugaiji pristup digitalnim sistemima uveo je Linvill 1951. godine. Sledeu idejuMacColl-a, on je posmatrao odabiranje kao amplitudsku modulaciju. U sagledavanju problema

ponaanja signala izmeu trenutaka odabiranja, veliki korak je nainio Tsypkin 1950. godineuvodei takozvnau zakanjenu ili modifikovanu zed transformaciju.Do slinih rezultata je doaoBarker 1951. godine i Jury 1956. godine.

Osim ovog pionirskog izuavanja digitalnih sistema koji podrazumeva teoremu o odabirnju,formiranja diferentnih jednaina umesto diferencijalnih i metoda transformacije, u prvom redu zedtransformacije, dalje izuavanje ove oblasti se moe podeliti u nekoliko celina. Prva od njih jeteorija analize i sinteze digitalnih sistema u prostoru stanja. Najvei doprinos ovoj oblasti dali suPontryagin, Bellman i Kalman. Druga celina se odnosi na optimalno i stohastiko upravljanje.Belman, 1957. i Pontryagin 1962. godine su pokazali da se mnogi problemi projektovanja moguformulisati kao optimizacioni problemi. Za nelinearne sisteme se ovaj problem prevodi u domen


3/28

varijacionog rauna. Belman je dao eksplicitno reenje u svom radu 1958. godine za linearan sistemi kvadratnu kriterijumsku funkciju. Poetkom ezdesetih pod pretpostavkom poremeaja koji susluajni procesi formulisan je stohastiki varijacioni problem. Takoe je naeno eksplicitno reenjeza linearne sisteme i kvadratnu kriterijumsku funkciju. Tako se rodila oblast stohastikogupravljanja. Pod njenim okvirom se razvila uvena linearna kvadratna Gausovska teorija (LQG).Ova je teorija dala glavni alat za projektovanje multivarijabilnih sistema.

Problem upravljanja digitalnim sistemima je sedamdesetih godina preformulisan od stranenekih matematiara i predstavljen kao ist algebarski problem.Na taj nain se dolo do nekih novihreenja i metoda za projetkovanje digitalnih regulatora. U toj oblasti osim Kalmana treba pomenutiRosebrock-a (1970.) i Kueru (1979.). Kao jedna od aktivnosti koja je prisutna i u oblasti

projektovanja kontinualnih sistema a sa izuzetnom se panjom prouava i u digitalnim sistemimajeste identifikacija sistema. U najveem broju praktinih primera ova aktivnost se pojavljuje kaoprva i izuzetno vana. Znaajne radove iz ove oblasti a vezano za digitalne sisteme dali su Astrom,Eykhoff i Goodwin.

Na kraju, razvoj raunara omoguio je da se u cilju kvalitetnog upravljanja sistemimaimplementiraju vrlo komplikovani upravljaki algoritmi. Na taj nain su se otvorilia vrata oblasti

adaptivnog upravljanja. Posebnu panju ovoj oblasti posvetili su Astrom i Wittenmark.

9. Struktura diskretnih, raunarski upravljanih sistema

Na slici 5.1 je prikazana osnovna struktura diskretnog, raunarski upravljanog sistema uzatvorenoj povratnoj sprezi.

( )e t ( )*e t

T

( )r t

+

clock

Raunar

/D konvertor

/D A Proces( )*m t ( )hm t ( )c t

Slika 5.1: Struktura raunarski upravljanog sistema

Na slici 5.1 je prikazana struktura raunarski upravljanog sistema koji za razliku od ve vienihstruktura sa zatvorenom povratnom spregom, ima tu osobenost da se zbog prirode raunara koji senalazi u konturi upravljanja pojavljuju signali razliitih priroda. Naime, signali sa kojima operieraunar jesu po svojoj prirodi diskretni, dok kontinualni proces na svom ulazu i izlazu mora imatikontinualne signale. Zbog prisustva signala ovakvih, razliitih priroda, esto se za sisteme kakav je

prikazan na slici 5.1. koristi termin hibridni sistemi.Usled ove injenice, nacrtana struktura moraposedovati blok koji vr prilagoenje kontinualnog signala ( )e t u formu kakva je prihvatljiva za

raunar i bloka koji vri prilago

enje diskretnog signala ( )

*

m t u formu kakva je prihvatljiva zaproces. Ova dva bloka se nazivaju A/D konvertor i D/A konvertor. Na slici 5.1. oznaka ' ' uzpojedine signale oznaava njihovu diskretnu prirodu. Konano, A/D konvertor, D/A konvertor i

*


4/28

digitalni raunar moraju biti sinhronizovani i otuda je na slici oznaen zajedniki 'clock'koji vri tusinhronizaciju.

Dalji tekst emo posvetiti nainu funkcionisanja i modeliranju A/D i D/A konvertora koji enas odvesti do mehanizma kojim emo moi na kompaktan i jednostavan nain da opiemo radsistema kakav je prikazan na slici 5.1.

Analogno-Digitalni (A/D) konvertor

Kao to je na slici 5.1 naznaeno A/D konvertor je prekidakoji se zatvara periodino saizvesnom vremenskom periodom T i koji se u zatvorenom (dakle donjem) poloaju zadrava

beskonano kretko vreme. Drugim reima, ukoliko je na ulazu u A/D konvertor signal kakav

je prikazan na slici 5.2.a, na njegovom izlazu e se pojaviti signal

( )e t

( )*e t kakav je prikazan na slici

5.2.b.

( )e t ( )*

e t

t t0 T 2T kT

(a) (b)

Slika 5.2. a) Kontinualni signal; b) Signal dobijen diskretizacijom sa periodom odabiranja T

Drugim reima, izmeu jednog i drugog signala moe se uspostaviti sledea veza:

( ) ( )* ; , 0,1,2,...

0 ;

e t t kT k e t

inae

= ==

(5.1)

Na slici 5.2. je pretpostavljeno da je signal ( )e t kauzalan, meutim, dalje izvoenje emo proiritina signale koji kostoje i za negativnu vrednost argumenta t ne umanjujui optost dobijenihrezultata. U cilju modeliranja A/D kovnertora, moemo uvesti signal ( )i t koji e predstavljati

beskonano dugaku povorku Dirakovih impulsa:

(5.2)( ) ( )k

i t t kT

=

=

a onda se diskretni signal jednostavno moe napisati kao proizvod kontinualnog signala( )*e t ( )e t

i signala :( )i t

( ) ( ) ( )*e t e t i t = (5.3)

Poznato je da ukoliko se dva signala mnoe njihove Furierove transformacije ulaze u konvoluciju:


5/28

( ) ( ) (*1

*2

E j E j I j )

= (5.4)

Dakle, da bismo ispitali na koji nain odabira utie na signal, potraimo prvo Furierovutransformaciju beskonane povorke odbiraka. Kako je signal ( )i t periodian njemu se moe kaotransformacioni par pridruiti Furierov red:

( ) ( )/ 2

0 / 2

2 1 1; ; , 0, 1, 2,...o

Tjk tk k T

k

i t a e a i t dt k T T T

=

= = = = = (5.5)

odnosno:

( ) 01 jk t

k

i t eT

=

= (5.6)

Ukoliko elimo da periodian signal predstavimo pomou Fourier-ove transformacije, moramo sepozvati na poznati rezultat:

( ) ( ) (02

2 kk k

I j a k k

T

)0

= =

= = (5.7)

to znai da je u frekvencijskom domenu signal ( )i t predstavljen beskonanom povorkom

Dirakovih impulsa intenziteta 02 /T = koji su ekvidistantni na odstojanju 0 . Tada na osnovu

rezultata (5.4) dobijamo rezultat:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

*

0

1 1*

2 21 2

2 k

E j E j I j E j I j

E j k dT

d

=

= =

=

(5.8)

Ukoliko u poslednjem izrazu integral i suma zamene mesta, i ukoliko se upotrebi poznati rezultat ointegralu funkcije koja u sebi sadri Dirakov impuls, dobijamo:

( ) ( ) ( ) ((* 01 1

k k

E j E j k d E j kT T

))0

= =

= = (5.9)

Poslednji rezultat je izuzetno vaan i on nam govori o tome da se frekvencijski spektardiskretizovanog signala moe dobiti kao beskonani zbir frekvencijskih spektara kontinualnogsignala koji su po frekvencijskoj osi pomereni za uestanost 0 , 0, 1, 2,...k k = , uz

multiplikativnu konstantu 1/ . Na slici 5.3.a je prikazan pretpostavljeni spektar kontinualnogsignala a na slici 5.3.b je prikazan spektar signala dobijenog diskretizacijom.

T

( )e t

( )E j

g

(a)


6/28

( )*E j

0 0/ 2

(b)

Slika 5.3: a) Frekvencijski spektar kontinualnog signala, b) Frekvencijski spektar signala dobijenogdiskretizacijom

Na osnovu prikazanih spektara se moe doi do jednog vrlo vanog zakljuka koji se u literaturinaziva enonovom ili Nikvistovom teoremom o odabiranju. Naime, ukoliko sa g oznaimo

graninu uestanost u spektru kontinualnog signala (ona je oznaena na slici 5.3.a) koja predstavljauestanost iza koje snaga signala postaje zanemarljiva, tada ukoliko elimo da spektardiskretizovanog signala ostane verodostojan spektru originalnog kontinualnog signala, bezznaajnog efekta preklapanja koji se javlja zbog periodinosti ovog drugog spektra, uestanostodabiranja 0 mora zadovoljiti sledeu nejednakost:

0 0 2g g g < > (5.10)

odnosno, perioda odabiranja pri diskretizaciji mora zadovoljiti uslov:

1

2g gT

f

< = (5.11)

U protivnom efekat preklapanja ili takozvani 'aliasing'efekat postaje znaajan i on utie da velikigubitak informacija o signalu koji se dobija procesom odabiranja. U svakom sluaju, pretpostavimoda smo prilikom izbora periode odabiranja o tome vodili rauna, i da je spektar naegdiskretizovanog signala ( )*e t u opsegu uestanosti [ ]0 0/ 2, / 2 , koji se nazivaNikvistov opseg

uestanosti, gotovo identian spektru kontinualnog signala ( )e t .

Dosadanja analiza nas je dovela do vrlo vanog rezultata da je spektar diskretnog signala

periodina funkcija uestanosti, sa periodom ponavljanja 0 2 /T = i da se pravilnim izboromperiode odabiranja Tkompletna informacija o signalu moe sauvati bez obzira na A/D konverziju,odnosno na proces odabiranja.

Sledei, takoe vaan rezultat emo dobiti poevi od relacije 5.3 koja kae da sediskretizovani signal ( )*e t moe dobiti kao proizvod originalnog kontinualnog signala ( )e t i

povorke odbiraka . Meutim, kako u teoriji sistema upravljanja uglavnom operiemo sa

kauzalnim signalima, i u elji da na signale primenimo jednostranu (unilateralnu) Laplasovutransformaciju, bez gubitka optosti, moemo pretpostaviti da su i signal i signal

( )i t

( )e t ( )i t

kauzalni:

(5.12)( ) ( ) ( )0

0 za 0,k

e t t i t t kT

=

= < =


7/28

Kako se ova dva signala mnoe u vremenskom domenu, u kompleksnom domenu e njihoviLaplasovi reprezenti ui u konvoluciju:

( ) ( ) ( )*1

*2

E s E s Ij

= s (5.13)

pri emu je sada:

( ) ( ) ( )0 0

0 0

st st

k k

skTI s i t e dt t kT e dt e

= =

= = = (5.14)

Poslednji izraz predstavlja geometrijsku progresiju sa koeficijentom progresije sTe i ukoliko je onpo modulu manji od 1, ova beskonana suma se moe sraunati:

( ) { }1

; 1 Re1

sTsT

I s e se

= <

0> (5.15)

Smenom u relaciju (5.13) dobija se izraz za Laplasovu transformaciju diskretnog signala:

( ) ( ) ( )* 1 1

2 1

j

s p TjE s E pj e

+

= dp (5.16)

pri emu se integracija vri po pravoj iji je realni deo konstantan i iznosi i koja razdvaja

singularitete tipa polova podintegralnih funkcija. Polovi funkcije ( )E p su definisani vremenskim

oblikom originalnog kontinualnog signala ( )e t i ako pretpostavimo da taj signal nije divergentan, a

kauzalan je, ovi e se polovi nalaziti u levoj poluravni s ravni. Pogledajmo sada gde se nalazepolovi druge podintegralne funkcije:

( ) ( ) ( )21 0 1 2

2 2 , 0, 1, 2,...

s p T s p T k j

k

e e e s p T

k j ks p p s j kT T

k j

= = = =

= = + =

(5.17)

Drugim reima, ova podintegralna funkcija ima beskonano mnogo polova koji svi imaju jednakrealni deo, koji je jednak realnom delu kompleksne promenljives. Kako smo vepretpostavili da jekompleksna promenljiva s sa pozitivnim realnim delom, kako bi funkcija ( )I s konvergirala, to

znai da se svi ovi polovi nalaze u desnoj poluravni p ravni. Dakle, ako su polovi kompleksnefunkcije ( )E p u levoj poluravni s ravni, ili ak na imaginarnoj osi, tada postoji realna pozitivna

konstanta , pa je integral definisan izrazom 5.16 mogue sraunati. Konano, ostaje pitanje nakoji nain se takav integral moe sraunati. Teorija kompleksnih funkcija nam daje mogunost da

ovakvu vrstu integrala sraunamo primenom ra

una ostataka. U ovom tekstu se ne navode rigoroznidokazi ovakvog tvrenja, niti ogranienja pod kojim ono vai, vese daju praktini aspekti primene

ove teorije. Dakle, Laplasovu transformaciju diskretizovanog signala ( )*e t moemo sraunati

prema sledeem izrazu:

( ) ( )

( )* Res

1k s p Tp pk

E pE s

e ==

(5.18)

pri emu se reziduali raunaju u takama kp p= koje predstavljaju polove jedne ili druge

podintegralne funkcije. Kako funkcija ( )E p uobiajeno ima konaan broj polova, praktinije je

reziduale raunati na osnovu polova ove funkcije.

U cilju ilustracije navedenog postupka, moemo posmatrati sledei primer.


8/28

Primer 5.1:Neka je kontinualni kauzalni signal ( )e t definisan na sledei nain:

( ) ( )22 t te t e e h t = (5.19)

Potraimo Laplasovu transformaciju diskretnog signala ( )*e t koji se dobija odabiranjem sa

periodom T=ln2 sec. Odredimo prvo Laplasovu transformaciju kontinualnog signala:

( ) ( ) ( )

( )( )03 12 1

1 2 1st sE s e t e dt

s s s s

= = =

2+ + + +

Sada se, primenom relacije (5.18) dobija i Laplasova transformacija diskretizovanog signala nasledei nain:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

*

1 2

2 1

1 2 1 2

1Res

1

3 1 3 11Res Res

1 2 1 21 1

6 9 3 6 9

1 1 1 1

kT s pp p

k

T s p T s pp p

T s T s

T s T s T s T s

E s E pe

p p

p p p pe e

e e

e e e e

=

= =

+ +

+ + + +

=

= +

+ + + +

+ = + =

1 (5.20)

Zanimljivo je detektovati da orginalna funkcija ( )E s ima dva pola i jednu nulu. Polovi su u

takama -1 i -2 a nula je u taki +1. Meutim, funkcija ( )*E s ima beskonano mnogo polova ibeskonano mnogo nula. Vrednosti polova su:

( ) ( )

( ) ( )

1 1 21

2 2 22

21 0 1 1 , 0, 1, 2,...

21 0 1 2 , 0, 1, 2,...

T s T s jkk

T s T s jkk

ke e e s j k

T

ke e e s j k T

+ +

+ +

= = = = =

= = = = = (5.21)

Drugim reima, poetni pol u taki -1 se multiplicirao u beskonano mnogo polova iji su svi realnidelovi isti i iznose -1 a imaginarni delovi su celobrojni umnoci uestanosti odabiranja 2 /T .Analogno tome poetni pol u taki -2 se multiplicirao u beskonani skup polova, opet sa realnimdelom -2 i imaginarnim delovima koji su celobrojni umnoci uestanosti odabiranja signala. to setie nula novodobijene funkcije situacija nije tako jednostavna. I ovih nula ima beskonano

mnogo, ali su njihove pozicije definisane reavanjem transcedentne jednaine iz brojioca u izrazu(5.20).

( )*E s

D/A konvertor

Uloga D/A (Digitalno Analognog) konvertora jeste da diskretne signale koji se dovode naulaz ovog konvertora pretvori u kontinualne signale. Zavisno od naina ove konverzije D/Akonvertori se dele u razliite tipove. Najee korieni D/A konvertori su takozvani 'sample andhold circuit of zero type'iji je nain rada prikazan na slici 5.4. Ako signal na ulazu konvertoraoznaimo sa , dakle u pitanju je diskretni signal, a signal na izlazu iz konvertora oznaimo sa

(indeks hpotie od engleske rei hold), tada vai sledea relacija:

( )*m t

( )hm t

( ) ( ) ( )*

, [ , ), 0,1, 2,...h hm t m kT m kT za t kT kT T k = = + = (5.22)Ovakav konvertor se naziva kolom zadrke nultog tipa,jer su signal izmeu dve periode odabiranjaaproksimira polinomom nultog stepena, konstantom.


9/28

( )*m t

t0 T 2T kT

( )hm t

t0 T 2T kT

/D A

Slika 5.4: Ilustracija rada D/A konvertora

Ukoliko elimo da modeliramo rad D/A konvertora nultog tipa najjednostavniji nain je da se naulaz konvertora dovede Dirakov impuls i da se generie impulsni odziv. Nalaenjem Laplasovetransformacije impulsnog odziva moemo dobiti funkciju prenosa ovakvog D/A konvertora. Naslici 5.5 je prikazan impulsni odziv kola zadrke nultog reda, oznaen kao .( )0hg t

0 T 2T t

( )0hg t

1

Slika 5.5: Impulsni odziv kola zadrke nultog reda

Oigledno se impulsni odziv kola zadrke nultog reda moe modelirati na sledei nain:

( ) ( ) ( )0hg t h t h t T= (5.23)

to znai da je odgovarajua funkcija prenosa:

( )01 Ts

h

eG s

s

= (5.24)

Zanimljivo je pogledati kako izgledaju frekvencijske karakteristike kola zadrke nultog reda:

( )/ 2 / 2

/ 20

sin1 22 sinc

2

j T j T j Tj T

h

Te e eG j e T

j j

= = = =

T (5.25)

( ){ } ( )/ 2

0

sin / 2arg arg 2 arg sin

2 2j T

h

T TG j e

T = = +

(5.26)

Ove dve frekvencijske karakteristike su prikazane na slici 5.5. Sa njih je zanimljivo posmatratiiskljuivo Nikvistovo podruje uestanosti dakle [ ]0, /T , odnosno [ ]00, / 2 . Dakle,

amplitudska frekvencijska karakteristika bi, u cilju to manjeg izoblienja na signalima, trebalo dabude ravna u ovom opsegu uestanosti, a ona to nije. I to je veliki nedostatak ovakvog kola zadrke.


10/28

Sa stanovita fazne frekvencijske karakteristike, ona bi trebalo da bude linearna u Nikvistovompodruju uestanosti, i ona to jeste.

T

0 0 02 03

( )0hG j ( ){ }arg G j

0 0 02 03

2

3

4

5

6

Slika 5.6: Frekvencijske karakteristike kola zadrke nultog reda

Zbog prilino nepovoljne amplitudske frekvencijske karakteristike kola zadrke nultog redaponekada se koriste i sloenije strukture, kao to je na primer kolo zadrke prvog reda. Kolo zadrkeprvog reda vreme izmeu dva odbirka popunjava polinomima prvog reda (dakle konstantnognagiba) pri emu se vrednost tog nagiba odreuje na osnovu prethodna dva odbrika iz diskretnogsignala:

( ) ( ) ( ) ( )* * *1 ; [ , ); 0,1,2,...ht kT

m t m kT m kT T m kT t kT kT T k T

= + + = (5.27)

Ovakvo kolo zadrke popravlja amplitudsku frekvencijsku karakteristiku, ona postaje ravnija uNikvistovom podruju uestanosti, ali se zato fazna frekvencijska karakteristika izobliava iodstupa od linearne. To je razlog zbog koga se kolo zadrke nultog reda najee koristi, bez obzirana njegove nedostatke u amplitudskoj karakteristici.

Digitalni raunar

Uloga digitalnog raunara u strukturi kakva je prikazana na slici 5.1 je da na osnovuodbiraka signala greke ( )*e t generie upravljaki signal ( )*m t koji e opet po svojoj prirodi biti

diskretan. Rad digitalnog raunara i njegovu funkcionalnost u ovako definisanom sistemu odre

ujeprogramer koji u odgovarajuem programskom jeziku definie zavisnost upravljakog signala od

signala greke. Kako su u pitanju diskretni signali, u ovom kontekstu digitalni raunar predstavljajedan digitalni sistem. Ako se veza izmeu ulaznih i izlaznih signala moe opisati linearnomdiferencnom jednainom, ceo digitalni raunar se ekvivalentno moe zameniti jednom funkcijomdiskretnog prenosa :( )D z

( ) ( )

( )

zD z

E z= (5.28)

gde su sa ( )z i ( )E z oznaene zed transformacije diskretnih signala i( )*m t ( )*e t . Uobiajeno

je da se diskretni signali obeleavaju uglastim zagradama kako bi se nedvosmileno razlikovali odkontinualnih (umesto odznake ( )*e t moemo koristiti oznaku [ ]e kT i umesto oznaku( )*m t


11/28

[ ]m kT ili samo i[ ]e k [ ]m k ). Da se podsetimo, jednostranu zed transformaciju nad kauzalnimdiskretnim signalom definiemo na sledei nain:

( ) [ ]{ } [ ]0

k

k

z Z m k m k z

=

= = (5.29)

priemu ovako definisana zed transformacija ima slede

e osobine:

1. pomeranje u vremenskom domenu:

[ ]{ } ( )nZ m k n z M z = (5.30)

[ ]{ } ( ) [ ] [ ] [ ]10 1 ... 1n n nZ m k n z M z z m z m zm n+ = (5.31)

2. pomeranje u kompleksnom domenu:

[ ]{ }k z

Z a m k Ma

=

(5.32)

3. prva granina teorema zed transformacije

[ ] ( )0 limz

m M

= z (5.33)

4. druga granina teorema zed transformacije

[ ] ( ) ( )11

lim 1z

m z

= M z (5.34)

pri tome, ne treba zaboraviti da druga granina teorema zed transformacije vai samo pod uslovomda su svi singulariteti tipa polova funkcije ( )zM unutar jedininog krug.

5. Zed transformacije tipinih, esto korienih signala su:

[ ]{ } 1=kZ (5.35)

[ ]{ }11

11

=

= z

z

zkhZ (5.36)

[ ]{ }az

z

azkhaZ k

=

=

11

1 (5.37)

( ) [ ]{ } ( )

( )( )

( ) 1cos2sin

cos21

sinsin

221

1

+

=

+

=

zz

z

zz

zkhkZ (5.38)

( ) [ ]{ } ( )( )( )

( )( )( ) 1cos2

coscos21cos1cos 221

11

+=

+=

zzzz

zzzzkhkZ (5.39)

Ovo su bile najvanije osobine zed transformacije. Uglavnom, treba zapamtiti da se u strukturikakva je data na slici 5.1, prisustvo i uinak digitalnog raunara moe ekvivalentno opisatiodgovarajuom funkcijom diskretnog prenosa.

Kontinualni proces

U strukturi kakva je data na slici 5.1, proces je jedini kontinualni podsistem. Njegov rad semoe opisati ili odgovarajuom diferencijalnom jednainom, ili, ukoliko je proces linearan ivremenski nepromenljiv, odgovarajuom funkcijom prenosa ( )sGp . Meutim, ceo sistem uzatvorenoj sprezi je hibridni sistem, to znai da se u njemu pojavljuju i kontinualni i diskretni


12/28

signali. U elji da na jedan jedinstven, kompaktan nain opiemo ponaanje celog sistema,neophodno je izabrati domen u kome emo sistem posmatrati. Onog momenta, kada smo odluili daupravljanje sistemom vrimo pomou digitalnog raunara, koji je po svojoj prirodi diskretan, kojina svom ulazu i izlazu generie samo diskretne signale, logino je da se moramo liiti mogunosti i

privilegije da imamo uvid u stanje sistema u svakom trenutku vremena, gledano kao kontinuum, veemo se zadovoljiti time da imamo informaciju o sistemu i signalima samo u trenucima koji

predstavljaju celobrojne umnoke periode odabiranja T. Pri tome, ne treba zaboraviti da pravilnimizborom periode odabiranja koja je proistekla iz enonove teoreme o odabiranju, pa jo ukolikopotujemo iskustvene preporuke da periodu odabiranja treba birati na nain:

( ) gfT

105

1

= (5.40)

ovakva vrsta rtve i nije tako velika. Drugim reima, izborom dovoljno male periode odabiranjakoliina informacija o sistemu i signalima je gotovo identina kao da pred sobom imamoodgovarajue kontinualne sisteme i njihove reprezente. Na ovom mestu je neophodno dati jo jedanvaan komentar, da itaoci ne steknu predstavu da je dobro periodu odabiranja neogranienosmanjivati. Podsetimo se da usled diskretizacije, frekvencijski spektri signala postaju periodinefunkcije i da je nama od interesa opseg uestanosti, koji nazivamo Nikvistovim podrujemuestanosti [ ]T/,0 ili [ ]2/,0 0 gde je sa T/20 = oznaena uestanost odabiranja. Takoe,

podsetimo se da je usled takozvanog 'aliasing'efekta u ovo podruje uestanosti diskretnog signalapreslikan sadraj na svim uestanostima ),0[ koji je postojao u spektru kontinualnog signala. Dabi se ovaj efekat 'prljanja' ili kontaminacije u Nikvistovom podruju uestanosti izbegao, vrlo estose pre diskretizacije signala vri njegovo filtriranje, takozvanim prefiltrom. Prefiltar je filtar

propusnik niskih uestanosti koji proputa frekvencijski sadraj na niskim uestanostima, jer seoekuje da se tu nalazi korisni signal, a potiskuje sadraj na visokim uestanostima, jer se tuoekuje prisustvo neeljenih umova i smetnji. Propusni opseg prefiltra se uglavnom vezuje zauestanost odabiranja 0 , to je i logino. Meutim, ako bismo insistirali na vrlo maloj periodi

odabiranja, to za posledicu ima vrlo veliku uestanost odabiranja, pa onda i iroki propusni opsegprefiltra, a to pak znai da je omogueno umovima da propagiraju nesmetano kroz sistem. To jerazlog zbog koga ni preterano mala vrednost periodie odabiranja nije preporuljiva.

Dakle, pogledajmo deo sistema sa slike 5.1. koji se sastoji od redne veze D/A konvertora ikontinualnog procesa. Kako je signal koji ulazi u D/A konvertor po svojoj prirodi diskretan, na slici5.7 je predstavljen kao rezultat diskretizacije, odnosno nalazi se iza odabiraa koji odabira sa

periodom odabiranja T.

( )tm

T

( )tm* ( )tmh ( )tcAD / ( )sGp

Slika 5.7: Redna veza D/A konvertora i kontinualnog procesa funkcije prenosa ( )sGp

Kako je vepokazano na koji nain se moe modelirati ponaanje D/A konvertora, i kako je veizvedena njegova funkcija prenosa ( )sGh0 , prvi korak u modeliranju ovakve redne veze je da seD/A konvertor i kontinualni proces predstave jednim blokom ija je funkcija prenosa jednaka

proizvodu pojedinih funkcija prenosa. Ovakva struktura je data na slici 5.8. ak vrlo esto, kada seu nekim sloenijim sistemima na ulaz kontinualnog sistema dovodi diskretni signal, iako nijenaznaaneno, podrazumeva se da postoji D/A konvertor iju funkciju prenosa treba pomnoiti safunkcijom prenosa procesa.


13/28

( )tm

T

( )tm* ( )tc( ) ( )sGsG ph0

Slika 5.8: Ekvivalentna struktura redne veze D/A konvertora i kontinualnog procesa.

Doli smo do take da je jedino blok ija je funkcija prenosa ( ) ( )sGsG ph0 kontinualan. Svi ostalielementi sistema su diskretni, i sada na ovom mestu treba odluiti na koji nain ovaj kontinualni

blok predstaviti njegovim diskretnim ekvivalentom, kako bi mogli ceo sistem da posmatramo kaodiskretni sistem, i da ga na jednostavan nain analiziramo. Naina da se ovakva struktura, kakva je

prikazana na slici 5.8, dakle rednu vezu odabiraa i kontinualnog procesa, diskretizuje ima mnogo.O nekim od tih metoda, takozvanim numerikim metodama diskretizacije, priaemo kasnije,meutim sada se najprirodnijim nainom ini sledei. Ako bismo kontinualnu funkciju prenosa

predstavili nekim diskretnim ekvivalentom( ) ( )sGsG ph0 ( )zG na njegovom izlazu bi dobili neki

diskretni signal ili u uobiajenoj notaciji za diskretne signale( )tc* [ ]kc . Taj diskretni ekvivalent

treba izabrati tako da odbirci signala( )zG [ ]kc budu identini odbircima kontinualnog signala ( )tc koji se dobija na izlazu kontinualnog procesa, a u vremenskim trenucima koji odgovaraju

celobrojnim umnocima periode odabiranja. Drugim reima, Laplasova transformacija kontinualnogsignala jednaka je, na osnovu slike 5.8:( )tc

( ) ( ) ( ) ( )sMsGsGsC ph*

0= (5.41)

Pretpostavimo da smo ovaj kontinualni signal diskretizovali i dobili signal , i da su nam

trenutno poznati samo njegovi odbirci

( )tc*

( ) ,...2,1,0, =kkTc . Tada je njegova Laplasovatransformacija, dakle diskretizovanog sistema, na osnovu relacije 5.9 koja je napisana ufrekvencijskom domenu, ali se jednako moe napisati i u kompleksnom Laplasovom domenu:

( ) (

=

+=k

kjsCT

sC 0* 1 ) (5.42)

Smenom (5.41) u poslednju relaciju se dobija:

( ) ( ) ( ) (

=

+++=k

pho jksMkjsGkjsGTsC 0

*00

* 1 ) (5.43)

Meutim, signal je vediskretan signal, pa je njegova Laplasova transformacija periodina sa

periodom ponavljanja

( )tm*

0j , te se lan ( )0* jksM + moe izvui kao konstantan lan ispred

sumatora:

( )sM*

( ) ( ) ( ) (

=

++=k

ph kjsGkjsGTsMsC 000

** 1 ) (5.44)

Poslednja relacija nam govori da se na kontinualni proces moe predstaviti svojim diskretnimekvivalentom:

( )( )

( ) (

=

++=k

pho kjsGkjsGTsM

sC00*

* 1 ) (5.45)

Uvodei oznaku , na digitalni ekvivalent jednak je( ) ( ) ( )sGsGsG pho=

( ) (

= += k kjsGTsG 0* 1

) (5.46)


14/28

odnosno, digitalni ekvivalent je predstavljen diskretizovanim impulsnim odzivom ija je Laplasovatransformacija . Na osnovu relacije 5.18, ovaj ekvivalent moemo sraunati kao:( )sG

( ) ( )

( ) = = k Tpspp epG

sGk 1

Res* (5.47)

a konano, smenom , dobija se funkcija diskretnog prenosa kontinualnog procesa:

sT

ez=

( ) ( )

( )pT

k pppT

k pp ez

zpG

ze

pGzG

kk =

=

==Res

1Res 1 (5.48)

Time se, umesto hibridnog sistema prikazanog na slici 5.1, moe kao diskretni ekvivalent formiratisistem prikazan na slici 5.9, pri emu je osnovna razlika u tome, da u sistemu na slici 5.9 ne postojekontinualni signali, i iz njega se ne moe dobiti informacija o tome, ta se sa kontinualnimsignalima deava u trenucima izmeu dva perioda odabiranja.

[ ]km[ ]kr [ ]ke+

( )zD ( )zG[ ]kc

Slika 5.9: Diskretni ekvivalent sistema sa slike 5.1

Primer 5.2:Posmatrajmo proces ija je funkcija prenosa

( )( )( )21

10

++=

sssGp (5.49)

Ukoliko u hibridnom sistemu on stoji u rednoj vezi sa kolom zadrke nultog reda (D/Akonvertorom) odgovarajua funkcija diskretnog prenosa ( )zG , uz pretpostavku o periodi odabiranja

, postaje:sec2ln=T

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) pTTp

k pp

pTphok

pppTk

pp

ez

z

ppp

e

ez

zpGpG

ez

zpGzG

k

kk

++

=

=

=

=

==

21

101Res

ResRes

(5.50)

U poslednjem izrazu se usled prisustva D/A konvertora pojavljuje lan ( )Tpe1 . Kako je zed

transformacija linearna transformacija, lako se moe pokazati da se ovajlan moe izvu

i ispredznaka reziduala i sume kao ( )11 z . Otuda se za funkciju ( )zG dobija:

( ) ( )( )( )

( )( )( )25.05.0

)12(625.0510

1

51

21

10Res1

21

1

+=

+

=

++=

=

zz

z

ezezzz

ez

z

pppzzG

TT

kTppp k

(5.51)

Dakle, od kontinualnog procesa drugog reda ( )sGp dobili smo diskretni ekvivalent takoe

drugog reda. Moe nam biti zanimljivo, u kojoj meri odzivi kontinualnog i diskretnog sistema liejedan na drugog, i da li je zadovoljen kriterijum koji smo postavili na poetku, da su odbircikontinualnih signala jednaki u trenucima odabiranja jednaki vrednosti diskretnih signala. Na slici5.10.a su prikazani odziv kontinualnog sistema i diskretnog ekvivalenta na step pobudu (jedinini

( )zG


15/28

odskoni odzivi), dok su na slici 5.10.b prikazani odzivi ova dva sistema na pobudni signaltrougaonog oblika.

(a) (b)

Slika 5.10: Odzivi kontinualnog sistema i njegovog diskretnog ekvivalenta a) na jedininuodskonu pobudu; b) na pobudni signal trougaonog oblika

Zanimljivo je uoiti da su na slici 5.10.a prikazani odskoni odzivi kontinualnog sistema i njegovogdiskretnog ekvivalenta i da su u trenucima odabiranja ova dva odziva identina. Meutim, na slici5.10.b gde je pobuda bila trougaoni signal, uoava se da su odzivi slini ali ak ni u trenucimaodabiranja nisu jednaki. Razlog za to jeste uticaj D/A konvertora, koga smo uzeli u obzir prilikomsraunavanja diskretnog ekvivalenta i ija amplitudska frekvencijska karakteristika, prikazana naslici 5.6 nije onakva kakvu smo eleli. Jedino odskona funkcija (ili linearna kombinacijaodskonih funkcija) kada proe kroz kolo zadrke nultog reda ne menja svoj oblik, i zato jedino zatakvu vrstu pobude odzivi kontinualnog procesa i diskretnog ekvivalenta imaju identine odzive utrenucima odabiranja. Zato se ovakva vrsta diskretizacije kontinualnih sistema, koja uzima u obzirkolo zadrke nultog reda, naziva metod step invarijantnosti.

10. Razliite strukture hibridnih sistema i njihovi diskretni ekvivalenti

U prethodnom pitanju smo analizirali jednu tipinu strukturu sistema sa negativnompovratnom spregom, pri emu je postojao samo jedan A/D konvertor. Vrlo esto, strukture sistemamogu biti znaajno sloenije, sa veim brojem konvertora, veim brojem povratnih sprega, i tada

prilikom traenja diskretnog ekvivalenta moramo biti paljivi i pridravati se odgovarajuihzakonitosti. U tom cilju, u okviru ovog pitanja, bie analizirane neke specifine strukture i bieobjanjeni postupci za odreivanje odgovarajue funkcije diskretnog prenosa.

Primer 5.3: Posmatrajmo strukturu sistema prikazanu na slici 5.11 koja se sastoji od redne vezedva kontinualna sistema kojima prethode odgovarajui odabirai.

( )1G s

( )2G s

( )r t ( )*r t ( )m t ( )*m t ( )c t

T T

Slika 5.11


16/28

Na slici 5.11. nisu jasno oznaeni D/A konvertori, meutim, logino je da su u funkcije prenosai ukljuene i odgovarajue funkcije prenosa kola zadrke. U elji da formiramo

odgovarajui ekvivalent strukture prikazane na slici, krenimo od Laplasove transformacije signalana izlazu

( )1G s ( )2G s

( ) ( ) ( )*2C s G s M s= (5.52)

Diskretizacijom signala ( )c t dobili bismo signal ( )*c t ija je Laplasova transformacija, na osnovu

relacije (5.42)

( ) (* 01

k

C s C s kjT

)

=

= + (5.53)

gde je sa 0 2 /T = oznaena kruna uestanost odabiranja. Smenom (5.52) u (5.53) dobija se

( ) ( ) (* 2 01

k

C s G s jk M s jk T

)* 0

=

= + + (5.54)

Kako je signal vediskretan signal, njegova Laplasova transformacija( )*m t ( )* s je periodina

funkcija sa periodom 0j , pa se ovaj lan moe izvui kao konstanta ispred sume:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * * *2 0 21

k

C s M s G s jk M s G sT

=

= + = (5.55)

Drugim reima, dobijeni rezultat kao da je dobijen tako to smo na relaciju (5.1) primenili operatorzvezdica koji oznaava diskretizaciju signala ije su Laplasove transformacije date na levoj i desnojstrani jednakosti. Kako je signal vediskretan (veima zvezdicu) operator zvezdica deluje

samo na funkciju prenosa . Slinim rezonom, polazei od relacije

( )*m t

( )2G s

( ) ( ) ( )*1s G s E s= (5.56)

dolazi se do

( ) ( ) ( )* * *1s E s G s= (5.57)

Konano, smenom (5.57) u (5.55) dobijamo

( ) ( ) ( ) ( )* * * *1 2C s G s G s E s= (5.58)

a smenom u svaki od lanova u poslednjoj relacijiTse =z

( ) ( ) ( ) ( )1 2C z G z G z E z= (5.59)

Primer 5.4: Posmatrajmo strukturu sistema, prikazanu na slici 5.12, koja se neznatno razlikuje odstrukture iz prethodnog primera, ali je rezultat znaajno drugaiji.

( )1G s ( )2G s( )r t ( )*r t ( )c t

T

Slika 5.12

Sada izmeu blokova funkcija prenosa ( )1G s i ( )2G s nema odabiraa pa i relacije izgledajudrugaije:


17/28

( ) ( ) ( ) ( )*1 2C s G s G s R s= (5.60)

Primenom operatora '*' na poslednju relaciju dobijamo:

(5.61)( ) ( ) ( ) ( )**

1 2C s G s G s R s= *

ili, smenom sTz e= ,

( ) ( ) ( )1 2C z G G z R z= (5.62)

to nikako nije jednako izrazu (5.59), jer je:

( ) ( )1 1Resk

Tss sk

zG z G s

z e==

(5.63)

( ) ( )2 2Resk

Tss sk

zG z G s

z e==

(5.64)

( ) ( ) ( )1 2 1 2Resk Tss sk

zG G z G s G s z e== (5.65)

i oigledno vai sledea nejednakost:

( ) ( ) ( )1 2 1 2G z G z G G z (5.66)

Primer 5.5:Za sistem sa jedininom negativnom povratnom spregom prikazan na slici 5.13

( )W s( )r t ( )

*e t

T

( )e t ( )c t

Slika 5.13

moemo pisati

( ) ( ) ( )*C s W s E s= (5.67)

odnosno

( ) ( ) ( )* * *C s W s E s= (5.68)

Takoe, na osnovu jednakosti

( ) ( ) ( )E s R s C s= (5.69)

primenjujui operator zvezdica, odnosno vrei diskretizaciju signala na levoj i desnoj straniposlednje jednakosti, dobijamo:

( ) ( ) ( )* * *E s R s C s= (5.70)

Smenjujui relaciju (5.70) u (5.68) dobija se:

( ) ( )

( ) ( )

**

*1

W sC s R s

W s=

+

* (5.71)

a smenom sTz e=


18/28

( ) ( )

( ) ( )

1

W zC z R z

W z=

+ (5.72)

Na osnovu poslednje jednakosti moemo definisati i funkciju spregnutog prenosa za dobijenidiskretni sistem:

( )( ) ( ) ( )( )1

C z W zG zR z W= = + z (5.73)

Primer 5.6: Ovaj primer ilustruje sistem u kome nije mogue definisati funkciju diskretnog prenosaod ulaza do izlaza. Sistem je prikazan na slici 5.14.

( )2G s( )1G s

( )0hG s ( )D z

( )r t+

( )e t ( )c tT

( )*

m t

Slika 5.14

Na osnovu ove slike mogue je uspostaviti sledeu vezu izmeu Laplasovih transformacija signala:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*2 1 2 1 hoC s G s G s R s G s G s G s M s= (5.74)

odnosno, nakon primene operatora diskretizacije:

(5.75)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )** *

2 1 2 1 hoC s G s G s R s G s G s G s M s= *

a nakon smene sTz e=

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0hC z G G R z G G G z M z= (5.76)

Na osnovu relacije

( ) ( ) ( )z D z C z= (5.77)

i njene smene u (5.76), konano se dobija zed transformacija signala na izlazu

( ) ( )

( ) ( )1 2

1 21 ho

G G R zC z

D z G G G z=

+ (5.78)

Oigledno je da se iz zadnjeg izraza ne moe definisati kolinik ( ) (/C z R z) , to znai da za

ovakav sistem nije mogue definisati funkciju diskretnog prenosa. Ovaj sluaj se deava kadgodpostoji direktna putanja od ulaznog do izlaznog signala na kojoj nema odabiraa.

Na ovome mestu moemo napraviti kratku rekapitulaciju uobiajene notacije:

Oznaka Znaenje

( )*c t Oznaka zvezdica nad kontinualnim signalom oznaavadiskretni signal koji u trenucima odabiranja ima istevrednosti kao i kontinualan signal. U literaturi se esto,

umesto ove, sree oznaka [ ]c kT ili samo gde uglastazagrada oznaava da se radi o diskretnim signalima.

[ ]c k


19/28

( ){ }Z c t U pitanju je zed transformacija nad odbircima kontinualnogsignala. Rigorozno govorei, umesto ove trebalo bi da stoji

oznaka ( ){ }*Z c t ili [ ]{ }Z c kT i za kauzalne signale serauna na sledei nain:

[ ]{ } ( ) [ ]0k

kZ c kT C z c kT z

== =

( ){ }Z G s Ova oznaka je uvedena da bi se pojednostavilo pisanje i,opet, rigorozno govorei je nekorektna, jer se zedtransformacija moe definisati nad diskretnim signalom ane nad funkcijom prenosa. Meutim, znaenje je prilino

jasno, u pitanju je zed transformacija nad odbircimaimpulsnog odziva sistema ija je ( )G s funkcija prenosa i

rauna se na sledei nain:

( ){ } ( ) ( )1

Res2 k

j

Ts Tsj s sk

z zZ G s G s ds G sj z e z

+

== = e

gde su sa oznaeni polovi funkcije prenosaks ( )G s , a

sumiranje po k se vri po svim polovima ove funkcijekoliko ih ima vodei rauna o njihovoj viestrukosti.

( )Resks sA s

= oznaava rezidum funkcije ( )A s u taki koja

predstavlja pol funkcije

ks s=

( )A s . Ukoliko je pol jednostruk

rezidum se rauna po formuli:

( ) ( ) ( )Res limkk ks ss s A s s s A= = s

Ukoliko je pol viestrukostij, tada je rezidumks

( )( )

( ) (1

1

1Res lim

1 kk

jj

kjs ss s

d)A s s s

j ds

=A s =

11. Razliite metode diskretizacije kontinualnih signala

Metod step invarijantnosti

U pitanju broj 9 je opisan jedan metod za diskretizaciju kontinualnih sistema koji je nazvanmetodom step invarijantnosti. Po metodi step invarijantnosti kontinualnom sistemu funkcije

prenosa odgovara funkcija diskretnog prenosa( )G s

( ) ( ) ( ){ } ( )

( )

1

1 1

2

1Res

k

Tsj

ho Tsj

Ts

Tss sk

e zG z Z G s G s G s

j s z

e zG s

s z e

+

=

= =

=

e (5.79)

Ovaj se metod zove metodstep invarijantnostijer ukoliko na ulaz kontinualnog i diskretnog sistemadovedemo jedinini odskoni signal, odzivi i jednog i drugog sistema e u trenucima odabiranja bitiidentini.


20/28

Metod impulsne invarijantnosti

Sledei metod koji moe biti primenjen u cilju diskretizacije kontinualnih sistema jestemetod impulsne invarijantnosti. Ovaj metod kontinualnom sistemu funkcije prenosa ( )G s

pridruuje, kao ekvivalentan, diskretni sistem funkcije diskretnog prenosa:

( ) ( ){ } ( ) ( )21

Res2 k

j

Ts Tsj s sk

z

G z Z G s G s G sj z e z

+

== = = z

e (5.80)

Ovaj metod se zove metod impulsne invarijantnosti jer, kao to moe da se pretpostavi, samo usluaju kada su na ulazu i kontinualnog sistema i diskretnog ekvivalenta, jedinini impulsi, odzivioba sistema, u trenucima odabiranja bie identini. Primetimo, da se izraz za izraunavanje funkcijediskretnog prenosa razlikuje od izraza za( )2G z ( )1G z , to ovaj prvi ne uzima u obzir kolo zadrke

nultog reda. Pogledajmo na sledeem primeru, kakvog su oblika ova dva diskretna ekvivalentna zajednu konkretnu funkciju prenosa kontinualnog sistema.

Primer 5.7: Posmatrajmo kontinualni sistem funkcije prenosa

( )( ) ( )

2

1 2G s

s s=

+ + (5.81)

Potraimo njegove diskretne ekvivalente uzimajui za periodu odabiranja sec.ln 2T=

Diskretni ekvivalent metodomstep invarijantnostije sledea funkcija diskretnog prenosa:

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

3 31

11 1

10 1 2

1

1 2 2Res 1 Res

1 2 1 2

2 21 lim lim lim1 2 2 1

0.25 0.521

1 0.5 0.25 0.5 0.25

k k

Ts

Ts Tss s s sk k

Ts Ts Tss s s

e z zG z z

s s s z e s s s z e

z zz s s z e s s z e s s z e

zz z zz

z z z z z

= == =

= =

+ + + +

= + ++ + + +

+ = + =

2z (5.82)

Odgovarajui diskretni ekvivalent metodom impulsne invarijantnostije:

( )( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

3

21

1 2

2Res

1 2

2 2lim lim2 1

2 2 0.5

0.5 0.25 0.5 0.25

kTss s

k

Ts Tss s

zG z

s s z e

z z

s z e s z e

z z z

z z z z

==

=+ +

= ++ +

= =

z

(5.83)

Primetimo da oba metoda generiu iste polove u zed domenu, jedino se nule razlikuju. To nije niudo jer se skok sa kontinualnog 's' domena u diskretni 'z' domen vri smenom , tako da sekontinualni polovi

Tse =

1 1s = i preslikavaju u diskretne polove i

. Ova injenica nas navodi na jednu vrlo vanu osobinu navedenih metoda

diskretizacije da oni zapravo uvaju stabilnost sistema. Naime, u kontinualnom 's' domenu granicastabilnosti je imaginarna osa

2 2s = 1

1 0.5Tsz e= =

22 0.25

Tsz e= =

s j= i navedenom funkcijom se ova granica stabilnosti preslika u 'z'ravni u jedinini krug:


21/28

1j Tz e = = (5.84)

to predstavlja granicu stabilnosti u 'z' ravno. Dakle, svi kontinualni sistemi koji su bili stabilni prediskretizacije, metodom impulsne ili step invarijantnosti, e i posle diskretizacije ostati stabilni.

Na slici 5.15 su prikazani odskoni i impulsni odzivi kontinualnog sistema i odgovarajuihdiskretnih ekvivalenata. Na ovoj slici se jasno vidi, da su u sluaju jedininog odskonog signala naulazu, odziv kontinualnog sistema i diskretnog ekvivalenta funkcije diskretnog prenosa ( )1G z utrenucima odabiranja identini, i sa druge strane ukoliko na ulaze sistema dovedemo jedininiimpuls, tada e se odziv kontinualnog sistema identino slagati, u trenucima odabiranja sa odzivomdiskretnog ekvivalenta dobijenog metodom impulsne invarijantnosti. Programski kod u Matlabukoji generie ove rezultate je sledei:

G=tf([2],[1 3 2]);t=0:0.01:10;y1=impulse(G,t);y2=step(G,t);G1=c2d(G,log(2),zoh); y3=impulse(G1,15);y4=step(G1,15);

G2=c2d(G,log(2),imp);y5=impulse(G2,15);y6=step(G2,15); figure(1);plot(t,y1);hold on;stairs([0:14]*log(2),y3);

figure(2);plot(t,y1);hod on;stairs([0:14]*log(2),y5);

figure(3);plot(t,y2);hold on; stairs([0:14]*log(2),y4);figure(6);plot(t,y2);hold on; stairs([0:14]*log(2),y6);

Slika 5.15:Slike gore su impulsni odzivi a slike u donjem redu su odskoni odzivi kontinualnogsistema i diskretnih sistema dobijenih metodom step invarijantnosti (levo) i metodom impulsneinvarijantnosti (desno)


22/28

Metod integraljenja u levo ili diferenciranja u desno

Sledei metod za diskretizaciju kontinualnih sistema pripada grupi numerikih metoda inaziva se metodom integraljenja u levo (ili metodom diferenciranja udesno). Zasniva se na sledeojideji. Pretpostavimo da postoji neka kontinualna funkcija vremena ( )t i da su nama na

raspolaganju samo odbirci te funkcije u ekvidistantnim vremenskim trenucima:

Pretpostavimo takoe, da je potrebno da izraunamo, na osnovu ovihodbiraka integral:

( ) ( ) ( )0 , , 2 ,...x x T x T

( ) ( )0

ty t x d = (5.85)

Na slici 5.16 je prikazana funkcija ( )x t sa naznaenim poznatim odbircima. Vrednost traenog

integrala moemo raunati takoe u ekvidistantnim takama:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

kT kT T kT kT

kT T kT T y kT x d x d x d y kT T x d

= = + = + (5.86)

odnosno

( ) ( ) ( )kT

kT Ty kT y kT T x d

= (5.87)

( )x t

t0 kT

Slika 5.16: Kontinualna funkcija iji su nam odbirci u ekvidistantnim vremenskim trenucimapoznati

Postavlja se problem kako sraunati integral na desnoj strani jednakosti (5.55) kada su nampoznati samo odbirci signala ( )kT T i ( )kT . Ovaj problem je ilustrovan slikom 5.17.

( )x t

t0 kTkT T

( )x kT T( )x kT

Slika 5.17: Ilustracija izraunavanja povrine krivolinijskog trapeza


23/28

Polazei od osnovnih aproksimacija u teoriji numerike analize, povrina krivolinijskog trapezakoja je osenena na slici 5.17 predstavlja vrednost integrala na desnoj strani jednakosti (5.87).Meutim, mi tu povrinu ne moemo da sraunamo, jer ne znamo analitiki oblik funkcije ( )t ,

vemoemo jedino da je aproksimiramo na osnovu poznatih odbiraka. Prva mogunost je da ovajkrivolinijski trapez aproksimiramo pravougaonikom ija je jedna stranica duine T, a druga stranicaduine

( )kT T . Smenom ove aproksimacije u relaciju (5.87) dobijamo:

( ) ( ) ( )y kT y kT T Tx kT T (5.88)

Primenom zed transformacije na poslednju dobijenu diferencnu jednakost, dobija se:

( ) ( ) ( )1 11 z Y z Tz X z = (5.89)

odnosno,

( )

( )

1

11 1

Y z Tz T

X z z z

= =

(5.90)

Sa druge strane, kako znamo da je signal ( )y t integral signala ( )x t , znamo da u Laplasovom 's'domenu, ovaj kolinik glasi

( )( )

1Y s

X s s= (5.91)

Na osnovu relacija (5.90) i (5.91) dolazi se na jednostavnu ideju da se diskretizacija proizvoljnogkontinualnog sistema zadate funkcije prenosa ( )G s vri tako to se svako su toj funkciji prenosa

zameni odgovarajuim kolinikom :( )1 /z T

( ) ( ) 13 zsT

G z G s == (5.92)

Ovako dobijen metod numerike diskretizacije se naziva metod integraljenja u levo jer smo kodkrivolinijskog trapeza izabrali levu vrednost funkcije ( )x kT T u cilju aproksimacije

pravougaonikom. Sa druge strane zamena ( )1s z T= istovremeno znai kao da izvod funkcije

( )t u taki raunamo po sledeoj aproksimacijit kT= ( ) ( ) ( )( ) /kT x kT T x kT T + , pa seesto navedeni metod naziva i metodom diferenciranja u desno.

Za primer funkcije prenosa kontinualnog sistema datog relacijom (5.81), kao diskretniekvivalent se dobija:

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

31

2 2 0.4805

1 2 1 1 2 0.3069 0.3863zs

T

TG z

s s z T z T z z=

= = =+ + + + +

(5.93)

Na slici 5.18 su prikazani impulsni i odskoni odziv kontinualnog sistema i ovog diskretnogekvivalenta.

Oigledno je da je slaganje impulsnih i odskonih odziva jako loe, to je posledica loeaproksimacije krivolinijskog trapeza. Istina je i to da je perioda odabiranja prilino velika (izabrana

je tako da bi numeriki primer bio jednostavniji) meutim, ni sa smanjivanjem periode odabiranjarezultati ne bi bili znaajno bolji.


24/28

Slika 5.18: Impulsni i odskoni odzivi kontinualnog sistema i odgovarajueg diskretnog ekvivalentadobijenog metodom integraljenja u levo

U cilju analize primenjivosti ove metode potrebno je videti ta se deava sa stabilnou sistema.Najbolji nain je da se utvrdi u ta se, ovakvom transformacijom slika granica stabilnosti iz 's' ravni,dakle josa:

1s j z Ts Tj 1 = = + = + (5.94)

Poslednji rezultat nam govori da se leva poluravan iz 's' ravni slika u poluravan u 'z' ravni koja senalazi levo od prave iji je realni deo jednak 1 (slika 5.19).

{ }Re s

{ }Im s

{ }Re z

{ }Im z

1

Slika 5.19: Preslikavanje oblasti stabilnosti iz 's' ravni u 'z' ravan

Na osnovu slike 5.19 se jasno uoava da sistem koji je kao kontinualan bio stabilan, vrlojednostavno posle diskretizacije ovom metodom moe postati nestabilan, jer je jedinini krug, kojipredstavlja oblast stabilnosti u 'z' ravni, samo podskup rafirane oblasti na desnoj slici.

Metod integraljenja udesno ili diferenciranje ulevo

Ukoliko se odluimo da povrinu krivolinijskog trapeza na slici 5.10 aproksimiramopovrinom pravougaonika ija je jedna stranica Ta druga ( )x kT , dobiemo sledeu aproksimaciju:

( ) ( ) ( )y kT y kT T Tx kT (5.95)


25/28

pa na isti nain, primenom zed transformacije na poslednju relaciju

( ) ( ) ( )11 z Y z TX z = (5.96)

i uporeujui kolinik

( )

( ) 11 1

Y z T Tz

X z z z= =

(5.97)

sa kolinikom , dolazimo do novog naina diskretizacije( ) ( )/Y s X s s= 1/

( ) ( ) 14 zsTz

G z G s =

= (5.98)

Ovaj postupak diskretizacije se naziva metodom integraljenja udesno ili diferenciranja ulevo, i zana sluaj bi rezultovao diskretnim ekvivalentom:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 2 2

4 21

2 0.4805

1 2 4.04 4.079 11 1 1 2 1zs Tz

T z zG z

s s z zT z T z=

= = =+ + ++ +

(5.99)

Impulsni i odskoni odziv ovakvog diskretnog ekvivalenta, zajedno sa odzivima kontinualnogsistema dati su na slici 5.20.

Slika 5.20: Impulsni i odskoni odziv kontinualnog sistema i diskretnog ekvivalenta dobijenogmetodom integracije u desno

Opet je zanimljivo pogledati sta je sa stabilnou sistema prilikom ovakve vrste diskretizacije.Dakle, zanima nas u ta se slika granica stabilnosti iz kontinualnog domena:

2 2

1 1 1

1 1 1

j Ts j z

sT j T T

+= = = =

+ (5.100)

Ukoliko kompleksni brojznapiemo preko njegovog realnog i imaginarnog dela:

( )

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1,

1 1 1

0.5 0.5

Tz u jw u w u w u

T T T

u w

= + = = + = =

+ + +

+ =

(5.101)


26/28

vidimo da se cela leva poluravan 's' ravni preslikava u 'z' ravni u krug poluprenika 0.5 iji je centaru taki ( . Ova injenica je ilustrovana na slici 5.21.)0.5, 0j

{ }Re s

{ }Im s

{ }Re z

{ }Im z

1

Slika 5.21: Preslikavanje oblasti stabilnosti iz 's' ravni u 'z' ravan

Sa slike 5.21 je oigledno da e ovakvim preslikavanjem sistem koji je bio stabilan u kontinualnomdomenu, svakako ostati stabilan i nakon diskretizacije. Jasno je da neki sistemi koji nisu bili stabilni

pre diskretizacije, mogu postati stabilni kao diskretni ekvivalenti.

Bilinearna ili Tustin-ova transformacija

Poslednji numeriki metod kojim se kontinualni sistemi mogu diskretizovati jeste bilinearna

ili Tustin-ova transformacija. Ova transformacija se dobija ukoliko elimo da povrinukrivolinijskog trapeza na slici 5.10 aproksimiramo povrinom pravouglog trapeza:

( ) ( ) ( ) ( )

2

x kT T x kTy kT y kT T T

+ = (5.102)

Tada se primenom zed transformacije na poslednju relaciju dobija:

( ) ( ) ( ) ( )11 12

Tz Y z z X z = + 1 (5.103)

odnosno

( )( )

1

11

2 1Y z T zX z z

+=

(5.104)

Imajui u vidu odnos Laplasovih transformacija ( ) ( )/ 1Y s X s s= / , metod bilinearne transformacije

postaje:

( ) ( )2

2 15 21

0.1054 0.2107 0.1054

0.6665 0.08794z

sT z

z zG z G s

z z

=+

+ += =

+ (5.105)

Na slici 5.22 su prikazani impulsni i odskoni odzivi kontinualnog sistema i diskretnog ekvivalentafunkcije diskretnog prenosa .

( )5G z


27/28

Slika 5.22: Impulsni i odskoni odzivi kontinualnog sistema i diskretnog ekvivalenta dobijenogmetodom bilinearne transformacije

Uoljivo je da od svih navedenih numerikih procedura metod bilinearne transformacije dajenajbolje rezultate. Najbolje u smislu poklapanja odziva sa odzivom kontinualnog sistema.Zanimljivo je pogledati kako se ova transformacija ponaa u smislu uvanja stabilnosti prilikom

preslikavanja. Dakle, ponovo pretpostavljamo da je kompleksna promenljiva s isto imaginarna,dakle analiziramo granicu stabilnosti u kontinualnom domenu:

1 / 2 1 / 2 1 / 21

1 / 2 1 / 2 1 / 2

Ts Tj Tjs j z z

Ts Tj Tj

+ + += = = = =

(5.106)

to je rezultat koji nam govori da se leva poluravan s ravni preslikava u unutranjost jedininogkruga. Zakljuak koji iz ovoga proizilazi je da se stabilan kontinualni sistem nakon ovakvediskretizacije preslikava u stabilan diskretni sistem, i obrnuto, sistem koji je pre diskretizacije bio

nestabilan ostae nestabilan. Ova vrsta diskretizacije ima jo jednu zanimljivu osobinu. Naime,jasno je da se ovom metodom imaginarna osa iz 's' ravni preslikava u jedinini krug 'z' ravni, tonam govori da se iz prirode ovog preslikavanja mogu sagledati posledice po frekvencijskekarakteristike sistema. Ukoliko elimo da skiciramo frekvencijske karakteristike kontinualnogsistema, potrebno je izvriti smenu s j= a da bismo dobili frekvencijske karakteristike diskretnog

sistema potrebna je smena j Tz e = . Uspostavimo vezu izmeu kontinualne i diskretne kruneuestanosti :

(

/ 2 / 2

/ 2 / 2

/ 2 / 2/ 2 / 2

2 1 2 2 22tan / 2

1 2

j T j T

j T j T j T

j T j Tj T j T j T

e ee e e j jj

j T

e eT e T e e T T

= = = =

++ + ) (5.107)

na osnovu ega izvodimo sledeu relaciju izmeu ove dve uestanosti:

( ) (2 2

tan / 2 arctan / 2T ili T T T

= = ) (5.108)

Pri tome treba imati u vidu da se cela pozitivna imaginarna osa ( [0, ) ) preslikava u gornjipolukrug jedininog kruga ( [0, )T ) odnosno [0, / )T . Drugim reima, beskonano irokinterval kontinualnih uestanosti se preslikava u interval diskretnih uestanosti konane duine.Usled ovakvog preslikavanja dolazi do takozvanog efekta uvijanja ili sabijanja uestanosti. Ovaj

efekat je slikovito prikazan na slici 5.23.


28/28

/T

( )G j( )5

j TG e

Slika 5.23: Ilustracija efekta uvijanja uestanosti bilinearnom transformacijom

Na slici 5.23 je pretpostavljena neka, hipotetika frekvencijska karakteristika kontinualnog sistema

( )G j koja se sastoji od povorke etiri etvrtke jednakih irina. Takva povorka etvrtki e se,

nakon primene bilinearne transformacije preslikati u povorku od etiri etvrtke koje e biti znaajno

razliitih irina. Pri tome, oigledan je efekat da e, irina etvrtke biti utoliko manja ukoliko jenjena pozicija na viim uestanostima. Primetimo takoe, da je funkcija koja transformiekontinualnu uestanost u diskretnu bliska linearnoj za male vrednosti uestanosti:

( )2

tan / 2 0 /T zaT

=

Documents

Sau Predavanje 5