1. INTRODUCCINLas especificaciones norteamericanas y colombianas, en el diseo de secciones de hormign pretensado y no pretensado, sometidas a flexin ltima, permiten considerar aproximadamente la distribucin rectangular de las tensiones sobre el hormign a compresin. Claramente, la compatibilidad de deformaciones requiere el uso de la profundidad real del bloque comprimido como referencia para decidir cmo ser tratada la seccin. Naaman [5] llama la atencin sobre eventuales inconsistencias en el diseo de secciones T que lo llevan a proponer sin justificacin analtica una correccin o ajuste de las expresiones propuestas en versiones anteriores de las especificaciones. Las expresiones propuestas por Naaman [5] quedan as incorporadas en las especificaciones ms recientes para el diseo. Con el tiempo el procedimiento propuesto por Naaman y adoptado fcilmente en las especificaciones ha sido objeto de algunas observaciones por autores que no obtienen los mismos resultados al aplicar las condiciones de equilibrio y compatibilidad. Por ejemplo en el foro abierto: Problemas y soluciones publicado por Seguirant [10], se pregunta y responde por las razones que llevan a determinar por el procedimiento propuesto, momentos flectores resistentes significativamente menores a los determinados con los procedimientos anteriores o por las condiciones de compatibilidad. Esta y otras inquietudes se aclaran por otros autores, Seguirant [10], [11] y por el mismo Naaman [7].Precisamente para analizar su propuesta en este trabajo se estudia el comportamiento de las secciones T para cargas de diseo. Cuando la resistencia de la seccin vara, el eje neutro puede localizarse en la aleta o en el alma dependiendo de factores tales como: dimensiones, cantidad de refuerzo a traccin, resistencia del hormign y del acero. La estimacin de la resistencia nominal a flexin en elementos de hormign es una rutina de diseo. Sin embargo en el anlisis de dichas secciones, Naaman [5] argumenta que existe una inconsistencia en la determinacin del eje neutro determinado por las especificaciones AASHTO Estndar y por el Cdigo de Construccin del Instituto Americano del Concreto (ACI). Esta inconsistencia se da debido a la interpretacin del comportamiento de las tensiones a compresin de la seccin de hormign.Se hace en este trabajo, entonces, claridad en el anlisis y evaluacin, de la distribucin equivalente de tensiones en el hormign y el respectivo eje neutro, en secciones T de hormign.2. INCONSISTENCIA OBSERVADA POR NAAMANPara la completa determinacin del comportamiento de una seccin en el estado ltimo a flexin se requiere la ubicacin del eje neutro.Como es de elemental conocimiento, en el anlisis del comportamiento ltimo de secciones T de hormign sometidas a flexin, en general debe considerarse, utilizando los conceptos de Castrilln [3], que la superficie de hormign comprimida sea rectangular o no. El procedimiento para determinar la correspondiente forma comprimida depende de las condiciones especificadas y de su aplicacin. La forma de la superficie comprimida depende naturalmente de la forma de la seccin y de la ley del material asumida para el hormign a compresin. En las prcticas norteamericana y colombiana se ha utilizado la distribucin rectangular equivalente de las tensiones de compresin sobre el hormign, muy conocida tambin como de Whitney determinada fundamentalmente por la variableb1, que determina la fraccin de la distancia entre el lado ms comprimido y el eje neutro sobre la que se asume la distribucin rectangular de las tensiones.El camino para un adecuado diseo es tener precisin en la prediccin de la capacidad a flexin de la viga.LaFigura 1ilustra el anlisis, ligeramente modificado, presentado por Naaman [5] para una seccin T de geometra y materiales dados. Sobre el eje de abscisas se anota la cantidad de acero, As, y sobre el eje de ordenadas la correspondiente ubicacin del eje neutro, c. Paralelamente al eje de abscisas se indica a trazos una recta correspondiente a la coincidencia del eje neutro y el lado inferior de la aleta, c= ho. En la representacin de la variacin segn el cdigo ACI, para la ubicacin del eje neutro se observan valores negativos para determinada cantidad de acero, lo que realmente no tiene sentido. A fin de resolver esta inconsistencia Naaman [5] propone unas expresiones con las que se determina la variacin indicada, esta sin inconsistencias.

Figura 1.Ilustracin de la inconsistencia.Figure 1.Illustration of the inconsistency.Al utilizar esta distribucin rectangular de las tensiones de compresin sobre el hormign de la manera especificada es muy importante considerar que, en general, la forma de la superficie comprimida sobre la que se asumen estas tensiones no depende, solamente de la ubicacin del eje neutro, sino de esta y de la altura especificada para la distribucin rectangular de las tensiones, tal como est determinada por la variableb1.Cuando el eje neutro pasa por la aleta la superficie comprimida siempre es rectangular. En cambio cuando el eje neutro pasa por el alma la superficie comprimida puede ser rectangular o no rectangular. Esta importante observacin se debe tener en cuenta al analizar las expresiones anotadas a continuacin en algunas de las especificaciones.Para el caso simple, o de superficie comprimida rectangular, la ubicacin del eje neutro se determina, segn las especificaciones AASHTO Estndar [2], a partir de la seccin del acero, As, la resistencia especificada del acero, fy, y la anchura equivalente o efectiva de la seccin, b, mediante la expresin

En cambio cuando la seccin se comporta, segn Naaman, como T, el valor de c dado por el cdigo ACI es

Es precisamente con esta expresin que se determina la variacin segn el ACI y los valores negativos indicados en laFigura 1. Entonces para eliminar las inconsistencias Naaman [5] propone, sin mayor anlisis, la expresin

en la que se adiciona el factorb1en el segundo trmino del numerador de la expresin, con la que se obtiene la variacin resaltada con su nombre en la misma Figura, con la que eventualmente se eliminan los valores negativos y las inconsistencias. De esta manera se obtiene, por serb1ho, asumiendo que la seccin empieza su comportamiento como T cuando c excede ho.Esto ocurre debido a que se dan diferencias en la interpretacin de la distribucin equivalente de tensiones de compresin en el anlisis de la seccin estructural. As queda entonces introducida esta nueva ecuacin en los cdigos de diseo como AASHTO LRFD [1].La inclusin del factorb1, al estado de compresin resultante equivalente del bloque de tensiones, se da entonces para la transicin entre superficie comprimida rectangular y superficie comprimida no rectangular, en el momento que c excede ho. Las diferencias anotadas en la introduccin para la determinacin de los momentos flectores entre procedimientos de diseo, se centran en la interpretacin de la forma de la superficie comprimida, y en la profundidad lmite de la misma, dada para el inicio del comportamiento de la seccin como T, establecida por el bloque comprimido de tensiones a, o la profundidad del eje neutro c segn su interpretacin.En los artculos 5.7.3.2.2 y 5.7.3.2.3 de las especificaciones AASHTO LRFD [1], se establece que c, debe estar dentro de la porcin de las aletas para que el comportamiento de la seccin sea considerado como el de una seccin rectangular. Por otro lado las especificaciones AASHTO Estndar [2], slo requieren que a, est dentro de la aleta y c, puede estar o no estar dentro de ella para ser considerado el mismo comportamiento.Esta filosofa de trabajo no solo incrementa la profundidad del eje neutro para la seccin, reduciendo la capacidad a flexin de esta, sino tambin diferencia la consideracin y diseo de la seccin como rectangular para especificaciones AASHTO Estndar y no para AASHTO LRFD.Por tales razones se dan entonces diferencias en el clculo y resultados de los esfuerzos de flexin.La expresin para el clculo de la profundidad del eje neutro c, para el comportamiento como seccin T, adoptado para AASHTO LRFD es entonces igual al mostrado en la expresin (3), en la cual se ve la inclusin del factorb1al numerador, dado para resolver la inconsistencia mencionada anteriormente para el clculo del eje neutro.3. ANLISIS SEGN EL CONCEPTO UNIFICADO DE CASTRILLN3.1 PresentacinMediante el concepto unificado presentado por Castrilln [3] se puede observar que las eventuales inconsistencias observadas solo se deben a la aplicacin incorrecta de las especificaciones y se puede obtener una solucin correcta, simple y general del problema.Castrilln [3] presenta algoritmos adimensionales generales para secciones T y rectangulares-, mediante los que se puede establecer de manera simple la forma de la superficie comprimida, ubicar, si se desea, el eje neutro y determinar el momento nominal resistente.Se explica de una forma general que no existe inconsistencia alguna en la determinacin del eje neutro, solo es cuestin de la interpretacin de la zona comprimida del bloque equivalente de tensiones de compresin para el hormign. 3.2 Algoritmo para acero en cedenciaPara aplicacin general del algoritmo, tanto para superficies comprimidas rectangulares como no rectangulares, se definen por Castrilln [3] factores de forma adimen-sionales F1, F2, F3, F4, y F5, segn la geometra de la seccin, tal como los utiliza Gil [4]. En este anlisis el factor ms importante es la relacin entre la altura de la aleta y la altura efectiva de la seccin F3=h0/d.De la condicin de equilibrio de las fuerzas normales sobre la seccin, Castrilln [3], obtiene la relacin general entre la cuanta mecnica, ? y la forma de la superficie comprimida, mediante la variable adimensional ? que multiplicada por la altura efectiva de la seccin, d, permite ubicar el eje neutro, c.

O despejada para la ubicacin del eje neutro se obtiene

La relacin entre estas variables se representa de manera general en laFigura 2, en la que se indican los dos intervalos caractersticos para superficie comprimida rectangular,wF3, y superficie comprimida no rectangular,w> F3.

Figura 2.Ubicacin del eje neutro en relacin con la cuanta mecnica.Figure 2.Location of the neutral axis in relation to the mechanical quantity.En ambos intervalos de la Figura la relacin es lineal, continua aunque con diferentes pendientes y obviamente se satisface la condicinab=0 paraw=0Para todo el rango de valores dewno corresponden valores negativos deacomo los determinados originalmente por Naaman [5]. En el intervalo superior la pendiente de la recta es mayor que en el intervalo inferior como se desprende de la sustitucin de los factores de forma adimensionales en cada caso. Tambin se indica, a trazos, como continuacin de la recta en el intervalo inferior la variacin que se obtiene en secciones rectangulares de anchura b.Mediante las sustituciones correspondientes para el intervalo inferior, estas relaciones se pueden transformar fcilmente hasta obtener la expresin dimensional (1) y, en la misma forma, para el intervalo superior, a>ho la expresin dimensional (2). Nuevamente se insiste aqu, en que al aplicar las especificaciones, no es la ubicacin del eje neutro la determinante de la forma de la superficie comprimida,tal como lo hace Naaman [5] al detectar inconsistencias, sino la altura sobre la que se asume la distribucin rectangular de las tensiones.Se ve que no hay necesidad de introducir ningn factor adimensional comob1, para ajustar resultados y lograr que se d continuidad en la determinacin del eje neutro y su correspondiente ilustracin grfica.De esta manera se observa fcilmente que no hay tal inconsistencia, sino que Naaman [5] no considera que al variar la cantidad de acero, la forma de la superficie comprimida tambin vara, y esta se debe considerar apropiadamente. De la condicin de equilibrio de momentos se obtiene la relacin entre la cuanta mecnica ?, y el momento reducido m, tal como estn definidos en la Figura siguiente

Mediante estas expresiones sustituyendo correctamente las variables se pueden determinar ya sea la cuanta mecnica correspondiente a un momento reducido o el momento reducido correspondiente a una cuanta mecnica, sin tener que determinar la ubicacin del eje neutro. Por esta razn se puede considerar la ubicacin del eje neutro ms bien como problema acadmico, cuando no se deben determinar las deformaciones en el acero. Los valores correctos de los factores de forma dependen de la relacin entre la cuanta mecnicawy el factor F3.3.3 Determinacin de la forma de la superficie comprimidaSe puede observar que la superficie com-primida es rectangular si el productoab1es menor o igual que la relacin ho/d= F3.

Figura 3.Relacin entre la cuanta mec-nica y la forma de la superficie comprimidaFigure 3.Relation between the mechanical quantity and the geometry of the compressed surface.

Las anteriores expresiones son tambin aplicables a las secciones con pretensado, considerando las limitaciones del caso para su aplicacin en estado ltimo, en el que se permite usar la misma aproximacin de distribucin rectangular para la seccin4. APLICACIN DEL ALGORITMO4.1 PresentacinLa determinacin de los momentos ltimos o nominales de una seccin, es un elemento bsico en el diseo a flexin. Para su determinacin se requiere, segn Naaman [5], ubicar el eje neutro a partir de las condiciones de equilibrio y considerando las hiptesis establecidas en las especificaciones, por ejemplo, NSR-98 [9], C-A.4.4.2 Ejemplo inicial de NaamanDefinicin de factores de forma y materiales. Para la seccin inicialmente analizada por Naaman [5] se tiene:Tabla 1.Parmetros de la seccin inicial de anlisis.Table 1.Parameters of the initial analysis. section

Factores de forma SCR.wF3 Factores de forma SCNR.w> F3Tabla 2.Coeficientes adimensionales para SCR y SCNRTable 2.Adimensional coefficients for SCR and SCNR

En laTablasiguiente se anotan los valores obtenidos al evaluar el ejemplo inicial de Naaman [5] mediante el algoritmo de Castrilln [3]. En la evaluacin se consideran los lmites de las superficies comprimidas rectangular y no rectangular para el valorw=F3=0.143Tabla 3.Coeficientes adimensionales para laFigura 4.Table 3.Adimensional coefficients for theFigure 4.

Figura 4.Eje neutro a partir del algoritmo de Castrilln [3]. Ejemplo inicial de Naaman.Figure 4.Neutral axis from Castrilln's algorithm [3]. Naaman's initial example.La representacin grfica de estos resultados se muestra en la siguiente Figura. Sobre el eje de ordenadas izquierdo y el eje de abscisas inferior estn anotados respectivamente los valores adimensionales deaywsobre el eje de ordenadas derecho y el eje de abscisas superior se anotan respectivamente la ubicacin del eje neutro en pulg - y el rea de acero - en pulg -.Esta grfica se superpone en la Figura siguiente con los valores obtenidos por Naaman [5] segn el ACI y propuestos por l mismo para resolver la inconsistencia.

Figura 5.Superposicin de inconsistencia y solucinFigure 5.Overlapping of "inconsistency" and solution4.3 Anlisis para el caso de pretensazoA continuacin se aplica el concepto unificado de Castrilln [3] tambin a secciones pretensadas, aunque este no sea el objeto del presente trabajo, solo se hace como presentacin de la aplicacin del algoritmo ya mencionado y como aporte a la eliminacin de la inconsistencia, mostrando su fcil aplicacin en este caso, mediante el ejemplo propuesto por Seguirant [10]. Aqu se consideran los mismos materiales, la misma forma de la seccin T y solo se vara el nmero de torones o sea la cantidad de acero. Como tensiones en el acero se consideran las determinadas por Seguirant [10] segn las expresiones especificadas, fps, que no se presentan aqu, y de manera aproximada, para la expresin:fpy= 0.90fpu= 72 pulgho= 6 pulgh=65 pulgd=62 pulgAs= 0.153 pulg (dado para cada torn de pulg)w< ho/d = F3=0.0967R= 26.5x10 (Ksi*pulg)fpu =270 KsiTabla 4.Resultados para el caso del pretensado por medio de Castrilln [3]Table 4.Results for the case of the pretensado by means of Castrilln [3]

Al obtener mediante la recomendacin anotada en las especificaciones, fpy=0.9fpu, tensiones menores en el acero se determinan momentos nominales menores de la seccin, lo que confirma precisamente su propsito conservador. A continuacin se presenta un anlisis para ilustrar las diferencias dadas para las dos expresiones propuestas.EJEMPLO 1:Determinar la capacidad a flexin de la seccin mostrada en laFigura 6.

Figura 6.Especificaciones AASHTO Estndar versus Especificaciones AASHTO LRFD presentado por Seguirant [10].Figure 6.AASHTO Standard Specifications vs AASHTO LRFD Specifications presented by Seguirant [10].Tabla 5.Resultados obtenidos por Seguirant [10]Table 5.Results obtained by Seguirant [10]

En los resultados anteriores se observa que prcticamente coinciden los resultados, tal como se resalta en las dos tablas, para la misma tensin de acero fps determinados segn Castrilln [3] y segn las especificaciones AASHTO Estndar en el ejemplo mostrado por Seguirant [10] quien solo presenta el valor del momento nominal a flexin para el caso con 70 torones.Comparando las capacidades a flexin del ejemplo, por medio de los correspondientes momentos nominales, la capacidad de la seccin obtenida por las especificaciones AASHTO LRFD es 89% de la capacidad obtenida por las especificaciones AASHTO Estndar, con lo que estara subestimando la seccin respecto a su capacidad.La expresin (13) es aplicada hastab1c=ho=a, punto en el que la expresin (13) = (16), as la fuerza de compresin en la transicin de la superficie comprimida no ser diferente al considerar cualquiera de los dos casos, como en la propuesta por Naaman [5]. Esta es una observacin de autores como Seguirant [11] quien solo lo comenta en su artculo, mas no lo comprueba.La transicin de la superficie comprimida en el momento en que c>ho, implica que toda la profundidad de la aleta no este comprimida, debido a que la superficie equivalente de compresin est dada por a=b1c; lo que no ocurre con los algoritmos de Castrilln [3] en las que claramente se puede ver que las expresiones consideran la totalidad de la aleta comprimida en el momento en que se genera la transicin de SCR a SCNR.5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONESAn sin la presentacin y aplicacin del concepto unificado propuesto por Castrilln [3], se puede observar que la propuesta de Naaman para la ubicacin del eje neutro no tiene justificacin. Naaman no hubiera observado inconsistencia alguna, si en vez de establecer los criterios a partir de la ubicacin del eje neutro c, los hubiese establecido a partir de la altura de la superficie comprimida, a, como lo han hecho algunos autores, p.e. Nilson [8].Mediante la aplicacin del concepto unificado de Castrilln [3], gracias a su presentacin adimensional se obtiene ms generalidad, tanto para secciones no pretensadas como pretensadas.Respecto al carcter casi dogmtico, con el que algunos consideran las especificaciones, aqu se llama la atencin sobre la forma, poco injustificada y precipitada, como se establecen algunas veces, como en este caso, aun en Norteamrica.Aunque aqu se recomienda la aplicacin general del concepto unificado de Castrilln [3], no solo por su adimensionalidad y generalidad, tras los anlisis presentados se considera que las expresiones dimensionales - (1) y (3) - del cdigo AASHTO LRFD para la ubicacin del eje neutro, deben ser reemplazadas por las ecuaciones mencionadas anteriormente (1) y (2).BIBLIOGRAFA[1] AASHTO: AASHTO LRFD Bridge Construction Specification. 2. Ed. American Association of State Highway and Transportation Officials, Washington DC, USA, 1998. 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