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Facultad de Ingeniera y Arquitectura Semestre 2012-II 1

CURSO : MATEMTICA I

Tema :

FUNCIN EXPONENCIAL

Es la funcinf: R R, definida por xexf =)( donde pasa por (0 ; 1); entonces:

Dominio: R Rango: 0 ;

a>1la funcin exponencial es creciente a+< ,0 Rango: R

Funciones Elementales (exponencial y logartmica) y de Funciones trigonomtricas


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FUNCIONES TRIGONOMTRICASFunciones Peridicas.-Muchas funciones tienen graficas que oscilan hacia arriba y haciaabajo, semejantes a una onda. Las funciones que repiten sus valores a intervalos regulares

se llamanperidicas. Es decir, una funcinfes peridica si existe una constante positiva p

tal que

)()( xfpxf =+

para todoxen el dominio def. el nmeropes llamado elperiodode la funcin.

Amplitud.- La amplitud de una funcin peridica )(xfy =

es definida como la mitad dela diferencia entre sus valores mximo y mnimo.

Funcin Seno.-Es la funcinf: R R, definida por )()( xsenxf = . Peridica de periodo2 . Puntos de corte con el eje x: )0;).....(0;2()0;()0;0( k , kentero.

Dominio:R Rango: ]1;1[

Funcin Coseno.- Es la funcin f: R R, definida por )cos()( xxf = . Peridica deperiodo 2 .

Dominio:R Rango: ]1;1[


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Funcin Tangente.- Es la funcin f: R R,definida por )tan()( xxf = ,

Dominio:

+

kR2

siendo kentero

Rango:R. Peridica de periodo .

Transformaciones de las grficas de Seno y Coseno

Se pueden considerar variaciones de las grficas de la funcin seno o coseno, por ejemplo,

las grficas de las funciones siguientes:

= xseny

2

15 , ( )= xy 2cos , 32

1= senxy

En particular, estamos interesados en las grficas de las funciones que tienen la forma:

( ) DCxB

senAy +

=

2 y ( ) DCxB

Ay +

=

2cos

dondeA,B, CyDson constantes tales que:

A es la amplitud

B es el periodo

Ces el desplazamiento horizontalDes el desplazamiento vertical


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Las constantes tienen efecto de traslacin, reflexin, estiramiento y compresin de lagrfica base. Veamos la siguiente figura:

Observe los efectos que causa los diferentes valores de las constantes en las figuras:

La constanteD

La constanteA


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La constanteB

La constante C


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EJERCICIOS DESARROLLADOS1. Dibuje las grficas de las funciones exponenciales xxf 2)( = y

xxf 3)( = sobre el

mismo sistema coordenado.

Solucin

Como su dominio son todo R, tabulando

algunos valores se tiene

x xxf 2)( = xxf 3)( =

1 2 32 4 9

0 1 1

-1 1/2 1/3

-2 1/4 1/9

2. Sobre el mismo sistema coordenado, bosquejar la grfica de las funciones xxf 2)( = y

xxf 2log)( =

Solucin

Tabulando la funcin xy 2= y luego invirtiendo los valores de las coordenadas, se

tienen la tabulacin de su inversa xy 2log= como sigue:

x xy 2=

-3 0.13

-2 0.25

-1 0.50

0 1.0

2 4.03 8.0

x xy 2log=

0.13 -3

0.25 -2

0.50 -1

1.0 0

4.0 2

8.0 3


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3.Determinar el dominio de las siguientes funcionesa) ( )32log)( += xxf

b) ( )1252ln)( 2 += xxxf Solucin

a)

Para determinar el dominio de la funcin ( )32log)( += xxf debemos tenerpresente que la funcin logaritmo solo existe para los nmeros mayores que 0.

Teniendo presente esto:

+ >2x 3 0. Es decir

>

3

x .2 Por lo tanto:

= +

f

3D ;

2 b)

Considerando lo mismo que el punto anterior:

+ >2

2x 5x 12 0.

factorizando el polinomio cuadrtico que aparece en la desigualdad anterior,

+ >(2x 3)(x 4) 0.

As,

El dominio de la funcin es:

( ) ( )= +f 3D ; 4 ;2

4. Trace la grfica dea)

)(2)( xsenxf =

b)

)2()( xsenxf = Solucin

a)Tabulando se tiene

t L 2 3

2

2

0

2

3

2

2 L

f(t) 0 2 0 2 0 2 0 -2 0


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Graficando se tiene

b)Tabulando

t L 3

4

2

4

0

4

2

3

4

L

f(t) 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Luego, graficamos

5. El nmero y de bacterias en millones, en un cultivo, t horas despus de iniciado elexperimento viene dado por 3/20)( tetfy == . Se pregunta:

a)El nmero de bacterias al principio del experimento.

b)

El nmero de bacterias despus de una hora y de dos horas.

Solucin

a)

Como el principio del experimento se realiza cuando t=0, luego,

202020 03/0 === eey

Por tanto, existan 20 millones de bacterias al iniciar el experimento.

b)

Si t=1, luego 912.27)3956.1(2020 3/1 === ey


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As, existen 27.912 millones de bacterias despus de una hora.Y si t=2, luego

955.38)9477.1(2020 3/2 === ey

As, existen 38.955 millones a las dos horas, casi el doble que al inicio del

experimento.

6. Determine la amplitud, periodo y grfica de 12

23)( +

+=

xsenxf

SolucinPrimero notemos que

14

2312

23)( +

=+

+=

xsenxsenxf

entonces tenemos lo siguiente:

Amplitud: 33 ==A

Periodo:

== BB

22

== B

Para crear la grfica, empecemos con la curva bsica senxxf =)( . A continuacinresumiremos los grficos de cada una de las siguientes funciones

)2()( xsenxf = )2(3)( xsenxf =

=

423)(

xsenxf

14

23)( +

=

xsenxf


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Hallar el dominio de las siguientes funciones:

a) ( )45 6log)( xxxf =

b)

=

x

xxf

1ln)(

3

c)

( )22ln)(23

+= xxxxf

d) 4log)( 2 = xxf

e) ( )1log)( += xxf

f)

353

)( += xexf

g)222)( ++=

xexf

h)

xexf =)(

2. La siguiente frmula que es vlida para la voladura de un terreno en la extraccin de mineral,relaciona la magnitud R del sismo que genera, con el rea que lo rodea A (en millas cuadradas)

que es afectada por el temblor.

( ) 5.734000log3.2 += AR Obtenga A en funcin de R.


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3.

Una cierta sustancia radiactiva decrece segn la frmula

t

eqtq

0063.0

0 .)(

=

donde 0q es lacantidad inicial de sustancia y t el tiempo en das. Determine despus de cunto tiempo la

cantidad de sustancia ser la mitad de la inicial.

4. El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la funcin

te

tf21

250)(

+

=

la que representa la cantidad de personas que la adquieren en un determinado tiempo t.

(a)

Si el tiempo es medido en semanas, cuntos han sido contagiados en tres semanas?

(b)

Cul es la cantidad de contagiados en tres meses?

(c)

En qu tiempo se han contagiado aproximadamente 30 personas?

5. Los registros de salud pblica indican que tsemanas despus del brote de cierta clase de gripe,aproximadamente

te

tf8.031

2)(

+

=

miles de personas han contrado la enfermedad.

(a)

Cuntas personas tenan la enfermedad al comienzo?

(b)

Cuntas haban contrado la enfermedad despus de tres semanas?

6.

Determinar el dominio de las siguientes funciones trigonomtricas:

a)

=

2

1)(

xsenxf b)

+=

1

3cos)(

x

xxf

7. Determinar la amplitud, el periodo y la grfica de las funciones:

a)

=

2cos)(

xxf

b) 12cos3)( = xxf

c)

+=

2cos

21)( xxf

d) ( ) 12

1)( += xsenxf

e) ( )= xxf cos)(

f) 14

1)( +

= xsenxf

g)

=

42

2

1)(

xsenxf


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8.Un satlite gira alrededor de la tierra tal que la distancia

y en millas del ecuador (al norte o sur)despus de tminutos es dada por la funcin

( )

= 10

45cos3000)( tty

Determinar la amplitud y el

periodo de su recorrido.

9. Un ecologista estudia una especie de escarabajo de agua estima lapoblacin de una colonia durante un periodo de 8 semanas. Si t es

el nmero de semanas despus de iniciada la estimacin, entoncesla poblacin en miles pueden ser modelado por

( )tsentP 6025)( += donde 80 t

a) Cul es la poblacin inicial?

b) Cul es la mayor y menor poblacin?

c) Durante que intervalo(s) de tiempo

la poblacin excede a 6000?

10.El 10 de febrero de 1990 la marea alta en el Callao fue a media noche. La altura del agua en elpuerto es una funcin peridica, ya que oscila entre las mareas alta y baja. Si t se mide en horas

desde la media noche, la altura (en metros) se aproxima por medio de la frmula

y 5 4.9cos t6

= +

a)

Cul fue el nivel

del agua en lamarea alta?

b)

Cundo estaba

baja la marea y

cul fue el nivel

del agua en ese

momento?

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