– 1 –

Seminario de TrigonometríaSemestral UNI

Miscelánea de problemas

1. Con un alambre de longitud 6π cm, se

forman tres aros de igual radio, tangente

dos a dos. ¿Cuánto mide la longitud del

aro que envuelve a los tres aros?

A) 43π ( )( )5 3( )5 35 3( )5 3 3( )3−( )− cm

B) 23π ( )( )4 3( )4 34 3( )4 3 2( )2−( )− cm

C) 23π ( )( )4 3( )4 34 3( )4 3 6( )6−( )− cm

D) 23π ( )( )3 2( )3 2 3( )33 2+3 2( )3 2+3 2 cm

E) π3

( )( )4 3( )4 34 3( )4 3 6( )6−( )− cm

2. Del gráfico, calcule cot

.θ

m

ex

Y

X

y=mx

y=

–1/2–1/2

A) – 4 e– 1

B) 4 e– 1

C) – 4 e– 1/2

D) 4 e– 1/2

E) – E) – e–2

33. Si se cumple que Si se cumple que Si se cumple que

aasensensenββ+bsen2sen2ββ=sen=sen3β

asen4ββ+bbsensen55ββ=sen=sen6β

Calcule Calcule Calcule aa+bb en términos en términos de β.

A) 2 c A) 2 c A) 2 cosβ

B) 2 cos B) 2 cosβ – 1

C) 2 senβ

D) senβ cos3β

E) sen3β – cscβ

4. Simplifique la siguiente expresión

sensen

+cos3θ

θ θθ θ θ

26

2 22+ ++ +

θ θcsθ θθ θcθ θ

se2 2se2 2n sθ θn sθ θ2 2n s2 2θ θenθ θ

θπ

π∈34

;

A) 2 32 3co2 32 3s2 3θ

B) 2senθ

C) cos3θ

D) sen3θ

E) 2sen3θ

SEMINARIO DE TRIGONOMETRÍA

Ciclo Semestral UNI – 2009

– 2 –

Academia César Vallejo

5. Halle la variación de la siguiente expre-sión.

|cos |cos | |cos

x x|cx x|cosx xos | |x| |x

2 2| |2 2| |x x2 2x x

1 2co1 2cos1 2s2 2+2 2

1 2+1 2| |se| || |2 2| |se| |2 2| || |2 2| |n| |2 2| |

A) 2

23 23 2

4;

B) 132

;

C) −

12

0;

D) −

3 23 22

22

;

E) 2

23 23 2

4;

6. En la circunferencia trigonométrica mos-En la circunferencia trigonométrica mos-En la circunferencia trigonométrica mos-

trada, halle el área de la región som-trada, halle el área de la región som-trada, halle el área de la región som-

breada, si AC=3(BC=3(BC=3( ) y

costan cot

;;θα αn cα αn cotα αot

α=+n c+n cn cα αn c+n cα αn c

∈∈2 22 29

ICIC y y

θ es mínimo.

A

B

C

�

Y

X

A) 2

12

B) 2

8

C) 2

4

D) 2

9

E) 2

18

77. Del gráfico mostrado Del gráfico mostrado, halle el área de la

región región sombreada en términos de sombreada en términos de a, b, c

y dd. Si se sabe que . Si se sabe que . Si se sabe que AB=a, BC=b, CD=c y

ADAD==dd.

A

BC

D

45º45º

A) ac+bd bd bd

B) ac bdab cd

++

C) b d a c2 2b d2 2b d 2 2a c2 2a c

4+ −b d+ −b d2 2+ −2 2b d2 2b d+ −b d2 2b d a c−a c

D) a b c d2 2a b2 2a b 2 2c d2 2c d

4+ +a b+ +a b2 2+ +2 2a b2 2a b+ +a b2 2a b c d+c dc d2 2c d+c d2 2c d

E) b d a c2 2b d2 2b d 2 2a c2 2a c

2+ +b d+ +b d2 2+ +2 2b d2 2b d+ +b d2 2b d a c−a c

– 3 –

Seminario de TrigonometríaSemestral UNI

1. Si O es el centro de la circunferencia mostrada, tal que BC=4 u. Calcule el área de la región sombreada. Considere T punto de tangencia.T punto de tangencia.T

B

A

C

N

O

30º

30º

T

MM

A) 29

2πu B)

π9

2u C) C) π33

22uuu

D) 49

2πu E) E) E)

233

22ππuu

2. Si se cumple que

a cos2x2x2 +b sen2x2x2 =a+bb – – c

Calcule cot2x2x2 .

A) b

a c+a c+a cB)

ac

C) C) cc

a ba ba b+a b

D) a cc ba c−a cc b−c b

E) a cc b

+a c+a cc b+c b

3. Si sen = 2θ θn =θ θn =coθ θcosθ θs2θ θ2 , calcule sen s +12n s2n sθ θn sθ θn senθ θenθ θ+θ θn sθ θn s+n sθ θn s .

A) 1 B) 2 C) 3/2 D) 2/3 E) 5/2

4. ¿Para qué valores de x en el intervalo x en el intervalo x ⟨0;

π⟩, la expresión 1( )( )se( )sec c( )c csc( )sc2 2( )2 2c c2 2c c( )c c2 2c cx x( )x xc cx xc c( )c cx xc cscx xsc( )scx xsc2 2x x2 2( )2 2x x2 2c c2 2c cx xc c2 2c c( )c c2 2c cx xc c2 2c csc2 2scx xsc2 2sc( )sc2 2scx xsc2 2scc cx xc c−c cx xc c( )c cx xc c−c cx xc c

−

está definida en los reales?

A) π π π4

3π π3π π4 2

; 4 24 24 24 24 24 2

−

4 2

4 24 24 2

4 2

4 24 2

4 2

B) 06

;π

C) π π π4 2 3

;4 2

;4 2

−

D) π π π4

3π π3π π4 24 2

; −

4 2

4 24 24 2

4 2

4 24 2

4 2

E) 34

56

ππ

π; −

5. Determine el área de la región sombreada si AB=BC=CD=1.

A

B

C

D

�62�2�

A) 3sen34θ B) sen3θ C) sen32θ D) sen34θ E) 3sen32θ

6. En un triángulo ABC, calcule el cosα en función del inradio (rfunción del inradio (rfunción del inradio ( ) y el semiperímetro (p(p( ) de dicho triángulo.

A) r

r

( )p c( )p cp c−p c( )p c−p c +

( )p c( )p c+( )+p c+p c( )p c+p c −

2 2

2 2

B) r

r

( )p a( )p ap a−p a( )p a−p a −

( )p a( )p ap a−p a( )p a−p a +

2 2

2 2

C) p r

p r

2 2p r2 2p r2 2p r2 2p r

p r+p r2 2+2 2p r2 2p r+p r2 2p r

p r−p r

D) p r

p r

2 2p r2 2p r2 2p r2 2p r2

p r+p r2 2+2 2p r2 2p r+p r2 2p r

p r−p r

E) r

r

( )p c( )p c+( )+p c+p c( )p c+p c +

( )p c( )p cp c−p c( )p c−p c −

2 2

2 2

PRÁCTICA DOMICILIARIA

– 4 –

Academia César Vallejo

7. Del gráfico mostrado, halle tanθ

αsen en

términos de a, b, c y d, si AB=a, BC=b,

CD=c y AD=d

A

B

C

D

�

��

A) 2

2 2 2 2a d2 2a d2 2 b c2 2b c2 2( )ac( )ac bd( )bd+( )+

+ −2 2+ −2 2a d+ −a d2 2a d2 2+ −2 2a d2 2 b c−b c

B) ac bd

a d b c

++ −a d+ −a d b c−b c2 2a d2 2a d+ −2 2+ −a d+ −a d2 2a d+ −a d 2 2b c2 2b c

C) 2

2 2 2 2a b2 2a b2 2 c d2 2c d2 2( )ac( )ac bd( )bd+( )+

+ +2 2+ +2 2a b+ +a b2 2a b2 2+ +2 2a b2 2 c d+c d2 2c d2 2+2 2c d2 2

D) ac bd

a d b c

−+ −a d+ −a d b c−b c2 2a d2 2a d+ −2 2+ −a d+ −a d2 2a d+ −a d 2 2b c2 2b c

E) 2

2 2 2 2a d2 2a d2 2 b c2 2b c2 2( )ac( )ac bd( )bd−( )−

+ +2 2+ +2 2a d+ +a d2 2a d2 2+ +2 2a d2 2 b c+b c2 2b c2 2+2 2b c2 2

8. Determine el máximo valor que toma la expresión siguiente.

sen s2n s2n sx xn sx xn senx xen+ ∈n s+ ∈n sen+ ∈en+ ∈n s+ ∈n sx x+ ∈x xn sx xn s+ ∈n sx xn senx xen+ ∈enx xen

2+ ∈2+ ∈n s+ ∈n s2n s+ ∈n sn sx xn s+ ∈n sx xn s2n sx xn s+ ∈n sx xn s6

, ;, ;, ;x, ;x+ ∈, ;+ ∈x+ ∈x, ;x+ ∈x

, ;, ;

, ; 6

, ;6π

π

A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 2 E) 3

9. Del gráfico mostrado, determine la va-riación del radio r, si se sabe que θ ∈ IIC. Considere P punto de tangencia.

r

P

�C.T.

Y

X

A) A) 0 10 1;0 1;0 10 1;0 1

B) 02

2;

C) 012

;

D) 0 2 2 2;0 2;0 2 2 2−2 2

E) 12

22

;

Lima, 19 de julio de 2009

1.-Piden: longitud del aro que envuelve a los tres aros.

SOLUCIONARIO SEMINARIO DE TRIGONOMETRIA CICLO SEMESTRAL UNI – 2009

2.- Piden: El valor de 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚

3.- Piden: a+b en términos de 𝛽𝛽

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝛽𝛽 + 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2𝛽𝛽 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎3𝛽𝛽

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎4𝛽𝛽 + 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎5𝛽𝛽 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎6𝛽𝛽

𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 𝑘𝑘(1− 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝛽𝛽)

𝑎𝑎2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝛽𝛽𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝛽𝛽 + 𝑏𝑏2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2𝛽𝛽𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎3𝛽𝛽 = 2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎3𝛽𝛽𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎3𝛽𝛽)

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎4𝛽𝛽 + 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎5𝛽𝛽 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎6𝛽𝛽

𝑎𝑎(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎4𝛽𝛽 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2𝛽𝛽) + 𝑏𝑏(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎5𝛽𝛽 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝛽𝛽) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎6𝛽𝛽

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥

𝑌𝑌

𝑋𝑋 𝑐𝑐

(−12 ; 𝑎𝑎− 12)

(−𝑎𝑎− 12;−12)

∴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 = 4𝑎𝑎− 1

• 𝑥𝑥 = −𝑎𝑎− 12 → 𝑦𝑦 = − 12

• −𝑚𝑚𝑎𝑎− 12 = − 12

• 𝑚𝑚 = 12𝑎𝑎− 12

𝑅𝑅 =2√3 + 3

3

𝑙𝑙𝐴𝐴1 + 𝑙𝑙𝐴𝐴2 +𝑙𝑙𝐴𝐴3 = 6𝜋𝜋

3(2𝜋𝜋𝜋𝜋) = 6𝜋𝜋

𝜋𝜋 = 1

∴ 𝑙𝑙𝐴𝐴 =2𝜋𝜋3�2√3 + 3�𝑐𝑐𝑚𝑚

𝑙𝑙𝐴𝐴1

𝑙𝑙𝐴𝐴2

𝑙𝑙𝐴𝐴3 𝑙𝑙𝐴𝐴

2√3 + 33

R

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎4𝛽𝛽 − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2𝛽𝛽 + 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎5𝛽𝛽 − 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝛽𝛽 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎6𝛽𝛽

𝑎𝑎𝑏𝑏 =

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝛽𝛽−𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2𝛽𝛽 =

1−2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝛽𝛽 → � 𝑎𝑎 = 𝑘𝑘

𝑏𝑏 = 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝛽𝛽. 𝑘𝑘�

4.- Simplifique la siguiente expresión:

𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐 ��2 +𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎6𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐

2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎3𝑐𝑐 + √2� , 𝑐𝑐𝜃𝜃 ⟨3𝜋𝜋4 ; 𝜋𝜋⟩

Hallando K

𝑘𝑘𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝛽𝛽 − 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝛽𝛽𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝛽𝛽 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎3𝛽𝛽

𝑘𝑘 =𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎3𝛽𝛽

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝛽𝛽 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝛽𝛽𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝛽𝛽 = −1

∴ 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐− 𝟏𝟏

𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐 ��2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 2𝑐𝑐(2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎4𝑐𝑐+1)𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐

+ √2� = 𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐 ��2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎 (2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎4𝑐𝑐+1)𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐

+ √2�

𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐��2 + 2(2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎4𝑐𝑐 + 1) + √2� = �4(1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎4𝑐𝑐) = �2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎24𝑐𝑐

𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐�2√2|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎2𝑐𝑐| + √2�

𝑐𝑐 ∈ ⟨3𝜋𝜋4 ; 𝜋𝜋⟩ → 2𝑐𝑐 ∈ ⟨

3𝜋𝜋2 ; 2𝜋𝜋⟩

√2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐(2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎2𝑐𝑐 + 1) = √2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎3𝑐𝑐

5.- Piden: la variación de la siguiente expresión

|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎2𝑥𝑥 + |𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎2𝑥𝑥|

√1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎2𝑥𝑥

√22

|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥|(|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎2𝑥𝑥 + 2|𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥)|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥| ; |𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑥𝑥| ≠ 0 ; 𝑥𝑥 ≠ (2𝑘𝑘 + 1)

𝜋𝜋2

√22

(2|𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥|2 − 2|𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥| − 1) = −√2 ��|𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥|−12�

2

−34�

Formando

0 ≤ |𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥| < 1

−12 ≤

|𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥| −12 <

12

0 ≤ �|𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥| −12�

2

<14

−34 ≤ �|𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥| −

12�

2

−34 < −

12 →

√22 ≤ −√2 ��|𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑥𝑥| −

12�

2

−34� ≤

3√24

�√22 ;

3√24 �

6.- Piden: Área de la región sombreada.

Dato: AC=3(BC)

𝐶𝐶𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 = 2√29𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡 +𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡

; 𝑡𝑡𝜃𝜃𝛼𝛼𝐶𝐶

𝑐𝑐 es mínimo.

7.- Piden: El área dela región sombreada en términos de a, b, c y d.

CLAVE D

−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐

2S

S

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 =√23

3𝑆𝑆 =(1) �√2

3 �

2→ ∴ 𝟐𝟐𝟐𝟐 =

√𝟐𝟐𝟗𝟗

Si 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎 → (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐)𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥

Como: 9𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡 ≥ 6

Entonces

450

A

C

D

B

a

b

d

c

m

t

r

n

𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴 =12𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎450 +

12𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

(1800 − 450) +12 𝑐𝑐𝜋𝜋𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

(1800 − 450) +12𝑚𝑚𝜋𝜋𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(1800 − 450)

𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴 =12𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎450 (𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑐𝑐𝜋𝜋 + 𝑚𝑚𝜋𝜋) … … … … (1)

Aplicando teorema de cosenos para cada lado del cuadrilátero.

𝑎𝑎2 = 𝑚𝑚2 + 𝑎𝑎2 − 2𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎450 … … … … . (𝑚𝑚)

𝑐𝑐2 = 𝑐𝑐2 + 𝜋𝜋2 − 2𝑐𝑐𝜋𝜋𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎450 … … … … . (𝑚𝑚𝑚𝑚)

𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2 − 2𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎(180 − 450 )

𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2 + 2𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎450 … … … . . (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)

En forma similar… 𝑑𝑑2 = 𝑚𝑚2 + 𝜋𝜋2 + 2𝑚𝑚𝜋𝜋𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎450 … … . . (𝑚𝑚𝑖𝑖)

Sumando (i) y (ii)

𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2 = 𝑚𝑚2 + 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2 + 𝜋𝜋2 − 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎450 (𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑐𝑐𝜋𝜋) … … … … . (𝑖𝑖)

𝑏𝑏2 + 𝑑𝑑2 = 𝑚𝑚2 + 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2 + 𝜋𝜋2 + 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎450 (𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑚𝑚𝜋𝜋) … … … … . (𝑖𝑖𝑚𝑚)

Restando (vi) y (v):

𝑏𝑏2 + 𝑑𝑑2 − (𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2 ) = 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎450 (𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑚𝑚𝜋𝜋 +𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑐𝑐𝜋𝜋)

Entonces:

𝑎𝑎𝑐𝑐 + 𝑚𝑚𝜋𝜋 + 𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑐𝑐𝜋𝜋 =𝑏𝑏2 + 𝑑𝑑2 − (𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2 )

2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎450

Reemplazando en (1)

𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴 =12𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎450 �

𝑏𝑏2 + 𝑑𝑑2 − (𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2 )2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎450 �

𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴 =12𝑐𝑐𝑎𝑎𝑎𝑎45�𝑏𝑏2 + 𝑑𝑑2 − (𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2 )�

∴ 𝟐𝟐𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 =𝟏𝟏𝟐𝟐�𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟐𝟐 − 𝒂𝒂𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟐𝟐�